有限差分法解微分方程两点边值问题
有限差分法
有限差分法科技名词定义中文名称：有限差分法英文名称：finite difference method其他名称：差分法定义：力学中将求解微分方程问题转化为求解差分方程的一种数值解法。
所属学科：水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布目录有限差分法英文主要内容编辑本段有限差分法微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。
有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；3、逼近求解。
换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程（Leon，Lapidus，George F.Pinder，1985）编辑本段英文finite difference method编辑本段主要内容如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。
此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。
对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。
微分方程数值求解——有限差分法
1. 引言有限差分法（Finite Difference Method，FDM）是一种求解微分方程数值解的近似方法，其主要原理是对微分方程中的微分项进行直接差分近似，从而将微分方程转化为代数方程组求解。
有限差分法的原理简单，粗暴有效，最早由远古数学大神欧拉（L. Euler 1707-1783）提出，他在1768年给出了一维问题的差分格式。
1908年，龙格（C. Runge 1856-1927）将差分法扩展到了二维问题【对，就是龙格-库塔法中的那个龙格】。
但是在那个年代，将微分方程的求解转化为大量代数方程组的求解无疑是将一个难题转化为另一个难题，因此并未得到大量的应用。
随着计算机技术的发展，快速准确地求解庞大的代数方程组成为可能，因此逐渐得到大量的应用。
发展至今，有限差分法已成为一个重要的数值求解方法，在工程领域有着广泛的应用背景。
本文将从有限差分法的原理、基本差分公式、误差估计等方面进行概述，给出其基本的应用方法，对于一些深入的问题不做讨论。
2. 有限差分方法概述首先，有限差分法是一种求解微分方程的数值方法，其面对的对象是微分方程，包括常微分方程和偏微分方程。
此外，有限差分法需要对微分进行近似，这里的近似采取的是离散近似，使用某一点周围点的函数值近似表示该点的微分。
下面将对该方法进行概述。
2.1. 有限差分法的基本原理这里我们使用一个简单的例子来简述有限差分法的基本原理，考虑如下常微分方程\begin{cases} u'(x)+c(x)u(x)=f(x), \quad x \in [a, b]; \\u(x=a) = d \end{cases} \tag{1}微分方程与代数方程最大的不同就是其包含微分项，这也是求解微分方程最难处理的地方。
有限差分法的基本原理即使用近似方法处理微分方程中的微分项。
为了得到微分的近似，我们最容易想到的即导数定义u'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\approx \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \tag{2}上式后面的近似表示使用割线斜率近似替代切线斜率，\Delta x 即为步长，如图 1(a)所示。
fdm有限差分法不能求解的方程
有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种常见的数值方法，用于求解偏微分方程。
然而，并非所有的方程都可以通过有限差分法来求解。
本文将讨论有限差分法不能求解的方程，并探讨其原因。
一、有限差分法求解的方程类型有限差分法主要用于求解偏微分方程，尤其是常见的热传导方程、扩散方程和波动方程等。
这些方程通常可以通过有限差分法离散化空间和时间，从而转化为代数方程组，再通过迭代等方法求解。
二、有限差分法不能求解的方程类型然而，并非所有的偏微分方程都适合用有限差分法求解。
以下是一些有限差分法不能求解的方程类型：1. 非线性偏微分方程：有限差分法主要适用于线性偏微分方程，对于非线性偏微分方程，由于其复杂的性质和解的多样性，有限差分法往往难以适用。
2. 高阶偏微分方程：有限差分法通常只适用于一阶和二阶偏微分方程，对于高阶偏微分方程，需要进行更复杂的离散化处理，难以直接通过有限差分法求解。
3. 变系数偏微分方程：对于系数随空间或时间变化的偏微分方程，有限差分法往往难以准确描述其变化规律，因此难以求解。
4. 非线性边值问题：对于带有非线性边值条件的偏微分方程，有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。
三、原因分析有限差分法不能求解某些偏微分方程的原因主要包括以下几点：1. 离散化处理困难：一些复杂的方程很难通过简单的差分离散化处理转化为代数方程组，从而难以应用有限差分法求解。
2. 解的多样性：对于非线性偏微分方程和非线性边值条件，解的多样性导致有限差分法往往无法准确描述其解的特性。
3. 稳定性和收敛性难以保证：对于一些特殊的偏微分方程，由于有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。
四、解决方法针对有限差分法不能求解的方程，可以考虑以下解决方法：1. 使用其他数值方法：对于非线性偏微分方程和高阶偏微分方程，可以考虑使用有限元法、有限体积法等其他数值方法进行求解。
2. 手工推导精确解：对于一些特殊的偏微分方程，可以尝试手工推导其解析解，从而获得准确的解。
两点边值问题的有限元法
两点边值问题的有限元法（原创版）目录1.引言2.两点边值问题的定义和背景3.有限元法的基本原理4.两点边值问题在有限元法中的应用5.结论正文1.引言在数学和工程领域中，两点边值问题是一个广泛研究的问题。
给定一个函数，它在两个边界点上具有已知的函数值，要求找到这个函数。
这类问题在物理、力学、金融等多个领域都有实际应用。
为了解决这类问题，有限元法作为一种数值计算方法，被广泛应用于求解两点边值问题。
2.两点边值问题的定义和背景两点边值问题是指给定一个函数 f(x)，已知它在 x=a 和 x=b 两个边界点上的函数值，即 f(a) 和 f(b)，要求找到满足这两个边界条件的函数 f(x)。
这个问题可以表示为：f(a) = g(a)f(b) = g(b)其中 g(x) 是已知函数。
这个问题的求解在数学和工程领域具有重要意义，因为它可以用于解决许多实际问题，如流体力学、热传导、电磁场等。
3.有限元法的基本原理有限元法是一种数值计算方法，它通过将连续的求解域离散化为有限个单元，然后用基函数的线性组合来表示每个单元内的解。
这种方法可以有效地降低问题的维数，从而简化求解过程。
有限元法的基本步骤包括：建立有限元模型、选择基函数、组装方程、求解方程等。
4.两点边值问题在有限元法中的应用在有限元法中，两点边值问题可以通过以下步骤求解：（1）建立有限元模型：将求解域划分为有限个小区间，每个小区间用一个基函数表示。
（2）选择基函数：在每个小区间内选择一个适当的基函数，如多项式函数、三角函数等。
（3）组装方程：将基函数的线性组合表示的解代入两点边值问题的边界条件，得到一组线性方程。
（4）求解方程：用数值方法求解这组线性方程，得到每个小区间内的解。
（5）组装解：将每个小区间内的解组装起来，得到整个求解域内的解。
通过以上步骤，有限元法可以有效地求解两点边值问题。
这种方法具有较高的灵活性和广泛的适用性，可以应用于各种实际问题。
5.结论本文介绍了两点边值问题的有限元法求解方法。
数学实验“微分方程组边值问题数值算法（打靶法,有限差分法）”实验报告（内含matlab程序）
西京学数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901学号0912020107姓名李亚强微分方程组边值问题数值算法（打靶法，有限差分法）实验课题熟悉微分方程组边值问题数值算法（打靶法，有限差实验目的分法）运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中实验要求一种语言完成微分方程组边值问题数值算法（打靶法，有限差分法）实验内容成绩教师实验二十七实验报告1、实验名称：微分方程组边值问题数值算法（打靶法，有限差分法）。
2、实验目的：进一步熟悉微分方程组边值问题数值算法（打靶法，有限差分法）。
3、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计。
4、实验原理：1．打靶法：对于线性边值问题(1)⎩⎨⎧==∈=+'+''βα)(,)(],[)()()(b y a y b a x x f y x q y x p y 假设是一个微分算子使：L ()()Ly y p x y q x y '''=++则可得到两个微分方程：，，)(1x f Ly =α=)(1a y 0)(1='a y ，， (2)⇔)()()(111x f y x q y x p y =+'+''α=)(1a y 0)(1='a y ，，02=Ly 0)(2=a y 1)(2='a y ，， (3)⇔0)()(222=+'+''y x q y x p y 0)(2=a y 1)(2='a y 方程（2），（3）是两个二阶初值问题.假设是问题1y（2）的解，是问题（3）的解，且，则线性边值问2y 2()0y b ≠题（1）的解为: 。
1122()()()()()y b y x y x y x y b β-=+2．有限差分法：基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似， 积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组 ， 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
有限差分法
有限差分法有限差分法finite difference method微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。
此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。
对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。
