数值运算的误差分析(精)
1-2数值计算的误差
3. 截断误差
当得不到数学模型的精确解时，要用 数值计算方法求它的近似解，由此产生 的误差称为截断误差或方法误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差) /* Truncation Error */
例如：在微积分中sinx可展开成
"Hmm," says the physicist, "You mean that some Scottish sheep are black." "No," says the mathematician, "All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black!"
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 )
e( x1 ) e( x2 ) er ( x1 x2 ) x1 x2
r ( x1 x2 )
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
和的误差(限)等于误差(限)之和
(2)减法运算：
( x x ) ( x x ) 1 2 1 2 e( x1 x2 ) e( x1 ) e ( 差来源的分类 数 二、误差分析的重要性 值 三、绝对误差 计 算 四、相对误差 的 五、有效数字 误 六、数值运算的误差传播 差
1.观测误差
通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */
注：通常根据测量工具的精度，可以知
数值计算中的误差估计与分析
数值计算中的误差估计与分析在数值计算中，误差是无法避免的。
无论是数值积分、求根、线性方程组求解还是常微分方程求解，我们都需要对误差进行估计与分析，以保证结果的可靠性。
1.舍入误差：计算机中数字的存储精度是有限的，常用的浮点数表示法只能表示有限位数的小数。
当进行计算时，由于舍入操作会使结果产生一定的误差。
舍入误差是由于浮点数计算机表示能力造成的，它依赖于计算机所采用的机器数系统。
2.截断误差：在数值计算方法中，我们通常会使用有限项的级数展开式或多项式插值来近似解析解。
但由于展开或插值时的截断限制，会导致结果与真实结果之间的误差。
3.近似误差：数值计算方法本身就是在对问题进行近似求解，所以解的精确性受到近似精度的限制。
比如，对于数值积分来说，选择积分点的个数、插值多项式的次数都会影响结果的准确性。
4.舍入误差传播：在多步计算的过程中，每一步的舍入误差都会传播到下一步计算中，进而影响最终结果。
舍入误差的传播是一个累积效应，有时即使每一步舍入误差非常小，但在多步计算的累加下，也会导致结果产生很大的误差。
二、误差估计方法1.精度估计：对于一些数值方法，可以通过理论分析推导出误差的范围。
例如，对于数值积分，可以通过误差估计公式进行分析。
这种方法需要对问题进行数学建模，并具备一定的数学推导能力。
2.实验估计：对于一些复杂问题，很难通过理论分析得到精确的误差范围。
此时可以通过实验的方式来估计误差。
实验方法可以是计算机模拟实验，也可以是通过比较数值方法与解析解的差异来估计误差。
3.改进方法：除了估计误差大小，我们还可以通过改进数值方法来减小误差。
比如，可以采用更高阶的数值积分公式、使用更精确的数值微分方法等。
这些改进方法在一定程度上可以提高数值计算的准确性，并减小误差。
三、误差分析策略1.迭代策略：很多数值方法都是通过迭代来逐步逼近真实解的。
在迭代过程中，我们可以通过观察迭代序列的变化情况来判断结果是否趋近真实解，以及误差的变化是否在可接受范围内。
数值分析误差
I k −1
11 ( k = n, n − 1,…,2,1) = − Ik 5k
(1 − 3)
依式（ 依式（1-3）计算
* 0
的近似值。 I n −1 , I n − 2 ,…, I 1 , I o 的近似值。
* 14
1 1 1 分别取 I = 0.18232155， I = + ≈ 0.01222222 2 6 × 15 5 × 15 按算法1、算法 2的计算结果见下屏表 1 − 1：
逆向递推公式在数学上完全等价，却导致两种完全不同的 逆向递推公式在数学上完全等价， 算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，可以一 算法。对于实数序列的递推由于初始误差的存在，
种方向的递推会使误差扩大， 种方向的递推会使误差扩大，而另一方向的递推会使得误 差逐步减小。在设计（选用） 差逐步减小。在设计（选用）算法时要用使初始误差不增 长的算法。 长的算法。
