2.4.1一元二次方程组的应用

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北师大版初三下册数学 2.4 二次函数的应用教案(教学设计)

2.4.1 二次函数的应用一、教学目标1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．二、课时安排1课时三、教学重点掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．四、教学难点运用二次函数的知识解决实际问题．五、教学过程（一）导入新课引导学生把握二次函数的最值求法：(1)最大值：(2)最小值：（二）讲授新课活动1：小组合作如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym 2,当x 取何值时,y 的值最大？最大值是多少?解：()31AD bm,b x 30.4==-+设易得 ()2332(30)3044y xb x x x x ==-+=-+()2320300.4x =--+ 24:20,300.24b ac b x y a a-=-===最大值或用公式当时活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题：某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?解：4715.y x x ++π=由 157.4x x y --π=得 2215722()242x x x x S xy x π--ππ=+=+窗户面积 271522x x =-+ 2715225().21456x =--+ 2b 154ac b 225x 1.07,s 4.02.2a 144a 56-=-=≈==≈最大值当时即当x≈1.07m 时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m 2.（四）归纳小结“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测1．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．2．用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．3．学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？4．如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式.（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12y，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？m5.如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x ，面积为y ．（1）求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围.（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．【答案】1.12.52. 根据题意可得：等腰三角形的直角边为2x m 矩形的一边长是2xm,其邻边长为((20422x1022x,2-+=-(121022222S x x x x ⎡⎤=•-++⎣⎦所以该金属框围成的面积 30202,.322x ==-+当时金属框围成的图形面积最大 )((()2x 602m ,1022103210210m .=--+⨯-=此时矩形的一边长为另一边长为 )2S 3002002m .=-最大3.解：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x 米，根据题意得4x 2＋（100－2x ）（80－2x ）＝5 200，整理，得x 2－45x ＋350＝0，解得：x 1＝35，x 2＝10，经检验x 1＝35，x 2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y 元，广场四角的小正方形的边长为x 米，则 y ＝30[4x 2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]即y ＝80x 2－3 600x ＋240 000，配方，得y ＝80（x －22．5）2＋199 500.当x ＝22．5时，y 的值最小，最小值为199 500.所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．4. ⑴在矩形ABCD 中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE 中， ∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE， ∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED， ∴BF BE CE CD =, ∴8y x x m-= 即28x x y m -=.⑵当m=8时，28,8x x y -=化成顶点式: ()21428y x =--+ （3）由12y m =，及28x x y m-=得关于x 的方程: 28120x x -+=，得1226x x ==，.∵△DEF 中∠FED 是直角，∴要使△DEF 是等腰三角形，则只能是EF=ED ，此时， Rt△BFE≌Rt△CED.∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.5. 解：（1）依题意，得y=(40-2x)x．∴y=-2x2+40x．x的取值范围是0< x <20．（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．即x2-20x+105=0．∵ a=1，b=-20，c=105，∴2--⨯⨯<(20)411050,∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．六．板书设计2.4.1二次函数的应用探究：例题：“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.2.4.2二次函数的应用一、教学目标1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．二、课时安排1课时三、教学重点运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．四、教学难点运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．五、教学过程（一）导入新课某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件. 若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系是怎样的？（二）讲授新课活动1：小组合作二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)，顶点坐标为（h,k）,则①当a>0时，y有最小值k；②当a<0时，y有最大值k【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么销售量可以表示为: 件；每件T恤衫的利润为: 元；所获总利润可以表示为: 元；即y=-200x 2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5∴当销售单价为元时,可以获得最大利润,最大利润是元.活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围.(2)设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式.(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【解析】（1）y=50-10x ；（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-10x ）=2x 34x 8 000.10-++ （3）因为w=2x 34x 8 000,10-++ 所以x=b -2a=170时，w 有最大值，而170>160,故由函数性质知，x=160时，利润最大，此时订房数y=50- 10x =34，此时的利润为10 880元.例题3 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程，得(5+x)(200－10x)=1 500，解得x1=10，x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10，所以x=5. 答：每千克应涨价5元.（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1 000，当x=1507.522(10)ba-=-=⨯-时,y有最大值.因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多（四）归纳小结“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式.2.根据二次函数的最值问题求出最大利润（五）随堂检测1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米2.为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？4．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似地看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）【答案】1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.2. 【解析】（1）由题意可知，当x ≤100时，购买一个需5 000元，故y 1=5 000x当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个，所以x ≤ 5 000 3 50010025010-+= 即100<x≤250时，购买一个需5 000-10(x-100)元，故y 1=6 000x-10x 2；当x>250时，购买一个需3 500元，故y 1=3 500x;21 5 000x,y 6 000x 10x ,3 500x,⎧⎪=-⎨⎪⎩所以 0x 100100x 250x 250≤≤<≤> 2500080%4000.y x x =⨯=(2) 当0≤x ≤100时，y 1=5 000x ≤500 000<1 400 000；当100<x ≤250时，y 1=6 000x -10x 2=-10(x -300)2+900 000<1 400 000；∴由35001400000x = 得到x=400由40001400000x = 得到350400x =<故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯3.【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意，得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=-(x-1)2+2.25. 当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.4.解析：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(-10x+500)=-10x 2+700x-10 000 当352b x a=-=时，w 有最大值. 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得21070010 000 2 000.x x -+-=解这个方程，得x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.（3）∵10a =-<0∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2 000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2 000．设成本为P （元），由题意，得P=20（-10x+500)=-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P 随x 的增大而减小.∴当x = 32时，P 最小＝3 600.答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．六．板书设计2.4.2二次函数的应用探究：例题2：例题3：“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式；2.根据二次函数的最值问题求出最大利润.。