另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。
此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。
因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。
前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。
只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。
关于差分格式的构造一般有以下3种方法。
最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。
另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。
此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。
偏微分方程数值解大作业 有限差分方法
偏微分方程数值解 第一次大作业0 问题重述求解边值问题：2()2(sin cos cos sin ),(,)(0,1)(0,1)0,(,)x y u e x y x y x y G u x y Gππππππ+∆=+∈=⨯=∈∂其精确解为()(x,y)sin sin x y u e x y πππ+=+——分别取步长h=1/64,1/128，做五点差分格式，用雅可比方法，高斯赛德尔方法和共轭梯度法解差分方程，并比较精度与迭代步数1 方程的导出设在x ，y 方向均取N 个网格，步长h=1/N 。
对拉普拉斯算子中的二阶导数项用二阶中心差商代替，离散化后得到逼近该问题的差分方程：21,,11,,1,,,1(),,1,2,...,1440,,0 ,i j i j i j i j i j i j i j h u u u u u f i j N u i j or i j N--+++++-==-=== 其中：2(),2(sin cos cos sin )ih jh i j f eih jh ih jh ππππππ+=+这样，便得到了相应的差分方程，理论上已经可以通过求解线性方程组进行解的数值逼近2 代数方程组的构建问题已经转化为构建并求解如上所示的（N-1）X （N-1）维的线性方程组。
这里我们首先将空间网格点,i j u 拉成向量11121121(1)11(,,...,,,....,,...,)T N N i j N N u u u u u u u --+--=其系数矩阵也会发生相应的变化。
为了更方便得构建出系数矩阵，这里先引入边界点，即引入0001010,1112121(1)(,,...,,,,...,,,....,,...,)T N N N i j NN u u u u u u u u u u u ++=初始化矩阵A 为（N+1）阶零方阵。
对i ，j=1,2，…，N-1进行赋值：A((i0-1)(N+1)+j0,(i0-1)(N+1)+j0)=-1;A((i0-1)(N+1)+j0,(i0-1-1)(N+1)+j0)=1/4;A((i0-1)(N+1)+j0,(i0-1)(N+1)+j0-1)=1/4;A((i0-1)(N+1)+j0,(i0+1-1)(N+1)+j0)=1/4;A((i0-1)(N+1)+j0,(i0-1)(N+1)+j0+1)=1/4;由于边界条件中函数在边界点的取值是0，上述操作相当于在网格内点运算的同时考虑到了边界条件。
偏微分方程的有限差分方法
二阶线性偏微分方程的一般形式为：
A 2 u B 2 u C 2 u D u E u F G u 0 x 1 2 x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 2
对于变量 x1 和 x 2 给定的值 xˆ1 和 xˆ 2 若 4 A (x ˆ 1 ,x ˆ 2 ) C (x ˆ 1 ,x ˆ 2 ) B 2 (x ˆ 1 ,x ˆ 2 )
这里，[ u ] ij 表示 u(xi, yj )。上两式分别简记为
x p u x ijh 1 1 2x(pijx[u]i)jO (h1 2)
yp u yijh 12 2y(pij y[u]ij)O (h2 2)
则 L u x p u x y p u y q u f (x ,y ) 在 (i, j) 点被表示为
余弦是 (co,scos)。
由
u nij
u xijc
os u yijc
os
用单侧差商逼近 x方向和 y方向的导数，然后列
出边界网点上的差分方程。
（2）邻近边界的网格点 (xi , yj ) 不在上 可以采用直接转移法近似处理，即将边界
条件用于邻近边界的网格点，然后再在该点列 出差分方程。
2 用积分插值法构造差分格式 3 差分格式的稳定性和收敛性 4 差分方程求解的一些方法
— 数值积分 有限元法
— 函数插值
不同的数值微分和数值积分方法、不同的函数插值方 法，就产生了不同的有限差分法与不同的有限元法。
其它数学基础：
数理方程、数值代数、最优化理论与方法等
偏微分方程的有限差分方法
基本思想：使用离散的、只含有限个未知 数的差分方程去近似代替连续变量的微分方程 及边值条件，并将相应的差分方程解作为(初)边 值问题的近似解。
第二章 有限差分法
xr
(u x ) r =
ur +1 − u r −1 2h
xr
