第2讲 普通最小二乘法
第三讲普通最小二乘法
在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：
Yi 0 1 X i i
随机抽取n组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）。
假如模型的参数估计量已经求得，为 那么Yi服从如下的正态分布： 于是，Y的概率函数为
2 ˆ ˆ Yi ~ N ( 0 1 X i , )
② 用最小二乘法拟合的直线来代表 x 与 y 之间的 关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
2. 正规方程和估计量
取偏导数并令其为0，可得正规方程 ( ei2 ) ˆ ˆ X )0 2 (Yi 1 2 i ˆ
( ei2 ) ˆ ˆ X )X 0 2 (Yi 1 2 i i ˆ
普通最小二乘法（OLS） （Ｏrdinary Least Squares) 高斯被认为是历史上 最重要的数学家之一，并 享有“数学王子”之称。 高斯和阿基米德、牛顿并 列为世界三大数学家。一 生成就极为丰硕，以他名 字“高斯”命名的成果达 110个，属数学家中之最。
C.F.Gauss 1777－1855
解得模型的参数估计量为：
ˆ X i2 Yi X i Yi X i 0 nX i2 (X i ) 2 ˆ nYi X i Yi X i 1 2 2 n X ( X ) i i
可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型 结构参数的 最大或然估计量 与 普通最小
6
在家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽出的一组样 本数，参数估计的计算可通过下面的表进行。
表 2.2.1 参数估计的计算表
Xi
Yi
xi
yi
xi y i
xi2
y i2
X i2
Yi 2
最小二乘法行列式和特征值
左零空间 dim N(AT)=m-r
图中绘制空间成 90 度角，这是表示这两个空间正交。这张图是 GS 最得意的作 品之一，它反映了四个子空间的关系，在后面的课程中可以看到其两两形成正交补， 在 Rn 空间中的向量会向两个子空间射影，并向 Rm 空间形成映射，反之亦然。
正交向量 Orthogonal vectors
所以将两个方程式写成矩阵形式即为 AT(b- Axˆ )=0。这与一维投影的方程形式相同。
向量 e=b- Axˆ 存在于矩阵 AT 的零空间 N(AT)里，从上一讲讨论子空间的正交
性可知，向量 e 与矩阵 A 的列空间正交，这也正是方程的意义。
将方程 AT(b- Axˆ )=0 改写，可得 AT Axˆ =ATb。两侧左乘(ATA)-1，得到：
A 的列空间 p
b
e A 的左零空间
p+e=b，说明 b 由两部分组成： p=P b 为 A 的列空间中的部分； e=(I-P )b 为 A 的左零空间中的部分。 I-P 为左零空间的投影矩阵，可以验证 (I-P )T=(I-P )，并且(I-P )2=(I-P )。
最小二乘法 Least Squares 应用投影矩阵求方程组最优解的方法，最常用于“最小二乘法”拟合曲线。
题在于向量 Ax 一定在矩阵 A 的列空间之内，但是 b 不一定，因此我们希望将 b 投 影到 A 的列空间得到 p，将问题转化为求解 A =p。 在高维投影 Projection in higher dimensions
在 R3 空间内，如何将向量 b 投影到它距离平面最近的一点 p？ b
p
如果 a1 和 a2 构成了平面的一组基，则平面就是矩阵 A=[a1a2]的列空间。
=
计量经济学讲义第二讲(共十讲)
第二讲 普通最小二乘估计量 一、基本概念：估计量与估计值对总体参数的一种估计法则就是估计量。
例如，为了估计总体均值为u ，我们可以抽取一个容量为N 的样本，令Y i 为第i 次观测值，则u 的一个很自然的估计量就是ˆiY uY N==∑。
A 、B 两同学都利用了这种估计方法，但手中所掌握的样本分别是12(,,...,)A A AN y y y 与12(,,...,)B B B N y y y 。
A 、B 两同学分别计算出估计值ˆAiA y uN=∑与ˆBiB y uN=∑。
因此，在上例中，估计量ˆu是随机的，而ˆˆ,A B u u 是该随机变量可能的取值。
估计量所服从的分布称为抽样分布。
如果真实模型是：01y x ββε=++，其中01,ββ是待估计的参数，而相应的OLS 估计量就是：1012()ˆˆˆ;()iiix x yy x x x βββ-==--∑∑ 我们现在的任务就是，基于一些重要的假定，来考察上述OLS 估计量所具有的一些性质。
二、高斯-马尔科夫假定●假定一：真实模型是：01y x ββε=++。
有三种情况属于对该假定的违背：（1）遗漏了相关的解释变量或者增加了无关的解释变量；（2）y 与x 间的关系是非线性的；（3）01,ββ并不是常数。
●假定二：在重复抽样中，12(,,...,)N x x x 被预先固定下来，即12(,,...,)N x x x 是非随机的（进一步的阐释见附录），显然，如果解释变量含有随机的测量误差，那么该假定被违背。
还存其他的违背该假定的情况。
笔记：12(,,...,)N x x x 是随机的情况更一般化，此时，高斯-马尔科夫假定二被更改为：对任意,i j ,i x 与j ε不相关，此即所谓的解释变量具有严格外生性。
显然，当12(,,...,)N x x x 非随机时，i x 与j ε必定不相关，这是因为j ε是随机的。
●假定三：误差项期望值为0，即()0,1,2i E i N ε==。
应用回归分析-第7章课后习题参考答案
