第二章_模糊控制1

3.特征函数表示法：利用经典集合非此即彼 的明晰性表示； Eg：在小于10的自然数中由偶数组成的集合
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2. 模糊集合
（1）模糊集合的概念 模糊集合：设U是论域，U上的一个模糊集合A是 指，对于论域U中的任一元素u∈U，都指定了[0,1]闭 区间中的一个数 A (u ) 与之对应， A (u ) 称为u对A的 隶属度（Degree of Membership）
3.1.2 模糊集合
1. 普通集合
集合：一般是具有某种属性的、确定的（非此即 彼）、彼此间可以区别的事物的全体。组成集合的事物 称为集合的元素或元。 其中集合术语：论域（全域）、空集、全集、包含、 相等、子集、并集、交集、补集等。 例如： A={X|X>6} 精确集合（非此即彼）：
精确集合的特征函数： 设A是论域X上的集合，记
注意：隶属度为零的项不能省略！ 2）Zadeh表示法：
A (un ) A (u1 ) A (u2 ) A u1 u2 un
3）序偶表示法：
A {(u1, A(u1 ))， 2, A(u2 ))(un, A(un ))} (u
连续论域：若论域U是实数域，论域中有无穷多个 连续的点，则称为连续论域； A (u )
5.若用图来表示模糊关系时，称为模糊图； 6.模糊矩阵的截阵 R 定义为： R {( x, y ) | R ( x, y ) }
2. 模糊关系的运算
1）基本运算： 设R1和R2是直积空间 X Y 上的两个模糊关系， 包含：
R1 R2
R1 ( x, y) R2 ( x, y)
相等：
R1 R2
R1 ( x, y) R2 ( x, y)
R1 ( xwenku.baidu.com y ) R2 ( x, y) R1 ( x, y ) R2 ( x, y)
1 R1 ( x, y )
并：
交： 补：
R1 R2 R1 R2
R1
2) 模糊关系合成 模糊关系合成是指，由第一个集合和第二个集合之 间的模糊关系得到第一个集合和第三个集合之间的模 糊关系的一种运算。常用的max-min 合成法。 定义：设R是X×Y中的模糊关系，S是Y×Z中的 模糊关系，所谓R和S的合成是指下列定义在X×Z上 的模糊关系Q，记做 Q＝R⊙S
注意：互补律 A A E, A A 对模糊集合不成立。
分解定理： 设A为论域U上的一个模糊集合， A 是A的 截 集， [0,1] ，则有A A ，其中 A 表示
[0,1]
与 A 的“乘积”，是一个模糊集合，其隶属 度定义为： u A A (u )
设A,B是同一论域U上的两个模糊集合 包含或子集： A B A ( x) B ( x) 并（析取） 交（合取）
C A B
C max( A ( x), B ( x)) A ( x) B ( x)
C A B
C min( A ( x), B ( x)) A B
1. 模糊关系的基本概念
模糊关系是指笛卡尔积上的模糊集合，表示多个 集合的元素间所具有的某种关系的程度。 给定集合X和Y，由全体(x，y) ，(x∈X, y∈Y)组成 的集合，叫做X与Y的笛卡尔积(或直积)记做X×Y， X×Y={(x,y) ∣ x∈X, y∈Y} 定义：所谓X，Y两集合的笛卡尔积 X×Y={(x,y) ∣ x∈X, y∈Y} 中的一个模糊关系R 是指以X×Y为论域的一个模糊子集，序偶(x,y)的隶属度 为 R( x, y)，其在[0,1]取值，大小反映了(x,y)具有关系R 的程度。
3.1 模糊控制的数学基础
★ 模糊概述
★ 模糊集合 ★ 模糊关系 ★ 模糊推理 ★ 小结
3.1.1 模糊概述
一些概念在特定的场合有明确的外延，例如国 家、货币、法定年龄、地球等；但是还有相当一部 分概念不具有明确的外延或边界的，称之为不分明 的概念或模糊概念，如下图所示。
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
1.模糊数学：用来描述、研究、处理事物所具有 的模糊特征的数学； 模糊指的是它的研究对象； 数学指的是它的研究方法； 2.模糊性与随机性：均为一种不确定性； 3.模糊性与复杂性： 复杂性与精确性的“不相容原理”：随着系统 复杂性的增加，对其特性做出精确而有意义的 描述的能力会随之降低，直到达到一个阈值， 一旦超过它，精确与有意义将会相互排斥。
注意：模糊集合A是一个抽象的东西，是模糊的； 但函数 A则是具体的。
对于论域U的一个元素u和U上的一个模糊集合A， 我们不再是简单的问u是绝对属于还是不属于A，而 (u ) 是在多大程度上属于A。隶属度 A正是u属于A的程 度的数量指标。 若 A (u) 1 ，则认为u完全属于A； 若 A (u) 0 ，则认为u不完全属于A； 若 0 A (u) 1 ，则认为u在A(u)的程度上属于A。 此时，在完全属于与完全不属于之间呈现过渡（连 续变化）状态，即集合A的外延的不分明的变化层次， 表现出模糊性。
说明： 1.模糊关系本质上是一种模糊集合之间的一种映射； 2.由于模糊关系是用模糊集合来定义的，所以其特性 也完全由隶属函数来刻划； 3. R( x, y ) 是以x，y为自变量的一个空间曲面； 4.当X，Y皆为有限的离散集合时，X,Y的模糊关系R 可用矩阵表示，称为模糊矩阵；
RX Y (rij ) mn ( R ( xi , y j )) m n
II.隶属函数参数化
三角形隶属函数
0 xa ba trig ( x; a, b, c ) c x c b 0
0 xa ba Trap( x, a, b, c, d ) 1 d x d c 0
xa a xb bxc cx
3.1.3 模糊关系
模糊关系是与经典关系相对而言的，
“A比B大”----------模糊关系 “A比B大C”--------经典关系
经典关系： 定义：设X与Y是两个非空集合，集合X,Y的直积 X Y 的一个子集R称为X到Y的一个二元 关系，简称关系； 表示方法：关系可用矩阵R来表示，其中的元素 rij 基于特征函数的定义，即：
xa a xb b xc cxd dx
梯形隶属函数
高斯形隶属函数
g ( x; c, )
1 x c 2 ( ) e 2
c代表 MF的中心； 决定 MF的宽度。
一般钟形隶属函数 bell( x; a, b, c)
1 1
x c 2b a
隶属函数的参数化： 以钟形函数为例，
1 A(X ) 0 如果 X A 如果 X A
为集合A的特征函数。
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
13
经典集合的表示方法：
1.列举法：适用于具有有限元素的集合； 2.定义法：适用于具有很多元素而不能一一 列举的集合； Eg：所有奇数的集合A=｛x|x为奇数｝
或
R S ( x, z ) {R( x, y) S ( y, z )}
核( A) {x | A ( x) 1} ③ 截集 截集（ A） {x | A ( x) }
④ 分界点 ⑤ 模糊单点
隶 1.0 属 函 数 0.5 年龄 45 90
交叉点（ A） {x | A ( x) 0.5}
A ( x) 1 的单点支集
（5）模糊集合的运算
bell( x; a, b, c)
1 1
x c 2b a
a,b,c,的几何意义如图所示。
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
（4）模糊集合的隶属函数相关概念 1）支集 支集( A) {x | A ( x) 0}


