动态规划从入门到精通
动态规划从入门到精通共45页文档
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
动态规划从入门到精通
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
动态规划超级详细的讲义
动态规划入门1(2008-09-20 21:40:51)第一节动态规划基本概念一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。
他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解：如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。
显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。
每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。
下面举个例子：要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。
每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。
一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。
经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。
下面在说说我对动态规划的另外一个理解：用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。
这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。
对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。
这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。
二，动态规划的适用范围动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：最优子结构（最优化原理）无后效性最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；什么是无后效性呢？就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。
动态规划-从新手到专家
动态规划：从新手到专家（转）前言我们遇到的问题中，有很大一部分可以用动态规划(简称DP)来解。
解决这类问题可以很大地提升你的能力与技巧，我会试着帮助你理解如何使用DP来解题。
这篇文章是基于实例展开来讲的，因为干巴巴的理论实在不好理解。
注意：如果你对于其中某一节已经了解并且不想阅读它，没关系，直接跳过它即可。
什么是动态规划，我们要如何描述它?动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。
当前子问题的解将由上一次子问题的解推出。
使用动态规划来解题只需要多项式时间复杂度，因此它比回溯法、暴力法等要快许多。
现在让我们通过一个例子来了解一下DP的基本原理。
首先，我们要找到某个状态的最优解，然后在它的帮助下，找到下一个状态的最优解。
“状态”代表什么及如何找到它?“状态”用来描述该问题的子问题的解。
原文中有两段作者阐述得不太清楚，跳过直接上例子。
如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？(表面上这道题可以用贪心算法，但贪心算法无法保证可以求出解，比如1元换成2元的时候)首先我们思考一个问题，如何用最少的硬币凑够i元(i<11)？为什么要这么问呢？两个原因：1.当我们遇到一个大问题时，总是习惯把问题的规模变小，这样便于分析讨论。
2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的，除了规模变小，其它的都是一样的，本质上它还是同一个问题(规模变小后的问题其实是原问题的子问题)。
好了，让我们从最小的i开始吧。
当i=0，即我们需要多少个硬币来凑够0元。
由于1，3，5都大于0，即没有比0小的币值，因此凑够0元我们最少需要0个硬币。
(这个分析很傻是不是？别着急，这个思路有利于我们理清动态规划究竟在做些什么。
) 这时候我们发现用一个标记来表示这句“凑够0元我们最少需要0个硬币。
”会比较方便，如果一直用纯文字来表述，不出一会儿你就会觉得很绕了。
那么，我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。
动态规划讲解+例子
(最短路线为 C1D1E)
10
2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
6
A
5 B2 10
1
4
13
6
C2 5
8
E
2
D2
B3
12 11
C3 10
考虑经过 C 2 的两条路线
