材料力学扭转的ppt

MB
MC
MA
MD
B
C
A
D
解：计算外力偶矩
MA
9550 PA n
1592N m
MB
MC
9550 PB n
477.5N m
MD
9550 PD n
637N m
二、扭矩及扭矩图
1.横截面上的内力：扭矩(T)
2.扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。
例二 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。
l
0 GI p
Tl
j rad
GI p
GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。
单位长度的扭转角： j dj T rad/m
dx GI p
刚度条件
jm ax
Tm ax GI
180
[j]
其中： [j，]—许用扭转角，
尺寸有关。
a. 圆截面
dA 2 d
b. 空心圆截面
式中： d
D
二、斜截面上的应力
n
Fn 0
dA dAcos sin dAsin cos 0 x
Ft 0
t
dA dAcos cos dAsin sin 0
得：
sin 2 cos2
max
Βιβλιοθήκη Baidu45
Tr Ip
T Wt
T
d/2 ρ O
max
其中：
Wt
Ip r
T
抗扭截面系数
D/2
d/2 O
max
实心圆
Ip
d 4
32
Wt
d 3
16
空心圆
Ip 32
D4 d 4
D4 (1 4 )
32
Wt
D3
16
(1 4 )
关于极惯性矩和抗扭截面系数
Ip 称为极惯性矩，Wt 称为抗扭截面系数，它们均与横截面的形状、
min 45
0 或90， ?有有max max 0 ?
低碳钢扭转破坏
铸铁扭转破坏
三、强度条件
强度条件： max
Tm a x Wt
[
]
，
[]—许用切应力；
理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[]与 许用正应力[]之间存在下述关系：
对于塑性材料． [] ＝(0.5一0.577) [] 对于脆性材料， [] ＝(0.8—1.0) [l]
W W'
当杆件只受到位于其横截面内的扭 转力偶作用时。杆件将会产生扭转变形。
在该杆BC区间内作m-m截面,取截面 左侧杆段为研究对象，如图所示，此时
杆件横截面上只有Mx，记作扭矩T，其
余的内力分量均为零。
m1 m2
由研究对象的平衡方程可知，m-m截面的扭矩
T=m1-m2
等于其一侧的外力偶矩的代数和。
法线方向一致的扭矩为正
对应
切应力
纵向线
扭转实验前
圆周线
扭转实验后
结论
平面假设成立
相邻截面绕轴线作相对转动
横截面上各点的剪（切）应 力的方向必与圆周线相切。
1.薄壁圆筒的扭转的切应力
Me r0 x
dA
2.剪切胡克定律
由几何关系知： g r / l
T
τdA r 2r r Me
A
得：τ
Me
注意：上述定理具有普遍意义，在有正应力的情况下同样成立。
纯剪切状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应 力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）
§3.4 圆轴扭转时的应力 强度条件
一、横截面上的应力 a
b
1、变形几何关系 Me T
g
e
g
O2
g
dx a
2、物理关系(剪切虎克定律)
Gg
MB
MC
MA
MD
解：已知
B
C
A
D
955N·m T
477.5N·m +
M A 1592N • m M B M C 477.5N • m M D 637N • m
作扭矩图如左图示。
-
637N·m
§3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
m
1
m
R0
δ<<R0
---薄壁圆筒
1
m
T
扭矩
规定：矢量方向与横截面外
2r 2
Gg
……剪切胡克定律
（线弹性范围适用）
G为材料的剪切弹性模量
O
O
另外有：G
E （2 1
）
3.切应力互等定理
y
dz
′
o dy
x
单元体：微小的正六面体
在扭转时，左右两侧面（杆的横截 面）上只有切应力，方向与y轴平行， 前后无应力。
由平衡条件：
dx
z 切应力互等定理：两个相互垂直的微面上的切应力（τ、τ′） 成对存在，数值相等，且都指向（或背离）两平面的交线。
解：计算截面参数： I p
D4
32
(1 4 )
77.1104 mm4
Wt
Ip D/2
20.3103 mm3
由强度条件：
max
Tmax Wt
97.5MPa [ ]
故轴的强度满足要求。
若将空心轴改成实心轴，仍使 max 97.5MPa ，则
max
Tmax Wp
1.98103
d 3 /16
97.5MPa
3、静力学关系
T dx
Gg
b g
G dj
dx
dj
dx
T
A
dA
G
dj
dx
A
2dA
G
dj
dx
Ip
dA
O r
Ip
2dA —极惯性矩
A
dA
由T
G
dj
dx
I
得
p
dj
dx
T GI P
— 单位长度相对扭转角
应力公式
1)横截面上任意点：
T
Ip
T：横截面上的扭矩
：点到截面形心的距离
2)横截面边缘点： max
式中， [l]代表许用拉应力。
轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状 态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。
根据强度条件可进行：
强度校核; 选择截面; 计算许可荷载。
例 某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩
T=1.98kN·m，[]=100MPa，试校核轴的强度。
由上式解出：d=46.9mm。
空心轴与实心轴的截面 面积比(重量比)为：
A空 A实
(D2
D 2t2 )
4
d 2 0.334 1
4
3
同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴
较实心轴合理。
§3.5 圆轴扭转时的变形 刚度条件
计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。
相对扭转角： j dj l T dx
T
T
扭矩的符号按右手法则规定，即右手四指指向扭矩的转向， 拇指离开截面的扭矩为正，指向截面的扭矩为负。
对未知的扭矩按正方向设定
例 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动
轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转 速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
第三章
扭转
§3-1 概 述
mA
g
m B j B'
外力偶作用平面和杆件横截面平行
g：切剪应切变角 g
j：相对扭转角
§3.2 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图
一、传动轴上的外力偶矩
输入功率：P(kW)
1分钟输入功： W 60 P1000 60000P
Me
转速：n(转/分)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe