4.平行线的证明方法专题

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证明平行的方法

证明平行的方法在几何学中，平行线是指在同一平面上永远不会相交的直线。

证明两条直线平行的方法有很多种，下面将介绍几种常见的证明方法。

1. 同位角相等法。

同位角是指两条直线被一条第三条直线所切割时，位于这两条直线同侧的对应角。

如果两条直线被一条第三条直线所切割，而同位角相等，则可以证明这两条直线平行。

这是由于同位角相等是平行线的必要条件。

在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组同位角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。

2. 转角相等法。

转角相等法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的内部转角相等，则可以证明这两条直线平行。

在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组内部转角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。

3. 垂直线法。

垂直线法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的交叉角相等，则可以证明这两条直线平行。

在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量交叉角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。

4. 对应角相等法。

对应角相等法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的对应角相等，则可以证明这两条直线平行。

在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组对应角，如果它们相等，则可以得出结论，这两条直线平行。

5. 平行线性质法。

平行线性质法是指如果两条直线被一条第三条直线所切割，而它们的一组内部转角之和为180度，则可以证明这两条直线平行。

在实际操作时，可以利用角度的测量工具来测量两组内部转角，如果它们之和为180度，则可以得出结论，这两条直线平行。

综上所述，证明两条直线平行的方法有同位角相等法、转角相等法、垂直线法、对应角相等法和平行线性质法等多种。

在实际操作中，可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。

希望本文介绍的方法能够对大家理解和掌握平行线的证明提供帮助。

平行线四种常见模型解题技巧(解析版)--2024年新八年级数学

平行线四种常见模型解题技巧题型聚焦题型一：“猪蹄”模型题型二：“铅笔”模型题型三：“鸡翅”模型题型四：“骨折”模型难题突破模型一：“猪蹄”模型如图，若AB⎳CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？解：∠B+∠D=∠DEB．理由如下：过点E 作 EF⎳AB又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠DEB即∠B+∠D=∠DEB．猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。

如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．小结证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。

重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。

猪蹄模型(又名燕尾模型、M字模型)结论：∠B+∠D=∠E步骤总结步骤一：过猪蹄(拐点)作平行线步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角步骤三：推导出角的数量关系模型二、“铅笔”模型如图，AB⎳CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系？解：∠B+∠D+∠DEB=360°．理由如下：过点E 作 EF⎳AB．又 ∵AB⎳CD．∴EF⎳CD．∴∠B+∠BEF=180°．∠D+∠DEF=180°．∴∠B+∠D+∠DEB=∠B+∠D+∠BEF+∠DEF=360°．即∠B+∠D+∠DEB=360°．从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。

模型结论：∠B+∠E+∠D=360°二、模型证明如图，若AB⎳CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°证明一：如图，过点E作FG⎳AB∵ AB⎳FG，AB⎳CD∴ FG⎳CD∵ AB⎳FG∴∠BEF+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)∵FG⎳CD∴ ∠D+∠DEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°证明二：如图，连接BD，∵AB⎳CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。

证明线面平行的三种方法

证明线面平行的三种方法一、平行线的定义在欧几里得几何中，平行线是指在同一个平面中，永不相交的两条直线。

如果两条直线在平面上的任意一点处的夹角都相等，则这两条直线是平行线。

二、方法一：同位角定理同位角定理是证明线面平行中常用的一种方法。

同位角是指两条平行线被一条横截线所切割的角，它们在同一边的对应角。

1.假设有两条直线AB和CD，以及一条平行于AB和CD的横截线EF。

2.判断同位角：观察EF与AB和CD所形成的角，如果这些角相等，则可以得出AB和CD是平行线。

3.证明同位角相等：可以利用已知角度相等的定理，如垂直角定理（两条直线相交时，所形成的四个角中相对的角度相等）或同旁内角互补定理（两条直线切割同位角时，同位内角和邻补角的和为180度）来证明同位角相等。

