题型 参数方程求解曲线弦长
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。
例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。
例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。
解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。
2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。
为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且$\tan\theta=\frac{1}{3}$。
极坐标,参数方程题型全套整合
参 数 方 程 集 中 训 练 题 型 大 全 答题时间：300分钟 满分:300分 命题人：杨晓帆参２７．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。
A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于直线θ=2π(ρ∈R) 对称 D ．重合２８．极坐标方程 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )。
A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线２９．点 P 1(ρ1,θ1) 与 P 2(ρ2,θ2) 满足ρ1 +ρ2=0，θ1 +θ2 = 2π，则 P 1、P 2 两点 的位置关系是( )。
A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于θ=2π所在直线对称 D ．重合３０．椭圆⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=sin 51cos 33y x 的两个焦点坐标是( )。
A ．(-3, 5)，(-3, -3)B ．(3, 3)，(3, -5)C ．(1, 1)，(-7, 1)D ．(7, -1)，(-1, -1) 六、1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2 B ．31(,)42- C ． D ． 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ）A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =5．点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 七、1．直线l 的参数方程为()x a tt y b t=+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ）A ．1t B ．12t C1D12．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线3．直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,4．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ）A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 5．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2xC ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x 6．直线2()1x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）AB ．1404CD八、1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、3．直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A ．125 B． CD4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上， 则PF等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 5．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线 6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=-填空题(满分70分,每题4分,记68分,错5道以内的奖励2分)参、５．把参数方程⎩⎨⎧+==1cos sin ααy x (α为参数)化为普通方程，结果是。
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标全参数方程)
圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。
由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。
本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则（1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长|cos 1|||22αe HAB -=； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长|sin 1|||22αe HAB -=.推论：（1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22cos 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1cos ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2sin ||HAB =. （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22sin 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1sin ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2cos ||HAB =.典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆134221=+y x C ：，抛物线px m y 22=-）（（p ＞0），且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若34=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.2FOABxy例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P.（1）设P 点的坐标为），（00y x ，证明：232020yx +＜1. （2）求四边形ABCD 的面积的最小值.2FABCD Oxy 1F P例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 上，两条渐近线分别为1l 、2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l 、2l 于A 、B 两点. 已知||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，且BF 与FA 同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.A ByO F x1l2lN M金指点睛1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+x y 的上焦点F 交椭圆于A 、B 两点，则||AB =_________.2. 过双曲线1322=-y x 的左焦点F 作倾斜角为6π的直线l 交双曲线于A 、B 两点，则||AB =_________.3. 已知椭圆02222=-+y x ，过左焦点F 作直线l 交A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 的最大面积.B O xy AF4. 已知抛物线px y 42=（p ＞0），弦AB 过焦点F ，设m AB =||，△AOB 的面积为S ，求证：mS 2为定值.yO F x AB5.（05全国Ⅱ文第22题）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点. 已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0=⋅MF PF .求四边形PQMN 的面积的最大值和最小值.O xNPy MQF6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明α2cos ||||FP FP -为定值，并求此定值.yO F xA BDEC lαm P7. 点M 与点)2,0(F 的距离比它到直线03:=+y l 的距离小1.（1）求点M 的轨迹方程；（2）经过点F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的最小面积.FO xA BD C y8. 已知双曲线的左右焦点1F 、2F 与椭圆1522=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22-=的准线为其中一条准线. （1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD的面积的最小值.y2FAO x1l2l B CD参考答案：证明：设双曲线方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），通径a b H 22=，离心率a ce =，弦AB 所在的直线l 的方程为）（c x k y +=（其中αtan =k ，α为直线l 的倾斜角），其参数方程为为参数）（，t t y t c x ⎩⎨⎧=+-=.sin cos αα. 代入双曲线方程并整理得：0cos 2cos sin 4222222=-⋅+⋅-b t c b t b a ααα）（. 由t 的几何意义可得：|cos 1|2|cos 1|2|cos sin |2cos sin 4cos sin cos 24||||22222222222222222222222122121αααααααααe a b e a b b a ab b a b b a c b t t t t t t AB -=-=-=-----=-+=-=）（）（.|cos 1|22αe H-=例1.解：（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，点A 、B 关于x 轴对称，0=∴m ，直线AB 的方程为1=x . 从而点A 的坐标为），（231或），（231-. 点A 在抛物线2C 上，.249p =∴即.89=p此时抛物线2C 的焦点坐标为），（0169，该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α，由（Ⅰ）知2πα≠.则直线AB 的方程为）（1tan -⋅=x y α.抛物线2C 的对称轴m y =平行于x 轴，焦点在AB 上，通径382==p H ，离心率1=e ，于是有又 AB 过椭圆1C 的右焦点，通径322==a b H ，离心率21=e . ∴.cos 412|cos 1|||222αα-=-=e H AB∴）（α2cos 138-.cos 4122α-= 解之得：6tan 71cos 2±==αα，.抛物线2C 的焦点），（m F 32在直线）（1tan -⋅=x y α上， ∴αtan 31-=m ，从而36±=m . 当36=m 时，直线AB 的方程为066=-+y x ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为066=--y x 例2.（1）证明：在12322=+y x 中，123===c b a ，，. ，︒=∠9021PF F O 是1F 2F 的中点，.1||21||21===∴c F F OP 得.12020=+y x ∴点P 在圆122=+y x 上.显然，圆122=+y x 在椭圆12322=+y x 的内部. 故232020yx +＜1.（2）解：如图，设直线BD 的倾斜角为α，由BD AC ⊥可知，直线AC 的倾斜角απ+2..cos 138sin ||22）（αα-==H AB 2FOABxy通径33422==a b H ，离心率33=e . 又 BD 、AC 分别过椭圆的左、右焦点1F 、2F ，于是.sin 3342cos 1||cos 334cos 1||222222ααπαα-=+-=-=-=）（，e H AC e H BD ∴四边形ABCD 的面积.2sin 2496sin 334cos 33421||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=AC BD S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴42596，S .故四边形ABCD 面积的最小值为2596. 例3，解：（Ⅰ）设双曲线的方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）.||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，设m AB =||，公差为d ，则d m OA -=||，d m OB +=||，∴222)()(d m m d m +=+-. 即2222222d dm m m d dm m ++=++-. ∴4m d =. 从而43||m OA =，45||mOB =. 