菱形的性质及其判定

合集下载

菱形的判定

§19.2 菱形的判定
复习与引入
菱形的定义：菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质：菱形的性质：
菱形的性质菱形的两组对菱形的对菱形的两条对菱形的两条对条对相平分相平分组对 . 分别相等边菱形的两组对边分别平行菱形的四条边相等
四边相等的四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形.
应用与提高
如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点，如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到 ABCD各边的中点四边形EFGH 求证:四边形EFGH是菱形. EFGH， EFGH是菱形四边形EFGH，求证:四边形EFGH是菱形.
证明：连接BD、AC. ∵在矩形ABCD中, ∴ AC=BD, 又 E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点,
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
应用与提高
如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点的对角线AC 相交于点O 例3 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且 AB=5，AO=4，BO=3，求证: ABCD是菱形是菱形. AB=5，AO=4，BO=3，求证: ABCD是菱形.
想一想
如果一个四边形是一个平行四边形，如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？一个菱形？依据是什么？
根据菱形的定义可知：根据菱形的定义可知：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. 一组邻边相等的条件即可所以只要再有一组邻边相等的条件即可. A
∴ ∴

菱形的性质和判定

要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 要点三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．一.选择题1. 下列命题中，正确的是()A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______ 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。

菱形的性质及判定

菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。

重、难点知识点睛中考要求板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______．【例3】如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于．图1HO DC BAE F DBC A例题精讲【巩固】 ☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【巩固】如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【巩固】菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于．【巩固】如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．DCAB【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例14】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为．2.如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为DB3. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．4.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA5.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．EDCB A6.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为度时，四边形ADFE 为正方形．课后练习FEDCB A7.如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA。

菱形的性质与判定

菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。

在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。

本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。

一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。

这是菱形的最基本特征。

2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。

换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。

3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。

4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。

二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。

例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。

2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。

例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。

如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。

3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。

例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。

以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。

在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。

值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。

必须满足菱形的所有性质才能确定。

三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。

2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。

菱形的性质与判定

B
D C
➢菱形+60°/120°+60°→全等三角形
如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ADC=120°，点E、F同时由A、 C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，t的值为（）．
A. 1
B.
1 3
C.
1 2
D.
4 3
➢菱形+60°/120°+60°→全等三角形
变式：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ADC=120°， ∠ EDF=60°，求EF的最小值。
➢将军饮马问题
变式：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，E为AD中点， P为对角线BD上一动点，连接PA和PE，求PA+PE的最小值。
A
D
B
C
E
➢等面积法
如图，已知菱形ABCD中的对角线AC、BD的长分别为
6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（
）．
A. 5 3cm
B. 2 5 cm
C.
48 5
cm
D.
24 5
cm
把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为________．
三、判定
思路一：平四→①边：邻边相等 ②线：对角线垂直
思路二：四边形→平四→菱形
思路三：四边形→菱形 ➢边：四条边都相等
➢线：对角线互相垂直平分
A B
D C
补充：中点四边形
对角线相等→菱形
对角线满足什么条件？→矩形、正方形
A

菱形的性质和判定

菱形的性质和判定
（一）导学内容
1.菱形的性质
（1）四条边都相等,
（2）对角线互相垂直平分且平分一组对角.
2、菱形是轴对称图形，其中对称轴有两条，分别是两条对角线。

.用心解决下面三个问题：（口述理由）
（1）已知，如图四边形ABCD是平行四边形，
且ＡＢ＝ＢＣ，则这个平行四边形是菱形。

（2）已知，在平行四边形ABCD中，AC BD
，
问四边形ABCD D
（3）已知，在四边形ABCD
问四边形ABCD
（1）一组临边相等的平行四边形是菱形。

（2）四条边都相等的四边形是菱形。

（3）对角线互相垂直平分且平分一组对角的平行四边形是菱形。

菱形性质和判定

菱形性质和判定
菱形是一种多边形，其特征是其连线两两相交，四个顶点均有四条边，形状非常规整，因而极受欢迎。

菱形性质及其判定是用于识别多边形类型的最常用工具，在几何中也有很
多应用。

菱形的特征有：
1．四边形。

菱形是四边形，具有四条边，每条边两两之间都相交。

2．正方形。

每条边都是相等的，也就是说四条边的长度都是相等的，也就是菱形是
正方形的一种。

3．对称。

由于菱形是正方形，所以它具有对称特性，即对称轴对称，对称中心对称。

4．角相等。

四条边不仅长度相等，而且角度也是一样的，都是90°。

因此，通过菱形的特征来判定它是菱形，只需满足以上四个条件即可完成菱形判定：
2．正方形：检查每个边的长度，如果都是相等的，即为正方形。

3．对称：检查菱形是否具有对称特性，垂直方向上两条边完全相等，水平方向上也
完全相等。

综上所述，菱形性质主要是指具有以上四类属性：四边形、正方形、对称性和角相等，如果多边形满足这四个条件，则可以判定其是菱形。

菱形的判定与性质

菱形的判定与性质知识准备：一.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

二菱形的性质：1、边的性质：；2、角的性质：；3、对角线的性质：；三.菱形的判定：1、；2、；3、；4、。

四..菱形的面积1.菱形的面积=底×高2菱形的面积=两条对角线乘积的一半ODCBA类别性质判定对称性平行四边形①两组对边分别平行②两组对边分别相等③两组对角分别相等邻角互补④两条对角线互相平分①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（平行四边形的定义）②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。

