圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用

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第10讲：圆锥曲线的切线

第12讲：圆锥曲线的切线不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即0=∆，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。

（一）椭圆的切线：①12222=+b y a x 在点P(00,y x )处的切线方程为12020=+by y a x x ②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为12121=+by y a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222m b k a =+例：已知P 为椭圆13422=+y x 上一动点，求点P 到直线062=--y x 的最小值与最大值。

（二）双曲线的切线：①1-2222=by a x 在点P(00,y x )处的切线方程为1-2020=b y y a x x②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为1-2121=byy a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222-m b k a =（三）抛物线的切线：①py x 22=上某点P （00,y x ）的切线斜率为p x k 0=,点P(px x 2,20)，则切线方程为p x x x p x y 2)(2000+-= ，即pxp x x y 2200-=，通过观察我们知道: 与x 轴的交点为)0,2(x ，切线与x 轴的截距为切点处横坐标的一半，与y 轴的交点为)2-,0(20px ，在y 轴上的截距为切点纵坐标的相反数。

②A （11,y x ），B （22,y x ）均在抛物线py x 22=上，请推证A 、B 处两切线及其两切线的交点坐标。

A 点处切线p x p x x y 2211-=B 点处切线pxp x x y 2222-=两条切线的焦点坐标（1212,22x x x x p+）我们发现：i 、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M 的横坐标 ii 、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：122x x pb =-(b 为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：两切线的交点纵坐标(12222x x pbb p p-==-)与直线与对称轴的截距互为相反数延伸一：过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线相交于A 、B 两点，过A 、B 分别做抛物线的切线，两切线相交于点Q ，通过几何画板作图我们发现：不论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b证明：令过P 的直线为y kx b =+，221212(,),(,)22x x A x B x p p联立22x pyy kx b ⎧=⎨=+⎩得122x x pb =-设A 点处切线pxp x x y 2211-=, B 点处切线p x p x x y 2222-=则两条切线的焦点坐标Q （1212,22x x x x p+） ∴12222Q x x pby b p p -===- 证毕延伸二、过点Q (,)a b （22b pa <）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点A 、B ，直线AB 与y 轴的截距为-b斜率22121212222ABx x x x a p p k x x p p-+===- ∴切点弦方程为：ay x b p=-③对于焦点在x 轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用0=∆求解。

高考高频考点(圆锥曲线)3、圆的切线、切点弦结论

第3讲圆的切线、切点弦结论知识与方法1求过圆()()222:C x a y b r −+−=上一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下：（1）先验证经过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆C 相切，若是，如图1所示，所求切线为0x x =，问题求解完毕；若否，则进行下一步；（2）设切线斜率为k ，如图2所示，由PC ⊥切线，求出k ，用点斜式写出切线的方程，问题求解完毕.上述问题的结论：圆C 上点P 处的切线的方程为()()()()200x a x a y b y b r −−+−−=. 2求过圆()()222:C x a y b r −+−=外一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下：（1）先验证过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆相切，若是，如图3所示，其中一条切线为0x x =（2）设切线的斜率为k ，用点斜式写出切线的方程，由圆心到切线的距离d r =，解出k ，求得切线方程.3.过圆()()222:C x a y b r −+−=外一点()00,P x y 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，如图4所示，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()200x a x a y b y b r −−+−−=典型例题【例l 】圆()22:14C x y −+=在点(P 处的切线方程为______.【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为()()0114x −−=，化简得：30x +=.【答案】30x +=变式1 圆22:230C x y x +−−=在点(2,P 处的切线方程为______.【解析】易验证点P 在圆C 上，故所求切线的方程为222302xx +−−⋅−=，化简得：50x −=【反思】过圆C 上的点()00,P x y 作圆C 的切线，则切线的方程可以在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y+得到.【答案】50x −=变式2 已知圆()22:14C x y −+=，则：（1）圆C 的过点()2,0P −的切线方程为_______；（2）圆C 的过点()3,1Q 的切线方程为_______ 【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线2x =−与圆C 不相切，故可设切线的方程为()2y k x =+，即20kx y k −+=2=，解得：k =，故圆C 的过点P 的切线方程为)25y x =±+；（2）易得过点Q 且斜率不存在的直线3x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()13y m x −=−，即130mx y m −+−=2=，解得：34m =−，所以该切线的方程为()3134y x −=−−，化简得：34130x y +−=，综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为3x =或34130x y +−=.【答案】（1）)2y x =+；（2）3x =或34130x y +−= 【例2】已知圆22:4O x y +=外一点()2,3P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为_______【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为234x y +=，即2340x y +−= 【答案】2340x y +−=变式1 已知圆22:2410C x y x y +−−+=外一点()2,1P −，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为212241022x yx y −++−+−⋅−⋅+= 化简得：310x y +−=【反思】过圆C 外的点()00,P x y 作圆C 的两条切线，则切点弦所在直线的方程，可在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y+得到. 【答案】310x y +−=变式2 已知圆22:4Q x y +=，P 为直线:4l y x =+上一点，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PAOB 的面积为12，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP =，所以四边形PAOB 的面积122S AP AO =⨯⋅=由题意，12=，解得:PO =由题意，点P 在直线:4l y x =+上，故可设(),4P m m +，则PO == 解得：6m =−或2，当6m =−时，()6,2P −−，此时直线AB 的方程为624x y −−=，化简得：320x y ++= 当2m =时，()2,6P ，此时直线AB 的方程为264x y +=，化简得：320x y +−=，所以直线AB 的方程为320x y ++=或320x y +−=【答案】320x y ++=或320x y +−=变式3 已知圆22:4O x y +=，P 为直线:260l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP =，所以四边形PACB 的面积122S AP AO =⨯⋅=PO 最小时，S 也最小，此时PO l ⊥，易求得PO 的方程为20x y −=，联立20260x y x y −=⎧⎨++=⎩解得：65x =−，125y =−，所以612,55P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，故直线AB 的方程为612455x y −−=，化简得：36100x y ++=.【答案】36100x y ++=变式4 已知直线:4l y x =+与x 轴交于点T ，过直线l 上的动点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，设AB 中点为M ，则TM 的最小值为（）A. B. D.3【解析】如图，因为点P 在直线:4l y x =+上，所以可设(),4P m m +，则切点弦AB 所在直线的方程为()44mx m y ++=即()440m x y y ++−=，所以直线AB 过定点()1,1Q −，又M 为AB 中点，所以OM AB ⊥，故点M 在以OQ 为直径的圆上，从而点M 的轨迹是以11,22G ⎛⎫− ⎪⎝⎭为半径的圆，显然点()4,0T −在该圆外，所以minTMTG ==.【反思】当动点P 在与圆C 相离的某一定直线上运动时，过点P 作圆C 的两条切线，则切点弦所在的直线是过定点的直线，熟悉这一模型，本题的求解就不困难了. 【答案】A强化训练1.（★★）圆22:40C x y x +−=在点(P 处的切线方程为（）A.20x +−=B.40x +−=C.40x +=D.20x +=【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为11402xx y +⋅+−⋅=，化简得：20x +=.【答案】D2.（★★）已知圆()22:11C x y +−=，则：（1）圆C 的过点()0,2P −的切线方程为______；（2）圆C 的过点()1,1Q −的切线方程为______.【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线0x =与圆C 不相切，故可设切线的方程为()()20y k x −−=−，即20kx y −−=1=，解得：k =±C 的过点P的切线方程为2y =±−；（2）易得过点Q 且斜率不存在的直线1x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()()11y m x −−=−，即10mx y m −−−=1=，解得：34m =−，所以该切线的方程为()()3114y x −−=−−，化简得：3410x y ++=，综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为1x =或3410x y ++=【答案】（1）2y =±−；（2）1x =或3410x y ++=3.（★★）已知圆()22:12C x y −+=外一点()2,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()21122x y −−+=，化简得：230x y +−=. 【答案】230x y +−=4.（★★）已知圆()()22:129C x y −+−=外一点()4,2P −，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()()()4112229x y −−−+−−=，化简得：45x =−.【答案】45x =−5.（★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=外一点()4,1P −−，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为414244022x y x y −−−−−⋅−⋅−=，化简得：5320x y +−=.【答案】5320x y +−=6.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PACB 的面积为12，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP ==所以四边形PACB 的面积122S AP AC =⨯⋅=由题意，12=，解得：5PC =，由题意，点P 在直线20x y ++=上，故可设(),2P m m −−，则PC =5=，解得：4m =−或1，当4m =−时()4,2P −，此时直线AB 的方程为4242244022x yx y −++−+−⋅−⋅−=，化简得：45x =−，当1m =时，()1,3P −，此时直线AB 的方程为133244022x yx y +−+−−⋅−⋅−=，化简得：15y =，所以直线AB 的方程为45x =−或15y =.【答案】45x =−或15y =7.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______.【解析】()()22222440129x y x y x y +−−−=⇒−+−=⇒圆心()1,2C ，半径3r =.如图，AP ==所以四边形PACB 的面积122S AP AC =⨯⋅= 所以当PC 最小时，S 也最小，此时，PC l ⊥，故PC 的方程为21y x −=−，即10x y −+=，联立1020x y x y −+=⎧⎨++=⎩解得：32x =−，12y =−，即31,22P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，所以直线AB 的方程为()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫−−−+−−−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：5530x y ++=.【答案】5530x y ++=8.（★★★★）已知P 为抛物线2:4C y x =上的动点，过P 作圆()22:44M x y −+=的两条切线，切点分别为A 和B ，则当四边形PAMB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP ==，所以四边形PAMB 的面积122S AP AM =⨯⋅=，所以当PM 最小时，S 也最小，由题意，()4,0M ，可设()2,2P t t ，则()()2222242244416212PM t t t t t =−+=−+=−+，故当t =PM 取得最小值，此时(2,P ±，所以直线AB 的方程为()()2444x −−±=，化简得：20x ±−=.【答案】20x +−=或20x =−=9.（★★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，AB 的中点为Q ，若点T 的坐标为111,1010⎛⎫⎪⎝⎭，则TQ 的最小值为______.【解析】()()22222440129x y x y x y +−−−=⇒−+−=⇒圆心()1,2C ，半径3r =，设(),2P m m −−，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()112229m x m y −−+−−−−=，化简得：()140m x y x y −+−−=，所以直线AB 过定点41,55K ⎛⎫− ⎪⎝⎭，如图，显然CQ KQ ⊥，所以点Q 的轨迹是以CK 为直径的圆，其圆心为111,1010G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，CK ==，因为GT =min 12TQ GT GK =−=.【答案】10。

圆锥曲线的切点弦方程及其应用

圆锥曲线的切点弦方程及其应用摘要：切点弦的问题是圆锥曲线中的重要内容之一，是近几年高考的热点考题，切点弦涉及到的问题，难度较大，技巧性强，计算繁琐，学生遇到此类问题较为棘手，束手无策，这里通过类比推理，探究其规律，掌握其性质，触类旁通，化繁就简，降低难度，进一步提高学习效率。

关键词：圆锥曲线；弦方程；应用1.内容解析1.切点弦的概念：过曲线C（圆，椭圆，双曲线，抛物线）外一点（对非封闭曲线是开口外一点）引两条切线，可以得到两个切点，连接切点即为切点弦。

2.微专题概述：圆锥曲线的切点弦方程是平面解析几何中的一类难点问题，围绕切点弦命制的解析几何试题具有内涵深刻、灵活多变的特点。

本专题在讲解一道课本习题即“过圆上一点圆的切线问题”的求解方法的基础上，立足学生思维的“最近发展区”，通过设置环环紧扣的问题串，最后得出椭圆、双曲线、抛物线的切点弦的一般性结论。

本微专题坚持“以小见大、微中知著”，最终达到启迪学生思维、开阔数学视野、培养类比归纳能力的目的；另一方面，客观题中熟练掌握切点弦方程结论，可以帮助学生有效简化解题过程、提高解题速度。

