上海市青浦区2016届高三第一学期期终学习质量调研测试数学试题(解析版)

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上海高三数学一模汇总(杨浦、青浦)

杨浦区2016学年度第一学期期末高三年级质量调研数学学科试卷考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1、若“a b >”，则“33a b >”是________命题．（填：真、假）2、已知(0]A =-∞,，()B a =+∞,，若A B =R ，则a 的取值范围是________．3、 294z z i +=+（i 为虚数单位），则||z =________．4、若ABC △中，4a b +=，30C ∠=︒，则ABC △面积的最大值是_________．5、若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-，则a =________． 6、过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60︒，则该截面的面积是__________．7、抛掷一枚均匀的骰子（刻有1、2、3、4、5、6）三次，得到的数字依次记作a 、b 、c ，则a bi +（i 为虚数单位）是方程220x x c -+=的根的概率是___________．8、设常数0a >，9(x展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_______．9、已知直线l 经过点(0)且方向向量为(21)-,，则原点O 到直线l 的距离为__________．10、若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为_________．11、平面直角坐标系中，给出点(1,0)A ，(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是___________．12、函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x 满足120n x x x ≤<<<，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12016n n f x f x -+-=，则n n x +最小值为__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13、若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的()(A) 充分但非必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充要条件(D) 既非充分也非必要条件14、行列式147258369中，元素7的代数余子式的值为()(A) 15-(B) 3-(C) 3(D) 1215、一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两位员工数据不清楚。

区高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word版)

浦东新区2016-2017学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷 2016.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.已知U R =，集合{}|421A x x x =-≥+，则U C A =____________．2.三阶行列式351236724---中元素-5的代数余子式的值为____________． 3. 812x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含2x 项的系数是____________．4.已知一个球的表面积为16π，则它的体积为____________．5．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球．这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是____________．6．已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =____________． 7．若复数()()12ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =____________． 8．函数())cos sin f x x xx x =+-的最小正周期为____________．9．过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线于两点A B 、，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积的最小值为____________． 10．若关于x 的不等式1202xx m --<在区间[]0,1内恒成立，则实数m 的取值范围为____________．11．如图，在正方形ABCD 中，2,,AB M N =分别是边,BC CD 上的两个动点，且MN =则AM AN u u u u v u u u vg 的取值范围是____________．12．已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有()*f n N ∈，且()()3f f n n =恒成立，则()()20171999f f -=____________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项中，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分． 13.将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（）． A ．cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭14.已知函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，则函数()y f x =-与()1y f x -=-的图像（）．A ．关于y 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线0x y +=对称D ．关于直线0x y -=对称 15.设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（）．A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >．若10a <，则()()21230a a a a --> 16.元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元，购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A B 、的大小关系是（）．A ．AB > B ． A B <C ．A B =D ．A B 、的大小关系不确定三、解答题（本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在长方体1111ABCD A B C D -中（如图）, 11,2AD AA AB ===，点E 是棱AB 的中点. （1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.18.（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）若,7,3B b ABC π==∆的面积332S =，求a c +值；（2）若()22cos C BA BC AB AC c +=u u u v u u u v u u u v u u u v g g ，求角C .19.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2 小题满分8分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的一条直线交椭圆于P Q 、两点，若12PF F ∆的周长为442+，且长轴长与短轴长之比为2:1.（1）求椭圆C 的方程；（2）若12F P F Q PQ +=u u u v u u u u v u u u v，求直线PQ 的方程.20.（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设数列{}n a 满足221241,2n n n n a a n n b a n n +=+-+=+-；（1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）在（1）的条件下，对于正整数()22q r q r <<、、，若25q r b b b 、、这三项经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(),q r ；（3）若11,c ,n n n n a b n d M ==+=是n d 的前n 项和，求不超过2016M 的最大整数.21.（本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不是常值函数.设011i i n a t t t t t b -=<<<<<<=L L ，其中分点121n t t t -L 、、、将区间[],a b 任意划分成()*n n N ∈个小区间[]1,i i t t -，记{}()()()()()()01121,,n n M a b n t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-=-+-++-L ，称为()x ϕ关于区间[],a b 的n 阶划分“落差总和”.当{},,M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a b n . （1）已知()x x ϕ=，求{}1,2,2M -的最大值0M ；（2）已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b 的充要条件是()x ϕ在[],a b 上单调递增.（3）若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，求证：0n 是偶数，且00110i i n t t t t t -+++++=L L .参考答案一、填空题1. ()1+∞，2. 343. 74.323π5. 256. 42±7. 38. π9. 8 10.32⎛⎫⎪⎝⎭，2 11. )482⎡⎣，12. 54 二、选择题13. A 14. D 15. C 16. A 三、解答题17.解：（1）作//AE CE '交CD 于E '，因为11AD AA DE '===，所以12AE D E ''==，故1AD E '∆为正三角形，异面直线1AD 与EC 所成角为60°……………………………6分（2）E 是棱AB 上的中点，则ADE CBE ∆∆、均为等腰直角三角形，而显然11DD E DD C ∆∆、均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形，．．．．．．． 14分 18．解：（1）∵133,sin 322ABC B S ac B π∆===，∴6ac =……………………………2分由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=……………………………………4分 ∴()225,5a c a c +=+=……………………………………….7分（2）∵()()22cos cosB bccosA 2cos cos cos C ac c C a B b A c +=⇒+=…………………10分又∵cos cos a B b A c +=……………………………12分 ∴12cos 1,cos 2C C ==， ∵()0,C π∈，∴3C π=……………………………………14分19.解：（1）由条件可知：224a c +=+，:a b =，∵222a b c =+，解得：2,2a b c ===，……………………………4分所以椭圆C 的方程为22184x y +=…………………………6分（2）设直线2PF 的方程为：()()11222,,,,x ty P x y Q x y =+；因为1212F P F Q FO OP F O OQ OP OQ +=+++=+u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v，所以OP OQ PQ +=u u u v u u u v u u u v，所以OP OQ ⊥，所以12120x x y y +=…………………………9分 ()222212440842x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 12122244,22t y y y y t t --+==++……………………………11分 ()()2412121212121x x y y t y y t y y ++=+++解得：21,2t t ==………………………………………13分所以直线PQ0y ±-=…………………………………14分20.解：（1）由21241n n a a n n +=+-+，∴()()()22112122n n a n n a n n +++-+=+-，即12n n b b +=，又11110b a =-=≠，∴数列{}n b 是以1 为首项，2为公比的等比数列；………………4分（2）由（1）知()1*22,5,,n n qrb n N b b b -=∈这三项经适当排序后能构成等差数列；①若225q r b b b ⨯=+，则211110222q r ---⨯=+，∴122225q r +---=，左边为偶数，右边为奇数，∴等式不成立；…………………………………8分 ③若225r q b b b =+，同理也不成立；综合①②③得，()(),3,5q r =；…………………………………10分（3）由211111210a b =⇒=+-⨯=，∴0n b =，…………………………………12分∴0n c n n =+=；………………………………13分由()()()()2222222222211111111111n n n n n n n d c c n n n n +++++=++=++=++ ()()()()2222211111111111n n n n n d n n n n n n n n ++++⎛⎫=⇒==+=+- ⎪+++⎝⎭+；∴2016122016111111223M d d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=+-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦L L 111112016120172016201720172017⎡⎤⎛⎫++-=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. ∴不超过2016M 的最大整数为2016…………………………………16分 21.解：（1）()()()()010023M ϕϕϕϕ=--+-=………………………4分（2）若()x ϕ在[],a b 上单调递增，则{}()()()(){}11,,,,1ni i i M a b n t t b a M a b ϕϕϕϕ-==-=-=⎡⎤⎣⎦∑，故()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b …………………………6分若()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b ，倘若()x ϕ在[],a b 上不单调递增，则存在[]()()121212,,,,x x a b x x x x ϕϕ∈<>. 由()()()()()()()()1122a b a x x x x b ϕϕϕϕϕϕϕϕ-≤-+-+-…………………………（*）等号当且仅当()()()()()()11220,0,0a x x x x b ϕϕϕϕϕϕ-≥->-≥时取得，此时()()()()()()()()()()11220a b a x x x x b a b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-=-+-+-=-<，与题设矛盾，舍去，故（*）式中等号不成立，即：增加分点12,x x 后，“落差总和”会增加，故{},,M a b n 取最大值时n 的最小值大于1，与条件矛盾.所以()x ϕ在[],a b 上单调递增……………………………………………10分（3）由（2）的证明过程可知，在任间区间[],a b 上，若()x ϕ存在最佳划分{},,1a b ，则当()()a b ϕϕ=时，()x ϕ为常值函数（舍）；当()()a b ϕϕ<时，()x ϕ单调递增；当()()a b ϕϕ>时，()x ϕ单调递减…………………………………12分若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则此时在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=L 上均为最佳划分{}1,,1i i M t t -.否则，添加分点后可使()x ϕ在[],a b 上的“落差总和”增大，从而{}0,,M a b n 不是“落差总和”的最大值，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,n i i t t i -=L 上都是单调………………………………14分若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则()x ϕ在相邻的两个区间[][]11,,i i i i t t t t -+、上具有不同的单调性，否则，()()()()()()11111i i i i i t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-+-+-=-+-，减少分点i t ，“落差总和”的值不变，而n 的值减少1，故n 的最小值不是0n ，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾………………………16分()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,n i i t t i -=L 上都单调，而()x ϕ是偶函数，故()x ϕ在y 轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当000,1,,2n i j n i ⎛⎫+== ⎪⎝⎭L 时，0i j t t +=，从而有00120n t t t t ++++=L ……………………………18分。

2. 2016年青浦区高三一模卷子+答案

青浦区2015学年第一学期高三年级期末学业质量调研测试英语试卷（时间120分钟，满分150分）2016.01考生注意：1．本试卷分为第Ⅰ卷（第1-13页）和第II卷（第14页）两部分。

全卷共14页。

满分150分。

考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必在答题卡（纸）上用钢笔或水笔清楚填写姓名、准考证号，并用铅笔正确涂写准考证号。