一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用
一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。

一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。

一元二次方程的解法包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。

一元二次方程的应用非常广泛，包括解决实际问题、数学建模、物理问题等。

例如，在解决几何问题时，常常需要用到一元二次方程来求解面积、周长等。

在解决代数问题时，一元二次方程也是非常重要的工具，例如求解线性方程组的解、求解不等式等。

在解决物理问题时，一元二次方程也经常被用来描述物理现象，例如求解物体的运动轨迹、求解电路中的电流等。

总之，一元二次方程是数学中非常重要的概念之一，它不仅在数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有非常重要的意义。

方程应用(复习讲义)(一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式、分式方程、一元二次方程应用)原卷版

题型三--方程应用（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次方（组）程应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型×100％；售价=标价×折扣；销售（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=利润成本额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．1.（2022·山东泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．2．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？3.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．4.（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份a x a﹣x2020年4月份 1.1a 1.43x 1.04（a﹣x）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．5.（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．6.（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a%．求a的值．考点02不等式的应用3、列不等式（组）解决实际问题列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．1.（2022·四川泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B 种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？2．（2021·四川成都市·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？3．（2021·四川眉山市·中考真题）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？4.（2021·浙江温州市·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？5.（2021·四川资阳市·中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．6.（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的1 3，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．考点03分式方程的应用4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．1.（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．2.（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．3.（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？4.（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．5.（2021·山东聊城市·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的1 3，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？6.（2021·湖南中考真题）“七一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．（1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折．．销售，学校调整了购买方案：不超过．．．720元，A，B两种奖品共100件．求购买A，．．．预算资金且购买A奖品的资金不少于B两种奖品的数量，有哪几种方案？7.（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？8.（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？考点04二次方程的应用5、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．6．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1n a m b +=；当m 为平均下降率时，则有()1n a m b -=．7．利润等量关系（1）利润=售价－成本．（2）利润率=利润成本×100％．8．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．1.（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？2.（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？3.（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？4.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．5.（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925 a%．求a的值．。

浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章二元一次方程组2

浙教版2022-2023学年数学七年级下册第2章二元一次方程组2.4二元一次方程组的应用（2）【知识重点】1．当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程.2．一般地，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为：(1)理解问题(审题，搞清已知和未知，分析数量关系)；(2)制定计划(考虑如何根据等量关系设元，列出方程组)；(3)执行计划(列出方程组并求解，得到答案)；(4)回顾(检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意).【经典例题】【例1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x ，个位上的数字为y ，列方程组为（）A ．{x −y =210x +y −(10y +x)=18B ．{x −y =210y +x −(10x +y)=18C ．{y −x =210y +x −(10x +y)=18D ．{y −x =210x +y −(10y +x)=18【例2】某旅游景点今年“五一”小长假共接待游客39200人，和去年同时期相比，游客总数增加了12%，其中省外游客增加了17%，省内游客增加了10%，求该景点去年“五一”小长假接待的省外游客和省内游客各是多少人？【基础训练】1．举办“书香文化节”的活动中，将x 本图书分给了y 名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，下列方程组正确的是（） A ．{6y −40=x 8y +50=x B ．{6y +40=x 8y −50=x C ．{6x +40=y 8x −50=y D ．{6y −40=x 8y −50=x2．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：含有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设鸡有x 只，兔有y 只，下列方程组正确的是（）A ．{x +y =352x +4y =94B ．{x +y =354x +2y =94C ．{x +y =354x +4y =94D ．{x +y =35x +4y =943．我校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人，设运动员人数为x 人，组数为y 组，则列方程组为（）A ．{7y =x −38y +5=xB ．{7y =x +38y +5=xC ．{7y =x −38y =x +5D ．{7y =x +38y =x +54．在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图所示的方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则C ．19D ．215．某班级为了奖励在期中考试中取得好成绩的同学，花了900元钱购买甲、乙两种奖品共50件，其中甲种奖品每件15元，乙种奖品每件20元，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 元，则所列方程组正确的是（）A ．{x +y =5015x +20y =900B ．{x +y =5020x +15y =900C ．{15x +20y =50x +y =900D ．{20x +15y =50x +y =9006．有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和为6，且这个两位数是个位数字的6倍，则这个两位数是．7．“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12％，玉米超产10％，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨？8场计划购进甲、乙两种手机各多少部？9．某工厂去年的利润（总产值－总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润比去年的利润增加了580万元．问今年的总产值、总支出各是多少万元？ 10．小明的妈妈今天在菜市场买回2斤萝卜、1斤排骨共花了43.8元，而两个月前买同重量的这两样菜只要37元，与两个月前相比，这次萝卜的单价下降了10%，但排骨单价却上涨了20%，求：两个月前买的萝卜和排骨的单价分别为多少元？【培优训练】11．小明带15元去学习用品商店购买A ，B ，C 三种学习用品，其中A ，B ，C 三种学习用品的单价分别为5元、3元、1元，要求每种学习用品至少买一件且A 种学习用品最多买两件，若15元刚好用完，则小明的购买方案共有（）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种12．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是{2x +y =11，4x +3y =27，类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（）A ．{3x +2y =−14，x +4y =23B ．{3x +2y =−9，x +4y =23C ．{3x +2y =19，x +4y =3D ．{3x +2y =19，x +4y =2313．用如图 ① 中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图 ② 的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有 m 张正方形纸板和 n 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则 m +n 的值可能是（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 14．若关于x 、y 的方程组 {x +y =2ax +2y =8的解为整数，则满足条件的所有a 的值的和为（） A ．6 B ．9 C ．12 D ．1615．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．量的数据如图，则桌子的高度等于（）A ．80cmB ．75cmC ．70cmD ．65cm16．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大27，则原来的两位数是．17．工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．则记录有误的是第次．18．甲、乙两块试验田去年春季共产小麦若干千克．改用良种后，去年秋季甲、乙的产量分别比去年春季增产了25%，20%，总产量比去年春季增产了22%；今年春季甲、乙的产量分别比去年春季增产了24%，22%，则今年春季总产量比去年春季总产量增加的百分率是．19．甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品提价40%，乙商品降价10%，两种商品的单价和比原来提高了20%．问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？20．某商场在今年“双十一”期间购进甲、乙两种商品共50件销售，已知甲种商品每件进价为35元，利润率为20%，乙种商品每件进价为20元，利润率为15%，共获利278元，问甲、乙两种商品各购进多少件？21．小亮想开一家服装专卖店，开店前他到其他专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将此套服装的上衣按50%的利润定价，裤子按40%的利润定价，由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件衣服均按9折出售，这样此套服装共获利157元，小亮觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣每件的成本，但店员有事走开了，你能帮助他吗？22．列方程组解应用题：全自动红外体温检测仪是一种非接触式人体测温系统，通过人体温度补偿、温度自动校正等技术实现准确、快速的测温工作，具备人体非接触测温、高温报警等功能．为了提高体温检测效率，某医院引进了一批全自动红外体温检测仪．通过一段时间使用发现，全自动红外体温检测仪的平均测温用时比人工测温快2秒，全自动红外体温检测仪检测60个人的体温的时间比人工检测40个人的体温的时间还少50秒，请计算全自动红外体温检测仪和人工测量测温的平均时间分别是多少秒？【直击中考】23．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是（）A ．{y −x =4.52x −y =1B ．{x −y =4.52x −y =1C ．{x −y =4.5y 2−x =1D ．{y −x =4.5x −y 2=1 24．国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A ．5B ．6C ．7D ．825．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金两．。

