高一数学必修一基本初等函数知识点总结
初等基本函数知识点总结
初等基本函数知识点总结函数是数学中最基本的概念之一，它在数学的各个分支中都有着重要的应用。
初等基本函数是指在初等数学范围内常见的基本函数，包括常数函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。
本文将对这些初等基本函数的概念、性质等进行总结和介绍。
一、常数函数常数函数的定义是f(x) = c （c为常数）。
这里的c就是常数函数的函数值，它是一个常数，和x的取值无关。
在坐标系中，常数函数的图象是一条水平的直线，它的斜率为0。
常数函数的性质有：1. 常数函数的图象是一条水平的直线。
2. 常数函数的定义域是全体实数集R，值域为{c}。
3. 常数函数的导数为0，即f'(x) = 0。
4. 常数函数是一个一一对应的函数。
5. 常数函数是奇函数，偶函数，周期函数，增函数，减函数等的特殊情况。
二、一次函数一次函数的定义是f(x) = kx + b （k和b为常数，k≠0）。
在坐标系中，一次函数的图象是一条通过点P(k，b)的直线，它的斜率为k，截距为b。
一次函数的性质有：1. 一次函数的图象是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点位置。
2. 一次函数的定义域是全体实数集R，值域是一切实数集R。
3. 一次函数的导数为k，即f'(x) = k。
4. 当k>0时，一次函数是增函数；当k<0时，一次函数是减函数；当k=0时，一次函数是常数函数。
5. 一次函数是一个奇函数，因为f(-x) = -kx + b = -f(x)。
三、二次函数二次函数的定义是f(x) = ax^2 + bx + c （a、b和c为常数，a≠0）。
二次函数的图象是一个开口向上或者向下的抛物线，它的开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的性质有：1. 二次函数的图象是一个抛物线，它关于y轴对称，对称轴方程为x = -b/2a。
人教版高中数学必修一-第二章-基本初等函数知识点总结
人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结第二章 基本初等函数一、指数函数（一)指数与指数幂的运算 1．根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0=0。
注意：(1)na =(2）当 n a = ，当 n 是偶数时,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩2．分数指数幂正数的正分数指数幂的意义,规定：0,,,1)m na a m n N n *=>∈>且正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m nm naa m n N n a*=>∈>且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)rsr s a a aa r s R +=>∈（2）()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈ （3)(b)(0,0,)rrra ab a b r R =>>∈注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122[(1]11≠ （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数xy a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠1 2a>1注意： 指数增长模型：y=N （1+p)指数型函数： y=ka 3 考点：(1)a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧;当b 〈0时，a,N 在1的 异侧.（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。
掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进1(=a 0）进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性. （4)分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。
(5）指数型函数：y=N （1+p)x 简写：y=ka x 二、对数函数 （一)对数1．对数的概念：一般地，如果x a N = ,那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a x N = （ a - 底数， N — 真数，log a N — 对数式）说明：1。
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
高中数学必修一基本初等函数知识点与典型例题总结
( a ,c ( 0 ,1 ) U ( 1 , ) ,b 0 )
c
2) 对数恒等式
a lo g a N N ( a 0 且 a 1 , N 0 )
3) 四个重要推论
①logabllggabllnnab; ②logamNnm nlogaN;
③logablog1ba;
④ lo g ab lo g bc lo g ac.
由f x是奇函数,图像关于原点对称.
所以f x在( ,- a )是增函数,
在(- a ,0)是减函数.
综上,函数 f x x a(a>0)的单调
区间是
x f x在(- a ,0),(0, a )是减函数.
在( ,- a ),( a ,+)是增函数,
单调区间的分界点为: a的平方根
5.函数f x x a (a>0)的值域
①找不到证明问题的切入口．如第(1)问，很 多考生不知道求其定义域．
②不能正确进行分类讨论．若对数或指数的 底数中含有参数，一般要进行分类讨论.
一般地，函数 y x x 是 自 变 量 ， 是 常 数
叫做幂函数
y
y x, y x2, y x3,
1
y x2, y x1
的图象.
O
x
幂函数的性质
当x1x2 >a时,由x1,x2是任意的,知x1,x2可 无限接近.而x1,x2在同一个区间取值, 知x1,x2 ( a,+)时,x1x2 >a都成立. 此时,f(x2 )>f (x1). 所以x ( a,+)时,f(x)是增函数.
同时可知,x (0, a )时,f(x)是减函数.