3．答案必须全部涂写在答题卡（纸）上。

第Ⅰ卷（1-16小题，41-77小题）由机器阅卷，考生应将代表正确答案的小方格用铅笔涂黑。

注意试题题号和答题纸编号一一对应，不能错位。

答案需要更改时，必须将原选项擦去，重新选择。

答案不能涂写在试卷上，涂写在试卷上一律不给分。

第Ⅰ卷中的第17-40小题，78-81小题和第II卷的试题，其答案用钢笔或水笔写在答题纸上，如用铅笔答题，或写在试卷上也一律不给分。

第I卷（共103分）I. Listening ComprehensionSection ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. 9:40. B. 9:50. C. 10:30. D. 10:40.2. A. Leave right away. B. Stay for dinner.C. Catch a train.D. Wait for Eason.3. A. It will be fine. B. It will not rain at all.C. It will stop raining.D. It will rain heavily.4. A. Great. B. Moved. C. Disappointed. D. Sad.5. A. She is eager to have lunch. B. She is unwilling to go for lunch now.C. She is ready for the meeting.D. She is leaving right now.6. A. The driver will stop the bus immediately.B. The guy by the door will help the man.C. The man should check the map.D. She will tell the man when to get off.7. A. She dislikes fireworks. B. She has plans for the evening.C. She doesn’t feel like going out.D. She has to get theatre tickets.8. A. Surfing on the Internet. B. Mailing some documents.C. Sending a document via email.D. Writing an attachment.9. A. To make a tour of Chicago. B. To visit some friends.C. To attend a conference.D. To take language courses.10. A. She liked to go outing nearby. B. She studied very hard at school.C. She won the champion recently.D. She was in her third year in the university. Section BDirections:In Section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on each of the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11. A. How to read a book. B. How to make a list.C. How to form a habit.D. How to make friends.12. A. They are smart people. B. They are good examples of all people.C. They make a list for you.D. They help you cultivate good habits.13. A. Always have a book. B. Keep a ―To-Do‖ list.C. Get more intellectual friends.D. Put down what you will learn.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. An adult native speaker. B. A professional American actor.C. A beginner of English learning.D. An English expert.15. A. Reading and listening. B. Listening and speaking.C. Writing and reading.D. Reading and speaking.16. A. Fun and efficiency in enjoying reading masterpieces.B. The recall of all the good memories of your childhood.C. The true pleasure of the world’s language.D. The improvement of reading and listening abilities.Section CDirections: In Section C, you will hear two longer conversations. The conversations will be read twice. After you hear each conversation, you are required to fill in the numbered blanks with the information you have heard. Write your answers on your answer sheet.Blanks 17 through 20 are based on the following conversation.Blanks 21 through 24 are based on the following conversation.II. Grammar and vocabularySection ADirections: After reading the passages below, fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.(A)250 Drive-Thru（汽车穿梭）Customers Pay It Forward at McDonald’s In Florida, one McDonald’s customer started a pay-it-forward chain that inspired other 249 customers to be generous and do the same. ABC News reports that (25)__________ spirit of giving is in the air as 250 drive-thru customers at a local McDonald’s paid for the meals of the people next to them. A Lakeland customer, Torie Keene (26)__________ (pay) for her food on Wednesday morning when she decided to pay for the meal of the car next to her.Keene then purposely told McDonald’s cashier Marisabel Figueroa (27)__________ (greet) the other customer ―Merry Christmas‖ and not ―Happy Holidays.‖ The next customer was moved when Figueroa said her food was already paid by the previous car. That’s when she thought that she would love to do the same.It kept going and going. Figueroa, (28)__________ worked from 9 a.m. to 3 p.m. on Wednesday, said that the chain reaction almost lasted for her entire shift. ―I just kept (29)__________(give) everyone the same message, and they were all so surprised and so happy,‖ she continued. ―One lady even paid for the meals of the next thre e cars (30)__________ her.‖While people were amazed by how generous they could get, Figueroa said she had the (31)__________ (unforgettable) Christmas experience in her 12 years of working for McDonald’s. ―I feel very (32)__________ (bless) to have been a part of all that,‖ the cashier said. And Keene said that she was surprised by the number of people who continued her good deed when she was ―only trying to brighten someone’s day.‖(B)It was Wayne’s wedding day.Mrs. Ker (33)__________（relieve）finally. Wayne wanted to cancel the wedding again couple of days ago. She kept asking him (34)__________ and then she was told that he heard Susan’s name.Mrs. Ker said to Wayne in a serious tone, ―You were both young then. You didn’t know anythi ng about love! What’s going to happen (35)__________ __________ she has come back? She might have lots of children now! How can you still be dreaming about dating her? She has disappeared for such a long time. Don’t you see (36)__________ a cruel girl she is?‖Under his parent’s pressure, Wayne couldn’t cancel the wedding. Before the ceremony, he kept reminding himself of his bride’s name. He was afraid he (37)__________ say Susan’s name. He said to himself that he needed to give his parents, his bride a perfect wedding.When he was kissing his bride, he thought to himself, ―How nice it could be if my bride is Susan!‖But (38)__________ could go back any more.Their relationship ended 15 years ago.His pain was only a recall of yesterday.Mrs. Ker nodded her head at her son at the wedding, (39)__________ (feel) satisfied. She checked around among the guests. Suddenly, she saw a boy holding a bouquet in the hall. Everybody was sitting but him, (40)__________ he looked pretty outstanding.She was really shocked when she saw the boy. She gave her husband a slight push, ―Baldwin, look at that boy!‖Mr. Ker followed her direction and saw the boy too.―Doesn’t he look a younger version of our son?‖ Mrs. Ker said in a curious voice.Mr. Ker nodded.(To be continued) Section BDirections: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.is the click of a button! As for companies, it is vital for them to hire professionals from all over the world.For businesses that rely greatly on customer satisfaction and approvals, 44 on their services is very important. Customers in particular are able to 45 with the staff on the other end, and provide their feedback as to the quality of services that they have received. The role of most knowledge managers is to ensure that information is kept current, accurate and 46 . Significant developments in the database management systems have made it easier to achieve this goal, and there can only be so much to look forward to as we 47 into the future.At the moment, 48 information that passes through these systems can be run through different forms. There was a time when such information was 49 document- based. Today however, reports and other relevant information can be presented to the seeker through different media.The most efficient knowledge base management systems in the market at the moment are built with the 50 to handle all kinds of information. One of the other things that we cannot forget to mention is the mobile functionality of these programs. They are compatible （兼容的）with users across all platforms, and this makes them even more convenient than before.III. Reading ComprehensionSection ADirections: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.As a parent, you might have a close emotional connection with your child. You’re the only one who can feel their emotions and understand almost all behavioral 51 . Every mother has an opportunity to keep an eye on their children and analyze everything they say and do. Some signs 52 that something bad is going to happen. If you see that your child is in low 53 , you should be ready to take immediate measures to prevent the explosion of a crying bomb.Please forget about physical punishment. This old-school-method of parenting is not the best way to cope with a child’s bad temper. 54 , physical punishment is very painful for children. This strategy is the easiest way to put in discipline and make your child willing to obey. 55 , psychologists say that physical punishment is so offensive that it can lead to severe consequence. It fills the minds and hearts of children with fear,56 and anxiety.Children are like inexhaustible sources of energy. They can run, jump, scream and fool around all day long. So we should lead them to use their negative energy in a proper manner. It’s 57 important to find developmental activities and keep your child engaged as much as possible. Let them play games and exercise 58 they want — physical activity is goodfor their health. Don’t forget to encourage your child and present them with candies or stickers. If your child is fond of singing or dancing, then give them an opportunity to open up and perform like a star.Communication is vital for you and your kids. Every child needs 59socialization and communication with parents and their peers. Your words and pieces of advice help them become stronger and find the right path in life. It’s a good chance to avoid generation gap and build a relationship 60 trust. Lack of contact and communication usually make children too 61 and cultivate antisocial personality in future.Remember to arm yourself with patience, for patience is the main 62 for many parents who deal with children’s bad temper. Every mother knows that it’s hard to preserve unchanged calmness and remain indifferent to children’s cries and tears. Increase the strength of your mind and fill your heart with hope and 63 , because parenting is the hardest job in the world.I think that the 64 of the problem is not children, but their parents. I hope these useful pieces of advice will help you 65 to your child’s bad temper. What other ways to de al with a child’s bad temper? Share your point of view!51. A. abilities B. principles C. hints D. virtues52. A. create B. indicate C. impose D. diagnose53. A. controls B. disciplines C. emotions D. spirits54. A. In return B. After all C. No wonder D. For instance55. A. Moreover B. Otherwise C. However D. Therefore56. A. hatred B. boredom C. carelessness D. shyness57. A. roughly B. extremely C. slightly D. subconsciously58. A. as well as B. as soon as C. as long as D. as far as59. A. gradual B. acceptable C. complete D. feasible60. A. leaving out B. addicted to C. going beyond D. based on61. A. curious B. courageous C. nervous D. generous62. A. priority B. responsibility C. potential D. possession63. A. dignity B. wisdom C. bravery D. diligence64. A. resource B. instruction C. source D. assessment65. A. adapt B. devote C. refer D. respondSection BDirections: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)①The past year, which is fast becoming just a memory, is the year I drove through the car wash at fifty miles an hour. At least, it felt like fifty miles an hour.②That day I followed the attendant’s instructions, drove to one of those do-it-yourselfcar washes. I forgot that my car was a bit moody. I’d been meaning to have it checked, but it didn’t happen often enough to rush me to the garage. Anyway, then unexpectedly, suddenly we picked up speed before the astonished eyes of the attendant. The car shot through the wash cycle, the wax（蜡）cycle, and the dry cycle at a ridiculous rate of speed, and then aimed for the street at the end of the tunnel. We shot through the tunnel with what seemed like the speed of sound and rushed out into the street while I was relieved to see that no cars were approaching. The water and the wax had not yet dried — the car looked as if it had caught some terrible disease.③―What happened then?‖ Bobbie asked after I had told my family the story at an evening meal.④―Nothing,‖ I said.⑤―Didn’t you go back to the car wash?‖⑥―Of course not,‖ I replied.⑦―I don’t blame you,‖ Peter said. ―They might have arrested you for speeding in a car wash.‖⑧We all laughed. It was a nice moment. We were relaxing after the dishes had been taken away, the pleasant smell of coffee filling the air. We had been talking about the past year and, without pausing to think of the possible consequences, I had told them about my experience with the car wash.⑨The story delighted the children — who are no longer children. Peter and Bobbie are married, in fact, and I realized I had given them a sort of philosophy of life for the future. I could imagine them, years from now, when they gather together and one of them will say, ―Remember the time Dad drove through that car wash …?‖⑩Other things happened last year, too, because each year has its events, the good and the bad, the sweet and the sorrowful, the ordinary and the terrific. The milestones and the small incidents stand side by side, fundamentally different in quality or kind, perhaps, but making a sweet kind of harmony.66. The description of the second paragraph brings up images of _______.A. disorderB. diseasesC. stormsD. conflict67. Which of the following is NOT included in Paragraph 8?A. The subject of the discussion.B. The atmosphere of the family talk.C. The time when the talk occurred.D. The reason for the car to lose control.68. Which of the following can serve as the title of the passage?A. A reflection on car tradeB. A memory of the past yearC. A lesson on driving carsD. A car accident at a car wash(B)The J. Paul Getty MuseumWith two locations, the Getty Villa in Malibu and the Getty Center in Los Angeles, the J. Paul Getty Museum serves a wide variety of audiences through its expanded range of exhibitions and programming in the visual arts.Parking informationParking is $15; $10 after 4:00 p.m. Pay once, park twice on the same day. And get same-day parking at both the Getty Center and the Getty Villa for one $15 fee.69. Mr. Larry drove to the Getty Center and the Getty Villa on December 23 (Wednesday), 2015, and enjoyed a wonderful tour there. He paid the parking fee _______ altogether.A. $10B. $15C. $20D. $3070. Which of the following statements is NOT true?A. The J. Paul Getty Museum is an art museum housed on two sites.B. The Getty Villa is closed on the same holidays as the Getty Center.C. The sale of alcohol is forbidden to people in the J. Paul Getty Museum.D. Timed tickets must be obtained in advance in the Getty Villa.71. In 2015, at least _______ was/were a good time for enjoying all the art works in the J.Paul Getty Museum in one day.A. all MondaysB. all TuesdaysC. New Year holidaysD. January 2 (Thursday)72. People who go to the Getty Villa may _______.A. enjoy the views overlooking Los AngelesB. conduct the visit any time because the tickets are freeC. appreciate the arts and cultures of ancient Greece and ancient RomeD. have lunches they bring with them anywhere inside the exhibition area(C)When a patient calls for help at Seton Medical Center, ―Hi, Mr. Rogers, can I help you?‖ says a nurse; it’s never a problem finding the nurse. It’s because they all wear locator tags that are part of a wireless system that tracks their movements on the floor. ―You can even tell when t hey are walking down the hallway.‖ says James Hattori.This system made by Hill-Rom uses infrared（红外线的）signals to detect when nurses enter a room to answer a call. The Hill-Rom devices look like a mini computer mouse. Some hospitals are putting them in nurses’ kitchens. Staff can talk and listen through a wall unit to nurses or even to patients in oth er rooms. ―We can put the time we were spending hunting staff down, trying to find and locate them to much better use,‖ says a staff member from Seton. Hill-Rom says it has systems installed in more than 850 U.S. hospitals.Some nurses worry that the devices will be used to listen in on conversations and scrutinize their movements. ―I’m not wearing mine. I will still meet my patient’s needs but I will not wear this badge.‖ Annette Bearden is among dozens of nurses at Eden Medical Center who staged an active protest two months ago and hid their badges though they were later recovered. ―You know it makes me not feel like a professional. It makes me feel like that someone has to watch me to make sure I am doing my job.‖―The biggest reason we installed this t echnology is because our old call system is about 25 years old,‖ says a hospital manager. For hospitals this is a case of technology allowing, perhaps forcing people to better make use of their time. Officials at Eden don’t deny theymonitor how long it takes nurses to respond to calls but say their main concern is patient care. ―I think it is one tool that we can use in measuring overall performance but by itself it is not a valid disciplinary tool,‖ says an Eden spokesperson.Eden is expanding its system with hopes the nurse will eventually accept the new technology, but back at Seton where it’s been in place for about two years, there is no uneasiness. ―Once the staff actually find out how advantageous it can be for them and the patients, well, actually i t became very popular.‖In Castro Valley, California, the Eden Medical Center spent almost three hundred thousand dollars to install the Hill-Rom systems on two floors. Eden hopes to get more of the systems for other floors.73. Why is it easy to find a nurse at Seton Medical Center?A. The nurses are on television.B. The nurses wear locator badges.C. Every patient has his/her own nurse.D. Each room has a telephone.74. How can the staff talk to their patients when they are not in the same room?A. With hand signals.B. Through microphones in the pocket.C. Through a wall unit.D. With infrared signals on the doors.75. According to the passage, the underlined word ―scrutinize‖ (paragraph 3) probably means_______.A. watch closelyB. see insideC. scan word by wordD. make right76. How did the nurses at Eden Medical Center react to the badges?A. The nurses really liked the badges.B. They threw the locator badges away.C. They refused to work.D. They protested and concealed the badges.77. According to the administrators of the hospital, Eden Medical Center, the application ofthe Hill-Rom devices mainly aims at _______.A. introducing modern technologyB. adding a tool for disciplineC. replacing the old call systemD. improving the service for patientsSection CDirections: Read the passage carefully. Then answer the questions or complete the statements in the fewest possible words.It was early in the afternoon of May 10, 1996. I hadn’t slept in 57 hours. The only food I had been able to force down over the proceeding three days was a bowel of soup. Weeks ofviolent coughing had made ordinary breathing a bitter process. At 29,028 feet up in the troposphere（气体对流）, so little oxygen was reaching my brain that my mental capacity was that of a slow child. Under the circumstances, I was incapable of feeling much of anything except cold and tired.I’d arrived on the summit a few minutes after Anatoli Boukreev, a Russian climbing guide working for an American commercial expedition, and just ahead of Andy Harris, a guide on the New Zealand-based team to which I belonged. Although I just met Boukreev, I had come to know and like Harris well during the proceeding six weeks. I snapped four quick photos of Harris and Boukreev striking summit poses, then turned and headed down. My watch read 1:17 p.m. I’d spent less than five minutes on the roof of the world.A moment later, I paused to take another photo, this one looking down the Southeast Eidge, the route we had chosen to go up. Training my lens（镜头）on a pair of climbers approaching the summit, I noticed something that until that moment had escaped my attention. To the south, where the sky had been perfectly clear just an hour earlier, a blanket of clouds now hid the peaks surrounding Everest. Later, after six bodies had been located, after a search for two others had been abandoned, after surgeons had removed the rotten right hand of my teammate Beck Weathers, people would ask why, if the weather had begun to worsen, had climbers on the upper mountain not observed the signs? Why did experienced Himalayan guides keep moving upward, leading a gang of relatively inexperienced amateurs — each of whom had paid as much as $65,000 to be taken safely up Everest — into an apparent death trap?Nobody can speak for the leaders of the two guided groups involved, because both men are dead. But I can assure that nothing I saw early on the afternoon of May 10th suggested that a murderous storm was bearing down. To my oxygen-exhausted mind, the clouds drifting up the grand valley of ice known as the Western Cwm（西库姆冰斗）looked so friendly and innocent in the brilliant midday sun, not different from the harmless puffs（喷烟）that rose from the valley almost every afternoon.As I began my descent I was extremely anxious, but my concern had little to do with the weather: a check of the meter on my oxygen tank had revealed that it was almost empty. I needed to get down, fast.(Note: Answer the questions or complete the statements in NO MORE THAN EIGHT WORDS.)78. Where were the three climbers mentioned in the second paragraph from?______________________________________________________________________79. Besides the change of the weather, what else led to the expedition team’s falling into a death trap?_______________________________________________________________________ 80. The underlined phrase ―the harmless puffs‖ in paragraph 4 refers to _____________________________________________________________________________________. 81. The author spent less than five minutes on the roof of the world and climbed down fast because _______________________________________________________________.第II卷（共47分）I. TranslationDirections:Translate the following sentences into English, using the words given in the brackets.1．如今，生态旅游已受到不同年龄旅游者的青睐。

上海市青浦一中2016-2017学年高一上学期期中数学试卷及解析

上海市青浦一中2016-2017学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（）.A.如果a b >，b c >，那么a c >B.如果0a b >>，那么22a b >C.对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D.如果a b >，0c >那么ac bc >2.已知,,a b c 满足0c b a ac <<<且，则下列选项中不一定能成立的是（） A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ca <D.()0ac a c -<3.设实数x ，y 为任意的正数，且121x y+=，则使2m x y +≤恒成立的m 的取值范围是（）. A.{}8m m ≤B.{}8m m <C.{}8m m >D.{}8m m ≥4.设[]x 表示不超过x 的最大整数(例如：[5.5]=5，[-5.5]＝-6)，则不等式2[]5[]60x x -+≤的解集为( )A.(2，3)B.[2,4)C.[2，3]D.(2,3]第II 卷（非选择题）二、填空题______．6.已知a 、b 是实数，则“a ＞1，且b ＞1”是“a +b ＞2，且ab ＞1”的____条件．7.已知集合6{|N ,}5A x x Z x*=∈∈-，用列举法表示为____________. 8.命题“设,x y Z ∈，若,x y 是奇数，则x y +是偶数”的等价命题是___________. 9.设全集{}1,3,5,7U =，集合{}1,5M a =-，M U ⊆，{}5,7UM =，则实数a 的值是____________.10.若12a b -<<<，则-a b 的取值范围是______． 11.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____12.设0x >，则231x x x +++的最小值为______.13.已知集合{}23100A x x x =--=，{}10B x mx =-=，且A B A ⋃=，则实数m 的值是__________.14.若不等式()20a b x a b -++>的解是12x >，则不等式ax b <的解集为______． 15.已知0a >，若不等式|3|4x x a -+-<在实数集R 上的解集不是空集，则a 的取值范围是______．16.非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G +∈；②存在e G ∈使得对于一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G 是非负整数集，⊕：实数的加法；②G 是偶数集，⊕：实数的乘法；③G 是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法； ④{},G x x a a b Q ==+∈，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是________（请填写编号）三、解答题17.已知集合2{|190}A x x mx m =-+-=，2{|560}B x x x =-+=，{2,4}C =-，若A B ⋂≠∅，A C ⋂=∅，求实数m 的值．18.若集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围. 19.已知命题甲：关于x 的不等式22(1)0x a x a +-+≤的解集为空集；命题乙：方程2(4)0x a +--=有两个不相等的实根．（1）若甲、乙都是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若甲、乙中有且只有一个是假命题，求实数a 的取值范围.20.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为218000cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm .（1）设矩形栏目宽度为xcm ，求矩形广告面积()S x 的表达式（2）怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？ 21.已知集合2{|430}M x x x =-+<，{|}3||1N x x =-≤．（1）求出集合M N ，；（2）试定义一种新集合运算△，使{|12}M N x x =<<；（3）若有 3.5 3.5|2.5 2.5x x P x x x ⎧--⎫=≥⎨⎬--⎩⎭，按（2）的运算，求出()N M P ．参考答案1.C【解析】1.将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作,a b ，分别求出正方形的面积，以及四个直角三角形的面积，即可得出结果.将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作,a b ，斜边为222()c c a b =+，则外围的正方形的面积为2c ，即22a b +；四个阴影部分面积之和刚好为2ab ，对任意的正实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. 故选：C. 2.C【解析】2.先根据0c b a ac <<<且，得出,a c 的符号，再结合,,a b c 的关系利用不等式的基本性质，即可判定，得到答案.由题意，实数c b a <<且0ac <，可得0,0a c ><，因为c b <，可得c ba a<，所以A 是正确；因为b a <，则0b a -<，则0b ac->，所以B 正确；因为c a <，所以0a c ->，则0a cac-<，所以D 正确；由2222()()()c b a c b a cb c b a a =--=+-，因为b a <，则0b a -<，且0c <，当b a +的符号不确定，所以C 不一定成立. 故选C. 3.A【解析】3.利用“1的妙用”计算出2x y +的最小值，然后即可得到m 的取值范围.0x，0y >，且121x y+=，()12422448y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=+++= ⎪⎝⎭≥，当且仅当24y x ==时取等号.不等式2x y m +≥恒成立，即()min 2x y m +≥.8m ∴≤，故选A .4.B【解析】4.解关于[]x 的一元二次方程，求出[]x 范围，结合[]x 定义，即可求解.2[]5[]60,2[]3,24x x x x -+≤≤≤∴≤<.故选:B.5.(4)(2)-∞-⋃-+∞，，【解析】5.根据解绝对值不等式的公式直接求解即可.3131x x +⇒+>>或31x +<-，解得2x >-或4x <-. 故答案为：(4)(2)-∞-⋃-+∞，， 6.充分不必要【解析】6.因为1211a a b b ab >+>⎧⎧⇒⎨⎨>>⎩⎩，反过来不能推出，然后根据充分必要条件的判断模式进行判断. 解：a 、b 是实数，则“a ＞1，且b ＞1”⇒“a +b ＞2，且ab ＞1”正确，当a ＝10，b ＝0.2时，a +b ＞2，且ab ＞1，所以a ＞1，且b ＞1不成立，即前者是推出后者，后者推不出前者，所以a 、b 是实数，则“a ＞1，且b ＞1”是“a +b ＞2，且ab ＞1”的充分而不必要条件．故答案为：充分而不必要． 7.{}1,2,3,4-【解析】7. 根据6N ,5x Z x*∈∈-，求出x 的值即可.由6N ,5x Z x*∈∈-，得51,2,3,6,4,3,2,1x x -=∴=-， {1,2,3,4}A =-.故答案为:{}1,2,3,4-.8.设,x y Z ∈，若x y +不是偶数，则,x y 不都是是奇数【解析】8.写出该命题的逆否命题即为等价命题.命题“设,x y Z ∈，若,x y 是奇数，则x y +是偶数”的等价命题是： “设,x y Z ∈，若x y +不是偶数，则,x y 不都是是奇数”. 故答案为:设,x y Z ∈，若x y +不是偶数，则,x y 不都是是奇数. 9.8或2【解析】9.由{}1,3,5,7U =，M U ⊆，{}5,7UM =，可得出集合M ，在根据{}1,5M a =-得出5a -的值，从而求出a . 因为{}1,3,5,7U =，M U ⊆，{}5,7UM =，所以{}1,3M =，又{}1,5M a =-，所以53a -=，所以8a =或2. 故答案为：8或2.10.()30-，【解析】10.先根据a b <可得到0a b -<，再由1a 2-<<，21b -<-<，利用不等式的加法性质，可得到33a b -<-<，再取交集即可得出答案。