分界点
核 截集
支集
②核
A , A或非 A
补（负）
A ( x) 1 A ( x)
基本运算定律： 设A,B,C是论域U上的三个模糊集合，它们的交、 并、补运算有以下定律： 1）恒等律： A A A, A A A 2）交换律: A B B A, A B B A 3）结合律： ( A B) C A ( B C), ( A B) C A ( B C) 4）分配律： A ( B C) ( A B) ( A C), 5）吸收律： ( A B) A A, ( A B) A A 6）同一律： A E E, A E A 7）复原律： A A 8）对偶律：( A B) A B, ( A B) A B
例1：以年龄为论域，取X＝[0,200]，Zadeh给出 “年轻”的模糊集Y，其隶属函数是
1.......... .......... ........ 1 x 25 Y ( x ) x 25 2 1 ] ,.. 25 x 100 [1 5
0 u A
分解定理说明了一个模糊集合可以用无穷多个普 通集合数乘的并来构成，这样可将模糊集合的问题 化为普通集合的问题来分析解决。
扩张原理： 设f是普通集合X到Y的映射，A是X上的模糊集合， 则A在f作用下的像f(A)是Y上的模糊集合，其隶属 度函数规定为： 1 A ( x) , f 1 ( y) x f ( y ) f ( A) ( y ) 0 , f 1 ( y) 若B是Y上的模糊集合，则B在f作用下的原像 f 1 ( B) 是X上的模糊集合，其隶属度函数规定为： f 1 ( B ) ( x) B ( f ( x))
A
u U

u
/ 注意：此处的 ， 不是数学运算符号，仅表示了 对论域中每个元素u都定义了相应的隶属度 函数。
（3）模糊集合的隶属函数 普通集合用特征函数来刻画，模糊集合用隶属函 数作定量描述。特征函数的值域为集合{0，1}，隶属 函数是特征函数的扩展和一般化。
1 正式法定年龄（普通集合） 成年人 （模糊集合） 0 18 X岁（年龄）
Y的图像用隶属函数 uY 表示，如图所示。
uY
1
X 0 25 50 75 100
年龄对“年轻”呈现连续 的变化，Y的外延不分明、模 糊的，这样更符合人的意识。
（2）模糊集合的表示方式 离散论域：U=｛u1，u2,…,un｝,则U上的模糊集合A 可以表示为： 1）向量表示法： A [ A (u1 ), A (u2 ),..., A (un )]
两种函数的关系
I.隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。
目前隶属函数好多没有成熟而有效的方法，一般 根据经营或模糊统计的方法来确定。因而，隶属函数 的确定还不是唯一的，通过对神经网络的训练，直接 自动生成的隶属函数是解决此问题有效方法。 实际控制问题中，经常选用的隶属函数有三角形、 半三角形、梯形、钟形（正态形）、Z形、S形和单点 形（ 函数）等多种
1 (ui , v j ) R rij R (ui , v j ) 0 (ui , v j ) R
例：X=Y=｛1，2，3，4，5，6｝， X Y 中的 X Y 的关系可用以下矩阵表示
0 1 1 R 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0