⑵. 当x∈ (-∞,0)时,确定某单调区间
高中数学必修一知识点归纳
高中数学必修一知识点归纳一、函数的概念与性质1. 函数的定义- 函数：从一个数集A（定义域）到另一个数集B（值域）的映射。
- 函数的表示：f(x) = y，其中x∈A，y∈B。
2. 函数的性质- 单调性：函数值随自变量增加而增加或减少。
- 奇偶性：f(-x) = f(x)（偶函数），f(-x) = -f(x)（奇函数）。
- 周期性：存在最小正数T，使得f(x+T) = f(x)。
- 有界性：函数的值在某个范围内。
3. 函数的图像- 坐标轴：x轴和y轴。
- 函数图像：表示函数关系的图形。
二、基本初等函数1. 幂函数- 定义：f(x) = x^n，n为实数。
- 性质：正整数幂、负整数幂、分数幂。
2. 指数函数- 定义：f(x) = a^x，a>0且a≠1。
- 性质：增长速度、指数律。
3. 对数函数- 定义：f(x) = log_a(x)，a>0且a≠1。
- 性质：对数律、换底公式。
4. 三角函数- 正弦、余弦、正切函数：sin(x), cos(x), tan(x)。
- 性质：周期性、奇偶性、最值。
三、函数的运算1. 函数的四则运算- 加法、减法、乘法、除法。
2. 复合函数- 定义：f(g(x))。
- 性质：复合函数的值域。
3. 反函数- 定义：f(x)的反函数为g(x)，满足f(g(x)) = x。
- 求法：通过解方程。
四、方程与不等式1. 一元一次方程- 解法：移项、合并同类项、系数化为1。
2. 一元二次方程- 解法：因式分解、配方法、公式法、图像法。
3. 不等式- 解法：移项、合并同类项、系数化为1。
- 性质：不等式的基本性质。
五、数列的概念与表示1. 数列的定义- 数列：按照一定顺序排列的一列数。
2. 等差数列- 定义：相邻两项之差为常数的数列。
- 通项公式：an = a1 + (n-1)d。
3. 等比数列- 定义：相邻两项之比为常数的数列。
- 通项公式：an = a1 * q^(n-1)。
高一数学《基本初等函数》知识点总结
高一数学《基本初等函数》知识点总结一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．u负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
当是奇数时，，当是偶数时，2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，u0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）·；（2）；（3）．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>1定义域R定义域R值域y＞0值域y＞0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式）说明：1注意底数的限制，且；2；3注意对数的书写格式．两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数；2自然对数：以无理数为底的对数的对数．u指数式与对数式的互化幂值真数＝N＝b底数指数对数（二）对数的运算性质如果，且，，，那么：1·＋；2－；3．注意：换底公式（，且；，且；）．利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．2对数函数对底数的限制：，且．2、对数函数的性质：a>1定义域x＞0定义域x＞0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．例题：1.已知a>0，a0，函数y=ax与y=loga的图象只能是2.计算：①;②=；=;③=3.函数y=log的递减区间为4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=5.已知，（1）求的定义域（2）求使的的取值范围。
数学必修一基本初等函数知识点
数学必修一基本初等函数知识点
1. 线性函数：y = kx + b（k和b为常数），其中k称为斜率，b称为截距。
2. 幂函数：y = x^n（n为常数），其中n可以是正整数、零、负整数。
3. 指数函数：y = a^x（a为正实数且a≠1）。
4. 对数函数：y = loga(x)（a为正实数且a≠1），其中x为正实数。
5. 三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等）：y = sinx，y = cosx，y = tanx，y = cotx等。
6. 反三角函数（反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数等）：y = arcsinx，y = arccosx，y = arctanx，y = arccotx等。
7. 绝对值函数：y = |x|。
8. 双曲函数（双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等）：y = sinh(x)，y = cosh(x)，y = tanh(x)等。
9. 分段函数：根据不同条件定义函数的不同表达式，例如：y = f(x) =
{ x+1, (x≤0)
{ x^2, (0<x≤1)
{ 2x-1, (x>1)
10. 复合函数：将一个函数的输出作为另一个函数的输入进行运算，例如：f(g(x))。
以上是数学必修一中较为基本的初等函数知识点，只覆盖了一部分内容。
学习初等函数的重点是掌握其基本性质、图像和应用。
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结1.多项式函数多项式函数是由常数和幂函数通过加减乘除运算得到的函数，它的一般形式是f(x)=anx^n+an-1x^(n-1)+...+a1x+a0，其中an,...,a0是常数，n是非负整数。
多项式函数的最高次数决定了函数的增长速度，函数的图像通常是一个平滑的曲线。
2.指数函数指数函数的形式是f(x)=a^x，其中a是一个正实数且不等于1、指数函数的图像呈现出递增或递减的趋势，具有不断增长的特点。
指数函数的特点是：当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；当a=1时，函数恒为1；当x=0时，函数的值为13.对数函数对数函数的形式是f(x)=log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1，x是一个正实数。
对数函数与指数函数是互逆的关系，即对数函数是指数函数的逆函数。
对数函数的特点是：当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；当a=1时，函数恒为0；当x=1时，函数的值为0。