中心对称一．选择题1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（） A ．M （5，0），N （8，4） B ．M （4，0），N （8，4） C ．M （5，0），N （7，4） D ．M （4，0），N （7，4）2．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A ．2B ．C ．1D ．3．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（） A ．3：1 B ．4：1 C ．5：1 D ．6：1 4．如图，菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B 、D 两点之间的距离为（）A ．15B ．C ．7.5D ．二．填空题5．已知菱形的两条对角线长分别为2cm ，3cm ，则它的面积是 _________ cm 2．6．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC=8，BD=6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点0到边AB 的距离OH= _________ ．7．如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积为 cm 2．矩形中心对称轴对称菱形中心对称轴对称8．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=13，AC=10，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ，则△BDE 的周长为 _________ ．9.顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，求证:四边形EFGH 是菱形。

菱形的判定和性质

菱形的判定和性质
一个菱形是一种四边形，判定一个图形是菱形首先要看它是否是四边形，如果是，再看其形状是否是对称的，即四条边是否是相等，如果都相等，则这个图形就是一个菱形。

菱形性质：菱形的外切圆的半径向内均等地分割菱形，菱形的四个角，每两条边相交形成的两个角都是相等的，所以菱形是一种正三角形；另外，菱形的对角线是一对平行线，并且对角线长度是菱形的四条边长度之和。

菱形所有边都相等，但是菱形是一种非凸多边形（concave polygon），也就是说，菱形边缘凹陷，两个邻接边之间角度大于180度，这是菱形与正多边形、凸多边形最大的区别。

还有一些性质：如果对菱形的对角线进行划分，那么菱形的四边形就会被划分为两个结构一致的三角形；菱形中外切圆的圆心在对角线的中点处，菱形最大内切圆以及最大外接圆的圆心也在对角线的中点处。

菱形具有很多有趣的性质，并且应用在许多方面。

比如，在绘画上，菱形用于定义简洁的对称元素，在棋盘游戏中使用菱形来实现多边形布局，也用于体育项目中的一些比赛线、标识圈范围等。

菱形的性质与判定

菱形性质与判定
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形有别于平行四边形性质有哪些？
B
A D C
A
B 边
菱形的两组对边分别平行. 菱形的四条边相等.
C
D
菱形的性质
角
菱形的两组对角分别相等,邻角互补. 菱形的两条对角线互相垂直平分. 菱形的每一条对角线都平分一组对角.
对角线
对称性
菱形是轴对称图形.
已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；
已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE． 2 （2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm ，求 △ABF的周长；
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
若用a、b表示菱形的两条对角线，那么菱形的面 A 积为： D
1 S a b 2
O C
B
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.
菱形的判定？
A
DBBiblioteka C有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的判定
边
四条边都相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
求证：四边形EGFC为菱形．
C F E A D G
B
如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q. （1）求证： OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