上海市长宁、青浦、宝山、嘉定2016届高三4月(四区)联考数学(理)试卷扫描版含解析

2016年青浦区高考数学（理科）二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，补集，并集.【参考答案】(2,1]-【试题分析】{}{}|||2,|22A x x x x x =∈=-R ＜＜＜，{}2|430,B x x x x =-+∈R ≥ {}13x x =≤或≥，所以(2,1]A B =-.故答案为(2,1]-.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或涨掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算.【参考答案】1【试题分析】因为1i 1z z -=+，所以21i (1i)1(1)i i 1i (1i)(1i)z z z ---=+⇒===-++-，则||1z ==.故答案为1.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数.【参考答案】（3,1）【试题分析】因为函数1()2x f x a -=+经过定点（1,3），根据互为反函数的两个函数之间的关系知，函数()f x 的反函数经过定点（3,1），故答案为（3,1）.4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】32【试题分析】2222223(1)3(1)P C 3(1)32lim 42(1)(1)2(1)22n n n n n n n n n n n n n n n→++++++====+++++∞，故答案为32. 5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】23π 【试题分析】设直线220x y +-=与条坐标轴的交点分别为A ,B ,则A (1,0)，B （0,2），于是AOB △绕y 轴旋转一周，该几何体为底面半径为1，高为2的圆锥，所以2211212333V R h π=π=⨯π⨯⨯=，故答案为23π. 6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案【试题分析】由sin 2sin 0θθ+=得，2sin cos sin θθθ=-，所以1cos 2θ=-，因为(,2θπ∈π)，所以sin 2θ=tan θ=22tan tan21tan θθθ==-7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】(,2][0,2]-∞-【试题分析】当0x >时，因为()240x f x =-≤，所以02x <≤，又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以(0)0,f =()y f x =在(,0)-∞上单调递增，并且(2)(2)0f f -=-=，所以()02f x x ⇒≤≤-，综上，不等式()0f x ≤的解集为(,2][0,2]-∞-，故答案为(,2][0,2]-∞-.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.【参考答案】24y x = 【试题分析】设抛物线的焦点坐标为(,0)2p ，线段OA 的中点坐标为11(,)22，因为1OA k =,所以经过抛物线焦点的线段OA 的垂直平分线的斜率0122112p k -==-，所以2p =，则抛物线的标准方程为24y x =，故答案为24y x =.9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程.【参考答案】(0,1) 【试题分析】因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将1,15x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①代入sin cos ,sin cos x y θθθθ=⋅⎧⎨=+⎩代入得2(1)2(1)1-+-=，解得t =-将t =2-①求得0,1x y =⎧⎨=⎩或3,22x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，因为πsin cos )4y θθθ=+=+≥，所以只有0,1x y =⎧⎨=⎩符合题意，故答案为(0,1). 10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【参考答案】5 【试题分析】1(2)nx x +的展开式中第m 项为的系数11C 2m n m m n b -+-=，因为342b b =，所以2233C 22C 2n n n n --=，即23C C n n =，得5n =，故答案为5. 11. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/简单集合体的研究/椎体；数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】65+ 【试题分析】如图，在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，因为2AD PD ==,所以BD =DO =,所以PO,22PAD S ==△, 122PDB S =△,12222ABD S =⨯⨯=△,从正四棱锥的5个顶点中任取3个点，可以构成的三角形的个数为35C 10=，其中顶点在侧面的三角形的有4个，在对角面的有2个，在底面的有4个，故E ξ==第11题图 cna112.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】226n n +2+3n n =…①4=，当2n ≥时，2(1)+3(1)n n =--…②，①-②22n =+，所以2(22)n a n =+,116a =也适合此式，所以2(22)n a n =+，2(22)4(1)11n a n n n n +==+++，所以数列{}1n a n +是首项为182a =，公差为4的等差数列，所以12+231n a a a n ++=+… (844)2n n ++226n n =+，故答案为226n n +. 13.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】{48,51,54,57,60}【试题分析】因为20道选择题每题3分，甲最终的得分为54分，所以甲答错了2道题，又因为甲和乙有两道题的选项不同，则他们最少有16道题的答案相同，设剩下的4道题正确答案为AAAA,甲的答案为BBAA,因为甲和乙有两道题的选项不同，所以乙可能的答案为BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA 等，所以乙的所有可能的得分值组成的集合为{48,51,54,57,60}，故答案为{48,51,54,57,60}.14.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/直线的一般式方程；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】6+【试题分析】如图，设000(,)a M x x x -0(12)x ≤≤由题意得(1,1)A a -，(22)2a B -，，(1,1)2a AB =+，所以直线AB 的方程为1(1)112x y a a ---=+，化为一般式方程为3(1)22a y x a =+-，所以003(,(1))22a N x x a +-, 所以003||||22a a MN a x x =--3|2a -≤3=(2a -，当且仅当002a a x x =，即0[1,2]x 时取等号，因为||1MN ≤恒成立，所以3(12a -≤，6a +≤所以a的最大值为6+为6+第14题图 cna2 二、选择题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/同角三角比.【正确选项】B【试题分析】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故答案为B.16.【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.【正确选项】D【试题分析】直线1l 与2l 可能是与平面α平行的平面中的相交直线，故A 选项不正确；直线l 上的点可能是位于平面α两侧的点，故B 选项不正确；直线l 与平面α所形成的角大小可以取到0和π2，故C 选项不正确；垂直同一平面的两直线平行，故D 选项正确.故答案为D. 17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关平面与几何的基本知识.【知识内容】平面与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【正确选项】C【试题分析】由于a b ⊥且||||1a b ==，那么||2a b +=，所以2()()||||||cos 0c a c b c c a b a b α--=-++⋅=，即||2c o s c α=，由于1cos 1α-≤≤，所以||c 故答案为C.18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质和图像；函数与分析/三角函数/正弦函数与余弦函数的图像.【正确选项】B【试题分析】因为存在实数1234,,,x x x x 满足1234()()()()f x f x f x f x a ====，所以函数()f x 与直线y a =的图像有4个交点，如图，因此123403315x x x x <<<<，≤≤，因为3()|log |,03f x x x =<<，所以3132313212|log ||log |,log log ,1x x x x x x =-==，又因为π()sin(),3156f x x x =≤≤的图像关于直线9x =对称，所以3418x x +=，所以1234331(18)x x x x x x =⋅⋅-，因为339x <<，所以12344581x x x x <<,故答案为B.第18题图 cna3 三、解答题19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题7分.【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】（1）图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.（2）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.【参考答案】（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，………………………………………2分因为⊥1CC 平面111A B C ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………4分所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………5分（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ，由（1），(0,2,0)CB =是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………7分 )2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n = ，则有 10,0,n CB n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ，所以)2,2,1(-=n ， …………………………………………10分设CB 与n 的夹角为θ，则42cos 233||||CB n CB n θ⋅===⨯⋅， …………………11分由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos． ……………………………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形.（2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. （2）函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理；图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【参考答案】（1）π()cos 12sin 16f x x x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， ……………3分又πT =，所以，2=ω， ………………………………………………5分所以，π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． …………………………………………………6分（2）π()2sin 2106f B B ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，ππ22π66B k +=+或π5π22π66B k +=+（Z ∈k ），因为B 是三角形内角，所以π3B =．……9分而3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅=，所以，3=ac ， …………………………11分又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=a ． …………………………………14分21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.（2）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.（2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故 11()22f f x f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，即11()3f x -≤≤， ……………………………2分故|()|1f x ≤，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………4分所以，上界M 满足1M ≥，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………6分（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故|()|3g x ≤在]2,0[∈x 上恒成立，即3()3g x -≤≤，所以，31243x xa -++⋅≤≤（]2,0[∈x ）， …………8分所以41214242x x x x a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤（]2,0[∈x ），令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故2242t t a t t ---≤≤在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，22max min (4)(2)t t a t t ---≤≤（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………11分令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；…12分令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…13分所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………14分 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.【测量目标】（1）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/平面直线的方程/直线的斜率与倾斜角.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】（1）由221344x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得03624)43(22=+-+kx x k ，所以2144(4)0k ∆=->，设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………2分因为PA AB =，所以122x x =，代入上式求得556=k . ………………………4分（2）由图形可知，要证明BFO AFP ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，即等价于0=+BF AF k k . …………………………………………6分21212122112211)(3211323311x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k BF AF +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+++=+ 022433643243222=-=++⋅-=k k k k k k . …………………………………………9分所以，BFO AFP ∠=∠. …………………………………………………10分（3）由0∆>，得042>-k ，所以1211||||322ABF PBF PAF S S S PF x x ∆∆=-=⋅-=⋅△ 4341822+-=k k ， ………………………………………………………………13分令42-=k t ，则0>t ，1634322+=+t k故21818163163ABF t S t t t ===++△4=当且仅当t t 163=，即3162=t ，3212=k 取等号）. ……15分所以，△ABF 面积的最大值是433. ……………………………………………16分 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列、等比数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】（1）由已知，12++=n n n a a b ①, 121++=n n n b b a ②， ………1分由②可得，11++=n n n b b a ③， ……………………………2分将③代入①得，对任意*N ∈n ，2n ≥，有112+-+=n n n n n b b b b b ，即112+-+=n n n b b b ，所以{}n b 是等差数列． …………………………4分（2）设数列{}n b 的公差为d ，由101=a ，152=a ，得2251=b ，182=b ，……6分所以2251=b ，232=b ，所以2212=-=b b d ， ……………………7分所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， ………………8分所以，2)4(2+=n b n ，2)4(2)3(2212+⋅+==-n n b b a n n n ， ……………………9分 2)4)(3(++=n n a n ． …………………………………………………………10分（3）解法一：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………11分所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………14分令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ，则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立. ………………………………17分故1a ≤，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞. ………………………………18分解法二：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………………11分所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，所以，原不等式对任意*N ∈n 恒成立等价于08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立， ……………………………………14分设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，10a -≤，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………15分当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1a ≤时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立．综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………18分。

上海青浦区高三上学期期终学业质量调研(一模)数学试题含解析

数学试题2019.12 1．已知集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}，则∁U（A∪B）＝．2．若复数z＝i（3﹣2i）（i是虚数单位），则z的模为．3．直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小是．4．我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为a n，则a n＝．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），则sin2α＝．6．已知正四棱柱底面边长为2，体积为32，则此四棱柱的表面积为．7．设x，y∈R+，若4x1．则的最大值为．8．已知数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），则a n＝．9．某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到A、B、C三个不同的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名优教师，则不同的分配方案共有种．10．已知对于任意给定的正实数k，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则m＝．11．如图，一矩形ABCD的一边AB在x轴上，另两个顶点C、D在函数f（x），x＞0的图象上，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是．12．已知点P在双曲线1上，点A满足（t﹣1）（t∈R），且•60，（0，1），则||的最大值为．13．使得（3x）n（n∈N*）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．714．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线15．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则的值为（）A．B．C．2p D．16．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，0，给出下列结论：①0＜q＜1；②a2019a2021﹣1＞0；③T2019是数列{T n}中的最大项；④使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A．①②B．①③C．①③④D．①②③④17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E是PC 的中点，已知AB＝2，AD＝2，P A＝2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．18．（14分）已知向量（cosωx，sinωx），（cosωx，cosωx）其中ω＞0，记f（x）•．（1）若函数f（x）的最小正周期为π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（），且a＝4，b+c＝5．求△ABC的面积．19．（14分）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n个月的利润是f（n）（单位：万元）．记第n个月的当月利润率为g（n），例g（3）．（1）求第n个月的当月利润率；（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．20．（16分）已知焦点在x轴上的椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆C经过点（3，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线l1，直线l1上存在M、N两点满足OM⊥ON，求△OMN面积的最小值．（3）若与x轴不垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于定点M，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为定值，求点M的坐标．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为[0，2]．且f（x）的图象连续不间断，若函数f（x）满足：对于给定的实数m且0＜m＜2．存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f（x0+m），则称f（x）具有性质P（m）．（1）已知函数f（x），判断f（x）是否具有性质P（），并说明理由；（2）求证：任取m∈（0，2）．函数f（x）＝（x﹣1）2，x∈[0，2]具有性质P（m）；（3）已知函数f（x）＝sinπx，x∈[0，2]，若f（x）具有性质P（m），求m的取值范围．1．∵集合U＝{1，3，5，9}，A＝{1，3，9}，B＝{1，9}∴A∪B＝{1，3，9}∴∁U（A∪B）＝{5}，答案{5}．2．复数z＝i（3﹣2i）＝3i+2，则|z|．答案：13．3．∵直线l1：x﹣1＝0的倾斜角为，直线l2：x﹣y＝0的斜率为．倾斜角为，故直线l1：x﹣1＝0和直线l2：x﹣y＝0的夹角大小为，答案：6．4．依题意，第1天“日取其半”后a1；第2天“日取其半”后a2；第3天“日取其半”后a3；、……∴第n天“日取其半”后a n，答案：．5．角α的终边与单位圆的交点坐标是（，），所以，，所以．答案：6．设正四棱柱的高为h，由底面边长为a＝2，体积为V＝32，则V＝a2h，即h4；所以此四棱柱的表面积为：S＝S侧面积+2S底面积＝4×4×22×22＝3216．答案：16+322．7．∵4x1，x，y∈R+，∴，即，当且仅当“”时取等号，答案：116．8．数列{a n}中，a1＝1，a n﹣a n﹣1（n∈N*），可得a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…a n﹣a n﹣1，累加可得：a n＝1，则a n＝1．答案：54．答案．9．根据题意，分2步进行分析：①，在三个中学中任选1个，安排甲乙两人，有C31＝3种情况，②，对于剩下的三人，每人都可以安排在A、B、C三个不同的乡镇中学中任意1个，则剩下三人有3×3×3＝27种不同的选法，则有3×27＝81种不同的分配方法；答案：8110．由题意可知，k＞0，函数f（x）＝2x+k•2﹣x的图象都关于直线x＝m成轴对称图形，则f（m+x）为偶函数，关于y轴对称，故f（m﹣x）＝f（m+x）恒成立，∴2m﹣x+k•2﹣（m﹣x）＝2m+x+k•2﹣（m+x），∵对于任意x∈R成立，故2m﹣k•2﹣m＝0，∴m答案：11．由y＝f（x）=1+2，当且仅当x＝1时取等号，得x；又矩形绕x轴旋转得到的旋转体是圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆半径为y，高为h＝x2﹣x1，且f（x1），f（x2），所以，即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，所以x2•x1＝1，所以h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1）2﹣44，所以h，所以V圆柱＝πy2•h＝πyπ•π•（）π，当且仅当y时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为．答案：．12．∵（t﹣1），∴，则，∴，设A（x A，y A），P（x P，y P），∴（x A，y A）＝t（x P，y P），则，即，将点（）代入双曲线中得：，∴①，∵•60，∴||•||＝|t|•60…②，由①②得60＝|t|•|t|•，∴|y A|≤8，∴||＝|y A|≤8．则||的最大值为8．答案：8．13．（3x）n的展开式的通项公式为：T r+1，令n，可得n，∴当r＝2时，n取得最小值为5，答案：B．14．若m⊊α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交或平行，故A错误；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，由n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；若m⊊α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n，故C正确；若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交，故D错误．答案：C．15．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k （x），所以，整理得，设点A（x1，y1），B （x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y（x），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则．答案：D．16．∵a1＞1，a2019a2020＞1，0，∴a2019＞1，a2020＜1．∴0＜q＜1，故①正确；a2019a20211，∴a2019a2021﹣1＜0，故②不正确；∵a2020＜1，∴T2019是数列{T n}中的最大项，故③正确；T4039＝a1a2•…•a4038•a40391，T4038＝a1a2•…•a4037•a40381，∴使T n＞1成立的最大自然数等于4038，故④不正确．∴正确结论的序号是①③．答案：B．17．（1）∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥P A．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而P A、AD是平面P AD的交线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△P AD中，AD＝2，P A＝2，∴PD2．∴三角形PCD的面积S PD×DC＝2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴（1，，1），（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ，∴θ，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△P AC中，PC4．∴AE PC＝2，∵在△AEF中，EF BC，AF PB∴AF2+EF2＝AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．18．（1），∴，∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω＝1；（2）由（1）得，∵，∴，由0＜A＜π得，，∴，解得，由余弦定理知：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即16＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，且b+c＝5，∴16＝25﹣3bc，∴bc＝3，∴．19．（1）依题意得f（1）＝f（2）＝f（3）＝…＝f（9）＝f（10）＝10，当n＝1时，g（1），当1＜n≤10，n∈N*时，f（1）＝f（2）＝…＝f（n﹣1）＝10，则g（n），n＝1也符合上式，故当1≤n≤10，n∈N*，g（n），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），所以第n个月的当月利润率为g（n）；（2）当1≤n≤10，n∈N*，g（n）是减函数，此时g（n）的最大值为g（1），当11≤n≤60，n∈N*时，g（n），g（n）在11≤n≤33，n∈N*单调递增，g（n）在34≤n≤60，n∈N*单调递减，当且仅当n，即n时，g（n）有最大值，又n∈N*，g（33），g（34），因为，所以当n＝33时，g（n）有最大值，即该企业经销此产品期间，第33个月利润最大，其当月利润率为．20．（1）设椭圆的方程为，椭圆C上的点到两个焦点的距离和为10，所以2a＝10，a＝5，又椭圆C经过点（3，），代入椭圆方程，求得b＝4，所以椭圆的方程为：；（2）设M（3，y M），N（3，y N），F（3，0），由OM⊥ON，所以，，故△OMN面积的最小值为9；（3）设直线l的方程为：y＝kx+m，则点M（），联立，消去y得（25k2+16）x2+50kmx+25m2﹣400＝0，，，所以|AB|，则AB的中点P的坐标为（），又PN⊥AB，得，则直线PN的方程为：y m，令y＝0，得N点的坐标为（），则|MN|，所以，当且仅当时，比值为定值，此时点M（），为M（±3，0），故M（﹣3，0）或（3，0）．21．（1）f（x）具有性质P（），设x0∈[0，]，令f（x0）＝f（x0），则（x0﹣1）2＝（x0）2，解得x0，又∈[0，]，所以f（x）具有性质P（）；（2）任取x0∈[0，2﹣m]，令f（x0）＝f（x0+m），则（x0﹣1）2＝（x0+m﹣1）2，因为m≠0，解得x01，又0＜m＜2，所以01＜1，当0＜m＜2，x01时，（2﹣m）﹣x0＝（2﹣m）﹣（1）＝11＞0，即01＜2﹣m，即任取实数m∈（0，2），f（x）都具有性质P（m）；（3）若m∈（0，1]，取x0，则0且2﹣m0，故x0∈[0，2﹣m]，又f（x0）＝sin（），f（x0+m）＝sin（）＝sin（）＝f（x0），所以f（x）具有性质P（m）；假设存在m∈（1，2）使得f（x）具有性质P（m），即存在x0∈[0，2﹣m]，使得f（x0）＝f （x0+m），若x0＝0，则x0+m∈（1，2），f（x0）＝0，f（x0+m）＜0，f（x0）≠f（x0+m），若x0∈（0，2﹣m]，则x0+m∈（m，2]，进而x0∈（0，1），x0+m∈（1，2]，f（x0）＞0，f （x0+m）≤0，f（x0）＝f（x0+m），所以假设不成立，所以m∈（0，1]．。