1.本专题所蕴含的数学思想方法及教学策略分析思想方法：数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般的思想教学策略：讲授法、分组讨论法、引导启示法立足高三年级学生实际、对基本概念和知识点采取讲授的方法；通过设置环环相扣的问题串，让学生分组讨论，教师引导实现同类知识的的迁移和整合归纳；注重问题串的整体性，在问题串的引领下，引导启示学生进行系列、连续的思维活动，使学生思维达到新高度。

1.教学目标1.知识与技能（1）掌握圆锥曲线在某点处的切点弦方程；（2）会用切点弦方程解决一些实际问题；（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。

2.过程与方法首先，通过对过圆上一点的圆的切线的求法的研究，进而设置一些列有较强逻辑关系的问题串，采取学生小组讨论法、教师启发引导法从而完成教学目标。

课题∶圆锥曲线的切线方程和切点弦方程

课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程主讲人：安庆一中李治国教学目标：（1）.掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。

（2）.会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。

（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。

(4) 掌握曲线与方程的关系。

教学重点：切线方程及切点弦方程的应用教学难点：如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程：1. 引入：通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。

2. 知识点回顾：1.2. 3.4. 圆锥曲线切线的几个性质：性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交于点P ，则P 点的轨迹是焦点的对应的准线，并且同理:双曲线,抛物线也有类似的性质3. 例题精讲：练习1：抛物线与直线围成的封闭的图形的面积为，若直线l 与抛物线相切，且平行于直线，则直线l 的方程为例1：设抛物线的焦点为F ，动点P 在直线22200(,)x y r M x y +=过圆上一点的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：220022(,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为：00()yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43260x y -+=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 的重心G 的轨迹方程.4. 圆锥曲线的切点弦方程:1.2.3.4. 练习2：例题3：5.小结: 1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；2. 掌握求曲线方程的方法：3. 两种方程两种思想作业： 6. 反思220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为A ，B 则弦AB 的方程为：22200(,)P x y x y r +=设为圆外一点，则切点弦的方程为：200xx yy r +=220022(,)1x y P x y a b -=过为双曲线的两支作两条切线，则切点弦方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 开口外一点，则切点弦的方程为：00()yy p x x =+22221(,0). x y P m a bA B AB ±=≠对于圆锥曲线，过点，（m 0）作两条切线，切点为，则直线恒过定点22x 21,4312A,B AB OMN y P x y +=+=已知椭圆是在直线位于第一象限上一点，由P 向已知椭圆作两切线，切点分别为，问当直线与两坐标轴围成的三角形面积最小，最小值为多少？2l y x+3P y 2A,B.PAB P x ==∆已知是直线：上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为求面积的最小值。

圆锥曲线的切线切点弦总结归纳(转换坐标系法)

圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳1、椭圆切线推论：已知椭圆C 方程22221x y a b+=（a>b>0），C 上一点P （00,y x ），过点P 且与C 相切的切线L 方程为：12020=+byy a x x 。

12222=+by a x'2'2()()1x y +=推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率分别为1k ，2k ，0010000y ay b k x bx a-==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ⋅=-，∴02101bx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y bx xy x b ay a -=--，又'',x yx y a b ==，∴ 0000()y bx x y x b b ay a a-=--，即为椭圆切线L 方程，化简如下：0000y y bx x x b ay a --=-⋅，000022()()y y y x x x b a --=-，2200002222x x y y x y a b a b +=+，又点P(00,y x )是椭圆上一点，∴2200221x y a b +=，即切线L 方程化简后为：0022x x y ya b+=1；易知当切线L 斜率为0时，P （0,b ±），切线L 方程为：y b =±，满足上式；当切线L 斜率不存在时，P （,0a ±）切线L 方程为：x a =±，也满足上式。

综上，推导完毕。

2、直线与椭圆位置关系判定推论：已知椭圆C 方程12222=+by a x （a>b>0），一直线L 方程为：0Ax By C ++=,则L 与C 相交⇔2222A a B b +>2C ；L 与C 相切⇔2222A a B b +=2C ；L 与C 相离⇔2222A a B b +<2C 。

圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程(高阶拓展、竞赛适用)(学生版)-2025版高中数学一轮复习考点帮

第16讲圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程（高阶拓展、竞赛适用）（4类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线切线的定义2.理解、掌握圆锥曲线的切线问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习1过圆2+2=2上一点0,0的切线方程:B 0+B 0=22.设0,0为椭圆22+22=1上的点,则过该点的切线方程为:B 02+B 02=13.设0,0为双曲线22−22=1上的点,则过该点的切线方程为:B 02−B 02=14.设0,0为抛物线y 2=2B 上的点,则过该点的切线方程为B 0=+05.设0,0为圆2+2=2外一点,则切点弦的方程为:B 0+B 0=26.设0,0为椭圆22+22=1外一点,过该点作椭圆的两条切线,切点为A ,B 则弦B 的方程为:B 02+B 02=17.过0,0为双曲线22−22=的两支作两条切线,则切点弦方程为B 02−B 02=18.设0,0为抛物线2=2B 开口外一点,则切点弦的方程为:001．（2022高三·全国·专题练习）椭圆223144x y +=上点P (1,1)处的切线方程是．2．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知椭圆222:1y C x t+=，离心率为2，过()1,2P 的直线分别与C 相切于A ，B 两点，则直线AB 方程为（）A ．10x y +-=或410x y +-=B ．410x y +-=C ．10x y +-=D ．10x y ++=或410x y +-=3．（22-23高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线221x y m n +=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n+=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（）A ．30x y --=B ．-20x y +=C ．2330x y +-=D ．3100x y --=1．（2022·全国·高三专题练习）求过椭圆221169x y +=上一点3222,2M ⎛⎫⎪⎝⎭的切线l 方程．2．（22-23高三全国·课后作业）曲线194+=上点到直线280x y -+=距离的最小值为．3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线62260x y +-=经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点E 和一个焦点F ．(1)求椭圆的标准方程；(2)求过()5,3P与椭圆相切的直线方程．4．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知椭圆22:1(0)y x M a b a b+=>>过点(6和(3.(1)求M 的离心率；(2)若直线:l y x m =+与M 有且仅有一个交点，求l 的一般式方程.5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是()12,0F -，()22,0F ，且经过点53,22P ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求C 的标准方程；(2)已知直线l 与2PF 平行，且与C 有且只有一个公共点，求l 的方程．考点二、双曲线中的切线方程和切点弦方程1．（2024高三·全国·专题练习）求双曲线2214x y -=在点(3P 处的切线方程．2．（2023高二·全国·专题练习）过点(3,3)P 作双曲线C ：221x y -=的两条切线，切点分别为,A B ，求直线AB 的方程．3．（2022高三·全国·专题练习）已知双曲线22153x y -=的一条切线的斜率为2，求这条切线方程．1．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线2212y x -=在点处的切线方程；（2）已知()1,1P 是双曲线外一点，过P 引双曲线2212y x -=的两条切线,PA PB ，A ，B 为切点，求直线AB的方程．2．（2020高三·江苏·专题练习）在双曲线22925225x y =-上求一点，使到直线30x y --=的距离最短．1．（2022高三·全国·专题练习）抛物线214y x =过点(0,2)-的切线方程为（）A ．0x =B ．22y x =±-C ．2y x =±-D ．2y =-2．（2022高三·全国·专题练习）过点()2,1P -作抛物线C ：22x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，求直线AB 的方程．3．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =，过点()1,1P -作抛物线C 的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N ，则MN =.4．（2024高三·全国·专题练习）已知M 是直线:220l x y --=上的动点，过点M 作抛物线21:4C y x =的两条切线，切点分别为A ，B （与坐标原点O 不重合），当0OA OB ⋅=时，直线AB 的方程为．1．（2023高三·全国·专题练习）过抛物线24x y =上一点()4,4的抛物线的切线方程为.2．（21-22高二下·河南新乡·期末）过点()30A -,作抛物线24y x =的切线，则切点的横坐标为．3．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线C ：24x y =，过直线l ：24x y +=上的动点P 可作C 的两条切线，记切点为,A B ，则直线AB （）A ．斜率为2B ．斜率为2±C ．恒过点()0,2-D ．恒过点()1,2--4．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(2)1M x y ++=上点的距离的最小值为2．(1)求p ；(2)已知点(1,2)P --，PA ，PB 是抛物线C 的两条切线，A ，B 是切点，求AB ．1．（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210+=>>x y a b a b 的右焦点为F ，上顶点为B BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．2．（2021·全国·高考真题）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．1．（2024·四川德阳·三模）已知F 为抛物线C ：24x y =的焦点，过点F 且倾斜角为60o 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A B 、，若抛物线C 在A B 、两点处的切线相交于点P ，则PF =.2．（2024·河南洛阳·模拟预测）（多选）过点4)向抛物线28x y =作两条切线，切点分别为()()1122,,,A x y B x y F 、为抛物线的焦点，则（）A．12x x +=-B ．1232x x =C ．||||49AF BF ⋅=D ．||||18AF BF +=3．（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线(),0y kx a a =+>交与M ,N 两点，(1)当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2e =，椭圆上的点P 与两个焦点12F F 、构成的三角形的最大面积为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点Q 为直线20x y +-=上的任意一点，过点Q 作椭圆C 的两条切线QD QE 、（切点分别为D E 、），试证明动直线DE 恒过一定点，并求出该定点的坐标．5．（2024·全国·模拟预测）设抛物线2:2(0)C x py p =>，直线10x y -+=与C 交于A ，B 两点，且8AB =．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点P 为()2211x y ++=上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线PD ，PE ，设切点分别为D ，E ，试求直线PD ，PE 斜率之积的最小值．6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴为双曲线2212x y -=的实轴，且经过点2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆E 的标准方程．(2)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为00221xx yy a b +=．过椭圆E 的左焦点1F 作直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，过点,A B 分别作椭圆的切线，两切线交于点M ．求证：1MF AB ⊥．1．（2022高三·全国·专题练习）求过椭圆221169x y +=上一点M ⎛ ⎝⎭的切线l 方程．2．（2022高三·全国·专题练习）设双曲线C ：2221x y -=上点P ．求双曲线C 在点P 处的切线l 的方程．3．（2021高三·全国·专题练习）求与双曲线221164x y -=有共同的渐近线，且与直线5680x y --=相切的标准双曲线方程.4．（22-23高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的方程为221x y +=，抛物线的方程为283y x =，则两曲线的公共切线的其中一条方程为．5．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线2:2(0),C x py p C =>的一条切线方程为10x y --=，则C 的准线方程为．6．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知抛物线22(0)y px p =>与斜率为32p 的直线恰有一个公共点P ，则点P 的纵坐标为（）A ．164B ．132C ．116D ．187．（2024高三·全国·专题练习）已知()1,1P 是双曲线外一点，过P 引双曲线2212yx -=的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，求直线AB 的方程．8．（2020·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，动点P 在椭圆22:1169x y C +=上运动，则点P 到直线50x y --=的距离的最大值为．9．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知抛物线24x y =，P 为直线1y =-上一点，过P 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅的值为（）A ．0B ．1C ．-2D ．-110．（2023高三·全国·专题练习）已知点P （x ，y ）是椭圆22194x y +=上任意一点，则点P 到直线l ：y x =+的最大距离为.1．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆221259x y +=与双曲线()2222:10,0x y C m n m n -=>>有公共焦点12,F F ，点94,5P ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，则该双曲线在点P 处的切线的斜率为．2．（2024·广东茂名·模拟预测）已知抛物线C ：24x y =，定点()1,0T ，M 为直线112y x =-上一点，过M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，A ，B 是切点，则TAB △面积的最小值为.3．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知O 为坐标原点，抛物线2=2B >0上有异于原点的()11,A x y ，()22,B x y 两点，F 为抛物线的焦点，以A ，B 为切点的抛物线的切线分别记为PA ，PB ，则（）A ．若2124p x x =，则A ，F ，B 三点共线B ．若212y y p =-，则A ，F ，B 三点共线C ．若π2APB ∠=，则A ，F ，B 三点共线D ．若112FA FB p +=，则A ，F ，B 三点共线4．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知()0,2,A P 是抛物线21:4C x y =上任一点，Q 为PA 的中点，记动点Q 的轨迹为2C .(1)求2C 的方程；(2)过点P 作曲线2C 的两条切线，切点分别为,M N ，求点P 到直线MN 的距离的最小值.5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，上顶点为A ，抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点为2F ．(1)记椭圆C 与抛物线T 在第一象限的交点为B ，若13BF =T 的方程；(2)过点1F 的直线l 与抛物线T 相切于第一象限，切点为P ，证明：直线l 经过点A ，且A 为线段1PF 的中点．6．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，渐近线方程为3y x =±，且经过点P ⎛- ⎝⎭．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P 作双曲线C 的切线,l l 与x 轴交于点Q ，试判断1F PQ ∠与2F PQ ∠的大小关系，并给予证明．7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为1F ，过1F 与x 轴垂直的直线交Γ于,A B 两点，且1AB =，离心率为2.(1)求Γ的方程；(2)已知圆222(0)x y r r +=>上点()00,x y 处的切线方程是200x x y y r +=，利用类比思想可知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b -=.过点(),1(22)C m m -<<分别作双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>的左､右两支的切线，切点分别为,P Q ，连接PQ ，并过线段PQ 的中点F 分别再作双曲线左､右两支的切线，切点分别为,D E ，证明：点,,C D E 在同一条直线上.8．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知椭圆22122:1x y C b a+=与双曲线()222122:10,x y C a b C a b -=>>的焦点与2C的焦点间的距离为1b =.(1)求1C 与2C 的方程；(2)过坐标轴上的点P 可以作两条1C 与2C 的公切线.（i ）求点P 的坐标.（ii ）当点P 在y 轴上时，是否存在过点P 的直线l ，使l 与12,C C 均有两个交点？若存在，请求出l 的方程；若不存在，请说明理由.9．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线C 上的动点M 满足12||||||2MF MF -=，且()()122,0,2,0F F -.(1)求C 的方程；(2)已知直线l 与C 交于,P Q 两点，过,P Q 分别作C 的切线，若两切线交于点R ，且点R 在直线14x =上，证明：l 经过定点.10．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，在椭圆E 上仅存在6个点()1,2,3,4,5,6i M i =，使得12i M F F △为直角三角形，且12i M F F △面积的最大值为2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆E 上一动点，且点P 在y 轴的左侧，过点P 作24y x =的两条切线，切点分别为A 、B .求22OF A OF B S S +△△的取值范围.（1）求实数b 的值；（2）求以点A 为圆心，且与抛物线2．（安徽·高考真题）设F （Ⅰ）过点()0,4P -作抛物线,A B 到直线的距离为（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线点7．（湖南·高考真题）已知抛物线的焦点也是椭圆C的公共弦的长为26.2）过点的直线相交于，两点，与相交于，两点，且在点处的切线与绕点旋转时，（1）求点A，B的坐标；（2）求PAB∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.。