三、方法二：转角定理转角定理也是证明线面平行中常用的一种方法。

该定理表明，如果两条直线所形成的转角相等，则这两条直线是平行线。

1.假设有两条直线AB和CD，以及一条与AB相交的横截线EF。

2.观察EF与AB和CD所形成的转角，如果这些转角相等，则可以得出AB和CD是平行线。

3.证明转角相等：可以利用已知角度相等的定理，如同位角定理、垂直角定理或同旁内角互补定理来证明转角相等。

四、方法三：等边三角形法等边三角形法是证明线面平行的另一种常用方法。

该方法利用了等边三角形的性质，即等边三角形的对边是平行的。

1.假设有两条直线AB和CD，以及一条与AB相交的横截线EF。

2.构造一个等边三角形AEF，其中AE=EF=AF，使得EF与CD重合。

3.由于AEF是等边三角形，所以DE=DF。

4.由于DE=DF且EF与CD重合，可以得出DE与CD重合，即DE和CD是平行线，从而得出AB和CD是平行线。

五、总结通过同位角定理、转角定理和等边三角形法，我们可以方便地证明线面平行的关系。

这些证明方法在几何学中的应用非常广泛，可以帮助我们研究和解决与平行线有关的问题。

在实际生活中，平行线的概念和性质也有着广泛的应用，如建筑、制图等领域。

北师大版八年级数学(上)第七章平行线的证明第4节平行线的判定

B．∠2＝∠4
C．∠A＝∠5
D．∠ABC+∠C＝180°
解：A、∠1＝∠3 可知 AB∥CD，不能判断 AD∥BC，故 A 错误；
B、∠4＝∠2 能判断 AD∥BC，故 B 正确；
C、∠A＝∠5 可知 AB∥CD，不能判断 AD∥BC，故 C 错误；
平行线的判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简已述知为：知：如内图识错,∠点角1和相∠等2，是两直直线线a，平b行被.直线c截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a// b. 证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（对顶角相等）， ∴∠3=∠2（等量代换）. ∴a//b（同位角相等，两直线平行）.
解：A、∵∠A＝∠BDF，∴DF∥AC，错误；
B、∵∠1＝∠3，∴DF∥AC，错误；
C、∵∠2＝∠4，∴DE∥BC，正确；
D、∵∠A+∠ADF＝180°，∴DF∥AC，错误；故选：C．
例 2：已知：如图，在△ABC 中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为 D，F，∠1＝∠2．
求证：DE∥BC．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∴EF∥BD，∴∠1＝∠EDB，
当∠3＝∠4 时，可知是 DE 和 AC 被 AB 所截得到的内错角，可得 DE∥AC，故 C 可以；
当∠2+∠A＝180°时，是一对同旁内角，可得 DE∥AC；故 D 可以；故选：B．
练习：如图，下列四个条件中，能判断 DE∥BC 的是（）
A．∠A＝∠BDF
B．∠l＝∠3
C．∠2＝∠4
D．∠A+∠ADF＝180°
练习：四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线．求证：

证明线面平行的三种方法

证明线面平行的三种方法
证明线面平行有以下三种方法：
直接法。

直接法是最常见的一种证明线面平行的方法，即通过对给定的线段和平面作出垂线，证明垂线互相重合，从而说明所给线段与平面平行。

例如，已知线段AB和平面CD，作点E使AE⊥CD，BE⊥CD，则AE和BE互相重合，因此AB与CD平行。

反证法。

反证法是通过假设所证明的命题不成立，利用矛盾推导证明该命题成立。

证明线面平行的反证法即假设所给线段与平面不平行，那么在平面内存在一条直线与所给线段相交，从而可以得到一个矛盾，因此该假设错误，所给线段与平面平行。

例如，如果假设AB 与CD不平行，则它们必然会相交，但根据定义，平行的两个直线不会相交，因此假设错误，AB与CD平行。

平行线之间的性质法。

平行线之间的性质是指对于两个平行线及其所在的平面，它们之间的任意一条截线与这两条线的夹角都相等。

因此，用平行线之间的性质来证明线面平行，只需要证明所给线段与平面的任意一条截线与所给线段的夹角等于所给线段与平面的任意一条垂线的夹角即可。

例如，已知线段AB和平面CD，假设通过B点作平面CD的一条截线EF，其中E在AB上，则∠BEF=∠BED，而∠BED是所给线段与平面的垂线的夹角，因此∠BEF=∠BED，证明了线面平行。

平行线的判定及性质例题及练习

平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。

线线平行的证明方法

线线平行的证明方法线线平行是几何学中的一个重要概念，它在直线和平面几何中有着广泛的应用。

在几何证明中，证明线线平行是一个常见的问题，本文将介绍几种常用的证明方法。

首先，我们来看一种常见的证明方法——使用等角定理。

等角定理指出，如果两条直线被一条直线交叉，而又分别与这条直线所成的相同对顶角相等，则这两条直线是平行的。

这个定理可以被用来证明线线平行的问题。

例如，如果我们需要证明AB线与CD线平行，我们可以找到它们与一条直线EF的交点，然后通过观察它们所成的角是否相等来判断它们是否平行。

其次，还有一种证明方法是使用平行线的性质。

平行线有一个重要的性质，即平行线上的对应角相等。

这个性质可以被用来证明线线平行的问题。

例如，如果我们需要证明AB线与CD线平行，我们可以找到它们之间的一组对应角，然后通过观察这些对应角是否相等来判断它们是否平行。

另外，还有一种证明方法是使用平行线的转角定理。

平行线的转角定理指出，如果两条直线被一条直线交叉，而且它们的转角相等，则这两条直线是平行的。

这个定理同样可以被用来证明线线平行的问题。

例如，如果我们需要证明AB线与CD线平行，我们可以找到它们与一条直线EF的交点，然后通过观察它们的转角是否相等来判断它们是否平行。

除了以上提到的方法，还有许多其他方法可以用来证明线线平行的问题，如使用同位角定理、使用平行线的性质等。

在实际的几何证明中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。

总之，线线平行的证明方法有很多种，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。

通过掌握这些证明方法，我们可以更加灵活地解决几何问题，提高解题的效率和准确性。

希望本文介绍的内容能够对大家有所帮助。

小专题三证明平行线中几种常见的结论

小专题（三）证明平行线中几种常见的结论学习目标:1.利用直线的平行性质证明角的相等．2.利用角的关系判定直线平行．学习重点：两直线平行的性质的应用.学习难点：找角的关系来判定两直线平行.学习过程：一、课前热身(知识准备)平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补；二、新知探究：类型1 证明角相等已知：如图1所示，DE//BC，CD平分<ACB，求证：32∠=∠．图1 典例1：已知：如图2所示，AB∥CD，AC∥DE．求证：<A=<D．图2反馈1：已知：如图3所示，AB∥CD，<1=<2，求证：<E= <F．图3类型2 证明角平分线已知：如图4所示，AE ⊥BC,DF ⊥BC,E,F 为垂足，<A =<1．求证：DF 平分<BDC图4典例2：如图5,∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA 平分∠BDF.(1)AE 与FC 会平行吗?说明理由； (2)AD 与BC 的位置关系如何?为什么? (3)BC 平分∠DBE 吗?为什么？图5类型3 证明两直线平行已知：如图6所示，BE 平分<ABC ，CF 平分<ACB ，且<ABC =<ACB,<1=<D ．求证：CF ∥DE ．图6典例3：如图7所示，已知AB ∥CD ，D B ∠=∠，求证：AD ∥BC ．图7反馈2：F E21DCBA如图8所示，已知AB∥CD，EM、FN分别平分<BEF 和<CEF．求证：EM∥NF．图8三、思维模型总结本单元中证明两角相等的方法主要有：（1）对顶角相等；（2）同角（或等角）的余角相等；（3）同角（或等角）的补角相等；（4）两直线平行，同位角相等；（5）两直线平行，内错角相等；（6）两直线平行，同旁内角互补；本单元中证两直线平行的方法主要有：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）都与第三条直线平行的两直线互相平行；四、课堂检测1.如图9所示，点O在CD上，OE⊥AB于E，当<1是什么角时AB∥CD？图92.如图10所示，已知<B=<D，AB∥CE，求证：CE∥DF．图103. 已知：如图11∠1=∠2，∠C =∠D ，问∠A 与∠F 相等吗？试说明理由．图114. 如图12所示，已知BE 、CE 分别平分<ABC 、<BCD ，∠1+∠2=90°．求证：AB ∥CD ．图125.如图13，DE ⊥AB ，EF ∥AC ，∠A=35°，求∠DEF 的度数。