菱形的所有判定定理

菱形的所有判定定理菱形是一种几何形状，它有一些特殊的性质和定理。

在本文中，我们将讨论菱形的所有判定定理，并详细解释它们的意义和应用。

一、菱形的定义定理：菱形是一个四边形，它的所有边长相等。

在一个菱形中，对角线相互垂直且平分对方。

二、菱形的角定理：1. 菱形的内角和定理：菱形的内角和为360度。

2. 菱形的对角线交角定理：菱形的对角线交角为90度。

三、菱形的边定理：1. 菱形的边长定理：菱形的四条边长相等。

2. 菱形的边中点连线定理：菱形的边中点连线相互垂直且平分对角线。

四、菱形的对角线定理：1. 菱形的对角线长度定理：菱形的两条对角线长度相等。

2. 菱形的对角线垂直定理：菱形的对角线相互垂直。

五、菱形的面积定理：菱形的面积等于对角线长度的乘积再除以2。

六、菱形的高定理：菱形的高等于任意一边与对角线的乘积再除以对角线的长度。

七、菱形的中线定理：菱形的对角线中线相等且平行于边。

八、菱形的内切圆定理：菱形的内切圆与菱形的四条边相切。

九、菱形的外接圆定理：菱形的外接圆与菱形的四个顶点相切。

十、菱形的外接圆半径定理：菱形的外接圆半径等于对角线的一半。

以上是菱形的所有判定定理。

这些定理不仅可以帮助我们理解菱形的性质，还可以在解决各种几何问题时提供指导。

通过运用这些定理，我们可以计算菱形的边长、对角线长度、面积和高等参数，进一步推导出其他相关的几何性质。

菱形的判定定理是几何学中的重要内容，它们不仅在理论研究中有着广泛的应用，也在实际生活和工程中发挥着重要的作用。

比如，在建筑设计中，我们经常会遇到需要绘制或计算菱形的情况，而这些判定定理可以帮助我们准确地完成这些任务。

总结起来，菱形的判定定理是菱形几何学中的重要内容，它们描述了菱形的各种性质和特点。

通过运用这些定理，我们可以计算菱形的各种参数，解决各种几何问题。

同时，这些定理也在实际生活和工程中发挥着重要作用。

通过学习和理解这些定理，我们可以更好地理解和应用菱形几何学。

菱形的所有性质

菱形的所有性质
菱形的所有性质如下：
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角。

2、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形。

3、菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。

4、四条边都相等。

5、对角相等，邻角互补。

6、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号三倍。

7、菱形的判定判定
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②四条边都相等的四边形是菱形;
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
8、菱形的面积
①对角线乘积的一半(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);
②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a^2·sinx
9、菱形的周长
菱形周长=边长×4 用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，则C=4a。

菱形是特殊的平行四边形，而菱形中又有特殊的一类就是正方形。

1菱形的性质及判定

菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【知识梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.【小试牛刀】类型一、菱形的性质1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD 交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【变式2】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．2?举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m 的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?。

数学菱形判定知识点总结

数学菱形判定知识点总结一、菱形的定义菱形是一种特殊的四边形，它具有以下特点：1. 四边相等：菱形的四条边长度相等。

2. 对角线相等：菱形的对角线长度相等。

3. 对角线垂直：菱形的对角线互相垂直。

4. 相邻角互补：菱形的相邻角互补，即相邻的两个角的和为180°。

二、菱形的判定方法1. 利用对角线判定菱形：如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是菱形；即AC=BD，则ABCD为菱形。

2. 利用边长判定菱形：如果一个四边形的四边相等，则这个四边形是菱形；即AB=BC=CD=DA，则ABCD为菱形。

3. 利用角度判定菱形：如果一个四边形的相邻角互补且对角线相等，则这个四边形是菱形；即∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°，并且AC=BD，则ABCD为菱形。

三、菱形的性质1. 对角线垂直：菱形的对角线互相垂直；即AC⊥BD。

2. 对角线平分：菱形的对角线互相平分；即AC=BD。

3. 角性质：菱形的内角为90°；即∠A=∠B=∠C=∠D=90°。

4. 边长性质：菱形的四边相等；即AB=BC=CD=DA。

四、菱形的应用1. 解题方法：在解题过程中，如果遇到了菱形的相关问题，可以根据菱形的判定方法和性质来解答。

通过判定四边形是否满足菱形的条件，再根据菱形的性质进行推理和计算，从而得出答案。

2. 几何证明：在几何证明中，菱形的性质和判定方法经常被应用。

可以利用菱形的对角线垂直、对角线平分等性质，来推导出与菱形相关的定理和结论。

3. 建模应用：菱形作为一种特殊的几何图形，在建模过程中也有着特殊的应用。

例如在建筑、设计等领域中，可以利用菱形的性质和特点来构建特定的结构和图案。

五、拓展延伸菱形是一种特殊的四边形，它的性质和应用涉及到了数学的多个知识点。

在学习菱形的基础上，可以进一步拓展延伸相关的数学知识，例如平行四边形、矩形、正方形等特殊的四边形，从而更好地理解和运用几何知识。

菱形的性质与判定

菱形的性质与判定目标:掌握菱形的定义，了解菱形与平行四边形的关系；掌握菱形的性质与判定；能运用菱形性质与判定解决相关问题；通过实际应用提高学生用数学的意识。

重点:菱形的性质及判定难点：区别菱形的性质与判定并正确运用其解决相关问题。

知识要点：1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

2、菱形的性质：性质1菱形的四条边相等。

性质2菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角。

已知：菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O（如图1）求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。

证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD（菱形的四条边相等）在等腰△ABD中，∵BO＝OD，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD。

同理：AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC。

图13、菱形面积计算方法：(1) S＝底×高(2) S＝对角线1×对角线2＝ab例已知菱形ABCD的边长为2cm ，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O（如下图），求这个菱形的对角线长和面积。