圆锥曲线解题技巧之切线与圆锥曲线的切点如何利用切线与圆锥曲线的切点求解问题

圆锥曲线解题技巧之切线与圆锥曲线的切点如何利用切线与圆锥曲线的切点求解问题1. 引言圆锥曲线是数学中重要的概念之一，涉及到切线和切点的求解问题是圆锥曲线的一个热门话题。

本文将介绍切线与圆锥曲线的切点，并探讨如何利用切线与圆锥曲线的切点求解问题的技巧与方法。

2. 切线与圆锥曲线的切点在二维几何中，切线是一条与曲线相切且仅有一个交点的直线。

对于圆锥曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，其切线与曲线的切点是求解问题的关键。

2.1 切线与椭圆的切点椭圆是圆锥曲线中的一类，具有很多重要性质。

求解切线与椭圆的切点的一种方法是利用椭圆的参数方程。

设椭圆的参数方程为x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中a和b分别为椭圆的长短半轴，θ为参数。

将参数方程代入椭圆的方程，可以得到关于θ的方程。

求解出θ后，再代入参数方程，即可求得切点的坐标。

2.2 切线与抛物线的切点抛物线是另一种常见的圆锥曲线，具有特殊的形状和性质。

对于抛物线，切线与曲线的切点也可以通过参数方程求解。

设抛物线的参数方程为x=t，y=t^2，其中t为参数。

同样地，将参数方程代入抛物线的方程，得到关于t的方程。

解出t后，再代入参数方程，可以求得切点的坐标。

2.3 切线与双曲线的切点双曲线是圆锥曲线中的另一类重要曲线，也可以应用切线与切点求解问题的方法。

对于双曲线，同样可以采用参数方程的方法求解切点的坐标。

设双曲线的参数方程为x=a*secθ，y=b*tanθ，其中a和b分别为双曲线的参数，sec为余割函数，tan为正切函数。

将参数方程代入双曲线的方程，得到关于θ的方程。

解出θ后，再代入参数方程，即可求得切点的坐标。

3. 利用切线与圆锥曲线的切点求解问题在实际问题中，我们经常需要利用切线与圆锥曲线的切点来求解特定的数学问题。

以下是几个常见的应用案例。

3.1 求切线与曲线的夹角通过求解切线与曲线的切点，我们可以进一步求解切线与曲线的夹角。

利用切线的斜率和曲线的导数，可以得到切线与曲线的夹角的正切值。

圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线

圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线
圆锥曲线中点弦公式：py-αx=pβ-α^2。

立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

旋转轴叫做圆锥的轴。

垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。

不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。

曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。

直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。

微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。

为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。

这就要我们考虑可微曲线。

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(奥赛)圆锥曲线的切线与切点弦方程

yy0 p(x x0 )
例题2：对于圆锥曲线 x2 a2
y2 b2
1，过点P(m, 0)，作两条切线，
切点为A，B，求证直线AB恒过定点
证：设A(x1, y1），B(x2 , y2 )
则过A点的切线方程l1：xa12x
y1 y b2
1
则过B点的切线方程l2：xa22x
y2 y b2
1
Y
A
P
F1 H O F2
线，抛物线）的切线交于点P，则P点的轨迹是焦点F1的对应
的．准线，并且 PF1 AB
Y
A P
B F1
O F2
X
例题1：如图，设抛物线
的C焦: y点为x2F，动点P在直线
上运动，过P作抛l :物x 线yC的2 两 0条切线PA、PB 且与抛物线C分别
相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.
yy0 p(x x0 )
圆锥曲线切线的几个性质
性质1 过椭圆（双曲线，抛物线）的准线与其长（实）轴所在直线的交点作椭圆（双曲线，抛物线）的两条切线，则切点弦长等于该椭圆（双曲线，抛物线）的通径．
Y
A
A1 F1 O F2 A2X
B
性质2 过椭圆（双曲线，抛物线）的焦点F1的直线交椭圆（双曲线，抛物线）于A，B两点，过A，B两点作椭圆（双曲
NB
M
O
此时SOMN
1 ，直线AB方程为 3
12
2
x

1
例题4：
已知 e M：x2 +(y-2)2 1, Q是x轴上的动点，QA,
QB分别切 e M于A,B两点。
（1）：如果 AB 4 2 ，求直线MQ的方程；
3