初中_有关平行线的几何题多种证明方法

初中有关平行线的几何题多种证明方法1. 引言1.1 概述平行线是几何中一种重要的线性关系，它们在初中阶段的几何学习中占据着重要地位。

了解平行线的性质和掌握证明方法，不仅能够深入理解几何定理，还有助于提高解题能力和逻辑思维能力。

本文将围绕平行线展开讨论，介绍平行线的几何性质以及不同的证明方法。

1.2 文章结构- 第2部分将首先介绍平行线的定义与特征，并详细探讨平行线间的角关系以及平行线和横截线之间的关系。

- 第3部分将介绍第一种证明平行线性质的方法。

我们将从使用欧几里德几何公理证明平行线性质开始，然后介绍利用平行线惯性法则和运用反证法证明平行线性质这两种方法。

- 第4部分将介绍第二种证明平行线性质的方法。

我们将探讨如何使用坐标几何和向量法来证明平行线性质，同时也介绍运用对角原理进行证明。

- 最后，在第5部分将进行结论与总结的回顾和概括。

1.3 目的本文的目的是为读者提供平行线相关概念的明确理解，并详细介绍不同的证明方法，使读者能够掌握多样化、灵活运用这些方法来解决几何题目。

通过深入学习和理解平行线性质及其证明方法，读者将能够更加熟练地应用这些知识解决实际问题。

同时，也为读者提供了一个系统而全面的初中阶段关于平行线的学习参考。

2. 平行线的性质2.1 定义与特征平行线是在同一个平面上没有交点的两条直线。

根据定义，我们可以得出以下几个特征：（1）平行线具有相同的斜率：如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行线。