1 3 1 5 作近似计算， 取 S = x − x + x ，作近似计算，则 3! 5! 为其截断误差。 为其截断误差。
R = sin x − S
条 件 问 题
计算方法中有一类问题称为条件问题， 公式） 条件问题是一个算法 （公式）由于初始 数据或者中间某些数据微小摄动对计算结 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 观测误差都属初始数据的摄动。研究坏条 观测误差都属初始数据的摄动。 件问题的计算方法是十分重要的课题， 件问题的计算方法是十分重要的课题，有 的时候，一些问题的条件并不坏， 的时候，一些问题的条件并不坏，但由于 算法不恰当， 算法不恰当，初始数据的微小摄动或舍入 误差在计算过程中不断被放大，而可能导 误差在计算过程中不断被放大， 致计算结果的精度大大降低， 致计算结果的精度大大降低，甚至使计算 失去意义。
误差分析与数值计算的基本方法
误差分析与数值计算的基本方法在日常生活中，我们不断地进行着数值计算，比如计算家庭的开销、工作中的数据分析等。
然而，在数值计算中，我们经常会遇到误差的问题。
误差不仅会影响计算结果的准确性，还可能导致实际应用中的误判或失败。
因此，正确的误差分析和数值计算方法具有非常重要的意义。
本文将从几个方面来介绍误差分析和数值计算的基本方法。
误差的类型误差是指实际值与真实值之间的差异，而误差可以分为绝对误差和相对误差。
绝对误差是指实际值与真实值之间的差异，通常以绝对值来表示。
相对误差是指绝对误差与真实值之比的绝对值，通常以百分数的形式来表示。
在计算机数值计算中，由于计算机内部表示数字的方式是有限制的，因此还会出现舍入误差。
所谓舍入误差，就是因为数字的位数限制而被截掉的数值，造成的误差。
误差的来源在数值计算中，误差来自多个方面，如输入数据、计算过程、输出结果等。
不同来源的误差，可能导致误差类型不同，进而影响正确性和可靠性。
输入数据的误差是指在实际输入数据时可能出现的误差，包括仪器误差、测量误差、观测误差等。
这些误差通常是由于工具或人的精度不同而产生的。
计算过程的误差是指计算中可能发生的误差，包括算法误差、步长误差、舍入误差等。
由于计算机的运算只有0和1两种状态，因此可能出现舍入误差。
输出结果的误差是指计算结果与最终目标之间的差异，包括截断误差、舍入误差等。
输出结果误差可能会影响后续的数值计算和实际结果的可靠性。
误差的刻画和控制误差的刻画和控制是数值计算中非常重要的内容，它们决定了数值计算的正确性和可靠性。
误差的刻画包括误差界的估计和误差分布的描述。
误差界是指计算结果可能存在的误差上限和下限，误差分布是指误差可能呈现的分布状态。
通过误差界和误差分布，我们可以判断计算结果的可靠性，制定正确的数值计算策略。
误差的控制包括提高输入数据的准确性、选择适当的算法和参数、严格的校验和测试、合适的舍入方式等方法。
通过合适的误差控制方法，我们可以提高数值计算的正确性和稳定性。
数值计算中的误差
∴ n=3
r*=1/2x1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=17%
1.3.4 有效数字与相对误差
例8 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相
对误差限
解：已知 n=2 代入公式 r*=1/2x1 10-(n-1)得
r*=1/2x1 10-1
x*的第一位有效数字x1没有给出，可进行如下 讨论：当
e(x* ) x x* dx
er (x* )
e* x
x x* x
dx x
d ln x
1.4.2 算术运算误差
由d( x±y)=dx±dy 可得两数之和(差）的
误差等于两数的误差之和（差）；
由 d ln(x y) d ln x d ln y 可得两数之积
的相对误差等于两数的相对误差之和；
定义1.2 设存在一个正数，使
e* x x* *
则称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。
1.3 误差的度量
例1 设x ==3.1415926… 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6…，有 x-x*=0.0015926… 0.002=0.210-2
一般情况，当f(x)≈f(x*)时，可用泰勒展开 f (x) f (x* ) f (x* )(x x* ) f (x) (x x* )2
由
d
ln
x y
d
ln
x
d
ln
y
可得两数商的相
对误差可看作是被除数与除数的相对误差之差
。
例12 正方形的边长约为100cm,怎样测量才能使其 面积误差不超过1cm2 ?