圆锥曲线切线

3.1圆锥曲线切线的定义设直线l '与圆锥曲线相交于P 、Q 两点（对于双曲线P 、Q 在同一支上），将直线绕点P 旋转，使点Q 逐渐靠近点P ，当l '转到直线l 的位置时，点P 与Q 重合，这时直线l 叫做圆锥曲线在点P 的切线，P 叫做切点.经过点P 与切线垂直的直线叫做圆锥曲线在点P 的法线[10].以抛物线为例，作图1如下：3.2圆锥曲线的切线方程（1）过圆锥曲线上一点的切线方程容易得到，过圆锥曲线上一点的切线方程如下：经过椭圆 12222=+by a x 上一点()00,y x P 的切线方程为:12020=+b y y a x x ；经过双曲线12222=-b y a x 、12222=-bx a y 上一点()00,y x P 的切线方程分别为:12020=-b y y a x x 、12020=-bxx a y y ；经过抛物线px y 22±=、py x 22±=的切线方程分别为:()x x p y y o o +±=、()y y p x x o o +±=.所以经过圆锥曲线上一点()00,y x P 的切线方程，就是把圆锥曲线方程中的2x 和2y'分别为换为0x x 和0y y ,x 和y 分别换为)2(0x x +和)2(0y y +，即“替换法则”. （2）定斜率的切线方程容易证明，对于定斜率圆锥曲线的切线方程如下：斜率为k ，并且和椭圆12222=+by a x 相切的切线方程为:222b k a kx y +±=(不问ab的大小)；斜率为k ，并且和双曲线12222=-b y a x 、12222=-bx a y 相切的切线方程分别为:222b k a kx y -±=(222b k a ≥)、222b k a kx y -±=(222a k b ≤)；斜率为k ，并且和抛物线px y 22±=、py x 22±=相切的切线方程分别为:kp y 2±=（k 0≠）、22pk y =.3.3圆锥曲线切点弦从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线（如果存在），那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦[11].圆锥曲线外一点()11,P x y 向圆锥曲线引两条切线，求经过两切点的切点弦方程同样可用2x 和2y 分别换为x x 1和y y 1,x 换成21x x +,y 换成21yy +的“替换法则”去求它，即[12]：经过椭圆 12222=+by a x 上一点()11,y x P 的切点弦方程为:12121=+b y y a x x ；经过双曲线12222=-b y a x 、12222=-bx a y 上一点()11,y x P 的切点弦方程分别为:12121=+b y y a x x ,12121=-bxx a y y ；经过抛物线px y 22±=、py x 22±=上一点()11,y x P 的切点弦方程分别为:()x x p y y o +±=1,()y y p x x o +±=1. 3.4圆锥曲线焦点弦如果经过焦点的直线和圆锥曲线相交于两点，那么经过这两交点的圆锥曲线的弦叫做焦点弦[13]．4 圆锥曲线切线的性质及其应用探讨圆锥曲线有许多共同的优美性质[14].下面我们探讨圆锥曲线的几个简单性质，并给出应用例子，希望这些性质及其应用能有助于初学者对圆锥曲线切线有所了解，从而有效解决相关问题.性质1：在圆锥曲线的准线l （相应准线）上任取一点P ，经过P 点引圆锥曲线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则切点弦AB 经过焦点F （相应焦点）且AB 垂直于PF .证明：首先看椭圆的情形.如图2，设椭圆的方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞０）,在左准线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n c a P ,2，经过P 点所引两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点，则切点弦AB 的方程为：22222b a ny a x cb a =+- . 又左焦点()0,1c F -满足切点弦AB 的方程，所以点1F 在AB 这条直线上，即切点弦AB 过焦点1F ．又因为2201b cnca c c n k PF -=+-+--= ,cn b n a b a k AB 2222=--=,所以有122-=⋅-=cnb b cn k k ABPF即AB 垂直PF ．同理可证在右准线上的点P 引椭圆的两条切线PA ，PB 的切点弦AB 经过右焦点且AB 垂直PF .同理可证对双曲线12222=-by a x 和12222=-bx a y ，性质1也成立.下面看抛物线的情形.如图3，设抛物线的方程为px y 22=，在其准线上任取一点⎪⎭⎫⎝⎛-n p P ,2，则经过点P 引两切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点，则切点弦AB 的方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x p p ny 2.又因为抛物线px y 22=的焦点为⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，满足切点弦AB 的方程，所以切点弦AB经过焦点F .又p np p n k PF -=--=22 ,n p k AB = ，所以有 1-=⋅-=n p p n k k AB PF 即AB 垂直PF .同理可证对于抛物线px y 22-=和py x 22±=，性质1也成立.推论：在圆锥曲线上经过焦点弦AB 两端点的切线的交点P 落在（相应）准线l 上.证明：先看椭圆的情形.设经过椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的焦点弦AB 的两端点A 、B 的两条切线相交于()11,y x P ，则直线AB 的方程为12121=+byy a x x . x又因为焦点()0,C F ±的坐标满足切点弦方程121=±acx ，即c a x 21±= ，故P 点落在圆锥曲线的准线上.同理可证对于双曲线、抛物线推论也成立. 下面举例说明性质1及推论的应用.例1[14]：（2006年全国高考题（Ⅱ）理第21题）已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且−→−−→−=FB AF λ(λ＞0)，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .（1）证明−→−−→−⋅FB FA 为定值；（2）设的△ABM 面积为S ，写出()λf S =的表达式并求S 的最小值. 解法一:详见2006年全国高考题（Ⅱ）理第21题数学试题卷(理科类)答案. 解法二：（1）−→−−→−=FB AF λ∴A 、F 、B 三点共线.即直线AB 经过抛物线y x 42=的焦点F . ∴由性质1知 AB FM ⊥. ∴−→−−→−⊥AB FM . 即0=⊥−→−−→−AB FM .∴−→−−→−⋅FB FA 为定值0.（2）直线AB 经过抛物线y x 42=的焦点 ∴两切线的交点M 在准线上 −→−−→−⊥AB FM AB FM S ⋅=∴21AB 为定值且4=AB∴要求S 的最小值，需求FM 的最小值∴当且仅当M 在y 轴上时，即()1,0-M 时，S 取得最小值4422121=⨯⨯=⋅=∴AB FM S ∴S 的最小值为4.说明：（1）由性质1的结论知，本题中的M 事实上在准线2py -=上且−→−−→−⊥AB FM ，这样此题便可迎刃而解.（2）由推论知M 在准线上，当且仅当M 在y 轴上，即()1,0-M 时,S 取得最小值.这样来解答相对较简单，节约解题时间.例2[15]:（2006年重庆高考试题文科22题）如图4,对每一个正整数n ,()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点,过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点()n n n t s B ,.(1)试证: 4-=n n s x (n ≥1);(2)取n n x 2=,并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两切线的交点.试证:122121+-=++++-n n n FC FC FC .下面主要看第二问的解答.解法一:详见2006年全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(文科类)答案.解法二:(1)略.(2)nn x 2= ∴42422n n x y ==,则n A 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝4,22n n n A ，所以过n A 的直线的斜率()n n x x y k 22211==='=-. 设()y x C n ,，则直线n n C A 的方程为:()n n nx y 224212-=--.由性质1推论知, n n C A 与n n C B 的交点n C 在相应准线1-=y 上.把1-=y 代入直线n n C A 方程解得1212--=n n x .yx故有⎪⎭⎫⎝⎛----1,21211n n n C ,又()1,0F .∴1121122112122122212------+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==n n n n n n n FC .().1222112112121212121122211121221+-=--+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=++++---n n n nn n n FC FC FC 说明：此解法优点在于,利用圆锥曲线切线性质求出两切线交点坐标,可大大减少运算量，减少运算时间.由推论知当直线l 过焦点并与圆锥曲线交于A 、B 两点，则经过A 、B 的两切线的交点落在相应的准线上；那么对于任一点()00,y x P 任作直线l 与圆锥曲线交于M 、N 两点,经过M 、N 的两切线的交点是否也落在某一固定的直线上呢？为此通过证明得出性质2.性质2：过圆锥曲线外任一点()00,y x P 作直线l ，交圆锥曲线于M 、N 两点,若圆锥曲线在点M 、N 处切线的交点为Q ，则点Q 在一定直线上.证明：首先来看椭圆的情形.设椭圆的方程为12222=+by a x (a ＞b ＞０),过椭圆外一点()00,y x P 任作直线l 交椭圆于M 、N 两点,椭圆在点M 、N 处切线的交点为Q .设),(11y x M 、),(22y x N ,则两切线的方程分别为:MQ :12121=+b y y a x x ，NQ :12222=+byy a x x . 可解得交点的坐标为：1221122)(y x y x y y a x --=， 1221122)(y x y x x x b y ---=. 设过点()00,y x P 的直线l 的方程为)(00x x k y y -=-,则0011)(y x x k y +-=, 0022)(y x x k y +-=.于是()[][]()()0012002200211221)(y kx x x y x x k x y x x k x y x y x --=+--+-=-，()1212x x k y y -=-.所以()()()00200121221221122)(y kx ka y kx x x x x ka y x y x y y a x -=---=--=, ()()()00200121221221122)(y kx b y kx x x x x b y x y x x x b y --=----=---=. 消去k ,得12020=+b y y a x x .所以点P 在定直线12020=+by y a x x 上. 说明:（1）当点P 在椭圆内部时,任作直线l 与椭圆都有两个交点,此时轨迹为直线12020=+byy a x x .(2）当点P 在椭圆外部时,要使过点P 的直线与椭圆有两个交点,则斜率k 受到限制.同理可证双曲线对性质2也成立.设双曲线方程为12222=-by a x (a ＞0，b ＞０),过双曲线外一点()00,y x P 任作直线l 交双曲线于M 、N 两点,双曲线在点M 、N 处切线的交点为Q ,则点Q 在定直线12020=-byy a x x 上. 说明：当点P 在无穷远处时,过点P 任作直线即为一族平行直线.此时问题变为:斜率为k 一组平行直线交圆锥曲线于M 、N 两点,过M 、N 两点的切线的交点在一定直线上.下面看抛物线的情形.已知抛物线px y 22=，过抛物线外一点()00,y x P 任作直线l 与交抛物线于M 、N 两点,曲线在点M 、N 处的切线交点为Q .设),(11y x M 、),(22y x N ,则两切线的方程分别为:MQ :)(11x x p y y +=,NQ :)(22x x p y y +=.可解得交点的坐标为：211221y y y x y x x --=，2121y y x x p y --=.设过()00,y x P 的直线l 的方程为:()00x x k y y -=-.把0011)(y x x k y +-=,0022)(y x x k y +-=代入直线l 的方程解得:kkx y x 00-=，n py =.再消去k ，得()00x x p y y +=.所以点P 在定直线()00x x p y y +=上,故性质2得证. 特别地，当点P 坐标取圆锥曲线的焦点坐标时，该性质变为性质1的推论，即性质2为性质1的推论推广[16].例3：已知抛物线C :2x y =,过点()2,0P 的直线交抛物线于M 、N 两点,曲线C 在点M 、N 处的切线交点为Q ,求点Q 所在的直线.解法一:设()11,y x M , ()22,y x N ,则211x y =,222x y =,过点M 、N 的切线方程分别为()1121y y x x +=，()2221y y x x +=. ∴()11212x x x x y -=- ，()22222x x x x y -=-, 由这两方程解得221x x x +=，21x x y =. 设过点()2,0P 的直线斜率为k ，则方程为2+=kx y (1) 把（1）式代入抛物线方程2x y =，消去y ，得 022=--kx x .由韦达定理得 2,2121-==+x x k x x ,所以2-=y .即点Q 的轨迹在定直线2-=y (x ∈R)上.解法二：由性质2和2x y =知21=p 把00=x ，20=y 代入方程 ()00y y p x x += 得2-=y ，即点Q 的轨迹在定直线2-=y (x ∈R)上.说明：在解题时如果学生懂得性质2，那么就可以直接利用公式来解决，节约做题时间.例4[17]:(2005年江西高考题理科试卷)设抛物线C :2x y =的焦点为F ,动点P 在直线：02=--y x 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB 且与抛物线C 分别相交于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程; （2）证明：∠PFA =∠PFB .解：详见2005年江西高考题理科试卷答案.由（2）的结论和答案激发了一种思想：对于圆锥曲线外一点P 作圆锥曲线的两条切线，切点分别为A 、B .F 为圆锥曲线的其一焦点.当P 点在F 相应的准线上时，由性质1知AB PF ⊥,即∠PFA =∠PFB = 90.当点P 不在准线上时，是否也有∠PFA =∠PFB ？为此通过证明得出性质3.性质3：过圆锥曲线外一点P 作圆锥曲线的两条切线PA ，PB ，其中A 、B 为切点，F 为圆锥曲线的焦点，则PFB PAF ∠=∠.证明：先看椭圆的情形.如图5,设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞０）,()n m P ,，()11,y x A ，()22,y x B ，则直线AB 的方程为122=+bny a mx ,即 02222=-+b a ny a mx b . 所以 0221212=-+b a ny a mx b ，则有212221amx b b a ny -=. 设F 为左焦点，则()0,c F -，所以()11,y c x FA +=−→−，()n c m FP ,+=−→−,故P=⋅−→−−→−FP FA ()11,y c x +()n c m ,+()()11ny c x c m +++=()()212221a mx b b a c x c m -+++=()()22212a a cm a x a mc c +++=()()2212mc a cx a a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=m ac a x ac a 1()()em a ex a ++=1（e 是椭圆的离心率）.由向量的内积公式PFA FP FA FP FA ∠⋅=⋅−→−−→−−→−−→−cos ||||，所以()()−→−−→−−→−−→−−→−−→−⋅+⋅+=⋅⋅=∠FPFA em a ex a FPFA FPFA PFA 1cos又由椭圆的焦半径公式可知：1||ex a FA +=−→−，所以()()()()−→−−→−+=⋅++⋅+=∠FPem a FPex a em a ex a PFA 11cos同理可得:()−→−+=∠FPem a PFB cos ，所以PFB PFA ∠=∠.说明：当F 为右焦点时，同理可得PFB PFA ∠=∠. 同理可证对双曲线性质3也成立.下面看抛物线的情形.如图6，设抛物线的方程为：px y 22=，()n m P ,，()1,1y x A ，()2,2y x B ，则直线AB 的方程为: ()x m p ny +=.所以()11x m p ny += ，又⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=−→−11,2y p x FA ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=−→−n p m FP ,2,故()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅−→−−→−222222,2,21111111p m p x x m p p m p x ny p m p x n p m y p x FP FA由向量的内积公式 PFA FP FA FP FA ∠⋅=⋅−→−−→−−→−−→−cos ||||，所以||||22||||cos 1−→−−→−−→−−→−−→−−→−⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅=∠FP FA p m p x FP FA FP FA PFA又由抛物线的焦半径可知：2||1px FA +=−→−，所以 ||2||222||||cos 11−→−−→−−→−−→−−→−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⋅=∠FP p m FP p x p m p x FP FA FP FA PFA 同理可得：||2cos −→−⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∠FP p m PFB ，所以 PFB PFA ∠=∠.说明：如果在教学中教师能引导学生这样分析和探讨得出性质3，那么像例4第二问这样的题目学生在解答时可做到心中有数,且能信心十足地解答好该题[18].性质4：经过圆锥曲线外一点P （双曲线两焦点所在的线段中点除外）作圆锥曲线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .过P 作倾斜角为θ的直线交圆锥曲线于M 、N 两点，与切点弦交于C 点，则直线MN 上的三线段PM 1、PC 1、PN1成等差数列. 证明：首先看椭圆的情形.如图7,设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞０），椭圆外一点()00,y x P ，两切点为A 、B 两点，则直线AB 的方程为：12020=+by y ax x （1）.设直线MN 的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （t 为参数）（2）,由（1）、（2）式得2020220220sin cos 1b y a x b y a x t +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 且PC t =. 再将（2）代入椭圆方程12222=+by a x ，得关于t 的方程：01sin cos 2sin cos 220220202022222=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x b y a x t t b a θθθθ.因为直线与圆锥曲线有两个交点,所以()2002222sin sin sin cos θθθθy x a b --+=∆>0，方程有两根，设两根为1t 、2t ，则PM t =1，PN t =2,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+220222020*******sin cos 21111b y a x b y a x t t t t t t PN PM o θθ 由此可发现PCt PN PM 2211==+ 故PM 1、PC 1、PN1成等差数列.同理可证对双曲线性质4也成立.下面看抛物线的情形.如图8，设抛物线的方程为px y 22=，抛物线外一点()00,y x P ，两切点分别为A 、B 两点，则直线AB 的方程为：()x x p yy +=00（1）.设直线MN 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （t 为参数）（2）,由（1）、（2）式得:θθcos sin 2020p y y px t --=且PC t = 把（2）带入抛物线方程px y 22=，得关于t 的方程：()()θθcos 2sin 020t x p t y +=+.所以()02cos sin 2sin 02002=-+-+px y t p y θθθ因为直线与圆锥曲线有两个交点,所以∆＞0，方程有两根，设其两根为1t 、2t ，则PM t =1，PN t =2,所以().22cos sin 21111200212121t y px p y t t t t t t PN PM =--=+=+=+θθ 所以PM 1、PC 1、PN1成等差数列. 特别地，当0=θ时，过P 点的直线PM 平行于对称轴与抛物线只有一个交点M ，这时由高等几何的知识，N 可视作无穷远点，因而有01→PN. 即有 PM 1= PC 2, 故M 是PC 的中点.例5[19]：双曲线方程1422=-y x ，)3,1(-P ,ST 为切点弦，过P 点的直线为2+-=x y ，并与双曲线交于A 、B 两点，与切点弦交于C 点.证明三线段PA1、PC 1、PB1成等差数列.证明: ST 的方程为,134=--y x 与2+-=x y 的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-116,1128C . 11239=∴PC , 392112=PC . 又2+-=x y 与1422=-y x 的交点为()0,2A ，⎪⎭⎫⎝⎛-34,310B . 621=∴PA , 26231=PB ∴PC PB PA 23921126236211==+=+ ∴PA 1、PC 1、PB1成等差数列. 性质5：从圆锥曲线上一点P 引切线和法线分别交x 轴所在直线于T 、N ，交y 轴所在直线于T '、N '，则N P PN T P PT '⋅='⋅.证明：先看椭圆等的情形.如图10，设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞０）,经过其上一点()ααsin ,cos b a P 的切线与法线方程分为:ab y a x b =⋅+⋅ααsin cos ,()ααααcos sin cos sin 22b a y b x a -=⋅-⋅x它们与长轴所在直线的交点是：⎪⎭⎫ ⎝⎛0,cos αa T ，()⎪⎭⎫⎝⎛-0,cos 122αb a a N .它们与短轴所在直线的交点是：⎪⎭⎫ ⎝⎛'αsin ,0b T ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'b b a N αsin ,022. 于是有 222222sin sin cos sin cos cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅ααααααb b a b a a T P PTαα2222cos sin b a +=()()2222222222sin sin cos sin cos cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='⋅b b a b a b a b a a N P PN αααααα αα2222cos sin b a +=故N P PN T P PT '⋅='⋅其次看双曲线的情形.如图11，设双曲线的方程为12222=-by a x ，过其上一点()θθtan ,sec b a P 的切线与法线方程分为:ab y a x b =⋅-⋅θθtan sec ，()θθθθsec tan sec tan 2⋅+=⋅+⋅b a y b x a .故T 、T '、N 、N '的坐标分别为:⎪⎭⎫ ⎝⎛0,sec θa T ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-'θtan ,0b T ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,sec 22a b a N θ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'b b a N θtan ,022 于是有 22222tan tan sec tan sec sec ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅θθθθθθb b a b a a T P PTθθ2222sec tan b a +=22222222tan sec tan sec ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='⋅b a a b a b N P PN θθθθ θθ2222sec tan b a += 即N P PN T P PT '⋅='⋅再次看抛物线的情形.如图12，设抛物线的方程为px y 22±=,过其上一点()pt pt P 2,22的切线与法线方程分别为:0222=+-pt ty x ，()22122t pt y tx +-+故T 、T '、N 、N '的坐标分别为:()0,22pt T -，()()0,212t p N +，()pt o T ,'，()()2212,0t pt N +'于是有 ()()()()2222222222pt pt pt pt pt pt T P PT -+⋅++='⋅()222412t t p +=()()[]()()[]22222221222212t pt pt pt t p pt N P PN +-+⋅+-='⋅()222412t t p +=所以N P PN T P PT '⋅='⋅ ，即性质5得证.例6: 椭圆的方程为192522=+y x ，过其上一点⎪⎭⎫ ⎝⎛-59,4P 得切线l 与x 轴、y 轴相交于T 、T '，过点P 的法线l '与x 轴、y 轴相交于N 、N ',求N P PN '⋅的值.分析：由性质5可知//PN PN PT PT ⋅=⋅，要求N P PN '⋅可转化为求T P PT '⋅.解：直线l 为椭圆的切线，且切点⎪⎭⎫ ⎝⎛-59,4P∴直线l 的方程为1959254=+-yx∴⎪⎭⎫⎝⎛-0,425T ，()5,0T 'x由两点间的距离公式得：20419590442522=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=PT ，()54145954022=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='T P N P PN T P PT '⋅='⋅ ∴N P PN '⋅=25369541420419=⨯. 总之，在教学过程中引导学生通过探究性学习获得圆锥曲线的一些切线的性质并加以应用，不仅可以让学生进一步加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力，而且可以培养学生的创造性思维，提高学生的学习数学的兴趣[20].5 结论5.1主要发现圆锥曲线切线的性质及其应用为相关问题的求解和证明提供十分有效的解题思路，有助于学生对圆锥曲线切线知识有更深刻认识.探讨圆锥曲线切线的性质，不仅需要对基础知识熟练掌握，而且要灵活运用相关知识，善于将知识点衔接起来，归纳总结三种圆锥曲线的内在个性特点.只有通过不断地分析典型题目，找出内在规律及它们的一些性质进行总结，才能找出圆锥曲线具有的统一性质.总之，在高考中圆锥曲线切线的相关问题既有一定难度，又有一定的技巧性和整体性，但只要我们善于思考和总结就容易找到解决问题的突破口，也会发现圆锥曲线切线的性质对求解该类问题有着很大的帮助. 5.2启示圆锥曲线切线的性质是解决与圆锥曲线切线相关问题的关键点，理解掌握圆锥曲线切线的性质和证明思路，对解决圆锥曲线的相关问题有极大的帮助.但要理解掌握和灵活运用性质去解决问题时，必须对基础知识熟练掌握，且能够将知识点融会贯通. 5.3局限性本毕业论文提供的仅是有限的几个性质及证明方法，还有许多性质未能得出，限我个人能力有限，不能提供更多的性质以便解决许多相关的问题，同时也没能完全给出相应的应用，这是本毕业论文的不足. 5.4努力方向除了文中所述的几个性质外，根据三种圆锥曲线的内在个性特点可能还有其他的一些性质，这些性质将有待我们作进一步探讨研究，以弥补本论文的不足.参考文献[1] 郑观宝.圆锥曲线的一个共通性质[J].中学数学研究，2006，（8）：44.[2] 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书(第二册上)[M].北京：人民教育出版社，2004:91-122.[3] 张留杰. 圆锥曲线的一个性质的证明与推广[J]. 数学通讯，2003，（15）:25-27.[4] 周伟林. 圆锥曲线切点弦的一个性质[J].考试周刊，2007,（3）:49-50.[5] 黄继创. 圆锥曲线的一个几何特征[J].数学通讯，2006,（6）:94-95.[6] 吴翔雁. 圆的重要性质在圆锥曲线上的推广[J].数学通讯，2005,（7）:25-27.[7] 张家瑞.圆锥曲线的一个性质[J].数学教学通讯，2006，（8）:55-56.[8] 潘德党. 圆锥曲线的一个性质及应用[J].数学教学研究，2007,（3）:25-26.[9] 李铭祺.高中几何学习指导[M].西安：陕西人民教育出版社.1987:125-126.[10] 刘膺淳.高中数学知识转化为能力的途径[M].长沙：湖南人民出版社,1988: 115-118.[11] 黄熙宗.圆锥曲线切点弦方程的简易求法[J].苏州教育学院学报,1991，5（3）：18-19.[12] 王保庆，杨振兴，蔡凯.圆锥曲线切点弦方程的性质新探[J]. 数学教学通讯，2009, 5：28-29.[13] 邱昌银.圆锥曲线准切线焦点弦的相关性质[J].数学通讯，2003，（5）：12-13.[14] 杨宣文，杨国平.圆锥曲线的又一性质[J].数学教学通讯，2006,（7）:35-37.[15] 蔡献慧.圆锥曲线切点弦的应用[J].洛阳师范学院学报，2006,5（5）:158-159.[16] 储炳南.圆锥曲线的一个统一性质[J].数学教学，2006，（11）：24—26.[17] 梁平. 圆锥曲线切线性质在高考试题中应用[J].解题研究,2001，(3):34-35.[18] 卢伟峰.圆锥曲线切线的一个性质[J].数学教学通讯，2008，(4)：16-17.[19] 李建明.两道高考题引出的圆锥曲线的一个性质[J].数学通讯，2007，（3）：10-11.[20] 李凤华.相似圆锥曲线的一条优美性质[J]. 数学通讯,2008,(11)：33-34.。

