报童问题模型 PPT
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报童问题的推广与应用： 多产品报童问题； 考虑风险偏好的报童问题； 基于需求预测的报童问题； 考虑采购提前期的报童问题；
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Product Availability: Tradeoffs
High availability =>
responsive to customers attract increased sales higher revenue
523.40
0.18
535.80
0.08
541.60
0.04
541.40
0.02
538.80
0.01
535.00
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Newsvendor : Marginal Analysis
Stock one unit if …
Stock 2 units (instead of 1 unit) if ...
– Continuously stocked items – Demand during stockout is backlogged – Demand during stockout is lost
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Example: Selling parkas at LL Bean
0.99 0.97 0.93 0.85 0.76 0.65 0.49 0.29 0.18 0.08 0.04 0.02 0.01 0.00
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LLBean: Expected Profit
第八章 库存管理与报童模型 《运营管理》PPT课件
的
分
类
按库存物料在经营过程中所起的作用
销售库存 生产库存
周转库存 安全库存 运输库存
按库存物料的需求特性
独立需求库存 非独立性需求库存
独立性需求与非独立性需求库存
独立性需求
A
非独立性需求
B(4)
C(2)
D(2)
E(1) D(3)
F(2)
Independent demand is uncertain. 独立性需求有不确定性 Dependent demand is certain. 非独立性需求是确定的
库存占用了资金； 库存掩盖了存在的问题； 降低成本的要求； 技术提供了能密切监控库
存水平的能力； 管理库存手段的发展；
问题：便利店是如何管理库存的？
目标是什么？ 如何控制库存？
独立性需求库存的控制目标
服务水平 库存成本
库存系统做什么？
库存系统：关于库存水平监控、 维持库存的决策、何时决定补 货以及订购多少等问题的一套 政策和控制方法。
类别
物资编号
年耗用金额/$
A
22,68
170 000
B
27,03,82
53 000
C
54,36,19,23,41
10 450
233 450
占全部金额的比重
72.9% 22.7 4.4 100.0%
怎样进行分类管理
A类物资应尽可能从严控制，包括应有完整、精确的纪录，最高 的作业优先权，管理人员经常检查，小心精确地确定订货量和 订货点等，对来料期限、库存盘点、领发料等要严格要求。
然后按照规则进行分类。
物资编号
22 68 27 03 82 54 36 19 23 41
报童问题
strategy1收益期望值损失期望值报纸订购量
42083.6 5.76420
44086.28 5.72440
460888.56460
48088.5614.88480
收益最大值88.5614.88480
均值85.2888.696
strategy2损失期望值收益期望值报纸订购量
5.728
6.28440
5.7683.6420
8.5680400
8.5688460
14.8888.56480
损失最小值 5.7286.28440
分析:1.当采用获取最大收益为目标的决策方案时,就会得到报纸预订购量应为480,但此时损失期望值达到.当采用获取最小损失值为目标的决策方案时,就会得到报纸预订购量应为440,此时虽然收益只有86.28,但
所有收益期望值得均值,且其损失期望值为最小.综合考虑,这是既赚钱又少赔的最佳选
值达到最大.不是最佳选择.28,但此时期望收益值高于最佳选择.。
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3
这就产生一个问题：订货量过多，出现过剩，会造成损失； 订货量少，又可能会失去销售机会，影响利润，那么应该如何确 定订货策略呢？将这一现象具体到报童销售报纸上，就引发了报 童问题：
报童问题：
报童每天需订购多少份报纸？
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4
问 报童售报：(零售价) a > (购进价) b > (退回价) c 题 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
报童问题模型
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1
1、报童问题的提出 2、报童问题所属范畴 3、报童模型的建立与求解 4、报童模型的推广与应用
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2
1、报童问题的提出
在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保 存等特点的物品，如海产、山货、时装、生鲜食品和报纸等，当 商店购进这些商品时，买的数量越多，价格越便宜获利越大。但 买得太多也可能卖不出去，需要削价处理，人力物力都受损；如 果进货太少，又可能发生缺货现象，失去销售机会而减少利润。
每天购进多少份使收入最大？
分 购进太多卖不完退回赔钱 析 购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合适的 购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入
等于每天收入的期望
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5
2、报童问题所属范畴
单周期随机型存贮模型
这种单周期购入—售出（报纸、日历、杂志，各种季节性货物、时 装），并且超出该购入—售出周期商品就会严重贬值的存贮问题，存 贮论中统称为卖报童问题。 这类问题的库存控制策略是以利润期望最大为目标，确定一次购入的 经济订货批量。
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4、报童问题的推广与应用
报童卖报问题（第16组）
报童卖报问题（第16组）报童销售策略问题模型摘要：报童卖报问题实际上是求解使得报童赢利取得最大期望值或报童损失的最小期望值的临界值，本文对报童卖报获得最大盈利的条件进行了研究，建立日期望收入以及日均损失模型，当日需求量r 为离散型和连续型时分别进行了计算，得出无论以收入或者损失作为模型，报童的最佳销售策略都是相同的，即保证每天批发的报纸卖不完的概率与卖完的概率之比正好等于他卖出一份赚的钱与退回一份赔的钱之比。
另外本文还沿用此模型对当上下午报纸售价不同的两种情况进行了分析，得到了结论。
关键字：报童报纸期望收入问题的提出：在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保存等特点的物品，如海产、山货、时装、生鲜食品和报纸等，因此在整个的需求过程中只考虑一次进货，也就是说当存货售完时，并不发生补充进货的问题。
这就产生一种两难局面：订货量过多，出现过剩，会造成损失；订货量少，又可能失去销售机会，影响利润。
