初三数学家庭作业二次函数复习(二)

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数学：《二次函数》基本复习题(人教版九年级下)

(一) 二次函数的概念二次函数、对称轴、顶点等.(二) 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质(Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质解析式y=ax2y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k图象a>0 a>0 a>0 a>0 a<0 a<0 a<0 a<0特点顶点在原点顶点在y轴上顶点在x轴上开口方向a>0，开口向上；a<0，开口向下.同前同前同前形状①a相同⇔抛物线的形状大小相同.②a越大,开口越小;同前同前同前.函数y=ax2 +k函数y=x2 函数y=ax2函数y=a(x－h)2函数y=a(x－h)2＋k函数y=ax2 +bx+c目标几何变换xyOxyOxyOxyO xyOxyO xyOxyOa 越小, 开口越大.顶点坐标（0，0）（0，k ）（h ，0）（h ，k ）对称轴y 轴 y 轴直线x =h直线x =h函数最值若a >0，当x =0时，y 有最小值是0. 若a <0，当x =0时，y 有最大值是0.若a >0，当x =0时，y 有最小值是k . 若a <0，当x =0时，y 有最大值是k . 若a >0，当x =h 时，y 有最小值是0. 若a <0，当x =h 时，y 有最大值是0.若a >0，当x =h 时，y 有最小值是k .若a <0，当x =h 时，y 有最大值是k .增减性若a >0，当x ≤0时，y 随x 的增大而减小，当x >0时，y 随x 的增大而增大.若a <0，当x ≤0时，y 随x 的增大而增大，当x >0时，y 随x 的增大而减小.同前若a >0，当x ≤h 时，y 随x 的增大而减小，当x >h 时，y 随x 的增大而增大.若a <0，当x ≤h 时，y 随x 的增大而增大，当x >h 时，y 随x 的增大而减小.同前平移y =ax 2+k 的图象是由y =ax 2的图象沿y 轴向上或向下平移k 个单位得到的，k 为正向上，k 为负向下.y =a (x -h )2的图象是由y =ax 2的图象沿x 轴向左或向右平移h 个单位得到的，h 为正向右，h 为负向左.y =a (x -h )2+k 的图象是由y =ax 2的图象沿x 轴向左或向右平移h 个单位，h 为正向右，h 为负向左；再沿直线x =h向上或向下平移k个单位，k 为正向上，k 为负向下得到的.(Ⅱ) y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象和性质图象a >0a <0xyOxyO1.开口方向 a >0，开口向上 a <0，开口向下2.形状①a 相同⇔抛物线的形状大小相同. ②a 越大, 开口越小; a 越小, 开口越大.3.顶点坐标)44,2(2ab ac a b -- 4.对称轴直线abx 2-= 5.函数最值若a >0，当a b x 2-=时，y 有最小值是ab ac 442-.若a <0，当ab x 2-=时，y 有最大值是ab ac 442-.6.增减性若a >0，当a b x 2-≤时，y 随x 的增大而减小；当a b x 2->时，y 随x 的增大而增大.若a <0，当a b x 2-≤时，y 随x 的增大而增大；当abx 2->时，y 随x 的增大而减小.7.与坐标轴的交点坐标与x 轴交点坐标 △>0⇔与x 轴有两个公共点 (x 1, 0)，(x 2, 0)；△=0⇔与x 轴有一个公共点 (a b2-, 0)； △<0⇔与x 轴没有公共点. 与y 轴交点坐标(0，c )8.与x 轴两交点A ,B 间的距离ax x AB ∆=-=21 9.五点法作图例、4622-+-=x x y(Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响a 确定开口方向和开口大小.a 、b共同确定对称轴位置：a ，b 同号⇔对称轴在y 轴左侧；a ，b 异号⇔对称轴在y 轴右侧；b =0⇔c ax y +=2⇔对称轴是y 轴.c 确定与y 轴交点位置：c >0⇔与y 轴交点在y 轴正半轴；c <0⇔与y 轴交点在y 轴负半轴；c =0⇔bx ax y +=2⇔抛物线过原点.xy-4-213201y=-2x 2+6x -4x = 1.5x 01 1.52 3…y … -40.5-4 …△确定与x 轴公共点个数：△>0⇔与x 轴有两个公共点(x 1, 0), (x 2, 0)；△=0⇔与x轴有一个公共点(ab2-, 0)；△<0⇔与x 轴没有公共点. 特别地 a +b +c =0⇔图象过点（1，0）； a -b +c =0⇔图象过点（-1，0）1、已知二次函数的解析式是322--=x x y . （1）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；（2）当x 为何值时，函数值y =0？（3）当-3<x <3时，观察图象直接写出函数值y 的取值的范围. 解：(1) 已知二次函数的解析式是322--=x x y =4)1(2--x(2) 令0322=--x x ，解得3,121=-=x x ∴当x = -1或3时，函数值y =0 (3) 观察图象知：-4≤y ＜122、（2010株洲市）已知二次函数()()221y x a a =-+- （a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a =-，0a =，1a =，2a =时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y = . （121-x ） 3、（2010湖北省咸宁市）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ A ）A ．1y ＞2yB ．1y 2y =C ．1y ＜2yD ．不能确定4、（2010年杭州市）定义为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是（31，38）； x -1 0 1 2 3y0 -3 -4 -3 0② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23；③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ B ）A. ①②③④B. ①②④ C . ①③④ D . ②④5、(2010湖北省荆门市)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．．的是（ B ） A. ab ＜0 B. ac ＜0C. 当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小.D. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根.6、（2010玉溪市）如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 ①c ＞0；②a +b +c ＜0；③2a -b ＜0； ④b 2+8a ＞4ac 中，正确的是（填写序号） ② 、④ ．7、（2010年天津市）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：（ D ）①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48、（2010毕节）函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( C )O xy1x =1-2-2xoyxyO -119、（2010年兰州）抛物线y =ax 2+bx +c 图象如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数xcb a y ++=在同一坐标系内的图象大致为（ D ）10、（2010年崇文二模）矩形ABCD 中，8cm 6cm AD AB ==，．动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度运动至点B 停止，动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：2cm )，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ A ）(三) 二次函数y =ax 2+bx +c 图象的平移、翻折、旋转1、平移：a 不变. 要抓顶点的平移或其它关键点的平移，这是由于函数图象的平移是整体的平移，每个点都做相同的变换，还可以引申到直线、双曲线的平移．在解题时，一定分清移动谁，不妨画草图.2、翻折：要抓顶点的变化及其它关键点的变化.结论：抛物线y =ax 2+bx +c 关于x 轴对称的抛物线解析式是y = -ax 2-bx -c 抛物线y =ax 2+bx +c 关于y 轴对称的抛物线解析式是y = ax 2-bx +cxyOxyOxxx xx3、绕某一定点旋转180°：要抓顶点的变化，a 取相反数.结论：抛物线y =a (x -h )2+k 绕顶点旋转180°后的解析式为y = -a (x -h )2+k1、观察右面二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，回答下面的问题：（1）判断a ，b ，c 和ac b 42-的符号并写出顶点坐标；（2）把抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，求平移后抛物线的解析式；（3）把抛物线沿x 轴翻折，求翻折后抛物线的解析式.2、（2010桂林）将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ D ）． A ．221216y x x =--+ B ．