圆锥曲线中的切点弦及其方程

圆锥曲线中的切点弦及其方程
切点弦是圆锥曲线中一种特殊的曲线，它与圆锥曲线的其余部分相交，一般用来描述圆锥曲线的结构。

换句话说，切点弦是一条交叉叉线，用以把圆锥曲线从上到下分开，这条交叉叉线有两个结束点，即切点，它们是圆锥曲线的拐点。

切点弦的方程为$y=\tan{\left(\frac{\pi}{2}-2\theta \right)}
\cot{\left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)}$，其中$\theta$是圆锥曲线的拐点夹角。

可以看出，这条切点弦并不是一条匀速的曲线，而是在拐点处发生变化。

既然说到切点弦，就不得不提及它的应用。

切点弦可以用来测量圆锥曲线的拐点位置，可以测量圆锥曲线的斜率。

此外，它还可以用来模拟炮弹发射时的弹道，用来预测天气中的风向风速等。

从上述示例可以看出，切点弦对日常生活具有重要的意义，不仅可以应用在圆锥曲线的研究中，还可以应用在几何学、物理学以及数学模型等许多领域中。

而且，由于切点弦是一种简单的曲线，可以轻松计算出它的斜率，因此在分析圆锥曲线时非常有用。

总之，切点弦是一种详细地描述了圆锥曲线的曲线，它的方程式也清楚地表明，它是一条在拐点处的斜率发生变化的曲线，并且在研究圆锥曲线以及应用在几何学等领域中有着重要的意义。

圆锥曲线切线方程及简单运用

圆锥曲线切线方程及简单运用圆锥曲线切线方程是一种常见的平面曲线，它可以用平面上两个指定点与它们之间的直线作为参数来定义。

圆锥曲线切线方程的标准方程为:$$\frac{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}{a_1^2}+\frac{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}{a_2^2}=1$$其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是指定的两点，而$a_1$和$a_2$是这两点之间的距离，也就是短半径。

圆锥曲线切线的最重要的应用之一就是在几何学中，它可以用来求解平面上两个指定点之间的最优路径。

例如，假设有两个点A(2,3)和B(5,6)，我们想知道它们之间的最优路径，则我们可以使用圆锥曲线切线方程来求解。

具体来说，我们可以将切线方程式带入两个点的坐标，从而求出短半径：$$\frac{(2-2)^2+(3-3)^2}{a_1^2}+\frac{(5-2)^2+(6-3)^2}{a_2^2}=1$$从而算出$a_1=a_2=\sqrt 5$，这就是两点之间的最优路径。

此外，圆锥曲线切线方程还可以用来解决特殊的几何问题，例如，求解两个指定点之间的弦长及两端点的角信息等。

假设有两个指定点A(2,3)和B(5,6)，当我们知道它们之间的最优路径时，即短半径$a_1=a_2=\sqrt 5$，我们就可以求出弦长，它就是圆锥曲线周长的四分之一，即$$L=\frac{4\pi \sqrt 5}{4}=\pi \sqrt 5$$同时，我们也可以求出AB之间的圆心角，它就是锥角的一半，即$$\theta =\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$$综上所述，圆锥曲线切线方程是一种常见的平面曲线，它可以用于解决几何问题，包括求解两个指定点之间的最优路径、弦长及圆心角等。