应⽤回归分析-第7章课后习题参考答案第7章岭回归思考与练习参考答案7.1 岭回归估计是在什么情况下提出的？答：当⾃变量间存在复共线性时，｜X’X ｜≈0，回归系数估计的⽅差就很⼤，估计值就很不稳定，为解决多重共线性，并使回归得到合理的结果，70年代提出了岭回归(Ridge Regression,简记为RR)。
7.2岭回归的定义及统计思想是什么？答：岭回归法就是以引⼊偏误为代价减⼩参数估计量的⽅差的⼀种回归⽅法，其统计思想是对于（X ’X ）-1为奇异时，给X’X 加上⼀个正常数矩阵D, 那么X’X+D接近奇异的程度就会⽐X ′X 接近奇异的程度⼩得多，从⽽完成回归。
但是这样的回归必定丢失了信息，不满⾜blue 。
但这样的代价有时是值得的，因为这样可以获得与专业知识相⼀致的结果。
7.3 选择岭参数k 有哪⼏种⽅法？答：最优k 是依赖于未知参数β和2σ的，⼏种常见的选择⽅法是：○1岭迹法：选择0k 的点能使各岭估计基本稳定，岭估计符号合理，回归系数没有不合乎经济意义的绝对值，且残差平⽅和增⼤不太多；○2⽅差扩⼤因⼦法：11()()()c k X X kI X X X X kI --'''=++，其对⾓线元()jj c k 是岭估计的⽅差扩⼤因⼦。
要让()10jj c k ≤；○3残差平⽅和：满⾜()SSE k cSSE <成⽴的最⼤的k 值。
7.4 ⽤岭回归⽅法选择⾃变量应遵循哪些基本原则？答：岭回归选择变量通常的原则是：1. 在岭回归的计算中，我们通常假定涉及矩阵已经中⼼化和标准化了，这样可以直接⽐较标准化岭回归系数的⼤⼩。
我们可以剔除掉标准化岭回归系数⽐较稳定且绝对值很⼩的⾃变量；2. 当k 值较⼩时，标准化岭回归系数的绝对值并不很⼩，但是不稳定，随着k的增加迅速趋近于零。
像这样岭回归系数不稳定、震动趋于零的⾃变量，我们也可以予以剔除；3.去掉标准化岭回归系数很不稳定的⾃变量。
最小二乘法圆拟合资料讲解
最小二乘法圆拟合最小二乘法拟合圆公式推导及vc实现[r]最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
最小二乘法通常用于曲线拟合 (least squares fitting) 。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和 vc实现。
此处使用平方差与最小二乘法差的平方不一样，但是仍然具有实用估计价值，并且可以化简公式。
VC实现的代码：C++类void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting() {if (m_nNum<3){return;}int i=0;double X1=0;double Y1=0;double X2=0;double Y2=0;double Y3=0;double X1Y1=0;double X1Y2=0;double X2Y1=0;for (i=0;i<m_nNum;i++){X1 = X1 + m_points[i].x;//使用对象数组Y1 = Y1 + m_points[i].y;X2 = X2 + m_points[i].x*m_points[i].x;Y2 = Y2 + m_points[i].y*m_points[i].y;X3 = X3 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].x;Y3 = Y3 + m_points[i].y*m_points[i].y*m_points[i].y;X1Y1 = X1Y1 + m_points[i].x*m_points[i].y;X1Y2 = X1Y2 + m_points[i].x*m_points[i].y*m_points[i].y; X2Y1 = X2Y1 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].y; }double C,D,E,G,H,N;double a,b,c;N = m_nNum;C = N*X2 - X1*X1;D = N*X1Y1 - X1*Y1;E = N*X3 + N*X1Y2 - (X2+Y2)*X1;G = N*Y2 - Y1*Y1;H = N*X2Y1 + N*Y3 - (X2+Y2)*Y1;a = (H*D-E*G)/(C*G-D*D);b = (H*C-E*D)/(D*D-G*C);c = -(a*X1 + b*Y1 + X2 + Y2)/N;double A,B,R;A = a/(-2);B = b/(-2);R = sqrt(a*a+b*b-4*c)/2;m_fCenterX = A;m_fCenterY = B;return; }。
最小二乘参数辨识方法
《系统辨识基础》第17讲要点第5章 最小二乘参数辨识方法5.9 最小二乘递推算法的逆问题辨识是在状态可测的情况下讨论模型的参数估计问题，滤波是在模型参数已知的情况下讨论状态估计问题，两者互为逆问题。
5.10 最小二乘递推算法的几种变形最小二乘递推算法有多种不同的变形，常用的有七种情况：① 基于数据所含的信息内容不同，对数据进行有选择性的加权； ② 在认为新近的数据更有价值的假设下，逐步丢弃过去的数据； ③ 只用有限长度的数据；④ 加权方式既考虑平均特性又考虑跟综能力； ⑤ 在不同的时刻，重调协方差阵P (k )； ⑥ 设法防止协方差阵P (k )趋于零； 5.10.1 选择性加权最小二乘法 把加权最小二乘递推算法改写成[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+--=--+-=-)1()]()([)(1)()1()()()()1()()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ1k k k k k k k k k k k k k k k z k k k P h K P h P h h P K h K τττθθθI ΛΛ算法中引进加权因子，其目的是便于考虑观测数据的可信度．选择不同的加权方式对算法的性质会有影响，下面是几种特殊的选择：① 一种有趣的情况是Λ()k 取得很大，在极限情况下，算法就退化成正交投影算法。
