Copula函数的非参数核密度估计
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的 先 验 分 布 参 数 为 ：η = （10 ，18 ，6 ），τ （0.25 ，0.25 ，0.25 ），h （2.5 ，2.5 ，2.5 ）。 这里取 α=2 ，g=0.2 ，δ=1 。 样 本 容 量 分 别 取 为 n=300 ，n=3000 ，n=10000 ， 给 定 参 数 的 初 值 ω （0） = （0.35 ，0.2 ，0.5 ），μ （0） = （12 ，21 ，7 ），σ2 （0） = （5 ，9 ，2 ）， 迭代次数均取为 8 次 ， 其计算结果见表 1 。
1
常见的 Co p u la 函数
实 际 研 究 中 常 用 到 的 Copula 函 数 有 两 类 ： 一 类 是 椭 圆
值 ， 迭代过程中估计值的波动幅度越来越平稳 。
3
模拟计算 4
下面就正态混合模型 ， 当混合元个数已知 (k=3) 时进行计
结论
混合模型参数 估 计 的 方 法 很 多 , 由 上 面 结 果 可 知 Gibbs
赞 t,v 赞 t) ， 其 中 u 赞 t=F 赞 X(Xt),v 赞 t=F 赞 Y(Yt);F 赞 X(Xt) ， F 赞Y （Xt,Yt) 转 化 为 新 的 序 列 (u (Yt) 分别为 X ，Y 的经验分布函数 。 接着利用 ML 估计 Copula
算机模拟 。 设参数真值为 ω= （0.4 ，0.25 ，0.35 ），μ= （10 ，18 ，6 ），
σ2= （3 ，6 ，1 ）， 参数的先验分布是 ，μj~N （ητ-1）（j=1 ，2 ，3 ），σj |β~ Γ （α ，β ） （j=1 ，2 ，3 ），β ~Γ （g ，h ），ω ~D （δ ）， 由 2.2 ，θ = （μ ，σ2，ω）
际分布连接起来的函数 。 自从 Sklar(1959) 提出 Copula 理论 ，
Copula 函数已经在很多领域得到成功的应用 。 尤其在金融领
域的应用最广泛 ， 很多学者在资产配置 、 信用评分 、 违约风险 建模 、 衍 生 品 定 价 和 风 险 管 理 等 方 面 用 Copula 理 论 做 了 深 入的研究 。 用 Copula 理论分析金融问题时 ， 金融资产收益的 联合分布估计是一个很重要的问题 。 联合分布的估计有参数
赞 =argmaxl(v) 。 时的参数值就是参数的 ML 估计 ， 即 v 2.1.2 边际推断函数法 （IFM ） ML 估计在维数很高时 ， 因为同 时 估 计 边 际 分 布 和 Copula 的参数 ， 计算量很大 ， 所以考虑将边际分布中的参数 与 Copula 中的参数分别估计 。 IFM 方法是两步 最 优 化 方 法 ， 首
无下尾相关性 。 这样 Archimedean Copula 的特性就与金融市 场的牛市 、 熊市或多头 、 空头等市场特征相吻合 ， 所以在金融 领域广泛采用 。 本文就是基于 Archimedean Copula 的这三种 形式进行非参数估计的 。
关 于 参 数 的 估 计 方 法 ，Claudio Romano （2002 ）,Durrle-
方法 ， 半参数方法和非参数方法 。 参数估计方法要求有严格
0
引言 Copula 函 数 是 把 多 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 用 其 一 维 边
的相关结构和分布形状 ， 但是实际问题中分布函数并不总是 知道的 ， 尤其是金融资产的分布经常是时变的 、 不确定的 。 因 此本文考虑应用对边际分布不作具体假设的非参数核密度 估 计技术来估计变量的边际分布 ， 从而找到合适的 Copula 函 数。
CGα(u,v;α)=exp{-[(-lnu)α+(-lnv)α] 1 } α φ （t ）= 1 （t-α-1 ），α∈[-1 ，∞]\{0} α Ccl(u,v;α)=max{(u-α+v-α-1) ,0}
-αt φ （t ）=ln e α -1 ,α∈(-∞,∞)\{0} e -1 -αu -av -1) ) CF(u,v;α)=- 1 ln(1+ (e -1)(e e-α-1 α 1 α
man.V(2000),Bouye(2000) 等 提 出 了 利 用 极 大 似 然 法 ， 边 际 推
断函数 法 和 规 范 最 大 似 然 估 计 法 估 计 Copula 中 的 参 数 。 以 为 (X,Y) 的 T 组观测数据为例 ， 简单介绍一下这三种方法 。
Archimedean Copula 函 数 是 由 连 续 、 严 格 递 减 的 凸 函
由表 1
σ 的估计值 3.1126 5.3881 0.8458 2.8636 5.8649 0.8906 2.9465 6.0834 1.0189
2
可以看出， 在迭代次数 固定时，随 着样本容量 的增加，参 数的估计值 无限接近真
[5] 张香云 . Gibbs 抽样在不同缺失率下的参数估计 [J]. 统计与决策 ， 2008 ，（4 ）.