221216y x x =-+-C ．221219y x x =-+-D ．221220y x x =-+-3、将抛物线12+=x y 绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ D ） A. 2x y -= B. 12+-=x yC. 12-=x yD. 12--=x y4、(2010遵义市)如图，两条抛物线12121+-=x y 、 12122--=x y 与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ A ）A ．8B ．6C ．10D ．4xyO5、（2010毕节）把抛物线y =x 2+bx +c 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y = x 2-3x ＋5，则（ A ）A ．b =3，c =7B ．b =6，c =3C ．b =-9，c =-5D ．b =-9，c =216、(2010台州市)如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4），抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为 -3，则点 D 的横坐标最大值为（ D ）A ．－3B ．1C ．5D ．87、（2010浙江温州）如图，抛物线y =ax 2+bx 经过点A (4，0)，B (2，2). 连结OB ，AB .(1)求该抛物线的解析式；(2)求证：△OAB 是等腰直角三角形；(3)将△OAB 绕点O 按顺时针方向旋转l35°得到△O A′B′，写出△O A′B′ 的边A′B′的中点P 的坐标．试判断点P 是否在此抛物线上，并说明理由.yxOD C B (4,4)A (1,4)8、(2009年北京)已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1(2y x b b k =+＜)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 解：（1）由题意：△=24-8k ≥0 ∴k ≤3 ∵k 为正整数∴k =1，2，3（2）当k =1时，方程22410x x k ++-=有一根为0；当k =2时，方程22410x x k ++-=无整数根；当k =3时，方程22410x x k ++-=有两个非0的整数根. ∴k =1，k =2不合题意舍去，k =3当k =3时，二次函数为2422++=x x y ，把它的图象向下平移8个单位得到的图象解析式为6422-+=x x y（3）设抛物线6422-+=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，则A （-3，0），B （1，0）依题意翻折后的图象如图所示. 当直线b x y +=21(b <k )经过点A 时，可得23=b 当直线b x y +=21(b <k )经过点B 时，可得21-=b 由图象可知b 的取值范围是2321<<-b9、（2010年镇江市）已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个公共点. （1）求C 1的顶点坐标；（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （-3，0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；（3）若n y y C y Q y n P 求实数且上的两点是,,),2(),,(21121>的取值范围. 解：（1）1,1)1(222-=-++=++=x m x m x x y 对称轴为x 与轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0.∴C 1的顶点坐标为（-1，0）（2）设C 2的函数关系式为,)1(2k x y ++=把A （-3，0）代入上式得,4,0)13(2-==++-k k 得 ∴C 2的函数关系式为.4)1(2-+=x y∵抛物线的对称轴为x x 与,1-=轴的一个交点为A （-3，0），由对称性可知，它与x 轴的另一个交点坐标为（1，0）.（3）当x y x 随时,1-≥的增大而增大，当.2,,121>∴>-≥n y y n 时,12),,2(),(,111-≥-----<n y n y n P n 且的对称点坐标为时当 .4,22,21-<∴>--∴>n n y y .42:-<>n n 或综上所述(四) 确定二次函数解析式一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 顶点式：y =a (x -h )2+k (a ≠0)双根式：y =a (x -x 1)( x -x 2) (a ≠0) 其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标确定抛物线的解析式一般需要两个或三个独立条件，灵活的选用不同方法求出抛物线的解析式是解与xyx =-1(-2-n , y 1)(n , y 1)(2, y 2)OP'Q P抛物线相关问题的关键.1、（2007天津市）已知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A ，B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.答案：（1）4222-+=x x y ；（2）)29,21(--注：抛物线与x 轴两交点的不同说法应给学生作变式练习.2、（2007上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，. （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标. 解：（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，注：抛物线顶点的不同说法应给学生作变式练习.3、（2007广东梅州）已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数m ，点2()M m m -，都不在这个二次函数的图象上. 解：（1）23212+--=x x y （2）证明：若点2()M m m -，在此二次函数的图象上，则221(1)22m m -=-++．得2230m m -+=． △=41280-=-<，该方程无实根．所以原结论成立．4、（2010年天津市）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：x … 32- 1-12- 0121 32 … y…54- 2- 94-2- 54-74…则该二次函数的解析式为．（22y x x =+-）(五) 二次函数与一元二次方程方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，令y =0，则得02=++c bx ax ，这是一个关于x 的一元二次方程，它们的联系表现在：方程实根的个数、抛物线与x 轴交点的个数的讨论都可转化为由根的判别式△来讨论. 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，重要的是求解的思路，包括解的范围、解的精确度以及如何达到所要求的精确度等．同时利用图象法求解，还可以使学生进一步理解一元二次方程和二次函数之间的关系．1、已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 .（11-=x ，32=x ）2、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根；（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集；（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.解：（1）11x =，23x = （2）13x << （3）2x > （4）2k <3、函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2+bx +c -2=0 的根的情况是（ A ）yxO 1 3xy 33221141-1-2-O 03xyA ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根4、（2010年朝阳二模）已知二次函数y 1=x 2-x -2和一次函数y 2=x +1的两个交点分别为A (-1，0)，B (3，4)，当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围是（ A ）A ．x ＜-1或x ＞3B ．-1＜x ＜3C ．x ＜-1D ．x ＞35、下列表格是二次函数y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx +c =0 （a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围（ C ）x 6.17 6.18 6.19 6.20 y =ax 2+bx +c-0.03-0.010.020.04A. 6<x <6.17B. 6.17<x <6.18C. 6.18<x <6.19D. 6.19<x <6.206、已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．解：（1）依题意，得0≠m ， ∴2242=--=-=mm a b x ， 24168164)4()24(4442222-=--=---=-=mm m m m m m m a b ac y ．∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-．（2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴02442=-+-m mx mx 的根是整数．