数值运算的误差估计四则运算的证明
数值运算的误差估计四则运算的证明数值运算的误差估计是指在进行四则运算（加法、减法、乘法、除法）时，由于计算机在表示和处理实数时存在有限精度的问题，导致结果可能与实际值之间存在一定的差距。
这种差距即为误差，我们需要对误差进行估计，以保证计算结果的准确性和可靠性。
在进行数值运算时，计算机使用有限的位数来表示实数，例如使用二进制的浮点数表示法。
然而，无论使用何种表示方法，都无法完全准确地表示无限的实数集合。
这就意味着，在计算机中进行的数值运算实际上是对实数的一个近似计算。
我们来看加法和减法运算的误差估计。
在进行加法运算时，如果两个数的绝对值差距很大，那么较小的数在计算机中可能被舍入为零，从而引入了较大的误差。
而在进行减法运算时，由于计算机的有限精度，可能会出现两个非常接近的数相减时的大误差。
在实际应用中，我们可以通过控制计算顺序以及合理的舍入规则来减小这些误差。
接下来，我们来看乘法和除法运算的误差估计。
在进行乘法运算时，如果两个数的绝对值都很大，那么结果的绝对值可能会超出计算机的表示范围，从而导致溢出。
而在进行除法运算时，如果除数接近于零，那么结果可能会变得非常大，也可能会变得非常小，这就会引入较大的误差。
因此，在进行乘法和除法运算时，我们需要特别注意数值的范围和精度，避免产生不可预测的结果。
为了更好地估计数值运算的误差，我们可以借助一些数值分析的方法。
其中一种常用的方法是舍入误差分析。
舍入误差是由于将无限精度的实数舍入为有限精度的实数而引入的误差。
通过分析舍入误差的上界和下界，我们可以得到对数值运算结果的误差估计。
另外，我们还可以使用数值稳定性分析来评估数值算法的稳定性和可靠性。
数值稳定性是指在输入数据存在扰动的情况下，算法的输出结果是否能够保持稳定。
如果算法具有较好的数值稳定性，那么它在进行数值运算时产生的误差就相对较小。
总结起来，数值运算的误差估计是保证计算结果准确性和可靠性的重要手段。
在进行四则运算时，我们需要注意加法、减法、乘法和除法运算可能引入的误差，并采取相应的措施来减小误差。
数值计算中的插值方法与误差分析
数值计算中的插值方法与误差分析数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。
在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。
插值方法就是为了解决这个问题而设计的。
插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
下面我们将重点介绍这两种方法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。
它是基于拉格朗日多项式的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i（2）计算未知点x对应的函数值y：y = L(x)拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。
然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常见的插值方法。
它是基于差商的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）计算差商：f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1（3）计算未知点x对应的函数值y：y = N(x)牛顿插值法的优点是适用范围广，可以方便地添加新的数据点进行插值。
乘除运算中的误差分析
三、乘除运算中的误差分析前面我们提到过，“乘除运算”当中我们应该考虑“相对误差”，而这是我们误差分析最为重要的内容。
那么，如果相乘或者相除的两个数分别发生一定程度的近似，它们的乘积或者商又会发生什么样的变化呢？我们首先先给出两个重要的结论：1.两个数相乘，那么这两个数的相对误差之和，近似为总体的相对误差；2.两个数相除，那么这两个数的相对误差之差，近似为总体的相对误差。
我们先举两个相乘的例子：注：上面分析的所有误差指的都是“相对误差”，因为只有“相对误差”才能在乘除运算当中保持近似的加减关系。
四、近似误差与选项差异通过上面的分析我们知道，近似的计算会产生一定的误差，那么这种误差会不会对最后结果的判定产生影响呢？这就取决于近似误差（“近似误差”指的是数字近似后产生的相对误差，在与“选项差异”进行大小比较时，指其绝对值）与选项差异之间的相对关系了，通俗的讲就是：选项差别大，估算可大胆；选项差别小，估算需谨慎。
但我们需要的不仅仅是这样一句定性的描述，我们更加需要的是定量的结论。
首先，我们对两个数字之间的“相对差异”进行一个定义：我们以两个数字当中较大的数字为真实值，较小的数字为估算值，这样计算得到的“相对误差”的绝对值，我们称之为这两个数字之间的“相对差异”。
譬如“4”和“5”，我们以5为真实值，以4为估算值，得到的“相对误差”为“-20%”，那么我们就说“4和5之间的相对差异为20%”。
再譬如说，9和12之间的相对差异为25%，15和18之间的相对差异为16.7%等等。
然后，我们对“选项差异”进行一个定义：所谓“选项差异”，是指四个选项中任意两个数值之间的“相对差异”的最小值。
具体操作时，我们仅需要考虑相邻数字之间（是指大小相邻，非而位置相邻）的相对差异即可。
我们看下面这样的选项设置：A.20B.24C.28D.32我们考虑相邻数字之间的相对差异：20与24之间的相对差异为16.7%，24与28之间的相对差异为14.3%，28与32之间的相对差异为12.5%。
数值计算的误差
误差举例
∫ 例：近似计算 1 e − x2 dx 0 解：将 e−x2 作Taylor展开后再积分
∫ ∫ 1 e−x2 dx =
1
(1 −
x2
+
x4
−
x6
+
x8
−
) dx
0
0
2 ! 3! 4!