也就是说，当选择⎩⎨⎧=-≠-∞=0)()1()(,00)()1()(,)(k k k k k k k h P h h P h ττΛ 构成了正交投影算法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=--+-=)1()]()([)()()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆk k k k k k k k k k k k k z k k k P h K P h P h h P K h K τττθθθI 算法初始值取P ()0=I 及 ()θε0=(任定值)，且当0)()1()(=-k k k h P h τ时，令K ()k =0。
1.2教案《误差理论与测量平差》第二章平差数学模型与最小二乘原理
授课题目：第二章 平差数学模型与最小二乘原理教学方法：理论讲授 教学手段：多媒体课件教学；以电子课件为主，投影及板书相结合为辅，使学生能够充分利用课堂有效的时间了解尽可能多的相关知识。
本章教学时数：4学时内容提要：主要介绍必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念；测量平差的函数模型及两种平差的基本方程：条件方程和误差方程式；其它函数模型：附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差，以及平差的随机模型的概念及形态；平差基本方程的线性化，最小二乘原理。
教学要求：理解必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念，掌握条件方程和误差方程式含义和最小二乘原理，会进行平差基本方程--条件方程和误差方程式的线性化。
本章重点：重点掌握测量平差数学模型的类型、建立方法，平差随机模型的意义和形态，以及最小二乘原理在测量平差中的应用。
教学难点：教学难点是对平差函数与随机模型含义与建立方法的理解。
本章教学总的思路：地理空间几何图形内部存在着严格的数学关系，测绘获得的是地理空间几何图形的基本元素，如角度（或方向值）、边长、高差的最佳估值，必须满足地理空间几何图形的基本数学关系，这是建立测量平差基本方程--条件方程和误差方程式的基础，在讲清楚这一点的基础上讲解基础方程的建立，进而推开讲解附有参数的条件方程、附有限制条件误差方程模型，并说明平差的随机模型的概念。
为解算的需要必须线性化条件方程式和误差方程式，其基本方法是利用泰勒级数展开基本方程并取其至一次项，从而完成线性化；在解释天然的平差模型为什么没有唯一解的原因基础上，讲解最小二乘原理，并举例验证，以此突破本课程难点内容的教学。
最后对教学重点内容作概括性总结，使学生加深理解与认知的程度。
§1测量平差概述本节教学时数：0.5学时本节重点：（1）测量元素-—角度（方向）、长度、高差、几何图的数学关系（2）观测值个数、必要观测数、多余观测数及其作用；（3）观测值、改正数、最优改正数、最优估值，平差的概念本节教学思路：以日常生活中最常见到的简单几何图三角形为例，说明测量观测值、平差值、几何图数学关系，平差模型与平差的概念，为下一节的讲讲解作好知识铺垫。
第2讲 简单回归模型
SST = SSE = SSR =
∑
n
n
i =1
(Y i − Y ) 2 (Y i − Y ) 2
∧ 2 i ∧
∑
n i =1
i=1
7
总体回归函数
o 总体回归函数（population regression function, PRF） 总体回归函数（ ）
在零条件均值假定下， 在零条件均值假定下， E (Y | X ) = E [( β 0 + β 1 X + u ) | X ] = β 0 + β 1 X
β 0 + β 1 X表示 X取某一确定值时 Y的均值，称为系统性成 分； 的均值，
ˆ ˆ ˆ 定义Yi = β 0 + β 1 X i 为X = X i 时Y的拟合值 ˆ ˆ ˆ ˆ 定义u = Y − Y = Y − β − β X 为X = X 时的残差
i i i i 0 1 i i
ˆ ˆ ˆ 定义Y = β 0 + β 1 X为总体回归函数 E (Y | X ) = β 0 + β 1 X 的样本回归函数 ˆ ∆Y ˆ ˆ ，表示 X变化一个单位时 Y的变化量 β1 = ∆X ˆ ˆ β 表示X = 0时Y的值
第二讲 简单回归模型
Simple Regression Model
一、基本概念 二、普通最小二乘法（OLS） 普通最小二乘法（ ） 三、几个问题 四、OLS估计量的性质 估计量的性质
一、基本概念
1. 回归的涵义 2. 一个基本假定 3. 总体回归函数
回归的涵义
o 最初的涵义：回归（regress）一词最早由英国生理学家高 最初的涵义：回归（ ） 尔顿（ 尔顿（Galton）提出，用以指给定父母的身高后，儿女的 ）提出，用以指给定父母的身高后， 身高有回复到人口总体平均身高的趋势， 身高有回复到人口总体平均身高的趋势，即“回归到中等 ”（regression to mediocrity） ） o 回归分析：在其他条件不变的情况下，考察一个变量对另 回归分析：在其他条件不变的情况下， 一个变量的影响。 一个变量的影响。
高级计量经济学练习试题版(2)
第一讲作业题为分析不同州的公共教育支出花费在学生身上的教育经费，估计了如下的回归方程：式中，S代表第i个州花费在每个公立学校学生身上的教育经费；Y代表第i个州的资本收入；G代表第i个州公立学校学生的增长率。
1A 说明变量Y与变量G的参数估计值的经济意义。