又设直线1l 的倾斜角为α，则α2=∠AOB . 1l 的方程为x aby =. ∴.tan ab=α 而.34||||tan 2tan ==∠=OA AB AOB α 2FABCD Oxy 1F P∴34)(12tan 1tan 222=-⨯=-ab a bαα. 解之得：.21=a b∴.25)(12=+=a b e （Ⅱ）设过焦点F 的直线AB 的倾斜角为θ, 则απθ+=2.∴αθsin cos -=. 而.51)21(1)21(tan 1tan sin 22222=+=+=ααα∴51cos 2=θ.通径b abb a b H =⨯==222. 又设直线AB 与双曲线的交点为M 、N. 于是有：4cos 1||22=-=θe HMN .即451)25(12=⨯-b .解得3=b ，从而6=a .∴所求的椭圆方程为193622=-y x .1. 解：3,1,2===c b a ，离心率23==a c e ，通径122==ab H ，直线l 的倾斜角4πα=.∴58)22()23(11sin 1||2222=⋅-=-=αe HAB . 2. 解：2,3,1===c b a ，离心率2==ace ，通径622==a b H ，直线的倾斜角6πα=. A ByO F x1l2lN M∴3|)23(21|6|cos 1|||2222=⋅-=-=αe HAB .3. 解：1222=+y x ，1,1,2===c b a ，左焦点)0,1(-F ，离心率22==a c e ，通径222==ab H .当直线l 的斜率不存在时，x l ⊥轴，这时22||2===ab H AB ，高1||==c OF ，△AOB 的面积221221=⨯⨯=S . 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的倾斜角为α，则其方程为)1(tan +⋅=x y α，即tan tan =+-⋅ααy x ，原点O 到直线AB 的距离ααααααs i n|s e c ||t a n|1t a n |t a n 0ta n 0|2==++-⨯=d . αααα222222sin 122cos 222cos )22(12cos 1||+=-=⋅-=-=e HAB . ∴△AOB 的面积αα2sin 1sin 2||21+=⨯⨯=d AB S . 0＜α＜π，∴αsin ＞0. 从而ααsin 2sin 12≥+. ∴22sin 2sin 2=≤ααS .当且仅当1sin =α，即2πα=时，“=”号成立. 故△AOB 的最大面积为22. 4. 解：焦点为)0,(p F ，通径p H 4=.当直线AB 的斜率不存在时，x AB ⊥轴，这时p m AB 4||==，高p OF =||，△AOBBO xy AF的面积22||||21p OF AB S =⨯⨯=. ∴3442444p pp m p m S ===，是定值.当直线AB 的斜率存在时，设直线的倾斜角为α，则其方程为)(tan p x y -⋅=α，即tan tan =+-⋅ααp y x ，原点O 到直线AB 的距离αααααs i n |s e c ||t a n|1t a n |t a n |2p p p d ==+=. αα22sin 4sin ||pH AB ==. ∴△AOB 的面积αsin 2||212p d AB S =⨯⨯=.∴32242424sin sin 41sin 4p pp m p m S =⨯=⨯=ααα. ∴不论直线AB 在什么位置，均有32p m S =（3p 为定值）.5. 解：在椭圆1222=+y x 中，.112===c b a ，， 由已知条件，MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点），（10F ，且PQ MN ⊥. 如图，设直线PQ 的倾斜角为α，则直线MN 的倾斜角απ+2.通径222==ab H ，离心率22=e .于是有.sin 222sin 1||cos 222)2(sin 1||222222ααααπ-=-=-=+-=e H PQ e HMN ，∴四边形PQMN 的面积O xNPy MQFyO F x AB.2sin 816sin 222cos 22221||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=PQ MN S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴2916，S .故四边形PQMN 面积的最小值和最大值分别为916和2. 6.（Ⅰ）解：4,82==p p ，∴抛物线的焦点F 的坐标为)2,0(， 准线l 的方程为2-=x .（Ⅱ）证明：作l AC ⊥于C ，AC FD ⊥于D. 通径82==p H . 则ααααcos ||||,cos ||||,sin 8sin ||22AF AD FP EF H AB ====.∴4cos ||||||||+=+==αAF p AD AC AF .∴αcos 14||-=AF .∴αααα22sin cos 4sin 4cos 14||21||||||||=--=-=-=AB AF AE AF EF ， 从而αα2sin 4cos ||||==EF FP . ∴8sin 2sin 4)2cos 1(||2cos ||||22=⋅=-=-ααααFP FP FP . 故α2cos ||||FP FP -为定值，此定值为8.7. 解：（1）根据题意，点M 与点)2,0(F 的距离与它到直线2:-=y l 的距离相等，∴点M 的轨迹是抛物线，点)2,0(F 是它的焦点，直线2:-=y l 是它的准线.从而22=p，∴4=p . ∴所求的点M 的轨迹方程是y x 82=.（2） 两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点， ∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α， 则直线CD 的倾斜角为α+︒90.y O F xA BDEClαm P BDy抛物线的通径82==p H ，于是有：αααα2222sin 8)90(cos ||,cos 8cos ||=+︒===H CD H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 128sin 8cos 821||||21222ααα=⋅⋅=⋅=CD AB S 当且仅当α2sin 2取得最大值1时，128min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为128.8. 解：（1）在椭圆1522=+y x 中，2,1,522=-===b a c b a ，∴其焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F .在抛物线x y 22-=中，1=p ，∴其准线方程为212==p x . 在双曲线中，21,22==c a c ，∴3,122=-==a c b a . ∴所求的双曲线的方程为1322=-y x .（2） 两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α，则直线CD 的倾斜角为α+︒90.双曲线的通径622==a b H ，离心率2==a ce . 于是有： αααα222222sin 416)90(cos 1||,cos 416cos 1||-=+︒-=-=-=e H CD e H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 4318sin 416cos 41621||||21222ααα+-=-⋅-⋅=⋅=CD AB S =18 y2FAO x1l2l B CD当且仅当α2sin 2取得最大值1时，18min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为18.。
题型 参数方程求解曲线弦长
题型6 求直线与曲线相交弦的长【例17．6．1】求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)截得的弦长． 【分析】把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长．【详解】把直线方程12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=．将圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩化为普通方程为229x y +=．圆心O到直线的距离d ==∴弦长L ===．所以直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩截得的弦长为 【评注】消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参．【变式1】过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【分析】由已知过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线可以写出直线的标准参数方程，并根据参数的几何意义求解弦长．【详解】直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．AB 12s s =-=．【评注】掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程及简单的应用，并熟练把它们的参数方程转化为普通方程，由于直线的参数方程为标准参数方程，即s 为直线上的点到13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭点的距离．就可以直接通过求两点的参数之差求得弦长．在解题时要注意应用参数的几何意义，还要注意是否为标准方程．【变式2】直线⎩⎨⎧--=+=ty t x 3141 (为参数t )被曲线)4cos(2πθρ+=所截的弦长为___________ ． 【分析】消掉t 可以得到直线的普通方程，而曲线)4cos(2πθρ+=则需要用两角和的余弦公式展开转化．【详解】消去t 得直线的方程为3410x y ++=，由)cos cos sin sin cos sin 444πππρθθθθθ⎫=+=-=-⎪⎭，两边同乘ρ，得2cos sin ρρθρθ=-，即22x y x y +=-，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线为圆，圆心为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为22，则圆心到直线的距离为11341221510⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭=，所以弦长为2221722105⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】57 【评注】在由极坐标方程化为普通方程时要注意变形技巧．要运用两角和的余弦公式进行变形．直线截得的弦长可由勾股定理求得． 【变式3】已知抛物线y 2 = 2px ，过焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，求证：AB =2p sin 2 θ． 【分析】弦长AB = |t 1 −t 2|． 【详解】由条件可设AB 的方程为⎩⎨⎧x = p 2 +t cos θ，y = t sin θ(t 是参数)，代入抛物线方程， 得 t 2 sin 2 θ −2pt cos θ −p 2 = 0，由韦达定理：⎩⎨⎧t 1 +t 2 = 2p cos θsin 2 θ ，t 1·t 2 = − p 2sin 2 θ， ∴ AB = |t 1 −t 2| = (t 1 −t 2)2 −4 t 1· t 2 = 4p 2cos 2θsin 4θ +4p 2sin 2θ = 2p sin 2θ． 圆锥曲线重要几何量问题的求解纵观近几年全国高中数学联赛和部分省市高中数学竞赛试题，圆锥曲线是命题的热点之一，而且比较接近高考．在圆锥曲线中，焦半径、焦（顶）点弦长、焦（顶）点三角形面积等是非常重要的几何量，也是各类竞赛的重点．为此，本讲主要介绍与这些几何量有关问题的求解策略．一、基础知识1．圆锥曲线定义、方程、基本元素a 、b 、c 、e 、P 之间的关系，焦半径以及一些重要公式．2．焦点弦长：AB 是经过圆锥曲线（指的是椭圆b ２x ２＋a ２y ２＝a ２b ２（a ＞b ＞0）、双曲线b ２x ２－a ２y ２＝a ２b ２（a ＞0，b ＞0）、抛物线y ２＝2Px （P ＞0），以下相同）焦点的弦，若AB 的倾斜角为α，半焦距为c ，则（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２／（b ２＋c ２sin ２α）；（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２／｜b ２－c ２sin ２α｜；（3）对于抛物线，｜AB ｜＝2P ／sin ２α．证明过程，此处从略．3．顶点弦长：经过圆锥曲线顶点A （对于椭圆或双曲线，指的是长轴或实轴顶点）作倾斜角为α的弦AB ，半焦距为c ，则（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／（b ２＋c ２sin ２α）；（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／｜b ２－c ２sin ２α｜；（3）对于抛物线，｜AB ｜＝2P ｜cos α｜／sin ２α．证明过程，此处从略．4．焦点三角形的面积：P 是椭圆b ２x ２＋a ２y ２＝a ２b ２（a ＞b ＞0）或双曲线b ２x ２－a ２y ２＝a２b２（a＞0，b＞0）上一点，F１、F２是两焦点，若∠F１PF２＝α，则（1）对于椭圆，S△F１PF２＝b２tan（α／2）；（2）对于双曲线，S△F１PF２＝b２cot（α／2）．一般的书刊资料均可找到，证明从略．例1在椭圆b２x２＋a２y＝a２b２（a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若该椭圆的离心率e＝（1／2）（5－1），求∠ABF．（2000年全国高中数学联赛题）．