报童就面临这种局面，报童每天早上从报社购进报纸在街上零售，到晚上卖不完的报纸可退回报社，每份要赔钱，那么报童每天要订购多少份报纸，以获得最大的收入。
报童每天从报站批发报纸零售，晚上将没有卖完的报纸送回。
每份报纸的批发价为b ，零售价为a ，退回价为c ，且a >b >c 。
因此，报童每售出一份报纸赚钱(a ? b)，退回一份报纸赔(b ? c)，报童该如何确定每天的批发数量，可使收入最大？。
如果将每天分为上午和下午售报，且假定上午的需求量为111()R f r ，且上午的售价为a ；下午的需求量为222()R f r 且下午的售价为d （12R R 和是相互独立的）进一步假定a b d c >>>，试将报童的收入的期望表达出来。
是否能得到报童应该购进多少份报纸获利最大？模型假设：（1）假设报童卖报的经验丰富，能够掌握每天报纸需求量为r 的大致概率。
（2）不考虑有重大事件发生时卖报的高峰期，也不考虑风雨天气时卖报的低谷期。
报童数学建模
报童数学建模 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】报童诀窍一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。
即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。
报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。
试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。
二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。
假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。
三、模型建立：假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n,，所以报童每天的收入也是随机的。
那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。
从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。
记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。
需求量为r 的概率是f(r),则问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。
四、模型求解：购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)计算令0=dn dG 得dn dG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n ⎰⎰∞-+---=02 得到()()c b b a dr r p dr r p n n--=⎰⎰∞0 n 应满足上式。
()10=⎰∞dr r p 使报童日平均收入达到最大的购进量为()ca b a dr r p n --=⎰0 根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n 在图中用p1,p2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则cb b a P P --=21 O nr因为当购进n 份报纸时，()dr r p P n ⎰=01是需求量r 不超过n 的概率； ()dr r p P n ⎰∞=2是需求量r 超过n 的概率，既卖完的概率，所以上式表明，购进的份数n 应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔的钱b-c 之比。
报童问题模型
§ 2报童问题模型［问题的提出］报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.设报纸每份的购进价为b,零售价为a，退回价为c,应该自然地假设为a>b>c.这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c •报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱•请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入.［问题的分析及假设］众所周知，应该根据需求量确定购进量•需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r 0,1,2, ) •有了f(r)和a , b, c, 就可以建立关于购进量的优化模型了.假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n,等于n或大于n,致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入.从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入.［模型的建立及求解］记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r < n,则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n ,则n份将全部售出.考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以问题归结为在f (r) , a, b, c已知时，求n使G(n)最大.通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f (r)转化为概率密度函数p(r), (1)式变成计算第163页^ = (a-b)npM-f <b-c)p(r)dr—(a -6) + (a - b) p( r)dr J H令dG 0.得到 dnI p{r)dr Joa-bI />(r Jdr 由 C J n使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式.因为° p(r)dr 1，所以(3)式又可表为 />(r)dr - a - a c 根据需求量的概率密度 p(r)的图形很容易从(3)式确定购进量 n .在图2中用R , P 2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则(3)式可记作Pi _ a ~ b P tb - cn 因为当购进n 份报纸时，p 1 o p(r )dr 是需求量r 不超过 n 的概率，即卖不完的概率：P 2p(r)dr 是需求量r 超过n 的概率，即卖完n 的概率，所以(3)式表明，购进的份数 应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔 b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱 之比越大时，报童购进的份数就应该越多第164页=-(b - c) />( r)dr +J 0 (4)。
应对不确定需求：报童模型
考虑一下 …
尽管借着电影”玩具总动员” 尽管借着电影”玩具总动员”的热潮生产了 50百万的玩具 Burger King 还是经历了 百万的玩具, 百万的玩具 大面积的缺货. 大面积的缺货 在一年内 IBM由于 由于ThinkPad笔记本缺货 笔记本缺货 由于 百万. 预期损失达到 100百万 百万 2001年许多科技公司 (如., Palm, 年许多科技公司 如 Cisco) 由于库存问题产生了重大的削减 由于库存问题产生了重大的削减. Kmart 和 Sears 在边缘挣扎而 WalMart 的业绩仍然引人注目 的业绩仍然引人注目..