上海市杨浦区2016届高三上学期期末“3 1”质量调研数学(理科)(解析版)讲解

2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知矩阵，，则A+B=．2．已知全集U=R，集合，则集合∁U A=．3．已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x=．4．某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布平方米．5．无穷等比数列{a n}（n∈N*）的前n项的和是S n，且，则首项a1的取值范围是．6．已知虚数z满足2z﹣=1+6i，则|z|=．7．执行如图所示的流程图，则输出的S的值为．8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是．9．展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为．10．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为．11．如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．12．已知，当x∈[a，a+1]时不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）恒成立，则实数a的最大值是．13．抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A，B，若AB中点的横坐标为3，则抛物线C的方程为．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f （1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜16．设、是两个单位向量，其夹角为θ，则“”是“|﹣|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中真命题是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n18．下列函数中，既是偶函数，又在（0，π）上递增的函数的个数是（）①y=tan|x|②y=cos（﹣x）③④．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充．已知金字塔的每一条棱和边都相等（1）求证：直线AC垂直于直线SD．（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？20．某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树．在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：（1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量a n，及松树数量b n关于n 的表达式．（2）定义：f（n+1）﹣f（n）（n∈N*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．21．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O，逆时针15分钟转一圈，从A 处进入摩天轮的座舱，OA垂直于地面AM，在距离A处150米处设置了一个望远镜B．（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B中仔细观看．问望远镜B的仰角θ应调整为多少度？（精确到1度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD，发现取景的视角α恰为45°，求绿化带BD的长度（精确到1米）．22．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．23．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的．若C n＜log a（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知矩阵，，则A+B=．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】直接利用矩阵的和分运算法则求解即可．【解答】解：矩阵，，∴=．故答案为：．【点评】本题考查矩阵的和的求法，是基础题．2．已知全集U=R ，集合，则集合∁U A= {x|x ＜1或x ≥2} ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，根据全集U=R ，求出A 的补集即可．【解答】解：由A 中不等式变形得：（x+1）（x ﹣2）≤0，且x ﹣2≠0，解得：﹣1≤x ＜2，即A={x|﹣1≤x ＜2}， ∵全集U=R ，∴∁U A={x|x ＜1或x ≥2}，故答案为：{x|x ＜1或x ≥2}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．已知函数，则方程f ﹣1（x ）=4的解x= 1 ．【考点】反函数；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足f﹣1（x）=4的x值，即求f（4）的值．【解答】解：由题意得，即求f（4）的值∵，，∴f（4）=log3（1+2）=1，∴f（4）=1．即所求的解x=1．故答案为1．【点评】本题主要考查了反函数的概念，互为反函数的两个函数的函数值和关系，属于基础题．4．某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布16π平方米．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】求出球的半径，可得球的表面积，即可得出结论．【解答】解：∵球的直径为4米，∴半径为2米，∴球的表面积为4π•22=16π平方米．故答案为：16π平方米．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．5．无穷等比数列{a n}（n∈N*）的前n项的和是S n，且，则首项a1的取值范围是（0，）∪（，1）．【考点】数列的极限．【专题】计算题；极限思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】根据所给的前n项和的极限的值，做出首项和公比之间的关系，根据公比的范围，得到首项的范围，解不等式即可．【解答】解：设无穷等比数列{a n}的公比为q，|q|＜1且q≠0，由，又无穷等比数列的求和公式S n =，即q=1﹣2a 1，即有|1﹣2a 1|＜1且|1﹣2a 1|≠0，解得a 1∈（0，）∪（，1）．故答案为：（0，）∪（，1）．【点评】本题考查了无穷等比数列的前n 项和公式，极限的运算法则及其不等式的解法问题，本题解题的关键是运用无穷等比数列的求和公式来解题．6．已知虚数z 满足2z ﹣=1+6i ，则|z|= ．【考点】复数求模．【专题】计算题．【分析】设出复数，写出复数对应的共轭复数的式子，把设出的结果代入等式中，合并同类项，写成复数的标准形式，利用复数的相等的充要条件，写出a 和b 的值，得到结果．【解答】解：设z=a+bi ，则=a ﹣bi ，∵虚数z 满足2z ﹣=1+6i ， ∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）=1+6i ， ∴a+3bi=1+6i ， ∴a=1，3b=6， ∴a=1，b=2，∴|z|=，故答案为：【点评】本题需要先对所给的复数式子整理，展开运算，得到a+bi 的形式，主要依据复数相等的条件，本题可以作为一个选择或填空出现在高考卷的前几个题目中．7．执行如图所示的流程图，则输出的S 的值为．【考点】程序框图．【专题】操作型；等差数列与等比数列；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，其中S=+++…+=[（1）+（﹣）+（﹣）+…+（）]=×（1）=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，裂项相消法求和，分析出循环的功能是解答的关键．．8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出在同一个食堂就餐的概率，从而求出不在同一个食堂就餐的概率即可．【解答】解：三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：××=；他们同时选中B食堂的概率也为：××=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=，故三个人不在同一个食堂就餐的概率是：，故答案为：．【点评】本题考查了概率问题，作差即可，是一道基础题．9．展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为﹣56．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中x的系数．【解答】解：由于展开式的二项式系数之和为2n=256，n=8，故它的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令=1求得r=3，可得展开式中x的系数为﹣=﹣56，故答案为：﹣56．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题10．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为36．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；概率与统计．【分析】根据方差是标准差的平方，数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，可得答案．【解答】解：数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数a1，a2，a3，a4，a5的方差为4，∴数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为4×32=36，故答案为：36【点评】本题考查的知识点是极差、方差与标准差，熟练掌握方差与标准差之间的关系，及数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，是解答的关键．11．如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，建立直角坐标系．通过向量的坐标运算及共面向量定理即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．设A（a，0），C（0，b），则B（a，b）．∵AB=3AE，BC=3CF，∴E，F．∵=+，∴（a，b）=+，∴，解得λ+μ=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的坐标运算及共面向量定理，属于基础题．12．已知，当x∈[a，a+1]时不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）恒成立，则实数a的最大值是﹣2．【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【专题】综合题；函数思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数，讨论其单调性，根据单调性得出a≥2x在x∈[a，a+1]时恒成立，只需求出右式的最大值即可．【解答】解：二次函数x2﹣4x+3的对称轴是x=2；∴该函数在（﹣∞，0]上单调递减；∴x2﹣4x+3≥3；同样可知函数﹣x2﹣2x+3在（0，+∞）上单调递减；∴﹣x2﹣2x+3＜3；∴f（x）在R上单调递减；∴x+a≤2a﹣x恒成立，∴a≥2x在x∈[a，a+1]时恒成立，∴a≤﹣2，故答案为﹣2．【点评】考查了分段函数的单调性判断和恒成立问题的转换．13．抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A，B，若AB中点的横坐标为3，则抛物线C的方程为y2=4x．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过设抛物线C方程为y2=2px（p＞0），则直线l方程为y=x﹣，两者联立并结合韦达定理即中点坐标公式计算即得结论．【解答】解：由题可设抛物线C方程为：y2=2px（p＞0），则F（，0），∵直线l过焦点且倾斜角为，∴直线l方程为：y=x﹣，联立直线l与椭圆方程，消去y整理得：x﹣3px+=0，∵AB中点的横坐标为3，∴3×2=3p，即p=2，∴抛物线方程为：y2=4x，故答案为：y2=4x．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f （1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为（，）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出f（x）的图象，根据交点个数判断直线的临界位置．根据导数与切线的关系列出方程解出．【解答】解：当2≤x≤3时，f（x）=（x﹣2）2+2，当3≤x≤4时，f（x）=（x﹣3）2+3，作出f（x）在[0，4]上的函数图象如图，设y=k1x与f（x）在[2，3]上的图象相切于（x1，y1），y=k2x与f（x）在[3，4]上的图象相切于（x2，y2），则，，解得k1=2﹣4，k2=4﹣6．由函数的对称性可知，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则k1＜k＜k2．故答案为（，）．【点评】本题考查了函数的图象变换，导数与切线的关系，图象的交点个数与零点的关系，属于中档题．作出函数图象是关键．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜【考点】命题的真假判断与应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，可判断A；B，令a=3，b=2，c=2，d=0，可判断B；C，利用不等式的性质可判断C；D，令a=2＞﹣1=b，可判断D．【解答】解：A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，A错误；B，若a=3，b=2，c=2，d=0，满足a＞b，c＞d，但a﹣c=1＜b﹣d=2，故B错误；C，若a＞|b|，则a2＞|b|2=b2，正确；D，若a=2＞﹣1=b，则＞﹣1，故＜错误．故选：C．【点评】本题考查不等式的基本性质及应用，特值法是解决选择题的良好方法，属于中档题．16．设、是两个单位向量，其夹角为θ，则“”是“|﹣|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件和向量的应用进行判断即可．【解答】解：若，则•=||||cosθ=cosθ∈（，），|﹣|===，∵cosθ∈（，），∴2cosθ∈（1，），则2﹣2cosθ∈（2﹣，1），则＜1，即|﹣|＜1成立，即充分性成立；∵|﹣|===，∴由|﹣|＜1得＜1得2﹣2cosθ＜1，则cosθ＞，则0≤θ＜，k∈Z，即必要性不成立；即“”是“|﹣|＜1”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的数量积的应用是解决本题的关键．17．对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中真命题是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中：n∥α或n⊂α；在B中，m与β相交、平行或l⊂β；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由线面垂直和面面垂直的性质得m⊥n．【解答】解：在A中：若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故A错误；在B中：若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或l⊂β，故B错误；在C中：若m∥α，n∥β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直和面面垂直的性质得m⊥n，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面的位置关系的合理运用．18．下列函数中，既是偶函数，又在（0，π）上递增的函数的个数是（）①y=tan|x|②y=cos（﹣x）③④．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件，利用三角函数的奇偶性和单调性，得出结论．【解答】解：由于下列函数中，对于函数①y=tan|x|，当x=时，函数无意义，故①不满足条件．对于②y=cos（﹣x）=cosx为偶函数，且在（0，π）上递减，故②不满足条件．对于③=﹣cosx 为偶函数，且在（0，π）上递增，故③满足条件．当x∈（0，π）时，∈（0，），tan单调递增，故=是偶函数，且在（0，π）上递减，故④不满足条件，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充．已知金字塔的每一条棱和边都相等（1）求证：直线AC垂直于直线SD．（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AC，BD，由正方形的性质得出AC⊥BD，由等腰三角形三线合一得出AC⊥SO，故而AC⊥平面SBD，于是AC⊥SD；（2）正四棱锥的棱长为3，计算棱锥的高和底面积，代入体积公式计算四棱锥的体积．【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，则O为线段BD中点，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．在△SBD中，∵SA=SC，∴SO⊥AC，∵SO∩BD=O，SO⊂平面SBD，BD⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD，∵SD⊂平面SBD，∴AC⊥SD（2）由题意得正四棱锥边长为3米．∴BO==．棱锥的高SO===．∴立方米．答：需要立方米填充材料．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于基础题．20．某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树．在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：（1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量a n，及松树数量b n关于n 的表达式．（2）定义：f（n+1）﹣f（n）（n∈N*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．【考点】数列的应用．【专题】计算题；应用题；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意知，n=1时，果树1棵，松树9﹣1=8棵，n=2时，果树4棵，松树25﹣9=16棵，从而类比可得n=5时，果树25棵，松树121﹣81=40棵；从而可得，b n=8n；（2）化简，b n+1﹣b n=8（n+1）﹣8n=8，从而判断．【解答】解：（1）由题意知，n=1时，果树1棵，松树9﹣1=8棵，n=2时，果树4棵，松树25﹣9=16棵，n=3时，果树9棵，松树49﹣25=24棵，n=4时，果树16棵，松树81﹣49=32棵，n=5时，果树25棵，松树121﹣81=40棵；故，b n=8n；（2），b n+1﹣b n=8（n+1）﹣8n=8，当n≤3时，2n+1＜8，松树增加的速度快；当n≥4时，2n+1＞8，果树增加的速度快．【点评】本题考查了数列的应用及数列的增长速度的判断，属于中档题．21．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O，逆时针15分钟转一圈，从A 处进入摩天轮的座舱，OA垂直于地面AM，在距离A处150米处设置了一个望远镜B．（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B中仔细观看．问望远镜B的仰角θ应调整为多少度？（精确到1度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD，发现取景的视角α恰为45°，求绿化带BD的长度（精确到1米）．【考点】正弦定理．【专题】应用题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）因为摩天轮做匀速转动，逆时针15分钟转一圈，可得5分钟转过120°，过点C作CH⊥AB 于点H，利用解三角形可得望远镜B的仰角θ；（2）由题意可求CD，利用正弦定理即可解得BD的长度．【解答】（本题，第1小题，第2小题6分）解：（1）∵逆时针15分钟转一圈，∴5分钟转过120°过点C作CH⊥AB于点H，则CH=50+50•sin（120°﹣90°）=75∴，∴答：望远镜的仰角θ设置为35°（2）在△BCD中，θ=35°，α=45°，∴∠CDH=80°∴由正弦定理得：∴答：绿化带的长度为94米．【点评】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，求解三角形的边与角，是中档题．22．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；证明题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意知，==，从而求猫眼曲线Γ的方程；（2）设交点C（x1，y1），D（x2，y2），从而可得，联立方程化简可得，k•k ON=﹣2；从而解得；（3）设直线l的方程为，联立方程化简，从而可得，同理可得，从而利用两平行线间距离表示三角形的高，再求；从而求最大面积．【解答】解：（1）由题意知，，==，∴a=2，c=1，∴，∴；（2）证明：设斜率为k的直线交椭圆T1于点C（x1，y1），D（x2，y2），线段CD中点M（x0，y0），∴，由得，∵k存在且k≠0，∴x1≠x2，且x0≠0，∴，即；同理，k•k ON=﹣2；∴；（3）设直线l的方程为，联立方程得，化简得，，由△=0化简得m2=b2+2c2，，联立方程得，化简得，由△=0得m2=b2+2a2，，两平行线间距离：，∴；∴△ABN的面积最大值为．【点评】本题考查了学生的化简运算的能力及椭圆与直线的位置关系的判断与应用．23．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的．（3）若f（n）（n∈N*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=﹣4，S n表示f（n）的前n 项和，C n=，若C n＜log a（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；抽象函数及其应用；函数的周期性．【专题】新定义；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据定义设：h（x+T）=T•h（x），得出x+T=T•x对任意x恒成立，显然不成立；（2）根据定义设：h（x+T）=T•h（x），得出对任意x恒成立，可得，求解T，并判断唯一性即可；（3）若f（n）是2倍周期函数，f（3）=f（1+2）=2f（1）=2，f（4）=f（2+2）=2f（2）=﹣8，同理可求出f（2n﹣1）=f（2n﹣3+2）=2f（2n﹣3）=2n﹣1，进而求出，，通过比值判断C n的单调性，进而求出C n的最大值，最后得出log a（a+1）＞﹣1，分别讨论a的不同情况，求出a的取值范围．【解答】（1）设：h（x+T）=T•h（x）则x+T=T•x对任意x恒成立∵T无解∴h（x）=x不是T倍周期函数（2）设：g（x+T）=T•g（x）则对任意x恒成立，下证唯一性：若，矛盾若，矛盾∴是唯一的（3）f（3）=f（1+2）=2f（1）=2，f（5）=f（3+2）=2f（3）=22f（7）=f（5+2）=2f（5）=23…f（2n﹣1）=f（2n﹣3+2）=2f（2n﹣3）=2n﹣1f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n﹣1）=1+2+22+…+2n﹣1=2n﹣1同理：f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）=﹣4（1+2+22+…+2n﹣1）=﹣4（2n﹣1）∴同理：，C1=﹣3C2=9显然：n≥2C n＞0且∵2（2n）2﹣7•（2n）+3＜2（2n）2﹣5•（2n）+3∴即单调递减∴（C n）max=C1=9∵C n＜log a（a+1）+10恒成立，∴log a（a+1）+10＞（C n）max=9∴log a（a+1）＞﹣1①a＞1时解得：a＞1②0＜a＜1时解得：，∴或a＞1【点评】本题综合性强，考查了对新定义的理解，利用新定义，结合数列解决恒成立问题．属于难度较大的题型．。

上海市浦东新区2016届高三上学期期末质量测试数学试题Word版含答案

浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷（含答案）2016.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1．已知集合{}{}=3,2A x x B x x ≤=<，则R A C B =I []2,32．已知向量()2,1,(1,)a b m =-=r r 平行，则m = 12-3．关于,x y 的一元二次方程组23122x y x y +=⎧⎨-=⎩的系数矩阵2312⎛⎫ ⎪-⎝⎭4．计算：1132lim 32n nnn n ++→∞-+ 3 5．若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位），则z6．()1021x +的二项展开式中的第八项为 3960x7．某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向，与A 相距6.0海里.船由A 向正北方向航行8.1海里达到C 处，这时灯塔B 与船相距_____4.2______海里（精确到0.1海里） 8．已知3cos(),,252ππααπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 310-9．如图，已知正方体1111D C B A ABCD -，21=AA ，E 为棱1CC 的中点，则AE 与平面11B C C B 所成的角为552arctan．（2arcsin 3，（结果用反三角表示）10．已知函数()f x 的图像与()2xg x =的图像关于直线y x =对称，令()(1)h x f x =-，则关于函数()h x 有下列命题：①()h x 的图像关于原点对称； ②()h x 的图像关于y 轴对称； ③()h x 的最大值为0； ④()h x 在区间(1,1)-上单调递增。

其中正确命题的序号为____②③_____（写出所有正确命题的序号）。

上海市浦东新区高三数学上学期期末质量抽测试题(含解析)