导析：如图1，△ABF是椭圆的一焦点和两顶点组成的，是一个非常特殊的三角形．但在短暂的思考中学生也是不易找到方法．这时教师可提醒学生观察图中的三角形，它们的边均与a，b，c有关，由此可改造条件．即由e＝ca＝（1／2）（5－1）可得2c＋a＝5a，两边平方可得b２＝ac，由此结论便迎刃而解了，且方法是多样的．即用相似三角形或两斜率的积或用两角和的正、余弦均可得∠ABF＝90°．例2已知点P在双曲线（x２／16）－（y２／9）＝1，且点P到这条双曲线的右准线的距离恰是点P到这条双曲线的两个焦点的距离的比例中项，那么点P的横坐标是．（1999年全国联赛题）．导析：学生见到此题，常常会用如下方法：设左、右焦点为F１、F２，点P（x，y）到右准线x＝a２／c＝16／5的距离为D，则2D＝｜PF１｜＋｜PF２｜，由此即得方程组这是多么复杂的运算，能回避吗?教师可提醒学生直接运用焦半径公式，即由双曲线焦半径公式及题设便得2｜x－（16／5）｜＝｜4－（5／4）x｜＋｜4＋（5／4）x｜．结合双曲线的范围x≤－4或x≥4即可得x＝－64／5．例3F是抛物线y２＝2Px（P＞0）的焦点，P为抛物线上一点，抛物线的准线l交x轴于H，若∠PFH＝α，∠PHF＝β，求证：sinα＝tanβ．导析：这是与圆锥曲线焦半径有关的三角恒等式，虽然学生很少遇到此类问题，但是通过观察，学生自然会画图分析，这时教师可引导学生从抛物线定义和正弦定理来思考，即作PQ⊥l，垂足为Q，则有｜PQ｜＝｜PF｜，∠QPH＝β，从而有｜PH｜＝｜PQ｜／cosβ＝｜PF｜／cosβ和｜PH｜／sinα＝｜PF｜／sinβ．由这两个等式易得sinα＝tanβ．二、综合应用圆锥曲线涉及知识面广，如平面几何、平面三角、代数等知识，它是高中数学中综合性较强的一个学科．故在解答解析几何综合题时，教师要注意引导学生掌握重要的数学思想方法，如数形结合、等价转化、对称、分类讨论等思想，注意知识的纵横联系．例4经过椭圆（x２／4）＋（y２／2）＝1的长轴顶点A作椭圆的弦AB，若｜AB｜＝8／7，试求弦AB的倾斜角α．导析：此题涉及二次曲线弦长问题，课本是极少提及的．若学生的思路方法不当，则运算量较大，甚至难以完成．若教师给予启发诱导，则学生是能解决的．常用方法有：①应用弦长公式｜AB｜＝｜x A－x B｜·和韦达定理；②运用直线参数t的几何意义；③直接应用顶点弦长公式．下面给出两种解法：解法1由对称性，不妨设A为右顶点（2，0），则直线AB的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程得（cos２α＋2sin２α）t２＋4cosα·t＝0．由t的几何意义知｜AB｜＝｜t B｜＝4｜cosα｜／（cos ２α＋2sin２α）＝8／7，从而得2｜cosα｜２＋7｜cosα｜－4＝0α＝60°或120°．解法2 由椭圆顶点弦长公式得8／7＝2·2·2｜cosα｜／（2＋2sin２α）．以下同法1．例5AB是经过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的弦MN ∥AB，求证：｜MN｜２∶｜AB｜是定值．导析：求解定值问题是学生感到比较困难的，而难点主要在于定值究竟是什么，一旦找出了定值，那么问题就转化为一般相等关系的证明了．教师可给学生介绍一些求定值问题的常用方法，如本题可从一般退向特殊，特殊问题的解决可为我们解决一般问题提供有益的启示，可作为解决一般问题的借鉴和有力工具．对于本题，MN、AB分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有｜MN｜２＝4a２，｜AB｜＝2a．∴｜MN｜２∶｜AB｜＝2a（定值）．下面再证明一般性．设平行弦MN、AB的倾斜角为α，则MN的方程为（t为参数），代入椭圆方程后注意到t的几何意义即得｜MN｜２＝4a２b２／（b２＋c２sin２α）．①另一方面，AB的参数方程为（t为参数）．仿①可得｜AB｜＝2AB２／（b２＋c２sin２α）．②①÷②得｜MN｜２∶｜AB｜＝2a（定值）．关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．例6某建筑工地要挖一个横截面为半圆柱形的土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，如图3，其中AP＝100M，BP＝150M，∠APB＝60°，问怎样运土才能最省工?导析：这是一道解析几何建模应用题．即要在半圆内划出一条分界线，这就要运用解析几何知识．“最省工”的含义是：到点P的距离最近，所以半圆内的点有三类：①沿AP到P较近；②沿BP到P接近；③沿AP、BP到P等距．其中第③类点集是第①、②类点集之交集（分界线）．设M是分界线上任一点，则有｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜MP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜PB｜－｜PA｜＝50（定值）．∴M在以A、B为焦点的双曲线右支上．由题设可得｜AB｜２＝17500，于是以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，可得分界线是双曲线弧：（x２／625）－（y２／3750）＝1（x≥25）．故运土时在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．例7l是椭圆的右准线，F１、F２是左、右焦点，P∈l．若椭圆的离心率e＝／2，试求∠F１PF２的最大值．导析：此问题一出现，学生遇到的第一个困难是如何建立e与∠F１PF２（记为α）的关系式．教师可引导学生画图分析，步步追踪．如图4，由对称性，不妨设椭圆方程为（x２／a２）＋（y２／b２）＝1（a ＞b＞0），l为右准线且P在x轴上方，由此可设点P为（a２／c，y）（y＞0），又在F１（－c，0）、F２（c，0），在△PF１F２中，由两条直线所成的角得tanα＝（kPF２－kPF１）／（1＋kPF１·kPF２．①又∵kPF１＝y∶（（a２／c）＋c），kPF２＝y∶（（a２／c）－c），代入①得tanα＝2c３y／（a４－c４＋c２y２），∵y＞0，a４－c４＞0，∴tanα＞0．又∵α∈（0，π），∴α为锐角．由基本不等式得tanα≤当且仅当a４－c４＝c２y２，即y P＝（1／c）时取“＝”．从而可得cot２α≥（a４－c４）／c４＝e－４－1，∴csc２α≥e－４．∴sinα≤e２＝（／2）２．∵sinα在（0，π／2）上是增函数，∴α的最大值为π／6．三、强化训练1．已知A为双曲线x２－y２＝1的左顶点，点B和C在双曲线的右支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是（）．A．3／3B．（3／2）3C．33D．63（2000年全国联赛）2．P是椭圆上的一点，F１、F２是两个焦点，若恒有∠F１PF２＝60°，则该椭圆的离心率e的范围是（）．A．（0，1）B．［／2，1）C．［／3，1）D．［1／2，1）．3．圆x２＋y２＝ｒ２过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的两个焦点F１（－c，0）、F２（c，0），它们有四个交点，其中一个交点为P，若△PF１F２的面积为26，椭圆长轴为15，则a＋b＋c＝_____．（2000年“希望杯”赛题）4．设O为抛物线的顶点，F为焦点，PQ为过F的弦，已知｜OF｜＝a，｜PQ｜＝b，则S△POQ＝_____．5．双曲线的离心率e＝2＋－－，过双曲线的右焦点F2作垂直于双曲线的实轴的直线交双曲线于一点P，F１为左焦点，试求∠PF１F２的大小．（1998年河南省、重庆市高中赛题）6．经过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的长轴顶点A作倾斜角为45°的弦AB，若弦AB的长恰好等于椭圆的通径长，试求此椭圆的离心率e．7．l是椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的左准线，在椭圆上放置n个点（n＞1）使每相邻两点与左焦点F连线所成的夹角均相等，如图5，∠P１FP２＝∠P２FP３＝…＝∠P n FP１＝2π／n，试证明：这n 个点到l的距离的倒数之和为一个仅与n有关的常数．参考答案与提示：1．C．由对称性知∠BAx＝∠CAx＝30°，｜AB｜＝｜AC｜．从而可按求弦长的思路求得｜AB｜＝2，也可运用顶点弦长公式知｜AB｜＝2·1·1·cos30°／｜1－2sin２30°｜＝2．∴S△ABC＝（1／2）｜AB｜２sin60°＝3．2．D．可用焦半径公式和余弦定理等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．3．a＋b＋c＝13＋．易知∠F１PF２＝90°，从而可用勾股定理和椭圆定义等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．4．S△POQ＝a．本题可用焦点弦长公式求出弦PQ的倾斜角，然后再用三角形的面积公式求解．也可建立极坐标系利用极径及极角求解．5．设∠PF１F２＝α，双曲线方程为b２x２－a２y２＝a２b２，∵PF２⊥F１F２，∴x P＝c，由焦半径公式得｜PF２｜＝｜a－ex P｜＝｜a－ec｜＝ec－a＝（1／a）（c２－a２）．又∵｜F１F２｜＝2c，∴tanα＝｜PF２｜∶｜F１F２｜＝（1／a）（c２－a２）∶（2c）．∴tanα＝（c２－a２）／2ac＝（1／2）（e－（1／e））…＝2－．∴α＝15°．6．可按求弦长的方法求出通径和｜AB｜的表达式，也可直接应用通径长为2b／a和顶点弦长公式．所求离心率e＝7．设在椭圆上的n个点为P１、P２、…，P n，它们到l：x＝－（a２／c）的距离记为D１、D２，…，D n，α＝2π／n，∠P１FO＝β，由椭圆定义得｜P i F｜＝eD i（i＝1，2，…，n）．如图5知D i－｜P i F｜cos［（i－1）α＋β］＝（a２／c）－c，即D i－eD i cos［（i－1）α＋β］＝b２／c，∴D i＝．经计算知故（是仅与n有关的常数）．。
运用参数方程求双曲线弦长
运用参数方程求双曲线弦长陕西理工大学数学与计算机科学学院（723001）郝秋梅［摘要］求双曲线的弦长是几何与代数的综合运用，也是高中数学的考点和难点之一。
运用双曲线的参数方程求弦长，不但能简化计算过程，而且能提高计算准确率，锻炼学生的数学思维和数学运算能力。
［关键词］参数方程；双曲线；弦长［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2022）02-0014-03参数方程是以参变量来表示曲线上点的运动轨迹的坐标方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。
双曲线是高中数学的重要组成部分，与向量、解析几何、直线方程等知识联系紧密。
在教学中，教师基本上只讲解用公式||AB=1+k2||x2-x1=|y2-y1求解弦长，其他方法一概略过。
在考试中，一旦双曲线方程或弦所在直线方程复杂、不易化简时，采用传统解法（联立双曲线方程与弦所在直线方程，再利用韦达定理和两点间距离公式）求解，会使计算难度增加，求解过程烦琐，学生往往会因为计算量过大而半途而废或出错。
为了解决此类问题，本文引进参数方程求解双曲线的弦长。
虽然定理证明过程比较复杂，但结论比传统解法更加简洁，同时也体现了解决数学问题方法的多样性。
一、性质推导性质1直线l：y=kx+m过双曲线{x=a cosφ,y=b tanφ（φ为参数）的焦点F2(c,0)与双曲线交于A，B两点，则l被双曲线截得的弦长||AB=2ab2(1+k2)||b2-k2a2。
（如图1）图1证明：设A(a secφ1,b tanφ1)，B(a secφ2,b tanφ2)。
因为直线l的斜率为k=b(tanφ2-tanφ1)a(secφ2-secφ1)，则tanφ2-tanφ1=ka b(secφ2-secφ1)。
故弦长||AB=(a secφ2-a secφ1)2+(b tanφ2-b tanφ1)2=a1+k2||secφ2-secφ1。
因为直线l与直线AF2的斜率相同，即k=b tanφ1a secφ1-c，所以tanφ1=kb(a secφ1-c)。
关于圆锥曲线弦长的“万能公式”及其应用
关于圆锥曲线弦长的“万能公式”及其应⽤
众所周知,我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线（即⼆次曲线）。
⼀般直接⽤公式解决弦长问题时,计算量⼤,容易出错,这正是⾼考命题需要考查学⽣计算能⼒的⼀个重要⽅⾯。
我们通常⽤“设⽽不求”的⽅法，可得到其弦长公式。
这种“设⽽不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。
本⽂将给同学们介绍“圆锥曲线弦长万能公式”，⽤它来解题可以简化运算过程。
假设设直线l的⽅程为：y=kx m（特殊情况要讨论k的存在性），圆锥曲线为f（x，y）=0(可以是圆、椭圆、双曲线、抛物线)，把直线l的⽅程代⼊⼆次曲线⽅程，可化为ax2 bx c=0，（或ay2 by c=0），不妨设直线和⼆次曲线的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2），那么：x1，x2是⽅程ax2 bx c=0的两个实数解，于是有。