圆锥曲线切线与切点弦的应用-高考数学圆锥曲线10

专题10 切线与切点弦的应用第一讲切线方程的应用切线本质上是一种特殊的极线，新考纲规定了不再考查直线和圆锥曲线的位置关系，但圆的切线，以及开口朝上的抛物线的切线(可看成函数)仍然是高考的考查范围结论1：点00()M x y ，在圆222()()x a y b R -+-=上，过点M 作圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R --+--=．结论2：(1)点00()M x y ，在圆222()()x a y b R -+-=外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A B 、，则切点弦AB 的直线方程为200()()()()x a x a y b y b R --+--=．(2)点00()M x y ，在圆222()()x a y b R -+-=内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过A B 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：200()()()()x a x a y b y b R --+--=．结论3：(1)点00()M x y ，在抛物线22x py =(0)p >上，过点M 作抛物线的切线方程为00()x x p y y =+．点00()M x y ，在抛物线22x py =(0)p >外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A B 、，，则切点弦AB 的直线方程为00()x x p y y =+．(3)点00()M x y ，在抛物线22x py =(0)p >内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过A B 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：00()x x p y y =+．结论4：点00()M x y ，在椭圆22221x y a b +=(0)a b >>上，过点M 作椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=．若点00()M x y ，在椭圆22221x y a b +=(0)a b >>外，则点M 对应切点弦方程为00221x x y y a b+=结论5：点00()M x y ，在双曲线22221x y a b -=(00)a b >>，上，过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y y a b -=．若点00()M x y ，在双曲线22221x y a b -=(00)a b >>，外，则点M 对应切点弦方程为00221x x y y a b-=结论6：点00()M x y ，在抛物线22y px =(0)p >上，过点M 作抛物线的切线方程为00()y y p x x =+．点00()M x y ，在抛物线22y px =(0)p >外，过点M 对应切点弦方程为00()y y p x x =+．【例1】（临沂三模）如图，已知抛物线2:2(0)E x py p =>与圆22:5O x y +=相交于A ，B 两点，且||4AB =．过劣弧AB 上的动点00)(P x y ，，作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线1l ，2l ，相交于点M ．（1）求抛物线E 的方程；（2）求点M 到直线CD 距离的最大值．【例2】设F 为椭圆C ：22143x y +=的右焦点，过椭圆C 外一点P 作椭圆C 的切线，切点为M ，若90PFM ∠=︒，则点P 的轨迹方程为__________．【例3】（洛阳一模）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点1(1)2，作圆221x y +=的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是( )A ．22194x y +=B ．22145x y +=C ．22154x y +=D ．22195x y +=第二讲双切线模型以及切点弦的应用【例4】过点(11)Q --，作已知直线1:14l y x =+的平行线．交双曲线2214x y -=于点M ，N ．（1）证明：点Q 是线段MN 的中点．（2）分别过点M ，N 作双曲线的切线1l ，2l ，证明：三条直线l ，1l ，2l 相交于同-点．（3）设P 为直线l 上一动点．过点P 作双曲线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．证明：点Q 在直线AB 上．【例5】（荔湾期中）已知直线30x y -+=与圆22:40C x y y m +-+=．（1）求圆C 的方程．（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与抛物线2y x =相交于M ，N 两点（异于原点）．证明：以MN 为直径的圆与圆C 相交．（3）若抛物线2y x =上任意三个不同的点P 、Q ，R ，满足直线PQ 和PR 都与圆C 相切，判断直线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明．【例6】（武侯月考）已知抛物线的顶点在坐标原点O ，焦点F 在x 轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线l 过F 点，设直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与抛物线的准线交于M 点，(0)MF FB λλ=> （1）若1λ=，求直线l 斜率（2）若点A B 在x 轴上的射影分别为1A 1B 且1||B F ，||OF ，12||A F 成等差数列求λ的值（3）设已知抛物线为21:C y x =，将其绕顶点按逆时针方向旋转90︒变成1C '．圆222:(4)1C x y +-=的圆心为点N ．已知点P 是抛物线1C '上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C '于T ，S ，两点，若过N ，P 两点的直线l 垂直于TS ，求直线l 的方程．【例7】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，点()p m n ，()m p >在抛物线C 上，且FOP △的外接圆圆心到准线l 的距离为32．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线PF 与抛物线C 交于另一点A ，证明：MP MA k k +为定值；（3）过点P 作圆22(1)1x y -+=的两条切线，与y 轴分别交于D 、E 两点，求PDE ∆面积取得最小值时对应的m 值．第三讲彭赛列闭合定理平面上给定两条圆锥曲线，若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条圆锥曲线，则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样（切、内外接）性质的封闭多边形的顶点，且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同。

圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文

圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文圆锥曲线是一类由一条直线和一个定点（焦点）生成的曲线。

常见的圆锥曲线有椭圆、抛物线和双曲线。

在数学和物理学中，圆锥曲线的切线方程和切点弦方程是非常重要的应用。

一、圆锥曲线的切线方程1.椭圆的切线方程椭圆是一个凹向两侧的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。

假设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

如果椭圆上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$2.抛物线的切线方程抛物线是一个开口向上或向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。

若抛物线的标准方程是$y^2=4ax$其中a是抛物线的焦点到曲线的距离。

如果抛物线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{1}{2a}(x-x1)$3.双曲线的切线方程双曲线是一个开口向上和向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。

若双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是双曲线的距焦点到曲线的距离。

如果双曲线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$二、圆锥曲线的切点弦方程1.椭圆的切点弦方程椭圆的切点弦方程表示的是通过椭圆上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。

如果椭圆上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），椭圆的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$2.抛物线的切点弦方程抛物线的切点弦方程表示的是通过抛物线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。

如果抛物线上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），抛物线的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$3.双曲线的切点弦方程双曲线的切点弦方程表示的是通过双曲线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。

圆锥曲线与切线有关

圆锥曲线与切线有关知识点：一、切线方程与切点弦方程都为“各取一半”。

1.椭圆：①点),00y x （在曲线上，则过该点的切线方程12020=+by y a x x ②点),00y x （在曲线外，则过该点做曲线的两条切线的两切点的直线（切点弦）方程为12020=+by y a x x 2.双曲线的两种情况：1-2020=b y y a x x 3.抛物线的两种情况：px px y y +=004.圆的两种情况：200))(())(r b y b y a x a x =--+--（二、椭圆的焦点三角形内切圆，用等面积法。

ca cy r +=0（0y 是焦点三角形顶点的纵坐标）三、双曲线的焦点三角形内切圆，切于右顶点或左顶点；过焦点三角形顶点的切线评分这个顶角。

四、抛物线中，过焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，过这两点的切线一定交于准线上（设为P ），则AP ⊥BP ，PF ⊥AB.练习：1、过点P （-2,3）做抛物线x y 82=的两条切线，切点为A 、B ，求直线AB 所在直线方程的斜率。

2、双曲线12222=-b y a x 中21,F F 分别是左右焦点，)25,0x P （在抛物线上，21F PF ∆的内切圆M 的半径为1，且5=OM ,求双曲线方程。

3、已知1,222221=-by a x F F 是双曲线左右焦点，P 是双曲线右支上异于顶点的点，以P 为切点的切线与X 轴交于点M ，2121212|,PF ||PF |MF M F PF PF =-=+且若,求双曲线离心率。

4、已知点)214,2(-P 在椭圆C:)012222>>=+b a by a x （，过P 做圆222=+y x 的切线，切点为A 、B,且直线AB 恰好过椭圆的左焦点F ，则22b a +的值为多少。

5、已知y x 82=，过1)1()122=++-y x （上任意一点P 做抛物线的切线，切点为A 、B ，求直线AB 的斜率的取值范围。

高中数学圆锥曲线切线方程的应用

圆锥曲线的切线方程、切点弦的常用拓展结论-----一道课本习题的拓展应用
赵志菊
圆方程为： x2 y 2 r 2
•课本例题若点M (x0, y0 )在圆上，则过点M的圆的切线方程： x0x y0y r 2 •的变圆式的1：两若条点切M线(x0的, y切0 )在点圆弦外所，在过的点直M 线方程为：x0 x y0y r 2 •变式2：若点M (x0, y0 在) 圆内，过点M 的任一直线交圆于A、B，过A、B分别作圆的两条切线，这两切线交点的轨迹方程为：x0x y0y r.2
联想一椭圆方程:
（1）若点M (x0, y0 )在椭圆上，则过点
M的切线方程：x0 x
.
a2

y0 y b2
1
（2）若点M (x0, y0 )在椭圆外，过点M
的两条切线的切点弦所在的直线方
程为：x0 x
a2

y0 y b2
1
联想一椭圆方程:
（3）若点 M (x0, y0 ) 在椭圆内，过点M的任一直线交椭圆于A、B，过A、B分别作椭圆的两条切线，这两切线交点的轨迹方程为：
x0x p( y0 y)
例：过点（-2，6）作圆 x2 ( y 2)2 4 的两条切线，切点分别为A，B，求 AB的值。
解：由前面的结论知：圆的切点弦AB的方程为：
(2)x (6 2)(y 2) 4
即： x 2y 6 0
•圆心AB到距离为：
Ax2 Cy2 Dx Ey F 0
•（3）若点 M (x0, y0 )在圆锥曲线内，过点M的任一直线交曲线于A、B，过 A、B分别作曲线的两条切线，这两切线交点的轨迹方程为：

圆锥曲线的切线方程和切点弦方程

圆锥曲线的切线方程和切点弦方程课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程教学目标：1) 掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。

2) 能够使用切线方程及切点弦方程解决一些问题。

3) 通过复渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。

4) 掌握曲线与方程的关系。

教学重点：切线方程及切点弦方程的应用教学难点：如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程：1.引入：通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。

2.知识点回顾：1) 过圆$x^2+y^2=r^2$上一点$(x_0,y_0)$的切线方程为：$xx_0+yy_0=r^2$2) 设$P(x,y)$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上的点，则过该点的切线方程为：$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$3) 设$P(x,y)$为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上的点，则过该点的切线方程为：$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$4) 设$P(x,y)$为抛物线$y^2=2px$上的点，则过该点的切线方程为：$y=y_0+p(x+x_0)$圆锥曲线切线的几个性质：1) 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径。

同理，双曲线，抛物线也有类似的性质。

2) 过椭圆的焦点$F_1$的直线交椭圆于$A$，$B$两点，过$A$，$B$两点作椭圆的切线交$PF_1\perp AB$于点$P$，则$P$点的轨迹是焦点$F_1$的对应的准线，并且同理，双曲线，抛物线也有类似的性质。

3.例题精讲：1) 练1：已知抛物线$y=ax^2(a>0)$与直线$x=1$围成的封闭图形的面积为3，若直线$l$与抛物线相切，且平行于直线$2x-y+6=0$，则直线$l$的方程为。