=1− 1 + 1 ×1 − 1 × 1 + 1 ×1 − 3 2! 5 3! 7 4! 9
∫ 取
er* =
x* - x x
为近似值 x* 的 相对误差。
由于精确值难以求出，通常也采用下面的定义
x* - x
er* = x*
若存在正数 εr*，使得 |er*| ≤ εr*，则称 εr*为 相对误差限
近似值的精确程度取决于 相对误差 的大小 实际计算中我们所能得到的是 绝对误差限 或 相对误差限
8
有效数字
定义：若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单位，且该位到 x* 的第一位非零数字共有 n 位，则称 x* 有 n 位有效数字。
例：π = 3.14159265 ··· ，近似值
x1 = 3.1415，x2 = 3.1416
问：x1, x2 分别有几位有效数字？
（4, 5）
例：根据四舍五入原则写出下列各数的具有 5 位有效数字的近似值： 187.9325，0.03785551，8.000033
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量和实验得到模型中的各种数据 —— 观测误差 数学模型的数值求解 —— 截断误差（方法误差） 机器字长有限 —— 舍入误差
在数值分析中，我们总假定数学模型是准确的，因而不考虑模
数值计算中的误差课件
截断误差
01
02
03
04
截断误差是由于对无限循环小 数或无穷级数进行截断而产生
的误差。
当我们使用有限项来近似表示 一个无限循环小数或无穷级数
时，就会产生截断误差。
截断误差的特点是它是一个无 界误差，可能会随着近似项的 增加而逐渐减小，但永远不会
VS
结论
根据误差分析报告，得出关于模型准确性 的结论。例如，如果误差分析结果表明模 型预测结果不够准确，那么需要进一步改 进模型或调整模型参数。
THANKS
感谢观看
数据类型
选择适当的数据类型可以减少计算过程中的误差。例如，对于精度要求较高的 计算，应使用浮点数；对于范围较大的数值，应使用定点数。
利用数值稳定性技巧
舍入策略
采用适当的舍入策略可以减少误差。例如，四舍五入或向上取整可以减少舍入误 差。
迭代收敛
通过迭代法求解方程时，应选择收敛速度较快的算法以减少误差。例如，梯度下 降法和牛顿法具有较好的收敛性能。
03
算法误差分析
迭代法与收敛性
迭代法
迭代法是一种通过不断逼近解来 求解方程的方法。常见的迭代法 有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel
迭代法等。
收敛性
收敛性是指迭代法是否能得到准确 解的过程。一般来说，收敛速度越 快，误差越小。
误差分析
对于不同的迭代法，需要进行误差 分析，比较各种方法的优劣。
最小二乘法与回归分析
数据拟合
最小二乘法可以找到最佳 拟合数据的数据集，但可 能存在过拟合现象。
病态性
当数据集具有病态性时， 使用最小二乘法可能导致 误差增大。
计算方法(1)-数值计算中的误差
f
(x1, x2 )
f
(x1*, x2* )
f x1
*
(x1
x1* )
f x2
*
(x2
x2* )
1 2!
2 f x12
*
(x1
x1* )2
2
2 f x1x2
*
2
§1 引言
一.用数值计算方法解决实际问题 的步骤
1.将实际问题抽象成数学问题,即建立 数学模型;
2.选用合适的算法,编制出计算机程序; 3.上机调试并计算,以得出所欲求解的
结果.
3
二.数值计算方法
1.定义 将所欲求解的数学模型简化
成一系列算术运算和逻辑运算,以便在计 算机上求出问题的数值解,并对算法的收 敛性、稳定性和误差进行分析、计算.
21
例: 比较算法
① 计算 3.01 3 (精确到第五位数字).
② 计算 1 cosx .
2.乘法运算的误差传播
* r
n
xi
n
* r
(
xi
)
i1 i1
1) 近似值之积的
相对误差等于相乘
各因子的相对误差
的代数和.