(典型题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(有答案解析)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（ ）A ．23B ．223C ．233D ．22．直线2413x t y t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）所截得的弦长为（ ） A ．6B ．5C ．8D ．7 3．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．4．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)225．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A ．27B ．60C ．72D ．306．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线2:cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠7．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-8．点M 的直角坐标是()3,1--，则点M 的极坐标为（ ） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭9．极坐标系中，由三条曲线围成的图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线11．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线251:51x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值为（ ）A ．2B 63+C 31D 10 12．椭圆221169x y +=上的点到直线34132x y += ）A ．0B ．25C ．52D ．241325- 二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________． 15．直线170{?270x tsin y tcos =+=+（t 为参数）的倾斜角为_________16．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，l与C 交于,A B 两点，则AB =_______.17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________． 18．曲线4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点到直线20x y +=的最大距离为__________．19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x t y t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．已知直线12:(22x l t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）与曲线:(x cos C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）交于,A B 两点，则点()1,2M -与,A B 两点的距离之积MA MB ⋅=______.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x aty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE-的值． 22．已知纵坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为：112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线． （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求PQ 值．23．曲线1C ：2121x t y t =+⎧⎨=-⎩(其中t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C ：()2cos 0a a ρθ=>关于1C 对称.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移2个单位长度，按照12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1C 距离的最大值. 24．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.25．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为（2，0），（32π，），圆C的参数方程222x cos y sin θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．26．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩ (α为参数),以直角坐标系原点为极点,以x轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹；（2）若直线l 的极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=,求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C 上点的坐标为()2,2t t ， 则C 上的点到直线l 的距离2223(1)2233333t t t d -+-+===， 即C 上的点到直线1的距离的最小值为23． 故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】把直线和圆的参数方程化为普通方程，结合点到直线的距离公式和利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由题意，直线2413x ty t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）可得直线的方程为34100x y ++=，圆25cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为22(2)(1)25x y -+-=， 可得圆心(2,1)C ，半径为=5r ，所以圆心到直线34100x y ++=的距离为226410434d ++==+，由圆的弦长公式可得，弦长222222546L r d =-=-=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把参数方程化为普通方程，结合圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．D解析：D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。
圆锥曲线的弦长问题
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弦长是指连接圆锥曲线上的两点的线段的长度。
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弦长的计算方法有多种，包括公式法、参数方程法、极坐标法
等。
弦长公式是计算弦长的常用方法，适用于不同圆锥曲线和不同
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坐标系。
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圆锥曲线弦长的公式与定 理
圆锥曲线的一般弦长公式
圆锥曲线的一般弦长公式为：$|AB| = frac{2sqrt{D^2 - 4F}}{sqrt{1 - k^2}}$，其中 $D$是曲线的一般方程中x和y的最高次项系数 乘积的一半，$F$是常数项，$k$是弦AB的斜 率。
研究弦长问题在工程学中的应用，如桥梁、建筑的设计等。
弦长问题与其他数学知识的结合
弦长问题与线性代数的结合
探讨弦长问题与线性代数之间的关系，如矩阵 变换、线性方程组等。
弦长问题与解析几何的结合
研究弦长问题与解析几何之间的关系，如参数 方程、极坐标等。
弦长问题与微积分的结合
探讨弦长问题与微积分之间的关系，如求曲线长度、面积等。
函数与导数
在解决函数与导数问题时，有时需要利用弦长公式进行计算。
综合题
在高考数学的综合题中，有时会涉及到弦长问题，需要考生综合 运用所学知识进行解决。
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弦长问题的变式与拓展
弦长问题的变种形式
弦长与角度的关系
研究弦长与圆锥曲线上的角度之间的关系，如弦的中垂线与曲线的 交点等。
弦长与焦点的关系
探讨弦长与圆锥曲线的焦点距离之间的关系，以及在何种情况下弦 长达到最大或最小值。
实际生活中的弦长问题
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桥梁设计
在桥梁设计中，需要计算 通过桥墩的弦长，以确保 桥梁的稳定性和安全性。
直线的参数方程及弦长公式
直线的参数方程及弦长公式一、直线的参数方程：设直线上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，通过引入一个参数t，可以将直线上的所有点的坐标表示为参数的函数。
直线的参数方程可以表示为：x=x1+(x2-x1)ty=y1+(y2-y1)t其中，参数t可以取任意实数，当t取0时，得到点A的坐标；当t取1时，得到点B的坐标。
二、推导直线的弦长公式：1.弦长的概念：弦是指在圆上连接两个点的线段。
在直线中，我们将两点之间的线段称为弦。
2.求解直线的弦长：设直线上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们需要求解这两点之间的弦长。
首先，我们可以利用两点间的距离公式求解两点间的距离d：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)然后，我们引入参数方程，假设x=x(t)和y=y(t)为直线的参数方程，则有：x(t)=x1+(x2-x1)ty(t)=y1+(y2-y1)t接下来，我们需要通过参数消元来求解参数t与直线上的点(x,y)之间的关系。
由x(t)=x1+(x2-x1)t，可以得到：t=(x-x1)/(x2-x1)由y(t)=y1+(y2-y1)t，可以得到：t=(y-y1)/(y2-y1)将这两个结果相等起来，可以得到：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)进一步化简，可以得到：(x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0化简后的这个等式实际上是直线的一般方程，即Ax+By+C=0。
其中A=y2-y1，B=x1-x2，C=x2y1-x1y2然后，我们将两点间的距离公式d中的x和y分别代入直线的一般方程Ax+By+C=0中，可以得到：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)=√((x2-x1)^2+(-(A/B)(x2-x1))^2)进一步化简，可以得到：d=√(1+(A/B)^2)*，x2-x1由于A=y2-y1，B=x1-x2，所以A/B=(y2-y1)/(x1-x2)。
参数方程题型大全
参数方程题型大全1.直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线都可以用参数方程表示。
对于过点M(x，y)，倾斜角为α的直线l，其参数方程为：x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数。
对于圆心在点M(x，y)，半径为r的圆，其参数方程为：x = x + rcosθy = y + rsinθ其中θ为参数。
对于椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)，其参数方程为：x = a cosφy = b sinφ其中φ为参数。
对于双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)，其参数方程为：x = a secθy = b tanθ其中θ为参数。
对于抛物线y = 2px，其参数方程为：x = 2pt^2y = 2pt其中t为参数。
2.给定曲线的参数方程，求其普通方程。
对于曲线C的参数方程，设其参数为t，则其普通方程为：y = f(x)其中x和y是曲线上的点，f是关于t的函数。
将参数方程中的t用x或y表示，代入另一个方程中消去t，得到关于x 和y的方程即为普通方程。
3.给定曲线的参数方程，求其与直线或另一曲线的交点。
对于曲线C的参数方程，设其参数为t，则曲线上的点可以表示为(x(t)。
y(t))。
如果要求曲线C与直线l的交点，则将直线l的方程代入曲线C的参数方程中，解出参数t，再代入参数方程中求出交点的坐标。
如果要求曲线C与另一曲线D的交点，则将曲线D的参数方程代入曲线C的参数方程中，解出参数t，再代入参数方程中求出交点的坐标。
4.求椭圆上两点间的最短距离。
设椭圆的参数方程为：x = a cosφy = b sinφ其中φ为参数。
设椭圆上两点分别为A(x1.y1)和B(x2.y2)，则两点间的距离为：A B = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]将x和y用φ表示，代入上式，得到AB的函数，求导后令其为0，解出φ的值，再代入AB的函数中求得最小值即为最短距离。
参数法求曲线方程
即a=0时，消去a得
x 2 − y 2 + 2x − 2 y + 1 = 0
小结：
利用参数方程求轨迹 的关键是选择参数，而选择 参数在于对动点运动规律的分析，即动点与那个几何 量或物理量取值有关。
(t为参数）
x2 + y 2 = 1, 得 代入椭圆的普通方程 4
(t cos α − 3) 2 + 4(t sin α + 3) 2 − 4 = 0
∴ (cos 2 α + 4 sin 2 α )t 2 + 6(4 sin α − cosα )t + 41 = 0
41 164 ∴ PA ⋅ PB = t1t 2 = = 2 2 7 (cosα ) + 4(sinα )
一、复习提问：
x = x0 + t cosα y = y + t sin α 1、过点P ( x 0 , y 0 ), 倾斜角为α的直线的参数方程为— —0— —。
x = r cosθ −−−− θ 2、圆心在原点，半径为 r的圆的参数方程为 − y = r sin− − −
3、长半轴长a, 短半轴长b, 焦点在x轴上，中心在原点 的椭圆的参数方程为 − − − − − − − − x = a cosθ y = b sin θ
x 4y