∴24164(42)22222m m m m m x m m±--==±． ∵0m >，∴22x m=±是整数． ∴2m是完全平方数．∵155m <<， ∴22105m << ∴2m取1，4，9，当21m =时，2=m ；当24m =时，21=m ；当29m =时，29m =． ∴m 的值为2或21或29． ∴抛物线的解析式为6822+-=x x y 或x x y 2212-=或22810999y x x =--．(六) 实际问题与二次函数1、建立平面直角坐标系，求二次函数解析式，解决实际问题. 一般步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系，注意建立坐标系时以方便为原则； (2)设恰当的解析式；(3)求解析式，注意点在各象限中的符号； (4)根据解析式解决实际问题.、一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？分析：由于篮球运行的路线是抛物线，可建立适当的直角坐标系，并把相关的数椐写成点的坐标，再利用点的坐标及待定系数法求出运行路线的解析式.最后算出跳离地面的高度.解：如图建立直角坐标系.∵点(2.5，3.5)是这段抛物线的顶点∴设解析式为：5.3)5.2(2+-=x a y （0≤x ≤4） ∵抛物线过点（4，3.05）篮圈出手处最高点 y xO (4, 3.05)出手处(2.5, 3.5)∴5.3)5.24(05.32+-=a a = -0.2∴5.3)5.2(2.02+--=x y （0≤x ≤4）即25.22.02++-=x x y 当x =0时，y =2.25∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米法二：如图建立直角坐标系. ∵点(0，3.5)是这段抛物线的顶点∴设解析式为：23.5y ax =+（-2.5≤x ≤1.5） ∵抛物线过点（1.5，3.05） ∴5.35.105.32+⨯=a a = -0.2∴5.32.02+-=x y （-2.5≤x ≤1.5）当x = -2.5时，y =2.25∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米2、最值问题(1) 二次函数的最值应用主要体现在以下方面： ①解决实际问题中的最值问题； ②探讨几何图形中相关元素的最值. (2) 利用二次函数求最值问题的一般步骤： ①列出函数解析式； ②求自变量x 的取值范围； ③求abx 2-=的值； ④判断abx 2-=的值是否在x 的取值范围中：若在，a b ac y 442-=最值；若不在，利用图象在端点处找最值或利用增减性找最值.1、如图，用18米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子，y812xy3.5(1.5, 3.05)-2.5O窗子的宽不能超过2米. 为使透进的光线最多，则窗子的长、宽应各为多少米？解：设窗子的宽为x m ，透光面积y m 2. x x y 9232+-=（0＜x ≤2） ∵32=-=abx 不符合0＜x ≤2 ∴由函数图象可知：当x =2时，y 最大=12 ∴当宽为2 m ，长为6 m 时，透进的光最多. 注：利用图象在端点处找最值.2、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？（总利润=总销售额-总成本）解：（1）设b kx y x y +=的函数关系式为：与，∵函数图象经过点（60，400）和（70，300） ∴⎩⎨⎧+=+=bk bk 7030060400 解得⎩⎨⎧=-=100010b k∴100010+-=x y （2）)100010)(50(+--=x x P500001500102-+-=x x P （50≤x ≤70）∵752015002=--=-a b ，10-=a ＜0 ∴函数500001500102-+-=x x P 图象开口向下，对称轴是直线x=75 ∵50≤x ≤70，此时y 随x 的增大而增大 ∴当x =70时，6000=最大值P注：利用增减性找最值.(七) 二次函数综合题40030060 70 Ｏy (件)x (元)解二次函数综合题特别是解与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础. 而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键.1、已知抛物线)0()21(22≠+-+=k k x k x y 与x 轴交于两点A （x 1, 0），B （x 2, 0）（x 1≠x 2），顶点为C .(1) 若△ABC 为直角三角形，求k 的值； (2) 若△ABC 为等边三角形，求k 的值. 解：(1) 作CD ⊥AB 于D ，则AD =DB∵△ABC 为直角三角形 ∴AD =CD ∵a AD 2∆=，a CD 4∆= ∴aa 42∆=∆ ∵△≠0 ∴△=4 ∵△= -4k +1 ∴-4k +1=4 43-=k (2) 同理∵△ABC 为等边三角形∴CD =3AD ∵a AD 2∆=，a CD 4∆= ∴aa234∆=∆ ∵△≠0 ∴△=12 ∵△= -4k +1 ∴-4k +1=12411-=k 小结：已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于A （x 1, 0），B （x 2, 0）（x 1≠x 2）两点，顶点为C . (1) △ABC 为直角三角形442=-=∆⇔ac b ； (2) △ABC 为等边三角形1242=-=∆⇔ac bxyAB CD OxyCBAD O2、（2010安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （-33，1）、C （-33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （-3，1）、F （-433，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′. （1）求折痕所在直线EF 的解析式；（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．解：（1）设EF 的解析式为y =kx +b ,，把E （－3，1）、F （433-,0）的坐标代入： 1=－3k +b 解得： k =3 0=433-k +b b =4 ∴直线EF 的解析式为y =3x +4（2）设矩形沿直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′∵BE =33-3=23；∴B ′E = BE =23在Rt△AE B ′中，根据勾股定理，求得：A B ′＝3，∴B′ 的坐标为（0，-2）设二次函数的解析式为：y =ax 2+bx +c把点B （-33，1）、E （-3，1）、B′（0，-2）代入-2=c a =13- 3a －3b +c =1 解得： b =433-27a －33b +c =1 c =－2 ∴二次函数的解析式为y =13-x 2433-x －2 （3）能，可以在直线EF 上找到点P ，连接B′C ，交直线EF 于点P ，连接BP .由于B′P =BP ，此时，点P 与C 、B ′在一条直线上，所以，BP +PC = B′P +PC 的和最小，由于BC 为定长，所以满足△PBC 周长最小. 设直线B′C 的解析式为：y=kx +b-2=b 0= -33k +b∴直线B′C 的解析式为2329y x =-- 又∵P 为直线B′C 和直线EF 的交点， ∴ 2329y x =-- 解得： 18311x =- y =3x +4 1011y =-∴点P 的坐标为（18311-，1011-）3、（2010年海淀二模）已知：抛物线2(2)2y x a x a =+--（a 为常数，且0a >）. （1）求证：抛物线与x 轴有两个交点；（2）设抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 左侧），与y 轴的交点为C .①当25AC =时，求抛物线的解析式；②将①中的抛物线沿x 轴正方向平移t 个单位（t >0），同时将直线l ：3y x =沿y 轴正方向平移t个单位.平移后的直线为'l ，移动后A 、B 的对应点分别为'A 、'B .当t 为何值时，在直线'l 上存在点P ，使得△''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形? 解：（1）证明：令0y =,则2(2)20x a x a +--=.△=22)2(8)2(+=+-a a a ． ∵ 0>a , ∴ 02>+a ．∴ △0>.∴ 方程2(2)20x a x a +--=有两个不相等的实数根. ∴ 抛物线与x 轴有两个交点.（2）①令0y =,则2(2)20x a x a +--=，解方程，得122,x x a ==-. ∵A 在B 左侧，且0a >，∴抛物线与x 轴的两个交点为A (,0)a -，B (2,0). ∵ 抛物线与y 轴的交点为C ， ∴ (0,2)C a -. ∴ ,2AO a CO a ==.在Rt △AOC 中，222(25)AO CO +=，22(2)20a a +=．可得 2a =±． ∵ 0a >， ∴ 2a =．∴ 抛物线的解析式为24y x =-.②依题意，可得直线'l 的解析式为3y x t =+，'A (2,0)t -，'B (2,0)t +,''4A B AB ==.∵ △''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形，∴ 当''90PA B ∠=︒时，点P 的坐标为(2,4)t -或(2,4)t --. ∴ 3(2)4t t -+=. 解得 52t =或12t =. 当''90PB A ∠=︒时，点P 的坐标为(2,4)t +或(2,4)t +-. ∴3(2)4t t ++=. 解得52t =-或12t =-（不合题意，舍去）. 综上所述，52t =或12t =.。