h % % − 2 u xx x = x = o(h) , (xr < x < xr + h) h % Er = u xx x = x = o(h) , (xr − h < x < xr ) % 2 h2 % − u xxx x = x = o(h 2 ) , (xr −1 < x < xr +1 ) % 6
第二章 有限差分法
不同算子间关系
∆ur = ur +1 − ur = Eur − ur = ( E − 1)ur
∆ = E −1
∇ur = ur − ur −1 = ur − E ur = (1 − E )ur
−1
−1
∇ = 1 − E −1
µ (δ ur ) =
δ ur +1/2 +δ ur −1/2
xr
xr
+L
ux r
ur +1 − ur −1 h2 = - uxxx r +L 2h 3!
第二章 有限差分法
不同形式一阶导数差分公式及其截断误差
ux ux = (u x ) r ≈ = (u x ) r ≈ u ( xr + h) − u ( xr ) u r +1 − ur = h h u ( xr ) − u ( xr − h) ur − ur −1 = h h
xr
h2 + u xx 2!
−L
xr
h3 − u xxx 3!
xr
+L
ux
xr
ux
xr
两点边值微分方程的有限元分析
三、实验原理、方法（算法）、步骤
实验一：
将方程化为标准形式：
d dx
u(a)
( p(x)
,
du ) dx
q( x)u
du dx
f ( x),
a x b,
(2) (3)
p(b)u
'(b)
u(b)
,
(4)
其中
p(x) 1,q(x) 1,f(x) sin(2 x),g(x) 1
a 0,b 1, 1, 0, 2 1 4 2
用心整理的精品 word 文档，下载即可编辑！！
数学与统计学院制
开课学院、实验室：
实验时间 ： 2014 年 6 月 30 日
实验项 目
名称 指导教
师
偏微分方程期末课程设计 成绩
实验项目类型
验证 演示 综合 设计 其他
一． 实验目的
自学，掌握有限元分析的基本理论，并运用有限元分析的方法求解第二章的两 点边值问题，做出数值解，体会有限元和差分方法的不同之处。
(2) x = 1:
, for j = 1,..., M,
(3) y = 0:
, for i = 1,..., N,
(4) y = 1:
xi 1 )
sin(
xi1)cos(
xi1)
si
F (n ) -
xn sin(2
xn1
x)(x h
xn1
)dx
1
2 4
2
=
-2xn1cos(2
xn
)
+2cos(2
xn
) xn 4
+2sin( h2
xn1)cos(
xn1)-sin(2
两点边值问题的三类边值条件的有限元解法实现
两点边值问题的三类边值条件的有限元解法实现作者：卢仁洋于陆洋江山来源：《高教学刊》2018年第05期摘要：文章研究二阶微分方程的两点边值问题，使用有限元方法对三类不同的边值条件具体进行讨论和处理。
对于可齐次化的Dirichlet、Neumann边值，给出相应分析以简化和规范计算步骤。
对于Robin边值，基于之前的分析给出实现技巧以达到有效的数值模拟。
关键词：有限元方法；Dirichlet边值；Neumann边值；Robin边值中图分类号：O172 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）05-0058-03Abstract： A two-point boundary value problem of the second-order ordinary differential equation is studied in this paper， and a finite element method is used to deal with three kinds of boundary conditions in detail. The corresponding analysis is provided to simplify and standardize the steps for the homogeneous Dirichlet， Neumann boundary values. For the Robin boundary value，we utilize the previous analyses to present a specific strategy for a good performance in numerical simulations.Keywords： finite element method； Dirichlet boundary； Neumann boundary； Robin boundary一、本文模型及介绍二阶微分方程的两点边值问题是科学工程计算中的经典问题，也是微分数值解法的必要基础[1，2]。
微分方程的边值问题【最新】
微分方程边值问题的数值方法本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。