4.三角函数三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
它们的图像是周期性的，周期为2π。
三角函数是以圆上的点的坐标来定义的，它们与三角关系密切相关，具有很多重要的应用，如波动、振动、旋转等。
5.反三角函数反三角函数是三角函数的逆函数，如反正弦函数arcsin(x)，反余弦函数arccos(x)，反正切函数arctan(x)等。
它们的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
反三角函数可以用来解三角方程和求解三角函数的值，也在三角函数应用中起到重要作用。
6.指数对数函数指数对数函数是指数函数和对数函数的组合，如指数函数的反函数指数对数函数f(x)=log_a(x)，对数函数的反函数指数对数函数f(x)=a^x。
指数对数函数具有特定的增长速度和性质，广泛应用于科学、金融、工程等领域。
总结起来，基本初等函数是初等函数的基础知识，包括多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
大一基本初等函数知识点总结
大一基本初等函数知识点总结大一的学生经常会接触到一些基本初等函数，这些函数非常重要，因为它们是数学知识的基础。
让我们一起来总结一下大一学生需要掌握的所有基本初等函数知识点。
首先，线性函数是基本初等函数中最常见的一类函数，它们对应一条直线，这条直线可以用y=ax+b的形式表示，其中a是斜率，b是y轴上的截距。
另外，给定两个点(x1,y1)和(x2,y2)，它们连接成的直线也是一条线性函数，即y=(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)+y1。
其次，指数函数是另一类常见的初等函数，它们形式为y=a*b^x，其中a和b是常数，x是变量。
当b>1时，指数函数为单调递增函数；当0<b<1时，指数函数为单调递减函数。
第三，幂函数是另一类常见的基本函数，它们形式为y=x^n，其中n是常数，x是变量，x>0。
当n>1时，幂函数为单调递增函数；当0<n<1时，幂函数为单调递减函数。
第四，平方根函数是另一类常见的基本函数，它们的形式为y=x^0.5，其中x是变量，x>0。
平方根函数是一种单调递增函数。
最后，反比例函数是另一类基本函数，它们可以用y=k/x的形式表示，其中x是变量，k是常数。
反比例函数是一种单调递增函数，它限制了x可能取值的范围，因为当x=0时函数会无穷大，所以x > 0。
综上所述，大一学生需要掌握的基本初等函数有：线性函数、指数函数、幂函数、平方根函数和反比例函数。
学习这些函数可以帮助大一的学生更好的理解数学的基础知识，从而更好地掌握数学相关的知识。
在学习这些函数时，学生们需要努力理解其特点，以便灵活运用。
高一必修一数学知识总结(4篇)
高一必修一数学知识总结第1篇【基本初等函数】一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数。
此时，的次方根用符号表示。
式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）。
当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数。
此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号—表示。
正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）。
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
注意：当是奇数时，当是偶数时，2、分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。
3、实数指数幂的运算性质（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential），其中x是自变量，函数的定义域为R。
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1。
2、指数函数的图象和性质高一必修一数学知识总结第2篇二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
高一上册数学函数知识点归纳总结
高一上册数学函数知识点归纳总结1. 函数的定义和性质函数是一种具有特定关系的映射关系，包括定义域、值域、对应关系等。
函数可以表示为数学表达式、图像或者数据集合。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 基本初等函数常见的基本初等函数包括线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
它们各自具有不同的特性和性质，在数学中有广泛的应用。
3. 函数的图像与性质函数的图像是通过绘制函数的各个点而形成的曲线。
通过观察函数的图像，可以了解函数的特点、性质和变化趋势。
常见的图像包括直线、抛物线、指数增长曲线等。
4. 函数的运算与复合函数函数之间可以进行加减乘除等运算，得到新的函数。
函数的复合指的是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。
函数的运算和复合可以通过代数运算和函数图像来进行研究。
5. 函数的零点和极限函数的零点是函数取值为零的点，也就是方程 f(x)=0 的解。
函数的极限是指当自变量趋向于某个值时，函数取值的趋势和趋向。
寻找函数的零点和研究函数的极限是解决各种数学问题的基础。
6. 反函数与反比例函数如果函数 f(x) 和函数 g(x) 互为反函数，那么对于 f(g(x))=x 和g(f(x))=x 成立。
反比例函数指的是函数的值和自变量成反比例的关系，可以表示为 y=k/x，其中 k 是常数。
7. 函数的导数与微分导数是函数在某一点的变化率，表示为 f'(x)，可以用来解决函数的最值、曲线的切线和函数的变化趋势等问题。
微分是刻画函数局部变化的工具，通过求取函数在某一点的微分来研究函数的性质。
8. 函数的应用函数在实际问题中有广泛的应用，如模拟、建模、最优化、曲线拟合等。
通过函数的定义和性质，可以将实际问题转化为数学模型，并用函数来解决相关的数学和实际问题。
通过以上对高一上册数学函数知识点的归纳总结，我们可以更好地理解函数的基本概念、性质和运用，进而提升数学解题能力和问题解决能力。
高一数学 基本初等函数