作业题 21B 你预期变量Y和G的参数符号各是什么？请说明理由。
估计结果与你的预期一致吗？作业题 31C 变量G是用小数来衡量的，因此，当一个州的招生人数增加了10%时，G等于0.1。
如果变量G用百分比的形式来衡量，那么当一个州的招生人数增加了10%时，G等于10。
此时，方程的参数估计值会如何变化？（文字说明即可）作业题 4Jaime Diaz发表在《体育画报》上的一篇论文研究了美国职业高尔夫球协会（PGA）巡回赛中不同距离的推杆次数。
论文中建立了推杆进洞次数百分比（P）关于推杆距离（L，英尺）的关系式。
推杆距离越长，进洞的可能性越小。
可以预测，L的参数估计值为负。
回归方程如下：2A 说明L的参数估计值的经济意义。
作业题 52B 利用该方程估计一个PGA高尔夫球员10英尺推杆进球的次数百分比。
再分别估计1英尺和25英尺的情况。
结果是否符合现实？作业题 62C 上一题的答案说明回归分析时存在什么问题？第二讲作业题作业题 11 查尔斯·拉弗（Charles Lave）发表了一篇驾驶员交通事故率的研究报告。
他的总体结论是驾驶速度的方差（同一公路上汽车驾驶速度差异的程度）是交通事故率的重要决定因素。
在他的分析中，采用两年的全美数据分别估计，得出的回归方程为：第一年：第二年：式中，代表第i个州州际公路上的交通事故数量（单位：车辆每行驶一亿英里的交通事故数）；代表一个不确定的估计截距；代表第i个州的驾驶速度的方差；代表第i个州每名驾驶员的平均罚单数量；代表第i个州内每平方英里医院的数量。
1a.考察变量的理论依据，给出其参数符号的预期。
作业题 21b.这两年的参数估计的差异是否值得重视？请说出你的理由。
最小二乘估计讲课文档
(2)因为 b＝12＞0，所以 2011 年至 2017 年该地区农村居民家庭人均纯收 入稳步增长，预计到 2019 年，该地区农村居民家庭人均纯收入 y＝0.5×9＋ 2.3＝6.8(千元)，所以预计到 2019 年，该地区农村居民家庭人均纯收入约 6.8 千元．
第十五页，共46页。
第四十一页，共46页。
6.5 8 327 396 y＝1.14x＋0.59 [根据公式代入即可求得，也可以利
6
6
用计算器求得 x ＝6.5， y ＝8，i＝1x2i ＝327，i＝1xiyi＝396，回归方程为 y＝1.14 x
＋0.59.]
第四十二页，共46页。
5．某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，得下表 数据：
第一页，共46页。
最小二乘估计
学习目标：1.了解最小二乘法的思想及意义．(重点)2.会求线性回归方程 并进行简单应用．(难点)
第二页，共46页。
[自 主 预 习·探 新 知]
1．最小二乘法 利用最小二乘法估计时，要先作出数据的 散点图 ．如果散点图呈现一定 的规律性，我们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈现出线性关系，我 们可以用最小二乘法 估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关 系，我们就要利用其他的工具进行拟合．
第十三页，共46页。
[解] (1)因为 t ＝1＋2＋7…＋7＝4， y ＝2.9＋3.3＋3.6＋47.4＋4.8＋5.2＋5.9＝4.3， 设回归方程为 y＝bt＋a，代入公式，经计算得 b＝3×1.4＋2＋90＋.74＋＋01＋×0.25＋1.8＋4.8＝141×4 2＝12， a＝ y －b t ＝4.3－12×4＝2.3， 所以 y 关于 t 的回归方程为 y＝0.5t＋2.3.
第2讲 普通最小二乘法
对β 求导并令其等于0可得 k×k
X X X y
满足什么条件，这 个方程才有解？ 满足什么条件， X X 才可逆？
若矩阵 X 的逆存在，则上述方程有解 X
ˆ ( X X )1 X y
X 假定2：数据矩阵X列满秩，即矩阵 X 的逆存在。
列满秩的隐含意思是各个自变量之间相互独立。
样本回归线通过Y和X的样本均值 残差之和为0 OLS是“最优”的估计方法
© School of Management and Economics, 2010
第二讲 普通最小二乘法
一个例子：Eviews演示
收入－消费问题（ data_2.1 ）：Y是消费，X是 收入。
回归方程：
Y =0 1 X
若无偏，则有
假定3是什么意思？
假定3：E[ | X ] 0
因在假定1之下有
E[ | X ] 0 cov[ X , E[ | X ]] cov[ X , ] 0 E[ X ] 0
有效性
ˆ ˆ ˆ var[ ] E[( )( )] E[( X X ) 1 X X ( X X ) 1 ]
第二讲 普通最小二乘法
多元回归模型的OLS估计
最简单的多元线性回归是三变量模型
三变量模型，即含有一个因变量和两个解释变量，其 总体回归函数PRF为：
Yi 0 1 X1i 2 X 2i i X 2i 表示什么意思？
© School of Management and Economics, 2010
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第二讲 普通最小二乘法
最小二乘法的计算方法
题目
最小二乘法计算公式是什么？
答案解析
最小二乘法公式是一个数学的公式，在数学上称为曲线拟合，此处所讲最小二乘法，专指线性回归方程！最小二乘法公式为a=y(平均)-b*x（平均）。
最小二乘法（（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
扩展资料：
普通最小二乘估计量具有上述三特性：
1、线性特性
所谓线性特性，是指估计量分别是样本观测值的线性函数，亦即估计量和观测值的线性组合。
2、无偏性
无偏性，是指参数估计量的期望值分别等于总体真实参数。
3、最小方差性
