2016-2017年海南省儋州市洋浦中学高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2016-2017学年海南省儋州市洋浦中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）椭圆的焦距是2，则m的值是（）A．3B．1或3C．3或5D．12．（5分）若焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为，则m的值为（）A．B．C．D．以上答案均不对3．（5分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．不确定4．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4C．4D．5．（5分）过点F（0，2）且和直线y+2=0相切的动圆圆心的轨迹方程为（）A．x2=8y B．y2=﹣8x C．y2=8x D．x2=﹣8y 6．（5分）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PA⊥平面ABCD，PA=，那么二面角A﹣BD﹣P的大为（）A．30°B．45°C．60°D．75°7．（5分）设函数y=f（x）在x=x 0处可导，且=1，则f′（x0）等于（）A．﹣B．﹣C．1D．﹣18．（5分）已知f（x）=，若f′（x0）=0，则x0=（）A．e2B．e C．1D．ln29．（5分）设a∈R，若函数y=e ax+2x，x∈R有大于零的极值点，则（）A．a＜﹣2B．a＞﹣2C．a＞﹣D．a＜﹣10．（5分）设f（x）=，则f（x）dx等于（）A．﹣cos1B．﹣cos1C．+cos1D．+cos1 11．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A．B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣），则E的方程为（）A．+y2=1B．+=1C．+=1D．+=112．（5分）已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2016f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＜e2016f（0）B．e2016f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＞e2016f（0）C．e2016f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＞e2016f（0）D．e2016f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＜e2016f（0）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上.）13．（5分）已知复数z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，则复数z1•z2的实部是．14．（5分）与双曲线﹣=﹣1共焦点，且过点（1，2）的圆锥曲线的方程为．15．（5分）若xdx=2，则常数a的值为．16．（5分）抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则实数m的值为．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2）．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求{a n}的通项公式．18．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．19．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE=B1F=1．（Ⅰ）求证：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求点E到平面ACF的距离．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点A（，﹣）．（1）求椭圆的方程；（2）已知y=kx+1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=在x=1处取得极值．（1）求a的值，并讨论函数f（x）的单调性；（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥恒成立，求实数m的取值范围．四、选做题.（本小题满分10分.请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．）22．（10分）已知A、B、C是△ABC的三个内角，a、b、c为其对应边，向量=（﹣1，），=（cosA，sinA），且•=1（1）求角A；（2）若c=，=，求△ABC的面积S．23．设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．24．已知曲线C：（φ为参数）．（1）将C的方程化为普通方程；（2）若点P（x，y）是曲线C上的动点，求2x+y的取值范围．2016-2017学年海南省儋州市洋浦中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）椭圆的焦距是2，则m的值是（）A．3B．1或3C．3或5D．1【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：，其焦距是2，即2c=2，则c=1；但不能确定焦点的位置，分两种情况讨论：①、当椭圆的焦点在x轴上时，有m＞2，有m﹣2=1，解可得m=3；②、当椭圆的焦点在y轴上时，有m＜2，有2﹣m=1，解可得m=1；综合可得：m=3或m=1，故选：B．2．（5分）若焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为，则m的值为（）A．B．C．D．以上答案均不对【解答】解：由题意，椭圆的方程为+=1，其焦点在y轴上，其中a2=2，b2=m，则c2=2﹣m，又由其离心率为，则有e===，解可得m=；故选：C．3．（5分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．