基本初等函数一、知识梳理1.指数与对数的概念b a ＝N N b a log =⇔（a ＞0，a ≠1）2.指数与对数的性质 指数运算性质①r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ），②r a aa sr s r ,0()(>=⋅、∈s Q ），③∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 对数运算性质①log MN a ＝log N M a a log + ②log N M NMa a alog log -= ③M n M a na log log =（M 、N ＞0, a ＞0, a ≠1）推广：M mnMa na m log log =④换底公式：aNN b b a log log log =（a ，b ＞0，a ≠1，b ≠1）3.指数函数、对数函数的概念形如y ＝x a （a ＞0且a ≠1，x ＞0）叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .形如y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）的函数，叫做对数函数（logarithmic function ）.（1） 指数函数、对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幂函数的区别； （2） 注意底数的取值范围.4.指数函数、对数函数的图像和性质（略）.5.幂函数（1）幂函数定义：一般地，形如αx y =()R α∈的函数称为幂函数，其中α为常数.（2）幂函数性质：① 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；②0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数.特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.二、方法归纳1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3.比较几个数（幂或对数值）的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差.4.指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径.三、典型例题精讲【例1】比较下列各数的大小：3312122,15lg ,53,25lg ,53,35.0log ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ 解析：∵35.0log 2＜0 ，其他各数都大于零，故35.0log 2最小；又∵10lg ＝1，100lg ＝2， ∴ 1＜15lg ＜25lg ＜2＜32＝8，对于2153⎪⎭⎫⎝⎛与3153⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，首先，它们都属于区间（0,1），且是同底的幂，考虑函数y ＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛53 为减函数，∴2153⎪⎭⎫ ⎝⎛＜3153⎪⎭⎫ ⎝⎛.于是有331212225lg 15lg 535335.0log <<<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛<.又例:比较下列各组数的大小：（1）7.06，67.0，6log 7.0；（2）7.0log 1.1，7.0log 2.1 解析：（1）∵7.06＞1， 0＜67.0＜1，6log 7.0＜0 ，∴6log 7.0＜67.0＜7.06.（2）∵1.1log 17.0log 7.01.1=，2.1log 17.0log 7.02.1=.又函数y ＝x 7.0log 为减函数，∴ 0＞1.1log 7.0＞2.1log 7.0.∴7.0log 1.1＜7.0log 2.1.再例：当０＜a ＜b ＜1，下列不等式正确的有（ ） A.()()bba a ->-111 B.()()bab a +>+11C.()()211bba a ->- D.()()bab a ->-11解析：∵0＜()b -1＜()a -1＜1，又函数y ＝xb )1(- 为减函数，y ＝a x 在（0,1）上为增函数， ∴()bb -1＜()ab -1＜()aa -1，故选D.技巧提示：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，同时充分利用0和1为桥梁，能使比较大小的问题得到解决.【例2】已知函数y ＝122-+x x a a （a ＞0，a ≠1）在区间[－1，1]上的最大值为14，求a 的值.解析：∵y ＝2)1(2-+x a ＝2)1(2-+u ，又11≤≤-x ，当a ＞1时，],1[a au ∈，1-≥u ，2)1(2-+u 为u 的增函数. ∴函数的最大值为)(5312142舍或-==⇒-+=a a a a 当0＜a ＜1时，]1,[aa u ∈，1-≥u ，2)1(2-+u 为u 的增函数.∴函数的最大值为舍）或(51311121142-==⇒-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a综上得，331==a a 或. 技巧提示：指数函数与二次函数的复合函数，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径 又例：已知)(x f ＝)32(log 24x x -+.求 （1）)(x f 的单调区间；（2）求函数)(x f 的最大值及对应的x 的值.解析：（1）由0322>-+x x ，得)(x f 的定义域为)3,1(-，记u ＝232x x -+＝－（x －1）2＋4，对称轴为x ＝1.∴)(x f 的增区间为（－1，1】，减为区间【1，3）. （2）∵u ＝－（x －1）2＋4≤4，∴当x ＝1 时有最大值y ＝1.【例3】函数12311-⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 的定义域是（ ）A.),21[+∞B.]21,(-∞ C.),(+∞-∞ D.]1,(-∞解析：由 031112≥⎪⎭⎫⎝⎛--x ，得13112≤⎪⎭⎫⎝⎛-x ，即012)31(31≤⎪⎭⎫⎝⎛-x ， 由x)31( 为减函数，∴012≥-x .故所求定义域为21≥x .选A. 技巧提示：这里充分利用指数函数的单调性，通过解简单的指数不等式得到所求定义域.同样，可以充分利用对数函数的单调性，通过解简单的对数不等式得到某些问题的解.又例：若132log <a，则a 的取值范围是 . 解析：由 132log <a，即 a a a log 32log <， 当a ＞１时，x a log 是增函数，于是 32>a ，∴a ＞１. 当０＜a ＜１时，x a log 是减函数，于是 32<a ，∴０＜a ＜32. 