报童模型适用性很广，其本质是必须在随机 事件发生之前作出决策。最后在随机事件发 生后你才能了解你是订购太多（需求小于订 购量）还是订购太少（需求大于订购量）。 IMB损失1亿美元的案例.
考虑一下 …
图书零售商将 30%的精装新书返还给出版 的精装新书返还给出版 商. 航空公司的上座率为72.4%, 而 70.4% 航空公司的上座率为 的上座率才可以达到收支平衡. 的上座率才可以达到收支平衡 在新车市场上,有53%的消费者对至少一项 在新车市场上 有 的消费者对至少一项 主要产品特性不满意. 主要产品特性不满意
9.0
25000
8.0 20000
7.0
6.0 15000 5.0 Turns 销售 (百万美元) BBY turns CC turns BBY Sales CC Sales
4.0 10000 3.0
2.0
5000
1.0
0.0 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001
概率
日产出量 (千桶))
英国石油的投资方案
两个方案:
第八章(下)-报童模型《运营管理》ppt课件
超额预售问题பைடு நூலகம்解法
设 X 为超额预售的机票数，设 Y 为有票没来的人数。
X > Y 就意味着超额预售的机票数超过了有票没来的人数。 再多售一张机票就要蒙受400美元的损失， co = $.
X < Y 则意味着超额预订的数量小于没有登机的人数，预订 数量减少一个就蒙受100美元的损失， cu = $100.。
– P{Y>X*} 表示需求Y大于X*的概率。
– P{Y<X*} 表示需求Y小于X*的概率。
– CuP{Y>X*} – CoP{Y<X*}
第X*件产品售出时所带来的收益； 第X*件产品未售出时所带来的损失。
Y小于X*的概率
X的分布 0
X 安全库存 z
公式推导过程
Cu P Y X * CO P Y X * CO 1 P Y X *
晚到一分钟）。 • 都需要测算 Y 的概率分布。
• 缺货成本= Cu = 单位销售额-单位成本 • 过量成本 ＝Co ＝原始单位成本-单位残值
• X* 会随着 cu 增加而增加。 • X* 会随着 co 增加而减少。
报童问题推导过程
推导原理
• 销售最后一件所得的收益大于或等于最后一件未被售出时 所带来的损失。（边际收益接近边际损失）
Y小于X*的概率
X的分布 0
X 安全库存 z
超额预售机票问题的解
• 一家航空公司发现，一趟航班的持有机票而 未登机（“不露面”）的人数具有平均值为 20人、标准偏差为10人的正态分布。根据这 家航空公司的测算，每一个空座位的机会成 本为100美元。乘客确认票后但因满座不能 登机有关的罚款费用估计为400美元。该航 空公司想限制该航班的“超额预订”。飞机 上共有150个座位。确认预订的截止上限应 当是多少？
报童模型
某批发商准备订购一批圣诞树供圣诞节期间销售。
该批发商对包括订货费在内的每棵圣诞树要支付$2,树的售价为$6。
未售出的树只能按$1出售。
如果他知道节日期间圣诞树需求量的概率分布，问该批发商应该订购多少树？一名报童以每份元的价格从发行人那里订购报纸，然后以元的价格售出。
但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而根据以前的经验，他知道需求量具有均值为50份、标准差为12份的正态分布。
那么，他应当订购多少份报纸呢？假定报童已53份报纸，而另一报贩愿以每份元买入，有多少买多少。
那么，报童应当卖给该报贩多少份报纸呢？基本思路：单周期库存问题决策侧重于定货批量，没有订货时间决策问题；订货量等于需求预测量；库存控制的关键：确定或估计需求量；预测误差的存在导致二种损失（成本）：欠储（机会）成本：需求量大于订货量导致缺货而造成的损失；超储（陈旧）成本：需求量小于订货量导致超储而造成的损失；机会成本或超储成本对最佳订货量的确定起决定性的作用。
（1）期望损失最小法比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。
已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件则：单件机会成本：Cu=P – C单件超储成本：Co=C-S当订货量为Q时，期望损失为：式中P(d)为实际需求量为d时的概率某商店挂历需求的分布率：已知，进价为C=50元/每份，售价P=80元/每份。
降价处理S=30元/每份。
求该商店应该进多少挂历为好。
（2）期望利润最大法比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量作为最佳订货量。
已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件则：单件收益：Cu=P - C单件超储成本：Co=C-S当订货量为Q时，期望利润为：式中P(d)为实际需求量为d时的概率某商店挂历需求的分布率：（3）边际分析法考虑：如果增加一个产品订货能使期望收益大于期望成本，那么就应该在原订货量的基础上追加一个产品的订货。
演示课件报童模型.ppt
7
某商家经营某种商品，零售价a元，购进价b元，退回价 c元，而一个经营周期的销售量 r 是一个离散型随机变量， 其分布列为 P(r k) pk ，试确定商家的最佳订货量。
分析与求解：设每次订购n件，其获得利润的期望为E(n)， 若他多订购一件商品，则这件商品能卖出去的概率为
P(r n 1) ，卖不出去的概率为P(r n) ，而商家每天获利 的利润函数为
Z
aX
c(n
X ) bn
X n且X Y n X n且X Y n
an bn
X n
现在只需要弄清楚销售量X（随机变量）和打折销售
量Y （随机变量）的联合概率密度就可以进行处理。
以上是采用连续型随机变量方式进行处理的，但有时在离散 随机变量下该如何处理呢？ 此时要用边际分析法处理。
.精品课件.
k 0
k n1
n 1
E(n) E(n 1) (a b) pk (b c) pk 0
k n
k 0
n
若记 qn P(r n) pk , 则1 qn
pk ；
k 0
k n1
所以
n1
qn1 P(r n 1) pk , 而1 qn1 pk
k 0
k n
E(n) E(n 1) (b c)qn (a b)(1 qn ) 0
分析：若订购量n件，则当
1、销售量 X n 时，正规售出X份，余下n-X份， ①打折售出量 Y n X时，售出Y份，退回n-X-Y份； ②打折售出量 Y n X时，售出n-X份，没有退回。
2、销售量X n时，正规售出n份，没有剩余衣服。
.精品课件.
6
则利润随机变量为
aX cY b( X Y ) (b d )(n X Y )
报童模型(精品资料)PPT
0.56
-128
1.19
227
0.67
133
0.82
288
0.72
-492
1.46
499
0.59
-396
1.30
-342
1.23
-1314
1.60
1995
0.37
521
0.86
2817
0.57
概率
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75
在标准正态分布函数表中查找正态标准值小于等于Z的概率.