不确定【解答】解：椭圆得∴c1=，∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），双曲线：有则半焦距c2=∴则实数m=±1故选：C．4．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4C．4D．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．5．（5分）过点F（0，2）且和直线y+2=0相切的动圆圆心的轨迹方程为（）A．x2=8y B．y2=﹣8x C．y2=8x D．x2=﹣8y【解答】解：由题意，知动圆圆心到点F（0，2）的距离等于到定直线y=﹣2的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y=﹣2为准线的抛物线，方程为x2=8y，故选：A．6．（5分）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PA⊥平面ABCD，PA=，那么二面角A﹣BD﹣P的大为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：在平面ABCD，作AG⊥BD于G∵PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD，PA⊥AG，又AG⊥BD∴BD⊥平面PAG，则BD⊥PG所以∠PGA等于所求的二面角A﹣BD﹣P．因为图形ABCD是矩形，AD=4，AB=3，AG垂直BD，所以AG=在直角三角形PGA中，∠A=90°，PA=，AG=则tan∠PGA=÷=∴∠PGA=30°故选：A．7．（5分）设函数y=f（x）在x=x 0处可导，且=1，则f′（x0）等于（）A．﹣B．﹣C．1D．﹣1【解答】解：∵=（﹣）=（﹣）f′（x0）=1，∴f′（x0）=﹣，故选：A．8．（5分）已知f（x）=，若f′（x0）=0，则x0=（）A．e2B．e C．1D．ln2【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=（）′=由f′（x0）=0，得=0，解得x0=e．故选：B．9．（5分）设a∈R，若函数y=e ax+2x，x∈R有大于零的极值点，则（）A．a＜﹣2B．a＞﹣2C．a＞﹣D．a＜﹣【解答】解：f′（x）=ae ax+3，令f′（x）=0即ae ax+2=0，当a≥0无解，∴无极值．当a＜0时，x=ln（﹣），当x＞ln（﹣），f′（x）＞0；x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0．∴ln（﹣）为极大值点，∴ln（﹣）＞0，解之得a＜﹣2，故选：A．10．（5分）设f（x）=，则f（x）dx等于（）A．﹣cos1B．﹣cos1C．+cos1D．+cos1【解答】解：f（x）dx=sinxdx+x2dx=﹣cosx|+|=1﹣cos1+=﹣cos1，故选：B．11．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A．B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣），则E的方程为（）A．+y2=1B．+=1C．+=1D．+=1【解答】解：设A点坐标的（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），∴=1，=1，两式相减得，+=0，∵x1+x2=2，y1+y2=，k===．∴=，又∵c2=a2﹣b2=10b2﹣b2=9b2，c2=9，∴b2=1，a2=10，即标准方程为=1．故选：A．12．（5分）已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2016f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＜e2016f（0）B．e2016f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＞e2016f（0）C．e2016f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＞e2016f（0）D．e2016f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＜e2016f（0）【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，因为f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，所以g（﹣2016）＞g（0）＞g（2016）即＞＞，所以f（0）＜=e2016f（﹣2016），e2016f（0）＞f（2016），故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上.）13．（5分）已知复数z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，则复数z1•z2的实部是cos （α+β）．【解答】解：∵z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，∴z1•z2=（cosα+isinα）（cosβ+isinβ）=cosαcosβ﹣sinαsinβ+（cosαsinβ+sinαcosβ）i=cos（α+β）+sin（α+β）i．∴z1•z2的实部为cos（α+β）．故答案为：cos（α+β）．14．（5分）与双曲线﹣=﹣1共焦点，且过点（1，2）的圆锥曲线的方程为+=1或﹣=1．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=﹣1，变形可得﹣=1，其焦点在y轴上，c==，则其焦点坐标为（0，±）；若要求的圆锥曲线为椭圆，设其方程为+=1，则有，解可得a2=8，b2=2，则要求椭圆的方程为：+=1；若要求的圆锥曲线为双曲线，设其方程为﹣=1，则有，解可得a2=3，b2=3，则要求双曲线的方程为：﹣=1；综合可得：要求圆锥曲线的方程为+=1或﹣=1；故答案为：+=1或﹣=1．15．（5分）若xdx=2，则常数a的值为2．【解答】解：由xdx=x2|=a2=2，解得a=2，故答案为：216．（5分）抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则实数m的值为2．