二阶常微分方程为(,,),y f x y y a x b '''=≤≤(1.1)当(,,)f x y y '关于,y y '为线性时，即(,,)()()()f x y y p x y q x y r x ''=++，此时(1.1)变成线性微分方程()()(),y p x y q x y r x a x b '''--=≤≤(1.2)对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类： 第一类边界条件为(),()y a y b αβ==(1.3)当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。
第二类边界条件为(),()y a y b αβ''==(1.4)当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。
第三类边界条件为0101()(),()()y a y a y b y b ααββ''-=+=(1.5)其中00000,0,0αβαβ≥≥+>，当10α=或者10β=称为齐次的，否则称为非齐次的。
微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。
1 打靶法介绍下面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。
【原理】假定()y a t '=，这里t 为解()y x 在x a =处的斜率，于是初值问题为(,,)()()y f x y y y a y a t α'''=⎧⎪=⎨⎪'=⎩(1.6)令z y '=，上述二阶方程转化为一阶方程组(,,)()()y zz f x y z y a z a tα'=⎧⎪'=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (1.7)原问题转化为求合适的t ，使上述初值问题的解(,)y x t 在x b =的值满足右端边界条件(,)y b t β=(1.8)这样初值问题(1.7)的解(,)y x t 就是边值问题(1.1)、(1.3)的解。
有限差分方法
有限差分方法有限差分方法一种求偏微分(或常微分)方程和方程组定解问题的数值解的方法，简称差分方法。
微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。
在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。
如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。
不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。
与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。
同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。
所以要采用可行的数值解法。
有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性)，等等。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
偏微分方程初值问题的差分法许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。
描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质：若初始时刻t=t0的解已给定,则t t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。
利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。
双曲型方程的差分方法最简单的双曲型方程的初值问题是：式中嫓(x)为已知初值函数。
这初值问题的解是：u(x,t)=嫓(x-at)。
(2)由(2)可见，(1a)(1b)的解(2)当a>0时代表一个以有限的速度a沿特征线x-at=常数向右传播的波,而解u(x,t)在P(慜,惭)点的值完全由嫓(x)在x轴上的点A(慜-а惭,0)的值决定。
A点就是双曲型方程(1a)在P点的依赖域(图1)。
第5章两点边值问题求解方法介绍
x a, b
y1 y2 z , z 2 其中： 1
解得： y1 ( x; ), y2 ( x; ), z1 ( x; ), z2 ( x; ) 得到的终端值和对α的偏导数： y1 y1 (b; ), (b; )
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 12
y1 y
( x ) y2 ( x ) y1
y2 (a) 初值问题的解为： y1 ( x; ), y2 ( x; ) y1 (b; ) B 找到α满足： y1 (a) A,
2018/10/14 航空航天中的计算方法
如何求α？
Page 6
5.2 打靶法 打靶法的几何解释：
如果边值条件形式可写为： gL ( y(a)) 0, gR ( y(a)) 0
其中gL和gR的维数之和等于m，则边界条件为分离的。
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 5
5.2 打靶法 5.2 打靶法 以二阶系统为例，考虑边值问题： y( x ) f ( x, y( x), y( x)), x a, b
迭代求解公式： m 1 m B y1 (b; m )
结束条件：
2018/10/14
y1 (b; m )
y1 (b; ) ?
