大物B课后题08-第八章 电磁感应 电磁场

习题

8-6 一根无限长直导线有交变电流0sin i I t ω=，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ，如图所示，长为l 的AB 和CD 两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a 和b ，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。

解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为

02m i

d B dS ldx x

μφπ=⋅= 通过矩形面积CDEF 的总磁通量为 0000ln ln sin 222b

m a

i il I l b b

ldx t x a a

μμμφωπππ===⎰

由法拉第电磁感应定律有

00ln cos 2m d I l b

t dt a

φμωεωπ=-

=- 8-7 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，在管的中心放置一绕了N 圈，半径为r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI dt

，球小

线圈中感应的电动势。

解 无限长直螺线管内部的磁场为

0B nI μ= 通过N 匝圆形小线圈的磁通量为

2

0m NBS N nI r φμπ==

由法拉第电磁感应定律有

20m d dI

N n r dt dt

φεμπ=-

=- 8-8 一面积为S 的小线圈在一单位长度线圈匝数为n ，通过电流为i 的长螺线管内，并与螺线管共轴，若0sin i i t ω=，求小线圈中感生电动势的表达式。 解 通过小线圈的磁通量为

0m BS niS φμ==

由法拉第电磁感应定律有

000cos m d di

nS nSi t dt dt

φεμμωω=-

=-=- 8-9 如图所示，矩形线圈ABCD 放在1

6.010B T -=⨯的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为60α=︒，长为0.20m 的AB 边可左右滑动。若令AB 边以速率

15.0v m s -=•向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。

解 利用动生电动势公式

0.20

()50.6sin(60)0.30()2

B A

v B dl dl V π

ε=⨯•=⨯⨯-︒=⎰⎰

感应电流的方向从A B →.

8-10 如图所示，两段导体AB 和BC 的长度均为10cm ，它们在B 处相接成角30︒；磁场方向垂直于纸面向里，其大小为2

2.510B T -=⨯。若使导体在均匀磁场中以速率

11.5v m s -=•运动，方向与AB 段平行，试问AC 间的电势差是多少? 哪一端的电势高？

解 导体AB 段与运动方向平行，不切割磁场线，没有电动势产生。BC 段产生的动生电动势为

1.10

230

() 1.5 2.510cos 60 1.910()C B

v B dl dl V ε--=⨯•=⨯⨯⨯︒=⨯⎰⎰

AC 间的电势差是

3

1.910()AC U V ε-=-=-⨯

C 端的电势高。

8-11 长为l 的一金属棒ab ，水平放置在均匀磁场B 中，如图所示，金属棒可绕O 点在水平面内以角速度ω旋转，O 点离a 端的距离为l k 。试求a,b 两端的电势差，并指出哪端电势高（设k>2）

解 建立如图所示的坐标系，在Ob 棒上任一位置x 处取一微元dx ，该微元产生的动生电动势为

()d v B dx xBdx εω=⨯•=- Ob 棒产生的动生电动势为

220

11

(1)2l l k

Ob xBdx Bl k

εωω-=-=--⎰

同理，Oa 棒产生的动生电动势为 2

1220

12Oa l xBdx Bl k

εωω=-=-⎰

金属棒a,b 两端的电电势差

2

2222211112(1)(1)222ab ab Oa Ob

l U Bl Bl Bl k k k

εεεωωω=-=-=---=- 因k>2，所以a 端电势高。

8-12 如图所示，真空中一载有稳恒电流I 的无限长直导线旁有一半圆形导线回路，其半径为r ，回路平面与长直导线垂直，且半圆形直径cd 的延长线与长直导线相交，导线与圆心O 之间距离为l ，无限长直导线的电流方向垂直纸面向内，当回路以速度v 垂直纸面向外运动时，求：

（1）回路中感应电动势的大小；

（2）半圆弧导线cd 中感应电动势的大小。

解 （1） 由于无限长直导线所产生的磁场方向与半圆形导线所在平面平行，因此当导线回路运动时，通过它的磁通量不随时间改变，导线回路中感应电动势0ε=。

（2）半圆形导线中的感应电动势与直导线中的感应电动势大小相等，方向相反，所以可由直导线计算感应电动势的大小

选取x 轴如图8.7所示，在x 处取线元dx,dx 中产生感应电动势大小为 ()d v B dl ε=⨯• 其中02I

B x

μπ=

导线cd 及圆弧cd 产生感应电动势的大小均为

00ln

22l r

l r l r

l r Iv Iv dx l r

vBdx x l r

μμεππ++--+===-⎰

⎰ 8-13 在半径0.50R m =的圆柱体内有均匀磁场，其方向与圆柱体的轴线平行，且

211.010dB dt T s --=⨯•，圆柱体外无磁场，试求离开中心O 的距离分别为

0.1,0.25,0.50,1.0m m m m 和各点的感生电场的场强。

解 变化的磁场产生感生电场线是以圆柱轴线为圆心的一系列同心圆，因此有

L

S

B

E dl dS t

∂•=-•∂⎰⎰⎰

感 而

2

2,L

S

B dB E dl E r dS r t dt

ππ∂•=-•=-∂⎰⎰⎰

感感 当r R <时， 2

2dB E r r dt ππ=-

感 12dB

E r dt

=-感

所以0.1r m =时，415.010E V m --=⨯•感；0.25r m =时，。31

1.310E V m --=⨯•感

当r R >时 22dB

E r R dt

ππ=-

感 22R dB

E r dt

=-感

所以0.50r m =时， 312.510E V m --=⨯•感; 1.0r m =时31

1.2510E V m --=⨯•感

8-14 如图所示，磁感应强度为B 的均匀磁场充满在半径为R 的圆柱体内，有一长为l 的金属棒ab 放在该磁场中，如果B 以速率dB dt 变化，试证：由变化磁场所产生并作用于棒两