（2）平行线具有相同的夹角：当一条直线与另外两条平行线相交时，所形成的对应角或内错角是相等的。

（3）平行线具有镜像关系：如果有一条直线与一条平行于第二个给定直线的直线垂直，并且这两条直线都与第二个给定直线相交，则它们之间也是平行关系。

2.2 平行线间的角关系当两条平行线被横截测量过程中，我们可以得出以下几个角关系：（1）对应角：如果一条横截琴测量到两条平行线上，则所形成的对应角是相等的。

（2）内错角：如果一条横截琴测量到两条平行线之间，则所形成的内错角是相等的。

例谈证明两条直线平行的常用方法

数学篇学思导引数、负数、非正数、非负数等.在求分式方程中参数的值时，若已知分式方程有解，同学们要注意如下两点：一是认真审读题目，弄清题设中解的情况，即明确该解是正数，还是负数等；二是参数的取值要使分式有意义，即分式方程的分母不能为零.例3若关于x 的分式方程x +a x -5+6a 5-x=4的解为正数，则a 的值满足（）.A.a <4B.a >-4C.a <4且a ≠1D.a >-4且a ≠-1分析：本题分式方程有根，求解时既要考虑根为正数的情形，又要考虑分式方程的分母不能为零.解：原方程同时乘以（x -5），可得（x +a ）-6a =4(x -5)，整理可得3x =20-5a ，解得x =20-5a 3.因为分式方程的解为正数，所以20-5a 3>0，即20-5a >0，解得a <4.又因为x -5≠0，所以x ≠5，即20-5a 3≠5，解得a ≠1.所以当a <4,且a ≠1时，原分式方程的解为正数，故正确答案为C 项.评注：求分式方程参数的取值范围，一般先去分母，化分式方程为整式方程；然后用含参数的代数式把分式方程的解表示出来，再由分式方程中解的条件（正数、负数等），将其转化为不等式问题.在这一过程中，同学们特别要注意分式方程有解的隐含条件：分母不能为零.总之，分式方程中参数的值或取值范围与分式方程的增根、无解、有解息息相关.在平时做题时，同学们要仔细审题，把握已知条件，尤其是隐含条件，并注意结合具体情况展开分类讨论，及时检验和修正，从而规避漏解、多解以及错解，提高解题的准确性.我们知道，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.那么，如何证明两条直线平行呢？有关两条直线平行的证明方法有许多，笔者归纳了如下三种常用的证明方法，以期对同学们证题有所帮助.一、利用“平行线判定定理”平行线的判定定理是指两条直线被第三条直线所截，如果同位角、内错角相等，或同旁内角互补，那么这两条直线平行，简称为“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.”它是判定两直线平行的基本定理，也是证明两条直线平行最为常用的一种方法.例1如图1所示，在△MNP 中，∠MNP =90°，NQ 是MP 边上的中线，将△MNQ 沿MN 边所在的直线折叠，使得点Q恰好落在点R 处，从而得到四边形MPNR .求证：RN ∥MP .分析：要想证明RN ∥MP ，关键是确定第三条直线.观察图形，很容易看出，这两条直线是被MN 所截的，由题意易知NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM ，∠RNM =∠QNM ，这样易推出∠QMN =∠RNM ，再由“内错角相等，两直线平行”进而得到RN ∥MP .证明：因为NQ 是MP 边上的中线，且∠MNP =90°，所以NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM .例谈证明两条直线平行的常用方法江阴市夏港中学姚菁菁图127数学篇学思导引又因为△MNR由△MNQ沿MN边所在的直线折叠，所以∠RNM=∠QNM，∠QMN=∠RNM.所以RN∥MP.(内错角相等，两直线平行)评注：在证明两条直线平行时，同学们要注意借助平行线的判定定理，证明这两条直线被第三条直线所截成的同位角、内错角相等，或者同旁内角互补.二、利用“三角形或梯形的中位线定理”由三角形或梯形的中位线定理可知，三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.因此，在证明两条直线平行时，若题目涉及中点，同学们要注意构造中位线，利用三角形或梯形的中位线定理进行求证.例2如图2所示，已知AM平分∠BAC，BM⊥AM，垂足为M，且BN=NC.求证：MN∥AC.分析：由题意可知，点N为边BC的中点，因此要证明MN与AC平行，可以从三角形中位线入手.不妨延长BM交AC于点P，这样只要证明M为边BP的中点，问题自然得证.证明：延长BM交AC于点P.因为AM平分∠BAC，所以∠BAM=∠CAM.因为BM⊥AM，所以∠AMB=∠AMP=90°.又因为AM为公共边，所以△AMB≌△AMP，所以BM=PM.因为BN=NC，所以MN为△BCP的中位线，所以MN∥PC，即MN∥AC.评注：三角形或梯形中位线定理反映了图形间线段的位置关系和数量关系.因此，当问题涉及三角形或梯形的中点时，同学们要注意考虑三角形或梯形的中位线，利用三角形或梯形的中位线定理来破解问题.三、利用“平行四边形对边平行”的性质对边平行且相等，是平行四边形的重要性质之一.因此，在证明两条直线平行时，若问题涉及平行四边形，同学们要注意结合已知条件，先证明这两条直线所在的四边形为平行四边形，再根据“平行四边形对边平行”这一性质判定这两条直线平行.例3如图3所示，已知BD平行四边形ABCD的一条对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AF∥EC.分析：本题涉及平行四边形，仔细观察图形，不难发现，要想证明AF∥EC，实际上只要证明四边形AECF为平行四边形即可.根据已知条件AE⊥BD，CF⊥BD，可以得到AE∥CF.然后由四边形ABCD为平行四边形，易知AB与DC是平行且相等的，进而推出∠ABE=∠ADF.再由∠AEB=∠CFD=90°，易知Rt△ABE与Rt△CDF为全等三角形，由此得到AE=CF，最后根据平行四边形的性质，确定四边形AECF为平行四边形，从而得出AF∥EC.证明：因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以AE∥CF，且∠AEB=∠CFD=90°.因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥DC，且AB=DC，∠ABE=∠CDF.由此可证Rt△ABE≌Rt△CDF.所以AE=CF，所以四边形AECF为平行四边形.所以AF∥EC(平行四边形对边互相平行).评注：平行四边形的两组对边是平行且相等的，利用这一性质既可以证明两直线平行，也可以证明两直线相等.总之，证明两条直线平行的方法多种多样，同学们在平时的学习中，既要注意夯实基础知识，掌握基本定理和推论，又要注意强化训练，结合具体问题，灵活选择恰当的证明方法，从而快速、准确、高效地解题.图2图328。

第四节平行线的判定定理

【变式】如图,∠1=∠2,∠3=75°,∠4=105°.证明AB∥EF.
证明:∵∠1=∠2(已知),
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
∵∠3=75°,∠4=105°, ∴∠3+∠4=75°+105°=180°. ∴CD∥EF(同旁内角互补,两直线平行), ∴AB∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行).
2
2
∴∠1＝∠2(等量代换)．
∴A M ∥ E N (内错角相等，两直线平行)．
∴ ∠M ＝ ∠N (两直线平行，内错角相等)．
1、练习册39-41页 1、2、3、4
定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行
借助“同位角相等，两条直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论？
c a
b
2. 如图，已知直线 b⊥a，c⊥a，那么直线 b 与 c 平行吗？如果平行，请给出证明；如果不平行，请举出反例.
理及已经证明的定理.
定理两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行
a1c b2
∵ ∠1+ ∠2=180o ∴ a∥b
证明一个命题的一般步骤：
(1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知,求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
(C)第一次向左拐75°,第二次向左拐75°
(D)第一次向右拐50°,第二次向左拐50°
3.(2018潍坊)把一副三角板放在同一水平面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,则∠1的度数是( C ) (A)45° (B)60° (C)75° (D)82.5° 4.已知:如图,∠ACF=70°,∠BDN=55°,CM平分∠DCF.求证:CM∥DN.

证明线线平行的方法

证明线线平行的方法：1.垂直于同一平面的两条直线平行2.平行于同一直线的两条直线平行3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行5.线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

证明线面平行的方法：1.直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

2.平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行。

证明面面平行的方法：1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2.面面平行的传递性：如果两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行。

3.垂直与同一直线的两个平面平行。

4.利用向量法证明。

证明线线垂直的方法：1.定义法：两直线夹角90度2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直3.直线与平面的定义：若1条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面的所有直线4.法向量：在空间直角坐标系中，三点两向量确定一个平面，分别于这两个向量垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为0的向量垂直于这个平面，也就叫这个平面的法向量。