2016年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1．已知集合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩∁R B= ．2．已知向量平行，则m= ．3．关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵．4．= ．5．若复数z满足（i为虚数单位），则|z|= ．6．（2x+1）10的二项展开式中的第八项为．7．某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距海里（精确到0.1海里）8．已知，则= ．9．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则AE与平面B1BCC1所成的角为．（，）（结果用反三角表示）10．已知函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，令h（x）=f（1﹣|x|），则关于函数h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）的图象关于y轴对称；③h（x）的最大值为0；④h（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．11．有一列向量：，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列，满足，，那么这列向量中模最小的向量的序号n= ．12．已知，则f（x）与g（x）图象交点的横坐标之和为．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（）A．B．C．ab＞b2D．a2＞ab14．设α：x=1且y=2，β：x+y=3，α是β成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件15．方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．k＞4 B．k=4 C．k＜4 D．0＜k＜416．甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（）A．B．C．D．17．直线ax+by=0与圆x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定18．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．419．设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A．B．C．0 D．﹣20．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A．B．C．D．21．已知函数f（x）存在反函数f﹣1（x），若函数y=f（x+1）过点（3，3），则函数f﹣1（x）恒过点（）A．（4，3） B．（3，4） C．（3，2） D．（2，3）22．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（）A．50 B．80 C．90 D．10023．符合以下性质的函数称为“S函数”：①定义域为R，②f（x）是奇函数，③f（x）＜a （常数a＞0），④f（x）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自变量x0，使f（x0）＞d．下列四个函数中，，，中“S函数”的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个24．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中心﹐其中﹐分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a+b的形式﹐则a+b的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．注：其他解法相应给分25．已知OA，OB，OC交于点O，，E，F分别为BC，OC的中点．求证：DE∥平面AOC．26．已知函数f（x）=2sinx，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式，并写出它的单调递增区间．27．已知两个向量=（1+log2x，log2x），=（log2x，1）（1）若⊥，求实数x的值；（2）求函数f（x）=•，x∈[，2]的值域．28．已知数列{a n}的前n项的和S n=n2﹣n．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）当n≥2时，a n+1+≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．29．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0）、直线l：ax+by+c=0，我们称为点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．（1）设椭圆上的任意一点P（x，y）到直线l1：x﹣2y=0，l2：x+2y=0的方向距离分别为δ1、δ2，求δ1δ2的取值范围．（2）设点E（﹣t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα﹣2=0的方向距离分别为η1、η2，试问是否存在实数t，对任意的α都有η1η2=1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．（3）已知直线l：mx﹣y+n=0和椭圆E：（a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F1，F2到直线l的方向距离分别为λ1、λ2满足，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．30．如图，点A（﹣1，0）、B（1，0），点C在x轴正半轴上，过线段BC的n等分点D i作与BC垂直的射线l i，在l i上的动点P使∠APB取得最大值的位置记作P i（i=1，2，3，…，n﹣1）．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数n≥2，点P i（i=1，2，…，n﹣1）都在这条曲线上？说明理由．31．定义符号函数sgn（x）=，已知a，b∈R，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．（1）求f（2）﹣f（1）关于a的表达式，并求f（2）﹣f（1）的最小值．（2）当b=时，函数f（x）在（0，1）上有唯一零点，求a的取值范围．（3）已知存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．32．已知两个无穷数列{a n}，{b n}分别满足，，其中n∈N*，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n．（1）若数列{a n}，{b n}都为递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式．（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得c k＜c k﹣1，称数列{c n}为“k坠点数列”．①若数列{a n}为“5坠点数列”，求S n．②若数列{a n}为“p坠点数列”，数列{b n}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得S m+1=T m，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．2016年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1．已知集合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩∁R B= [2，3] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据全集R，以及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，∴∁R B={x|x≥2}，则A∩（∁R B）={x|2≤x≤3}．故答案为：[2，3]．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知向量平行，则m= ﹣．【考点】平行向量与共线向量．【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用．【分析】直接利用斜率的平行列出方程求解即可．【解答】解：向量平行，可得﹣2m=1，解得m=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．3．关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】直接利用方程组与系数矩阵写出结果即可．【解答】解：关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵，故答案为：．【点评】本题考查方程组与系数矩阵的关系，是基础题．4．= 3 ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】借助指数函数的运算法则，先把原式等价转化为，由此能够得到它的极限值．【解答】解： ==3．故答案为：3．【点评】本题考查极限的性质和运算，解题时要注意指数运算法则的合理运用．5．若复数z满足（i为虚数单位），则|z|= ．【考点】复数求模．【专题】方程思想；数系的扩充和复数．【分析】利用行列式的性质可得z﹣i（1﹣2i）=0，再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足（i为虚数单位），∴z﹣i（1﹣2i）=0，化为z=i+2．则|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了行列式的性质、复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（2x+1）10的二项展开式中的第八项为960x3．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；规律型；二项式定理．【分析】直接利用二项式定理写出结果即可．【解答】解：（2x+1）10的二项展开式中的第八项为： =960x3．故答案为：960x3．【点评】本题考查二项式定理的应用，基本知识的考查．7．某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距 4.2 海里（精确到0.1海里）【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】直接由余弦定理可得结论．【解答】解：由余弦定理可得BC=≈4.2海里．故答案为：4.2．【点评】本题考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．已知，则= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值．【分析】求出角的余弦函数值，然后利用两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：，可得sinα=，cosα=﹣，=sinαcos+cosαsin==．故答案为：．【点评】本题考查两角和的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式诱导公式的应用，考查计算能力．9．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则AE与平面B1BCC1所成的角为．（，）（结果用反三角表示）【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】由AB⊥平面B1BCC1，知∠AEB是AE与平面B1BCC1所成的角，由此能求出AE与平面B1BCC1所成的角的大小．【解答】解：连结BE，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，∴BE==，∴AB⊥平面B1BCC1，∴∠AEB是AE与平面B1BCC1所成的角，∵tan∠AEB===，∴∠AEB=．故答案为：．【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，令h（x）=f（1﹣|x|），则关于函数h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）的图象关于y轴对称；③h（x）的最大值为0；④h（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．其中正确命题的序号为②③（写出所有正确命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】图象关于直线y=x对称，利用反函数求出h（x）=log2（1﹣|x|），为偶函数，根据偶函数的性质和对数函数性质可进行判断．【解答】解：函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=log2x，h（x）=log2（1﹣|x|），为偶函数，∴①错误；②h（x）的图象关于y轴对称，故正确；根据偶函数性质可知④错误；∵1﹣|x|≤1，∴h（x）=log21=0，故③正确．故答案为②③．【点评】考查了反函数的性质，偶函数，对数函数的性质，属于基础题型，应熟练掌握．11．有一列向量：，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列，满足，，那么这列向量中模最小的向量的序号n= 4或5 ．【考点】数列与向量的综合．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】求出等差向量列的差向量，得出得通项公式，代入模长公式求解最小值．【解答】解：∵{}是等差向量列，∴{x n}，{y n}是等差数列，设{x n}，{y n}的公差分别是d1，d2，∴，解得d1=1，d2=1，∴x n=﹣20+n﹣1=n﹣21，y n=13+n﹣1=n+12，∴ =（n﹣21，n+12）．∴||2=（n﹣21）2+（n+12）2=2n2﹣18n+585=2（n﹣）2﹣+585．∴当n=4或n=5时，||2取得最小值．故答案为4或5．【点评】本题考查了数列与向量的综合应用，求出{}的通项公式是关键．12．已知，则f（x）与g（x）图象交点的横坐标之和为17 ．【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出两个函数的图象，根据函数的对称性，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出f（x）与g（x）的图象，如图，令=2，解得x=9，令=﹣2，解得x=﹣7，∴f（x）与g（x）图象共有17个交点．∵则f（x）与g（x）关于（1，0）对称，设17个交点横坐标为x1，x2，x3，…x17，则x1+x2+x3+…+x17=2×8+1=17．故答案为17．【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据方程和函数之间的关系，利用数形结合，结合函数的对称性是解决本题的关键．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（）A．B．C．ab＞b2D．a2＞ab【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a＞b＞0，∴ab＞b2，a2＞ab，即为，因此A，C，D正确，而B不正确．故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设α：x=1且y=2，β：x+y=3，α是β成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；简易逻辑．【分析】α⇒β，反之不成立，例如：x=2，y=1．即可判断出．【解答】解：∵α：x=1且y=2，β：x+y=3，∴α⇒β，反之不成立，例如：x=2，y=1．∴α是β的充分非必要条件，故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．k＞4 B．k=4 C．k＜4 D．0＜k＜4【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；规律型；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用椭圆的简单性质考查不等式求解即可．【解答】解：方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，即方程表示焦点在x轴的椭圆，可得4＞k＞0．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．16．甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，基本事件总数n=24，甲、乙二人相邻包含的基本事件个数m=12，由此能求出甲、乙二人相邻的概率．【解答】解：甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，基本事件总数n=A44=24，甲、乙二人相邻包含的基本事件个数m=A22A33=12，∴甲、乙二人相邻的概率P===．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17．直线ax+by=0与圆x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】将圆的方程化为标准方程，表示出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由d=r可得出直线与圆位置关系是相切．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y+）2=，∴圆心坐标为（﹣，﹣），半径r=，∵圆心到直线ax+by=0的距离d===r，则圆与直线的位置关系是相切．故选：B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．18．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题．【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．【点评】本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现．19．设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A．B．C．0 D．﹣【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，∴f（）=f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选：A．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．20．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A．B．C．D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项．【解答】解：设圆柱高为h，则底面半径为．由题意知，S=πh2，∴h=，∴V=π（）2•h=．故选D．【点评】本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型．21．已知函数f（x）存在反函数f﹣1（x），若函数y=f（x+1）过点（3，3），则函数f﹣1（x）恒过点（）A．（4，3） B．（3，4） C．（3，2） D．（2，3）【考点】反函数．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意知函数y=f（x）过点（4，3），从而确定反函数的点．【解答】解：∵函数y=f（x+1）过点（3，3），∴函数y=f（x）过点（4，3），∴函数f﹣1（x）恒过点（3，4）；故选B．【点评】本题考查了反函数的应用及复合函数的应用．22．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（）A．50 B．80 C．90 D．100【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意得这个小球在这次运动中所经过的总路程S n =2×10+2×10×+2×10×（）2+2×10×（）3+…+2×10×（）n﹣10，由此利用极限思想能求出结果．【解答】解：∵一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，∴这个小球在这次运动中所经过的总路程为：S n =2×10+2×10×+2×10×（）2+2×10×（）3+…+2×10×（）n﹣10=2×﹣10，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程：S=={2×﹣10}=2×﹣10=90．故选：C ．【点评】本题考查小球在运动中经过路程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和极限思想的合理运用．23．符合以下性质的函数称为“S 函数”：①定义域为R ，②f（x ）是奇函数，③f（x ）＜a （常数a ＞0），④f（x ）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a 的正数d ，至少存在一个自变量x 0，使f （x 0）＞d ．下列四个函数中，，，中“S 函数”的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】逐个判断函数是否符合新定义的5个条件．【解答】解：（1）∵f1（x）=arctanx的定义域为R，∵﹣＜arctanx，∴f1（x）的值域为（﹣a，a），∵f1（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴f1（x）是S函数，（2）f2（x）=的定义域为R，∵﹣1＜＜1，∴f2（x）的值域是（﹣a，a），∵f2（﹣x）==﹣f2（x），∴f2（x）是奇函数，当x＞0时，f2（x）==a﹣，∵a＞0，∴f2（x）在（0，+∞）上是增函数．∴f2（x）是S函数．（3）由解析式可知f3（x）的定义域为R，当x＞0时，a﹣＜a，当x＜0时，﹣a﹣＞﹣a，∴f3（x）的值域是R，不符合条件③，∴f3（x）不是S函数．（4）f4（x）的定义域为R，∵ =1﹣，2x＞0，∴﹣1＜＜1，∴f4（x）的值域是（﹣a，a）．f4（﹣x）=a•=a•=﹣f4（x）．∴f4（x）是奇函数．∵f4（x）=a（1﹣），∴f4（x）在（0，+∞）上是增函数．∴f4（x）是S函数．故选：C．【点评】本题考查了函数的定义域，奇偶性，值域，属于中档题．24．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中心﹐其中﹐分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a+b的形式﹐则a+b的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】平面向量坐标表示的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求a+b的最大值时﹐只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论．【解答】解：因为想求a+b的最大值﹐所以考虑图中的6个顶点的向量即可；讨论如下﹕（1）因为=﹐所以（a，b）=（1，0）；（2）因为=+=+3=3+﹐所以（a，b）=（3，1）；（3）因为=+=+2=2+﹐所以（a，b）=（2，1）；（4）因为=++=++=++（+2）=3+2﹐所以（a，b）=（3，2）；（5）因为=+=+=+﹐所以（a，b）=（1，1）；（6）因为=﹐所以（a，b）=（0，1）；因此﹐a+b的最大值为3+2=5﹒故选：D﹒【点评】本题考查了平面向量的基本定理的应用问题，也考查了平面向量的坐标表示的应用问题，是基础题目．三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．注：其他解法相应给分25．已知OA，OB，OC交于点O，，E，F分别为BC，OC的中点．求证：DE∥平面AOC．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知推导出四边形ADEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面AOC．【解答】证明：在△OBC中，∵E，F分别为BC，OC的中点，∴，又∵，∴由平行公理和等量代换知，，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF，又∵AF⊂平面AOC，DE⊄平面AOC，∴DE∥平面AOC．【点评】本题考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．26．已知函数f（x）=2sinx，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式，并写出它的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；三角函数的图像与性质．【分析】根据函数图象的平移变换和伸缩变换法则是，可得函数y=g（x）的解析式，结合正弦函数的单调性，可得它的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）=2sinx的图象向右平移个单位可得：y=2sin（x﹣）的图象；再再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得：y=2sin（2x﹣）的图象；∴g（x）=2sin（2x﹣），则2x﹣∈[﹣+2kπ， +2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z，即函数y=g（x）的单调递增区间为[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换和伸缩变换，难度中档．27．已知两个向量=（1+log2x，log2x），=（log2x，1）（1）若⊥，求实数x的值；（2）求函数f（x）=•，x∈[，2]的值域．【考点】平面向量数量积的运算；函数的值域．【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用；平面向量及应用．【分析】（1）由向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到x的值；（2）运用向量的数量积的坐标表示，由对数函数的单调性可得t=log2x[﹣2，1]，再由二次函数的值域求法，即可得到．【解答】解：（1）=（1+log2x，log2x），=（log2x，1），若⊥，则（1+log2x）•log2x+log2x=0，可得log2x=0或log2x=﹣2，解得x=1或x=；（2）函数f（x）=•=（1+log2x）•log2x+log2x=（log2x）2+2log2x，令t=log2x，由x∈[，2]，可得t∈[﹣2，1]，即有函数y=t2+2t=（t+1）2﹣1，当t=﹣1时，函数取得最小值﹣1；当t=1时，函数取得最大值3．则函数f（x）的值域为[﹣1，3]．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查可化为二次函数的值域的求法，注意运用对数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．28．已知数列{a n}的前n项的和S n=n2﹣n．（1）求{a n}的通项公式a n；（2）当n≥2时，a n+1+≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用递推关系即可得出；（2）变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵S n=n2﹣n，∴当n=1时，a1==1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣n﹣=3n﹣2．当n=1时，上式成立，∴a n=3n﹣2．（2）a n+1+≥λ，即3n+1+≥λ，化为：λ≤，∵当n≥2时，a n+1+≥λ恒成立，∴λ≤，∵≥+15≥12+15=27，当且仅当n=2时取等号．∴λ≤9．∴实数λ的取值范围是λ≤9．【点评】本题考查了递推关系、数列的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．29．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0）、直线l：ax+by+c=0，我们称为点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．（1）设椭圆上的任意一点P（x，y）到直线l1：x﹣2y=0，l2：x+2y=0的方向距离分别为δ1、δ2，求δ1δ2的取值范围．（2）设点E（﹣t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα﹣2=0的方向距离分别为η1、η2，试问是否存在实数t，对任意的α都有η1η2=1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．（3）已知直线l：mx﹣y+n=0和椭圆E：（a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F1，F2到直线l的方向距离分别为λ1、λ2满足，且直线l与x轴的交点为A、与y 轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．【考点】综合法与分析法(选修）；类比推理；进行简单的合情推理．【专题】综合题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）由题意、，于是，又﹣2≤x≤2得0≤x2≤4，即可求δ1δ2的取值范围．（2）由题意，，于是，可得4﹣t2cos2α=cos2α+4sin2α⇔（3﹣t2）cos2α=0对任意的α都成立，即可得出结论；（3）确定n2＞b2+m2a2，，B（0，n），即可比较|AB|的长与a+b的大小．【解答】解：（1）由点P（x，y）在椭圆上，所以由题意、，于是 2分又﹣2≤x≤2得0≤x2≤4，即 4分（2）假设存在实数t，满足题设，由题意，，于是 6分4﹣t2cos2α=cos2α+4sin2α⇔（3﹣t2）cos2α=0对任意的α都成立只要3﹣t2=0即可，所以故存在实数t，，对任意的α都有η1η2=1成立． 9分（3）设F1，F2的坐标分别为（﹣c，0）、（c，0），于是c2=a2﹣b2、于是⇒n2＞b2+m2a2又，B（0，n）即 12分所以综上|AB|＞a+b． 14分【点评】本题考查推理，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，难度大．30．如图，点A（﹣1，0）、B（1，0），点C在x轴正半轴上，过线段BC的n等分点D i作与BC垂直的射线l i，在l i上的动点P使∠APB取得最大值的位置记作P i（i=1，2，3，…，n﹣1）．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数n≥2，点P i（i=1，2，…，n﹣1）都在这条曲线上？说明理由．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|BC|=b，P（x，y），则x＞1，y＞0，，∠APB=∠PBC﹣∠PAC，所以=，根据基本不等式，即可得出结论．【解答】解：存在一条双曲线，对任意的正整数n≥2，点P i（i=1，2，…，n﹣1）都在这条双曲线上．如图所示，A（﹣1，0），B（1，0），设|BC|=b，P（x，y），则x＞1，y＞0，，∠APB=∠PBC﹣∠PAC，所以=．当i=1，2，3，…，n﹣1一定时，为常数所以≥2，此时tan∠APB取得最大值，当且仅当时等号成立，故x2﹣y2=1，x＞1，y＞0，P i在一条双曲线上．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查差角的正切公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．31．定义符号函数sgn（x）=，已知a，b∈R，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．（1）求f（2）﹣f（1）关于a的表达式，并求f（2）﹣f（1）的最小值．（2）当b=时，函数f（x）在（0，1）上有唯一零点，求a的取值范围．（3）已知存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．【考点】分段函数的应用．【专题】数形结合；分类讨论；向量法；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据已知求出f（2）﹣f（1）=2|2﹣a|﹣|1﹣a|=，分析其单调性可得函数的最小值；（2）当x∈（0，1）时，f（x）=，由f（x）=0得：，即，令g（x）=|x﹣a|，h（x）=，在同一坐标系中分别作出两个函数在（0，1）上的图象，数形结合可得答案；（3）若存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，则+x＜a＜+x对任意的x∈[1，2]恒成立，分类讨论可得答案．【解答】解：（1）∵函数sgn（x）=，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．∴f（2）=2|2﹣a|+b，f（1）=|1﹣a|+b，∴f（2）﹣f（1）=2|2﹣a|﹣|1﹣a|=，由f（2）﹣f（1）在（﹣∞，2]上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，故当a=2时，f（2）﹣f（1）的最小值为﹣1；（2）当b=时，函数f（x）=﹣x|x﹣a|+=，当x∈（0，1）时，f（x）=，由f（x）=0得：，即，令g（x）=|x﹣a|，h（x）=，在同一坐标系中分别作出两个函数在（0，1）上的图象，如下图所示：由图可得：当a∈（﹣∞，）∪{}∪[，+∞）时，两个函数图象有且只有一个交点，即函数f（x）在（0，1）上有唯一零点；（3）x∈[1，2]时，f（x）=x|x﹣a|+b，由f（x）＜0得：|x﹣a|＜，∴b＜0，且＜x﹣a＜对任意的x∈[1，2]恒成立，即+x＜a＜+x对任意的x∈[1，2]恒成立，∵y=+x在[1，2]上单调递增，故当x=2时，y=+x取最大值2+，y=+x，x∈[1，2]的最小值为：，①，解得：b∈（﹣1，﹣）；②，解得：b∈[﹣4，﹣1]；③解得：b∈（﹣∞，﹣4），综上可得：b∈（﹣∞，﹣）．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，分类讨论思想，难度中档．32．已知两个无穷数列{a n}，{b n}分别满足，，其中n∈N*，设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n．（1）若数列{a n}，{b n}都为递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式．（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得c k＜c k﹣1，称数列{c n}为“k坠点数列”．①若数列{a n}为“5坠点数列”，求S n．。