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应用历史A/F 比率选取需求预测的正态分布函数
▪ 从预测,猜测等得出初始预测值. ▪ 欧耐尔 Hammer 3/2 的初始预测值为 3200 套. ▪ 计算历史数据的 A/F 比率:
A/F 比率
实际需求 预测
▪ 确定正态标准分布的均值:
680
EPIC 2MM S/S FULL
740
EPIC 4/3
1020
WMS EPIC 4/3
1060
JR HAMMER 3/2
1220
HAMMER 3/2
1300
HAMMER S/S FULL
1490
EPIC 3/2
2190
ZEN 3/2
3190
ZEN-ZIP 4/3
3810
WMS HAMMER 3/2 FULL
误差A*/F 比率**
-50
1.56
37
0.69
-3
1.02
7
0.96
数学建模报童决策
• 确定型 • 随机型（连续型，离散型）
检验
• 已知每100份全部卖出可获利7元，退回 （或削价处理）赔4元，
需求量r （百份） 0
0.05
1
0.1
2
0.25
3
0.35
4
0.一煤炭供应部门煤的进价为65元/吨，零 售价70元/吨，若当年卖不出去，则第二 年削价20%处理掉，如供应短缺，有关 部门每吨罚款10元，已知顾客对煤炭年 需求量服从[20000,80000]的均匀分布。 求该部门一年煤炭最优存储策略。
报童决策
报童每天清晨从报社购进报纸 零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。 请你为报童筹划一下，他应如何确 定购进报纸的数量，以获得最大的 收入。
假设
• 设报纸每份的购进价为b，零售价为a， 退回价为c，那么a>b>c的假设是合乎实 际的。 • 记报童每天购进n份报纸时的收入为 G(n)，需求量为 r
建模
报童问题
报童问题：报童每日售报数量是一个随机变量。
报童每售出一份报纸赚k 元。
如报纸未能售出，每份赔h 元。
每日售出报纸份数r 的概率P(r )根据以往的经验是已知的，问报童每日最好准备多少份报纸?分析：这个问题是报童每日报纸的订货量Q 为何值时，赚钱的期望值最大?反言之，如何适当地选择Q 值，使因不能售出报纸的损失及因缺货失去销售机会的损失，两者期望值之和最小。
现在用计算损失期望值最小的办法求解。
解:设售出报纸数量为r ，其概率P(r)为已知设报童订购报纸数量为Q 。
供过于求时(r ≤Q)，这时报纸因不能售出而承担的损失，其期望值为：∑=-Qr r P r Q h 0)()(供不应求时(r ＞Q)，这时因缺货而少赚钱的损失，其期望值为：∑∞+=-1)()(Q r r P Q r k综合上述两种情况，当订货量为Q ，损失的期望值为：∑∑∞+==-+-=10)()()()()(Q r Q r r P Q r kr P r Q h Q C由于报童订购报纸的份数只能取整数，r 是离散变量，所以不能用求导数的方法求极值。
为此设报童每日订购报纸份数最佳量为Q ，其损失期望值应有： ① C(Q)≤C(Q+1)② C(Q)≤C(Q-1)从①出发进行推导有∑∑∑∑∞+=+=∞+==--+-+≤-+-21010)()1()()1()()()()(Q r Q r Q r Q r r P Q r k r P r Q h r P Q r kr P r Q h 0)()(0≥-+∑=k r P k h Qrhk k r P Q r +≥∑=0)( 由②出发进行推导有∑∑∑∑∞=-=∞+==+-+--≤-+-Q r Q r Q r Q r r P Q r k r P r Q h r P Q r kr P r Q h )()1()()1()()()()(1010 0)()(10≥-+∑-=k r P k h Q rh k k r P Q r +≤∑-=10)( 报童应准备的报纸最佳数量Q 应按下列不等式确定： ∑∑=-=≤+≤Q r Q r r P h k k r P 010)()( 从赢利最大来考虑报童应准备的报纸数量。
统计应用案例——报童模型
Q* 1200 0.65130 1,285
从A-1看出， 对于面积=0.74， z=0.65 。因此
f(x)
面积=0.74
130
1200
Q*
需求量， X
9
O’Neill’s Hammer 3/2 wetsuit
Hammer 3/2 timeline and economics
Forecasts and actual demand for surf wet-suits from the previous season