解：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，∠BAO＝＝×120°＝60°（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）在Rt△AOB中，∵∠ABO＝90°－∠BAO＝30°∴AO＝＝×2＝1（cm）BO＝（cm）∵AO＝，BO＝∴AC＝2AO＝2（cm），BD＝2BO＝2（cm）＝AC×BD＝2（cm2）∴S菱形ABCD4、菱形的判定：判定定理1四边都相等的四边形是菱形。

判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

本周典型例题分析：1．已知：如图，□ABCD中，AB=2BC，E、F是直线BC上的点，BE=BC=CF，求证：AF⊥ED分析：若连结MN，欲证DE⊥AF，只要证四边形AMND是菱形。

证明：连结MN∵四边形ABCD是平行四边形∴AD BC，AB DC在△ABF中，∵BC=CF，AB∥CN∴AN=NF又∵AD∥BF，∴DN=NC同理可证：AM=MB又∵AB=2BC∴AM DN，∴四边形AMND是平行四边形而AD=DN，∴四边形AMND是菱形∴AN⊥MD，即AF⊥ED换个思路想一想，如果利用“如果一个三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这条边所对的角是直角。

菱形的性质和判定

1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，还有自身的特殊性质：（1）菱形四条边相等。

（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（3）菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线为对称轴）。

3、菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（3）四边相等的四边形是菱形。

4、菱形面积计算：（1）平行四边形面积求法：21=S 底×高（2）特殊求法：21=S 对角线的乘积例：如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q 。

（1）求证：OP=OQ（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运用（不与D 重合）。

设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形。

例1、如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、BC 上，且CE=CF ，求证：AE=AF 。

【变式练习】如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF 。

求证： △ACE ≌△ACF例2、如图，菱形ABCD 中，B =60°，AB=2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为多少？O QPDCB A F EDC BA F ED CB A F E D CB A【变式练习】如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，求菱形ABCD 的周长和面积。

例3、如图，△ABC 中，E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 上的点，且DE ∥AC ，DF ∥AB ，要使四边形AEDF 是菱形，在不改变图形的前提下，你需要添加的一个条件是，试证明：这个多边形是菱形。

菱形的性质和判定2

菱形的性质和判定1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，还有自身的特殊性质：（1）菱形四条边相等。

（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

（3）菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线为对称轴）。

3、菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（3）四边相等的四边形是菱形。

4、菱形面积计算：（1）平行四边形面积求法：21=S 底×高（2）特殊求法：21=S 对角线的乘积1下列命题不正确的是（）A ．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形;B ．组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形;C ．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形;D ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形. 2．菱形具有一般平行四边形不具有的性质是（）A ．两组对边分别平行B ．对角线互相平分C ．两组对边分别相等D ．一组邻边相等 3．一个菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则这个菱形的面积等于（） A ．48cm 2B ．24cm 2C ．12cm 2D ．18cm24．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（）A ．AB=CDB ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．AC=BD D ．当∠ABC=90°时，它是矩形例1、如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、BC 上，且CE=CF ，求证：AE=AF 。

FEDCBA【变式练习】如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF 。

求证： △ACE ≌△ACF例2、如图，菱形ABCD 中，B =60°，AB=2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为多少？【变式练习】如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，求菱形ABCD 的周长和面积。

第7讲菱形的性质与判定

考点一：菱形边的性质
【例 1】（1）如图 1 所示，将一个长为10 cm ，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形
两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）
A．10 cm2
B． 20 cm2
C． 40 cm2
D． 80 cm2
D
A
Cபைடு நூலகம்
图1
B
Page 1 of 10
（2）已知菱形的一个内角为 60 ，一条对角线的长为 2 3 ，则另一条对角线的长为
【例 1】（1）菱形 ABCD 中， E 、 F 分别是 BC 、 CD 的中点，且 AE BC ， AF CD ，那
么 EAF 的度数为
．
（2）如图 3，在菱形 ABCD 中， A 110 ， E 、 F 分别是边 AB 和 BC 的中点， EP CD 于
点 P ，则 FPC （）
A． 35
Page 6 of 10
（2）如图， ABC 中， ACB 90 ， AD 是 BAC 的平分线，交 BC 于 D ， CH 是 AB 边上的高，交 AD 于 F ， DE AB 于 E ，求证：四边形 CDEF 是菱形．
A
B E
D F C
Page 3 of 10
（4）已知，菱形 ABCD 中，E 、F 分别是 BC 、CD 上的点，且 B EAF 60 ，BAE 18 ．求： CEF 的度数．
A
D
BE
F C
（5）如图，菱形 ABCD 中， AB BD ，点 E、F 分别在 AB、AD 上，且 AE DF ，连接 BF 与 DE 相交于点 G ，连接 CG ． ①求证： AED≌DFB ； ②求 BGD 的度数； ③求证： DG BG CG ．