中考数学二次函数2复习

中考数学二次函数2复习以下是查字典数学网为您引荐的中考数学二次函数2温习，希望本篇文章对您学习有所协助。

中考数学二次函数2温习教学目的(知识、才干、教育) 1.了解二次函数与一元二次方程之间的关系;2.会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与轴的交点状况;3.会应用韦达定理处置有关二次函数的效果。

4.会应用二次函数的图象及性质处置有关几何效果。

教学重点二次函数性质的综合运用教学难点二次函数性质的综合运用教学媒体学案教学进程一：【课前预习】(一)：【知识梳理】1.二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的状况.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种状况：有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3)当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，那么一元二次方程y=ax2+bx+c有两个不相等的实数根;当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;当二次函数y=ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，那么一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根2.二次函数的运用：(1)二次函数常用来处置最优化效果，这类效果实践上就是求函数的最大( 小)值;(2)二次函数的运用包括以下方面：剖析和表示不同背景下实践效果中变量之间的二次函数关系;运用二次函数的知识处置实践效果中的最大(小)值.3.处置实践效果时的基本思绪：(1)了解效果;(2)剖析效果中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它们之间的关系;(4)应用二次函数的有关性质停止求解;(5)检验结果的合理性，对效果加以拓展等.(二)：【课前练习】1. 直线y=3x3与抛物线y=x2 -x+1的交点的个数是( )A.0B.1C.2D.不能确定2. 函数的图象如下图，那么关于x的方程的根的状况是( )A.有两个不相等的实数根;B.有两个异号实数根C.有两个相等实数根;D.无实数根3. 不论m为何实数，抛物线y=x2-mx+m-2( )A.在x轴上方;B.与x轴只要一个交点C.与x轴有两个交点;D.在x轴下方4. 二次函数y =x2-x6(1)求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标;(2)画出函数图象;(3)观察图象，指出方程x2-x6=0的解;(4)求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积. 二：【经典考题剖析】1. 二次函数y=x2-6x+8，求：(1)抛物线与x轴J轴相交的交点坐标;(2)抛物线的顶点坐标;(3)画出此抛物线图象，应用图象回答以下效果：①方程x2 -6x+8=0的解是什么?②x取什么值时，函数值大于0?③x取什么值时，函数值小于0?解：(1)由题意，得x2-6x+8=0.那么(x-2)(x-4)= 0，x1=2，x2=4.所以与x轴交点为(2,0)和(4，0)当x1=0时，y=8.所以抛物线与y轴交点为(0，8);(2)∵ ;抛物线的顶点坐标为(3，-1)(3)如下图.①由图象知，x2-6x+8=0的解为x1=2，x2=4.②当x2或x4时，函数值大于0;③当22. 抛物线y=x2-2x-8，(1)求证：该抛物线与x轴一定有两个交点;(2)假定该抛物线与x轴的两个交点区分为A、B，且它的顶点为P ，求△A BP的面积.解：(1)证明：由于关于方程x2-2x-8=0，其判别式△=(-2)2-4(-8)-360，所以方程x2-2x -8=0有两个实根，抛物线y= x2-2x-8与x轴一定有两个交点;(2)由于方程x2-2x-8=0 有两个根为x1=2，x2=4，所以AB=| x1-x2|=6.又抛物线顶点P的纵坐标yP = =-9，所以SABP=12 AB|yP|=273.如下图，直线y=-2x+2与轴、轴区分交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，BAC=90o，过C作CD 轴，垂足为D(1)求点A、B的坐标和AD的长(2)求过B 、A、D三点的抛物线的解析式4.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A动身，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B动身，沿 BC 边向点C以2cm/s的速度移动，回答以下效果：(1) 设运动后末尾第t(单位：s)时，五边形APQCD的面积为S(单位：cm2)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围(2)t为何值时S最小? 求出S的最小值5. 如图，直线与轴、轴区分交于A、B两点，点P是线段AB的中点，抛物线经过点A、P、O(原点)。

九年级数学：二次函数复习训练(有答案)

第10讲二次函数－复习训练1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

2、二次函数2ax y =的图像特征：（1）当0>a 时，图像是开口向上的抛物线；（2）当0<a 时，图像是开口向下的抛物线。

（3）||a 越大，开口越小其图像关于直线0=x （即y 轴）对称，顶点坐标是)0,0(。

3、二次函数k ax y +=2的图像可以由二次函数2ax y =的图像通过上下平移得到。

口诀是：上加下减4、2)(h x a y -=的图像可以由二次函数2ax y =的图像通过左右平移得到。

口诀是：左加右减1、二次函数2y ax bx c =++通过配方可以变成()2y a x h k =-+的形式，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 2、二次函数2y ax bx c =++的性质（1）、当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2）、当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-． 3、二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程02=++c bx ax 的关系(图象与x 轴的交点个数)： ① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-= ① 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点，交点坐标为)0,2(ab -① 当0∆<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．4、二次函数2y ax bx c =++图象的画法（1）五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.（2）一般选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.1、二次函数解析式的表示方法（1）一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）又叫交点式。

《二次函数》复习(二)(人教版九年级下)

a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
b x=- 2a
y
0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
三、解析式的求法
2.一般二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象特点和函数性质
四、图象位置与 a、b、c、的正负关系
前进
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图 26.2.4
(一) 图象特点:
(1)是一条抛物线；
(2)对称轴是:x=- 2a
(3)顶点坐标是:(-2a ,
4ac-b2 4a
)
(4)开口方向:
a>0时,开口向上；
②确定顶点 ③确定与坐标轴的交点及对称点
④连线
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
• 前进 3 (0,-–2)
例（5：1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解: (2)由x=0，得y= - -32—
抛物线与y轴的交点C（0，- -32—）

九年级数学二次函数单元复习练习(Word版含答案)