Empirical distribution of forecast accuracy
Product description JR ZEN FL 3/2 EPIC 5/3 W/HD JR ZEN 3/2 WMS ZEN-ZIP 4/3 HEATWAVE 3/2 JR EPIC 3/2 WMS ZEN 3/2 ZEN-ZIP 5/4/3 W/HOOD WMS EPIC 5/3 W/HD EVO 3/2 JR EPIC 4/3 WMS EPIC 2MM FULL HEATWAVE 4/3 ZEN 4/3 EVO 4/3 ZEN FL 3/2 HEAT 4/3 ZEN-ZIP 2MM FULL HEAT 3/2 WMS EPIC 3/2 WMS ELITE 3/2 ZEN-ZIP 3/2 ZEN 2MM S/S FULL EPIC 2MM S/S FULL EPIC 4/3 WMS EPIC 4/3 JR HAMMER 3/2 HAMMER 3/2 HAMMER S/S FULL EPIC 3/2 ZEN 3/2 Forecast 90 120 140 170 170 180 180 270 320 380 380 390 430 430 440 450 460 470 500 610 650 660 680 740 1020 1060 1220 1300 1490 2190 3190 Actual demand 140 83 143 163 212 175 195 317 369 587 571 311 274 239 623 365 450 116 635 830 364 788 453 607 732 1552 721 1696 1832 3504 1195 Error* A/F Ratio** -50 1.56 37 0.69 -3 1.02 7 0.96 -42 1.25 5 0.97 100% -15 1.08 -47 1.17 90% -49 1.15 80% -207 1.54 70% -191 1.50 60% 79 0.80 50% 156 0.64 40% 191 0.56 -183 1.42 30% 85 0.81 20% 10 0.98 10% 354 0.25 0% -135 1.27 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 -220 1.36 0.00 286 0.56 A/F ratio -128 1.19 Empirical distribution function for the historical A/F ratios. 227 0.67 133 0.82 288 0.72 -492 1.46 499 0.59 -396 1.30 -342 1.23 -1314 1.60 1995 0.37
最新优化,报童,变分模型ppt课件
2.设每天生猪体重的增加r 2公斤不变，研究 g 变化
对 t 的影响。由⑵式得
t320g 0g0.15,
⑷
g
即t 是 g 的减函数。
t 30 25 20 15 10
5
0.06
0.08
0.12
0.14
g 0.16
g 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 t 30 22.9 17.5 13.3 10 7.3 5.0 3.1 3.3 1.4
而
c1 c1
c1c2r ,
T 2c1/c2r
2
代入上式，得
sT,c1
dT
dc1
c1 T
1. 2
同理可得:
sT,c21 2,sT,r1 2.
即：c 1 每增加 1 % ，T 增加 0 .5 % , c 2 每增加 1 % ，T 减
少0.5% .
注 此模型也可适用于商店的进货问题.
3.容许缺货的模型 下面讨论的是容许缺货的问题. 为此做以下的假设: 生产能力无限大（相对于需求量），容许缺货，每天
三、报童问题
——随机性的函数极值问题
问题 报童每天清晨从邮局批进报纸进行零售，晚上 将卖不掉的报纸返回邮局进行处理. 售出一份报纸可获 得相应的利润，而处理一份报纸会造成亏损. 为此要考 虑报童如何确定每天的进货量以达到最大利润.
模型假设
1.报童知道卖出各个数量的概率的大小.
n 2.设报童每天批进报纸 份，进价为b 元，卖价为a
c2c3r
c2c2c3
由于每周期的供货量为R rT , 有
R
2c1r
c2
c3
.
随机存储——报童问题
生产计划的制定：工厂与客户签订了一项在某时刻提交一定数量产品的合同，在制订生产计划时要考虑生产和贮存两种费用。