综上可知a 的取值范围是a ＞１或０＜a ＜32. 再例：解不等式 0)1)(2(log 2221<+--x x xb ab a（a ＞0，b ＞0）.解析：由0)1)(2(log 2221<+--x x xb ab a，得xxxb ab a22)(2--＞0，即0122>-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛xxb a b a . ∴21+>⎪⎭⎫ ⎝⎛xb a 或21-<⎪⎭⎫⎝⎛xb a （舍去）.当a ＞b 时, )21(log +>ba x ； 当a ＜b 时，)21(log +<ba x ；当a ＝b 时，不等式无解.【例4】函数)2(log 221x x y +-=的单调递增区间是 .解析：由022>+-x x ，得20<<x ，而函数22)1(12--=+-=x x x u ， 即u 在)1,0(上是增函数，在)2,1(上是减函数.又u y 21log =是减函数，∴)2(log 221x x y +-=单调递增区间是)2,1(.技巧提示：对于复合函数的单调性，一要注意在定义域内研究问题；二是对组成复合函数的每一个函数的单调性作出判断；最后根据复合函数的单调性原则做出结论.又例：求函数93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调递减区间.解析：显然93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的定义域是R .设932-+-=x x u ，则427)23(2---=x u . ∴932-+-=x x u 的单调递增区间为)23,(-∞有93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛21是u 的减函数， ∴93221-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调递减区间为)23,(-∞.再例：已知a ＞0且a ≠1,函数x x f a log )(=在定义域[2,3]上的最大值比最小值大1 ,则a 的值为 .解析：由题意，有12log 3log =-a a ，即 123log ±=a，∴a ＝32，23.【例5】当a ＞1时，证明函数)(x f ＝11-+x x a a 是奇函数.解析：由x a －1≠0得x ≠0.故函数定义域｛x ｜x ≠0｝是关于原点对称的点集.又)(x f -＝1111)1()1(11-+-=-+=-+=-+----xx xx x x x x x x a a a a a a a a a a ，=-)(x f －11-+x x a a ， ∴)(x f -＝－)(x f .所以函数)(x f ＝11-+x x a a 是奇函数.技巧提示：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，在判定)(x f -与)(x f 关系时，也可采用如下等价证法.1)()()()(=-⇔=-x f x f x f x f （)(x f ≠０），1)()()()(-=-⇔-=-x f x f x f x f （)(x f ≠０）. 如本题可另证如下：∵=-)()(x f x f 11111x x x x x x x x a a a a a a a a ----+--⋅==--+-，即)(x f -＝－)(x f ， ∴所以函数)(x f ＝11-+x x a a 是奇函数.又例：设a 是实数，)(x f ＝a －122+x（x ∈R ） （1）试证明对于任意a ，)(x f 为增函数； （2）试确定a 值，使)(x f 为奇函数. 解析：（1）设1x ，2x ∈R ，且1x ＜2x ，则)()(21x f x f -＝（)122()12221+--+-x x a a )12)(12()22(2122122212112++-=+-+=x x x x x x 由于指数函数x y 2=在R 上是增函数，且1x ＜2x ，所以12x ＜22x ，即12x －22x＜0， 又由2x ＞0得12x＋1＞0，22x＋1＞0，所以)()(21x f x f -＜0.即)()(21x f x f <. 因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，)(x f 为增函数. （2）若)(x f 为奇函数，则)(x f -＝－)(x f ，即22()2121x x a a --=--++，变形得：12)12(21222)12(222++=++⋅+⋅=-xx x x x x a ，解得a ＝1.所以当a ＝1时，)(x f 为奇函数.【例6】已知0＜x ＜1，a ＞0，a ≠1，比较)1(log x a -和)1(log x a +的大小.解析：方法一：当a ＞1时，)1(log x a -－)1(log x a +＝－)1(log x a -－)1(log x a +＝－)1(log 2x a -＞0，∴)1(log x a -＞)1(log x a +.当0＜a ＜1时，)1(log x a -－)1(log x a +＝)1(log x a -+)1(log x a +＝)1(log 2x a -＞0，∴)1(log x a -＞)1(log x a +.综上所述，在题设条件下，总有)1(log x a -＞)1(log x a +.方法二：∵)1(log )1(log x x a a +-＝)1(log )1(x x -+＝)1(log )1(x x --+＝xx -+11log )1( ＝2)1(11log xxx -++＞)1(log )1(x x ++＝1. ∴)1(log x a -＞)1(log x a +.技巧提示：比较大小通常采取作差－变形－判定符号.如果比较两个正数的大小时，亦可采取作商－变形－与“1”比较的办法.又例：解不等式)1(log )3(log 238+>++x x x解析：原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧+>++>+>++333)1(30103x x x x x x ， 即等价于⎩⎨⎧<-+>+0223012x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧+-<<--->3713711x x ，解得：3711+-<<-x ， 所以原不等式的解集为｛x ︱3711+-<<-x ｝. 【例7】（1）已知a =3log 2，b =7log 3，用a ，b 表示56log 42；（2）已知,6log ,3log ,2log ===c b a x x x 求x abc log 的值.