f3 (C 2 ) m d d i( (C C n 2 2 ,,D D 1 2 ) ) f f4 4 ( (D D 1 2 ) ) m 5 6 i 5 2 n 7
航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不 断变化的，因此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情 况，不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态），使 之能最省燃料和完成飞行任务（如软着陆）。
5
多阶段决策过程的特点：
• 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为
若干个互相联系又互相区别的阶段。
d(B2,C3)f4(C3) 41 2
(最短路线为 B 2 C 1 D 1 E)
14
2
12
B1
中间站，两点之间的连线上的数字表示距离，如图所示。 问应该选择什么路线，使总距离最短？
2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
A
5
B2 610
1
4
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6
C2 5
8
E
2
D2
B3
12 11
C3 10
8
2
12
B1
10
14
C1 3
9
D1 5
A
5
B2 610
1
《动态规划》课件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
动态规划基础、进阶与优化
山东师大附中陈键飞前言自古以来就是NOIP的重要考察内容，在联赛中占的分量大。
对选手能力有一定要求，需要能够熟练地建立动态规划模型。
需要大量做题，初学者不易掌握其思想。
目录基础：基本概念背包问题——一类典型应用 进阶：更多的问题树形DP状态压缩优化：减少状态数目减少状态转移（决策）时间基本概念最长上升子序列状态：f[i]能完全地表示出问题某个或某些本质相同的形态决策：f[i]=min(f[j]+1)状态由哪个状态转移得到阶段：每个i前面的阶段决定后面的阶段，后面的阶段由前面的状态转移得到基本概念石子合并状态f[i,j]决策f[i,j]=min(f[i,k]+f[k+1,j])+w[i,j] 阶段j-i （区间大小）基本概念无后效性后面阶段的状态只受前面阶段的状态的影响 对于任意两个状态，只能单向的进行转移基本概念拓扑图（有向无环图）无后效性f[i]=min(f[j])+1基本概念 非拓扑图（可能有环） 有后效性a →b →c ？b →c →a ？a bc 51111基本概念最优子问题问题最优，只需子问题最优，与到达子问题的路径无关3 5 24 6f(5)最优，只需f(4)最优，与f(4)是怎么到达的无关与路线具体是3 4 6还是2 4 6无关基本概念最优子问题输出1~n中∑(A(i,p[i]))最大的排列f(i)表示用1~n组成的长度为i的序列？ 与到达子问题的路径有关！1 4 3 →6 ？4 2 3 →6 ？基本概念无后效性、最优子问题是否能满足与状态的表示，状态的转移，阶段的划分有关背包问题——一类典型应用 给定n个货币，面值各不相同，问能否凑出m元钱f[i,j]表示前i个货币能否凑出j元f[i,j] = f[i-1,j] （不选j）or f[i-1,j-w[i]]（选j）背包问题——一类典型应用 给定n种货币，每种无限多个，面值各不相同，问能否凑出m元钱f[i,j]表示前i种货币能否凑出j元f[i,j]=f[i-1,j] or f[i,j-w[i]]背包问题——一类典型应用 给定n种货币，第i种有A i个，面值W i，问能否凑出m 元钱将每种货币i拆成A i个价值为W i的货币O(m∑A i)将每种货币i拆成价值为W i,2W i,4W i,8W i……的货币O(m∑log A i)单调队列O(mn) ，暂时跳过背包问题——一类典型应用 给定n种货币分为k组，每组只能选一个，问能否凑出m元f[i,j,k]表示用前1~i-1组和第i组的前j个能否凑出k元。
[转载]教你彻底学会动态规划——入门篇
![[转载]教你彻底学会动态规划——入门篇](https://img.taocdn.com/s3/m/cbb4df1ff02d2af90242a8956bec0975f465a40d.png)
[转载]教你彻底学会动态规划——⼊门篇动态规划相信⼤家都知道，动态规划算法也是新⼿在刚接触算法设计时很苦恼的问题，有时候觉得难以理解，但是真正理解之后，就会觉得动态规划其实并没有想象中那么难。
⽹上也有很多关于讲解动态规划的⽂章，⼤多都是叙述概念，讲解原理，让⼈觉得晦涩难懂，即使⼀时间看懂了，发现当⾃⼰做题的时候⼜会觉得⽆所适从。
我觉得，理解算法最重要的还是在于练习，只有通过⾃⼰练习，才可以更快地提升。
话不多说，接下来，下⾯我就通过⼀个例⼦来⼀步⼀步讲解动态规划是怎样使⽤的，只有知道怎样使⽤，才能更好地理解，⽽不是⼀味地对概念和原理进⾏反复琢磨。
⾸先，我们看⼀下这道题（此题⽬来源于北⼤POJ）：数字三⾓形(POJ1163)在上⾯的数字三⾓形中寻找⼀条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最⼤。
路径上的每⼀步都只能往左下或右下⾛。