2.4 一元二次方程根与系数的关系浙教版八年级数学下册教案

课题2.4一元二次方程根与系数的关系备课人学习目标知识与技能掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题过程与方法经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想情感与态度通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神重点难点根与系数关系及运用一、情景导入设计意图我们知道，一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的值是由a 、b 、c 来决定的.除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？由问题引入新课，提高学生学习兴趣二、合作探究、获取新知设计意图做一做：1.探究规律：先填空，再找规律：2.若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个根，你能猜想x 1+x 2=______，x 1·x 2=______.3.你能证明你的猜想吗？当Δ≥0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个根，分别为：2142b b ac x a +=－－,2242b b acx a=－－－通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法三、运用新知，深化理解设计意图1.教材P47例1、例2.2.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x-1＝0的两个根的. （1）平方和（2）倒数和3.已知方程5x 2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值.4.已知方程x 2-4x-1=0有两个实数根x 1，x 2，要求不解方程，求值： (1)(x 1+1)(x 2+1)目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性四、师生互动、课堂小结设计意图当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即：这种关系称为韦达定理.先组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 五、学以致用1、已知方程2290x kx --=的两根互为相反数，求k 的值2、已知方程2 x 2-3x-1=0的两个根是 x1，x2不解方程，求下列各式的值（1）平方和（2）倒数和教学反思。

关于一元二次方程应用的几种常见类型的解法

关于一元二次方程应用的几种常见类型的解法构建一元二次方程解应用题，是我们在九年级数学中的一个重要内容，那么，如何来学好这个章节呢？我认为除了掌握解应用题的一般步骤：“审、设、列、解、验、答”外，还应该学会将一个应用题实行分类，这样才能更好的找出问题中隐藏的等量关系，下面我将这几种代表类型一一举例说明：一、数字问题解数字问题的应用题，首先要能准确地表示诸如多位数、奇偶数，连续的整数的形式，如一个三位数abc可表示为1 00a＋10b＋c，连续三个偶数可表示为2n－2、2n 、2n＋2（n为整数）等，其次解这类问题的关键是准确而巧妙地设出未知量，一般采用间接设元法，如相关奇数个连续数问题，一般设中间一个数为X，再用含X的代数式表示其他数，又如多位数问题，一般设这个多位数的某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字，等量关系由题目中的关键语句“译出”例：一个两位数，个位数字与十位数字之和为7，把个位数字与十位数对调后，所得的两位数与原来的两位数的乘积为1300，求原两位数。

解析：数与数字之间的关系是：两位数＝（十位数字）×10十个位数字，解题的关键是准确地写出原来的两位数与对调后的两位数。

解：设原两位数的十位数字为X，则个位数字为（7－X），根据题意得：[10X＋（7－X）] [10（7－X）＋X]＝1300整理得：X2－7X＋10＝0解得：X1＝2 X2＝5当 X＝2时，7－X＝5，两位数为25当 X＝5时 7－X＝2，两位数为52答：原来的两位数为25或52。

二、平均增长率（降低率）问题在此类问题中，一般有变化前的基数（a）、增长率（X）、变化的次数（n），变化后的基数（b），这四者之间的关系可用公式a（1+ X）n=b表示，这类问题中等量关系通常由这个公式及相关的词语“译”出。

例：来自信息产业部的统计数字显示，2007年一至四月份我国手机产量为4000万台，相当于2006年全年手机产量的80％，预计到2008年年底手机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率：解析：依题意可分析：2006年全年手机产量为4000÷80％＝5000万台，若设这两年手机产量的平均增长率为X，则2007年的手机产量为5000（1＋X）万台，2008年的手机产量为[5000（1＋X ）]（1＋X ），即为5000（1＋X）²万台。

2.4一元二次方程根与系数的关系课件 2024-2025学年湘教版数学九年级上册

4．若关于 x 的一元二次方程的两个根 x1，x2 满足 x1＋x2＝3，x1x2＝2，则这个方程是
_x_2_－__3_x_＋__2_＝__0_(_答__案__不__唯__一__)_．(写出一个符合要求的方值(代数式的恒等变形)
【典例 1】(P47 例 1 强化) 已知 x1，x2 是方程 x2－2x＝1 的两实数根．求：(1)x12 ＋x22 .(2)xx12 ＋xx12 .(3)3x21 －4x1 ＋2x2.
【自主解答】(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0 有实数根， ∴Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)＝8m＋8≥0，解得：m≥－1，∴当方程有实数根时，实数 m 的取值范围为 m≥－1； (2)∵方程两实数根分别为 x1，x2，∴x1＋x2＝－2(m＋1)，x1x2＝m2－1. ∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16－2x1x2，∴[－2(m＋1)]2－4(m2－1)＝16－2(m2－1)，整理得：m2＋4m－5＝0，解得 m1＝－5，m2＝1. 又∵m≥－1，∴实数 m 的值为 1.
【加固训练】
已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－k＝0 有两个不相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根是 a，b，求 a － 1 的值．
a＋1 b＋1 【解析】(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝4＋4k>0，解得 k>－1.
∴k 的取值范围为 k>－1.
【解析】∵关于 x 的方程 x2－2mx＋m2－m＝0 有两个实数根 α，β，
∴Δ＝(－2m)2－4(m2－m)≥0，
解得 m≥0，α＋β＝2m，αβ＝m2－m，
∵α1