所谓最小方差性，是指估计量与用其它方法求得的估计量比较，其方差最小，即最佳。
最小方差性又称有效性。
这一性质就是著名的高斯一马尔可夫（（Gauss-Markov）定理。
这个定理阐明了普通最小二乘估计量与用其它方法求得的任何线性无偏估计量相比，它是最佳的。
最小二乘法讲解
历史简介
• 1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。 经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失 去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始 寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。 时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里 希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
5
例题
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习题
假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（1）求回归直线方程；
（2）估计使用10年 时，维修费用约是
多少？
16
习题
解：根据散点图知 x 与 y 成线性相关关系
（1）列表
xi
yi
xi 2
xi yi
2
2.2
4
4.4
3
3.8
9
11.4
4
5.5
16
22
5
6.5
25
32.5
6
7.0
36
42
合计 20
25
90 112.3
x4
y5
17
习题
112.3 5 4 5 b 90 5 42 1.23 a 5 1.23 4 0.08
2
历史简介
• 高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》 中。
最小二乘法公式例题
最小二乘法公式例题在我们学习数学的过程中，有一个非常实用的工具叫做最小二乘法。
这玩意儿听起来可能有点高大上，但其实没那么可怕，咱们通过一些例题来好好瞅瞅它。
我记得有一次给学生们讲最小二乘法的时候，有个学生瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这到底是啥呀？”我笑着回答：“别着急，咱们一步步来。
”咱们先来说说最小二乘法的公式：对于给定的一组数据（x₁, y₁），（x₂, y₂），...，（xₙ, yₙ），要找到一条直线 y = a + bx 来拟合这些数据，使得误差的平方和最小。
这里误差就是实际的 y 值减去通过直线计算得到的 y 值。
那误差的平方和 S 就可以表示为：S = Σ（yᵢ - （a + bxᵢ））²。
为了找到使 S 最小的 a 和 b 的值，我们需要对 S 分别关于 a 和 b 求偏导数，并令它们等于 0。
经过一系列计算（这个过程咱就不细说了，不然脑袋得晕），最终可以得到求解 a 和 b 的公式：b = [Σ（xᵢ - x）（yᵢ - ȳ）] / [Σ（xᵢ - x）²] ，a = ȳ - b x。
这里x是 x 的平均值，ȳ是 y 的平均值。
咱们来看个例题哈。
假设我们有一组数据：（1，2），（2，3），（3，5），（4，6），（5，7）。
首先，咱们来计算一下 x 的平均值x和 y 的平均值ȳ 。
x = （1 + 2 + 3 + 4 + 5）/ 5 = 3 ，ȳ = （2 + 3 + 5 + 6 + 7）/ 5 = 4.6 。
然后计算Σ（xᵢ - x）（yᵢ - ȳ）和Σ（xᵢ - x）²。
（1 - 3）×（2 - 4.6） + （2 - 3）×（3 - 4.6） + （3 - 3）×（5 - 4.6）+ （4 - 3）×（6 - 4.6） + （5 - 3）×（7 - 4.6），（1 - 3）² + （2 - 3）² + （3 - 3）² + （4 - 3）² + （5 - 3）²。
最小二乘法PPT课件
一、问题背景
• 在多数估计和曲线拟合的问题中，不论是 参数估计还是曲线拟合，都要求确定某些(或 一个)未知量，使得所确定的未知量能最好地 适应所测得的一组观测值，即对观测值提供 一个好的拟合。
• 解决这类问题最常用的方法就是最小二乘 法。
• 在一些情况下，即使函数值不是随机变量， 最小二乘法也可使用。
数
，aˆ1
，…，
aˆ2
。这样aˆk求出的参数叫参数的最小二乘估计。
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正规方程
=最小
• 根据数学分析中求函数极值的条件：
共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得出诸参数估计值
(j＝1，2，…，k)。 aˆ 等精度观测的情况，若诸观测值yi是不等精度的观测，即它们服从不 同的方差σi2的正态分布N(0，1)，那么也不难证明，在这种情况下，最小二乘 法可改为：
正规方程(5—19)组，还可表示成如下形式
表示成矩阵形式为
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线性参数正规方程的矩阵形式
又因
（5-21）
有 即 若令 则正规方程又可写成 若矩阵C是满秩的，则有
（5-22）
（5-22） （5-23）
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的数学期望Xˆ
因 可见 Xˆ 是X的无偏估计。
式中Y、X为列向量(n ×1阶矩阵和t×l阶矩阵)
例5．3
• 试求例5．1中铜棒长度的测量精度。
已知残余误差方程为 将ti，li，值代人上式，可得残余误差为