证明线面垂直的方法：1.直线垂直于平面内两条相交直线，则线与面垂直。

2.两条平行线一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。

3.如果两个面垂直，则其中一个面内垂直交线的线垂直另一个平面。

4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。

5.1来证。

6.证明面面垂直的方法：1.定义：两个平面相交，它们所成的二面角是直二面角。

2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。

12.设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C 可能是线段AB 的中点(B)D 可能是线段AB 的中点(C)C ，D 可能同时在线段AB 上(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D【解析】由1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)知:四点1A ，2A ，3A ，4A 在同一条直线上,因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且112c d+=, 故选D. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60°（Ⅰ）证明：1AA BD ⊥；（Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.【解析】（Ⅰ）证明：因为AB=2AD ，所以设AD=a,则AB=2a,又因为BAD=∠60°,所以在ABD ∆中,由余弦定理得：2222(2)22cos 603BD a a a a a =+-⨯⨯=,所以BD=3a ,所以222AD BD AB +=,故BD ⊥AD,又因为1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D ⊥BD,又因为1AD D D D ⋂=, 所以BD ⊥平面11ADD A ,故1AA BD ⊥.(2)连结AC,设AC ⋂BD=0, 连结1A O ,由底面ABCD 是平行四边形得:O 是AC 的中点,由四棱台1111ABCD A B C D -知:平面ABCD ∥平面1111A B C D ,因为这两个平面同时都和平面11ACA C 相交,交线分别为AC 、11A C ，故11AC AC ，又因为AB=2a,BC=a, ABC=120∠，所以可由余弦定理计算得，又因为A 1B 1=2a, B 1C 1=2a , 111A B C =120∠，所以可由余弦定理计算得A 1C 1=2a ，所以A 1C 1∥OC 且A 1C 1=OC ，故四边形OCC 1A 1是平行四边形，所以CC 1∥A 1O ，又CC 1⊄平面A 1BD ，A 1O ⊂平面A 1BD ，所以11CC A BD ∥平面.20.（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【解析】（Ⅰ）由题意知1232,6,18a a a ===,因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⋅.（Ⅱ）因为(1)ln n n n b a a =+-=123n -⋅+1(1)ln 23n --⋅, 所以12n n S b b b =+++=1212()(ln ln ln )n n a a a a a a +++-++=2(13)13n ---12ln n a a a =31n --121ln(21333)n n -⋅⨯⨯⨯⨯= 31n --(1)2ln(23)n n n -⋅,所以2n S =231n --2(21)22ln(23)n n n -⋅=91n --22ln 2(2)ln 3n n n --.15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值.16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900.（1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立，求证：c 的最大值为29.10、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为13、设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________16、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线E F ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD20、设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立（1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式 1. F E A D如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ 3cm ．答案：62. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ．答案：23. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．答案：24. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．A B C E F D （第7题）（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值．解：（1）∵3AB AC BA BC = ∴3AB AC cos A BA BC cos B = ∴3AC cos A BC cos B = 由正弦定理得：AC BC sin B sin A =∴3sin B cos A sin A cos B =∴3tan B tan A =（2）∵cos C =0C π<<∴5sinC = ∴2tanC = ∴()2tan A B +=-又∵3tan B tan A =∴23421113tan A tan B tan A tan A tan A tan Atan B tan A tan B tan A++-===--- ∴1tan A =或13- ∵3tan B tan A =∴A ，B 必为锐角，否则A ，B 同时为钝角，这与三角形的内角和小于180矛盾 ∴0tan A >∴1tan A =∴4A π=5. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．证明：（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱 ∴1CC ABC ⊥平面∵AD ABC ⊂平面∴1CC AD ⊥∵AD DE ⊥，且1DE CC E = ∴11AD BCC B ⊥平面∵AD ABC ⊂平面∴11ADE BCC B ⊥平面平面（2）∵11AD BCC B ⊥平面， 11BC BCC B ⊂平面∴AD BC ⊥∵直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC = ∴AB AC =∴D 是BC 的中点∵F 是11B C 的中点 ∴1DFAA ，且1DF AA =∴四边形1AA FD 是平行四边形 ∴1A FAD∵1D F A A E ⊄平面，1D F A A E ⊂平面 ∴1//A F 平面ADE 6. （本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：122n n n n n a n a b *+=∈+N ．（1）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设12nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．解：（1）∵()22222221221211n n n n*n n n n n n n n n nnn n a b a b bb b a b b n N a a b a a a ++⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-=-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝++⎭+ （2）∵0n a >，0n b >∴()()22222n n n n n n a b a b a b +≤+<+∴12212n n n n na ab +<=≤+∵{}n a 是各项都为正数的等比数列 ∴设其公比为q ，则0q >①当1q >时， ∵0n a >∴数列{}n a是单调递增的数列，必定存在一个自然数，使得1n a +> ②当01q <<时 ∵0n a >∴数列{}n a 是单调递减的数列，必定存在一个自然数，使得11n a +< 由①②得：1q = ∴()1*n a a n N =∈∵11n a +<=≤得：1a =，且11a <≤∴1n b =∵*11n n n n b b n N a +==∈， ∴数列{}n b是公比为1a 的等比数列∵11a <≤∴11a ≥ ①当11a >时数列{}n b是单调递增的数列，这与1n b =矛盾 ②11=时数列{}n b 是常数数列，符合题意∴1a∴n b∴1b =1.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ .解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =2.3. 设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .解析：易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+ 所以1212λλ+=4.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析：ABC1ADE F1B1C2252552667123123115521155223 (1),.222222011522360022n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴-><<=>∴==n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12 15.（本小题满分14分）已知()cos sin a αα=，，()cos sin b ββ=，，0βαπ<<<. (1) 若2a b -=，求证：a b ⊥；(2) 设()01c ,=，若a b c +=，求α，β的值.解：(1)()()cos ,sin ,cos ,sin ,0a b ααβββαπ==<<<2a b -= 22a b ∴-=2222a b ab ∴+-= 1122a b +-⋅= 0a b ⋅= a b ∴⊥ (2)()()()0,1,cos cos ,sin sin 0,1cos cos 0sin sin 1c a b cαβαβαβαβ=+=∴++=∴+=∴+=①②22+①②得：()2+2cos 1αβ-= ()1cos 2αβ-=-0023βαπαβππαβ<<<∴<-<∴-=又cos cos 05,66αβαβπππαβ+=∴+=∴==16. （本小题满分14分）如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥,AS AB =. 过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ,G 分别是侧棱SA ,SC 的中点.求证：(1) 平面EFG //平面ABC ; (2) BC SA ⊥. 解：(1),E G 分别是侧棱,SA SC 的中点EG AC ∴∥AC 在平面ABC 中，EG 在平面外EG ∴∥平面ABC,AS AB AF SB =⊥F ∴为SB 中点 EF AB ∴∥AB 在平面ABC 中，EF 在平面外EF ∴∥平面ABCEF 与EG 相交于E,EF EG 在平面EFG 中 ∴ 平面EFG //平面ABC(2)平面SAB ⊥平面SBCSB 为交线AF 在SAB 中，AF SB ⊥AF ∴⊥平面SBC AF BC ∴⊥BC AB ⊥AF 与AB 相交于A ,AF AB 在平面SAB 中 BC ∴⊥平面SAB BC SA ∴⊥ 19. （本小题满分16分）设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.(1) 若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈； (2) 若{}n b 是等差数列，证明：0c =. 解：（1）()()10n a a n d d =+-≠22n n nS na d -=+ 0c =时，nn S b n=112244122342S b a S db a S d b a ====+==+124,,b b b 成等比2142b b b ∴=222222222322202n nk k nk kd d a a a d ad d d aS n a S n k a n S n k a S n S ⎛⎫⎛⎫∴⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴=≠∴=∴===∴=（2）由已知23222222n n nS n a n d n db nc n c+-==++n b 是等差数列∴设n b kn b =+（k,b 为常数）∴有()()32222220k d n b d a n ckn bc -++-++=对任意n N +∈恒成立202202020k d b d a ck bc -=⎧⎪+-=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩0d ≠k c ∴≠∴=此时222dka d b=-=命题得证3.。