n i 1
xi
误差增长因子16的绝对误差的倍数经传播后增大或缩小表示增长因子的绝对误差缩小的倍数经传播后增大或表示的绝对误差增长因子的相对误差的倍数经传播后增大或缩小表示增长因子的相对误差缩小的倍数经传播后增大或表示的相对误差增长因子误差增长因子的绝对误差增长因子的相对203
数值计算中的插值误差和截断误差分析
在数值计算中，插值误差和截断误差是两个重要的概念。
插值误差是指使用插值方法对函数进行逼近时，所引入的误差；而截断误差则是指数值计算方法所带来的误差。
本文将对插值误差和截断误差进行详细的分析和解释。
首先，我们从插值误差开始讨论。
插值是一种通过已知数据点的函数值来近似计算未知数据点的函数值的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
但无论使用何种插值方法，都会引入一定的误差。
这是因为通过有限多个数据点进行逼近，很难完全还原出原函数的形状。
插值误差可以通过理论上的分析或数值计算方法进行估计。
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，对于插值节点x0, x1, ..., xn，我们希望通过这些节点来近似计算函数在其他位置的值。
利用插值方法可以构造一个插值多项式p(x)，近似地代替原函数f(x)。
那么插值误差就是f(x)和p(x)之间的差值，即插值误差e(x) = f(x) - p(x)。
插值误差的分析可以通过拉格朗日插值公式进行。
对于任意x，通过拉格朗日插值公式可以计算出插值多项式p(x) = ∑f(xi) * L(x)，其中L(x)是拉格朗日基函数。
然后可以通过将插值多项式代入插值误差公式，得到具体的误差表达式。
例如对于拉格朗日插值，插值误差可以表示为e(x) = [f(x)/((n+1)!)] * (x-x0)(x-x1)...(x-xn)。
接下来，我们来讨论截断误差。
截断误差是指数值计算方法所带来的误差，它是通过对原函数进行逼近的方法，例如泰勒级数展开。
截断误差会随着逼近程度的提高而减小，但是无法完全消除。
截断误差主要是由于原函数无法通过有限的项来精确表达。
以泰勒级数展开为例，假设函数f(x)在点a处的各阶导数存在。
那么对于给定的x，通过泰勒级数展开可以得到f(x)的近似值。
但是由于截断误差的存在，通过有限阶的泰勒级数展开无法完全还原出原函数的形状，因此会引入一定的误差。
截断误差的分析可以通过泰勒级数展开公式进行。
数值计算方法 数值计算的误差 - 数值计算的误差
pn ( x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x 2 2!
f (n) (0) x n n!
则截断误差是： Rn (x)
f (x) Pn (x)
f (n1) ( ) xn1
(n 1)!
(0 x)
6
误差的分类
四、舍入误差： 数字计算过程中产生的误差
第 一
绪论
章
1
1 话说科学计算 2 话说《数值计算方法》课程 3 误差与有效数字 4 误差的传播与改善
2
误差的概念 有效数字 误差的分类 误差的传播
3
误差的分类
假设产生误差
一、模型误差__数学模型与实际问题之间出现的误差.
实验：交通流量问题
问题分析与建立模型：
模型假设： （1） 全部流入网络的流量
( 12 )6 29
0.00501995
0.005050633883
4
1 99 70 2
1 0.00507614 197
12 0.00504626 2378
0.005050633883
20
比较与思考
Mathematica 的效果
0.005050633883 0.005050633883 0.005050633883 0.005050633883
改 善
一般情况，当f ( x) f ( x* )时 可用泰勒展开
f ( x) f ( x* ) f '( x* )( x x* ) f ''( x* ) ( x x* )
2
取右端的有限项近似代替左端。
22
防止大数吃小数
数值计算中的误差
p( x) a0 xn a1xn an1x an
an1 ) x an
p( x) (((a0 x a1 ) x a2 ) x
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
二、误差的种类及其来源
过失误差或疏忽误差 模型误差
非过失误差 观测误差 截断误差
*
例如 3.14159265 的五、六位有 效数字分别为：
1 3.1416 , 2 3.14159
•数字的规格化形式
一般说，设有一个数 x ，其近似值 x 的规格化形式
*
x 0.1 2 n 10
*
m
(5)
1 , 2 ,, n 都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数 式中： 字， 1 0 ；n是正整数；m是整数。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
(7)
计算题
绝对误差和相对误差的计算以及有效数字？
例1 当用 3.1416 来表示 它的相对误差是多少？
的近似值时，
3 ，由(7)有
1 解： 3.1416 具有五位有效数字，
* r
1 1 51 4 ( x) 10 10 23 6
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
五、防止误差传播的若干方法
应选用数值稳定的计算算法，避开不稳定的算式； 注意简化计算步骤，减少运算次数； 大数“淹没”小数的现象发生；
应避免两相近数相减（变换）；
绝对值太小的数不宜作为除数；
注意计算过程中误差的传播与积累。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