（ 责任编辑 / 亦
民）
统计与决策 2009 年第 9 期 （ 总第 285 期 ）
29
理 论 新 探
Copula ， 一 类 是 Archimedean Copula 。 椭 圆 Copula 主 要 包 括
正态 Copula 和学生 t-Copula 。 Archimedean Copula 主要包括 参数 ，θx 和 θy 分别是 X 和 Y 的边际密度的参数 ，c 是 Copula 的密度函数 ， 这样得到 ：
数 φ( · · ) ：[0;1]→[0,∞],φ(1)=0 生成的 。 φ( ) 称 为 Copula 的 生 成 函 数 。 二 元 Archimedean Copula 的 生 成 函 数 及 其 常 见 形 式 有：
2.1.1 极大似然法 （ML ）
由 极 大 似 然 思 想 ， 对 公 式 （5 ） 两 边 求 和 得 到 样 本 对 数 似 然函数为
范学院学报 ，2005 ，4 （5 ）.
300
3000
10000
Gibbs 抽样的估计结果 ω 的估计值 μ 的估计值 0.3682 11.0073 0.2163 18.5692 0.3818 6.1089 0.3793 9.9621 0.2351 17.8541 0.3496 5.9874 0.3916 10.0180 0.2468 17.9672 0.3589 6.0003
法 。 参数估计方法要求有严格的相关结构和分布形状 。 所以 通常所见的多变量分布 ， 其边际分布有相同的参数表达式 ， 然而实际上在很多情形 ， 边际分布并不一样 。 以前的经典做 法是把边际变量转化为高斯变量 ， 再度量高斯变量间的相关 性 ， 最后再把高斯变量还原到原来的分布 。 这样就假设了变 量间只能是正态分布假定下的线性相关了 。 然而相关结构并 不总是正态的 。 Copula 函数有灵活的相关结构 。 用 Copula 函 数来构造相关结构非常方便 。 根据 Sklar 定理 ， 可以从任意类 型的分 布 函 数 和 任 意 类 型 的 Copula 函 数 来 构 造 许 多 有 用 的 多元联合分布函数 。 这样用 Copula 理论分析数据模型时 ， 主 要 分 两 步 ：第 一 步 确 定 随 机 向 量 的 边 际 分 布 ，第 二 步 确 定 合 适 的 Copula 函 数 来 描 述 随 机 向 量 的 相 关 结 构 。 Copula 函 数 中的参数大小 ， 决定了相关的程度 。
f(x,y)=cα(Fx(x;θx),FY(y;θy)).fx(x;θx).fY(y;θy)
再对其两边取对数 ， 得 ：
(4) (5)
logL(θx,θy;α)=logcα(FX,FY)+logfx(x;θx)+logfy(y;θy)
现在目的就是要对参数向量进行参数估计 。
Copula 只具 有 下 尾 相 关 性 ，Frank Copula 则 既 无 上 尾 相 关 也
然后利用 ML 估计 Copula 中的参数 ， 即
T
赞 =argmaxΣlnc(Fx(Xt;θ 赞 x),FY(Yt;θ 赞 y);α) α
t = 1
（8 ）
2
Co p u la 函数的参数估计方法
联合分布的估计有参数方法， 半参数方法和非参数方
2.1ห้องสมุดไป่ตู้3 规范极大似然法 (CML)
一般来说 ， 边际分布是未知的 ， 在 ML ，IFM 参数估 计 中 ， 必须对 金 融 资 产 的 边 际 分 布 做 出 假 设 才 能 估 计 Copula 函 数 中的参数 。 而 CML 方法不同 ， 不必对边际分布做出 假 设 ， 利 用经验分布函数作为边际分布函数的估计值 。 做法是首先将
表1 样本容量 n
2
抽 样 方 法 较 为 优 秀 ；由 模 拟 结 果 可 见 ,随 着 迭 代 次 数 的 增 多 , 样本容量的增大 , 参数估计的值将更趋于稳定 。
参考文献 ：