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（二）不等精度测量数据的精度估计
不等精度测量数据的精度估计与等精度测量数据的精度估计相似，只是公 式中的残余误差平方和变为加权的残余误差平方和，测量数据的单位权方差 的无偏估计为
第一组-二阶段最小二乘讲义
2012—2013学年高级计量经济学分组名单第一组:潘琳、王超、倪远栋、叶寅、李畅、吴超、卿剑、李珊、刘春梅、王巍、马哲光、俞力群、田纪华题目：二阶段最小二乘法(2SLS）内容：适用的情况（或条件）估计原理步骤实例二阶段最小二乘计量方法讲义整理1.引例（引出问题和方法）例一：有关工资收入和教育水平、个人能力之间的关系问题考虑成年劳动者的工资方程中存在未观测到的能力的问题。
一个简单的模型为：,)log(210e abil educ wage +++=βββ （1）其中e 是误差项.在某些假定下,如何用诸如IQ 的代理变量代替能力，从而通过以下回归可得到一致性估计量)log(wage 对IQ educ , 进行回归然而，假定不能得到适当的代理变量(或它不具备足以获取一致性估计量所需的性质).这样一来，我们将abil 放入误差项中，留下来的就是简单的回归模型：,)log(10u educ wage ++=ββ （2）其中u 包含了abil 。
当然,可以用OLS 估计此方程，但是,如果educ 与abil （即educ 与随机误差项u ）相关，即educ 为内生解释变量，则用OLS 估计得到的结果将是1β的有偏、非一致性估计量.我们把简单回归模型写成:,10u x y ++=ββ （3）其中我们认为x 与u 相关:.0),(Cov ≠u x此时，假如我们能找到一个变量z ,满足两个条件：一是与变量x 存在高度相关关系，即.0),(Cov ≠x z ；二是与随机扰动项u 不存在相关关系，即.0),(Cov =u z ;从遗漏变量的角度看，这意味着z 应当对y 无偏效应，也不应当与其它影响y 的因素相关，此时变量z 就称作为变量x 的工具变量（IV ），则我们就利用工具变量z 可以根据上述方程（3）来进行估计,得到参数的无偏的一致估计，如劳动经济学家已在工资方程中使用的家庭背景变量作为教育的IV 。
例如，母亲的教育(motheduc )与孩子的教育是正相关的,这一点通过收集劳动者数据样本并做educ 对motheduc 的简单回归便可以看出来，因此，motheduc 满足相关性条件，但是，母亲的教育也可能与孩子的能力相关（通过母亲的能力和可能通过孩子幼年所受的教养的质量)。
最小二乘法求系数公式
最小二乘法求系数公式最小二乘法求系数公式，这可是数学里一个相当重要的工具呢！咱先来说说啥是最小二乘法。
比如说，咱想研究身高和体重之间的关系，或者学习时间和考试成绩之间的关系。
咱收集了一堆数据，可这些数据往往看起来有点乱，没个明显的规律。
这时候，最小二乘法就派上用场啦！它能帮咱们找到一条“最适合”这些数据的直线或者曲线。
那怎么找到这条线呢？这就离不开求系数的公式啦。
最小二乘法求系数的公式，就像是一把神奇的钥匙，能打开数据背后隐藏的规律之门。
比如说，咱们有一组数据（x1,y1），（x2,y2），（x3,y3）……（xn,yn），想找到一个线性方程 y = ax + b 来拟合这些数据。
那系数 a 和 b 咋算呢？这就用到公式啦！公式里有一堆求和运算，看着可能有点头疼，但咱一步步来，其实也没那么可怕。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这公式到底咋来的呀，感觉好复杂！”我笑着跟他说：“别着急，咱们一起来慢慢拆解。
”我先在黑板上画了一堆散点，就像天上随意分布的星星。
然后说：“咱们的目标就是找到一条线，让这些星星到线的距离的平方和最小。
想象一下，咱们要让这些星星尽可能地靠近这条线，就像让调皮的孩子排好队一样。
”学生们似乎有点明白了，眼睛里开始有了一丝光亮。
然后我带着他们一步步推导公式，每一步都解释清楚为啥要这么做。
等讲完整个过程，不少学生都露出了恍然大悟的表情。
那个一开始迷茫的学生还兴奋地说：“原来这么有趣，感觉像是解开了一个大谜题！”在实际应用中，最小二乘法求系数公式用处可大了。
比如在经济学里，预测市场趋势；在物理学中，分析实验数据；在工程领域，优化设计方案等等。
总之，最小二乘法求系数公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们耐心去理解，去应用，就能发现它的神奇和美妙，让数据为我们所用，揭示出世界背后隐藏的规律。
所以呀，同学们可别被它一开始的样子吓到，勇敢地去探索，你会发现数学的世界充满了惊喜！。
最小二乘法求b的公式
最小二乘法求b的公式好嘞，以下是为您生成的文章：咱来聊聊这个最小二乘法求 b 的公式。
这玩意儿在数学里可有着重要地位呢！先给您讲讲最小二乘法是啥。
想象一下，您有一堆数据点，就好像是一群调皮的小精灵，它们分布得有点乱。
咱就想找一条直线，能最好地穿过这些小精灵，让它们尽可能都靠近这条线。
这时候，最小二乘法就派上用场啦！那怎么求这个 b 呢？公式是：$b = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i -\overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}$ 。
您别被这一堆符号吓到，其实理解起来也没那么难。
我给您举个例子哈。
比如说咱们要研究学生的学习时间和考试成绩之间的关系。
咱找了 10 个学生，记录了他们每天的学习时间（x）和对应的考试成绩（y）。
这 10 个数据点就摆在那，咱们就用这个公式来算 b 。
就拿其中一个学生小明来说吧。
小明每天学习 3 小时，这 10 个学生的平均学习时间是 2.5 小时，小明的考试成绩是 80 分，这 10 个学生的平均成绩是 75 分。