x2 + ( y − 1) 2 = 1 （在椭圆内的部分） 4
解：设B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ),中点P( x, y )，则 x12 + 4 y12 = 4
2 2 x2 + 4 y 2 = 4
y 2 − y1 x 2 + x1 x 两式相减得： =− =− x 2 − x1 4( y 2 + y 1 ) 4y
弦长公式
弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（点B为则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^ 2)[(y1+y2)^2-4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入，化为关于x(或关于y)的，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
高中数学参数方程大题(带答案)
参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线 l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线l 的普通方程．（Ⅱ）过曲线 C 上任意一点P 作与 l 夹角为 30°的直线，交l 于点 A ，求 |PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cos θ、y=3sin θ得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数t 得直线 l 的普通方程；（Ⅱ）设曲线 C 上任意一点P（ 2cosθ， 3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P 到直线 l 的距离，除以sin30°进一步得到 |PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1 ，可令 x=2cos θ、 y=3sin θ，故曲线 C 的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由① 得： t=x ﹣ 2，代入②并整理得： 2x+y ﹣ 6=0；（Ⅱ）设曲线 C 上任意一点P（ 2cosθ， 3sinθ）．P 到直线 l 的距离为．则，其中α为锐角．当 sin（θ+α）=﹣ 1 时， |PA|取得最大值，最大值为．当 sin（θ+α）=1 时， |PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：，曲线 C 的参数方程为：（α为参数）．（ I）写出直线 l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线 C 的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．解答：解：（ 1）∵直线 l 的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ） =，∴，∴x﹣ y+1=0 ．（2）根据曲线 C 的参数方程为：（α为参数）．得2 2（x﹣ 2） +y =4 ，它表示一个以（2， 0）为圆心，以 2 为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线 C 上的点到直线l 的距离的最大值=．点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（ 1）化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（ 2）若 C1上的点 P 对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ 中点 M 到直线C3：（t为参数）距离的最小值．考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；（2）把 t 的值代入曲线C1的参数方程得点 P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出 Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．解答：22解：（ 1）把曲线 C1：（t 为参数）化为普通方程得：（x+4 ） +（ y﹣3） =1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4， 3），半径 1 的圆；把 C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴为8，短半轴为 3 的椭圆；（2）把 t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣ 4， 4），把直线 C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣ 2y﹣ 7=0，设Q 的坐标为 Q（ 8cosθ， 3sinθ），故 M （﹣ 2+4cosθ， 2+ sinθ）所以 M 到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当 cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆 C 的极坐标方程为，直线 l 的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于 A ， B 的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△ PAB 面积的最大值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆 C 的极坐标方程为2，把，化为ρ=代入即可得出．（II ）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得 |AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：2，解：（Ⅰ）由圆 C 的极坐标方程为，化为ρ=把代入可得：圆 C 的普通方程为2222．x +y﹣ 2x+2y=0 ，即（ x﹣ 1） +（ y+1） =2∴圆心坐标为（1，﹣ 1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l 的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t 可得直线l 的普通方程：，∴圆心到直线l 的距离，∴|AB|=2==，点 P 直线 AB 距离的最大值为，．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4 分）点到直线的距离（6 分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（ 10 分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．6．在直角坐标系xoy 中，直线 I 的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线 I 被曲线 C 所截得的弦长；（2）若 M （ x， y）是曲线 C 上的动点，求 x+y 的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）将曲线 C 化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M ，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：（ 1）直线 I 的参数方程为（t为参数），消去t，可得， 3x+4y+1=0 ；由于ρ=cos（θ+） =（），222﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为 r=，即有ρ=ρcosθ﹣ρsinθ，则有 x +y圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M （，），则 x+y=由于θ∈R，则x+y的最大值为=sin （1．），点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．选修 4﹣ 4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy ，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线 C 的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程；（Ⅱ）若 Q 为 C 上的动点，求PQ 中点 M 到直线 l：（t为参数）距离的最小值．考参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．点：专坐标系和参数方程．题：分（ 1）利用 x= ρcosθ， y= ρsinθ即可得出；析：（ 2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解解（ 1）∵ P 点的极坐标为，答：∴=3，=．∴点 P 的直角坐标222把ρ=x +y， y= ρsinθ代入可得，即∴曲线 C 的直角坐标方程为．（ 2）曲线 C 的参数方程为（θ为参数），直线 l 的普通方程为 x﹣ 2y﹣ 7=0设，则线段 PQ 的中点．那么点 M 到直线 l 的距离.，∴点 M 到直线 l 的最小距离为．点本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的评：单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O， P，与直线l 的交点为Q，求线段 PQ 的长．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（I）圆 C的参数方程2 2．把 x= ρcosθ， y= ρsinθ代入（φ为参数）．消去参数可得：（ x﹣ 1） +y =1化简即可得到此圆的极坐标方程．（II ）由直线 l 的极坐标方程是ρ（ sinθ+）=3，射线 OM ：θ= ．可得普通方程：直线 l，射线 OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：（ I）圆 C 的参数方程22（φ为参数）．消去参数可得：（ x﹣ 1） +y =1．把 x= ρcosθ，y= ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ（ sinθ+） =3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1的参数方程为（α为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为ρsin（θ+） =4．（ 1）求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；（ 2）设 P 为曲线 C1上的动点，求点 P 到 C2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、 y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，可得 d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．解答：解：（ 1）由曲线 C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线 C1的普通方程为：．由曲线 C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以 x+y ﹣ 8=0，即曲线 C2的直角坐标方程为：x+y ﹣ 8=0 ．（2）由（ 1）知椭圆 C1与直线 C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时， d 的最小值为，此时点P 的坐标为．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．10．已知直线 l 的参数方程是（ t 为参数），圆 C 的极坐标方程为ρ=2cos（θ+ ）．（Ⅰ）求圆心 C 的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆 C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用222C 的直角坐标．ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ=x +y ，进行代换即得圆 C 的直角坐标方程，从而得到圆心（II ）欲求切线长的最小值，转化为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（ I）∵，∴，∴圆 C 的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5 分）（II ）∵直线 l 的普通方程为，圆心 C 到直线 l 距离是，∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是（10 分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．11．在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣ 4sinθ） =12 ，定点 A （ 6， 0），点 P 是曲线 C1上的动点， Q 为 AP 的中点．