只需要求出这个最⼤和即可，不必给出具体路径。
三⾓形的⾏数⼤于1⼩于等于100，数字为 0 - 99输⼊格式：5 //表⽰三⾓形的⾏数接下来输⼊三⾓形73 88 1 02 7 4 44 5 2 6 5要求输出最⼤和接下来，我们来分析⼀下解题思路：⾸先，肯定得⽤⼆维数组来存放数字三⾓形然后我们⽤D( r, j) 来表⽰第r⾏第 j 个数字(r,j从1开始算)我们⽤MaxSum(r, j)表⽰从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。
因此，此题的最终问题就变成了求 MaxSum(1,1)当我们看到这个题⽬的时候，⾸先想到的就是可以⽤简单的递归来解题：D(r, j)出发，下⼀步只能⾛D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。
故对于N⾏的三⾓形，我们可以写出如下的递归式：if ( r == N)MaxSum(r,j) = D(r,j)elseMaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)根据上⾯这个简单的递归式，我们就可以很轻松地写出完整的递归代码：#include <iostream>#include <algorithm>#define MAX 101using namespace std;int D[MAX][MAX];int n;int MaxSum(int i, int j){if(i==n)return D[i][j];int x = MaxSum(i+1,j);int y = MaxSum(i+1,j+1);return max(x,y)+D[i][j];}int main(){int i,j;cin >> n;for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)cin >> D[i][j];cout << MaxSum(1,1) << endl;}对于如上这段递归的代码，当我提交到POJ时，会显⽰如下结果：对的，代码运⾏超时了，为什么会超时呢？答案很简单，因为我们重复计算了，当我们在进⾏递归时，计算机帮我们计算的过程如下图：就拿第三⾏数字1来说，当我们计算从第2⾏的数字3开始的MaxSum时会计算出从1开始的MaxSum，当我们计算从第⼆⾏的数字8开始的MaxSum的时候⼜会计算⼀次从1开始的MaxSum，也就是说有重复计算。
动态规划基础-----01背包（总结）
动态规划基础-----01背包（总结）1、动态规划（DP） 动态规划（Dynamic Programming，DP）与分治区别在于划分的⼦问题是有重叠的，解过程中对于重叠的部分只要求解⼀次，记录下结果，其他⼦问题直接使⽤即可，减少了重复计算过程。
另外，DP在求解⼀个问题最优解的时候，不是固定的计算合并某些⼦问题的解，⽽是根据各⼦问题的解的情况选择其中最优的。
动态规划求解具有以下的性质： 最优⼦结构性质、⼦问题重叠性质 最优⼦结构性质：最优解包含了其⼦问题的最优解，不是合并所有⼦问题的解，⽽是找最优的⼀条解线路，选择部分⼦最优解来达到最终的最优解。
⼦问题重叠性质：先计算⼦问题的解，再由⼦问题的解去构造问题的解（由于⼦问题存在重叠，把⼦问题解记录下来为下⼀步使⽤，这样就直接可以从备忘录中读取）。
其中备忘录中先记录初始状态。
2、求解思路 ①、将原问题分解为⼦问题（⼦问题和原问题形式相同，且⼦问题解求出就会被保存）； ②、确定状态：01背包中⼀个状态就是个物体中第个是否放⼊体积为背包中； ③、确定⼀些初始状态（边界状态）的值； ④、确定状态转移⽅程，如何从⼀个或多个已知状态求出另⼀个未知状态的值。
（递推型）3、01背包问题求解思路 ①、确认⼦问题和状态 01背包问题需要求解的就是，为了体积V的背包中物体总价值最⼤化，件物品中第件应该放⼊背包中吗？（其中每个物品最多只能放⼀件） 为此，我们定义⼀个⼆维数组，其中每个元素代表⼀个状态，即前个物体中若⼲个放⼊体积为背包中最⼤价值。
数组为：，其中表⽰前件中若⼲个物品放⼊体积为的背包中的最⼤价值。
②、初始状态 初始状态为和都为0，前者表⽰前0个物品（也就是空物品）⽆论装⼊多⼤的包中总价值都为0，后者表⽰体积为0的背包啥价值的物品都装不进去。
我⾃⼰写的的没保存，只能把这个整来凑数了伪代码for(int t=1;t<=n;t++){for(int j=V;j>=v[t];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[t]]+w[t]);}}。
《动态规划教学》课件
动态规划的理论研究
要点一
动态规划算法的收敛性研究
深入探讨动态规划算法的收敛速度和收敛条件，为算法优 化提供理论支持。
要点二
动态规划的近似算法研究
研究近似动态规划算法，在保证一定精度下降低计算复杂 度，提高求解效率。
THANK YOU
缺点
01
空间复杂度高
动态规划通常需要存储所有子问题的解决方案，因此其空 间复杂度通常较高。对于大规模问题，可能需要大量的存 储空间，这可能导致算法在实际应用中受到限制。
02 03
可能陷入局部最优解
虽然动态规划有助于找到全局最优解，但在某些情况下， 它可能陷入局部最优解。这是因为动态规划通常从问题的 初始状态开始，逐步解决子问题，如果初始状态不是最优 的，则可能在整个过程中都围绕着一个非最优的解决方案 。