九年级数学二次函数单元复习练习(Word 版含答案)一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -()1求此抛物线的关系式；()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中BCP 的面积最大时，请直接写出使45PDM ∠=︒的点M 的坐标【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为()0,3或113113++⎝⎭【解析】【分析】（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.（2）首先设点()2,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为()21333,22S PD t t =⨯=-+利用二次函数的性质即可求解；（3）根据PD y 轴，45PDM ∠=︒，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标．【详解】()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++可解得1,3,a c =-=即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=解得121,3,x x =-=则点()3,0B ．设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)，将点,B C 的坐标代入，可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+设BCP 的面积为,S 则()21333,22S PD t t =⨯=-+ ∴当32t =时，S 有最大值，此时点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ()3∵PD y 轴，45PDM ∠=︒第一种情况：令DM y x b =+,33D(22，）解得：b=0∴223y x y x x =⎧⎨=-++⎩解得：113x =∴11M 22+（，第二种情况：令DM y x b =-+,33D(22，）解得：b=3∴2323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得：x=0或x=3（舍去）∴M 03（，）满足条件的点M 的坐标为()0,3或⎝⎭【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.2．如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A （-3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点（-32，154），△PDE的周长最大；（3）点M（-2，3）或（-2，3【解析】【分析】（1）将A、B、C三点代入，利用待定系数法求解析式；（2）根据坐标发现，△AOB是等腰直角三角形，故只需使得PD越大，则△PDE的周长越大.联立直线AB与抛物线的解析式可得交点P坐标；（3）作点A关于直线x=-2的对称点D，利用∠MAC = 2∠MCA可推导得MD=CD，进而求得ME的长度，从而得出M坐标【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0），∴9303a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；（2）∵A（-3，0），B（0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立223y x m y x x =+⎧⎨=--+⎩，消掉y 得，x 2+3x+m-3=0，当△=9-4（m-3）=0，即m=214时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长，此时x=-32，y=154，∴点（-32，154），△PDE 的周长最大；（3）设直线x=-2与x 轴交于点E ，作点A 关于直线x=-2的对称点D ，则D （-1，0），连接MA ，MD ，MC ．∴MA=MD ，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ，∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 ， ∴ME=3∴点M （-2，3）或（-2，-3）．【点睛】本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析3．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0k y x x=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”（1）当1n =时．①求线段AB 所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x =时，k 有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥；【解析】【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；②由①得直线AB 为1944y x =-+，则21944k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k x ），则得到221044n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b a-≥，即可求出n 的取值范围．【详解】解：（1）当1n =时，点B 为（5，1），①设直线AB 为y ax b =+，则251a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1944y x =-+； ②不完全同意小明的说法；理由如下：由①得1944y x =-+，设点P 为（x ，k x ），由点P 在线段AB 上则 1944k x x =-+， ∴22191981()444216k x x x =-+=--+； ∵104-<，∴当92x =时，k 有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在92x =的位置时k 值最大．（2）∵()1,2A 、()5,B n ，设直线AB 为y ax b =+，则25a b a b n +=⎧⎨+=⎩，解得：24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k x ），由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=-，当204n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意；当n≠2时，则对称轴为：101042242n n x n n --==--； ∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大；当204n ->时，有 ∴20410124n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩，解得：26n n >⎧⎨≥-⎩， ∴不等式组的解集为：2n >；当204n -<时，有∴20410524n n n -⎧<⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩，解得：1029n ≤<， ∴综合上述，n 的取值范围为：109n ≥．【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．4．如图，顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ⊥y 轴交抛物线于另一点D ，作DE ⊥x 轴，垂足为点E ，双曲线y =6x(x ＞0)经过点D ，连接MD ，BD ．（1）求抛物线的表达式；（2）点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；（3）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，∠BPD 的度数最大？【答案】（1）y =﹣x 2+2x +3；（2）N (57，0)，F (0，53)；（3）t =9﹣15 【解析】【分析】（1）由已知求出D 点坐标，将点A （-1，0）和D （2，3）代入y=ax 2+bx+3即可；（2）作M 关于y 轴的对称点M'，作D 关于x 轴的对称点D'，连接M'D'与x 轴、y 轴分别交于点N 、F ，则以M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD 的长；（3）设P （0，t ），作△PBD 的外接圆N ，当⊙N 与y 轴相切时，∠BPD 的度数最大；【详解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3．∵D在y=6x上，∴D(2，3)，将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53，∴N(57，0)，F(0，53)；（3）设P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=32t-，tan∠PBO=3t，令y=tan∠BPD=3233123t tt t-+--，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y2+30y+1=0时，y=15415-+(舍)或y=15415+，∴t=32﹣12×1y，∴t=9﹣215，∴P(0，9﹣215)．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝12时，求点F的坐标．（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t5S与t的函数关系式．【答案】（1）y＝﹣12x2+32x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：（3，2）或（173，﹣509）；（4）25,04949(1044t tS tt⎧⎛≤≤⎪⎪⎝⎭=-<≤⎪⎪+<≤⎪⎩．【解析】【分析】（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）抛物线的对称轴为：x＝32，点N的横坐标为：37522+=，即可求解；（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；（4）分0≤t≤5、当5＜t＜t【详解】解：（1）直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣12x2+bx+2，将点C坐标代入上式并解得：b＝32，故抛物线的表达式为：y＝﹣12x2+32x+2…①；（2）抛物线的对称轴为：x＝32，点N的横坐标为：375 22+=，故点N的坐标为（5，-3）；（3）∵tan∠ACO＝2142AOCO==＝tan∠FAC＝12，即∠ACO＝∠FAC，①当点F在直线AC下方时，设直线AF交x轴于点R，∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝32，即点R的坐标为：（32，0），将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：230 2nm n=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：432mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线AR的表达式为：y＝﹣43x+2…②，联立①②并解得：x＝173，故点F（173，﹣509）；②当点F在直线AC的上方时，∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，则点F′（3，2）；综上，点F的坐标为：（3，2）或（173，﹣509）；（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝12AOCO=，则sinα5，cosα5①当0≤t 35时（左侧图），设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，则∠DST ＝∠ACO ＝α，过点T 作TL ⊥KH ，则LT ＝HH ′＝t ，∠LTD ＝∠ACO ＝α，则DT ＝'52co 5c s 2os L HH T t αα===，DS ＝tan DT α， S ＝S △DST ＝12⨯DT ×DS ＝254t ； 35＜t 35时（右侧图），同理可得：S ＝''DGS T S 梯形＝12⨯DG ×（GS ′+DT ′）＝12⨯3+55﹣323594-； 35＜t 53594+；综上，S ＝2535,023593535,(245435935(5)1044t t t t t t ⎧⎛≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨-<≤⎪⎪⎪+<≤⎪⎩．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等，其中（3）、（4），要注意分类求解，避免遗漏．6．如图1所示，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为72，点P 是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ 是平行四边形，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC的面积为整数的P点的个数；（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值．【答案】（1）2214433y x x=-+；（2）9个；（3）33,22或44，；（4）33【解析】【分析】（1）抛物线与y轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb，即可求解；（2）APC∆的面积PHA PHCS S S，即可求解；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P只能在x轴的下方，此时OAP为等腰直角三角形，设点(,)P x y，则0x y+=，即可求解；（4）求出直线AP的表达式为：2(1)(6)3y m x，则直线OQ 的表达式为：2(1)3y m x ②，联立①②求出Q 的坐标，又四边形OPAQ 是平行四边形，则AO的中点即为PQ的中点，即可求解．【详解】解：（1）抛物线与y轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb，解得1434bc，故抛物线的抛物线为：2214433y x x=-+；（2）对于2214433y x x=-+，令0y=，则1x=或6，故点B、A的坐标分别为(1,0)、(6,0)；如图，过点P作//PH y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为：y kx b =+ 由点A （6，0）、C （0，4）的坐标得460b kb，解得423b k， ∴直线AC 的表达式为：243y x =-+①，设点2214(,4)33P x x x ，则点2(,4)3H x x ，APC ∆的面积221122146(44)212(16)22333PHAPHCSSSPH OA x x x x x，当1x =时，10S =，当6x =时，0S =，故使APC ∆的面积为整数的P 点的个数为9个；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方，此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=，即2214433yx x x ，解得：32x =或4，故点P 的坐标为3(2，3)2或(4,4)-；（4）设点2214(,4)33P m m m ，为点(6,0)A ，设直线AP 的表达式为：y kx t =+，由点A ，P 的坐标可得260214433kt kmt m m ，解之得：2(1)326(1)3km tm∴直线AP 的表达式为：2(1)(6)3ym x ， //AP OQ ，则AP 和OQ 表达式中的k 值相同，故直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②，联立①②得：2(1)3243ym x yx ，解得：446mm y x ，则点6(Q m ，44)m，四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点，如图2，作QC x ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，∴OC AD =, 则有，66m m ，解得：33m，经检验，33m 是原分式方程得跟，则633m，故Q 的横坐标的值为33 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解；（2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可；（3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-，故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①，则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=35， ①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-，则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32），AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）；（Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32），故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）；（Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BD AM AN=，即3535AN =，解得：AN=94，故点N （14-，0）、M （-1，32）；故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35，则直线AD 的表达式为：y=3342x -，设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -），则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<，故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．8．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中点A 的坐标是()1,0，点C 的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式．（2）若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC ∆的面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点E ，点M 为直线AC 上的任意一点，过点M 作//MN DE 交抛物线于点N ，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，(1172-+317-)或(1172--，3172) 【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)，求出PQ 的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方；②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方；分别求出点M 的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x 2+bx+c 过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23b c =-⎧⎨=⎩，．∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3．设直线AC 的解析式为y=kx+n ．将点A ，C 坐标代入，得 023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)． ∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2． ∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++．∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)．（3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点， ∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2， ∴点E(-1，2)． ∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形． ∵点M 在直线AC 上，点N 在抛物线上， ∴设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)． ①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方，则 MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2． ∴-t 2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）． ∴此时点M 的坐标为（0，1）．②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方，则 MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2． ∴t 2+t-2=2，解得：t=1172-+或t=1172--． ∴此时点M 的坐标为（117-+，317-）或（117--，317+）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为：（0，1），（117-+，317-）或（1172--，3172+）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．9．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）E （2，73-）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案；（3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.【详解】解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入20y ax bx c a=++≠（）得，03,0934,300a ba bc=+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x=-+-．（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，则11:():():3:222ABD BCDS S AD h DC h AD DC∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y轴，∴25CH DC DHOC AC OA===．∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴26355CH DH==⨯=．∴64255BH BC CH=-=-=．∴tan∠DBC=32DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.10．平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C 的“最佳三点矩形”．如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，面积为；②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【答案】（1）①18,18；②或5；（2）①最小值为12，；②点的坐标为或；（3）,或.【解析】【分析】（1）①根据题意，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积②先求出和的值，再根据m=1以及M、N、P的“最佳三点矩形”的面积是24，可分析出此矩形的邻边长分别为6、4进而求出n的值（2）①结合图形，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值，分别将对应的值代入y=-2x+4即可求出m的取值范围②当M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形时，易得边长为6，将对应的值代入y=-2x+4即可求出P点坐标（3）根据题意画出图像，易得抛物线的解析式【详解】解：（1）①如图，过P做直线AB平行于x轴，过N做直线AC平行于y轴，过M做MB平行于y轴，分别交于点A（-2,4）、C（-2,1）、B（4,1）则AC=BM=3，AB=CM=6故周长=（3+6）=18，面积=3=18故M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积分别为18,18；②∵M（4,1），N（-2,3）∴，又∵m=1，点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积为24∴此矩形的邻边长分别为6，4∴n=-1或5（2）如图1，①易得点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+4，可得x分别为，结合图象可知：②当点M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+4，可得分别为，点P的坐标为（，7）或（，-3）（3）如图2，y=+或y=+【点睛】此题比较灵活，读懂题意，画出图像求解是解题关键。