圆锥曲线的切点弦与应用

圆锥曲线的切点弦探究题引：由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，求即切点弦方程．一探：切点弦在圆中剖析1：由题意和图可得，过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，其切线的斜率都存在，设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为()13-=-x k y ，利用r d =，求出k ，进而求出切点坐标，利用直线的点斜式即可．尽管运算较复杂，但却是解析几何中最基础、最重要的方法．解法1：如图75—1所示，设过P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：()13-=-x k y ⇒03=-+-k y kx ．由题意易得r d =⇒3132=+-k k⇒0=k ，或43-=k ．故设过点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线为：1l ：3=y ，2l ：01543=-+y x ．设两个切点分别为A 、B ，则联立3=y 与922=+y x ⇒)30(，A ．01543=-+y x 与922=+y x ⇒B （51259，）．故由两点式或点斜式易得两切点A 、B 所在的直线方程为093=-+y x ．剖析2：如图75—1所示，设两个切点分别为A 、B ，利用逆向思维及抽象思维，由点P(1，3)引圆922=+y x 的两条切线，亦可看作分别过A 、B 作圆922=+y x 的两条切线相交于P ．解法2：设切点A(11y x ，)，切点B(22y x ，)，则过A ，B 的圆的切线方程为：3l ：0911=-+y y x x ，4l ：0922=-+y y x x ．又3l 及4l 都过P(1，3)，由此得到09311=-+y x ， 09322=-+y x ．从具体到抽象，则过两个切点的直线方程为093=-+y x ．剖析3：因为过P(1，3)引922=+y x 的两条切线切线分别为PA 、PB ，则有2π=∠PAO ，2π=∠PBO ．联想到初中的四点共圆，得到巧解．解法3：如图75—1所示，由图和题意及上面的剖析得到四点P 、A 、O 、B 共圆，且圆的直径为OP ，以直径的OP 为直径的圆的方程为：0322=--+y x y x ．那么过A ，B 的直线就是圆0322=--+y x y x 与圆922=+y x 的公共弦，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析4：由上述解法3得到启示，切点弦其实就是以P 点为圆心，以PA 为半径的圆与圆922=+y x 的公共弦．解法4：由题意易得PO =10，在POA Rt ∆中，PA =1，则以P 点为圆心，以PA 为半径的圆的方程为1)3()1(22=-+-y x ，两圆方程相减即得所求，则过两个切点分别为A 、B 的直线方程为093=-+y x ．剖析5：利用初中的切割线性质及其三角形相似性质．解法5：设两个切点分别为A 、B ，连接AB 与PO 相交于Q ，则有=OQ k OP k 30103=--=31-=⇒AB k ．由于直线OQ 的方程为x y 3=，于是令)3(x x Q ，，利用 OBP ∆∽OQB ∆⇒OBOQOP OB =⇒3)30()0()30()10(32222x x -+-=-+-⇒109=x ⇒)1027109(，Q ⇒⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ．这正是所要求的切点弦AB 的直线方程．剖析6：利用定比分点公式得到一种很少人使用的好方法．解法6：如图75—1所示，连接AB ，PO ，设AB 与PO 相交于点C ，则由平面几何中的射影定理等知识得到=COPC =POCO PO PC 22OAPA =91⇒λ=91．由定比分点公式得到C x =9111+=109，C y =9113+=1027．上述解法5已得31-=AB k ，由直线的点斜式得到 ⎪⎭⎫⎝⎛--=-109311027x y ⇒093=-+y x ．二探我们知道：切点弦所在直线就是二个切点的连线，而切点是直线与圆锥曲线相切得到的交点，因此我们先从圆锥曲线的切线入手来展开探究．结论1：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+上，过点M 作圆的切线方程为200R y y x x =+．结论2：点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为200R y y x x =+．结论2：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222R y x =+内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．证明：由上述结论2可得过)(p p y x P ，的圆的切点弦AB 的直线方程为2R y y x x P P =+．又弦AB 过点M （0x ，0y ），即200R y y x x P P =+，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线200R y y x x =+．上述结论能推广到圆心不在原点的情况吗？回答是肯定的！结论3：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-上，过点M 作圆的切线方程为200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为200))(())((R b y b y a x a x =--+--．结论4：（补充）点M （0x ，0y ）在圆222)()(R b y a x =-+-内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：200))(())((R b y b y a x a x =--+--．那么对于圆的一般方程呢？也会得到同样的结论吗？结论5：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 上，过点M 作圆的切线方程为0220000=++++++F yy E x x Dy y x x ．结论6：点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 外，过点M 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ．结论6：（补充）点M （0x ，0y ）在圆022=++++F Ey Dx y x 内，过点M 作圆的弦AB （不过圆心），分别过B A 、作圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：0220000=++⋅++⋅++F yy E x x D y y x x ．运用类比推理，那么椭圆会有相似的结论吗？回答是肯定的！我们知道：椭圆方程可以通过变换得到圆的方程，于是得到结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方程为12020=+byy a x x ．结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ．结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+byy a x x ．证明：由上述结论8可得过)(p p y x P ，的椭圆的切点弦AB 的直线方程为122=+byy a x x P P ，又弦AB 过点M （0x ，0y ），即12020=+by y a x x P P ，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线12020=+byy a x x ．我们知道圆与椭圆均属于封闭曲线，那对于非封闭曲线，如双曲线是否也有同样的性质呢？回答也是肯定的！结论9：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）上，过点M 作双曲线的切线方程为12020=-byy a x x ．结论10：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=-byy a x x ．结论10：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=-byy a x x ．我们知道圆、椭圆及双曲线均属于有心二次曲线，那对于无心二次曲线，如抛物线来说，上述性质能继续得到延伸吗？回答还是肯定的！结论11：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）上，过点M 作抛物线的切线方程为)(00x x p y y +=．结论12：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为)(00x x p y y +=．结论12：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：)(00x x p y y +=．上述研究的都是圆锥曲线的标准形式，那么对于圆锥曲线的非标准形式是否也有类似的结论呢？结论13：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 上，过点M 作椭圆的切线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ．结论14：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论15：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-b n y a m x 外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ．结论17：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 内，过点M 作椭圆的弦AB（不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：1))(())((2020=--+--bn y n y a m x m x ．结论17：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()()12020=-----bn y n y am x m x ．结论18：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()m x x p n y n y 200-+=--．由上述结论8、10、12及结论16、17、18可得：结论19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论20：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．以下证明结论19:证明如下：设椭圆方程为12222=+by a x ，M⎪⎪⎭⎫⎝⎛t c a ，2，由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12=+btyc x ，显然过焦点)0(，c F ．当然容易验证：1-=⋅MF AB k k ．同理可证结论20、21．事实上，结论19、20、21的逆命题也是成立的．由此得到：结论22: AB 为椭圆的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上．结论23: AB 为双曲线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上．结论24: AB 为抛物线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在准线上．以下证明结论22:证明如下：设M （0x ，0y ），由结论8可得切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ，因过焦点)0(，c F ，则有120=acx ，即c a x 20=，故点M 必在相应的准线c a x 2=上．同理可证结论23、24．结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论27：M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是其通径．以下证明结论27：证明如下：由结论21可得AB 必为切点弦，因点M 在对称轴上，由对称性可得A ，B 也关于对称轴对称，故AB 就是通径．同理可证结论25、26．结论28：过抛物线px y 22=（0>p ）的对称轴上任意一点)0,(m M -（0>m ）作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(m N ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论11得到切线AM 的方程为)(11x x p y y +=．又切线AM 过)0,(m M -（0>m ），代入推出m x =1，同理m x =2，即切点弦AB 所在的直线方程为m x =，故必过点)0,(m N ．结论29：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的对称轴上任意一点),(n m M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）当0=n ，a m >时，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2m a P ；（2）当0=m ，b n >时，则切点弦AB 所在的直线必过点),0(2nb Q ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论7得到切线AM 的方程为12121=+byy a xx ．又由于切线AM 过点),(n m M ，则得到12121=+bny a m x ．（1）当0=n ，a m >时，即点M 在x 轴时，代入得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ．（2））当0=m ，b n >时，即点M 在y 轴时，代入得到n b y 21=，同理n b y 22=，即切点弦AB所在的直线方程为n b y 2=，故必过点),0(2nb Q ．结论30：过双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的实轴上任意一点)0,(m M （a m <）作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2ma P ．证明如下：如图所示，令A （1x ，1y ），),(22y x B ，由结论9得到切线AM 的方程为12121=-byy a xx ．又由于切线AM 过点)0,(m M ，则得到m a x 21=，同理m a x 22=，即切点弦AB 所在的直线方程为m a x 2=，故必过点)0,(2ma P ．结论31：过抛物线px y 22=（0>p ）外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，弦AB 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行．证明如下：如图所示，令),2(121y p y A ，),2(222y pyB ，则221y y y N +=，又由结论11得到切线AM ，BM 的方程分别为：)2(211p y x p y y +=，)2(222p yx p y y +=⇒)(21y y y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-p y y y y p 2))((2121 ⇒M y 221y y +=⇒N M y y =．故直线MN 必与其对称轴平行．结论32：若椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）与双曲线12222=-ny m x （0>m ，0>n ）共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．证明如下：由题意易得2222n m b a +=-⇒2222n b m a +=-．令其交点M （0x ，0y ），则代入上述椭圆及双曲线方程得到1220220=+b y a x ，122220=-ny m x ⇒220y x =)()(22222222m a n b n b m a -+．依据结论7及结论9得到过点M 的椭圆与双曲线的切线方程分别为：12020=+b y y a x x ，12020=-nyy m x x ⇒21k k =20202222y x m a n b ⋅-=2222ma nb -+-=1-．结论33：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设椭圆方程为：12222=+b y a x （0>>b a ）由已知条件易得BQAQ BPAP =，令P 分有向线段AB 所成的比为λ，结合图便知Q 分有向线段AB 所成的比为λ-，设),(00y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x Q ，由定比分点公式推出⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ11210210y y y x x x ⇒⎩⎨⎧+=++=+210210)1()1(y y y x x x λλλλ． ⎪⎩⎪⎨⎧--=--=λλλλ112121y y y x x x ⇒⎩⎨⎧-=--=-2121)1()1(y y y x x x λλλλ．由上述两式结合并相乘得到⎩⎨⎧-=--=-22221202222120)1()1(y y yy x x xx λλλλ ⇒⎩⎨⎧-=--=-)()1()()1(222212220222212220y y a a yy x x b b xx λλλλ． ① 事实上，两个交点A ，B 都在椭圆上，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+22222222221221)(1λλb y a x b y a x ．由上述两式结合并相减整理得到+-)(222212x x b λ)(222212y y a λ-=)1(222λ-b a ． ②由①及②推出12020=+byy a x x ．由结论33及圆锥曲线的共性同理可得：结论34：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论35：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论33及其结论34的证明完全雷同于结论33的证明过程．结论36：过双曲线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．证明如下：如图所示，不妨设双曲线方程为：12222=-b y a x （00>>b a ，），我们令),(00y x P ，),(''y x Q ，由前面结论10可得切点弦AB 所在的直线方程为12'2'=-byy a xx ，又点P 在直线AB上，则12'02'0=-by y a x x ，即),(''y x Q 在直线12020=-b y y a x x ，故动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．由结论36及圆锥曲线的共性同理可得：结论37：过椭圆外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论38：过抛物线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．关于结论37及其结论38的证明完全雷同于结论36的证明过程．结论39：从椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论40：从12222=-by a x （00>>b a ，）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．三、一题多用的教学价值应用1．（补充）（2011年江西省高考试题）椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点⎪⎭⎫⎝⎛211，作圆122=+y x 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程．分析如下：由上述结论2可得切点弦AB 的直线方程为121=+y x ，因此可得右焦点为 )01(，，上顶点为)20(，，即1=c ，1=b ，故椭圆的方程为14522=+y x ．应用2：（补充）（2012年福建省厦门一中模拟试题）设P 是抛物线x y 22=上的一个动点，过点P 作抛物线的切线与圆：122=+y x 相交于M 、N ，分别过M 、N 作圆的切线相交于Q ，求动点Q 的轨迹方程．分析如下：设)(00y x P ，，)(11y x Q ，，显然0202x y =，由上述结论11可得过点)(00y x P ，的抛物线的切线MN 方程为00x x y y +=，再由上述结论2可得过点)(11y x Q ，的圆的切点弦MN 直线方程为111=+y y x x ，依据两条直线重合，则对应项系数成比例得到101x x -=，110x y y -=，并代入0202x y =得到1212x y -=．联立方程组：122=+y x 与00x x y y +=得到012)1(2000220=-+-+x y y x y y ，利用判别式可得0>∆，即2100+<<x ，即211-<x ，故动点Q 的轨迹方程1212x y -=，且211-<x ，即动点Q 的轨迹方程x y 22-=（21-<x ）．应用1．（2010年浙江省高中会考试题）设点)(n m P ，在圆222=+y x 上，l 是过点P 的圆的切线，且切线l 与抛物线k x x y ++=2相交于A ，B ．（1）若2-=k ，点P 恰好是线段A B 的中点，求点P 坐标；（2）是否存在实数k ，使得以A B 为底边的等腰三角形AOB 恰有3个？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．分析如下：（1）由结论1可得切线l 的方程为2=+ny mx （0≠n ），设)(11y x A ，，)(22y x B ，，将切线l 的方程与抛物线方程联立可得0)1(2)(2=+-++n x n m nx⇒m nm x x =+-=+221⇒mn n m -=+．将之与222=+n m 联立解得⎩⎨⎧-=-=11n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=231231n m ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=231231n m ．代入0>∆验证可得)11(--，P ，)231231(+-，P ．（2）由（1）可得以A B 为底边的等腰三角形AOB 当且仅当点P 恰好是线段A B 的中点，等腰三角形AOB 恰有3个可相应地转化为点P 有三解，故只要（1）中的三个解都满足0>∆，可得2331--<k ．应用2．（课本习题）求证：椭圆192522=+y x 与双曲线111522=-y x 在其交点处的切线相互垂直．证明如下：易得椭圆与双曲线的焦点相同，由结论32即可得证．应用3．（2008年安徽省高考试题压轴题第22题）设椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）过点)1,2(M ，且左焦点)0,2(1-F ．（1）求该椭圆的方程；（2）当过点)1,4(P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，在线段AB 上任取一点Q ，=，证明点Q 总在某条定直线上．分析如下：（1）由已知易得所求椭圆的方程为12422=+y x ．（2）直接利用结论33即可得证．应用4．（2008年江西省高考试题第21题）设点()00,P x y 在直线(),01x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，定点M (m1，0)．（1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；（2）求证：A M B 、、三点共线．分析如下：（1）（略）．（2）由结论10显然可得切点弦AB 所在的直线方程为100=-y y x x ，由于点P 的坐标为（m ，0y ），即m x =0，于是切点弦AB 所在的直线方程为10=-y y mx ，显然定点M (m1，0)满足该方程，于是三点A M B 、、共线．值得注意的是：其实，纵观近几年的高考试题，不难发现一个共同之处，那就是如果压轴题是解析几何，几乎其结论都是带有规律的普遍性结论，如2008年江西省高考试题第21题就是结论36的特例，2008年安徽省高考试题压轴题第22题就是结论33的一个特例．应用5．（2008年南通市第一次调研试题）已知点)10(，F ，点P 在x 轴上运动，点M 在y 轴上，N 为动点，且满足：0=⋅，+=．（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）由直线1-=y 上一点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AQ ⊥BQ ．分析如下：（1）设)(y x N ，代入已知条件易得动点N 的轨迹C 的方程为y x 42=．（2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论21可得AQ ⊥BQ ．应用6．（2006全国高考试题）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．（1）证明FM →·AB →为定值；（2）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．证明如下：（1） F 点的坐标为(0,1)设点A 、点B 的坐标分别为211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由(0).AF FB λλ=>可得221212,1,144x x x x λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒1222121(1)44x x x x λλ-=⎧⎪⎨-=-⎪⎩．由上述结论11可得过A 点、B 点的切线方程分别为2111()42x x y x x -=-，2222()42x xy x x -=-．联立可得点M 的坐标，代入得到FM →·AB →=0．（2）由（1）可得FM AB ⊥，我们易得2FM AB ==⇒2)(ABFM f S ⋅==λ=41213≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λλ（当且仅当1λ=时取等号）．应用7．（2008年广东省（理科）高考试题）椭圆方程122222=+by b x （0>b ），抛物线方程为)(82b y x -=．如图所示，过点)20(+b F ，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 处的切线经过椭圆的右焦点1F ．（1）求满足条件的椭圆与抛物线方程；（2）设A ，B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP ∆为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．分析如下：（1）事实上，点)20(+b F ，就是抛物线的焦点，易得)24(+b G ，，由上述结论15易得抛物线在点G 处的切线方程为2-+=b x y ，显然椭圆的右焦点1F )0(，b ，代入得到1=b ，故椭圆方程11222=+y x ，抛物线方程为)1(82-=y x ．（2）因为过点A 作x 轴的的垂线与抛物线只有一个交点P ，所以以PAB ∠为直角三角形只有一个；同理以PBA ∠为直角三角形也只有一个．若以APB ∠为直角，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+1812x x P ，，因为)02(，-A ，)02(，B ，则有⋅=14564124-+x x =0．易得上述方程只有两解，即以APB ∠为直角的三角形存在两个．综上所述，抛物线上存在四个这样的点P ，使得ABP ∆为直角三角形．应用8．证明结论39．证明如下：设椭圆上切点M )sin cos (ααb a ，，由结论7可得过点M 的切线方程为1sin cos 22=+by b a x a αα⇒ab y a x b =+ααsin cos ．过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααsin cos sin ac y b x a =-．上述两式平方相加即可得证．四、一组巩固训练题练习1．从191622=-y x 的右焦点向双曲线的动切线引垂线，求垂足的轨迹图形的面积．练习2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，点)10(，B ，点)0(，a A （0≠a ）是x 轴上的动点，过点A 作线段AB 的垂线交y 轴于点D ，在直线AD 上取点P ，使得AD AP =．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）点Q 是直线1-=y 上的一个动点，过点Q 向曲线C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求证：MQ ⊥NQ ．练习3．（2005年江西省高考试题）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程；（2）证明∠PFA=∠PFB ．练习4．（2010年江西省九江一中模拟试题）开口向上的抛物线2:ax y C =与经过点)0,3(A 且斜率为)0(<k k 的直线l 相交于点M 、N ，已知抛物线C 在点M 、N 处的切线所成的角为55arccos，并且18||||=AN AM ，求直线l 与抛物线C 的方程．练习5．证明结论40．练习6．（2004年济南市高考模拟试题）过椭圆C ：14822=+y x 上一点)(00y x P ，向圆O ：422=+y x 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 与x 轴、y 轴相交于M 、N ．（1）试用0x ，0y 来表示直线AB 的方程；（2）求MON ∆面积的最小值．练习7．（2005年福建省模拟试题）从直线x y =上任一点P 引抛物线12+=x y 两条切线，切点分别为A ，B ，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程．五、巩固训练题参考答案1．分析如下：由结论40可得垂足的轨迹方程为1622=+y x ，则图形面积为π16．2．分析如下：（1）易得动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=（0≠y ）．（2）显然直线1-=y 就是抛物线y x 42=的准线，由结论可得MQ ⊥NQ ．3．分析如下：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，由上述结论11可得切线AP ，BP 的方程分别为为：02200=--x y x x ，02211=--x y x x ，解得10102x x y x x x P P =+=， ⇒P PG x x x x x =++=310，3310212010x x x x y y y y P G ++=++=343)(210210pP y x x x x x -=-+= ⇒243GG p x y y +-=．由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：02)43(2=-+--x y x ⇒)24(312+-=x x y ．（2）).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x x x x x x x由于P 点在抛物线外，则0||≠FP ，由此可得||||cos FA FP AFP =∠41)1)(1(102010010x x x x x x x x +=--+⋅+=．同理可得41cos 10x x BFP +=∠，故∠AFP=∠PFB ．4．分析如下：设),(211ax x M 、),(222ax x N ，不妨设M 在第一象限，N 在第二象限，由结论11可得抛物线在点M 处的切线斜率为12ax ，点N 处的切线斜率为22ax ，设两条切线所成的角为α，则2tan =α，即241)(221212=+-x x a x x a ⇔)(4112212x x a x x a -=+． ① 由于M 、N 、A 共线，所以33222121-=-x ax x ax ⇒)(32121x x x x += ． ②由已知18||||=⋅AN AM ，则有18),3(),3(222211=-⋅-ax x ax x ⇒933222122121=+--x x a x x x x ．将②代入得到922212=x x a ，又0>a ，01>x ，02>x ，则有321-=x ax ，ax x 321-=． ③ 将③代入②得到ax x 121-=+． ④ 将③代入①得到12112-=-ax x ． ⑤ 将③、④、⑤代入21221212)(4)(x x x x x x +=+-得到22)1()3(4)121(a a a -=-+-⇒41=a ，0=a （舍去）．将41=a 代入④、⑤得6,221-==x x ．故直线l 的方程为：3+-=x y ，抛物线C 的方程：241x y =． 5．证明如下：设双曲线上切点M )tan sec (ααb a ，，由结论9可得过点M 的切线方程为1tan sec 22=-by b a x a αα⇒ab y a x b =-ααtan sec ．过右焦点且垂直于切线的直线方程为αααtan sec tan ac y b x a =+．上述两式平方相加即可得证．6．分析如下：（1）由结论2可得直线AB （切点弦）的方程为400=+y y x x ．（2）由（1）易得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛040，x M ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛040y N ，，则三角形面积公式及均值不等式可得 =S 008y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛22222200y x 2248222020=+≥y x ． 7．分析如下：设)(00y x P ，，)(y x Q ，，)(11y x A ，，)(22y x B ，，由结论12可得切点弦AB 的方程为1200+=+x x y x ，即02200=-+-x y x x ，与12+=x y 联立得到 012002=-+-x x x x ⇒0212x x x =+．)22()22(02001021x x x x x x y y -++-+=+=424020+-x x⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=+==+=222202021021x x y y y x x x x ⇒222+-=x x y ．。

