题型 参数方程求解曲线弦长

题型6 求直线与曲线相交弦的长

【例17．6．1】求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩

(α为参数)截得的弦长． 【分析】把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长．

【详解】把直线方程12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=．将圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩

化为普通方程为229x y +=．圆心O

到直线的距离d ==∴

弦长L ===．

所以直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩

截得的弦长为 【评注】消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参．

【变式1】过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．

【分析】由已知过点P (－3，0)且倾斜角为30°的直线可以写出直线的标准参数方程，并根据参数的几何意义求解弦长．

【详解】直线的参数方程为3,()12

x s y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．将直线的参数方程代入上式，

得2100s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，

∴121210s s s s +==．

AB 12s s =-=

．

【评注】掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程及简单的应用，并熟练把它们的参数方程转化为普通方程，

由于直线的参数方程为标准参数方程，即s 为直线上的点到13,2⎛⎫- ⎪⎝

⎭点的距离．就可以直接通过求两点的参数之差求得弦长．在解题时要注意应用参数的几何意义，还要注意是否为标准方程．

【变式2】直线⎩⎨⎧--=+=t

y t x 3141 (为参数t )被曲线)4cos(2πθρ+=所截的弦长为___________ ． 【分析】消掉t 可以得到直线的普通方程，而曲线)4cos(2πθρ+=

则需要用两角和的余弦公式展开转化．

【详解】消去t 得直线的方程为3410x y ++=，

由)cos cos sin sin cos sin 444πππρθθθθθ⎫=+=-=-⎪⎭，两边同乘ρ，得2cos sin ρρθρθ=-，

即22x y x y +=-，即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线为圆，圆心为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为22，则圆心到直线的距离为11341221510⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭=，所以弦长为2

221722105⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】5

7 【评注】在由极坐标方程化为普通方程时要注意变形技巧．要运用两角和的余弦公式进行变形．直线截得的弦长可由勾股定理求得． 【变式3】已知抛物线y 2 = 2px ，过焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，求证：AB =

2p sin 2 θ

． 【分析】弦长AB = |t 1 −t 2|． 【详解】由条件可设AB 的方程为⎩⎨⎧x = p 2 +t cos θ，y = t sin θ

(t 是参数)，代入抛物线方程， 得 t 2 sin 2 θ −2pt cos θ −p 2 = 0，由韦达定理：⎩

⎨⎧t 1 +t 2 = 2p cos θsin 2 θ ，t 1·t 2 = − p 2

sin 2 θ， ∴ AB = |t 1 −t 2| = (t 1 −t 2)2 −4 t 1· t 2 = 4p 2cos 2θsin 4θ +4p 2sin 2θ = 2p sin 2θ

． 圆锥曲线重要几何量问题的求解

纵观近几年全国高中数学联赛和部分省市高中数学竞赛试题，圆锥曲线是命题的热点之一，而且比较接近高考．在圆锥曲线中，焦半径、焦（顶）点弦长、焦（顶）点三角形面积等是非常重要的几何量，也是各类竞赛的重点．为此，本讲主要介绍与这些几何量有关问题的求解策略．

一、基础知识

1．圆锥曲线定义、方程、基本元素a 、b 、c 、e 、P 之间的关系，焦半径以及一些重要公式．

2．焦点弦长：AB 是经过圆锥曲线（指的是椭圆b ２x ２＋a ２y ２＝a ２b ２（a ＞b ＞0）、双曲线b ２x ２－a ２y ２＝a ２b ２（a ＞0，b ＞0）、抛物线y ２＝2Px （P ＞0），以下相同）焦点的弦，若AB 的倾斜角为α，半焦距为c ，则

（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２／（b ２＋c ２sin ２α）；

（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２／｜b ２－c ２sin ２α｜；

（3）对于抛物线，｜AB ｜＝2P ／sin ２α．

证明过程，此处从略．

3．顶点弦长：经过圆锥曲线顶点A （对于椭圆或双曲线，指的是长轴或实轴顶点）作倾斜角为α的弦AB ，半焦距为c ，则（1）对于椭圆，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／（b ２＋c ２sin ２α）；

（2）对于双曲线，｜AB ｜＝2AB ２｜cos α｜／｜b ２－c ２sin ２α｜；

（3）对于抛物线，｜AB ｜＝2P ｜cos α｜／sin ２α．

证明过程，此处从略．

4．焦点三角形的面积：P 是椭圆b ２x ２＋a ２y ２＝a ２b ２（a ＞b ＞0）或双曲线b ２x ２－a ２y ２＝a

２b２（a＞0，b＞0）上一点，F１、F２是两焦点，若∠F１PF２＝α，则

（1）对于椭圆，S△F１PF２＝b２tan（α／2）；

（2）对于双曲线，S△F１PF２＝b２cot（α／2）．

一般的书刊资料均可找到，证明从略．

例1在椭圆b２x２＋a２y＝a２b２（a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若该

椭圆的离心率e＝（1／2）（5－1），求∠ABF．（2000年全国高中数学联赛题）．

导析：如图1，△ABF是椭圆的一焦点和两顶点组成的，是一个非常特殊的三角形．但在短暂的思考中学生也是不易找到方法．这时教师可提醒学生观察图中的三角形，它们的边均与a，b，c有关，由此可改造

条件．即由e＝ca＝（1／2）（5－1）可得2c＋a＝5a，两边平方可得b２＝ac，由此结论便迎刃而解

了，且方法是多样的．即用相似三角形或两斜率的积或用两角和的正、余弦均可得∠ABF＝90°．例2已知点P在双曲线（x２／16）－（y２／9）＝1，且点P到这条双曲线的右准线的距离恰是点P到这条双曲线的两个焦点的距离的比例中项，那么点P的横坐标是．（1999年全国联赛题）．导析：学生见到此题，常常会用如下方法：设左、右焦点为F１、F２，点P（x，y）到右准线x＝a２／c＝16／5的距离为D，则2D＝｜PF１｜＋｜PF２｜，由此即得方程组

这是多么复杂的运算，能回避吗?教师可提醒学生直接运用焦半径公式，即由双曲线焦半径公式及题设便得2｜x－（16／5）｜＝｜4－（5／4）x｜＋｜4＋（5／4）x｜．结合双曲线的范围x≤－4或x≥4即可得x＝－64／5．

例3F是抛物线y２＝2Px（P＞0）的焦点，P为抛物线上一点，抛物线的准线l交x轴于H，若∠PFH＝α，∠PHF＝β，求证：sinα＝tanβ．

导析：这是与圆锥曲线焦半径有关的三角恒等式，虽然学生很少遇到此类问题，但是通过观察，学生自然会画图分析，这时教师可引导学生从抛物线定义和正弦定理来思考，即作PQ⊥l，垂足为Q，则有｜PQ｜＝｜PF｜，∠QPH＝β，从而有

｜PH｜＝｜PQ｜／cosβ＝｜PF｜／cosβ和｜PH｜／sinα＝｜PF｜／sinβ．由这两个等式易得sinα＝tanβ．

二、综合应用

圆锥曲线涉及知识面广，如平面几何、平面三角、代数等知识，它是高中数学中综合性较强的一个学科．故在解答解析几何综合题时，教师要注意引导学生掌握重要的数学思想方法，如数形结合、等价转化、