[1]Geman, Geman D. Stochastic Relaxation,Gibbs Distribution and the Bayesian Restoration of Images [J].IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1984, （6 ）. [2]Tanner M A, Wong W H. The Calculation of Posterior Distributions by Data Augmentation (with Discussion) [J].Journal of the American statistical Association,1987,(82). [3]Gelfand A Smith A. Sampling based Approaches to Calculating Marginal Densities [J].Journal of the American Statistical Association,1990, 85. [4] 张香云 ， 汪四水 . 基于 EM 算法的高斯混合密度参数估计 [J]. 杭州师
理 论 新 探
Copula 函数的非参数核密度估计
赵丽琴 ，籍艳丽
（ 厦门大学 经济学院 ， 福建 厦门 361005 ）
摘
要 ：Copula 函数包含了变量的边际分布和变量间的相关结构两方面的信息 。 用 Copula 函数
可以很灵活地构造相关结构和边际分布不同的联合分布函数 。 Archimedean Copula 函数在金融市场 分析中很有用 。 在用 Copula 理论建模的过程中有一个很重要的环节是参数估计 。 文章采用对边际分 布不作具体假设的非参数核密度方法来估计 Archimedean Copula 的参数，并用实证说明方法的有效性。 关键词 ：Copula 函数 ；Archimedean Copula ； 核密度 中图分类号 ：F224.7 文献标识码 ：A 文章编号 ：1002－6487 （2009 ）09-0029-04
先利用 ML 估计边际分布的参数 θx，θy， 得到
T T
② Clayton Copula
（2 ）
③ Frank Copula
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
赞 x=argmaxΣlnfx(Xt;θx),θ 赞 y=argmaxΣlnfY(Yt;θy) θ
t = 1 t = 1
（7 ）
（3 ）
T T T
① Gumbel Copula
l(v)=Σlnc(FX(Xt;θx),FY(Yt;θy);α)+Σlnfx(Xt;θx)+ΣlnfY(Yt;θy) （6 ）
t = 1 t = 1 t = 1
∈
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
φ （t ）=(-lnt)α,α∈[1,∞)
（1 ）
式 （6 ） 两 边 分 别 对 相 应 的 参 数 求 导 得 到 使 l(v) 达 到 最 大
Gumbel Copula ，Clayton Copula 和 Frank Copula 等 。 Valdo Durrleman 等 对 Archimedean Copula 函 数 做 了 较 好 的 总 结 ，
指 出 Gumbel Copula 函 数 通 常 只 具 有 上 尾 相 关 性 ，Clayton
1
常见的 Co p u la 函数
实 际 研 究 中 常 用 到 的 Copula 函 数 有 两 类 ： 一 类 是 椭 圆
值 ， 迭代过程中估计值的波动幅度越来越平稳 。
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模拟计算 4
下面就正态混合模型 ， 当混合元个数已知 (k=3) 时进行计
结论
混合模型参数 估 计 的 方 法 很 多 , 由 上 面 结 果 可 知 Gibbs
赞 t,v 赞 t) ， 其 中 u 赞 t=F 赞 X(Xt),v 赞 t=F 赞 Y(Yt);F 赞 X(Xt) ， F 赞Y （Xt,Yt) 转 化 为 新 的 序 列 (u (Yt) 分别为 X ，Y 的经验分布函数 。 接着利用 ML 估计 Copula
算机模拟 。 设参数真值为 ω= （0.4 ，0.25 ，0.35 ），μ= （10 ，18 ，6 ），
σ2= （3 ，6 ，1 ）， 参数的先验分布是 ，μj~N （ητ-1）（j=1 ，2 ，3 ），σj |β~ Γ （α ，β ） （j=1 ，2 ，3 ），β ~Γ （g ，h ），ω ~D （δ ）， 由 2.2 ，θ = （μ ，σ2，ω）