1 x 99 70 2
6
数值计算中的误差
数值计算中的误差数值计算过程中的误差是指由于各种原因产生的计算结果与真实结果之间的差异。
这些误差可以分为三类：截断误差、舍入误差和传播误差。
截断误差是由于计算过程中的近似方法导致的误差。
在数值计算中，通常使用有限的计算步骤来近似数值。
例如，使用泰勒级数展开式来近似一个函数，需要截断级数并且只保留有限的项。
这种近似方法会引入截断误差。
另一个例子是数值积分，将一个连续函数的积分区间离散化为有限个小区间，每个小区间的面积用一个代表性的值来近似。
这种近似方法也会引入截断误差。
舍入误差是由于计算机在进行数值计算时所产生的误差。
计算机中使用二进制来表示数字，而大多数实数是无法精确地用有限的二进制位数来表示的。
当进行数值计算时，计算机必须对数字进行舍入，即将无限位数的数字截断为有限的位数。
这种舍入操作会导致计算结果与实际结果之间产生误差。
另外，计算机在进行加减乘除等运算时，会出现舍入误差。
例如，计算机对两个非常接近的数字进行相减时（称为“减法消失现象”），由于舍入误差的累积，可能会得到一个较大的误差。
传播误差是由于数值计算中的多个步骤之间的误差传播而产生的误差。
当计算过程中的一个步骤的输出作为下一个步骤的输入时，前一步骤的误差会传播到后一步骤，从而导致误差的累积。
例如，在求解微分方程的数值方法中，每个时间步长的计算结果会成为下一个时间步长的初始值。
如果每个时间步长都具有一定的误差，误差会逐渐累积并导致整个计算过程的误差增加。
为了减小数值计算中的误差，一些方法可以采取。
例如，增加计算的精度，使用更高阶的近似方法来减小截断误差；使用更大的计算单位，避免舍入误差的累积；结合多个数值方法，控制误差传播。
此外，还可以通过数值稳定性的分析和合理的算法设计，来降低误差的产生和传播。
总之，数值计算中的误差是不可避免的，但可以通过合理的方法和技术来减小误差并提高计算结果的准确性。
对于一些关键性的计算，还可以通过数值计算的验证方法，如重复计算、精确解的对比等，来评估计算结果的可靠性和准确性。
数值计算中的数值误差与稳定性分析
数值计算中的数值误差与稳定性分析在数值计算领域，数值误差和稳定性是两个重要的概念。
数值误差是指数值计算结果与真实值之间的差异，而稳定性则关注计算方法对初始条件的敏感程度。
本文将就数值误差和稳定性进行分析，并探讨它们在数值计算中的应用。
一、数值误差1.1 精度误差精度误差是由计算机的有限位数表示数字所引起的误差。
在计算过程中，无法无限精确地表示实数，因此会出现舍入误差。
例如，计算π时，无论使用多少位的近似值，都无法精确表示π的真实值。
1.2 截断误差截断误差是指在数值计算过程中，为了减少计算量而对计算结果进行截断或舍入所引起的误差。
当我们对无限级数或函数进行近似计算时，往往只截取有限项或使用有限阶的多项式进行计算，从而引入截断误差。
1.3 累积误差累积误差是指在多次计算中，由于前一步计算的误差被传递到后一步而导致误差不断累积的情况。
当我们进行复杂的数值计算时，每一步的误差都会进一步影响后续的计算，从而导致累积误差的出现。
二、稳定性分析2.1 稳定性定义在数值计算中，稳定性是指计算方法对初始条件的敏感程度。
一个稳定的计算方法应该在输入条件有轻微变动时，计算结果不会发生剧烈的改变。
相反，如果计算方法对初始条件非常敏感，那么它就是不稳定的。
2.2 条件数条件数是衡量问题条件对计算结果影响程度的度量。
条件数越大，计算结果对输入条件的变动越敏感，稳定性越差。
条件数的计算方法因具体问题而异，但一般来说，条件数越大，计算问题就越病态，数值解的稳定性越差。
2.3 稳定性与算法选择在实际的数值计算中，选择合适的算法和计算方法对于保证计算结果的稳定性至关重要。
对于特定的数值计算问题，我们应该选择恰当的数值方法，避免不稳定的计算。
例如，在求解线性方程组时，若矩阵的条件数较大，我们应该选择稳定的求解方法，以避免结果的不确定性。
三、数值误差与稳定性的应用数值误差和稳定性的分析对于各个领域的数值计算都具有重要的应用价值。
以下是一些具体应用的例子：3.1 科学计算在科学计算中，例如天气预报、结构力学分析等，准确的数值计算结果对于判断问题的性质和做出决策至关重要。
误差及数据处理(精)
(二) 有效数字的整化(或修约) (2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
5 前为奇则进一， 5 前为偶则舍弃。
27.1850 保留四位有效数字 27.18 0.215 保留两位有效数字 0.22
16.4050 保留四位有效数字
(二) 有效数字的整化(或修约) (2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
5 前为奇则进一， 5 前为偶则舍弃。
27.1850 保留四位有效数字 27.18 0.215 保留两位有效数字 0.22
16.4050 保留四位有效数字 16.40
目前，常采用数理统计方法来处理测定数据。 我们将研究对象的全体称为总体；自总体中随 机抽出的一部分样品称为样本；样本的数目称 为样本容量。
(二) 精密度与偏差
样本的标准偏差 S ：
n
(xi x)2
S i1 n1
式中(n－1)称为自由度，用 f 表示
(三) 准确度与精密度的关系
系统误差 (主要来源)
1.当尾数≤4，舍去;当尾数≥6，进位；
0.53664 保留四位有效数字 0.5366
0.58346 保留四位有效数字 0.5835
2.当尾数=5时 (1) 若 5 后还有数字，则应进位
18.06501保留四位有效数字 18.07
(二) 有效数字的整化(或修约) (2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