期权定价
动态规划可以用于期权定价模型，以更准确地预测期 权价格。
计算机科学
算法优化
动态规划可以用于优化算法，以提高计算效率和 准确性。
数据压缩
动态规划可以用于数据压缩算法，以更有效地压 缩和解压缩数据。
游戏开发
动态规划可以用于游戏开发和AI算法，以提高游 戏的可玩性和智能性。
生物信息学
基因序列比对
动态规划可以用于基因序列比对 ，以ห้องสมุดไป่ตู้定不同基因序列之间的相 似性和差异性。
蛋白质结构预测
动态规划可以用于预测蛋白质的 三维结构，以更好地理解蛋白质 的功能和作用机制。
进化树构建
动态规划可以用于构建进化树， 以更好地理解物种的进化关系和 演化历程。
05
动态规划的优缺点
优点
高效性
动态规划能够有效地解决最优化问题，特别是那些具有重叠子问题和最优子结构的问题。通过将问题分解为子问题并 存储它们的解决方案，动态规划避免了重复计算，从而大大提高了算法的效率。
动态规划部分知识点总结
动态规划部分知识点总结动态规划的基本思想动态规划的基本思想可以用“递推”来描述。
在解决一个问题时，通常需要先确定一个递推关系，然后利用递推关系逐步求解问题的最优解。
以求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）问题为例，最长递增子序列是指在一个无序的序列中找到一个最长的子序列，要求子序列中的元素是递增的。
假设原序列为A，最长递增子序列的长度为LIS(i)，则可以通过递推关系来解决这个问题：LIS(i) = max(LIS(j)+1)，其中j<i 且A[j]<A[i]通过这个递推关系，我们可以逐步求解出从A[1]到A[n]的最长递增子序列的长度，最终得到整个序列的最长递增子序列。
动态规划的特点动态规划有一些特点，可以帮助我们更好地理解和应用这种方法。
1. 重叠子问题：动态规划的关键特点之一是重叠子问题，即原问题可以分解为若干个子问题，不同的子问题可能有重叠的部分。
通过记录和利用子问题的解，可以避免重复计算，提高计算效率。
2. 最优子结构：动态规划适用于具有最优子结构性质的问题。
最优子结构指的是原问题的最优解可以通过子问题的最优解来求解。
换句话说，原问题的最优解可以由子问题的最优解推导出来。
3. 状态转移方程：动态规划问题通常可以通过状态转移方程来描述。
状态转移方程是指原问题与子问题之间的关系，它可以用数学公式或递推关系来表示。
通过状态转移方程，可以确定问题的递推规律，从而求解问题的最优解。
动态规划的应用动态规划广泛应用于各种领域，比如算法设计、优化问题、数据挖掘等。
它可以解决许多经典问题，比如最短路径、背包问题、编辑距离、最长公共子序列等。
1. 最短路径：最短路径问题是指在一个加权有向图或加权无向图中，找到一条从起点到终点的路径，使得路径上的边权重之和最小。
动态规划可以用于求解最短路径问题，比如利用Floyd-Warshall算法或Dijkstra算法，通过记录并利用子问题的解来求解最短路径。
《动态规划》课件
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
《动态规划》课件
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者
从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出
的选择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
动态规划的分类:
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义 精确的算法, 它强调具体问题具体分析,
依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤 其在处理非线性、离散性问题时有其独 到的特点。
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶 段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决 策有关。因此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动 态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有 “无后效性”的多阶段决策过程。
4 6
C1
3
B2 3
4T
3 3
C2
阶段指标函数：
vk sk , xk cskxk
5
A3
B3
过程指标（阶段递推）函数:
fk(sk ) min
vk (sk , xk )
fk
1
(sk
1 )
k= 4
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
2
k=3
f3(B1)=min{1+f4(C1)=4*, 4+f4(C2)=8}=4
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
动态规划入门详解