生产费用通常取决于生产率(单位时间的产量)，生产率越高费用越大；贮存费用自然由已经生产出来的产品数量决定，数量越多费用越大。
所谓生产计划这里简单地看作是到每一时刻为止的累积产量，它与每单位时间(如每天)的产量可以互相推算，建模目的是寻求最优的生产计划，使完成合同所需的总费用(生产与贮存费用之和)最小。
类似地可以考虑，建筑工地，贷款有利息（误工期罚款），提高生产率可缩短贷款时间，但是增加了生产费用…。
第七章 概率统计模型§7.1 随机性存贮模型一、需求为离散型随机变量的存贮模型例题1：报童问题报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖。
已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元。
如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但每100份要赔4元。
报童每天售出的报纸数x 是一个随机变量，概率分布如下表。
问，报童每天订购多少份报纸最佳？解：分析，假设每天购进量为Q 百份，因为需求量x 是随机的，x 可以小于Q ，等于Q ，或大于Q ，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收人。
从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入。
设每天订购Q 百份报纸，则收益函数为7(4)()()7x Q x x Q y x Q x Q +--≤⎧=⎨>⎩利润的期望为()()()()5011147Q x x Q E y x x Q P x QP x ==+=-+⎡⎤⎣⎦∑∑分别求出Q ＝0，Q ＝1，Q ＝2，Q ＝3，Q ＝4，Q=5时的利润期望。
()()()()()()()()()()()0:01:40.0570.170.250.350.150.1 6.452:80.0530.1140.25140.350.150.111.83:120.0510.1100.25210.35210.150.114.44:160.0550Q E y x Q E y x Q E y x Q E y x Q E y x ==⎡⎤⎣⎦==-⨯+⨯++++=⎡⎤⎣⎦==-⨯+⨯+⨯+++=⎡⎤⎣⎦==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤⎣⎦==-⨯-⨯⎡⎤⎣⎦()()().160.25170.35280.15280.113.155:200.0590.120.25130.35240.15350.110.25Q E y x +⨯+⨯+⨯+⨯===-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦比较上述结果可知，当报童每天订300份报纸时，可获得最大利润。
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3、模型的建立与求解
准
调查需求量的随机规律——每天需求量为 r 的
备
概率 f(r), r=0,1,2…
• 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)
建
模
• 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
rn
售出 r, 退回 nr
赚 (a b )r ,赔 (b c )n ( r )
rn
售n 出 , 赚 (ab)n
Determining Optimal Level of Product Availability
• Single period • Possible scenarios
– Seasonal items with a single order in a season
– One-time orders in the presence of quantity discounts
这就产生一个问题：订货量过多，出现过剩，会造成损失； 订货量少，又可能会失去销售机会，影响利润，那么应该如何确 定订货策略呢？将这一现象具体到报童销售报纸上，就引发了报 童问题：
报童问题：
报童每天需订购多少份报纸？
问 报童售报：(零售价) a > (购进价) b > (退回价) c 题 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
salvaged at lower value)
How much to order?