那小明这一组数据在公式里就是 (3 - 2.5)×(80 - 75) 。
咱们把 10 个学生的数据都这么算一遍，加起来，再除以 (x_i -\overline{x})^2 的和，就能得出 b 啦。
您看，通过这个 b ，咱们就能知道学习时间和考试成绩之间大概是个啥关系。
是不是还挺有意思的？在实际应用中，最小二乘法用处可大了。
比如说在经济学里，分析成本和收益的关系；在物理学里，研究变量之间的规律。
不过，学这个最小二乘法求 b 的公式，可不能死记硬背。
得多做几道题，多分析分析数据，才能真正掌握它的精髓。
总之，最小二乘法求 b 的公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们耐心琢磨，多动手实践，就能把它拿下，让它为咱们解决好多实际问题！希望您也能轻松搞定这个公式，在数学的世界里畅游无阻！。
最小二乘法ab计算公式
最小二乘法ab计算公式最小二乘法呀，这可是数学里一个挺有意思的工具呢！咱们先来说说啥是最小二乘法。
简单来讲，就是在一堆数据点中找到一条最能代表这些点趋势的直线或者曲线。
那怎么找呢？这就得用到咱们要说的 ab 计算公式啦。
比如说，咱们有这么一组数据，记录了不同时间点温度的变化。
时间分别是 1 小时、2 小时、3 小时、4 小时、5 小时，对应的温度是 15 度、18 度、20 度、22 度、25 度。
那咱们就想用最小二乘法找出能最好地描述这个温度随时间变化的直线。
这时候，ab 计算公式就派上用场啦。
这里的 a 呢，代表直线的斜率，b 呢，代表直线在 y 轴上的截距。
计算 a 和 b 可不像做普通的加减法那么简单。
咱们得先算一些中间值。
比如说，要算这些时间的平均值，还有温度的平均值。
然后再通过一些复杂点儿的式子去算出 a 和 b。
我记得之前教学生的时候，有个学生怎么都理解不了这个公式。
我就给他举了个特别形象的例子。
咱们把这些数据点想象成一群小朋友，他们在操场上乱跑，咱们要找一条绳子把他们尽量都“拢”在一起。
这条绳子就是咱们通过最小二乘法算出来的直线。
那个学生一下子就好像明白了，眼睛都亮了起来。
那具体的计算公式是啥呢？假设咱们有 n 个数据点 (x₁, y₁), (x₂, y₂),..., (xₙ, yₙ) 。
首先，咱们要算出 x 的平均值和 y 的平均值。
然后，a 的计算公式是，b 的计算公式就是。
可别被这些式子吓到，咱们一步一步来。
比如说，咱们还是拿刚才温度随时间变化的例子。
先把每个时间和对应的温度都列出来，然后按照公式一步一步算。
这中间可不能马虎，一个数算错了，结果就全不对啦。
在实际应用中，最小二乘法用处可大了。
比如在经济学里，分析成本和产量的关系；在物理学里，研究力和位移的关系；在医学里，探究药物剂量和效果的关系。
可以说，只要是涉及到数据拟合和趋势预测的地方，都可能会用到最小二乘法。
再举个例子，假如咱们想研究学生的学习时间和考试成绩之间的关系。
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列满秩的经济含义是什么？
第二讲 普通最小二乘法
思考题
ˆ 最小二乘估计量 是随机变量吗？为什么？
判断一个估计量好坏的标准是什么？
© School of Management and Economics, 2010
第二讲 普通最小二乘法
普通最小二乘估计
普通最小二乘估计法（OLS）
2、估计方法优劣的评判
一致性：
ˆ p lim
在有限样本情形中，经典回归模型假定数据X 是固定变量，否则最小二乘估计量可能是有偏 的。但在大样本情况下，即便X是随机的，只 要X满足一些条件，最小二乘估计量将依概率 收敛于真实值。
1. X的每一列xk不退化。 2. 随着样本量的增加，个体观测值变得不重要。
3. X列满秩。
Y2 1 2 X 22 3 X 32 k X k 2 2
Yn 1 2 X 2 n 3 X 3n k X kn n
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第二讲 普通最小二乘法
第二讲 普通最小二乘法
普通最小二乘估计
普通最小二乘估计法（OLS）
1、原理：残差平方和最小
( y X )( y X ) yy yX X y X X
乘出来是 什么？
怎样估计 ？
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第二讲 普通最小二乘法
普通最小二乘估计
普通最小二乘估计法（OLS）
3．最小二乘估计系数的特征
回归超平面通过数据的均值点，回归拟合值的均值等于 实际值的均值。 若一个多元回归中的变量是无关的，则多元回归的斜率 与在多个简单回归中的斜率相同。
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无偏性
ˆ ( X X )1 X y ( X X )1 X ( X ) ( X X ) 1 X
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估计值的均值为
ˆ E[ ] ( X X ) 1 E[ X ]
若无偏，则有
假定3是什么意思？
假定3：E[ | X ] 0
因在假定1之下有
E[ | X ] 0 cov[ X , E[ | X ]] cov[ X , ] 0 E[ X ] 0
有效性
ˆ ˆ ˆ var[ ] E[( )( )] E[( X X ) 1 X X ( X X ) 1 ]
ˆ 2 ( X 2 M1 X 2 )1 ( X 2 M1 y )
* * * ( X 2 X 2 ) 1 X 2 y*
* 其中 X 2 M 1 X 2 ， * M 1 y 。 y
解释： y 是y对X1进行 X 回归后的残差变量。这个过程排除了或筛掉了的影响， 所以叫偏回归系数。
