1-20自然数开平方
精品课程平方根(1-3)课件
5 1 2 1 . 2 2
5． 19 ≈4.358 9.
活动六 归纳小结 深化新知
小结与提升：
本节课你学习了哪些知识？在探
索知识的过程中，你用了哪些方
法？对你今后的学习有什么帮助 ？
活动七 分层作业 提高能力
作业(必做题）：
1.运用计算器计算下列各式的值(精确到 0.01). (1) 867 ，(2) 2 408. 2.估计与 40 最接近的两个整数是多少? 3.已知 1.720 1 1.311, 17.201 4.147 ,那么 0.001 720 1 的平方根 是 . 4.已知 2.36 1.536, 23.6 4.858, 若 x 0.485 8 ,则 x= . 5.(1)若 a 是 30 的整数部分， b 是 30 的小数部分，试确定 a 、 b 的值. （2）若 5 11 的小数部分为 a， 5 11 的小数部分为 b，求 a+b 的值． 6.一个长方形的长为 5 cm，宽为 3 cm，一个与它的面积相等的正方形 的边长是多少?
×
0 和 1 2.算术平方根等于本身的数有＿＿＿.
活动4
巩固练习 反馈检测
练习:
9 . 3.若 x 3 ，则x=＿＿＿
4.要使代数式 x 2 有意义，则 x的取值范围
是（ B
A. x 2
）
3
B. x 2
49 81
C. x 2 D. x 2
5.求下列各数的算术平方根.
① 25 ② 5
活动七 分层作业 提高能力
作业（选做题）：
∵1 1 12ຫໍສະໝຸດ 7.请你观察思考下列计算过程．
∵11 121 ,
2
∴ 121 11.
第 9 讲 完全平方数(学习指导)
第9讲完全平方数第一部分基本知识点——这是重中之重一个自然数平方后所得到的数叫完全平方数，也叫平方数。
0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……都是完全平方数，同学们要数记前20个完全平方数。
观察这些完全平方数，可以得到完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9。
推论：个位数是2，3，7，8的整数一定不是完全平方数；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。
性质3：完全平方数除以3余0或1；完全平方数除以4余0或1；。
性质4：如果一个完全平方数的个位数字是6，则是位数字是奇数。
性质5：完全平方数分解质因数后，每个质因数的次数都是偶数。
性质6：一个正整数如果是完全平方数，那么它有奇数个约数(包括1和它本身)。
一个正整数如果它有奇数个约数(包括1和它本身)，那么它是完全平方数。
约数个数为3的自然数一定是某个质数的平方。
性质7：平方差公式A2－B2＝（A＋B）（A－B），其中A＋B与A－B的奇偶性相同。
第二部分学案[学案1] 完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9，可是个位数字是0、1、4、5、6、9的不一定都是完全平方数，那么我们定义：个位数字是0、1、4、5、6、9且不是完全平方数的自然数为“伪平方数”，那么在两位数中，偶数与伪平方数那个多？分析：⑴两位数从10到99共90个，其中偶数90÷2＝45（个）。
⑵两位数中个位数字是“0、1、4、5、6、9”的有6×9＝54（个），其中完全平方数有16、25、36、49、64、81这6个，伪平方数有54－6＝48个。
⑶两位数中偶数45个，伪平方数48个，伪平方数比偶数多。
[学案2] 将16分解成若干个质数（可以相同）相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数，那么这个平方数可能是几？分析：⑴要使这些质数的乘积是完全平方数，那么质数必须成对出现，我们把16分成8＋8的两组，每组用相同的方式分解成一些质数相加的形式即可。
平方的求和方法
平方的求和方法宝子，今天咱们来唠唠平方求和的方法呀。
咱先说说自然数的平方和。
有个超酷的公式哦，1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6。
你看这个公式，就像一个魔法咒语一样。
比如说，要求1到5的平方和。
那n就是5啦，把5代到公式里，5×(5 + 1)×(2×5 + 1)÷6 = 5×6×11÷6 = 55。
是不是很神奇呀 。
那这个公式是咋来的呢？其实有好几种推导方法呢。
有一种比较有趣的是用数学归纳法。
先验证当n = 1的时候，公式成立。
1² = 1，而1×(1 + 1)×(2×1 + 1)÷6 = 1，对啦。
然后假设当n = k的时候公式成立，再去证明n = k + 1的时候也成立。
这就像是搭积木，一块一块稳稳地搭起来呢。
要是遇到不是从1开始的连续自然数的平方和呢？比如说3² + 4² + 5²。
咱可以先求出1² + 2² + 3² + 4² + 5²的和，再减去1²+2²。