2016-2017学年第一学期期末教学质量检查高三文科数学参考答案

2016-2017学年第一学期高三期末调研考试文科数学参考答案二、填空题(每小题5分,满分20分) 13. 4 14. 8 15. 16916.32 三、解答题： 17. 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由题意知()()()11112731032392a d a d a d a d ⎧++=+⎪⎨⨯+=⎪⎩……………2分解得103d a =⎧⎨=⎩（舍去）或112d a =⎧⎨=⎩， ……………4分∴()2111n a n n =+-⨯=+……………6分（2）∵()()111111212n n a a n n n n +==-++++， ……………８分 ∴12231111n n n T a a a a a a -=+++……………9分111111233512n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ……………１０分()112222n n n =-=++ ……………12分18. 【解析】34)3033323738(51,6)108642(51=++++==++++=y t ……………1分980301033832637438251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=i ii yt ……………2分22010864222222512=++++=∑=i it……………3分1652201020980ˆ21221-=⨯--=⋅-⋅⋅-=∑∑==n i i ni ii tn t yt n yt b……………4分 406)1(34ˆˆ=⨯--=-=t b y a……………5分所以y 关于t 的线性回归方程40ˆ+-=t y……………6分（2）由题意日销售额⎩⎨⎧∈≤≤+-+-∈<<+-+=Nt t t t Nt t t t L ,3020),40)(100(,200),40)(20(……………8分当N t t ∈<<,200，900)10(80020)40)(20(22+--=++-=+-+=t t t t t L 所以当10=t 时，900max =L （元） ……………10分当N t t ∈≤≤,3020，900)70(4000140)40)(100(22--=+-=+-+-=t t t t t L 所以当20=t 时，1600max =L （元） ……………11分综上所述，估计当20=t 天时，A 商品日销售额最大值为1600元. ……………12分19. 【解析】（1）证：∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面AC E 平面ABCD AC =， ∵AC AD ⊥，∴⊥AD 平面AEC ……………1分 ⊂CE 平面AEC ，∴CE AD ⊥， ……………2分又1AC AE EC ===，∴222AC AE CE =+，∴AE EC ⊥ ……………3分 AD BC BC EF //,//AD EF //∴即F E D A 、、、共面……………4分又D AD AE = ，∴⊥CE 平面ADEF ……………5分 ADEF AF 面⊂AF CE ⊥∴……………6分（2）设A C 的中点为G ，连接EG ，∵AE CE =，∴A EG C ⊥ ∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面ACE 平面ABCD AC =， ∴EG ⊥平面ABCD ∵//,EF BC EF ⊄平面ABCD ，∴点F 到面ABCD 的距离等于点E 到面ABCD 的距离，即EG ……………7分3131=⋅==∴∆--EG S V V ACD ACD E ACD F ……………8分AD AD AC S ACD ⋅⋅=⋅=∆22121，2221==AC EG 312222131=⋅⋅⋅⋅=∴-AD V ACD F ，所以2=AD ……………9分2==∴AD BC ,121==BC EF ，222=+==EF AE FC FA ，所以2360sin 22210=⋅⋅=∆FAC S ……………10分设点D 到平面ACF 的距离为d ，则3131=⋅∆d S FAC ，……………11分即332=d 所以点D 到平面ACF 的距离332 ……………12分20.【解析】【解法一】（1）设),(y x R ，圆4)3(:221=+-y x C ，圆心)0,3(1C ， ……………1分),(y x =,),3(1y x C -= ……………2分由圆的性质可知，01=⋅R C OR ……………3分得0)3(2=+-y x x ,即0322=-+x y x ……………4分联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+056032222x y x x y x 解得35=x当直线l 经过圆1C 的圆心时，R 点得坐标为)0,3(……………5分所求轨迹方程为0322=-+x y x ，其中335<<x ，轨迹为两段圆弧. ……………6分【解法二】（1）设直线kx y l =:，),(y x R ，),(),,(2211y x Q y x P ，联立⎩⎨⎧=+-+=05622x y x kx y ，整理得056)1(22=+-+x x k ， ……………1分所以0)1(20362>+-=∆k ，解得552552<<-k ， ……………2分 22122115,16k x x k x x +=+=+……………3分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=222113132k k y k x x x ，消去k 得：0322=-+x y x ……………4分当直线l 与圆1C 相切时，552±=k ，此时0253092=+-x x ，解得35=x当直线l 经过圆1C 的圆心时，R 点得坐标为)0,3(【利用213kx +=和552552<<-k ，也可求出335≤<x 】……………5分所求轨迹方程为0322=-+x y x ，其中335≤<x 轨迹为一段圆弧. ……………6分（2）设),(),,(),,(),,(44332211y x D y x C y x B y x A因为=从而4213x x x x -=-，即4321x x x x +=+， ……………7分因为2=m ，当直线l 的斜率不存在时，显然符合题意，l 的方程为2=x ……………8分当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则l 的方程为)2(-=x k y ，0≠k ，由⎩⎨⎧=-=xy x k y 2)2(得04)14(2222=++-k x k x k ，016)14(222>-+=∆k k 恒成立由12,x x 是这个方程的两根，4,14212221=+=+x x kk x x ……………9分由⎩⎨⎧=+-+-=056)2(22x y x x k y 得054)64()1(2222=+++-+k x k x k ，而34,x x 是这个方程的两根，22432243154,164kk x x k k x x ++=++=+， ……………10分因为4321x x x x +=+，得=+2214k k 22164kk ++，解得12=k ,即1±=k ……………11分所以l 的方程为2-=x y 或2+-=x y 或2=x ……………12分21.【解析】（1）)22(2)2()(m x e e m x e x f xxx-+=+-=' ………………1分),1()(+∞-在x f 上单调递增0)(≥'∴x f 在),1(+∞-上恒成立………………2分即0)22(≥-+m x e x在),1(+∞-上恒成立)1(22022->+≤≥-+∴x x m m x 即………………3分 22+=x y 在),1(+∞-上递增 0≤∴m ………………4分（2）)22(2)2()(m x e e m x e x f xx x -+=+-=' 依题有1)0(='f 即1=m ………………5分 a ax x e x h x +--=∴)12()(存在唯一的整数0x 使得0)(0<x h ，0)1()12()(0000<---=x a x e x h x所以)1()12(000-<-x a x e x，显然10=x 不满足不等式 ………………6分当1>x 时，1)12(-->x x e a x ，令1)12()(--=x x e x h x ，22)1()32()(--='x x x e x h x 0)32()(22=-='x x e x h x ,解得23,0==x x ………………７分又25)3(,3)2(32e h e h ==，存在唯一的整数0x 使得0)(0<x h ，所以25332e a e ≤<………………9分当1<x 时，1)12(--<x x e a x ，令1)12()(--=x x e x h x ，22)1()32()(--='x x x e x h x0)32()(22=-='x x e x h x ,解得23,0==x x ………………１０分又eh 2)1(=-，1)0(=h ，存在唯一的整数0x 使得0)(0<x h ，所以123<≤a e综上实数a 的取值范围为]25,3()1,23[32e e e ………………12分（2）【解法二】存在唯一的整数0x 使得0)(0<x h ，即存在唯一的整数使得0x ，)()(00x g x f <，即)1()12(000-<-x a x e x考察函数)12()(-=x e x f x ，)12()(+='x e x f x,0)(='x f 解得21-=x由（1）可知24,1e a a ><或………………7分因为存在唯一的整数使得0x 满足)()(00x g x f <，由函数图象可知所以⎩⎨⎧-≤->)1()1()0()0(f g f g 或⎩⎨⎧≤>)3()3()2()2(f g f g ………………10分解得：123<≤a e或25332e a e ≤< 综上：实数a 的取值范围为]25,3()1,23[32e e e ………………12分22. 【解析】(Ⅰ)∵曲线的参数方程为(为参数) ∴曲线的普通方程为…………2分将代入并化简得：即曲线的极坐标方程为. …………5分（Ⅱ）解法一：在极坐标系中， ∴由得到…………7分同理. ………… 9分又∵ ∴.即的面积为. …………10分解法二：：在平面直角坐标系中，：，∴由得…………6分 ∴…………7分同理…………8分 ∴，…………9分又∵ ∴即的面积为. …………10分 23. 【解析】（1）22,3()|1||3|4,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩， ………………１分当3x <-时，由228x --≥，解得5-≤x ； ………………２分当31x -≤≤时，()4f x =，()8f x ∴≥无解； ………………３分当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥． ………………４分………………５分（2 所以min 4f x = ………………７分又不等式a a x f 3)(2-<的解集不是空集，所以432>-a a , ………………９分所以14-<>a a 或即实数a 的取值范围是),4()1,(+∞--∞ ………………１０分。

上海市七校2016届高三数学12月联合调研考试试卷文(含

2015学年第一学期高三教学调研数学试卷（文史类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．函数)()(1≥1-=2x x x f 的反函数是._____________)(=1-x f【考点】反函数【试题解析】因为，所以，由得，所以反函数为（）【答案】2,1=2=和的夹角为3π，则.___________=⋅b a 【考点】数量积及其应用【试题解析】【答案】13、幂函数)(x f y =的图象过点),(214，则._________)(=41f 【考点】幂函数【试题解析】设，则有，所以，所以，【答案】24、方程)(log )(log x x -5=3-42的解为_______________. 【考点】对数与对数函数【试题解析】由得，所以，即，所以，解得或又因为，所以，所以【答案】45、不等式0>+2-2))((x x 的解集为____ ______. 【考点】一元二次不等式绝对值不等式【试题解析】当时，不等式等价于，解得当时不等式等价于，解得，且所以解集为【答案】6、若直线1l 的一个法向量),(11=，若直线2l 的一个方向向量),(2-1=，则1l 与2l 的夹角θ= .(用反三角函数表示). 【考点】两条直线的位置关系【试题解析】因为的一个法向量为，所以的一个方向向量为所以【答案】7、直线0=2-3+y x l :交圆2=+22y x 于A 、B 两点，则._______=AB【考点】直线与圆的位置关系【试题解析】圆心到直线的距离，所以【答案】28、已知(),,πα0∈且71=4+)tan(πα，则=αcos . 【考点】同角三角函数的基本关系式【试题解析】，解得，因为，所以【答案】9、无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3=6=63S S ,，则._______lim =∞→n n S【考点】数列极限【试题解析】当时，极限不存在，所以由得，所以【答案】410、已知1--=x kx x f )(有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是 . 【考点】零点与方程【试题解析】由得，在同一坐标系内做出和的图象如图可知当时两图象有两个不同的交点，即有两个不同的零点，所以实数的取值范围是【答案】11、已知c b a 、、是ABC ∆中C B ∠∠∠、、A 的对边，若ο60=7=A a ,，ABC ∆的面积为310，则ABC ∆的周长为 . 【考点】解斜三角形【试题解析】，所以由余弦定理，即所以，所以周长为【答案】2012、奇函数)(x f 的定义域为R ，若)(2+x f 为偶函数，且1=1)(f ，则._+100ff(=101))__________(【考点】周期性和对称性【试题解析】因为是上的奇函数，所以，又因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，即，所以，所以所以是以8为周期的函数所以【答案】-113、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若324S S S ,,成等差数列，且18-=++432a a a ，若2016≥n S ，则n 的取值范围为 . 【考点】等比数列【试题解析】若，，，，则，此时不成等差数列，所以由成等差数列得，所以即，解得又因为，即，所以，所以由得，即当为偶数时，不等式不成立当为奇数时，由得，所以所以【答案】14、设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]2-=21-3=.,π.给出下列命题：①对任意的实数x ，都有[]x x x ≤<1-； ②对任意的实数y x ,，都有[][][]y x y x +≥+；③[][][][][]4940=2015+2014++3+2+1lg lg lg lg lg Λ；④若函数[][]x x x f =)(，当[))(,*N n n x ∈0∈时，令)(x f 的值域为A ，记集合A 中元素个数为n a ，则n a n 49+的最小值为219.其中所有真命题的序号为 . 【考点】函数综合【试题解析】由定义可知①正确对②，不妨设，，则，正确对③，因为当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；所以，错误对④，因为，所以所以当时，，即，此时，即当时，，即，此时，即。

上海市青浦区2016届高三第一学期期终学习质量调研测试数学试题

青浦区2015学年第一学期高三期终学习质量调研测试数学试题Q.2016.01.05（满分150分，答题时间120分钟）学生注意：1．本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2．在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3．可使用符合规定的计算器答题．一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．方程组35604370x y x y ++=⎧⎨--=⎩的增广矩阵是_____________.2．已知32i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，则实数p q +=_____________.3．函数11,02()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 .4．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，0ϕπ<≤图像的一条对称轴是直线8x π=，则ϕ= .5．函数()lg(23)x xf x =-的定义域为 .6．已知函数2()2f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是．7.已知{(,)}A x y y x b ==+，{(,)3B x y y ==-, 满足A B ≠∅ ，则实数b 的取值范围是 . 8．执行如图所示的程序框图，输出结果为 . 9．平面直角坐标系中，方程1=+y x 的曲线围成的封闭图形绕y 轴旋转一周所形成的几何体的体积为． 10．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =-- ，向量()1,1b =，则向量a b ⊥ 的概率．．是 .11．已知平面向量OA 、OB 、OC 满足0OA OB ⋅=，且1OA OC == ，OB = ，则CA CB ⋅的最大值是 .12．如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：①每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；②0在原点，1在()0,1点，2在()1,1点，3在()1,0点，4在()1,1-点，5在()0,1-点，，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则放置数字()2*21,n n N +∈的整点坐标是．13．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 成等比数列，则b aa b+的取值范围_______． 14．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥ 时2221()(23)2f x x a x a a =-+--, 若对任意的x R ∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围是________________．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的 ………………………………………………………………………………………（）. （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 16.复数1a i z i-=+(a R ∈, i是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于………（）. （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 17．已知{}n a 是等比数列，给出以下四个命题：①{}312n a -是等比数列；②{}1n n a a ++是等比数列；③{}1n n a a +是等比数列；④{}lg na 是等比数列，下列命题中正确的个数是 ………………………………………………………………………………………（）. （A ）1个（B ）2个（C ） 3个（D ）4个18．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是…………………………………………………………………（）.（A ）0,6π⎛⎫⎪⎝⎭ （B ） ,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ） ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PAD ⊥平面，AB ∥CD 且2AB CD =，PD PA =，点H 为线段AD 的中点,若1,PH AD ==PB 与平面ABCD 所成角的大小为45 .（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积.20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线24y x =的焦点F 是椭圆M 的一个焦点，以F 为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线20l x -+=：相切．（1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线y x m =+与椭圆M 交于A B 、两点，且椭圆M 上存在点P 满足OP OA OB =+，求m 的值．DCH P21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题10分.如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2,1BC CD ==百米百米，120BCD ∠= ，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），将绿地分为面积之比为1︰3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC x =百米，EF y =百米．（1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置；（2）试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.设数列{}n a 的所有项都是不等于1的正数，{}n a 的前n 项和为n S ，已知点*(,),n n nP a S n N ∈在直线y kx b =+上（其中常数0k ≠，且1k ≠）数列，又12log n n b a =．（1）求证数列{}n a 是等比数列；（2）如果3n b n =-，求实数k b 、的值；（3）若果存在*,,t s N s t ∈≠使得点(),s t b 和(),t s b 都在直线在21y x =+上，是否存在自然数M ，当n M >（*n N ∈）时，1n a >恒成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.已知函数)(),(x g x f 满足关系)()()(α+⋅=x f x f x g ，其中α是常数. （1）设x x x f sin cos )(+=，2πα=，求)(x g 的解析式；（2）设计一个函数)(x f 及一个α的值，使得()2cos (cos )g x x x x =；（3）当()sin cos f x x x =+，2πα=时，存在12,x x R ∈，对任意x R ∈，12()()()g x g x g x ≤≤恒成立，求12x x -的最小值.青浦区2015学年第一学期高三期终学习质量调研测试参考答案及评分标准 2016.01一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1． 356437-⎛⎫⎪⎝⎭； 2. 34； 3． (,1)-∞-； 4． 4π； 5．(,0)-∞ 6． (0,2)； 7．13b -≤≤； 8．10082017； 9. π32； 10. 16；11． 3； 12. (),1n n -+； 13. ； 14. 66a -≤≤. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. A ；16. A ； 17． B ；18. D .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.19. 解：（1）证明：AB PAD ⊥ 平面，PH PAD ⊆平面，AB PH ⊥ 又PAD ∆中， PD PA =，点H 为线段AD 的中点，PH AD ⊥PH ADPH AB PH ABCD AD AB A ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩平面（2）1,PH AD AH DH ====，又PH AD ⊥，PA PD ∴== 连结BH ，可得PBH ∠是PB 与平面ABCD 所成角，又PB 与平面ABCD 所成角的大小为45 ，1BH ∴=，在Rt ABH ∆中，2AB =， 1111()3322P ABCD ABCD V S PH AB CD AD PH -∴==⨯+⋅⋅=梯形.分20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）因为抛物线24y x =的焦点F 是椭圆M 的一个焦点，即(1,0)F又椭圆M 的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为22221,0x y a b a b+=>>,且221a b -=又以F 为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线20l x -+=：相切即1b ==,所以椭圆M 的方程是2212x y += （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 22223422022y x m x mx m x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩ 222(4)12(22)8240m m m ∆=--=-+>m ⇒<<1212,(,)OP OA OB P x x y y =+∴++ 又121242,33x x m y y m +=-+=，即42(,)33P m m -在椭圆2212x y +=上,即2242()2()233m m m -+=⇒=21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题10分. 解：（1）1212sin1202ABCD S =⨯⨯⨯= 当点F 与点D重合时，由已知144CDE ABCD S S ==，又1sin1201244CDE S CE CD x x =⋅⋅==⇒= ,E 是BC 的中点（2）①当点F 在CD 上，即12x ≤≤时，利用面积关系可得1CF x=，再由余弦定理可得y =1x =时取等号 ②当点F 在DA 上时，即01x ≤<时，利用面积关系可得1DF x =-，（ⅰ）当CE DF <时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,12,60EG GF x EGF ==-∠=，利用余弦定理得y =（ⅱ）同理当CE DF ≥，过E 作EG ∥CD 交DA 于G ，在EGF ∆中，1,21,120EG GF x EGF ==-∠=，利用余弦定理得y =由（ⅰ）、（ⅱ）可得y =01x ≤<y ∴==01x ≤<,min y ∴=12x =时取等号 ,由①②可知当12x =时，路EF22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.解：（1）因为(,)n n n P a S 、*111(,),n n n P a S n N +++∈都在直线y kx b =+上，所以11n nn nS S k a a ++-=-，即1(1)n n k a ka +-=，又0k ≠，且1k ≠，所以11n n a ka k +=-为非零常数，所以数列{}n a 是等比数列（2）由12log n n b a =得31()22nb n n a -==，即21kk =-得2k =．由*(,),n n n P a S n N ∈在直线y kx b =+上得n n S ka b =+上，令1n =得 111124b S a a =-=-=-（3）由12log n n b a =知1n a >恒成立等价于0n b <恒成立．因为存在*,,t s N s t ∈≠使得点(),s t b 和(),t s b 都在直线在21y x =+上，所以21s b t =+，21t b s =+即2()t s b b s t -=-，另1,2s t t =-≥，易证12(1)2t t b b t t --=--=-，又1(1)(2)21s b b s t =+--=+12()10b t s ⇒=+->，即{}n b 是首项为正，公差为2-的等差数列．所以一定存在自然数M ，使100M M b b +≥⎧⎨<⎩即2()1(1)(2)02()1(2)0t s M t s M +-+--≥⎧⎨+-+-<⎩，解得1122t s M t s +-<≤++，*M N ∈ ，M t s ∴=+．存在自然数M ，其最小值为t s +使得当n M >（*n N ∈）时，1n a >恒成立时，1n a >恒成立．23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1） x x x f sin cos )(+=，2πα=∴x x x f sin cos )(-=+α；∴x x g 2cos )(=（2）()2cos (cos )4cos cos()3g x x x x x x π=+=-，若()2cos f x x =，则()()2cos()33f x f x x ππα+=-=-(2)33k ππααπ⇒∴=-=-∈取,k Z 中一个都可以， ()2cos f x x =(3)()sin cos f x x x =+ ,()()()g x f x f x α∴=⋅+=(sin cos )x x +(cos sin )x x -cos 22,2,2sin 212,2,23cos 22,2,2312sin 22,22.2x x k k x x k k k Z x x k k x x k k πππππππππππππππ⎧⎛⎤∈+ ⎪⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎤--∈++⎪ ⎥⎪⎝⎦=∈⎨⎛⎤⎪-∈++ ⎥⎪⎝⎦⎪⎛⎤⎪-∈++ ⎥⎪⎝⎦⎩显然，(2)()g x g x π+=即()y g x =的最小正周期是2π，因为存在12,x x R ∈，对任意x R ∈，12()()()g x g x g x ≤≤恒成立，所以当12x k ππ=+或12,2x k k Z ππ=+∈时，1()()1g x g x ≥=-当272,4x k k Z ππ=+∈时，2()()2g x g x ≤= 所以12121272(2),4x x k k k k Z ππππ-=+-+∈、或12121272(2),24x x k k k k Z ππππ-=+-+∈、所以12x x -的最小值是34π. 说明：写出分段函数后画出一个或多个周期上的函数图像，用数形结合的方法解同样给分。

