初三数学一元二次函数几何变换及应用

二次函数几何变换及应用中考要求重难点1．能从函数图像上认识函数的性质；2．会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；3．.能用二次函数解决简单的实际问题．例题精讲模块一.二次函数的几何变换二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【例1】 函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．【难度】3星【解析】考察函数的对称性．【答案】x 轴；原点旋转180°．2y x =与2y x =-关于x 轴对称，也可以看成是2y x =-绕原点旋转180°得到2y x =．【例2】 已知二次函数221y x x =--，求：（1）关于x 轴对称的二次函数解析式；（2）关于y 轴对称的二次函数解析式；（3）关于原点对称的二次函数解析式．【难度】3星【解析】二次函数图象的几何变换【答案】二次函数解析式转化为顶点式为()212y x =--，顶点坐标为()12-，，关于x 轴对称后顶点坐标为()12，，开口大小不变，方向该变，则对称后的解析式是()212y x =--+，即221y x x =-++；关于y 轴对称后顶点坐标为()12--，，开口大小和方向不变，则对称后的解析式是()212y x =+-，即221y x x =+-；关于原点对称后顶点坐标为()12-，，开口大小不变，方向改变，则对称后的解析式是()212y x =-++，即221x x --+．【例3】 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++【难度】3星 【解析】略 【答案】C【例4】 已知抛物线265y x x =-+，求⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式； ⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式； ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．【难度】3星 【解析】略【答案】⑴265y x x =++；⑵ 265y x x =-+-；⑶265y x x =---．【例5】 设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C 关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．【难度】4星【解析】C 先关于y 轴对称，再关于x 轴对称，相当于将C 关于原点对称得到2C ，则2C 的解析式2y ax bx c =-+-．【答案】2y ax bx c =-+-【例6】 已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1C ．⑴ 求1C 关于点()10R ，中心对称的图象2C 的解析式； ⑵ 设曲线1C 、2C 与y 轴的交点分别为,A B ，当18AB =时，求a 的值．【难度】5星【解析】⑴ 设1C 上任意一点为11(,)x y ，2C 上关于()10R ，中心对称的点为22()x y ，，则有1212121212202x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩ 由点11(,)x y 在2441y ax ax a =++-的图象上可知，2111441y ax ax a =++-，即 ()()222224241y a x a x a -=-+-+-．即()()222224214y a x a x a =--+-+-．故图象2C 的解析式为：()()22242148116y a x a x a ax ax a =--+-+-=-++-． ⑵ 令2441y ax ax a =++-中0x =，可得41y a =-，故()041A a -，； 令28116y ax ax a =-++-中0x =，可得116y a =-，故()0116B a -，． 又18AB =，故202181a a -=⇒=或45a =-．【答案】（1）28116y ax ax a =-++-；（2）1a =或45a =-．模块二 二次函数的最值及其应用【例7】 已知二次函数22222()y x a b x a b =-+++，,a b 为常数，当y 达到最小值时，x 的值为（ ）A ．a b +B ．2a b + C ．2ab - D ．2a b- 【难度】3星【解析】考察二次函数极值问题．【答案】B ．当函数去最值时的x 值，就是对称轴对应的x 值，所以2a bx +=．【例8】 已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________．【难度】3星【解析】考察函数图像与系数之间的关系． 【答案】因为函数图像开口向上，所以()20m ->，又因为顶点在第三象限，所以函数对称轴在y 轴左侧，所以20m >；因为函数图像又与y 轴的负半轴相交，所以()30m --<．综上所述可得()202200330m m m m m m ⎧->>⎧⎪⎪>⇒>⎨⎨⎪⎪<--<⎩⎩∴23m <<【例9】 分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值：⑴x 取任意实数；⑵当20x -≤≤时；⑶当13x ≤≤时；⑷当12x -≤≤时．【难度】4星【解析】二次函数的图象及性质【答案】⑴2317248y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∴当34x =时，函数的最大值为178，无最小值；⑵ ∵34x =在20x -≤≤右侧，∴当0x =时，函数取得最大值1；当2x =-时，函数取得最小值13-； ⑶ ∵34x =在15x ≤≤左侧，∴当1x =时，函数取得最大值2；当3x =时，函数取得最小值8-； ⑷ ∵3124-≤≤，且331244-->-，∴当34x =时，函数取得最大值178；当1x =-时，函数取得最小值4-．【例10】 如图1，在矩形矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则ABC ∆的面积是 ( ) A ．10 B ．16 C ．18D ．20C DBAP【难度】3星【解析】由图象知矩形ABCD 中，5AB CD ==，宽4BC AD ==，所以ABC ∆的面积为145102⨯⨯=．【答案】A【例11】 如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b ∥，Rt GEF ∆从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF ∆与矩形ABCD 重．合部分．．．的面积()S 随时间()t 变化的图象大致是 （ ） FE GA BCDABCD【难度】3星 【解析】略 【答案】B【例12】 已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大。

【难度】4星【解析】二次函数的应用【答案】（1）图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（）（＞），函数图象如图所示．由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果． （3）解法一：设当日零售价为x 元，销售量为p ，由图可得日最高销量p 32040x =- 当p ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040x)40[(6)4]y x x =--=--+当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元． 解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040xp -= 销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+ 当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6kg ）即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．