解析：（1）56log 42＝42lg 56lg ＝,3lg 2lg 7lg 2lg 37lg +++ 又 ∵,3lg 2lg ,3lg 7lg 3lg 7lg ,2lg 3lg ab b a ==⇒== ∴56log 42＝131133lg 3lg 3lg 3lg 33lg +++=+++=+++a ab ab ab a b a b a b . （2）∵a ＝2x ，b ＝63,x c x =，∴111log log 11==x x x abc . 技巧提示：掌握对数与指数的运算性质，是本部分的基本要求.尽管近几年高考中很少直接考查对数与指数的运算，但由于指数函数与对数函数几乎是必考内容，不能熟练的进行对数与指数的运算，会影响解题技巧的把握，至少会影响解题速度.又例：判断下列函数的奇偶性（1）)(x f ＝1212+-x x ；（2）)(x g ＝x1－)1ln(2++x x . 解析:（1）)(121221212)12(2)12(1212)(x f x f x x x x x x x x x x -=+--=+-=+-=++=-----，∴)(x f 为奇函数.（2）--=+-x x g x g 1)()()1ln(2++-x x ＋x1－)1ln(2++x x ＝－)]1)(1ln[(22++++-x x x x ＝－1ln ＝0.∴)(x g 为奇函数.四、课后训练1.已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A.132.函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（ ） A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.原点对称 D.直线y x =对称3.函数(21)log x y -= ）A.()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4.函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ） A.R B.[)8,+∞ C.(],3-∞- D.[)3,+∞5.下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）A.12log (1)y x =+ B.2log y =C.21log y x = D.2log (45)y x x =-+ 6.已知|1|log )(+=x x g a )1,0(≠>a a 在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（ ）A.在(),0-∞上是增加的B.在(),0-∞上是减少的C.在(),1-∞-上是增加的D.在(),1-∞-上是减少的 7.函数xa x f )1()(2-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 8.计算=+⋅+3log 22450lg 2lg 5lg .9.已知11log )(--=x mxx f a 是奇函数 （其中)1,0≠>a a ， （1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性； （3）求)(x f 的反函数)(1x f-；（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值. 10.对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值； （6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围.五、参考答案1.C.2.C.3.A.4.C.5.D.6.C.7.)2,1()1,2( --8.109.解析：（1）011log 11log 11log )()(222=--=--+--+=+-x x m x mx x mx x f x f a a a对定义域内的任意x 恒成立，∴10)1(11122222±=⇒=-⇒=--m x m xx m ， 当1m =，()f x 无意义，舍去， 1-=∴m ，（2）∵11log )(-+=x x x f a， ∴ 定义域为),1()1,(+∞--∞ ， 而)121(log 11log )(-+=-+=x x x x f a a， ①当1>a 时，)(x f 在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数； ②当10<<a 时，)(x f 在),1()1,(+∞--∞与上都是增函数；（3）111)1(1111log -+=⇒+=-⇒-+=⇒-+=y y y y y a a a x a x a x x a x x y ， ∵ 001≠≠-y a y，，∴ )10,0(11)(1≠>≠-+=-a a x a a x f xx 且. （4）)2,1()(,3,21->∴-<<a x f a a x 在 上为减函数，∴命题等价于1)2(=-a f ，即014131log 2=+-⇒=--a a a a a ， 解得32+=a .10.解析：记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==，（1）R x u ∈>对0 恒成立，33032min <<-⇒>-=∴a a u ，∴a 的取值范围是)3,3(-；（2）这是一个较难理解的问题。
人教版高中数学必修一基本初等函数复习课知识总结ppt课件
指数 指数与指数函数
N次方根及其性质 根式及其性质 分数指数幂 有理数指数幂的运算性质 定义
图像及性质
指数函数 基本初等函数 对数与对数函数
定义 运算性质 对数 换底公式 定义 对数函数
图像和性质 幂函数 定义 图像和性质
根式的性质 (1)当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数， n 这时，a的n次方根用符号 表示. a (2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正 的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 n a 表示.正负两个n次方根 可以合写为 n a n a (a＞0) (3)
底数互为倒数 的两个指数函数
1 x y=a ,y=( ) 的函数图像关于 y a
x
轴对称。
2、对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
a＞1 y 0＜a＜1
y
图 象
o ①x∈ (0,+∞) ；
x
② y∈ R;
o ③过定点(1, 0)
x
性 质
④当x＞ 1时,y＞ 0, 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
练习：若 2
a
= 5
b
= 1 0,则
1
a
1
b
= _________ __ _ _ _.