证明线线平行的六种方法

证明线线平行的六种方法
线线平行是几何学中的基本概念之一，可以通过多种方法来证明线线平行，本文将介绍六种常用的证明方法。

方法一：同位角定理法
同位角定理指的是：如果两条直线被一条截线分成两对同位角相等的角，那么这两条直线是平行的。

因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的同位角相等即可。

方法二：平行线性质法
如果一条直线与两条平行直线相交，那么它所对应的两个内角互为补角。

因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的内角互为补角即可。

方法三：转折法
转折法是通过反证法来证明线线平行的方法。

假设两条直线不平行，那么它们一定会相交，那么在相交点处一定存在一对同位角不相等的角，这与同位角定理相矛盾，因此假设不成立，两条直线必须平行。

方法四：等夹角法
如果两条直线被一条截线分成一对相等的内角，则这两条直线是平行的。

因此，要证明两条直线平行，只需证明它们被一条截线分成的内角相等即可。

方法五：延长线法
如果两条直线的一对相邻内角互为补角，那么这两条直线是平行的。

因此，要证明两条直线平行，只需找到这两条直线上的相邻内角，将它们延长成一条直线，然后证明这条直线与另一条直线是垂直的即可。

方法六：反向证明法
反向证明法是证明两条直线不平行的方法，只需证明这两条直线的内角不互为补角即可。

因为如果两条直线不平行，它们在相交处的内角一定不互为补角。

通过同位角定理法、平行线性质法、转折法、等夹角法、延长线法、反向证明法这六种方法，我们可以轻松地证明线线平行的问题。

对于几何学的学习来说，掌握这些方法是非常重要的。

平行线证明角度相等的条件分析专题

321EDCBA平行线证明角度相等条件分析思路总结：1. 判断有无位置关系2. 借助邻补角、对顶角确定位置关系3. 借助平行线性质进行等量代换4. 利用等式性质，即角的和差关系一．判断有无位置关系例1.如图所示，已知∠DAC ＝∠ACB ，∠D ＝62°，求∠BCD 的度数．练习：如图，已知AD ∥BE , ∥1=∥2, 请说明∥A =∥E 的理由．注意：角度互补条件也适用哟！！！练习：已知，如图，∥BAE +∥AED =180°，∥M =∥N ,试说明：∥1=∥2．二、借助邻补角、对顶角确定位置关系例2：已知，如图∥1=∥2，∥C =∥D ，∥A =∥F 相等吗？试说明理由．HG21FEDCBA321DCB A A BCD E1 2练习1：如图，已知AB ∥CD , ∥1=∥3, 试说明AC ∥BD ．练习2：已知AB ∥CD ，∥1和∥A 互补，求证：EF ∥CD ．三、借助平行线性质进行等量代换例3：如图,已知：∥1=∥2，∥3=∥4，∥5=∥6．求证:AD ∥BC ．练习1、如图，已知AC ∥DE ，∠1=∠2。

求证：AB ∥CD 。

练习2：如图，E 在直线DF 上，B 为直线AC 上，若∥AGB =∥EHF ，∥C =∥D ，试判断∥A 与∥F 的关系，并说明理由．ABCDE F1O四、利用等式性质，即角的和差关系例4：已知，如图：∠1=∠2，AB ∥ON ，CD ∥OM ，求证：∠B =∠D ．练习：已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∥1=∥2，∥3=∥4．求证：AD ∥BE ．M21ONDCBAAD BCEF 123 4。

平行线性质的证明题方法

平行线性质的证明题方法关于平行线性质的证明题方法平行线是数学的知识，平行线的证明题是怎么一回事呢?该怎么证明呢?下面就是店铺给大家整理的平行线的性质证明题内容，希望大家喜欢。