（ 1）求点 Q 的轨迹 C2的直角坐标方程；（ 2）直线 l 与直线 C2交于 A ，B 两点，若 |AB| ≥2，求实数 a 的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线 C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q 的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（ 1）根据题意，得22曲线 C1的直角坐标方程为： x +y﹣ 4y=12，设点 P（ x′， y′）， Q（ x， y），根据中点坐标公式，得22，代入 x +y ﹣ 4y=12 ，22得点 Q 的轨迹 C2的直角坐标方程为：（ x﹣3） +（ y﹣ 1） =4，（2）直线 l 的普通方程为： y=ax ，根据题意，得，解得实数 a 的取值范围为：[0，] ．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系xoy 中以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ，ρcos （） =2．（Ⅰ）求 C1与 C2交点的极坐标；（Ⅱ）设 P 为 C 1 的圆心， Q 为 C 1 与 C 2 交点连线的中点， 已知直线 PQ 的参数方程为（ t ∈R 为参数），求 a ，b 的值．考点 ： 点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程． 专题 ： 压轴题；直线与圆．分析： （I ）先将圆 C 1，直线 C 2 化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II ）由（ I ）得， P 与 Q 点的坐标分别为（ 0， 2），（1， 3），从而直线 PQ 的直角坐标方程为 x ﹣y+2=0 ，由参数方程可得 y= x ﹣ +1，从而构造关于 a ， b 的方程组，解得 a ， b 的值．解答：解：（ I ）圆 C 1，直线 C 2 的直角坐标方程分别为 x 2+（ y ﹣2） 2 =4， x+y ﹣ 4=0 ，解得 或 ，∴C 1 与 C 2 交点的极坐标为（ 4， ）．（ 2 ， ）．（II ）由（ I ）得， P 与 Q 点的坐标分别为（ 0， 2），（1， 3），故直线 PQ 的直角坐标方程为x ﹣ y+2=0 ，由参数方程可得 y= x ﹣ +1，∴ ，解得 a=﹣ 1，b=2 ．点评： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．13．在直角坐标系 xOy 中， l 是过定点 P （ 4， 2）且倾斜角为 α的直线；在极坐标系（以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ（Ⅰ）写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线 C 与直线相交于不同的两点 M 、 N ，求 |PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（ I ）直线 l 的参数方程为（ t 为参数）．2曲线 C 的极坐标方程 ρ=4cos θ可化为 ρ=4 ρcos θ．222 2把 x= ρcos θ，y= ρsin θ代入曲线 C 的极坐标方程可得 x +y =4x ，即（ x ﹣ 2） +y =4．（II ）把直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）代入圆的方程可得： t 2 +4（ sin α+cos α） t+4=0 ． ∵曲线 C 与直线相交于不同的两点 M 、 N ，∴△ =16 （ sin α+cos α）2﹣ 16＞ 0， ∴sin αcos α＞0，又 α∈[0，π），∴．又 t 1+t 2=﹣ 4（ sin α+cos α）， t 1t 2=4．∴|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4|sin α+cos α|=，∵ ，∴，∴．∴|PM|+|PN| 的取值范围是．点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙ C 的直角坐标方程；（Ⅱ） P 为直线 l 上一动点，当P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：2，把代入即可得出；．（I）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2 sinθ．化为ρ=2（II ）设 P，又 C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（ I）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．222，∴ρ=2，化为 x +y =配方为=3．（II ）设 P，又 C．∴|PC|==≥2 ，因此当 t=0 时， |PC|取得最小值 2．此时 P（ 3，0）．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线 C1， C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦 AB 的长度．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用C1的直角坐标方程．（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（长度．解答：解：（Ⅰ）曲线 C2：（ p∈R）表示直线y=x，2曲线 C1：ρ=6cosθ，即ρ=6ρcosθ2222所以 x +y=6x 即（ x﹣3） +y =9222C2及曲线ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ=x +y ，进行代换即得曲线3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB 的（Ⅱ）∵圆心（3， 0）到直线的距离，r=3 所以弦长 AB==．∴弦 AB 的长度．点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆 C 的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心 C 的极坐标；（Ⅱ）当 r 为何值时，圆 C 上的点到直线l 的最大距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线 C 的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P 到直线 l 的距离的最大值，最后列出关于 r 的方程即可求出r 值．解答：解：（ 1）由ρsin（θ+ ） =，得ρ（ cosθ+sin θ） =1，∴直线 l： x+y ﹣ 1=0 ．由得 C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心 C 的极坐标（ 1，）．（2）在圆 C：的圆心到直线l 的距离为：∵圆 C 上的点到直线l 的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当 r=2 ﹣时，圆C上的点到直线l 的最大距离为3．点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．17．选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程在直角坐标 xOy 中，圆2222C1： x+y =4，圆 C2：（x﹣ 2）+y =4．（Ⅰ）在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1， C2的极坐标方程，并求出圆C1， C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆 C1与 C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用，以及 x2 2 2C1， C2的交点极坐标，+y =ρ，直接写出圆 C1， C2的极坐标方程，求出圆然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II ）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与 C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与 C2的公共弦的参数方程．解答：解：（ I）由2 22， x +y=ρ，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆 C1， C2的交点坐标（ 2，），（ 2，）．（II ）解法一：由得圆 C1， C2的交点的直角坐标（ 1，），（1，）．故圆 C1， C2的公共弦的参数方程为（或圆 C1， C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将 x=1 代入得ρcosθ=1从而于是圆 C1， C2的公共弦的参数方程为．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．。
直线的参数方程及弦长公式概要
直线的参数方程及弦长公式概要x=ty = kt + b其中，t为参数，可以取任意实数。
参数方程的优点在于可以很方便地表示直线上的每一个点的位置坐标，同时也可以方便地求出直线的弦长。
弦长是指直线上两个点之间的距离。
假设直线上两个点的位置坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则直线的弦长公式为：L=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，L为弦长。
接下来，我们将详细讲解直线的参数方程和弦长公式。
1.直线的参数方程对于直线y = kx + b，我们可以给x赋予任意实数作为参数，然后利用斜率k和截距b来求出对应的y坐标。
这样，我们就可以表示直线上的每一个点的位置坐标。
例如，对于直线y=2x+3来说，可以通过参数方程表示为：x=ty=2t+3这里的t可以取任意实数，通过取不同的t值，我们就可以得到直线上的不同点的位置坐标。
2.弦长公式弦长是指直线上两个点之间的距离。
对于直线上的两个点(x1,y1)和(x2,y2)，我们可以利用勾股定理求出两点之间的距离，并用弦长公式进行表示。
弦长公式为：L=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，L为弦长，也就是两个点之间的距离。
例如，对于直线上的两个点A(1,2)和B(5,6)，可以利用弦长公式求出两点之间的距离：L_AB=√((5-1)²+(6-2)²)=√(4²+4²)=√(16+16)=√32因此，点A和点B之间的距离为√323.参数方程与弦长公式的关系参数方程和弦长公式是在不同应用场景下的数学工具，它们之间没有直接的关系。
参数方程用于表示直线上的每一个点的位置坐标，而弦长公式用于计算直线上两个点之间的距离。
然而，在一些情况下，参数方程可以为求解弦长提供便利。
例如，当直线的两个端点的位置坐标已知，并且通过参数方程可以表达出直线上的其他点的位置坐标时，我们可以利用参数方程求解弦长。
直线与曲线相交的弦长问题
基础知识：
1. 已知平面上两点P1（x1,y1)， P2（x2,y2),P1,P2 的距离：
2.P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
3.两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 l2: Ax+By+C2=0的距离：
4.具有一般通用性的弦长公式是什么？
若直线 l : y kx m与圆(或椭圆、双曲线、抛物线）的 交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
2
AB t1 t2 (t1 t2 ) 4t1t2
2
【深入探究】
y 3x 的焦点，过F且倾 题目：设F为抛物线C ： 斜角为30度的直线交C于A、B，则|AB|=____ 解法四：（借助参数方程进行）
2
3 3 x t 4 2 (t为参数） 将{ 1 y t 2 1 2 9 3 3 2 代入y 3x得 t = t， 4 4 2 2 可化为t 6 3t 9=0
所以t1 t2 6 3, t1t2 9 因此 AB t1 -t2 (t1 t2 ) 2 4t1t2 108 36 12
方法规律小结
• 直线以其参数方程标准形式给出时，求直线与 其他曲线相交时的线段长的计算方法。 x x0 t cos 1.需将{ (t为参数）代入所交曲线得关于t的 y y0 t sin
B
解法二：（解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形） y
设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则
2 d 2 1 (1) 2
| 0 0 1|
2
r A d O
| AB | 2 r d 14
2
总结:求圆的弦长可以利用圆中 半弦长、弦心距d 及半径 r 构成 的直角三角形来求,弦长 2 R2 d 2
极坐标与参数方程题型三：弦长问题
2 t 2 （t 为 2 t 2
2
1 x 1 t 2 7、在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数） ．以原点为极 y 3 t 2
点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的方程为 2 3 sin ． （Ⅰ）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若点 P 的直角坐标为 (1, 0) ，圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点，求 | PA | | PB | 的值．
（ 为参数） 。以原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，点
，直线 l 的极坐标方程为
.