按照前面的公式，1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 5×(5 + 1)×(2×5 + 1)÷6 = 55，1²+2² = 1+4 = 5，那3² + 4² + 5² = 55 - 5 = 50啦。
还有哦，如果是一些有规律的数的平方和，比如说奇数的平方和或者偶数的平方和。
奇数的平方和公式是n(2n - 1)(2n + 1)/3，偶数的平方和公式是2n(n + 1)(2n + 1)/3。
自然数平方和公式及证明
自然数平方和公式证明1：此式对于任何自然数n都成立。
依次把n=1，2，3,...,n-1,n代入止式可得把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下；而前n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。
因而我们得到。
现在这里对这个结果进行恒等变形可得移项，合并同类项可得即证明2:设12+ 22 + … + n 2 =An 3+Bn 2+Cn+D,令n=1，2，3，4得关于A ，B ，C 。
D 的四元一次方程组，可解得A=C=16 ，B=12 ，D=0，再用数学归纳法证明。
证明3:设f(x)=(1+x)2+ (1+x)3 +… +(1+x)n ,则x 2的系数和为 C 22 + C 23 +… + C 2n=12 [12+ 22 + … + n 2]-12 (1+2+… + n) = 12 [12+ 22 + … + n 2]- -14n(n+1) 又f(x)=(1+x)2-(1+x)n+1x,其中x 2的系数为C 3n+1 ,于是有12 [12+ 22 + … + n 2]- -14 n(n+1)= C 3n+1 ，解得 12+ 22 + … + n 2 = n(n+1)(2n+1)6关于自然数平方和的几个模型归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外，还可以构造模型来证明示k 个k 之和(图1(1))．旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵(图1(2)、1(3))，每一线段上的数字顺序成等差数列，再重叠三个数阵，则每一点上的数字和为(2n ＋1)．于是透了运动的思想，动静结合，相得益彰．割补、数形结合来证明．(n－1)(2n－1)个单位正方形；再给前n－2层各补(2n－3)个单位正方形，共补(n－2)(2n－3)个；……，最后给第一层补3个，这样添补的单位正模型2数形结合，以形助数，比较直观．而应用映射方法将求和问题映射成几何上的求堆垒总数问题，再利用几何体的割补求和，也体现了化归思想．而添补的立方体个数为1×3＋2×5＋…＋n(2n＋1)，原有立方体个数以上三个均属构造的数学模型，另外还可以构造物理模型，从物理意义上进行探讨．垂线段上分别等距离地放1个，2个，…，n个重量为1个单位的质点．则这些质点对原点的力矩数学知识结构之间的相互联系，为我们解决问题提供了丰富的源泉．数学问题的模型是多样的．通过对不同模型的探讨，将有助于开阔我们的视野，有助于提高我们的分析问题和解决问题的能力．前n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法关于前n 个连续自然数的平方和： )12)(1(61 (222)2321++=++++n n n n 的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好. 我们先来计算：321222++=1×1+2×2+3×3，即1个1与2个2与3个3的和。
自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法
自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法(连载一)《自然数平方和公式推导及其应用》（/s/blog_4d9ff3d10100cc8t.html）发表以来,得到了数学爱好者的好评。
其实，那是自然数平方和公式推导，推广到偶数、奇数自然数平方和以及自然数立方和公式与偶数、奇数自然数立方和求法的一种偶然思路。
如何由二项式定理推导自然数的n次幂的求和公式才是该数学问题的完美思路，其研究的结果在现实中具备广泛的现实利用价值和数学理论意义，比如它完全可以代表等差数列N项的高次幂求和的思路与方法。
1.自然数的1至n次幂的求和的递进推导关系1.1自然数的1次幂的求和即s=1+2+3+...+n实际上是一个等差为1的等差数列求和,公式为s=n(n+1)/21.2自然数的2次与二次以上幂的求和 s=1n+2n+3n+...+N n(n≥2)不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和。