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需要填入的变量
回归结果
回归曲线图
第二讲 普通最小二乘法
思考题
影响一个家庭消费决策的仅仅是收入因素吗？ 除了身高，你认为还有哪些因素会影响一个人的 体重？ ……
©10
注意两个特殊矩阵M和P ˆ e y X
y X ( X X ) 1 X y ( I X ( X X ) 1 X ) y My
M：用它乘以任一向量y，都将产生y对x回归的残差向量。
ˆ 令拟合值 y X ，则有 ˆ ˆ y y e [ I M ] y Py
P X ( X X )1 X
P（射影矩阵，投影矩阵）：用它乘以任一向量y， 都将产生y对x回归的最小二乘拟合值。
偏回归系数
多元回归方程的妙用：
y X 11 X加什么，去什么。 2 2
ˆ ˆ 1 ( X 1X 1 )1 X 1( y X 2 2 )
偏回归系数的解释：当其它变量相同（保持其他变量不变） 时，特定变量对解释变量的边际影响（贡献）。
* 2是X2对X1进行回归后的残差变量，
*
第二讲 普通最小二乘法
思考题
一个超市的老总准备根据销售经理的能力来确定 其工资水平？他能实现吗？ 如果某经理在春节期间卖出了大量的商品，他的 能力真的很强吗？ 怎样才能解决超市老总的困扰呢？
第二讲 普通最小二乘法
多元回归模型的OLS估计
最简单的多元线性回归是三变量模型
三变量模型，即含有一个因变量和两个解释变量，其 总体回归函数PRF为：
Yi 0 1 X1i 2 X 2i i X 2i 表示什么意思？
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对β 求导并令其等于0可得 k×k
X X X y
满足什么条件，这 个方程才有解？ 满足什么条件， X X 才可逆？
若矩阵 X 的逆存在，则上述方程有解 X
ˆ ( X X )1 X y
X 假定2：数据矩阵X列满秩，即矩阵 X 的逆存在。
列满秩的隐含意思是各个自变量之间相互独立。
第二讲 普通最小二乘法
计 量 经 济 学
Econometrics
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第二讲 普通最小二乘法
第二讲 普通最小二乘法 （教材第2章、第3章）
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ˆ 是实际值 Yi与其估计值 Yi 之差。
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第二讲 普通最小二乘法
普通最小二乘法
（1）采用“残差和最小” 确定直线位置？
et
（2）采用“残差绝对值 和最小”确定直线位置？ （3）最小二乘法的原则 是以“残差平方和最小” 确定直线位置。
多元线性回归的基本概念
以矩阵形式表示，有
Y1 1 X 21 Y 1 X 22 Y 2 Yn 1 X 2 n
n×k
X 31 X k1 1 1 X 32 X k 2 2 2 X 3n X kn k n
2 i
2
正 规 方 程
2 ei ˆ 2 Y i 0 1 X i 0 ˆ 1 2 ei ˆ 2 Y i 0 1 X i X i 0 1 ˆ Y n 0 1 X i i 2 ˆ Y i X i 0 X i 1 X i
e
i 1
n
2
i
ˆ f ( 0 , 1 )
ˆ 1
x y x
i 2 i
i
ˆ ˆ 0 Y 2 X
怎样得到的？
其中， xi ( X i X ) ，yi (Yi Y )
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最小二乘估计量的数学推导： ˆ min e Y i X i 0 1
样本回归线通过Y和X的样本均值 残差之和为0 OLS是“最优”的估计方法
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第二讲 普通最小二乘法
一个例子：Eviews演示
收入－消费问题（ data_2.1 ）：Y是消费，X是 收入。
回归方程：
Y =0 1 X
若有 则有
( X X )1 X E[ ] X ( X X ) 1
假定4：E[ ] 2 I
假定4是什么意思？
ˆ ] 2 ( X X )1 var[
可以证明这就是最小方差。 高斯—马尔可夫定理：若前述假定条件成立， OLS估计量是最佳线性无偏估计量（BLUE）。
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第二讲 普通最小二乘法
一元回归模型的估计问题
最小二乘法采用残差平方和最小的准则：
ˆ ˆ ) (Y X ) 2 ei (Yi Yi i 0 1 i
n n n 2 2 i 1 i 1 i 1
第二讲 普通最小二乘法
经典模型的基本假设
经典回归模型的基本假设：
假定1： E[ ] 0
X 假定2：数据矩阵X列满秩，即矩阵 X 的逆存在。
假定3：E[ | X ] 0 假定4：E[ ] 2 I
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第二讲 普通最小二乘法
多元线性回归的基本概念
多个自变量的回归模型
假定多元线性回归模型
Y 1 2 X 2 3 X 3 k X k
那么对被解释变量Y与解释变量X2，X3，…，Xk作了 n次观测后，将所得的n组样本代入上式有 Y1 1 2 X 21 3 X 31 k X k1 1
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第二讲 普通最小二乘法 一个例子：美国国防预算支出（data_2.2）
为了说明美国的经济实力对其国防预算的影响， 现考虑如下模型:
Yi =1 2 X 2t 3 X 3t 4 X 4t t
第二讲 普通最小二乘法