（1）判断点 与直线 l 的位置关系，说明理由； （2）设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A、B，求 的值.
3
10、已知曲线 C1 的参数方程为
x 4t （ t 为参数） ， 当 t 0 时， 曲线 C1 上对应的点为 P ， y 3t 1
（1＋sin θ）ρ ＝2． （1）写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，若点 P 为（1，0） ，求
1 AP
2
1 BP
2
4
13、已知曲线
的参数方程是 的极坐标方程是
（
为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建 ．
立极坐标系，曲线 （1）写出
的极坐标方程和
的直角坐标方程；
（2）已知点
、
的极坐标分别为
和
，直线线
相交于点
，射线
与曲线
相交于点
，求
的值．
5
1 x t 2 (t 为 参 数 ), 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 11 、 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 y 1 3 t 2
极坐标与参数方程含答案经典39题整理版之欧阳与创编
欧阳与创编 2021.03.08欧阳与创编 2021.03.08高考极坐标参数方程(经典39题)2．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 辨别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。
（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
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题型6 求直线与曲线相交弦的长【例17．6．1】求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)截得的弦长． 【分析】把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长．【详解】把直线方程12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=．将圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩化为普通方程为229x y +=．圆心O到直线的距离d ==∴弦长L ===．所以直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩截得的弦长为 【评注】消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参．【变式1】过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【分析】由已知过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线可以写出直线的标准参数方程，并根据参数的几何意义求解弦长．【详解】直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴121210s s s s +==．AB 12s s =-=．【评注】掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程及简单的应用，并熟练把它们的参数方程转化为普通方程，由于直线的参数方程为标准参数方程，即s 为直线上的点到13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭点的距离．就可以直接通过求两点的参数之差求得弦长．在解题时要注意应用参数的几何意义，还要注意是否为标准方程．【变式2】直线⎩⎨⎧--=+=ty t x 3141 (为参数t )被曲线)4cos(2πθρ+=所截的弦长为___________ ． 【分析】消掉t 可以得到直线的普通方程，而曲线)4cos(2πθρ+=则需要用两角和的余弦公式展开转化．【详解】消去t 得直线的方程为3410x y ++=，由)cos cos sin sin cos sin 444πππρθθθθθ⎫=+=-=-⎪⎭，两边同乘ρ，得2cos sin ρρθρθ=-，即22x y x y +=-，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线为圆，圆心为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为22，则圆心到直线的距离为11341221510⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭=，所以弦长为2221722105⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】57 【评注】在由极坐标方程化为普通方程时要注意变形技巧．要运用两角和的余弦公式进行变形．直线截得的弦长可由勾股定理求得． 【变式3】已知抛物线y 2 = 2px ，过焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，求证：AB =2p sin 2 θ． 【分析】弦长AB = |t 1 −t 2|． 【详解】由条件可设AB 的方程为⎩⎨⎧x = p 2 +t cos θ，y = t sin θ(t 是参数)，代入抛物线方程， 得 t 2 sin 2 θ −2pt cos θ −p 2 = 0，由韦达定理：⎩⎨⎧t 1 +t 2 = 2p cos θsin 2 θ ，t 1·t 2 = − p 2sin 2 θ， ∴ AB = |t 1 −t 2| = (t 1 −t 2)2 −4 t 1· t 2 = 4p 2cos 2θsin 4θ +4p 2sin 2θ = 2p sin 2θ． 圆锥曲线重要几何量问题的求解纵观近几年全国高中数学联赛和部分省市高中数学竞赛试题，圆锥曲线是命题的热点之一，而且比较接近高考．在圆锥曲线中，焦半径、焦（顶）点弦长、焦（顶）点三角形面积等是非常重要的几何量，也是各类竞赛的重点．为此，本讲主要介绍与这些几何量有关问题的求解策略．一、基础知识1．圆锥曲线定义、方程、基本元素a 、b 、c 、e 、P 之间的关系，焦半径以及一些重要公式．2．焦点弦长：AB 是经过圆锥曲线（指的是椭圆b ２x ２＋a ２y ２＝a ２b ２（a ＞b ＞0）、双曲线b ２x ２－a ２y ２＝a ２b ２（a ＞0，b ＞0）、抛物线y ２＝2Px （P ＞0），以下相同）焦点的弦，若AB 的倾斜角为α，半焦距为c ，则（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２／（b ２＋c ２sin ２α）；（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２／｜b ２－c ２sin ２α｜；（3）对于抛物线，｜AB ｜＝2P ／sin ２α．证明过程，此处从略．3．顶点弦长：经过圆锥曲线顶点A （对于椭圆或双曲线，指的是长轴或实轴顶点）作倾斜角为α的弦AB ，半焦距为c ，则（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／（b ２＋c ２sin ２α）；（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／｜b ２－c ２sin ２α｜；（3）对于抛物线，｜AB ｜＝2P ｜cos α｜／sin ２α．证明过程，此处从略．4．焦点三角形的面积：P 是椭圆b ２x ２＋a ２y ２＝a ２b ２（a ＞b ＞0）或双曲线b ２x ２－a ２y ２＝a２b２（a＞0，b＞0）上一点，F１、F２是两焦点，若∠F１PF２＝α，则（1）对于椭圆，S△F１PF２＝b２tan（α／2）；（2）对于双曲线，S△F１PF２＝b２cot（α／2）．一般的书刊资料均可找到，证明从略．例1在椭圆b２x２＋a２y＝a２b２（a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若该椭圆的离心率e＝（1／2）（5－1），求∠ABF．（2000年全国高中数学联赛题）．导析：如图1，△ABF是椭圆的一焦点和两顶点组成的，是一个非常特殊的三角形．但在短暂的思考中学生也是不易找到方法．这时教师可提醒学生观察图中的三角形，它们的边均与a，b，c有关，由此可改造条件．即由e＝ca＝（1／2）（5－1）可得2c＋a＝5a，两边平方可得b２＝ac，由此结论便迎刃而解了，且方法是多样的．即用相似三角形或两斜率的积或用两角和的正、余弦均可得∠ABF＝90°．例2已知点P在双曲线（x２／16）－（y２／9）＝1，且点P到这条双曲线的右准线的距离恰是点P到这条双曲线的两个焦点的距离的比例中项，那么点P的横坐标是．（1999年全国联赛题）．导析：学生见到此题，常常会用如下方法：设左、右焦点为F１、F２，点P（x，y）到右准线x＝a２／c＝16／5的距离为D，则2D＝｜PF１｜＋｜PF２｜，由此即得方程组这是多么复杂的运算，能回避吗?