专题2.4二元一次方程组的应用(二)(重点题专项讲练)(浙教版)(原卷版)

专题2.4 二元一次方程组的应用（二）【典例1】李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示：购买甲商品的数量购买乙商品的数量购买总费用第一次 6 4 880 第二次 4 6 920 第三次98912（1）求甲，乙两种商品的标价各是多少元？（2）若李明第三次购买时，甲，乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？（3）在（2）的条件下打折，若李明第四次购买甲，乙两种商品共花去1200元，则李明可能有哪几种购买方案？（1）设甲商品的标价是x 元，乙商品的标价是y 元，利用总价＝单价×数量，结合前两次购买的数量及总费用，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可求出甲，乙两种商品的标价；（2）设商场是打m 折出售这两种商品的，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出商场是打6折出售这两种商品的；（3）设李明购买了a 件甲商品，b 件乙商品，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a ，b 的二元一次方程，结合a ，b 均为正整数，即可得出各购买方案．解：（1）设甲商品的标价是x 元，乙商品的标价是y 元，依题意得：{6x +4y =8804x +6y =920，解得：{x =80y =100．答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元．（2）设商场是打m 折出售这两种商品的，依题意得：9×80×m10+8×100×m10=912，解得：m ＝6．答：商场是打6折出售这两种商品的．（3）设李明购买了a 件甲商品，b 件乙商品，依题意得：80a +100b ＝1200， ∴b ＝12−45a ．又∴a ，b 均为正整数， ∴{a =5b =8或{a =10b =4， ∴李明共有2种购买方案，方案1：购买了5件甲商品，8件乙商品；方案2：购买了10件甲商品，4件乙商品．1．（2021•无棣县一模）疫情期间，小区的王阿姨和张妈妈通过外卖订购了两包蔬菜．王阿姨订购的一包蔬菜包括西葫芦、茄子、青椒各1千克，共花费11.8元；张妈妈订购的一包蔬菜包括西葫芦2千克，茄子1.5千克，共花费13元．已知青椒每千克4.2元，则西葫芦和茄子的价格是（） A ．3.6元/千克，4元/千克 B ．4.4元/千克，3.2元/千克 C ．3.2元/千克，4.4元/千克 D ．4元/千克，3.6元/千克2．（2021秋•开江县期末）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（） A ．95元，180元 B ．155元，200元 C ．100元，120元D ．150元，125元3．（2021春•萧山区期末）某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；第4天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（） A ．第1天B ．第2天C ．第3天D ．第4天4．（2020春•铜陵期末）小华在文具超市挑选了6支中性笔和5本笔记本．结账时，小华付款50元，营业店员找零4元，小华说：“阿姨您好，6支中性笔和5本笔记本一共42元，应该找零8元．”店员说：“啊…哦，我明白了，小朋友你真棒，我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了，对不起，再找给你4元”．根据两人的对话计算：若购买一支中性笔和一本笔记本一共需要付款元．5．（2020秋•和平区期末）某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售情况，下面是调查后小明与其它两位同学进行交流的情景．小明说：“去年两超市销售额共为150万元，今年两超市销售额共为170万元”，小亮说：“甲超市销售额今年比去年增加10%小颖说：“乙超市销售额今年比去年增加20%根据他们的对话，得出今年甲超市销售额为万元6．（2021春•九龙坡区校级期中）向日葵水果店推出甲乙两种礼盒，甲礼盒中有樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，乙礼盒中有樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，已知樱桃每千克30元，甲礼盒每盒100元，乙礼盒每盒98元，当然，顾客也可根据需要自由搭配，小陶用1100元买乙礼盒和自由搭配礼盒（香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克）若干盒，则小陶一共可买礼盒个．7．（2021春•万州区校级月考）寒假期间，爱学习的小明决定将部分压岁钱用于购买A、B两种文具，2月10日，A文具的单价比B文具的单价少2元，小明购进A、B两种文具共3件；2月20日，A文具的单价翻倍，B文具的单价不变，小明购进A、B两种文具共4件．若A、B文具的单价和数量均为正整数且小明第二次购买文具比第一次购买文具多花费5元，则小明两次购买文具共花费元．8．（2021春•漳平市月考）为了提高市民的环保意识，倡导“节能减排、绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A、B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动，投放A、B两种款型的单车共100辆，总价值36800元，试问本次投放的A型车与B型车各多少辆？9．（2021•海口模拟）为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完、求医用口罩和洗手液的单价．10．（2021秋•会宁县期末）某商场去年的利润为10万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出比去年减少了5%，今年的利润为30万元．求去年的总收入和总支出？