平行线的性质知识两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

也可以简单的说成：1.同位角相等两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行;如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

也可以简单的`说成：2.内错角相等两直线平行3.同旁内角相等两直线平行这个是平行线的性质一般地，如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

也可以简单的说成：1.两直线平行，同位角相等2.两直线平行，内错角相等3.两直线平行，同旁内角互补平行线的性质证明题解答已知以下基本事实：①对顶角相等;②一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行;④全等三角形的对应边、对应角分别相等.在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有①②①②(填入序号即可).考点：平行线的性质.分析：此题属于文字证明题，首先画出图，根据图写出已知求证，然后证明，用到的知识由一条直线截两条平行直线所得的同位角相等与对顶角相等，故可求得答案.解答：解：如图：已知：AB∥CD，求证：∠2=∠3.证明：∵AB∥CD，∴∠1=∠2，(一条直线截两条平行直线所得的同位角相等)∵∠1=∠3，(对顶角相等)∴∠2=∠3.故用的基本事实有①②.平行线的性质证明题方法探照灯、锅形天线、汽车灯以及很多灯具都与抛物线形状有关。

如图所示的是探照灯的纵剖面，从位于E点的灯泡发出的两束光线EA、EC经灯碗反射以后平行射出。

试探索∠AEC与∠ EAB、∠ECD之间的关系，并说明理由。

你能把这个实际问题转化为数学问题吗?例题1(一题多证)：已知AB∥CD,探索三个拐角∠E与∠A，∠C之间的关系(E在AB与CD之间且向内凹)※ 本题的难点在引导学生添加辅助线构造三线八角及如何利用已知条件AB∥CD。

证平行线的方法

证平行线的方法证明两条直线平行是几何学中常见的问题。

这里将介绍10种证明直线平行的方法，并提供详细描述。

方法一：使用平行线定理平行线定理是证明两条直线平行的最常用方法之一。

该定理表明：如果两条直线在平面上被一条直线所截，使得同侧内角和小于180度，则这两条直线将平行。

详细步骤：1. 画出图形，标出被截直线和两条直线。

2. 根据角度关系计算同侧内角和。

3. 如果同侧内角和小于180度，则这两条直线平行。

方法二：使用垂直线段的特性两条直线垂直时，它们是平行的直线之一。

我们可以使用两条垂直线段的特性来证明两条直线平行。

详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和两条垂直线段。

2. 如果两条垂直线段长度相等，则这两条直线平行。

方法三：使用相似三角形的特性相似三角形的对应角度相等，对应边成比例。

我们可以使用相似三角形的特性来证明两条直线平行。

详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和相似三角形。

2. 如果这两条直线分别与相似三角形的两个平行边相交，则它们平行。

方法四：使用平移变换平移变换是一种几何变换，可以将图形平移或移动。

如果两条直线平移后仍平行，则它们是平行线。

详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和它们的中垂线。

2. 对图形进行平移变换，将其中一条直线平移至另一条直线的位置。

3. 如果两条直线在平移过程中一直保持平行，则它们是平行线。

方法五：使用对顶角的特性对顶角是指两条直线交叉形成的相对角。

如果这些角度相等，则这两条直线是平行线。

详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和它们之间的交点。

2. 计算对顶角。

3. 如果对顶角相等，则这两条直线是平行线。

方法六：使用欧几里德公理欧几里德公理是几何学中的三个基本公理之一，其中一个公理表明：如果一条直线被另一条直线截断，并且同侧内角和小于180度，则两条直线之间没有交点。

详细步骤：1. 画出图形，标出被截直线和两条直线。

2. 根据欧几里德公理，如果同侧内角和小于180度，则这两条直线之间没有交点，因此是平行线。

八年级数学平行线的证明知识点

八年级数学平行线的证明知识点八年级数学平行线的证明知识点在日复一日的学习、工作或生活中，大家最不陌生的就是证明了吧，证明是我们经常用到的应用文体。

写证明的注意事项有许多，你确定会写吗？以下是店铺帮大家整理的八年级数学平行线的证明知识点，希望对大家有所帮助。

八年级数学平行线的证明知识点 11、平行线的性质一般地,如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截,那么同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.也可以简单的说成：两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。

2、判定平行线两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.也可以简单说成：同位角相等两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.其他两条可以简单说成：内错角相等两直线平行同旁内角相等两直线平行初中数学常见公式常见的初中数学公式1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°6.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°7.定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形初中5种数学提分方法1.细心地发掘概念和公式2.总结相似类型的题目3.收集自己的典型错误和不会的题目4.就不懂的问题，积极提问、讨论5.注重实践（考试）经验的培养初中数学有理数的运算加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘得0。

③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。

②0不能作除数。

高中数学专题-直线、平面平行的判定及其性质

直线、平面平行的判定及其性质一、线线平行的证明方法（一）利用平行四边形；（二）利用三角形或梯形的中位线或平移；（三）如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行；（线面平行的性质定理）（四）如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行；（面面平行的性质定理）（五）如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行；（线面垂直的性质定理）（六）平行于同一条直线的两条直线平行；（七）夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

（需证明）二、线面平行的证明方法（一）定义法：直线与平面没有公共点；（二）如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行；（线面平行的判定定理）（三）两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

三、面面平行的证明方法（一）定义法：两平面没有公共点；（二）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行；（面面平行的判定定理）（三）平行于同一平面的两个平面平行；（四）经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行；（五）垂直于同一直线的两个平面平行。