通过金矿模型介绍动态规划对于动态规划，每个刚接触的人都需要一段时间来理解，特别是第一次接触的时候总是想不通为什么这种方法可行，这篇文章就是为了帮助大家理解动态规划，并通过讲解基本的01背包问题来引导读者如何去思考动态规划。
本文力求通俗易懂，无异性，不让读者感到迷惑，引导读者去思考，所以如果你在阅读中发现有不通顺的地方，让你产生错误理解的地方，让你难得读懂的地方，请跟贴指出，谢谢！----第一节----初识动态规划--------经典的01背包问题是这样的：有一个包和n个物品，包的容量为m，每个物品都有各自的体积和价值，问当从这n个物品中选择多个物品放在包里而物品体积总数不超过包的容量m时，能够得到的最大价值是多少？[对于每个物品不可以取多次，最多只能取一次，之所以叫做01背包，0表示不取，1表示取]为了用一种生动又更形象的方式来讲解此题，我把此题用另一种方式来描述，如下:有一个国家，所有的国民都非常老实憨厚，某天他们在自己的国家发现了十座金矿，并且这十座金矿在地图上排成一条直线，国王知道这个消息后非常高兴，他希望能够把这些金子都挖出来造福国民，首先他把这些金矿按照在地图上的位置从西至东进行编号，依次为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，然后他命令他的手下去对每一座金矿进行勘测，以便知道挖取每一座金矿需要多少人力以及每座金矿能够挖出多少金子，然后动员国民都来挖金子。
题目补充1：挖每一座金矿需要的人数是固定的，多一个人少一个人都不行。
国王知道每个金矿各需要多少人手，金矿i需要的人数为peopleNeeded[i]。
题目补充2：每一座金矿所挖出来的金子数是固定的，当第i座金矿有peopleNeeded[i]人去挖的话，就一定能恰好挖出gold[i]个金子。
否则一个金子都挖不出来。
题目补充3：开采一座金矿的人完成开采工作后，他们不会再次去开采其它金矿，因此一个人最多只能使用一次。
题目补充4：国王在全国范围内仅招募到了10000名愿意为了国家去挖金子的人，因此这些人可能不够把所有的金子都挖出来，但是国王希望挖到的金子越多越好。
动态规划课件
3
D
4 B2 1
4
C3
解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。 第三阶段（C →D）： C 有三条路线到终点D 。
显然有 f3 (C1 ) = 1 ； f3(C2 ) = 3 ； f3 (C3 ) = 4
3
C1
2 B1 3
1
A
1 2
3
C2
3
D
4 B2 1
4
C3
第二阶段（B →C）： B 到C 有六条路线。
s, n1)
Vk,n (sk , uk , sk1, uk1, , sn1)
可递推
k [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , sn1 )]
指标函数形式: 和、 积
解多阶段决策过程问题，求出 最优策略，即最优决策序列
{u1* , u2* , , un* }
最优路线，即执行最优策略时的状态序列
第三阶段（ s3=0,1,2,3,4,5 ）
x3 s3
0
r3(s3,x3) 1234
5
f3(s3)
x3*
00
0
0
1
4
4
1
2
6
6
2
3
11
11 3
4
12
12 4
5
12 12 5
第二阶段（ s2=0,1,2,3,4,5 ）台设备分 配给第2工厂和第3工厂
x2 r2(s2,x2)+ f3(s2-x2)
s2
多阶段决策问题：
是动态决策问题的一种特殊形式；
在多阶段决策过程中,系统的动态过程可以按照时间 进程分为状态相互联系而又相互区别的各个阶段； 每个阶段都要进行决策,目的是使整个过程的决策 达到最优效果。
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代码展示
memset(f,-1,sizeof f) int dfs(int i,int j)
if(f[i][j])return f[i][j]=max(dfs(i-1,j-1),dfs(i-1,j));
return f[i][j];
if(A[i]==B[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
• 怎么快速入门，能又快又准的写出基础的DP（套 路DP题）
• 掌握基本的写法，理解经典模型的转移
搞个数字三角形
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• 从上往下走，每次可以向左下或右下走一 个，直到最下行，问经过数字的和最大是 多少？
朴素贪心
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值和的最大值 • 转移方程：O(n*V)
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wi]+pi)
代码展示
01背包
• 定义状态dp[i][ j]： • 考虑前i件物品，选的物品总体积<=j的情况下
价值和的最大值 • 转移方程：O(n*V)
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wi]+pi)