际分布连接起来的函数 。 自从 Sklar(1959) 提出 Copula 理论 ，
Copula 函数已经在很多领域得到成功的应用 。 尤其在金融领
域的应用最广泛 ， 很多学者在资产配置 、 信用评分 、 违约风险 建模 、 衍 生 品 定 价 和 风 险 管 理 等 方 面 用 Copula 理 论 做 了 深 入的研究 。 用 Copula 理论分析金融问题时 ， 金融资产收益的 联合分布估计是一个很重要的问题 。 联合分布的估计有参数
赞 =argmaxl(v) 。 时的参数值就是参数的 ML 估计 ， 即 v 2.1.2 边际推断函数法 （IFM ） ML 估计在维数很高时 ， 因为同 时 估 计 边 际 分 布 和 Copula 的参数 ， 计算量很大 ， 所以考虑将边际分布中的参数 与 Copula 中的参数分别估计 。 IFM 方法是两步 最 优 化 方 法 ， 首
无下尾相关性 。 这样 Archimedean Copula 的特性就与金融市 场的牛市 、 熊市或多头 、 空头等市场特征相吻合 ， 所以在金融 领域广泛采用 。 本文就是基于 Archimedean Copula 的这三种 形式进行非参数估计的 。
关 于 参 数 的 估 计 方 法 ，Claudio Romano （2002 ）,Durrle-
方法 ， 半参数方法和非参数方法 。 参数估计方法要求有严格
0
引言 Copula 函 数 是 把 多 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 用 其 一 维 边
的相关结构和分布形状 ， 但是实际问题中分布函数并不总是 知道的 ， 尤其是金融资产的分布经常是时变的 、 不确定的 。 因 此本文考虑应用对边际分布不作具体假设的非参数核密度 估 计技术来估计变量的边际分布 ， 从而找到合适的 Copula 函 数。
CGα(u,v;α)=exp{-[(-lnu)α+(-lnv)α] 1 } α φ （t ）= 1 （t-α-1 ），α∈[-1 ，∞]\{0} α Ccl(u,v;α)=max{(u-α+v-α-1) ,0}
-αt φ （t ）=ln e α -1 ,α∈(-∞,∞)\{0} e -1 -αu -av -1) ) CF(u,v;α)=- 1 ln(1+ (e -1)(e e-α-1 α 1 α
man.V(2000),Bouye(2000) 等 提 出 了 利 用 极 大 似 然 法 ， 边 际 推
断函数 法 和 规 范 最 大 似 然 估 计 法 估 计 Copula 中 的 参 数 。 以 为 (X,Y) 的 T 组观测数据为例 ， 简单介绍一下这三种方法 。
Archimedean Copula 函 数 是 由 连 续 、 严 格 递 减 的 凸 函
由表 1
σ 的估计值 3.1126 5.3881 0.8458 2.8636 5.8649 0.8906 2.9465 6.0834 1.0189
2
可以看出， 在迭代次数 固定时，随 着样本容量 的增加，参 数的估计值 无限接近真
[5] 张香云 . Gibbs 抽样在不同缺失率下的参数估计 [J]. 统计与决策 ， 2008 ，（4 ）.
（ 责任编辑 / 亦
民）
统计与决策 2009 年第 9 期 （ 总第 285 期 ）
29
理 论 新 探
Copula ， 一 类 是 Archimedean Copula 。 椭 圆 Copula 主 要 包 括
正态 Copula 和学生 t-Copula 。 Archimedean Copula 主要包括 参数 ，θx 和 θy 分别是 X 和 Y 的边际密度的参数 ，c 是 Copula 的密度函数 ， 这样得到 ：
数 φ( · · ) ：[0;1]→[0,∞],φ(1)=0 生成的 。 φ( ) 称 为 Copula 的 生 成 函 数 。 二 元 Archimedean Copula 的 生 成 函 数 及 其 常 见 形 式 有：
2.1.1 极大似然法 （ML ）
由 极 大 似 然 思 想 ， 对 公 式 （5 ） 两 边 求 和 得 到 样 本 对 数 似 然函数为
范学院学报 ，2005 ，4 （5 ）.