怎样转化为等差数列、怎样由低次幂递进到高次幂这才是研究思路的重点。
当n为奇数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:2s=N n+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+N n =N n+N n+N n+...+N n加或减去所有添加的二项式展开式数=(1+N)N n减去所有添加的二项式展开式数。
当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:2s=N n+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+N n=2N n+2[(N-2)n+(N-4)n+(N-6)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数又当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:2s=[N n+1n]+[(N-1)n+2n]+[(N-2)n+3n]+...+[(N-N-1)n+(N-1)n]=2[(N-1)n+(N-3)n+(N-5)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1的计算公式。
【5套打包】大连市小学五年级数学下期末考试单元综合练习题(含答案)(1)
人教版五年级数学下册期末测试卷一、填空。
(每空1分,共36分)1.在下面的○里填上“>”、“<”或“=”。
○○○2.把3m长的铁丝平均分成8段,每段是全长的,每段铁线长m。
3.在2,3,17,21这几个数中,()是()的因数,()是()的倍数,既是奇数又是合数的是(),既是偶数又是质数的是()。
4.一个密码按从左到右的顺序,第一个数字是最小的质数;第二个数字是一位数中最大的合数;第三个数字既不是质数,也不是合数;第四个数字是最小的偶然。
这个密码是()。
5.在括号里填上合适的数。
8.003dm3=()L=()mL 1.2dm3=()cm3258cm3=()dm3(填分数)6.一个用小正方体搭成的几何体,从正面看、左面看、上面看如下图,搭成这个几何体需要用()个完全相同的小正方体。
7.9÷()====()(填小数)8.五年级(1)班有男生24人,女生18人。
现在要把男生和女生各分成若干小组,并且每个小组的人数要相同,每组最多有()人。
9.公交公司的3路公交车每6分钟发一次车,201路公交车每8分钟发一次车。
这两路公交车第一次同时发车后,过()分钟会第二次同时发车。
10.把2,2.35,按从小到大的顺序排列起来是()。
11.分母是8的真分数有()个,其中,最简分数有()个,分母是8的假分数有()个。
12.一根长方体木料,长5m,横截面的面积是0.06m3。
这根木料的体积是()m3。
13.一个数既是91的因数,又是91的倍数,这个数是(),它的因数有()。
14.一个立体图形从上面看是,从左面看是。
要搭成这样的立体图形,至少要用()个小正方体,最多可以用()个小正方体。
15.下图是由5个棱长为1cm的正方体搭成的,将这个立体图形的表面涂上红色。
其中只有三面涂色的正方体有()个,只有四面涂色的正方体有()个,五面涂色的正方体有()个。
16.金帆管乐团共有54人,寒假期间有一个紧急的演出,韩老师需要尽快通知每一个人。
小学数学知识点汇总(数的运算及应用篇)
5.6÷0.04=
1.8÷12=
4.08÷0.8=
0.54÷0.6=
6.3÷0.14=
14.21÷7=
0.6363÷0.63=
773.5÷0.91=
79.54÷8.2=
22.08÷2.4=
6÷2= 54÷6= 27÷9=
19÷3＝ 18÷4＝ 80÷7＝
65÷5= 378÷7= 992÷8= 861÷7=
328-243= 321+919= 955-113= 771-540= 825-106= 128+165= 688+980=
467-64= 64+608= 183+969=
1.4 分数的加减法 1.4.1 同分母分数的加减法
99
99 2
99 9
96 3
1.4.2 异分母分数的加减法
6
66 9
1.5 小数的加减法
22÷3＝
14÷3＝
7÷2＝
20÷3＝
29÷5＝
37÷5＝
12÷5＝
55÷3＝
73÷3＝
2.2.3 两、三位数除以一位数
93 ÷ 3 =
44 ÷ 4=
84 ÷ 7=
72 ÷ 6=
876÷6=
995÷5=
732÷4=
387÷9=
975÷3=
292÷4=
126÷6=
736÷4=
552÷6=
369÷9=
235÷5=
18×18=
3
4
64×3＝ 123×6= 406×3= 690×6=
52×60= 15×15= 25×25=
鲁教版(五四制)七年级上册数学课件第四章2第1课时平方根(鲁教版七年级上·五四制)
2 易错提醒： （ 3 ） 3.