for(intj=1;j<=m;j++) f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1])+a[i][j]
更多选择？
• 有了转移方程 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j1])+a[i][j]
• 容易得dfs(i,j)=max(dfs(i1,j),dfs(i-1,j))
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典型模型
• 温馨提示 代码展示中代码仅做演示用，请勿不经思考照搬，WA者自负
01背包
• 在n件物品取出若干件放在空间为V的背包 里，每件物品的体积为w1，w2……wn，与 之相对应的价值为p1,p2……pn。
01背包
• 定义状态dp[i][ j]： • 考虑前i件物品，选的物品总体积=j的情况下价
• 为何还要记忆化搜索？
滑雪
为了获得速度，滑雪的路径必须向下倾斜， 每次可以向上下左右4个方向滑行。区域由一 个二维数组给出，每个数字代表该点的高度 。求滑行的最长距离。
1 2 3 45 16 17 18 19 6 15 24 25 20 7 14 23 22 21 8 13 12 11 10 9
困难？
• 能用递推的方法做么？
– 哪里不能？ – 没有明确的依赖顺序，无法直接用递推进行转
移
• 解决办法
– 记忆化搜索
滑雪的记忆化搜索实现
概念
• 动态规划是一种用于求解包含重叠子问题 的最优化问题的思想。
• 其基本思想是，将原问题分解为相似的子 问题，在求解的过程中通过子问题的解求 出原问题的解。
1
动态规划入门到精通(Ⅰ)
一些前话——xiper
• 做了专题，感觉自己很强，然后比赛还是什么DP 都做不来（有很多时候压根就没看出来是DP）， 正常吗？
• 正常，一般来讲新人（没有基础的）刚开始时没有 建立起DP思维，即便做了专题，短时间内肯定还 是云里雾里的，导致比赛的时候写不出DP，同时 DP本身就难，大爷们都不一定次次能出DP，更不 要说新人了
必须从上向下转移
如何求解
• 边界条件，特殊处理即可。 • j=1:f[i][ j]=a[i][ j]+f[i-1][ j] • j=i:f[i][ j]=a[i][ j]+f[i-1][ j-1]
代码展示
for(int i=2;i<=n;i++)//初始化边界 f[i][1]=a[i][1]+f[i][1]; for(int i=2;i<=n;i++)//初始化边界 f[i][i]=a[i][i]+f[i][i-1]; for(int i=3;i<=n;i++)
• 转移方程一样，边界条件不同
代码展示
01背包
• 定义状态dp[ j]： • 选的物品总体积<=j的情况下价值和的最大
值 • 转移方程：O(n*V)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-wi]+pi)
代码展示
状态压缩
• 状态压缩是状态维度较多，同时每个维度状 态较少的一类问题，例旅行商问题(tsp)。
中i& (1<<j-1)=1 • N很小
代码展示
LCS
• 一个数列S如果分别是两个已知数列A，B的 子序列，且是所有符合此条件序列中最长 的，则S称为已知序列的最长公共子序列。 求S。
LCS
• 定义状态dp[i][ j]： • 表示考虑A的前i位和B的前j位且最后一位为
B[ j]的最长公共子序列的长度 • 转移方程：O(|A|*|B|)
要点
• 状态定义：如何描述一个子问题？ • 定义要明确。
• 状态转移方程：如何由子问题构造出原问 题的解？
• 边界条件、初始条件 • 递推顺序
总结
• 算法设计
– 状态定义 – 状态转移（递推顺序很重要） – 边界条件、初始条件
• 条件
– 无后效性 – 最优子结构
再搞个数字三角形
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7
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• 从上往下走，每次可以向左下或右下走一 个，直到最下行，问经过数字的和与20 的差绝对值最少是多少？
总结
• 如公式
• 如何看待记忆化
– 避免大量重复计算 – 简洁明了，方便理解 – 递推比较繁琐，或没有明确的依赖顺序（图）
• 假设有一个旅行商人要拜访N个城市，他必 须选择所要走的路径，路径的限制是每个城 市只能拜访一次，要求最短长度。
状态压缩
• 状态dp[i][ j]为访问了城市集合i最后在城市j 的最短长度。i为sum(ak<<k-1)，ak为1表 示城市k已访问，0为未访问。
• 转移方程： • dp[i][ j]=min{dp[i-(1<<j-1)][k]+v[k][ j]},其
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13+？左？右？
• 不说更多，显然在第二行已经迷失方向
如何求解
• 如果利用转移方程求解原问题？
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]) +a[i][j]
• 1、从上向下转移，即i从小到大？ • 2、从下向上转移，即i从大到小？ • 观察转移方程的性质 • 因为第i行的解要由第i-1行的解得到，所以