课堂例题
例3. ( 1) 已知l g 2 = a ,l g 3 = b ,试用 a ,b表示l o g ; 12 5
(2) 已知l o g a ,b表示l o g . 2 3 = a ,l o g 3 7 = b ,试用 14 56
7．(2009年高考江苏卷改编)函数f(x)＝(a2＋a＋2)x，若 实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为 ________． 答案：m＞n
高中数学必修1知识点总结：第二章 基本初等函数
高中数学必修1知识点总结第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x ax N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N，即log eN （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a an M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()xy ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．(图象关．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质 ①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a>时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a-=；当0a<时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a=-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =02a )q()f p) ②若③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．xxxx xxfx。
高一数学必修1第二章基本初等函数知识点总结归纳
必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)知识点整理〖2.1〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n表示；当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2.1.2指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1aa =，logb a a b =．（3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()naa n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b na a n M Mb n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()xy ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a-=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02x a->，则()M f p =xxxxx x(q)0x(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()mf p =．xfxfx xx。
一张思维导图掌握高一数学必修1全部知识点,冲刺满分
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1.3基本初等函数及其性质
1.指数函数
（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.（4）知道指数函数是一类重要的函数模型.
2.对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.（4）了解指数函数与对数函数互为反函数.
3.幂函数
（1）了解幂函数的概念.（2）结合幂函数的图像，了解它们的变化情况.
表1-2基本初等函数图像及性质
1.4函数的应用
1.函数与方程
(1)结合二次函数的图像，可以了解函数零点与方程根的关系，判断一个二次方程根的存在性和个数。
(2)根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。
2.函数模型及其应用
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
1.5函数图像变换。
高中数学必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射集合A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:x,y →x 2+y 2,xy,求象5,2的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0,1,2,3｝的映射f:x →11-x ,则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域;例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式;与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化; 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法; 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式;例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式;例7 已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式;例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f1、求函数定义域的主要依据：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；32 2 (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围,适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式x 有范围限制时要画图； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数四．1．定义:2.性质：①y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,②若函数fx 的定义域关于原点对称,则f0=0③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;时,1)(>x f ,⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ,解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4高考真题已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2,作差 3,定号 4,结论 二：函数单调性的判定,求单调区间x a x y += 0>a xax y -= 0>a 三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ,那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在－1,1上的函数()f x 是减函数,且满足：(1)()f a f a -<,求实数a 的取值范围; 例：设是定义在上的增函数,,且,求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数 在上是减函数,则 的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值;例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值;5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,当1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ,⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ,求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数fx 对于任意x ,y ∈R ,总有fx ＋fy ＝fx ＋y ,且当x >0时,fx <0,f 1＝－错误!.1求证：fx 在R 上是减函数； 2求fx 在－3,3上的最大值和最小值．例：已知定义在区间0,＋∞上的函数fx 满足f 错误!＝fx 1－fx 2,且当x >1时,fx <0. 1求f 1的值；2判断fx 的单调性；3若f 3＝－1,解不等式f |x |<－2.六．函数的周期性：1．