25 5 = 即________ 64 8 .………………………………………………4分
36 =__ 62 ，所以(-4)×(-9)的算术平方根是 (3)因为(-4)×(-9)=___ 6 ，即____________ 4 9 6 .………………………………………6分 __ 9 =__ 32 ，所以(-3)2的算术平方根为__ 3， (4)因为(-3)2=__
2 即.……………………………………………… 8分 3 3
(5)13的算术平方根是.………………………………… 10分 13
【互动探究】一个数a(a≥0)的算术平方根有什么特点？ 提示：如果a是有理数的平方，a的算术平方根的结果就不带根
2不是有理数的平方， a的算术平方根 号，如；如果 a 4 2 2
0 ，即=__. 特别地，我们规定0的算术平方根是__ 0 0
(4)如图中x，y，z，w可以分别表示为：
x=__ 5 3，z=__ 4，w=__. 2，y=__
【点拨】用算术平方根可以表示某些无理数. 【预习思考】带根号的数一定是无理数，对吗？请说明理由. 提示：不对. 理由：如=39 ，它是有理数.
知识点1求一个非负数的算术平方根 【例1】(10分)求下列各数的算术平方根：
(1)0.81；(2)；(3)(-4)×(-9)；
(4)(-3)2；(5)13.
25 64
0.92 =0.81，所以0.81的算术平方根是 【规范解答】(1)因为____
0.9 ，即=____ 0.9 ____ 2分 0.81 .………………………………………
完整版五年级数学下册期中考试试卷及答案(1)
完整版五年级数学下册期中考试试卷及答案(1) 一、选择题1．把12个小正方体拼成一个长方体，下面（）拼法表面积最大。
A．B．C．D．2．下面图形中由基本图形通过平移得到的是（）。
A．B．C．D．3．20以内（包括20）的质数和奇数分别有（）个。
A．8、9 B．8、10 C．9、11 D．9、12 4．如果8b a，那么a和b的最小公倍数是（）。
A．a B．b C．8 D．ab 5．在下面同样大小的大正方形中，阴影部分面积最大的是（）。
A．B．C．D．6．有两根1米长的彩带，小军和小民分别剪一段下来装饰教室，小军剪了彩带全长的78，小民剪了78米。
剪下的这两段彩带的长度（）。
A．小军的长B．小民的长C．一样长D．无法比较7．一片钥匙只能开一把锁，现有10片钥匙和10把锁，最多要试验（）次能保证全部的钥匙和锁匹配．A．45 B．55 C．50 D．98．已知大长方体的棱长之和为60cm，长为8cm，底面面积为32cm2，如果把这个长方体从正面的中间挖去一个小正方体，小正方体棱长之和为12cm，那么（）。
①体积变小，表面积变大②体积变小，表面积变小③体积、表面积均不变④挖去小正方体后的体积是95cm3，表面积是140cm2⑤挖去小正方体后的体积是96cm3，表面积是140cm2⑥挖去小正方体后的体积是96cm3，表面积是136cm2A．②④B．③⑥C．①④D．①⑤二、填空题9．1325mL （________）L 2.4立方米＝（________）立方分米10．分母是12的最大真分数是（________），它与分子是11的最小假分数相差（________）。
11．在自然数1～20这些数中，2的倍数有（________）个，3的倍数有（________）个，5的倍数有（________）个，2和3的公倍数有（________）个。
12．两个合数的最大公因数是1，最小公倍数是90，这两个数是（________）和（________）。
2022年四川省绵阳市梓潼县数学六年级第一学期期末统考模拟试题含解析
2022-2023学年六上数学期末模拟试卷一、仔细推敲，细心判断。
（对的打“√ ”，错的打“×”）1．把25米平均分成2份，求每份是多少，列式为225。
（________）2．因为20=2×2×5，所以20只有3个因数。
（____）3．75个苹果，第一天吃掉，第二天吃掉剩下的，两天吃的一样多。
（____）4．把4米长的绳子平均截成5段，每段绳子占全长的．______5．把5个棱长是1厘米的小正方体拼成一个长方体后，表面积减少了4平方厘米。
（________）二、反复思考，慎重选择。
（将正确答案的序号填在括号里）6．与“π”的值最接近的分数是（）。