上海市青浦区2016学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试

上海市青浦区2016学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试物理试卷（时间60分钟，满分100分）Q2017.01全卷包括三大题，第一大题为单项选择题，第二大题为填空题，第三题综合题。

考生注意：1、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号。

2、第一大题的作答必须用2B 铅笔涂在答题纸上相应区域内与试卷题号对应的位置，需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。

第二和第三大题的作答必须用黑色的钢笔或圆珠笔写在答题纸上与试卷题号对应的位置（作图可用铅笔）。

3、计算题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。

只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。

有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。

一．单项选择题（共40分，1到8题每小题3分，9到12题每小题4分）1．下列单位属于国际单位制中基本单位的是（）（A ）牛顿（N ）（B ）特斯拉（T ）（C ）开尔文（K ）（D ）库仑（C ）2．16世纪末意大利科学家伽利略在研究运动和力的关系时，提出了著名的斜面实验，其中应用到的物理思想方法属于（）（A ）等效替代（B ）理想实验（C ）实验归纳（D ）控制变量3．下图中标出了磁感应强度B 、电流I 和其所受磁场力F 的方向，正确的是（）IBF FIBFIBBFI （A ）（B ）（C ）（D ）4．在光滑的水平面上做匀加速直线运动的物体，当它所受的合力逐渐减小而方向不变时，物体的（）（A ）加速度越来越大，速度越来越大（B ）加速度越来越小，速度越来越小（C ）加速度越来越大，速度越来越小（D ）加速度越来越小，速度越来越大5．某静电场的电场线分布如图所示，图中P 、Q 两点的电场强度的大小分别为E P 和E Q ，电势分别为φP 和φQ ，则（）（A ）E P ＞E Q ，φP ＞φQ （B ）E P ＞E Q ，φP ＜φQ （C ）E P ＜E Q ，φP ＞φQ （D ）E P ＜E Q ，φP ＜φQ 6．若单摆的摆长适当变大，摆球的质量由20g 增加为40g ，摆球离开平衡位置的最大角度不变，则单摆振动的（）（A ）频率不变，振幅不变（B ）频率变小，振幅变大（C ）频率变小，振幅不变（D ）频率变大，振幅变大7．如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r 1、r 2、r 3。

上海市青浦区2016届高三第一学期期终学习质量调研测试数学试题含解析

2016年上海市青浦区高考数学一模试卷一。

填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1．方程组的增广矩阵是．2．已知3i﹣2是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p+q= ．3．设函数f(x）=若f（a）＞a，则实数a的取值范围是．4．已知函数f（x)=sin（2x+φ），0＜φ≤π图象的一条对称轴是直线，则φ=．5．函数f（x）=lg（2x﹣3x）的定义域为．6．已知函数f（x）=|x2﹣2|，若f(a）=f（b),且0＜a ＜b，则ab的取值范围是．7．设集合M={（x，y）｜y=x+b}，N=｛(x，y）|y=3﹣}，当M∩N≠∅时，则实数b的取值范围是．8．执行如图所示的程序框图，输出结果为．9．平面直角坐标系中，方程｜x｜+|y｜=1的曲线围成的封闭图形绕y轴旋转一周所形成的几何体的体积为．10．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n,向量，向量，则向量的概率是．11．已知平面向量、、满足，且,,则的最大值是．12．如图，将自然数按如下规则“放置"在平面直角坐标系中，使其满足条件：①每个自然数“放置"在一个“整点"(横纵坐标均为整数的点）上;②0在原点，1在（0，1）点，2在（1，1）点，3在（1,0）点，4在(1，﹣1)点,5在（0，﹣1）点，…，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上,则放置数字（2n+1）2，n∈N*的整点坐标是．13．设△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则的取值范围．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时,f（x）=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f （x﹣1）≤f(x），则实数a的取值范围为．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15．是“直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a﹣1）x+（a+1）y﹣3=0相互垂直”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．复数(a∈R,i是虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17．已知｛a n｝是等比数列，给出以下四个命题：①{2a3n }是等比数列；②｛a n+a n+1｝是等比数列；③｛a n a n+1}﹣1是等比数列；④｛lg|a n|｝是等比数列，下列命题中正确的个数是（)A．1个B．2个 C．3个 D．4个18．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴,若l为双曲线一、三象限的一条渐近线,则l的倾斜角所在的区间可能是( ) A．B．C．D．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD且2AB=CD,PD=PA，点H为线段AD的中点，若，PB与平面ABCD所成角的大小为45°．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2)求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线y2=4x 的焦点F是椭圆M的一个焦点，以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆M的方程;（2）已知直线y=x+m与椭圆M交于A、B两点，且椭圆M上存在点P满足，求m的值．21．如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC=2百米,CD=1百米，∠BCD=120°，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上,不计路的宽度），将绿地分为面积之比为1：3的左右两部分，分别种植不同的花卉,设EC=x百米，EF=y 百米．（1）当点F与点D重合时，试确定点E的位置;（2）试求x的值，使路EF的长度y最短．22．设数列｛a n｝的所有项都是不等于1的正数,｛a n｝的前n项和为S n，已知点在直线y=kx+b上（其中常数k≠0，且k≠1）数列，又．（1）求证数列{a n}是等比数列；(2）如果b n=3﹣n,求实数k、b的值；（3)若果存在t，s∈N＊，s≠t使得点（t，b s）和(s，b t）都在直线在y=2x+1上，是否存在自然数M，当n ＞M（n∈N＊）时，a n＞1恒成立？若存在,求出M的最小值；若不存在,请说明理由．23．已知函数f（x)，g（x）满足关系g(x）=f(x）•f（x+α），其中α是常数．(1)设f（x）=cosx+sinx,,求g(x）的解析式；（2)设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；(3）当f（x）=｜sinx|+cosx,时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g(x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2｜的最小值．2016年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一。

2016届上海市长宁、青浦、宝山、嘉定高三4月(四区)联考数学(理)试卷讲解

2016届上海市长宁、青浦、宝山、嘉定高三4月（四区）联考数学（理）试卷一、填空题1.设集合{|||2,}A x x x R =<∈，2{|430,}B x x x x R =-+≥∈，则A B = ．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则||z = ． 3.设0a >且1a ≠，若函数1()2x f x a -=+的反函数的图象经过定点P ，则点P 的坐标是．4.计算：222lim(1)n nn P C n →∞+=+ ． 5.在平面直角坐标系内，直线:220l x y +-=，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为． 6.已知sin 2sin 0θθ+=，(,)2πθπ∈，则tan 2θ= ．7.设定点在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()24xf x =-，则不等式()0f x ≤的解集是． 8.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(1,1)A ，若OA 的垂直平分线过抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点，则抛物线C 的方程为．9.直线11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线sin cos sin cos x y θθθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）的公共点的坐标为．10.记*1(2)()n x n N x+∈展开式中第m 项系数为m b ，若342b b =，则n = ． 11.从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξA ．B ．C ．D ．表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望E ξ= ． 12.已知各项均为正数的数列{}n a2*3()n a n n n N ++=+∈，则12231na a a n +++=+ ． 13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为． 14．已知0a >，函数()([1,2])af x x x x=-∈的图象的两个端点分别为,A B ，设M 是函数()f x 图象上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若||1MN ≤恒成立，则a 的最大值是．二、选择题15.“sin 0α=”是“cos 1α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 16.下列命题正确的是（）A ．若直线1//l 平面α，直线2//l 平面α，则12//l l ；B ．若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则//l α；C ．直线l 与平面α所成角的取值范围是(0,)2π；D ．若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则12//l l .17.已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0c a c b -•-=，则||c 的最大值是（）A ．1B ．2 CD18.已知函数3|log |,03()sin(),3156x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足1234()()()()f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 取值范围是（） A ．(60,96) B ．(45,72) C ．(30,48) D ．(15,24)三、解答题19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小.（结果用反三角函数值表示）20.已知函数()3cos()cos()133f x x x x ππωωω=+++--，(0,)x R ω>∈，且函数()f x 的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()0f B =，32BA BC •=，且4a c +=，试求b 的值.21.定义在D 上的函数()f x ，若满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界. （1）设()1x f x x =+，判断()f x 在11[,]22-上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出()f x 的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数()124xxg x a =++•在[0,2]x ∈上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.22. 如图，设F 是椭圆22134x y +=的下焦点，直线4(0)y kx k =->与椭圆相交于,A B 两点，与y 轴交于点P .（1）若PA AB =，求k 的值；（2）求证：AFP BFO ∠=∠；（3）求面积ABF ∆的最大值.23.已知正项数列{},{}n n a b 满足：对任意*n N ∈，都有1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列，且1210,15a a ==.（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（3）设12111n n S a a a =+++，如果对任意*n N ∈，不等式22n n nb aS a <-恒成立，求实数a 的取值范围.2016年青浦区高考数学（理科）二模卷一、填空题【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，补集，并集. 【参考答案】(2,1]-【试题分析】{}{}|||2,|22A x x x x x =∈=-R ＜＜＜，{}2|430,B x x x x =-+∈R ≥{}13x x =≤或≥，所以(2,1]A B =-.故答案为(2,1]-.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或涨掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算. 【参考答案】1【试题分析】因为1i 1zz-=+，所以21i (1i)1(1)i i 1i (1i)(1i)z z z ---=+⇒===-++-，则||1z ==.故答案为1.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数. 【参考答案】（3,1）【试题分析】因为函数1()2x f x a-=+经过定点（1,3），根据互为反函数的两个函数之间的关系知，函数()f x 的反函数经过定点（3,1），故答案为（3,1）. 4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初数学中有关方程与代数的基本知识. 【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】32【试题分析】2222223(1)3(1)P C3(1)32lim42(1)(1)2(1)22nn n n n n n n n n n n n n n →++++++====+++++∞，故答案为32. 5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】23π 【试题分析】设直线220x y +-=与条坐标轴的交点分别为A ,B ,则A (1,0)，B （0,2），于是AOB △绕y 轴旋转一周，该几何体为底面半径为1，高为2的圆锥，所以2211212333V R h π=π=⨯π⨯⨯=，故答案为23π.【知识内容】函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【试题分析】由sin 2sin 0θθ+=得，2sin cos sin θθθ=-，所以1cos 2θ=-，因为(,2θπ∈π)，所以sin θ=tan θ=，又22tan tan 21tan θθθ==-. 7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质. 【参考答案】(,2][0,2]-∞-【试题分析】当0x >时，因为()240xf x =-≤，所以02x <≤，又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以(0)0,f =()y f x =在(,0)-∞上单调递增，并且(2)(2)0f f -=-=，所以()02f x x ⇒≤≤-，综上，不等式()0f x ≤的解集为(,2][0,2]-∞-，故答案为(,2][0,2]-∞-.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质. 【参考答案】24y x =【试题分析】设抛物线的焦点坐标为(,0)2p ，线段OA 的中点坐标为11(,)22，因为1OA k =,所以经过抛物线焦点的线段OA 的垂直平分线的斜率0122112p k -==-，所以2p =，则抛物线的标准方程为24y x =，故答案为24y x =.9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. 【参考答案】(0,1)【试题分析】因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将1,1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①代入 sin cos ,sin cos x y θθθθ=⋅⎧⎨=+⎩代入得2(1)2(1)1-+-=，解得t =或,将t =、代入①求得0,1x y =⎧⎨=⎩或3,22x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，因为πsin cos )4y θθθ=+=+≥，所以只有0,1x y =⎧⎨=⎩符合题意，故答案为(0,1).10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理. 【参考答案】5【试题分析】1(2)n x x+的展开式中第m 项为的系数11C 2m n mm n b -+-=，因为342b b =，所以2233C 22C 2n n n n --=，即23C C n n =，得5n =，故答案为5.11. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/简单集合体的研究/椎体；数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】6235+ 【试题分析】如图，在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，因为2AD PD ==,所以22BD =,2DO =,所以222PO PD DO =-=,23234PAD S =⨯=△, 122222PDB S =⨯⨯=△,12222ABD S =⨯⨯=△,从正四棱锥的5个顶点中任取3个点，可以构成的三角形的个数为35C 10=，其中顶点在侧面的三角形的有4个，在对角面的有2个，在底面的有4个，故342224623105E ξ⨯+⨯+⨯+==.12.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求. 【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】226n n +的等差数列，所以12+231n a a a n ++=+ (844)2n n ++226n n =+，故答案为226n n +.13.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】{48,51,54,57,60}【试题分析】因为20道选择题每题3分，甲最终的得分为54分，所以甲答错了2道题，又因为甲和乙有两道题的选项不同，则他们最少有16道题的答案相同，设剩下的4道题正确答案为AAAA,甲的答案为BBAA,因为甲和乙有两道题的选项不同，所以乙可能的答案为BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA 等，所以乙的所有可能的得分值组成的集合为{48,51,54,57,60}，故答案为{48,51,54,57,60}.14.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/直线的一般式方程；方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】642+【试题分析】如图，设000(,)aM x x x -0(12)x ≤≤由题意得(1,1)A a -，(22)2a B -，，(1,1)2a AB =+，所以直线AB 的方程为1(1)112x y a a ---=+，化为一般式方程为3(1)22a y x a =+-，所以003(,(1))22a N x x a +-, 所以003||||22a aMN a x x =--003|2|22a a a x x -⋅≤3=(2)2a -，当且仅当002a ax x =，即02[1,2]x =∈时取等号，因为||1MN ≤恒成立，所以3(2)12a -≤，642a +≤,所以a 的最大值为642+，故答案为642+.二、选择题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/三角比/同角三角比. 【正确选项】B【试题分析】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故答案为B.16.【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系. 【正确选项】D【试题分析】直线1l 与2l 可能是与平面α平行的平面中的相交直线，故A 选项不正确；直线l 上的点可能是位于平面α两侧的点，故B 选项不正确；直线l 与平面α所形成的角大小可以取到0和π2，故C 选项不正确；垂直同一平面的两直线平行，故D 选项正确.故答案为D.17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关平面与几何的基本知识. 【知识内容】平面与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算. 【正确选项】C【试题分析】由于a b ⊥且||||1a b ==，那么||2a b +=，所以2()()||||||cos 0c a c b c c a b a b α--=-++⋅=，即||2cos c α=，由于1cos 1α-≤≤，所以||c 的最大值为2.故答案为C.18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质和图像；函数与分析/三角函数/正弦函数与余弦函数的图像. 【正确选项】B【试题分析】因为存在实数1234,,,x x x x 满足1234()()()()f x f x f x f x a ====，所以函数()f x 与直线y a =的图像有4个交点，如图，因此123403315x x x x <<<<，≤≤，因为3()|log |,03f x x x =<<，所以3132313212|log ||log |,log log ,1x x x x x x =-==，又因为π()sin(),3156f x x x =≤≤的图像关于直线9x =对称，所以3418x x +=，所以1234331(18)x x x x x x =⋅⋅-，因为339x <<，所以12344581x x x x <<,故答案为B.三、解答题19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题7分. 【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. （2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】（1）图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系. （2）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.【参考答案】（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，………………………………………2分因为⊥1CC 平面111A B C ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………4分所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………5分（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ，由（1），(0,2,0)CB =是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………7分)2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=CD ，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =，则有10,0,n CB n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ，所以)2,2,1(-=n， …………………………………………10分设CB 与n的夹角为θ，则42cos 233||||CB n CB n θ⋅===⨯⋅， …………………11分由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos． ……………………………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形. （2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质.（2）函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理；图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. 【参考答案】（1）π()cos 12sin 16f x x x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， ……………3分又πT =，所以，2=ω， ………………………………………………5分所以，π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． …………………………………………………6分（2）π()2sin 2106f B B ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，ππ22π66B k +=+或π5π22π66B k +=+（Z ∈k ），因为B 是三角形内角，所以π3B =．……9分而3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅=，所以，3=ac ， …………………………11分又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=a ． …………………………………14分21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.（2）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.（2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故 11()22f f x f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，即11()3f x -≤≤， ……………………………2分故|()|1f x ≤，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………4分所以，上界M 满足1M ≥，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………6分（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故|()|3g x ≤在]2,0[∈x 上恒成立，即3()3g x -≤≤，所以，31243x x a -++⋅≤≤（]2,0[∈x ）， …………8分所以41214242x x x x a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤（]2,0[∈x ），令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故2242t t a t t ---≤≤在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，22max min (4)(2)t t a t t ---≤≤（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………11分令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；…12分令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…13分所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………14分 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.【测量目标】（1）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/平面直线的方程/直线的斜率与倾斜角.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】（1）由221344x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得03624)43(22=+-+kx x k ，所以2144(4)0k ∆=->，设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………2分因为PA AB =，所以122x x =，代入上式求得556=k . ………………………4分（2）由图形可知，要证明BFO AFP ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，即等价于0=+BF AF k k . …………………………………………6分21212122112211)(3211323311x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k BF AF +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+++=+ 022433643243222=-=++⋅-=k k k k kk . …………………………………………9分所以，BFO AFP ∠=∠. …………………………………………………10分（3）由0∆>，得042>-k ，所以1211||||322ABF PBF PAF S S S PF x x ∆∆=-=⋅-=⋅△4341822+-=k k ， ………………………………………………………………13分令42-=k t ，则0>t ，1634322+=+t k故21818163163ABF t S t t t===++△=（当且仅当t t 163=，即3162=t ，3212=k 取等号）. ……15分所以，△ABF 面积的最大值是433. ……………………………………………16分 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列、等比数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】（1）由已知，12++=n n n a a b ①, 121++=n n n b b a ②， ………1分由②可得，11++=n n n b b a ③， ……………………………2分将③代入①得，对任意*N ∈n ，2n ≥，有112+-+=n n n n n b b b b b ，即112+-+=n n n b b b ，所以{}n b 是等差数列． …………………………4分（2）设数列{}n b 的公差为d ，由101=a ，152=a ，得2251=b ，182=b ，……6分所以2251=b ，232=b ，所以2212=-=b b d ， ……………………7分所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， ………………8分所以，2)4(2+=n b n ，2)4(2)3(2212+⋅+==-n n b b a n n n ， ……………………9分 2)4)(3(++=n n a n ． …………………………………………………………10分（3）解法一：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………11分所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………14分令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ，则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立. ………………………………17分故1a ≤，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞. ………………………………18分解法二：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………………11分所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，所以，原不等式对任意*N ∈n 恒成立等价于08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立， ……………………………………14分设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，10a -≤，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………15分当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1a ≤时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立．综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………18分。