定义若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数,T 是它的一个周期;说明：nT 也是)(x f 的周期推广若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期对照记忆()()f x a f x a +=-说明：()()f a x f a x +=-说明：2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1 已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D22 定义在R 上的偶函数()f x ,满足(2)(2)f x f x +=-,在区间-2,0上单调递减,设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==,则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f x 是定义在实数集上的函数,且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f 2005= .4 已知)(x f 是-∞+∞，上的奇函数,)()2(x f x f -=+,当0≤≤x 1时,fx=x,则f=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+,当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式；⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数,则)1(f 的范围是A 25)1(≥fB 25)1(=fC 25)1(≤fD 25)1(>f2、方程0122=++mx mx 有一根大于1,另一根小于1,则实根m 的取值范围是_______八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1零指数幂)0(10≠=a a 2负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ 3正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质3．根式根式的性质:当n 是奇数,则a a n n =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数1对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且 对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 1 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab 2 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+x 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x a>0且a ≠1 y=log a x a>0 , a ≠1 定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点 ０,1 1,０ 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的（1）1、平移变换：左+ 右- ,上+ 下- 即①函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数;2、图象的变换1平移变换左加右减①函数y=fx+2的图象是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位②函数y=fx-3的图象是把函数y=fx的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位2对称变换①函数y=fx 与函数y=f-x 的图象关于直线x=0对称； 函数y=fx 与函数y=-fx 的图象关于直线y=0对称；函数y=fx 与函数y=-f-x 的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=fx 对于一切x ∈R 都有fx+a=fx-a,那么y=fx 的图象关于直线x=a对称;③y=f-1x 与y=fx 关于直线y=x 对称 ⑤y=fx →y=f|x|3、伸缩变换y=afxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1到原来的a 倍;y=faxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的横坐标缩短a>1或伸长0<a<1到原来的a 倍;十．函数的其他性质1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x +-= 奇函数 ()()0f x f x --= 偶函数3．函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++<凹函数图象“下凹”,如：指数函数 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数图象“上凸”,如：对数函数。
高一数学必修1第一章第二节基本初等函数
第二章：函数及其表示第一讲：函数的概念：知识点一：函数的概念：典型例题：判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数：（1）A=R，B={x |x>0},f:（2）A=z,B=Z,]（3）A=Z,B=Z,（4）A={-1,1},B={0},f:知识点二：函数的三要素：典型例题2：求下列函数的定义域：（1）（2）（3）巩固练习：已知函数(1)求函数定义域；(2)就f(-3),的值(3)当a>0时，求f(a)的值，求f(a-1)的值。
知识点三：函数相等：如果两个函数的定义域相等，并且对应关系完全一致，那么我们称这两个函数一致。
典型例题3：下列函数中，f(x)与g(x)相等的是（）A、B、C、D、巩固练习：下列函数中哪个与函数y=x相等（1）(2)（3）(4)知识点四：区间的表示：典型例题：将下列集合用区间表示出来（1）{x|2x-1≥0}；（2）{x|x<-4或-1<x≤2}第二讲：函数的表示方法：知识点一：函数的三种表示方法解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间对应关系图像法：就是用图像表示两个变量之间的对应关系列举法：就是列举出表格来表示两个变量之间的对应关系月份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 零售量y 81 84 45 46 9 5 6 15 94 161 144 123 零售量是否为月份的函数？为什么？知识点二：分段函数：典型例题1：作出下列函数的图像：（1）f(x)=2x,x∈Z，且|x|≤2（2）y=|x|典型例题2：某市“招手即停”公共汽车票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加一元（不足5公里按5公里计算）如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像。
知识点三：映射1、定义：一般地，我们有设A，B是两个非空集合，如果按某一个确定的函数关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:为从集合A到集合B的一个映射。
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〖
2.1〗指数函数
根式的性质：n a =；当n
a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n
a
a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数
指数幂的意义是： 1()0,,,m m n
n a
a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．
（3）分数指数幂的运算性质①
(0,,)
r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②
()(0,,)
r s rs a a a r s R =>∈ ③
()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
（4）指数函数
〖2.2〗对数函数
负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．
几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a
a =，log
b a a b =．
常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．
对数的运算性质 如果0,1,0,0a
a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a
a a M N MN += ②减法：log log log a a a
M M N N
-=
③数乘：log log ()n
a
a n M M n R =∈ ④log a N
a
N =
⑤log log (0,)b n
a a n M M
b n R b
=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =
>≠且 换底公式的推论： （5）对数函数
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义 一般地，函数
y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α
是常数．
（2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于
y
轴
对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只
分布在第一象限． ②过定点：所有的
幂
函
数
在
(0,)+∞都有定
义，并且图象都
通过点(1,1)． 0α>，则幂函
③单调性：如果并且在[0,)
+∞数的图象过原点，上为增函数．如果0α
<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．
④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q
p
α
=
（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q
p
y x
=是奇函数，若
p 为奇数q 为偶数时，则q
p
y x =是偶函数，若
p 为偶数q 为奇数时，
则
q p
y x
=是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象
在直线
y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．。