准确度
偶然误差
精密度
A、B、C、D 四个分析工作者对同一铁标样 （WFe=37.40%)中的铁含量进行测量，得结果如图 示，比较其准确度与精密度。 A
B
C D
36.00 36.50 测量点
《数值分析》第一章 数值计算中的误差
值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
14
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝 对误差限、相对误差限各是多少？
解： (a) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5104
n位
≤ 0 . 0 … 0 999... < 0 . 0 … 0 1=1×10－n
n位
n-1位
• 截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位 的1个单位。
11
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 四舍情况，
A=a0 a1 … am . am+1 … am+n
• 当am+n+1 =0,1,2,3,4时，
4
§2 舍入方法与有效数字
5
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 近似数a的绝对误差 ， 简称误差 设a是精确值A的近似值，
=a－A
• 绝对误差限 ||=|a－A|<(上界)
• 由上式可推知 a－ <A<a+，也可表示为A=aAFra biblioteka-a
a+
6
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 相对误差 ： 绝对误差与精确值之比 =/A。 • 实际计算/a。
代替后误差
a A 1 2
A a Aa
Aa
• 相对误差限 ||=|/a |< /|a|＝ (上界)
• 绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时 亦用百分比、千分比表示。
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
2019/3/13
第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
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第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
误差分析与数值计算方法
误差分析与数值计算方法误差是数值计算中一个重要的概念，它代表着计算结果与真实值之间的差异。
在科学与工程领域中，对误差的理解和处理至关重要。
误差分析是一种量化误差的方法，可以帮助我们评估计算结果的可靠性和准确性。
本文将探讨误差分析的基本概念和数值计算方法中常用的误差分析技术。
一、误差的类型在误差分析中，我们主要关注两种类型的误差：绝对误差和相对误差。
绝对误差是计算结果与真实值之间的差异，通常用绝对值来表示。
相对误差则是绝对误差与真实值之比，在实际计算中更常用。
除了这两种基本的误差类型，我们还需要考虑舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算过程中进行近似表示引起的误差，而截断误差则是由于截断计算结果的小数位数而引起的误差。
二、误差分析方法1. 精度与有效数字在数值计算中，精度是一个重要的概念。
它反映了计算结果的准确程度。
有效数字的概念与精度相关。
有效数字指的是计算结果中能够反映真实值的数字个数。
例如，测量结果为3.14时，有效数字为3。
在进行误差分析时，我们需要根据有效数字的要求来确定误差的大小和误差限度。
2. 误差传播误差的传播是指在数值计算过程中，误差如何从初始数据传递到最终结果。
误差传播的方法通常根据线性和非线性的计算过程来区分。
在线性系统中，误差传播相对简单，可以通过简单的数学方法进行分析。
而在非线性系统中，误差传播更加复杂，可能需要使用数值方法来近似计算误差的传递。
3. 误差估计误差估计是一种用于确定计算结果误差大小的技术。
常见的误差估计方法包括局部截断误差法、全局截断误差法和统计方法。
局部截断误差法是一种通过近似表示截断误差来估计计算结果误差的方法。
全局截断误差法则是通过分析整个计算过程来估计误差。
统计方法则是一种通过多次计算并分析计算结果的统计特性来估计误差大小的方法。
4. 数值稳定性和条件数数值稳定性是指数值计算方法对输入数据扰动的敏感度。
当计算方法对扰动非常敏感时，称其为数值不稳定。
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实验一 数值运算的误差分析
1.问题的提出
任何数值计算都是一种近似计算，于是研究此误差的来源及防止在整个数值计算中占非常重要的地位。
首先是误差的分类、其次是估计误差的工具最后是一些避免误差产生及传播的手段。
1)模型误差：
实际问题用数学模型刻画时要忽略一些因素，从而造成数学的量和实际的量的误差称为模型误差 2)观测误差：
数学模型用到一批数它可能是观测得到的也可能是计算到的，这种数据误差造成数学量的近似。
3)截断误差：
通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差 。
例如，函数)(x f 用泰勒（Taylor ）多项式
n
n n x n f x f x f f x p !
)0(!2)0(!1)0()0()(2'''++++=
近似代替，则数值方法的截断误差是：
εε(,)!