A．B．C．7．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE：EC=1：2，F是DC的中点，三角形ABE 的面积是12cm2，那么三角形ADF的面积是（）.A．36cm2B．12cm2C．24cm2D．18cm28．如果m与n互为倒数，那么mn－1＝（）。
A．1mB．1nC．1 D．09．把5.8%的百分号去掉，这个数比原数( )。
A．扩大2倍B．扩大10倍C．扩大100倍D．大小不变10．的分母加上15，如果要使这个分数的大小不变，分子应该( )。
A．扩大到原来的2倍B．加上15C．扩大到原来的3倍三、用心思考，认真填空。
11．把米长的彩带平均分成4小条，每小条是这条彩带的（____），每小条长（____）米．12．一个圆锥柱形水池和一个圆柱形水池从里面量等底等高，用抽水机往圆柱形水池内注水，15分钟注满水池。
用这台抽水机以同样的效率往圆锥形水池注水，需（________）分钟注满水池。
13．一个数由9个亿、5个千万、4个千组成,这个数写作（________）,改写成用“万”作单位的数是（______）,省略亿位后面的尾数约是（____）。
14．填一填。
1．从图中可以知道：超市在学校的（_______）方向（______）米处。
五年级奥数——完全平方数
第八讲 完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为i a (i ＝1、2、3、……、n)不难发现：1a ＝1＝212a ＝1＋3＝4＝223a ＝1＋3＋5＝9＝234a ＝1＋3＋5＋7＝16＝24………n a ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[]2)1(1n n ⨯-+＝2n 毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】 求自然数列前n 个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n －1）一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】 1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
练习二：2【例三】 36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练： 360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
算术平方根同步练习题一
算术平方根习题、选择题(每题3分，共24分)1 •下列各式中无意义的是( ).(D)2•-的算术平方根是( )1 1 1+1(A)花.(B)录(C) 2.(D)23. 下列运算正确的是( )(A)卜耳=3.但)卜3|= - 3.(C)俟M ,(D)的=-3 .4. 下列说法正确的是( )(A)-4是-16的平方根.(B)4是T 的平方根.(C) T的平方根是-6. (D)的平方根是5. —个数的算术平方根比它本身大，那么这个数一定( )(A)大于0. (B)大于1. (C)大于0且小于1. (D)不能确定.6. 的平方根是( )(A)9. (B) ± 9 . (C)3. (D) 士37. 设'- ^a，则下列结论正确的是( )(A)4.5 v a v 5.0. (B)5 . 0 v a v 5.5. (C)5.5 v a v 6.0. (D)6.0 v a v 6.5.8. 若同松二？，且a+b<0，则a-b的值是( )(A)1 , 7. (B)-1 , 7. (C)1 , -7. (D)-1 , -7.、填空题(每题2分，共28分)9. 若一个正方形的面积为13，则正方形的边长为 _________ .10. 小明房间的面积为10.8平方米，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成,每块地砖的边长是_________ .11.计算：⑴的= _______请你观察上述的规律后试解下面的问题: 如果’：的小数部分为a ,1〜20之间整数的平方吗？请填写表格:12 .若下列各式有意义，在后面的横线上写出 x 的取值范围：⑴’13 .