Page 10
1 y1 (b;m1 ) B
航空航天中的计算方法
5.2 打靶法 差分法求偏导数
y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) y1 (b; 0 ) 1 0
线性近似：按割线求根
2018/10/14 航空航天中的计算方法 Page 9
5.2 打靶法 5.1.2 牛顿法 求解非线性方程（组）： y1 (b; ) B 在已知初值α0的处Taylor展开： y1 2 y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) (b; 0 ) 1 0 O 1 0 B y1 B y ( b ; ) (b; 0 ) 线性近似： 1 0 1 0
第5章---两点边值问题求解方式
i 1, 2, , N 1
y0 A, yN B
yi1 yi1 2 yi h2
2
xi
yi1 yi1 2h
2 xi2
yi
sin(ln xi2
xi
)
y0 1, yN 2
xi 1 ih, i 1, 2, , N 1
2019/11/19
2019/11/19
航空航天中的计算方法
Page 5
5.2 打靶法
5.2 打靶法 以二阶系统为例，考虑边值问题：
y(x) f (x, y(x), y(x)), x a,b
y(a) A,
变换：
y1 y
y2 y 考虑初值问题：
y(b) B
y1(x) y2 (x)
微分方程 y(x) f (x, y(x), y(x)), x a,b
y(a) A, y(b) B
离散化，将区间 xa,b 等分为N个子区间：
h ba, N
xi a ih,
i 0,1, 2,
,N
在节点上应用中心差分公式，得到代数方程组：
yi1
yi1 2 yi h2
h ba, N
xi a ih,
i 0,1, 2,
,N
将 y(x)在xi处Taylor展开：
y( x)
y( xi )
y( xi ) x
xi
1 2
y( xi ) x
xi
2
1 3!
y( xi ) x
xi
3
2019/11/19
航空航天中的计算方法
第5讲-边值问题+第6讲-有限差分法
ρ 2 x + Bx + C 2ε 0
ϕ (d ) = U
dϕ ρ =− x+B dx ε0 ρ 2 ⎛U ρ ⎞ x +⎜ ϕ =− ⎜ d + 2ε d ⎟ ⎟x 2ε 0 0 ⎝ ⎠
Ex = − dϕ ρ ρ U = x− − d dx ε 0 d 2ε 0
21
ϕ 2 = −C3 ln ρ + C4
ϕ1 −ϕ2 = 0
D1n = ε 1 E1n = − ε 1 ∂ϕ1 ∂n
在介质分界面上，电 位是连续的
∂ϕ 2 ∂n
D 2 n = ε 2 E 2 n = −ε 2
ε1
∂ϕ1 ∂ϕ 2 −ε2 =σ ∂n ∂n
注意：σ 是自由电荷密度，电 位的导数是不连续的
15
16
反设满足场的解答有两个相异的解答ϕ1和 ϕ2，则差
dn
S
∫ (∇u) dV = 0 ⇒ ∇u = 0 ⇒ ∇(ϕ −ϕ ) = 0 ⇒ ϕ −ϕ
1 2 1
2
= Const
即ϕ1和 ϕ2 相差一个常数，但这不影响电场强度值 （电场强度是电位函数的负梯度）。
dn
结论 结论：规定了第一或者第二类边界条件的泊 ：规定了第一或者第二类边界条件的泊 松方程，其解答（电位函数）相等或者相差 松方程，其解答（电位函数）相等或者相差 一个常数，此时由该电位函数可确定相同的 一个常数，此时由该电位函数可确定相同的 电场强度，此为唯一性定理的物理含意。 电场强度，此为唯一性定理的物理含意。
场u= ϕ1− ϕ2 满足拉普拉斯方程
∇ 2 u = ∇ 2ϕ1 − ∇ 2ϕ 2 = −
对差场u，无穷远S0处电位为零，因此
ρ ρ + =0 ε ε
两点边值微分方程的有限元分析
两点边值微分方程的有限元分析(总13页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-重庆大学学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解期末课程设计开课实验室偏微分方程数值解学院数统学院年级 2011 专业班学生姓名学号开课时间 2013 至 2014 学年第 2 学期数学与统计学院制开课学院、实验室： 实验时间 ： 2014 年 6 月 30 日实验项目 名 称 偏微分方程期末课程设计实验项目类型验证 演示 综合 设计 其他指导教师成 绩一． 实验目的自学，掌握有限元分析的基本理论，并运用有限元分析的方法求解第二章的两点边值问题，做出数值解，体会有限元和差分方法的不同之处。
掌握平面上拉普拉斯方程的五点差分方法，体会与一般一维问题的不同，特别注意边界条件的处理。
学会处理大型方程组数值解的压缩存储方法。
二． 实验内容实验一：考虑两点边值问题： sin(2) for 01y y x x π''-=-<< (1)边界条件为：(0)0(1)0y y =⎧⎨=⎩真解：2sin(2x)14y ππ=+ 运用有限元的方法求解该方程的数值解，并和真解比较。
