三角函数定义的教学反思

三角函数定义的教学反思

许钦彪

教育部制订的普通高中《数学课程标准》（人民教育出版社2003年4月版）第31页关于必修4《三角函数》的内容与要求是：①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。根据这个要求，人民教育出版社《数学必修4》（2007年2月版）第12页给出的任意角的三角函数定义为（本文称为定义1）：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x p ，

那么y 叫做α的正弦，记作αsin ，即y =αsin ，

x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x =αcos ，

x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x

y =αtan 。 而把原教材中的三角函数定义，在第13页用注释给出（本文称为定义2）：

一般地，设角α终边上任意一点的坐标为（y x ,），它与原点的距离为r ，则x

r r x r y ===

αααtan ,cos ,sin 。并要学生证明。 在实际教学中，定义1的优点是简洁明了，缺点是缺乏一般性，在实际解题中不能直接应用。而定义2不但简洁明了，而且在一般性问题中都可以直接应用。例如教材第12页的例题： 例2：已知角α的终边经过点)4,3(0--P ，求角α的正弦、余弦和正切值。 教材中是先求出50==OP r ，再用相似三角形的比例关系转化成单位圆与终边的交点坐标来得到解。由于涉及到相似比以及符号，结果把这个简单明了的问题搞得复杂化。而且这种相似比及符号问题没有一般性。如果α在其它象限，其比值符号仍是一个困难。在讲解和学习时，学生普遍反映思维别扭、理解不清、难以接受。

如果利用定义2，其解法就自然、清楚而且不受象限及符号的影响。

解：∵)4,3(0--P 在α的终边上，5,4,3=-=-=∴r y x 。

据定义2，得3

4tan ,53cos ,54sin ==-==-==x y r x r y ααα。 同样，第15页的练习2，第20页的习题1.2的2以及须由定义解答的问题都是利用定义2容易解答，这是因为很少有问题会在已知中给出终边上的点刚好是单位圆上的条件，所以用定义1解答必须涉及相似比以及符号问题等困难，这是没有必要的。

根据以上分析，建议在教学时，把定义2作为任意角三角函数的定义，而把定义1作为简化定义。这一节的主要教学步骤可设计为：

1、 定义引入：

①学生复习直角三角形中锐角α的正弦αααtan ,cos ,sin 正切余弦。

提出问题：现在角α是任意角，这种定义应扩展。

②将角α放在直角坐标系中，先以简单的情况为例研究。

设α是第一象限角（如图），如何定义α的三角函数，要考虑两个因素： 第一，初中中用比

b

a c

b

c a ,,来定义，现在扩大的定义要包含以前的定义。 第二，αααtan ,cos ,sin 要由α唯一确定（否则不是函数）。 学生经过讨论基本上能认同找一个OPM Rt ∆，教师指出,这个∆Rt 的实质 是终边上的点),(y x P 。记。.22y x r OP +=

=。联想第一个因素，可以用比值x y r x r y ,,来定义αααtan ,cos ,sin 。

进一步讨论这个比值是否由α唯一确定？与P 在终边上的位置有否关系？假如另外取一点1111),,(r y x P ，学生易知

r y r y =11，r x r x =11，11x y x y =。即比值与P 点在终边上的位置无关，由α唯一确定。

于是这个定义是合理的，也就是说以α的终边上的一点),(y x P 的坐标y x ,和r OP =的比值来定义三角函数是符合函数要求的。

③进一步可以考虑，以上定义与α所在的象限有否关系（无），α有否大小限制（无）。 ④所以，任意角α的三角函数的定义是：设角α的终边上任意一点的坐标为),(y x P ，它与原点O 的距离为r ，则x

y r x r y ====αααtan ,cos ,sin 。 ⑤说明：A ：定义中的P 点是α终边上的任一点。

B ：因为0>r ，所以对任何α，ααcos ,sin 总有确定值，而0=x 即2π

α+=k

时，αtan 没有意义。

C ：因为角α可以用弧度（实数）表示，所以三角函数建立了角的集合（弧度

表示）与实数集之间的一一对应关系。

⑥给出单位圆概念。

⑦探讨三角函数的简化定义：角α的终边与单位圆交于点),(y x P ，则1=r ，此时定义简化为：x

y x y ===αααtan ,cos ,sin 。 2、 定义的应用：

① 已知角α终边上一点求三角函数值，讲练课本12页例2，15页练2。可用一般 定义解决（点已知代定义）

②已知角α的大小求三角函数（课本12页例1）可用单位圆与α终边的交点（点未 知，自己取），进而练习特殊角2

3,,2,3,4,6,0πππ

πππ的三角函数值，并记忆。 3、 三角函数的定义域：

由定义知定义域，学生填表（课本13页）并记忆。

4、 三角函数值的符号：

由定义和点角α终边上一点),(y x P 在各象限的符号探讨三角函数值在各象限的符

号，学生填表（课本13页）。记忆和应用（课本13页例3）。

5、诱导公式一：

学生探讨，由定义知终边相同的同名三角函数值相等。诱导公式一的作用是把任意角化为一周内的角。应用（课本14页例4，例5，练习15页5，6）。

6、小结：布置课外练习。