Factors affecting availability
Demand uncertainty Overstocking cost C0
= loss incurred when a unit unsold at end of selling season
dG(ab)n dn
p(n)0n(bc)p(r)d
r(ab)n
p(n)
n(ab)p(r)dr
(bc)0n p(r)d r(ab)np(r)d r
dG 0 dn
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b
b c
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
结果解释
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
报童问题的推广与应用： ➢ 多产品报童问题； ➢ 考虑风险偏好的报童问题； ➢基于需求预测的报童问题； ➢ 考虑采购提前期的报童问题；
Product Availability: Tradeoffs
High availability =>
responsive to customers attract increased sales higher revenue
High availability =>
larger inventory higher costs risk of obsolescence
Newsbvoenydor Model
single period model (one selling season)
(one-time order, e.g. for quantity discount)
– Continuously stocked items – Demand during stockout is backlogged – Demand during stockout is lost
每天购进多少份使收入最大？
分 购进太多卖不完退回赔钱 析 购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合适的 购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望
2、报童问题所属范畴
单周期随机型存贮模型
这种单周期购入—售出（报纸、日历、杂志，各种季节性货物、时 装），并且超出该购入—售出周期商品就会严重贬值的存贮问题，存 贮论中统称为卖报童问题。 这类问题的库存控制策略是以利润期望最大为目标，确定一次购入的 经济订货批量。
报童问题模型
1、报童问题的提出 2、报童问题所属范畴 3、报童模型的建立与求解 4、报童模型的推广与应用
1、报童问题的提出
在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保 存等特点的物品，如海产、山货、时装、生鲜食品和报纸等，当 商店购进这些商品时，买的数量越多，价格越便宜获利越大。但 买得太多也可能卖不出去，需要削价处理，人力物力都受损；如 果进货太少，又可能发生缺货现象，失去销售机会而减少利润。
G ( n ) [ a ( b ) r ( b c ) n ( r )f( ] r ) ( a b ) n ( r ) f
r 0
r n 1
求n使G(n)最大
求 将r视为连续变量
f(r)p(r)(概率密) 度
解
G ( n ) 0 n [ a ( b ) r ( b c ) n r ( ) p ( r ) ] d n ( a r b ) n ( r ) d pr
Understocking cost Cu
= profit margin lost due to lost sale (because no inventory on hand)
Customer/Cycle service level CSL
=level of product availability = Prob(Demand < stock level)
demand uncertainty order placed (and delivered) before demand is known unmet demand is lost unsold inventory at the end of the period is discard (or
a b
b c
0 np (r)d r P 1 ,n p (r)d r P 2
p(r)
取n使
P1 a b P2 b c
P1~卖不完的概率，a-b ~售出一
份赚的钱
P1 P2
P2~卖超的概率，b-c ~退回一
份赔的钱
0
n
r
(a b ) n , (bc) n
4、报童问题的推广与应用
在科学的管理方法和手段在管理实践中运用越来越多的今天， 管理者同样需要考虑，怎样改进粗放的管理模式，才能提高企业 的管理水平，从而提高企业的效益。在管理实践中，我们会发现， 与报童问题类似的问题非常多，这样我们就可以将报童问题的研 究方法运用到实践中，通过科学的调查、计算，把过去经验的管 理方法，上升到科学的管理方法。