线性代数复习题-第三章

第三章 向量组的线性相关性与线性方程组 复习题

一、填空题:

1. 矩阵1

23235471A ⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

的秩为______.

2．若n 阶方阵A 满足0,0*≠=A A ，则()____R A =.

3．设A 是n 阶方阵，且秩()A r n =<，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含 个解向量.

4. 非齐次线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 .

5.设12,αα是(3)n n ≥元齐次线性方程组0Ax =的基础解系，则秩(A )= .

6.设A 是34⨯矩阵,2)(=A R ,又⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

=301020201B ,则=)(AB R .

7. 设n 阶方阵A 满足A A =2,E 为n 阶单位阵,则=-+)()(E A R A R .

8. 1(1,3,5)T α=, 2(1,1,3)T α=, 3(1,,6)T

a α=线性相关 ,则a 应满足__________.

9. 已知向量组()()()1231,4,3,2,,1,2,3,1T T T

t ααα==-=-线性相关,则t 应满足 .

10 设向量组1(1,2,3)T α=，2(2,1,3)T α=，3(1,1,0)T

α=-,则向量组123,,ααα的秩是 .

11. 已知向量组222(1,,),(1,,),(1,,),a a b b c c αβγ=== 则当常数,,a b c 满足_________时该向量组线性无关.

12.设向量组 I:αα1,, s 线性无关，而ββ12, 都能由向量组I 线性表出，则秩(ααββ112,,,, s )= ____.

13. 设向量组321,,ααα线性相关,则向量组133221,,αααααα+++线性 .

14. 设向量(3,5,7,9)α=，()1,5,2,0β=-，向量γ满足325αγβ-=，则向量γ=__________.

二、判别说理题：

1. 若,αβ是线性方程组Ax b =的两个解向量， 则αβ-是方程组0Ax =的解. （ ）

2. 设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为零. （ ）

3.若线性方程组b AX =有解,则A 的秩一定为零. （ ）

4．设向量12,ηη是n 元线性方程组Ax b =的解向量，那么121

2

33ηη+也是这个方程组的一个解向量. （

）

5. 若ξ是0AX =的解,若η是(0)AX b b =≠的解，则ξη+是b AX =的解. （ ）

6. n 元线性方程组(0)Ax b b =≠当()R A n <时有无穷多解. （ ）

7. 设A 是n 阶方阵,若方程组b AX =满足),()(b A R A R =,则b AX =有唯一解. （ ）

8. 对于线性方程组Ax b = (这里A 为n 阶方阵), 如果该方程组有解，则必有 ()R A n = . （ ）

9. 设矩阵A 的秩为)1(>r r ，则A 中必有一个1-r 级子式不为零. （ ）

10. 方程组 1234123412

3423135322223x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-=⎨⎪++-=⎩ 中，方程个数少于未知量个数，因而方程组有无限多解. （ ）

11. 对于n 阶矩阵A ，如果齐次方程组0Ax =存在无穷多组解，则对于任何一个非零n 维列向量b ，对应的非齐次线性方程组Ax b =至少存在一个解. （ ）

12.若12,ηη是(0)AX b b =≠的解，则12ηη+也是b AX =的解. （ ）

13．1,a 2a 线性相关，1,b 2b 也线性相关，则11,a b + 22a b +一定线性相关. （ ）

14. 3维向量组1234,,,αααα必线性相关。 （ ）

15. 包含零向量的向量组是线性相关的. （ ）

16. 如果向量组12,,,s ααα线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例. （ ）

17. 若向量组12,,,r a a a 线性相关，则组中任一向量都可由其余向量线性表示. （ ）

18. 向量组12,,,m ααα中任意两个向量都线性无关，则向量组线性无关. （ ）

19. 设向量组I ：12,,,s k k k ααα 是向量组II ：12,,,p ααα的部分组，如果向量组I 线性相关，则向量组 II 也线性相关. （ ）

20. 设向量组I ：12,,,s k k k ααα是向量组II ：12,,,p ααα的部分组，如果向量组I 线性无关，则向量组II 也线性无关. （ ）

21．如果向量组ααββ112,,,, s 线性无关，则向量组 1,,s αα 也线性无关. （ ）

22. 若有不全为零的数n k k k ,,21使02211≠+++n n k k k ααα ，则n ααα ,,21线性无关. （ ）

23. 设向量组321,,ααα线性无关,于是向量组133221,,αααααα+++也线性无关. （ ）

24. 设n 维向量组s ααα,,,21 线性相关,于是向量组s αααβ,,,,21 也线性相关,其中β为一n 维向量. （

）

25. 设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可互相线性表示,则秩(Ⅰ)= 秩(Ⅱ). （ ）

26. 设向量组s ααα,,,21 线性相关,则该向量组中一定含有零向量. （ ）

三、计算题:

1. 设2111211214462243697

9A --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭

，求A 的秩及列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用该最大无关组线性表示. 2. 已知(1,2,0)T β=-可由1(1,1,2)T α=-，2(0,1,1)T α=-，3(2,3,)T αλ=-唯一地线性表示，求λ.

3. 已知一个向量组为⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1311,4152,2312,1021,120154321ααααα，求该向量组的秩及该向量组的一个最大线性无关组, 并把其余列向量用该最大无关组线性表示..

4.判别向量组 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01211a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20142a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63113a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=31304a 是否线性相关？并求该向量组的最大无关组及该向量组的秩.

5.设123(6,1,3),(,2,2),(,1,0)T T T a a a ααα=+=-=，求a 为何值时，（1）321,,ααα线性相关？（2）321,,ααα线性无关？

6. 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++=+-+2)1(2221)1(321

321321kx x k kx x kx kx x x k kx ，当k 取何值时（1）无解？（2）有唯一解？（3）有无穷多解？并求出通解. 7. 当λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ

⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩(1) 有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解，并求通解. 8. 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--0320304321

43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系及通解.

9. 用初等变换求120111002A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭

的逆矩阵1-A .

10. 当,a b 取何值时，方程组12356x y z x y z a x y bz ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩

,（1）无解？（2）有唯一解？（3）有无穷解？并求出通解.