11．（2021秋•富川县期末）小明的妈妈在菜市场花费30.4元钱买回2斤萝卜和1斤排骨，准备做萝卜排骨汤，而上个星期小明的妈妈买同样重量的这两种菜一共才花费了22元．小明的妈妈告诉小明，由于受天气及市场等因素的影响，本周的萝卜单价比上周上涨了30%，排骨的单价上涨了40%，请你帮小明求出本周萝卜和排骨的单价．12．（2021秋•济南期末）为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元．（1）求A、B两种品牌的篮球的单价．（2）我校打算网购20个A品牌的篮球和3个B品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中A 品牌打八折，B品牌打九折，问：打折后学校购买篮球需用多少钱？13．（2021秋•阳山县期末）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗40棵，B种树苗15棵，共花费1750元；第二次购进A种树苗20棵，B种树苗6棵，共花费860元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）因受季节影响，A种树苗价格下降10%，B种树苗价格上升20%，计划购进A种树苗25棵，B种树苗20棵，问总费用是多少元？14．（2021春•丰都县期末）丰都是旅游文化名城，庙会期间有爵士舞和和民族舞两个文娱节目，两节目组主要演员和次要演员每天的费用分别相同．从节省资金和保证节目效果两个角度，现两个节目组有方案如下表：主要演员（人）次要演员（人）总费用（元/天）爵士舞451300民族舞23700（1）方案中主要演员和次要演员每天的费用分别多少元？（2）在（1）问的结论下，现爵士舞和民族舞分别表演若干天，已知两节目组主要演员费用共为2800元，次要演员费用共为1900元，问两节目各表演多少天？15．（2021秋•建宁县期末）某超市计划购买甲、乙两种玩具，已知购买2件甲种玩具与1件乙种玩具共需87元，购买1件甲种玩具与2件乙种玩具共需84元．（1）求甲、乙两种玩具每件的价格分别是多少元；（2）如果卖方仅给予甲种玩具优惠，优惠方案为：购进甲种玩具超过a件时，超出部分可以享受7折优惠．若购买30件甲种玩具需支付855元，求a的值．16．（2021秋•韶关期末）为发展校园足球运动，我市四校决定联合购买一批足球运动装备．经市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球多60元，5套队服与8个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是每购买10套队服，送1个足球；乙商场优惠方案是购买队服超过80套，则购买足球打8折．（1）求每套队服和每个足球的价格各是多少？（2）若这四所学校联合购买100套队服和a（a＞10）个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用．（3）在（2）的条件下，若a＝70，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？请说明理由．17．（2021春•大武口区校级月考）为了防治“新型冠状病毒”，小王准备购买A，B两种型号的医用口罩，已知1只A型口罩和1只B型口罩共7元，3只A型口罩和1只B型口罩共13元；（1）A型和B型口罩的单价是多少？（2）现在小王同学计划用17元钱购买A，B两种型号的口罩，则A型，B型各能购买多少只？18．（2021秋•东至县期末）一水果店第一次购进400kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进了800kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0.5元．两次进货共花费4400元．（1）第一次购进的西瓜进价每千克多少元；（2）在销售过程中，两次购进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，从购进到全部售完会有部分损耗．第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有6%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利2984元，则每千克西瓜的售价为多少元．19．（2021秋•福田区校级期末）目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种型号的节能灯共600只，这两种型号的节能灯的进价、售价如表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）要使进货款恰好为23000元，甲、乙两种节能灯应各进多少只？（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？20．（2021•济宁模拟）某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数的2倍比乙商品件数的3倍多20件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（利润＝售价﹣进价）：甲乙进价（元/件）2028售价（元/件）2640（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品的件数分别是多少？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖出后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次以同样的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲商品件数是第一次的2倍，乙商品的件数不变．甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次甲、乙两种商品销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多560元，则第二次乙商品是按原价打几折销售的？。