1()()()()(1
)1(+++=-=n n n n x n f x p x f x R
4)舍入误差：
最后用近似的方法计算数据有误差的数学问题要用有限位数字，这就要求进行基本的四舍五入计算，由此引起的误差称为舍入误差。
例如用3.14159近似代替π，产生的误差 0000026.03014159=-=πR 为舍入误差。
2.误差与有效数字
1)绝对误差： 2)相对误差：
3)有效数字：
若近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字，表示
()()
1121*101010---⨯++⨯+⨯±=n n m a a a x ，
其中是),,1(n i a i =0到9中的一个数字，0≠i a ，m 为整数，且
1*102
1
+-⨯≤
-n m x x
例如：
若*x 具有n 位有效数字，则其相对误差限为：)1(1
*1021
--⨯≤
n r a ε 例一：要是20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？ 设取n 位有效数字，由定理1，)1(1
*1021
--⨯≤
n r a ε。
由于 4.420=，知1a =4，故只要取4=n ，就有1.01010125.033*
=<⨯≤--r ε%，
即只要对20的近似值取4 位有效数字，其相对误差限就小于0.1%，此时由开
4.472≈。
4)误差的积累运算：
≈±)(*2*1x x ε)(*1x ε+)(*
2x ε； ≈)(*2*1x x ε*2*2*1
)(x x x +ε)(*
1x ε； ≈
)/(*
2*1x x ε2
*2
*
1*2*2*1)
()(x
x x x x εε+；
5)函数的误差：
设)(x f 是一元函数，x 的近似值为*x 以)(*x f 近似)(x f ,其误差记作
)((*x f ε;那么函数的误差是：)()())((***x x f x f εε'≈
当f 多元函数时，例如计算A ),,(1n x x f =。
如果 n x x ,,1 的近似值为 *
*1,,n x x 则A 的近似值为 ),,(**1*n x x f A =，
于是由泰勒展开得函数值*A 的误差为)(*A e ; 于是函数的误差限：)()(
)*(*
1
*k n
k k
x x f A εε∑=∂∂≈；
（2） 而*
A 相对误差限为：*
*1****)()()*(A x x f A A A k
n
k k
r r
εεεε∑=∂∂≈==）
（（3） 例二：已测得某场地长l 的值为m l 110*=，宽d 的值为m d 80*=,已知
m l l 2.0*≤-,m d d 1.0*≤-,试求面积 ld s =的绝对误差限与相对误差限。
解：因ld s =，
d l s =∂∂，l d
s =∂∂，由（3）知 )()()()(
)*(****d d
s
l l s s εεε∂∂+∂∂≈，其中m d l s 80)(**==∂∂，
m l d s 110*==∂∂， 而m l 2.0)(*=ε，m d 1.0)(*=ε 于是
绝对误差限为 m s 27)1.0(110)2.0(80)(*=⨯+⨯≈ε， 相对误差限为
%31.08800
27
)
()
()(*
***
**
=≈
=
=
d l s s s s r εεε 6)避免误差危害的若干原则 ● 避免接近零数作除数。
例如：2
12
12
12
1)1())1((1x x x x ++=-+
顺便指出，有时为避免中间结果益出也要变换公式， 例如: y x ≥,21
22
12
2
))(1()(x y x y x +=+
● 避免相近数相减。
例如：)
)1((1)1(1212121x x x x ++=-+
再如求01562=++x x 的根，取五位数字
982.55982.2728)128(282121=+=-+=x 018.0982.2728)128(282122=-=--=x 2x 的有效数字就少了。
可用01786288
.0972
.551
1
1
2===x x 试比准确解：017862840.0,982137159.5521==x x ; ● 防止大数‘吃’小数。
例如：1.0010010=+++=a a a a x ，0001.010021====a a a 如果按先后次序10a a +得0.1，再加2a 还是0.1， 1=x
如果从后往前加， ,0002
.00001.00001.0=+最后11.001.01.0=+=x ; ● 减少计算步聚。
例如：计算多项式的值
x
x x x ++-+11
1为
x
x
x x cos 1sin sin cos 1+-为
43223140a x a x a x a x a ++++宜用43210)))(((a x a x a x a x a ++++
这就是最著名ＦＦＴ算法数值例。
注意递推公式。
有些公式计算时误差不断积累越来越大，有些公式误差则不会增加前者称数值不稳定的应避免使用，后者称数值稳定的，我们应该采用着类公式，请看例子。
计算出 ,1,0,1,6321.01110=-=≈-=--n nI I e I n n 可算出728.08-≈I 误差大的惊人，竟出现了负数。
但若用 ,8,9,/)1(,0684.019=-=≈-n n I I I n n 算出0I 有四位有效数字。
不难看出前一算法所得8I 的误差是0I 的!8倍，而后一算法所得0I 的误差是9I 的!
91 .
参考思考题： 1、 2、 3、
实验一的目的是什么？以后的内容起什么作用？ 在实验一里主要提醒什么？或不叫“实验一”，叫“预备知识”。