相关例题1．通过“平移”再利用平行四边形的性质① 如图,四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；② 如图,已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB ＝1,BC ＝2,CD ＝1＋3,过A 作AE ⊥CD,垂足为E,G 、F分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；③ 已知直三棱柱ABC －A1B1C1中,D, E, F 分别为AA1, CC1, AB 的中点, M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C1D ⊥BC ；（Ⅱ）C1D ∥平面B1FM.DA 1AF（第1题图）④如图所示, 四棱锥P-ABCD底面是直角梯形,,,ADCDADBA⊥⊥CD=2AB, E为PC的中点, 证明://EB PAD平面;【相关点拨】①取PC的中点G,连EG.,FG,则易证AEGF是平行四边形；②取DB的中点H,连GH,HC则易证FGHC是平行四边形；③连EA,易证C1EAD是平行四边形,于是MF//EA；④取PD的中点F,连EF,AF则易证ABEF是平行四边形2．利用三角形、梯形中位线的性质①如图,已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点,求证：AM∥平面EFG。

证线面平行的常见方法

证线面平行的常见方法1. 用对称性证明线面平行如果两条线段或两个平面之间具有对称性，那么这两者之间的关系就是平行的。

如果两个平面对于某个轴对称，那么它们就是平行的。

如果两条线段相对称，那么就可以通过平移来证明它们平行。

举个例子，如果我们有两个互相垂直的平面，那么它们对于它们的交线具有对称性。

我们可以通过将一个平面上的点对称到另一个平面上来证明这两个平面平行，其中每个点都延伸至它们与交线的距离相等。

另一种证明线面平行的方法是使用投影。

这种方法将两个物体的轮廓投射到同一个平面上，以确定它们是否平行。

如果我们有两条相交的线段，我们可以将它们沿着它们的交点投影到一个新的平面上，然后判断它们是否平行。

如果它们在新平面上的投影是平行的，那么它们本身应该是平行的。

相似三角形定理是在几何学中非常有用的，它可以帮助我们证明三角形之间的相似性以及线面之间的平行性。

当两个三角形中每个角度的大小相等时，它们就是相似的。

根据相似三角形定理，相似的三角形具有相同的比例。

假设我们有两个平行的直线和一条横跨它们的任意直线，如果我们从这条横跨的线上任意选择两个点来与两个平行直线相交，那么与它们相交的各个线段所代表的三角形就是相似的。

因为这些三角形都有相同的角度大小和形状，它们之间的相似性可以用相同的比例来表示。

垂直线性质是在证明线面平行时经常用到的一种方法。

如果一条线段与另外两条直线的夹角均为直角，则这两条直线是平行的。

这个性质也适用于平面上两个直角相交的线。

举个例子，如果我们有两条相交的直线和一条平行于其中一条直线的第三条直线，那么与平行线相交的其他直线的夹角应该是直角，否则平行线将无法保持平行。

这证明了平行线的存在。

向量是另一种证明线面平行的有用工具。

向量的方向和大小定义了一条直线或一个平面的性质。

如果给定两个向量，我们可以通过它们的点积和叉积来计算它们之间的夹角和平行性。

总结：证明线面平行是建立几何学定理的基础之一，在几何学中有重要的应用。

平行线的证明

平行线的证明平行线是几何学中的基本概念之一。

当两条直线在同一个平面上，且在任意一点处的夹角都相等时，我们称这两条直线为平行线。

平行线的性质在几何学中有着重要的应用和意义。

本文将介绍平行线的证明及相关性质。

平行线的证明可以使用多种方法，其中最常见的方法是使用副角定理和对偶定理。

下面将分别介绍这两种方法。

1. 副角定理的证明副角定理是证明平行线的常用方法之一。

该定理表明，如果两条直线AB和CD分别与一条直线EF相交，且在相交点处的内、外角之和为180度，则AB和CD平行。

证明过程如下：假设AB和CD不平行。

那么它们必定会在某个点O相交。

根据副角定理，AOE和COF的内角之和为180度，BOE和DOF的内角之和为180度。

由于AOE和DOF是同旁内角，根据同旁内角定理，它们的外角之和等于180度。

但根据假设，AOE和DOF的外角之和为180度。

这意味着AOE和DOF的外角之和等于AOE和DOF的外角之和，即180度=180度，这是一个显然成立的等式。

根据副角定理的证明，我们可以得出结论：如果两条直线AB和CD 分别与一条直线EF相交，且在相交点处的内、外角之和为180度，则AB和CD平行。

2. 对偶定理的证明对偶定理是另一种证明平行线的方法。

该定理表明，如果两条直线AB和CD分别与一条直线EF相交，且在相交点处的同旁内角相等，则AB和CD平行。

证明过程如下：假设AB和CD不平行。

那么它们必定会在某个点O相交。

根据对偶定理，AOE和COF的同旁内角相等，BOE和DOF的同旁内角相等。

由于AOE和DOF是同旁内角，它们的外角之和等于180度。

但根据假设，AOE和DOF的外角之和为180度。

这意味着AOE和DOF的外角之和等于AOE和DOF的外角之和，即180度=180度，这是一个显然成立的等式。

根据对偶定理的证明，我们可以得出结论：如果两条直线AB和CD 分别与一条直线EF相交，且在相交点处的同旁内角相等，则AB和CD平行。

4.平行线的证明方法专题

证明平行的方法

平行线四种常见模型解题技巧(解析版)--2024年新八年级数学

证明线面平行的三种方法

北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明 第4节 平行线的判定

证明线面平行的三种方法

平行线的判定及性质 例题及练习

线线平行的证明方法

小专题三证明平行线中几种常见的结论

初中_有关平行线的几何题多种证明方法

例谈证明两条直线平行的常用方法

第四节 平行线的判定定理

证明线线平行的方法

证明线线平行的六种方法

平行线证明 角度相等的条件分析专题

平行线性质的证明题方法

证平行线的方法

八年级数学平行线的证明知识点

高中数学专题-直线、平面平行的判定及其性质

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平行线证明角度相等的条件分析专题