实验二：用五点差分格式近似Laplacian 方程：∂∂+=∂∂22220u ux xfor (x,y)D ∈ 正方形区域D 和边间条件如下：()sin(5x)g x π=要求：寻找一种数值算法，尽可能的让迭代步长变小即尽可能的让网格数N 变大。
三、实验原理、方法（算法）、步骤实验一：将方程化为标准形式：(())()(),, (2)(), (3)()'()(), (4)d du dup x q x u f x a x b dx dx dxu ap b u b u bασβ⎧-++=<<⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩其中(x)1,q(x)1,f(x)sin(2x),g(x)1pπ=-=-=-=220,1,1,0,14a bπσαβπ=====-+为常数第一步：考虑从Galerkin法出发建立有限元方程。
两点边值问题的有限差分法
盛年不重来，一日难再晨。
及时宜自勉，岁月不待人盛年不重来，一日难再晨。
及时宜自勉，岁月不待人盛年不重来，一日难再晨。
及时宜自勉，岁月不待人学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解 _________________开课实验室___________ 数统学院 ____________________学院数统年级2013专业班信计2班学生姓名_________ 学号________开课时间2015至2016学年第2 学期数学与统计学院制.实验内容考虑如下的初值问题:定常数。
部分。
0, b 1 , p 3,r 1,q 2 ,0 ,1,问题(1)的精确解 uxx 2e x 1 ,及p 1,r 2,q 3带入方程（1）可得f x 。
分别取并能通过计算机语言编程实现。
.实验目的通过该实验，要求学生掌握求解两点问题的有限差分法, 开课学院、实验室： 数统学院实验时间：2016年 月 日Lud du x —p x ------------ dx dxdu xdx qf x , x a, b (1)其中 p x C 1 a,b ,x ,q a,bP min 0 , q x 0 ,,是给将区间N 等分, 网点x1.在第三部分写出问题（1)和 （2）的差分格式，并给出该格式的局部截断2.根据你写出的差分格式, 编写一个有限差分法程序。
将所写程序放到第四3.给定参数a 其中将u xN 10,20,40,80,160 ,用所编写的程序计算问题 (1)和⑵。
将数值解记为5 ,i 1,...,N 1，网点处精确解记为i1,…,N 1。
然后计算相应的误差1 lN/I 2 Nilh u i U i 2及收敛阶n e： e 11，将计算结果填入 I iIn 2第五部分的表格，并对表格中的结果进行解释？4.将数值解和精确解画图显示，每种网格上的解画在一张图。
三•实验原理、方法(算法)、步骤1. 差分格式：L L .i=-1/h A 2O|](% 曲汀—):i.「)/2h+w =応=A,匕2. 局部阶段误差：n (u)=O(hA2)3. 程序clear all N=10; a=0;b=1;P=@(x) 1; r=@(x) 2; q=@(x) 3; aIpha=0;beta=1;f=@(x) (4*xA2-2)*exp(x-1);h=(b-a)/N;H=zeros(N-1,N-1);g=zeros(N-1,1);%for i=1H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);max u i c 0 i Nii U iNeH(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h))*alpha;endfor i=2:N-2H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1 /2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));g(i)=2*h*f(a+i*h);endfor i=N-1H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1 /2)*h))/h+2*h*q(a+i*h); g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i+1 /2)*h)/h-r(a+i*h))*beta; endu=H\g;u=[alpha;u;beta];x=a:h:b;y=(x.A2).*exp(x-1);plot(x,u);hold onplot(x,y);y=y'z=y-u四•实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件Matlab五•实验结果及实例分析N越大只会使绝对误差变小，方法没变，所以收敛阶一致。