【答案】（1）120y x =-+；（2）W2(90)900x =--+，∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）销售单价x 的范围是7087x ≤≤．【例13】 某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：（1（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）．5.831 5.9166.083 6.164）【难度】4星【解析】二次函数的应用【答案】（1）p =0.1x +3.8 月销售金额w =py =-5(x -7)2+10125故7月销售金额最大，最大值是10125万元（2）列方程得 2000（1-m %）[5(1-1.5 m %)+1.5]×3×13%=936 化简得：3m 2-560m +21200=0解得 m 1 m 2因为m 1＞1舍去，所以m =52.78≈52.8【例14】 某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m ，抛物线拱高为5.6m ．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．（2）现需在抛物线AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB 上，每扇窗户宽1.5m ，高1.6m ，相邻窗户之间的间距均为0.8m ，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m ．请计算最多可安装几扇这样的窗户？【难度】4星【解析】二次函数的应用【答案】（1）设抛物线的表达式为2y ax = 点(6 5.6)B -，在抛物线的图象上．∴ 5.636a -=，745a =-∴抛物线的表达式为2745y x =- （2）设窗户上边所在直线交抛物线于C 、D 两点，D 点坐标为（k ，t ）已知窗户高1.6m ，∴ 5.6( 1.6)4t =---=-27445k --=125.07 5.07k k -≈，≈（舍去）∴ 5.07210.14CD =⨯≈（m ） 又设最多可安装n 扇窗户 ∴1.50.8(1)10.14n n ++≤4.06n ≤．答：最多可安装4扇窗户．（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）【例15】 张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米． （1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），当2bx a=-时）【考点】二次函数的应用【难度】3星 【题型】解答【关键词】2009年，哈尔滨【解析】由题意得()322S AB BC x x =⋅=-∴223S x x =-+ 由20a =-< ∴()328222b x a =-=-=⨯- 241284ac b S a-==最大值∴8x =时，S 有最大值是128课后作业1． 对于任意两个二次函数：()2211112222120y a x b x c y a x b x c a a =++=++≠，，当12a a =时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM ∆，()()1010A B -，，，，记过三点的二次函数抛物线为“C”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．⑴ 若已知()01M ，，ABM ABN ∆∆≌（图1），请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线；⑵ 在图2中，以A B M 、、三点为顶点，画出平行四边形．① 若已知()0M n ，，求抛物线ABM C 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线解析式．② 若已知()M m n ，，当m n 、满足什么条件时，存在抛物线ABM C ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C”；若不存在，请说明理由．【难度】5星【解析】二次函数图象的几何变换【答案】⑴ 设抛物线ABM C 的解析式为2y ax bx c =++． ∵抛物线ABMC 过点()()()101001A B M -，，，，，得001a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，解得101a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线ABM C 的解析式为21y x =-+．同理可得抛物线ABN C 的解析式为21y x =-． ∵11-=，∴ABM C 与ABN C 是全等抛物线．⑵ ①设抛物线ABM C 的解析式为2y ax bx c =++． 抛物线ABMC 过点()()()10100A B M n -，，，，，，∴00a b c a b c n c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，解得0a n b c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线ABM C 的解析式为2y nx n =-+．由A B M 、、三点可知，平行四边形的第四个顶点坐标可能是()()()220n n n --，，，，，则经过平行四边形的三个顶点，且与ABM C 全等的抛物线解析式为2y nx n =-，()21y n x =+，()21y n x =-．②当1m ≠±且0n ≠时存在抛物线ABM C ．在该前提下，存在过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线．如图，它们分别是AEM BFM ABN C C C ，，．2． 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围． 【难度】4星【解析】二次函数的应用 【答案】(1)根据题意得65557545.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1120k b =-=，，所求一次函数的表达式为120y x =-+．（2）(60)(120)W x x =--+ 21807200x x =-+-2(90)900x =--+ 抛物线的开口向下，∴当90x <时，W 随x 的增大而增大， 而6087x ≤≤，∴当87x =时，2(8790)900891W =--+=．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由500W =，得25001807200x x =-+-，11 整理得，218077000x x -+=，解得，1270110x x ==，．（由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而6087x ≤≤，所以，销售单价x 的范围是7087x ≤≤．3． 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米. 现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD - DC- CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？【难度】4星【解析】二次函数的应用【答案】 (1) M (12，0)，P (6，6).(2) 设抛物线解析式为：2(6)6y a x =-+.∵抛物线2(6)6y a x =-+经过点(0，0)，∴20(06)6a =-+，即16a =- ∴抛物线解析式为：2211(6)6,266y x y x x =--+=-+即 . (3) 设A (m ，0)，则B (12-m ，0)，21(12,2)6C m m m --+，21(,2)6D m m m -+. ∴“支撑架”总长AD+DC+CB =2211(2)(122)(2)66m m m m m -++-+-+ =2211212(3)1533m m m -++=--+. ∵ 此二次函数的图象开口向下.∴ 当m = 3米时，AD+DC+CB 有最大值为15米.。