若! - J -，则14.的算数平方根是它本身15.请列举一个a 的值 16.观察下列各式: 二 Q3,的=3 , 790^ = 30 ,...，请把你猜想到的规律用一句话概括为:17.卜网 三、解答题（每题8分，共48分）18. 下列各数有没有平方根？如果有，求出它的平方根和算术平方根；如果没有, 请说明理由.的算术平方根是(1)64; (2)0.49; ⑶（-5） 2；⑷ '；(5)0； (6)19.求下列各式的值：（1）.-J （-旳；⑵皿+应⑺孑;20.求出下列各式中的x 的值：（1） 21.若血+3 4-n/^+l = 0,求石+ /瞅值22.已知2a-1与a-5是m 的平方根 ,求m 的值.23.观察例题：•.•的V &叱筋,2 <77 <3的整数部分为2，的小数部分为b ，求匚“ '' 的值.1.你还记得，使-•不成立.2.学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为 25（平方分米）的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少的？如果这块画布的面积是 12dm 2呢?例1求下列各数的算术平方根49⑴100 ⑵641 ⑸2-4练习：求下列各数的算术平方根 （5） 8（1）400（2）144（3）0.04（4）1494例2、求下列各式的值：r~—（1） ■. 125（ 2） . 0.01（3）、（4）111N 121\ 25练习：求下列各式的值:dm ?如果面积分别为2 2 29dm 、16dm 、36dm 、—dm 2呢？说说，你是怎样算出来25⑶ 0.0001若x 是49的算术平方根，则 x =() A. 7 B. — 7 C. 495, 9的算术平方根是(-3)2的算术平方根是9的算术平方根是,(3)2的值为 ,(3)2的算术平方根是活动四(6449(3)、. 1 (4) .. 1000000思考：—4有算术平方根吗？ ,a 中a 有什么要求吗?例3:要使代数式x 2有意义, 3则x 的取值范围是(A. x 2B. x 2C.D.练习：下列各式中,无意义的是(A. \2B.22C. D.三，巩固提升1、 非负数a 的算术平方根表示为方根是 ,225的算术平方根是,0的算术平2、 .8?'、16的算术平方根是0.64的算术平方根D.-499的值为6.若,x 47 ,则x 的算术平方根是（)A. 49B. 53C.7 D.53.7. 一个自然数的算术平方根为 a ,那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方 根是 ________四、课外探究：&直接写下列各式的值：（1） . 0.0016= ________ ； （2） ,0.16 = ________ ； （3） ■. 16 = ______根据上面的计算，可以发现这样的规律:对于任意非负数a ， （i a ）2 = ___ 11、怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起, 的大正方形。
高中奥数教材1-20
高中数学竞赛材料(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。
分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z 证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2 又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。
2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证：（1）一切奇数属于M;（2）4k-2(k∈Z)不属于M;（3）M中任意两个数的积仍属于M。
3.已知函数f（x）=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:A B;(2)若A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素的确定例2．已知集合M ＝{X ，XY ，lg(xy)}，S ＝{0，∣X ∣，Y}，且M ＝S ，则(X ＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2002＋1/Y2002)的值等于( ).分析：解题的关键在于求出X 和Y 的值，而X 和Y 分别是集合M 与S 中的元素。