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2016年上海市青浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组的增广矩阵是．2．已知3i﹣2是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p+q=．3．设函数f（x）=若f（a）＞a，则实数a的取值范围是．4．已知函数f（x）=sin（2x+φ），0＜φ≤π图象的一条对称轴是直线，则φ=．5．函数f（x）=lg（2x﹣3x）的定义域为．6．已知函数f（x）=|x2﹣2|，若f（a）=f（b），且0＜a＜b，则ab的取值范围是．7．设集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，当M∩N≠∅时，则实数b的取值范围是．8．执行如图所示的程序框图，输出结果为．9．平面直角坐标系中，方程|x|+|y|=1的曲线围成的封闭图形绕y轴旋转一周所形成的几何体的体积为．10．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量，向量，则向量的概率是．11．已知平面向量、、满足，且，，则的最大值是．12．如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：①每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；②0在原点，1在（0，1）点，2在（1，1）点，3在（1，0）点，4在（1，﹣1）点，5在（0，﹣1）点，…，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则放置数字（2n+1）2，n∈N*的整点坐标是．13．设△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则的取值范围．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．是“直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a﹣1）x+（a+1）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．复数（a∈R，i是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17．已知{a n}是等比数列，给出以下四个命题：①{2a3n}是等比数列；②{a n+a n+1}是等比数列；﹣1③{a n a n+1}是等比数列；④{lg|a n|}是等比数列，下列命题中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A．B．C．D．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD且2AB=CD，PD=PA，点H为线段AD的中点，若，PB与平面ABCD所成角的大小为45°．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线y2=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆M的方程；（2）已知直线y=x+m与椭圆M交于A、B两点，且椭圆M上存在点P满足，求m的值．21．如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC=2百米，CD=1百米，∠BCD=120°，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将绿地分为面积之比为1：3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC=x百米，EF=y百米．（1）当点F与点D重合时，试确定点E的位置；（2）试求x的值，使路EF的长度y最短．22．设数列{a n}的所有项都是不等于1的正数，{a n}的前n项和为S n，已知点在直线y=kx+b上（其中常数k≠0，且k≠1）数列，又．（1）求证数列{a n}是等比数列；（2）如果b n=3﹣n，求实数k、b的值；（3）若果存在t，s∈N*，s≠t使得点（t，b s）和（s，b t）都在直线在y=2x+1上，是否存在自然数M，当n＞M（n∈N*）时，a n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．23．已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．2016年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组的增广矩阵是．【考点】二阶矩阵．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】利用增广矩阵的定义求解．【解答】解：方程组的增广矩阵是：．故答案为：．【点评】本题考查增广矩阵的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的定义的合理运用．2．已知3i﹣2是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p+q=34．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】3i﹣2是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，则﹣3i﹣2也是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵3i﹣2是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，∴﹣3i﹣2也是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，∴3i﹣2+（﹣3i﹣2）=﹣，（3i﹣2）（﹣3i﹣2）=，解得p=8，q=26．∴p+q=34．故答案为：34．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系、复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．设函数f（x）=若f（a）＞a，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论．【分析】先根据分段函数的定义域选择好解析式，分a≥0时，和a＜0时两种情况求解，最后取并集．【解答】解：当a≥0时，，解得a＜﹣2，矛盾，无解当a＜0时，，a＜﹣1．综上：a＜﹣1∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）【点评】本题主要考查分段函数，一元一次不等式，分式不等式的解法，还考查了分类讨论思想和运算能力．4．已知函数f（x）=sin（2x+φ），0＜φ≤π图象的一条对称轴是直线，则φ=．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据正弦函数的图象的对称性可得2×+φ=kπ+，由此求得φ的值．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ），0＜φ≤π图象的一条对称轴是直线，∴2×+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z，又0＜φ≤π，∴φ=，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．5．函数f（x）=lg（2x﹣3x）的定义域为（﹣∞，0）．【考点】对数函数的定义域；指数函数单调性的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质，以及指数函数和幂函数的性质求函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，则2x﹣3x＞0，即2x＞3x＞0，∴，解得x＜0，∴函数的定义域为（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，利用指数函数和幂函数的性质是解决本题的关键．6．已知函数f（x）=|x2﹣2|，若f（a）=f（b），且0＜a＜b，则ab的取值范围是（0，2）．【考点】分段函数的应用；函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的表达式，结合条件f（a）=f（b），且0＜a＜b，确定a，b的取值范围，然后利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：f（x）=|x2﹣2|=，作出函数的图象如图：若f（a）=f（b），且0＜a＜b，则b＞，0＜a＜，则ab＞0，则由f（a）=f（b），得2﹣a2=b2﹣2，即a2+b2=4，∵0＜a＜b，∴4=a2+b2＞2ab，则ab＜2，综上0＜ab＜2，即ab的取值范围是（0，2），故答案为：（0，2）【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式作出函数的图象，利用数形结合以及基本不等式是解决本题的关键．综合性较强，质量较高．7．设集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，当M∩N≠∅时，则实数b的取值范围是[1﹣2，3]．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知得直线y=x+b与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4有交点，由此能求出实数b的取值范围．【解答】解：∵集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，M∩N≠∅，∴直线y=x+b与半圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3）有交点，半圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3）表示：圆心在（2，3），半径为2 的圆的下半部分，y=x+b表示斜率为1的平行线，其中b是直线在y轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d==2，解得b=1﹣2或b=1+2（舍），由图知b的取值范围是[1﹣2，3]．∴实数b的取值范围是[1﹣2，3]．故答案为：[1﹣2，3]．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．8．执行如图所示的程序框图，输出结果为．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；运动思想；分析法；等差数列与等比数列；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出S=+++…+的值．S=+++…+=×（1﹣﹣+﹣+…+﹣）==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是程序框图，裂项相消法，分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．9．平面直角坐标系中，方程|x|+|y|=1的曲线围成的封闭图形绕y轴旋转一周所形成的几何体的体积为π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】方程|x|+|y|=1的曲线围成的封闭图形是一个以（0，1），（1，0），（0，﹣1），（﹣1，0）为顶点的正方形，绕y轴旋转一周所形成的几何体是两个圆锥形成的组合体圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：方程|x|+|y|=1的曲线围成的封闭图形是一个以（0，1），（1，0），（0，﹣1），（﹣1，0）为顶点的正方形，绕y轴旋转一周所形成的几何体是两个圆锥形成的组合体，如下图所示：圆锥的底面半径为1，高为1，故几何体的体积为：2××π×1=π，故答案为：π．【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，分析出几何体的形状是解答的关键，难度中档．10．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，向量，向量，则向量的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计．【分析】易得总的基本事件有36种，由向量垂直可得m﹣n=0，共6种，由概率公式可得．【解答】解：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次出现的点数情况共6×6=36种，由，向量，由于向量，所以m﹣2+2﹣n=0，即m﹣n=0，上述满足m﹣n=0的有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）共6种，故所求概率为P==故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式和向量垂直的条件，属基础题．11．已知平面向量、、满足，且，，则的最大值是3．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】建立平面直角坐标系，设出A，B，C坐标，表示出的坐标，得出数量积的表达式，求出最值．【解答】解：∵，∴，设A（1，0），B（0，），C（cosθ，sinθ），∴=（1﹣cosθ，﹣sinθ），=（﹣cosθ，﹣sinθ），∴=﹣（1﹣cosθ）cosθ﹣sinθ（﹣sinθ）=sin2θ+cos2θ﹣cosθ﹣sinθ=1﹣2sin（θ+）．∴当sin（θ+）=﹣1时，取得最大值3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，使用坐标法可使计算简单．12．如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：①每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；②0在原点，1在（0，1）点，2在（1，1）点，3在（1，0）点，4在（1，﹣1）点，5在（0，﹣1）点，…，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则放置数字（2n+1）2，n∈N*的整点坐标是（﹣n，n+1）．【考点】归纳推理．【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】根据条件寻找规律，归纳出其中奇数平方坐标的位置出现的规律，即可得到答案．【解答】解：观察已知中点（0，1）处标1，即12，点（﹣1，2）处标9，即32，点（﹣2，3）处标25，即52，…由此推断点（﹣n，n+1）处标（2n+1）2，故放置数字（2n+1）2，n∈N*的整点坐标是（﹣n，n+1）．故答案为：（﹣n，n+1）【点评】本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知平面直角坐标系的格点的规则，找出表上数字标签所示的规律，是解答的关键．考查学生的观察能力．13．设△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则的取值范围．【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】先根据a、b、c成等比数列求出b2=ac进而表示出c；再结合三角形三边之间的关系即可求出的取值范围．【解答】解：∵△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，∴b2=ac，a＞0，b＞0，c＞0，∴=2，∵a﹣b＜c，∴a﹣b＜，∴a2﹣ab﹣b2＜0，∴，∴．∵a＞0，b＞0．∴，①又∵b﹣a＜c，∴b﹣a＜，∴a2﹣ab+b2＞0，∴+1＞0，不等式恒成立②．∵①②同时成立．∴0＜＜，∴，∴＜=．∴的取值范围是[2，）．故答案为：[2，）．【点评】本题考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和不等式性质的合理运用．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为[﹣，]．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】当x≥0时，分类讨论化简函数的解析式，再结合奇函数的性质可得函数的图象．结合条件：∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），可得6a2≤1，由此求得a的范围．【解答】解：当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2）．∴当0≤x≤a2时，f（x）=[﹣x+a2 ﹣（x﹣2a2）﹣3a2]=﹣x；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；当x＞2a2时，f（x）=x﹣3a2．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出f（x）在R上的图象，如图所示：当x＞0时，f（x）的最小值为﹣a2，当x＜0时，f（x）的最大值为a2，由于∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），故函数f（x﹣1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，结合（图二）可得1﹣3a2 ≥3a2，即6a2≤1，求得﹣≤a≤，故答案为：[﹣，]．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，奇函数的性质，函数的图象特征，属于中档题．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．是“直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a﹣1）x+（a+1）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】分类讨论；转化思想；直线与圆．【分析】对a分类讨论，利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：对于：直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a﹣1）x+（a+1）y﹣3=0，当a=0时，分别化为：x+1=0，﹣x+y﹣3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当a=﹣1时，分别化为：﹣3y+1=0，﹣2x﹣3=0，此时两条直线相互垂直，因此a=﹣1满足条件；当a≠﹣1，0时，两条直线的斜率分别为：，，由于两条直线垂直，可得×=﹣1，解得a=或﹣1（舍去）．综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：a=或﹣1．∴是“直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a﹣1）x+（a+1）y﹣3=0相互垂直”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了两条相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．16．复数（a∈R，i是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部和虚部不同时大于0说明z在复平面上对应的点不可能位于第一象限．【解答】解：∵=，∴z在复平面上对应的点的坐标为（），若a﹣1＞0，则a＞1，∴a+1＜0．∴z在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．}是等比数列；②{a n+a n+1}是等比数列；17．已知{a n}是等比数列，给出以下四个命题：①{2a3n﹣1③{a n a n+1}是等比数列；④{lg|a n|}是等比数列，下列命题中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的判断方法，分别检验比值是否为常数进行判断．【解答】解：{a n}是等比数列可得=q（q是定值）①=q3是定值，故①正确②=q是定值，故②正确③=q2是定值，故③正确④不一定为常数，故④错误故选C．【点评】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，设A点的纵坐标大于0，∴|AF|=p，∴A（，p），∵点A在双曲线上，∴=1，∵p=2c，b2=c2﹣a2，∴=1，化简得：c4﹣6c2a2+a4=0，∴e4﹣6e2+1=0，∵e2＞1，∴e2=3+2，∴1+（）2=3+2∴（）2=2+2＞3∴l的倾斜角所在的区间可能是（，），故选：D．【点评】本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD且2AB=CD，PD=PA，点H为线段AD的中点，若，PB与平面ABCD所成角的大小为45°．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由AB⊥平面PAD，可得平面PAD⊥平面ABCD，再由已知求得PH⊥AD，由面面垂直的性质得到PH⊥平面ABCD；（2）由（1）可得∠PBH为PB与平面ABCD所成角等于45°，求解直角三角形BAH得到AB，进一步得到CD，求得底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，又PD=PA，点H为线段AD的中点，∴PH⊥AD，则PH⊥平面ABCD；（2）解：在△PAD中，∵H为线段AD的中点，AD=，∴AH=，由（1）知，PH⊥平面ABCD，连接BH，则∠PBH为PB与平面ABCD所成角等于45°，在Rt△PHB中，由∠PBH=45°，得PH=BH=1，在Rt△BAH中，有AB=，则CD=2AB=，∴，∴=．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了面面垂直的性质，考查了棱锥体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线y2=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆M的方程；（2）已知直线y=x+m与椭圆M交于A、B两点，且椭圆M上存在点P满足，求m的值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线相切，求出b，a，即可求椭圆M的方程；（2）直线l：y=x+m与椭圆M联立，利用，求出P的坐标，代入椭圆方程，即可求m 的值．【解答】解：（1）因为抛物线y2=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，即F（1，0），又椭圆M的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为，且a2﹣b2=1，又以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线相切，即，所以椭圆M的方程是；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），△=（4m）2﹣12（2m2﹣2）=﹣8m2+24＞0，∵，∴P（x1+x2，y1+y2），又，即在椭圆上，即．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查向量知识，考查直线与椭圆的位置关系，注意韦达定理的合理运用．21．如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC=2百米，CD=1百米，∠BCD=120°，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将绿地分为面积之比为1：3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC=x百米，EF=y百米．（1）当点F与点D重合时，试确定点E的位置；（2）试求x的值，使路EF的长度y最短．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【专题】应用题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）当点F与点D重合时，，即，从而确定点E的位置；（2）分类讨论，确定y关于x的函数关系式，利用配方法求最值．【解答】解：（1）∵当点F与点D重合时，由已知，又∵，E是BC的中点（2）①当点F在CD上，即1≤x≤2时，利用面积关系可得，再由余弦定理可得；当且仅当x=1时取等号②当点F在DA上时，即0≤x＜1时，利用面积关系可得DF=1﹣x，（ⅰ）当CE＜DF时，过E作EG∥CD交DA于G，在△EGF中，EG=1，GF=1﹣2x，∠EGF=60°，利用余弦定理得（ⅱ）同理当CE≥DF，过E作EG∥CD交DA于G，在△EGF中，EG=1，GF=2x﹣1，∠EGF=120°，利用余弦定理得由（ⅰ）、（ⅱ）可得，0≤x＜1∴=，∵0≤x＜1，∴，当且仅当x=时取等号，由①②可知当x=时，路EF的长度最短为．【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用及二次函数的性质应用，属于中档题．22．设数列{a n}的所有项都是不等于1的正数，{a n}的前n项和为S n，已知点在直线y=kx+b上（其中常数k≠0，且k≠1）数列，又．（1）求证数列{a n}是等比数列；（2）如果b n=3﹣n，求实数k、b的值；（3）若果存在t，s∈N*，s≠t使得点（t，b s）和（s，b t）都在直线在y=2x+1上，是否存在自然数M，当n＞M（n∈N*）时，a n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；函数思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意把点P n（a n，S n）、代入直线y=kx+b，整理后得到，由此说明数列{a n}是等比数列；（2）把化为指数式，结合数列{a n}是等比数列可求k值，再由在直线y=kx+b上，取n=1求得b值；（3）由，知a n＞1恒成立等价于b n＜0恒成立．结合存在t，s∈N*，s≠t使得点（t，b s）和（s，b t）都在直线在y=2x+1上，推得{b n}是首项为正，公差为﹣2的等差数列．再由一定存在自然数M，使求解自然数M的最小值．【解答】（1）证明：∵P n（a n，S n）、都在直线y=kx+b上，∴，即（k﹣1）a n+1=ka n，又k≠0，且k≠1，∴为非零常数，即数列{a n}是等比数列；（2）解：由，得，即，得k=2．由在直线y=kx+b上，得S n=ka n+b，令n=1得，；（3）解：由，知a n＞1恒成立等价于b n＜0恒成立．∵存在t，s∈N*，s≠t使得点（t，b s）和（s，b t）都在直线在y=2x+1上，∴b s=2t+1，b t=2s+1，即b t﹣b s=2（s﹣t），=2（t﹣1﹣t）=﹣2，又s=t﹣1，t≥2，可得b t﹣b t﹣1又b s=b1+（s﹣1）（﹣2）=2t+1，∴b1=2（t+s）﹣1＞0，即{b n}是首项为正，公差为﹣2的等差数列．∴一定存在自然数M，使，即，解得，∵M∈N*，∴M=t+s．∴存在自然数M，其最小值为t+s，使得当n＞M（n∈N*）时，a n＞1恒成立．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查数列的函数特性，综合考查学生的逻辑思维能力和推理论证能力，问题（3）的设置体现了转化思想的运用，难度较大．23．已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）求出f（x+α），代入g（x）=f（x）•f（x+α）化简得出．（2）对g（x）化简得=4cosx•cos（x﹣），故f（x）=2cosx，α=﹣．（3）求出g（x）的解析式，判断g（x）在何时取的最大值和最小值，【解答】解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx﹣sinx；∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x．（2）∵=4cosx•cos（x﹣），∴f（x）=2cosx，α=﹣．（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|﹣sinx）=，因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，所以当x1=2kπ+π或时，g（x）≥g（x1）=﹣1当时，g（x）≤g（x2）=2所以或所以|x1﹣x2|的最小值是．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，分段函数的应用，属于中档题．。