300
3000
10000
Gibbs 抽样的估计结果 ω 的估计值 μ 的估计值 0.3682 11.0073 0.2163 18.5692 0.3818 6.1089 0.3793 9.9621 0.2351 17.8541 0.3496 5.9874 0.3916 10.0180 0.2468 17.9672 0.3589 6.0003
法 。 参数估计方法要求有严格的相关结构和分布形状 。 所以 通常所见的多变量分布 ， 其边际分布有相同的参数表达式 ， 然而实际上在很多情形 ， 边际分布并不一样 。 以前的经典做 法是把边际变量转化为高斯变量 ， 再度量高斯变量间的相关 性 ， 最后再把高斯变量还原到原来的分布 。 这样就假设了变 量间只能是正态分布假定下的线性相关了 。 然而相关结构并 不总是正态的 。 Copula 函数有灵活的相关结构 。 用 Copula 函 数来构造相关结构非常方便 。 根据 Sklar 定理 ， 可以从任意类 型的分 布 函 数 和 任 意 类 型 的 Copula 函 数 来 构 造 许 多 有 用 的 多元联合分布函数 。 这样用 Copula 理论分析数据模型时 ， 主 要 分 两 步 ：第 一 步 确 定 随 机 向 量 的 边 际 分 布 ，第 二 步 确 定 合 适 的 Copula 函 数 来 描 述 随 机 向 量 的 相 关 结 构 。 Copula 函 数 中的参数大小 ， 决定了相关的程度 。
f(x,y)=cα(Fx(x;θx),FY(y;θy)).fx(x;θx).fY(y;θy)
再对其两边取对数 ， 得 ：
(4) (5)
logL(θx,θy;α)=logcα(FX,FY)+logfx(x;θx)+logfy(y;θy)
现在目的就是要对参数向量进行参数估计 。
Copula 只具 有 下 尾 相 关 性 ，Frank Copula 则 既 无 上 尾 相 关 也
然后利用 ML 估计 Copula 中的参数 ， 即
T
赞 =argmaxΣlnc(Fx(Xt;θ 赞 x),FY(Yt;θ 赞 y);α) α
t = 1
（8 ）
2
Co p u la 函数的参数估计方法
联合分布的估计有参数方法， 半参数方法和非参数方
2.1ห้องสมุดไป่ตู้3 规范极大似然法 (CML)
一般来说 ， 边际分布是未知的 ， 在 ML ，IFM 参数估 计 中 ， 必须对 金 融 资 产 的 边 际 分 布 做 出 假 设 才 能 估 计 Copula 函 数 中的参数 。 而 CML 方法不同 ， 不必对边际分布做出 假 设 ， 利 用经验分布函数作为边际分布函数的估计值 。 做法是首先将
表1 样本容量 n
2
抽 样 方 法 较 为 优 秀 ；由 模 拟 结 果 可 见 ,随 着 迭 代 次 数 的 增 多 , 样本容量的增大 , 参数估计的值将更趋于稳定 。
参考文献 ：
[1]Geman, Geman D. Stochastic Relaxation,Gibbs Distribution and the Bayesian Restoration of Images [J].IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1984, （6 ）. [2]Tanner M A, Wong W H. The Calculation of Posterior Distributions by Data Augmentation (with Discussion) [J].Journal of the American statistical Association,1987,(82). [3]Gelfand A Smith A. Sampling based Approaches to Calculating Marginal Densities [J].Journal of the American Statistical Association,1990, 85. [4] 张香云 ， 汪四水 . 基于 EM 算法的高斯混合密度参数估计 [J]. 杭州师
理 论 新 探
Copula 函数的非参数核密度估计
赵丽琴 ，籍艳丽
（ 厦门大学 经济学院 ， 福建 厦门 361005 ）
摘
要 ：Copula 函数包含了变量的边际分布和变量间的相关结构两方面的信息 。 用 Copula 函数
可以很灵活地构造相关结构和边际分布不同的联合分布函数 。 Archimedean Copula 函数在金融市场 分析中很有用 。 在用 Copula 理论建模的过程中有一个很重要的环节是参数估计 。 文章采用对边际分 布不作具体假设的非参数核密度方法来估计 Archimedean Copula 的参数，并用实证说明方法的有效性。 关键词 ：Copula 函数 ；Archimedean Copula ； 核密度 中图分类号 ：F224.7 文献标识码 ：A 文章编号 ：1002－6487 （2009 ）09-0029-04
先利用 ML 估计边际分布的参数 θx，θy， 得到
T T
② Clayton Copula
（2 ）
③ Frank Copula
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
赞 x=argmaxΣlnfx(Xt;θx),θ 赞 y=argmaxΣlnfY(Yt;θy) θ
t = 1 t = 1
（7 ）
（3 ）
T T T
① Gumbel Copula
l(v)=Σlnc(FX(Xt;θx),FY(Yt;θy);α)+Σlnfx(Xt;θx)+ΣlnfY(Yt;θy) （6 ）
t = 1 t = 1 t = 1
∈
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
φ （t ）=(-lnt)α,α∈[1,∞)
（1 ）
式 （6 ） 两 边 分 别 对 相 应 的 参 数 求 导 得 到 使 l(v) 达 到 最 大
Gumbel Copula ，Clayton Copula 和 Frank Copula 等 。 Valdo Durrleman 等 对 Archimedean Copula 函 数 做 了 较 好 的 总 结 ，
指 出 Gumbel Copula 函 数 通 常 只 具 有 上 尾 相 关 性 ，Clayton