专题14 圆锥曲线切线方程微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用

【结论7】（1）过抛物线上一点处的切线方程为；过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：；
（2）过抛物线上一点处的切线方程为；过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：；
（3）过抛物线上一点处的切线方程为；过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：．
同理可得焦点在轴上的情形．
【结论4】（1）过圆上一点切线方程为；
（2）当在椭圆的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为．
【结论5】（1）过双曲线上一点处的切线方程为；
（2）当在双曲线的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：．
证明：（1）的两边对x求导，得，得，由点斜式得切线方程为，即，又所求的切线方程为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
例6．
6．已知椭圆与直线相切于点，且点在第一象限，若直线与轴、轴分别交于点、．若过原点O的直线与垂直交与点，证明：定值．
【强化训练】
7．若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）
下面的结论是从斜率的角度得到已知曲线的切线方程．
【结论8】（1）斜率为k的双曲线的切线方程为；
（2）斜率为k的双曲线的切线方程为．
证明：（1）设切线方程为，联立方程得：
，
若即，，
令化简可得：，，故切线方程为．
同理可证情形（2）．
【评注】，，过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．

(完整word版)圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用

圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用张生引例给定圆222)()(r b y a x =-+-和点),(00y x P ，证明：（1）若点P 在圆上，则过点P 的圆的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--；（2）若点P 在圆外，设过点P 所作圆的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--。

高考链接3。

（2011江西）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是【答案】22154x y += （2013山东）过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为（） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-=【答案】A过点)4,3(P 作圆1:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，点)0,0)(,(>>b a b a M 在直线AB 上,则ba 21+的最小值为。

6411+过椭圆14922=+y x 上点P 作圆2:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，过B A ,的直线l 与x 轴y 轴分别交于点Q P ,两点，则POQ ∆的面积的最小值为。

32已知椭圆)1(12222>>=+b a b y a x ，圆222:b y x O =+,过椭圆上任一与顶点不重合的点P 引圆O 的两条切线，切点分别为B A ,，直线AB 与x 轴y 轴分别交于点N M ,，则=+2222||||OM b ON a 。

22b a 探究1 给定椭圆12222=+by a x 和点),(00y x P ，证明:（1）若点P 在椭圆上，则过点P 椭圆的切线方程为12020=+byy a x x ；别为B A ,，（2）若点P 在椭圆外，设过点P 所作椭圆的两条切线的切点分则直线AB 的方程为12020=+byy a x x 。