九年级数学二次函数复习2 浙教版

x 6 2 15.(负值舍去).
x 6 2 15 13.75
练一练:
1。如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水
平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少。
实际问题
数学问题
实际问题------求铅球所经过的路线。
y
6
B(6,5)
4 C
2 A(0,2
)
o2
46
8 10 12
x
解:(1)设函数解析式为:y=a(x-6)2 5
又由A(0, 2),得a 1 , 12
y 1 (x 6)2 5; y 1 x2 x 2
12
12
(2)当 1 x2 x 2 0时, 12
⑴ 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；
⑵ 求球被抛出多远；
⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离是多少m？源自y1510
5
10 20 30 40 50
x
练一练：
2.以墙为一边，
用篱笆围成长方形
场地，一边开2米
宽的门，并用平行于一边的篱笆隔开
A
D
（如图）。已知篱
笆总长58米，AB
B
C
Y
．
A(0,1.25)B(1,2.25 ）
O x
综合运用2.甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：
速度x（千米/小时） 0 刹车距离y（米） 0
5 10 15 20 25 …

人教版初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案(2)(K12教育文档)

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二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++(a b c ，，是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1。

二次函数基本形式：2y ax =的性质: a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2。

2y ax c =+的性质：上加下减。

3。

()2y a x h =-的性质：左加右减。

4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下:【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移;k 值正上移，负下移"．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．六、二次函数2y ax bx c =++的性质1。

九年级二次函数复习

x k y =二次函数复习一、知识回顾（做题并反思考查哪些知识点？你是怎样解决的？）1、当=m 时，函数()222-+=mx m y 为二次函数。

2、二次函数()132+--=x y 图象的开口，顶点坐标为。

3、抛物线：y= x 2-2x-3 的开口，顶点坐标为对称轴为，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小。

当x=时y 有最值为。

该图象与x 轴交点（填有或无），若有交点，交点的坐标为，与y 轴的交点为。

请画出该图象的草图。

据图象可知方程x 2-2x-3=0的根为，不等式x 2-2x-3＞0的解集为。

反思总结：二次函数解析式常用的求解方法①一般式： ②顶点式： ③交点式变式训练1：请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式. 变式训练2：已知点A 、B 、C 在函数的图象上，则、、的大小关系是（）。

A 、B 、C 、D 、变式训练3：已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图（一）所示，（1)abc 0 ；（2)a+b+c0；（3)a-b+c0；（4)2a-b0；（5)b 2-404、将y=2x 2的图象向左平移3个单位，向下平移2个单位，得到的新图象的表达式为。

变式训练1、将一抛物线向左平移3个单位，向下平移2个单位，得到的新图象的表达式为y=2x 2则原来抛物线的表达式为。

变式训练2、将二次函数y=2x 2图象所在的平面直角坐标的纵、横轴分别向左平移3个单位，向下平移2个单位，则在新的坐标系中该图象的表达式为。

二、展示反馈 (考点训练)（一）函数的图象与性质的考查 1、二次函数422-=x y 图象的开口，顶点坐标为对称轴为。

2、二次函数c bx ax y ++=2与一次函数在同一直角坐标系中图象大致是（）。

数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（） 3、已知反比例函4、二次函数y=x 2+ax+4的图象顶点在x 轴上，则a=，若顶点在y 轴上，则a=。