2.4 一元二次方程根与系数的关系(选学)

例2 设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值： 1 1 2 (1) ＋；(2)x2 1＋x2； x1 x2 (3)(x1－3)(x2－3)；(4)x1－x2.
9 解：由根与系数的关系，得 x1＋x2＝，x1x2＝3. 2 1 1 x1＋x2 (1) ＋＝ x1 x2 x1x2 9 ＝ ÷3 2 3 ＝； 2
A．－1 根， ∴α＋β＝5，αβ＝－2， B．9 C．23
(
D ) D．27
【解析】 ∵α，β是方程x2－5x－2＝0的两个实数
∴α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ＝52＋2＝27.
2．方程x2－2x－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)＝________ －2 ．【解析】 ∵x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个实数
A
)
D．－3
3．一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两根为x1，x2，则 x1＋x2等于
3 A. 2 1 B．－ 2 3 C．－ 2
( C
D．－3
)
4．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两个根，则x1 7 17 ＋x2＝______ x2＝______ 2 ，(x1－x2)2＝______ 2 ，x1· 4 ．
【点悟】利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法是：(1)利用根和系数的关系求x1＋x2，x1x2的值；(2)将所求的代数式变形转化为用含x1＋x2，x1x2的代数式表示；(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入求出代数式的
值．
1.已知α ，β 是一元二次方程x2－5x－2
＝0的两个实数根，则α 2＋α β ＋β 2的值为
2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）

九年级数学一元二次方程的解法及应用人教实验版知识精讲

初三数学一元二次方程的解法及应用人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程的解法及应用［教学目的］使学生进一步熟练掌握利用求根公式解一元二次方程的方法；掌握一元二次方程因式分解解法的步骤；明确这个解法的方程一边必须是零；理解由高次转化为低次是解方程的思路之一。

［教学重点、难点］重点：用求根公式求一元二次方程的根的方法。

用因式分解法解一元二次方程。

难点：含有字母参数的一元二次方程的公式解法。

［教学过程］一、公式法一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)中，b 2－4ac ，叫做根的判别式，通常用记号△表示，∆∆=-=-b ac b ac 2244()注意不是定理1 ax bx c a 2000++=>⇒()≠中，∆方程有两个不等实数根。

定理2 ax bx c a 2000++==⇒()≠中，∆方程有两个相等实数根。

定理3 ax bx c a 2000++=<⇒()≠中，∆方程没有实数根。

正用的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况。

反用的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值。

例1. 解方程：x(x ＋1)＋7(x －1)＝2(x ＋2)。

解：（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式x 2＋6x －11＝0。

（2）确认a ，b ，c 的值a ＝1，b ＝6，c ＝－11（3）判断b 2－4ac 的值b 2－4ac ＝62－4×1×(－11)＝80＞0，（4）代入求根公式因为x b b ac a =----±±2426452所以x x 12325325=-+=--，例2. 解关于x 的方程x 2＋mx ＋2＝mx 2＋3x 。

解：把原方程整理，化为(1－m)x 2＋(m －3)x ＋2＝0 ①因为二次项系数1－m 是含字母m 的式子，应该分类讨论：（1）当1－m ≠0，m ≠1时，①式是一元二次方程，可代入求根公式。