教师可提醒学生直接运用焦半径公式，即由双曲线焦半径公式及题设便得2｜x－（16／5）｜＝｜4－（5／4）x｜＋｜4＋（5／4）x｜．结合双曲线的范围x≤－4或x≥4即可得x＝－64／5．例3F是抛物线y２＝2Px（P＞0）的焦点，P为抛物线上一点，抛物线的准线l交x轴于H，若∠PFH＝α，∠PHF＝β，求证：sinα＝tanβ．导析：这是与圆锥曲线焦半径有关的三角恒等式，虽然学生很少遇到此类问题，但是通过观察，学生自然会画图分析，这时教师可引导学生从抛物线定义和正弦定理来思考，即作PQ⊥l，垂足为Q，则有｜PQ｜＝｜PF｜，∠QPH＝β，从而有｜PH｜＝｜PQ｜／cosβ＝｜PF｜／cosβ和｜PH｜／sinα＝｜PF｜／sinβ．由这两个等式易得sinα＝tanβ．二、综合应用圆锥曲线涉及知识面广，如平面几何、平面三角、代数等知识，它是高中数学中综合性较强的一个学科．故在解答解析几何综合题时，教师要注意引导学生掌握重要的数学思想方法，如数形结合、等价转化、对称、分类讨论等思想，注意知识的纵横联系．例4经过椭圆（x２／4）＋（y２／2）＝1的长轴顶点A作椭圆的弦AB，若｜AB｜＝8／7，试求弦AB的倾斜角α．导析：此题涉及二次曲线弦长问题，课本是极少提及的．若学生的思路方法不当，则运算量较大，甚至难以完成．若教师给予启发诱导，则学生是能解决的．常用方法有：①应用弦长公式｜AB｜＝｜x A－x B｜·和韦达定理；②运用直线参数t的几何意义；③直接应用顶点弦长公式．下面给出两种解法：解法1由对称性，不妨设A为右顶点（2，0），则直线AB的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程得（cos２α＋2sin２α）t２＋4cosα·t＝0．由t的几何意义知｜AB｜＝｜t B｜＝4｜cosα｜／（cos ２α＋2sin２α）＝8／7，从而得2｜cosα｜２＋7｜cosα｜－4＝0α＝60°或120°．解法2 由椭圆顶点弦长公式得8／7＝2·2·2｜cosα｜／（2＋2sin２α）．以下同法1．例5AB是经过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的弦MN ∥AB，求证：｜MN｜２∶｜AB｜是定值．导析：求解定值问题是学生感到比较困难的，而难点主要在于定值究竟是什么，一旦找出了定值，那么问题就转化为一般相等关系的证明了．教师可给学生介绍一些求定值问题的常用方法，如本题可从一般退向特殊，特殊问题的解决可为我们解决一般问题提供有益的启示，可作为解决一般问题的借鉴和有力工具．对于本题，MN、AB分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有｜MN｜２＝4a２，｜AB｜＝2a．∴｜MN｜２∶｜AB｜＝2a（定值）．下面再证明一般性．设平行弦MN、AB的倾斜角为α，则MN的方程为（t为参数），代入椭圆方程后注意到t的几何意义即得｜MN｜２＝4a２b２／（b２＋c２sin２α）．①另一方面，AB的参数方程为（t为参数）．仿①可得｜AB｜＝2AB２／（b２＋c２sin２α）．②①÷②得｜MN｜２∶｜AB｜＝2a（定值）．关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．例6某建筑工地要挖一个横截面为半圆柱形的土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，如图3，其中AP＝100M，BP＝150M，∠APB＝60°，问怎样运土才能最省工?导析：这是一道解析几何建模应用题．即要在半圆内划出一条分界线，这就要运用解析几何知识．“最省工”的含义是：到点P的距离最近，所以半圆内的点有三类：①沿AP到P较近；②沿BP到P接近；③沿AP、BP到P等距．其中第③类点集是第①、②类点集之交集（分界线）．设M是分界线上任一点，则有｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜MP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜PB｜－｜PA｜＝50（定值）．∴M在以A、B为焦点的双曲线右支上．由题设可得｜AB｜２＝17500，于是以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，可得分界线是双曲线弧：（x２／625）－（y２／3750）＝1（x≥25）．故运土时在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．例7l是椭圆的右准线，F１、F２是左、右焦点，P∈l．若椭圆的离心率e＝／2，试求∠F１PF２的最大值．导析：此问题一出现，学生遇到的第一个困难是如何建立e与∠F１PF２（记为α）的关系式．教师可引导学生画图分析，步步追踪．如图4，由对称性，不妨设椭圆方程为（x２／a２）＋（y２／b２）＝1（a ＞b＞0），l为右准线且P在x轴上方，由此可设点P为（a２／c，y）（y＞0），又在F１（－c，0）、F２（c，0），在△PF１F２中，由两条直线所成的角得tanα＝（kPF２－kPF１）／（1＋kPF１·kPF２．①又∵kPF１＝y∶（（a２／c）＋c），kPF２＝y∶（（a２／c）－c），代入①得tanα＝2c３y／（a４－c４＋c２y２），∵y＞0，a４－c４＞0，∴tanα＞0．又∵α∈（0，π），∴α为锐角．由基本不等式得tanα≤当且仅当a４－c４＝c２y２，即y P＝（1／c）时取“＝”．从而可得cot２α≥（a４－c４）／c４＝e－４－1，∴csc２α≥e－４．∴sinα≤e２＝（／2）２．∵sinα在（0，π／2）上是增函数，∴α的最大值为π／6．三、强化训练1．已知A为双曲线x２－y２＝1的左顶点，点B和C在双曲线的右支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是（）．A．3／3B．（3／2）3C．33D．63（2000年全国联赛）2．P是椭圆上的一点，F１、F２是两个焦点，若恒有∠F１PF２＝60°，则该椭圆的离心率e的范围是（）．A．（0，1）B．［／2，1）C．［／3，1）D．［1／2，1）．3．圆x２＋y２＝ｒ２过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的两个焦点F１（－c，0）、F２（c，0），它们有四个交点，其中一个交点为P，若△PF１F２的面积为26，椭圆长轴为15，则a＋b＋c＝_____．（2000年“希望杯”赛题）4．设O为抛物线的顶点，F为焦点，PQ为过F的弦，已知｜OF｜＝a，｜PQ｜＝b，则S△POQ＝_____．5．双曲线的离心率e＝2＋－－，过双曲线的右焦点F2作垂直于双曲线的实轴的直线交双曲线于一点P，F１为左焦点，试求∠PF１F２的大小．（1998年河南省、重庆市高中赛题）6．经过椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的长轴顶点A作倾斜角为45°的弦AB，若弦AB的长恰好等于椭圆的通径长，试求此椭圆的离心率e．7．l是椭圆b２x２＋a２y２＝a２b２（a＞b＞0）的左准线，在椭圆上放置n个点（n＞1）使每相邻两点与左焦点F连线所成的夹角均相等，如图5，∠P１FP２＝∠P２FP３＝…＝∠P n FP１＝2π／n，试证明：这n 个点到l的距离的倒数之和为一个仅与n有关的常数．参考答案与提示：1．C．由对称性知∠BAx＝∠CAx＝30°，｜AB｜＝｜AC｜．从而可按求弦长的思路求得｜AB｜＝2，也可运用顶点弦长公式知｜AB｜＝2·1·1·cos30°／｜1－2sin２30°｜＝2．∴S△ABC＝（1／2）｜AB｜２sin60°＝3．2．D．可用焦半径公式和余弦定理等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．3．a＋b＋c＝13＋．易知∠F１PF２＝90°，从而可用勾股定理和椭圆定义等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．4．S△POQ＝a．本题可用焦点弦长公式求出弦PQ的倾斜角，然后再用三角形的面积公式求解．也可建立极坐标系利用极径及极角求解．5．设∠PF１F２＝α，双曲线方程为b２x２－a２y２＝a２b２，∵PF２⊥F１F２，∴x P＝c，由焦半径公式得｜PF２｜＝｜a－ex P｜＝｜a－ec｜＝ec－a＝（1／a）（c２－a２）．又∵｜F１F２｜＝2c，∴tanα＝｜PF２｜∶｜F１F２｜＝（1／a）（c２－a２）∶（2c）．∴tanα＝（c２－a２）／2ac＝（1／2）（e－（1／e））…＝2－．∴α＝15°．6．可按求弦长的方法求出通径和｜AB｜的表达式，也可直接应用通径长为2b／a和顶点弦长公式．所求离心率e＝7．设在椭圆上的n个点为P１、P２、…，P n，它们到l：x＝－（a２／c）的距离记为D１、D２，…，D n，α＝2π／n，∠P１FO＝β，由椭圆定义得｜P i F｜＝eD i（i＝1，2，…，n）．如图5知D i－｜P i F｜cos［（i－1）α＋β］＝（a２／c）－c，即D i－eD i cos［（i－1）α＋β］＝b２／c，∴D i＝．经计算知故（是仅与n有关的常数）．。