初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案 (2)

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()0c ，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．0a <向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a > 向上()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．0a <向下()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a < 向下()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =--3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

九下数学复习题二次函数

九下数学复习题二次函数九下数学复习题二次函数二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是学生们经常接触到的数学概念之一。

在九年级的数学学习中，学生们经过了对一次函数的学习和掌握，接下来将迈入二次函数的学习阶段。

本文将以九下数学复习题为线索，探讨二次函数的相关知识点，帮助学生们更好地理解和应用。

一、二次函数的定义和基本形式二次函数是指函数的自变量的最高次幂为2的函数。

它的一般形式可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

其中，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，b决定了二次函数的对称轴位置，c决定了二次函数的纵坐标偏移。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向和开口大小二次函数的开口方向由a的正负决定，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。

2. 对称轴和顶点坐标二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，过顶点。

对称轴的方程为x = -b/2a。

顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 零点和交点二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即函数值为0的点。

二次函数的交点是函数图像与其他直线或曲线的交点。

三、二次函数的应用1. 最值问题通过对二次函数的图像特征的分析，我们可以求解二次函数的最值问题。

对于开口向上的二次函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，最大值为顶点的纵坐标。

2. 零点问题通过对二次函数的图像特征的分析，我们可以求解二次函数的零点问题。

对于开口向上的二次函数，零点为函数图像与x轴的交点；对于开口向下的二次函数，没有零点。

3. 二次函数与其他函数的关系二次函数与一次函数、指数函数、对数函数等都有一定的关系。

通过对二次函数的图像特征和相关函数的特征的分析，我们可以探究它们之间的关系，并应用到实际问题中。

四、九下数学复习题中的二次函数题目在九下数学复习题中，有许多关于二次函数的题目，涉及到二次函数的定义、基本形式、图像特征、应用等方面的知识点。

初三数学家庭作业 y=ax^2

初三数学家庭作业二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的图象一、知识要点1、抛物线是＿＿＿＿＿＿＿＿的对称图形2、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫抛物线的顶点.二、基础训练1、二次函数y ＝ax 2的图象是＿＿＿＿＿＿，它关于＿＿＿＿＿对称，顶点坐标为＿＿＿＿2、y ＝－2x 2的开口＿＿＿＿＿，它关于＿＿＿＿＿＿对称，顶点坐标为＿＿＿＿＿＿＿ y ＝2x 2的开口＿＿＿＿＿，它关于＿＿＿＿＿＿对称，顶点坐标为＿＿＿＿＿＿＿4、下列点的坐标：①（3，1），②（1，3），③（31，1），④（－1，3），⑤（21，0.75），⑥（2，6），在二次函数y ＝3x 2图象上的有＿＿＿＿＿＿＿（填序号）5、在同一坐标系中画出二次函数y ＝21x 2，y ＝－x 2与y ＝2x 2的图象，其中开口最大的图象应是＿＿＿＿＿＿6、关于二次函数y ＝2x 2与y ＝－2x 2的图象，下列说法错误的是（）A 、图象都是抛物线B 、对称轴都为y 轴C 、顶点都为原点D 、两者的图象都在x 轴的上方7、已知二次函数y ＝－2ax 2，当x ＝2时，y ＝8，则当x ＝21时，y 的值是（）8、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象9、已知y ＝m m mx 2是x 的二次函数（1）当m 取何值时，该二次函数的图象的开口向上？（2）在第（1）小题的条件下①当x 取何值是，y ＞0？②当x 取何值时，在y 2＞y 1时，总有x 2＞x 1？③当x 取何值时，在y 2＞y 1时，总有x 2＜x 1？三、能力提升1、已知函数y ＝ax 2的图象过点（3，5）及（2，t ）（1）求a 和t 的值；（2）试判断这个函数的图象是否过点（－3，5）.2、作出函数y ＝－x 2的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当x ＝23时，y 的值是多少？（2）当y ＝－8时，x 的值是多少？（3）当x ＜0时，随着x 值的增大，y 值如何变化？当x ＞0时，随着x 值的增大，y 值如何变化？（4）当x 取何值时，y 值最大？最大值是多少？3、画出二次函数y ＝－x 2的图象（1）当－2＜x ＜3时，求y 的取值范围；（2）当－4＜y ＜－1时，求x 的取值范围.四、预习感知1、阅读课本P11－122、抛物线y ＝ax 2（a ≠0）的顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿＿＿（1）当a ＞0时，抛物线开口向＿＿＿＿，顶点是抛物线的最＿＿＿＿点x ＞0时，y 随x 的增大而＿＿＿＿，x ＜0时，y 随x 的增大而＿＿＿＿，x ＝0时y 的值最小，最小值是＿＿＿＿＿（2）当a ＜0时，抛物线开口向＿＿＿＿，顶点是抛物线的最＿＿＿＿点x ＞0时，y 随x 的增大而＿＿＿＿，x ＜0时，y 随x 的增大而＿＿＿＿，x ＝0时y 的值最小，最小值是＿＿＿＿＿3、应用（1）抛物线y ＝－21x 2的顶点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）当x ＞0时，函数y ＝－41x 2的值随x 的增大而＿＿＿＿＿。

初三数学家庭作业二次函数的定义

初三数学家庭作业第六章二次函数二次函数的定义一、知识要点1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的函数称为二次函数.2、二次函数自变量的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿二、基础训练1、用一根24cm 的铁丝围成一个长方形，若设长为xcm ，则面积S ＝＿＿＿＿＿＿2、边长为5m 的正方形中间挖去一个边长为xm 的小正方形，剩下的四方框形成的面积为ym 2，则y 与x 的函数关系式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿3、当m ＿＿＿＿＿＿时，函数y ＝（m －2）x 2＋3x －5（m 为常数）是二次函数.4、若函数y ＝（m 2＋m ）m m x -2是二次函数，则m 的值为＿＿＿＿＿5、将y ＝－（x －1）2－2x 化为一般形式后，a ＝＿＿＿，b ＝＿＿＿＿，c ＝＿＿＿＿6、有下列函数，其中是二次函数有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、若函数y ＝（m －3）2092+-m m x 是二次函数，则m 的值为（）A 、3B 、－3C 、6D 、6或38、下列函数关系中，可以看做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）模型的是（）A 、在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B 、我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C 、竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D 、圆的周长与圆的半径之间的关系9、如图，在直径20cm 的圆形铁片中，挖出四个半径都为xcm 的圆，剩余部分的面积为ycm 2，则y 与x 间的函数关系式为（）A 、y ＝400π－4πx 2B 、y ＝100π－2πx 2C 、y ＝100π－4πx 2D 、y ＝200π－4πx 210、如图，在直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，设直线l ⊥BC ，且l 从C 向B 平移，若CH ＝x ，阴影部分面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式.11、为解决药价虚高给老进姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品价格分两次降价，设平均每次降价的百分率均为x ，该药品的原价是m 元，降价后的价格是y 元，求y 与x 之间的函数关系式.12、一根水泥柱的横截面积是边长为x （cm ）的正方形，水泥柱的高为y （cm ）（1）写出水泥柱体积V （cm 3）的公式；（2）当x 是常量时，V 是y 的什么函数？（3）当y 是常量时，V 是x 的什么函数？三、能力提升1、若y ＝（m －3）72 m x－（m ＋1）x ＋（m －2）是二次函数，求m 的取值范围.2、心理学家发现，在一定范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：min）之间满足函数关系式：y＝－0.1x2＋2.6x＋43（0≤x≤30），y的值越大，表示接受能力越强.（1）若用10min提出概念，学生的接受能力y的值是多少？（2）如果改用8min或15min来提出这一概念，那么与用10min相比，学生的接受能力是增强了，还是减弱了？通过计算来回答.预习感知1、阅读课本P9－102、二次函数y＝x2与y＝－x2的图象都关于＿＿＿＿＿对称3、画出函数y＝x2的图象。