【解答】解：由题意，=﹣1，y2﹣y1=2（x22﹣x12），∴x1+x2=﹣，在直线y=x+m上，即，所以有2（x22+x12）=x2+x1+2m，即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]=x2+x1+2m，∴2m=4，∴m=2，故答案为2．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2）．（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求{a n}的通项公式．【解答】（1）证明：a n=（n≥2）则：﹣S n=2S n S n﹣1整理得：S n﹣1所以：即：数列{}为等差数列．（2）解：由（1）得：则：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==﹣所以：18．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．【解答】解：（Ⅰ）已知：，，则：=msin2x+ncos2x，y=f（x）的图象过点y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．则：解得：，即：m=，n=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，f（x）向左平移φ个单位得到：g（x）=2sin（2x+2Φ+），设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）=2，解得：Φ=，所以：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ （k∈Z）则：单调递增区间为：[]（k∈Z）故答案为：（Ⅰ）m=，n=1（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈Z）19．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE=B1F=1．（Ⅰ）求证：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求点E到平面ACF的距离．【解答】解：（Ⅰ）如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，5），E（0，0，1），F（2，2，4）∴=（﹣2，2，0），=（0，2，4），=（﹣2，﹣2，1），=（﹣2，0，1）．∴∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF=A∴BE⊥平面ACF（Ⅱ）由（Ⅰ）知，为平面ACF的一个法向量∴向量在上的射影长即为E到平面ACF的距离，设为d于是d==故点E到平面ACF的距离20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点A（，﹣）．（1）求椭圆的方程；（2）已知y=kx+1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由．【解答】解：（1）由已知，焦距为2c=2，解得c=．又在椭圆C上，∴=1，又a2=b2+c2，联立解得a2=3，b2=1．故所求椭圆的方程为：=1．…（5分）（2）当k=0时，直线l：y=1，点不在椭圆上；…（6分）当k≠0时，可设直线，即，代入椭圆方程整理得（4k2+12）y2+4k（k﹣3）y+（k﹣3）2﹣12=0，∵，∴，…（10分）若点A与点B关于l的对称，则其中点在直线y=kx+1上，∴，解得k=﹣1．因为此时点在直线y=﹣x+1上，…（11分）所以对称点B与点A重合，不合题意所以不存在y2=4x满足条件…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=在x=1处取得极值．（1）求a的值，并讨论函数f（x）的单调性；（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得f′（x）=，所以f'（1）=1﹣a=0即a=1，∴f′（x）=，令f'（x）＞0，可得0＜x＜1，令f'（x）＜0，可得x＞1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．（2）由题意要使x∈[1，+∞）时，f（x）≥恒成立，即m≤，记h（x）=，则m≤[h（x）]min，h′（x）=，又令g（x）=x﹣lnx，则g′（x）=1﹣，又x≥1，所以g′（x）=1﹣≥0，所以g（x）在[1，+∞）上单调递增，即g（x）≥g（1）=1＞0，∴h′（x）=＞0，即h（x）在[1，+∞）上单调递增，所以[h（x）]min=h（1）=2，∴m≤2．四、选做题.（本小题满分10分.请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．）22．（10分）已知A、B、C是△ABC的三个内角，a、b、c为其对应边，向量=（﹣1，），=（cosA，sinA），且•=1（1）求角A；（2）若c=，=，求△ABC的面积S．【解答】解：（1）∵=（﹣1，），=（cosA，sinA），∴•=sinA﹣cosA=2sin（A﹣）=1，∴sin（A﹣）=，∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，∴A﹣=，∴A=；（2）∵=，=，变形整理可得b2=c2，∴b=c，又∵A=，∴△ABC为等边三角形，又c=，∴△ABC的面积S=×（）2×=23．设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．【解答】解：（1）当a=1时，f′（x）=，∴当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，2）时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，2）；…（5分）（2）当x∈（0，1]时，f′（x）=+a＞0，即f（x）在（0，1]上单调递增，故f（x）在（0，1]上的最大值为f（1）=a，因此a=．…（10分）24．已知曲线C：（φ为参数）．（1）将C的方程化为普通方程；（2）若点P（x，y）是曲线C上的动点，求2x+y的取值范围．【解答】解：（1）由曲线C：（φ为参数），∴即=1…（5分）（2）2x+y=4cos φ+3sin φ=5sin（φ+θ），其中θ由tanθ=确定．∴2x+y∈[﹣5，5]．∴2x+y的取值范围是[﹣5，5]．…（10分）．。