尺规作图：角平分线、垂直平分线、过P作线的垂线

尺规作图：角平分线、垂直平分线、过线外一点作线的垂线
◆角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 尺规作图步骤：（以作∠ABC 的角平分线为例）
①任意选取半径，以角的顶点点B 为圆心画圆弧，与∠ABC 的两边分别交于点M 、N ；②取一半径满足r >2
1MN ，分别以M 、N 为圆心，画等半径的圆弧，交于点O ；③以B 为端点，过O 作射线BO ，射线BO 就是∠ABC 的角平分线
.
为何射线BO 是∠ABC 的角平分线？
如图，连接MO 、NO ，根据作图步骤①知：BM=BN （同圆内半
径相等）
根据作图步骤②知：MO=NO （等圆中半径相等）
在△BMO 与△BNO 中，有⎪⎩
⎪⎨⎧===BO BO NO MO BN BM ，所以△BMO ≌△BNO （SSS
从而有∠MBO=∠NBO ，即BO 为∠ABC 的角平分线
所以射线BO 是∠ABC 的角平分线
相关性质与结论：
（1）角平分线是一条射线，而不是一条直线或线段；
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.
（3）在角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的角平分线上
◆垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线
尺规作图步骤：（以作线段AB 的垂直平分线为例）
①选一半径满足r >21AB ，分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的上方画圆弧交于点P ；
②选一半径满足r >2
1AB （可与①中的半径一致），分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的下方画圆弧交于点Q ；
③过P、Q 作直线PQ，直线PQ 即为线段AB 的垂直平分线.
为何直线PQ 是线段AB 的垂直平分线？
如图，根据作图步骤①知：AP=BP （等圆中半径相等）
根据作图步骤②知：AQ=BQ （等圆中半径相等）
在△APQ 与△BPQ 中，有⎪⎩
⎪⎨⎧===PQ PQ BQ AQ BP AP ，所以△APQ ≌△BPQ （SSS ）则可说明△APQ 与△BPQ 关于直线PQ 对称
而A 、B 为一组对应点，且与对称轴PQ 交于点O ，则AB ⊥PQ 且AO=BO
（两个成轴对称的图形，对应点所连成的线段被对称轴垂直平分）
所以直线PQ 为线段AB 的垂直平分线
相关性质与结论：
（1）垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；
（2）与一条线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上；
（3）如果两点到线段的两个端点的距离相等，那么这两点所在的直线就是该线段的垂直平分线.
◆过线外一点作直线的垂线
尺规作图步骤：（以过P 作l 的垂线为例）
①以P 为观察点，分别在直线l 的左、右两侧任取两点M、N；
②以M 为圆心，MP 为半径在直线l 的下方画圆弧；以N 为圆心，NP 为半径在直线l 的下方画圆弧，两圆弧交于点Q；
③过PQ 作直线PQ，则直线PQ 垂直于直线l ，即为所求.
为何直线PQ是直线l的垂线？
如图，根据作图步骤②知：NP=NQ，MP=MQ（等圆中半径相等）
很显然△MPN≌△MQN（SSS）
即△MPN与△MQN关于直线l对称
而P、Q作为一组对应点，则PQ⊥l
补充说明：这个作图方法也可以用来找垂足O、垂线段PO
相关性质与结论：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
（3）注意：垂线与垂线段都具有垂直已知直线的特征，但垂线是一条直线，不能度量；
而垂线段是一条线段，可以度量，它是垂线的一部分。