初三二次函数数学家庭作业

初三二次函数数学家庭作业二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

查字典数学网小编为大家准备了这篇二次函数数学家庭作业，希望对同学们有所帮助。

初三二次函数数学家庭作业一、选择题:1.(2019?大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=-2D.直线x=22.(2019?重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b, )在( ).A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;D.第四象限3.(2019?天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a0,则一定有( ).A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0C.b2-4ac4,那么AB的长是( ).A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m二、填空题1.(2019?河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=_______.2.(2019?新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.3.(2019?天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.4.(2019?武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.5.(2019?黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.6.(2019?北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:甲:对称轴是直线x=4;乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:三、解答题1.(2019?安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.2.(2019?济南)已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x轴有A、B 两个交点,且A、B两点关于y轴对称.(1)求m的值;(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.3.(2019?南昌)在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y•轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示).要练说，得练听。

2021年初三数学家庭作业试题：二次函数y=a(h)2+k的图题型归纳

2021年初三数学家庭作业试题：二次函数y＝a（h）2＋k的图题型归纳如果令y值等于零，则可得一个二次方程。

该方程的解称为方程的根或函数的零点。

小编为大家准备了这篇初三数学家庭作业试题，接下来我们一起来练习。

____初三数学家庭作业试题：二次函数y＝a（_－h）2＋k的图一、选择题：1、抛物线的顶点坐标为( )A、(-1， )B、(1， )C、(-1，— )D、(1，— )2、对于的图象，下列叙述正确的是( )A、顶点坐标为(-3,2)B、对称轴是直线C、当时，随的增大而增大D、当时，随的增大而减小3、将抛物线向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为( )A、 B、 C、 D、4、抛物线可由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是( )A、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位C、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位D、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位5、如图，把抛物线y=_2沿直线y=_平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是( )A、y=(_+1)2-1 B.y=(_+1)2+1 C.y=(_-1)2+1 D.y=(_-1)2-16、设A(-1， )、B(1， )、C(3， )是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是( )A、7、若二次函数 .当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是( )A. =lB. >lC. ≥lD. ≤l8、二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过( )A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限二、填空题：1、抛物线的对称轴是，顶点坐标是 ;当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，取最值为。

2、抛物线的顶点在第三象限，则有满足 0， 0。

3、已知点A( ， )、B( ， )在二次函数的图象上，若，则 (填“>”、“4、抛物线的顶点坐标为P(2,3)，且开口向下，若函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围为。

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初三数学家庭作业
二次函数复习（二）
一、知识要点
1、二次函数抛物线y ＝a （x ＋m ）2＋n 的对称轴为＿＿＿＿＿，顶点为＿＿＿＿＿＿
（1）当a ＞0时，开口向＿＿＿＿＿；当a ＜0时，开口向＿＿＿＿＿＿
（2）当a ＞0时，若x ＞－m 时，y 随x 的增大而＿＿＿＿＿＿
若x ＜－m 时，y 随x 的增大而＿＿＿＿＿＿
若x ＝－m 时，y 有最＿＿＿＿值是＿＿＿＿＿＿
（3）a ＜0时，若x ＞－m 时，y 随x 的增大而＿＿＿＿＿＿
若x ＜－m 时，y 随x 的增大而＿＿＿＿＿＿
若x ＝－m 时，y 有最＿＿＿＿值是＿＿＿＿＿＿
二、基础训练
1、已知抛物线y ＝2
1x 2＋bx ＋3 （1）如果该抛物线经过点（2，1），那么b ＝＿＿＿＿＿
（2）如果该抛物线的对称轴为y 轴，那么b ＝＿＿＿＿
（3）如果该抛物线的顶点在x 轴上，那么b ＝＿＿＿＿
2、已知抛物线y ＝3x 2＋2x ＋c
（1）如果经过原点，那么c ＝＿＿＿＿＿＿
（2）如果该抛物线和y 轴交点的纵坐标为－3，那么c ＝＿＿＿＿＿＿
（3）如果该抛物线和x 轴有两个交点，那么c 的取值范围是＿＿＿＿＿＿
（4）如果该抛物线和x 轴只有一个公共点，那么c ＝＿＿＿＿，这个公共点的坐标是＿＿＿＿＿＿，这时方程－3x 2＋2x ＋c ＝0的解是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（5）如果该抛物线和x 轴没有交点，那么c 的取值范围是＿＿＿＿＿
3、设抛物线y ＝x 2－2x －3的顶点为P ，和x 轴交于点A 、B ，和y 轴交于点C ，坐标原点为O ，分别求出△PAB 和△POC 的面积.
4、将抛物线y＝2x2向右平移m个单位，再向下平移n个单位，所得的图像经过点（－1，1）和（2，3）两点，求这个图像所对应的函数关系式.
5、某商业公司为指导某种应季商品的生产的销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2），根据图象提供的信息解答下列问题：（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（单件利润＝售价－成本）。

（2）求图中表示的一件商品的成本Q（元）与t（月）之间的函数关系式；
（3）你能求出三月份至七月份一件商品的利润W（元）与t（月）之间的函数关系
式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？
图1图2
6、已知：如图，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC 交AC于F，设DF＝x.
（1）求△DEF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，△EDF的面积最大？最大面积是多少？
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD的长.
三、能力提升
1、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．
（1）直接写出点E 、F 的坐标；
（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．
于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
2、如图，四边形OABC 是矩形，OA=4，OC=8，，将矩形OABC 沿直线AC 折叠，使点B 落在D 处，AD 交OC 于E ．
（1）求OE 的长；
（2）求过O ，D ，C 三点抛物线的解析式；
（3）若F 为过O ，D ，C 三点抛物线的顶点，一动点P 从点A 出发，沿射线AB 以每秒1
个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t （秒）为何值时，直线PF 把ΔFAC 分成面
积之比为1：3的两部分？
四、预习感知
1、阅读课本P37－40
2、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫正切
3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanA＝＿＿＿＿，tanB＝＿＿＿。