1 4 10 20的规律
1 4 10 20的规律全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：1、4、10、20，这四个数字究竟有什么规律呢？可能有人会觉得这四个数字之间并没有太大的关联，只是单纯的四个数字罢了。
如果你仔细观察这四个数字，就会发现它们之间其实隐藏着一种神秘的规律。
我们可以看到1、4、10、20这四个数字之间的差值分别是3、6、10。
这里我们可以发现一个规律，即差值递增的规律。
从1到4的差值是3，从4到10的差值是6，从10到20的差值是10。
这个差值序列3、6、10实际上是一个等差数列，它的通项公式是an=n*(n-1)，其中n为数列的第几项。
将n分别取1、2、3，即可得出差值序列3、6、10。
这也就意味着，如果我们继续延展这个规律，下一个数字应该是20+15=35。
除了差值递增的规律，1、4、10、20这四个数字还有另外一个有趣的规律，就是它们的倍数关系。
我们可以发现，4是1的4倍，10是4的2.5倍，20是10的2倍。
这种倍数关系也符合一定的规律性，即每个数字都是前一个数字的一定倍数。
我们还可以从另一个角度来看待1、4、10、20这四个数字的规律。
如果我们将这四个数字看作一个数列，可以发现这是一个递增的数列。
从1到4，增加了3；从4到10，增加了6；从10到20，增加了10。
这种递增的规律也是一种常见的数列形式。
除了上述的规律，1、4、10、20这四个数字还可能存在其他更为隐晦的规律，比如它们之间的平方根之间的关系、质数因子之间的关系等等。
但这四个数字之间的规律主要包括差值递增、倍数关系和递增数列等方面。
1、4、10、20这四个数字并非毫无关联，实际上它们之间存在着多种规律。
通过分析这些规律，我们可以更深入地了解数字之间的奥秘，也可以更好地运用数学知识解决实际问题。
希望读者在阅读本文后能对这四个数字的规律有更深入的理解和思考。
【2000字】第二篇示例：1 4 10 20这组数字看似普通，但其实隐藏着一个非常有趣的规律。
广西桂林市阳朔县2022年数学六年级第一学期期末达标检测试题含解析
2022-2023学年六上数学期末模拟试卷一、仔细填空。
1．除以2、5、3余数都是1的数中，最小的一个是（______），最大的两位数是（______）。
2．观察下面两架平衡的天平，每个苹果（________）克，每个梨（________）克。
3．一个两位数，如果加上4后既有因数7，又是9的倍数，这个数最小是（_____）。
4．甲数的23相当于乙数的45（甲、乙两数不为零），甲数：乙数＝（______）∶（______）。
5．从0、4、5、8四个数中选出两个数，组成一个两位数．其中，最大的偶数是（_______）；既是5的倍数，又是3的倍数的数是（________）．6．服装店换季搞促销，所有商品全部八五折．八五折表示售价是原价的（_______）%；如果这种商品原价是100元，现在便宜了（_______）元．7．一个最简真分数，分子和分母的积是15，这个最简真分数是（______）或（_____）．8．把一段9米长的绳子，对折后再对折，每段长()()米，每段是全长的()()。
9．在一幅比例尺是的地图上，量得两地距离是15厘米，这两地实际距离是________千米．10．如图，两个正方形的边长分别是8厘米和4厘米，则阴影部分的面积是_____平方厘米．二、准确判断。
（对的画“√ ”，错的画“×”）11．1米的25和2米的15同样长．（____）12．1至20的自然数中，质数有8个。
（______）13．34×2317=34×2+34×317=74 （______）14．正方体的棱长扩大到原来的2倍，表面积和体积都会扩大到原来的4倍．（____）15．一条长是2千米的公路，修了34千米后，还剩下全长的 14。
（_____）16．平行四边形的对称轴有两条．__．三、谨慎选择。
（将正确答案的标号填在括号里）17．将三个完全一样的正方体拼成一个大长方体之后，表面积（ ）。