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题07 一元二次方程的应用-精选

专题07 一元二次方程的应用阅读与思考一元二次方程是解数学问题的有力工具，许多数学问题都可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质等而获解. 现阶段，一元二次方程的应用主要有以下两方面： 1. 求代数式的值；2. 列二次方程解应用题.从本质上讲，列二次方程解应用题与前面我们已经学过的列一元二次方程解应用题没有区别，通常都要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是寻找实际问题中的等量关系. 特别需要注意的是，列出的一元二次方程一般会有两个不同的实数根，所以在检验时应特别注意，很可能其中有不符合实际问题的根，必须舍去.例题与求解【例1】甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度ν千米/时数值的平方，则ν的值为___________.（安徽省竞赛试题）解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.【例2】自然数n 满足()()1616247222222-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（江苏省竞赛试题）解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程.【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点. （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标.（太原市中考试题）解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论.yx BCAO【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在直角边AC上（点E与A，C两点均不重合）.；（1）若点F在斜边AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE＝x，试用x的代数式表示SAEF（2）若点F在折线ABC上移动，试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在直线EF，请说明理由. （常州市中考试题）解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF，将线段的计算转化为解方程.【例5】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出. 每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？（绍兴市中考试题）解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关系.【例6】已知：如图1，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2 cm /s .连结PQ .若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图2，连结PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ´C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ´C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由. （青岛市中考试题）解题思路：对于（3），先求出PQ 平分Rt △ACB 周长时t 的值，再看求出t 的值是否满足由面积关系建立的方程.图2图1P'ACB B CAQ PQ P能力训练A 级1. 某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为x ，那么所列方程为_______________. （济南市中考试题）2. 如图，在长为10cm 、宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积是原矩形面积的80%，则所截去的小正方形的边长是_________. （广东省中考试题）3. 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津. 按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票，现该旅客买了120元的行李票，则他的4. 已知实数x 、y 满足3,3243424=+=+y y xx ，则444y x +的值为（） A.7 B.2131+ C.2137+ D. 5 5. 一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是()()125+--=t t h ，则运动员起跳到入水所用的时间是（）A. －5秒B. 1秒 C . －1秒 D. 2秒6. 某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（） A. 11 B. 8 C . 7 D.57. 如图，菱形ABCD 的边长为a ，O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a ＝（） A .215+ B . 215- C . 1 D .2DCABO第2题图第7题图8. 我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运. 经与某物流公司联系，得知用A 型汽车若干辆刚好装完；用B 型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.（1）已知B 型汽车比A 型汽车每辆车可多装15台，则A ，B 两种型号的汽车各能装计算机多少台？（2）已知A 型汽车的运费是每辆350元，B 型汽车的运费是每辆400元。

二元一次方程组的应用(课件)七年级数学下册(浙教版)

数学（浙教版）
七年级下册
第2章二元一次方程组
2.4 二元一次方程组的应用
学习目标
1．根据题干所给的具体数量关系，能列出二元一次方程组，解
答简单的实际问题、几何问题、行程问题和运输问题；
2．根据所列的方程组解决实际问题，注意要符合实际情况，不
满足要求的答案要进行排除；
当堂检测
知识回顾
二元一次方程组的解法有哪些？
=6
解得：
，
=3
∴这个两位数为36．
讲授新课
归纳总结
解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
数量关系
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
字母
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
2
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
代入消元
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的
答：甲型机器购买33台，乙型机器购买6台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量
关系列出方程是解题关键．
讲授新课
练一练
1．商店有甲、乙两种型号的足球，已知购买2个甲型号足球和5个乙型
号足球共需500元，购买3个甲型号足球和2个乙型号足球共需310元．
(1)甲、乙型号足球的单价各是多少元？
组，解之即可得出结论；
（2）设这所学校买了m个甲型号足球，买了n个乙型号足球，根据该学
校一次性购买甲、乙型号足球共100个且共花费5900元，即可得出关于m，
n的二元一次方程组，解之即可得出结论．
讲授新课
【详解】（1）解：设甲型号足球的价格为x元，乙型号的足球的价格

新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十一章一元二次方程《解一元二次方程：配方法》

新听课记录：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十一章一元二次方程《解一元二次方程：配方法》教学目标（核心素养）1.数学抽象：理解配方法解一元二次方程的基本原理。

2.逻辑推理：掌握配方法解一元二次方程的逻辑步骤和适用条件。

3.数学运算：提高学生运用配方法进行代数运算的能力。

导入1.1教师行为：通过解决一元二次方程的实例，展示配方法的引入。

1.2 学生活动：学生观察实例，思考配方法与已知解法的异同。

1.3 过程点评：通过实例展示，激发学生对配方法的兴趣和认识。

教学过程2.1 教师行为：讲解配方法的基本概念和适用条件，强调其在解一元二次方程中的优势。

2.2 学生活动：学生认真听讲，记录配方法的定义和适用条件。

2.3 过程点评：确保学生理解配方法的适用性，为后续学习打下基础。

2.4 教师行为：演示配方法解一元二次方程的详细步骤，包括移项、配方、开平方等。

2.5 学生活动：学生跟随教师演示，学习配方法的具体操作。

2.6 过程点评：通过演示，帮助学生掌握配方法的详细步骤和技巧。

2.7 教师行为：组织学生进行配方法解一元二次方程的练习，提供指导和反馈。

2.8 学生活动：学生独立解题，运用配方法，并与同伴交流解题心得。

2.9 过程点评：通过练习和交流，提高学生的解题能力和理解深度。

板书设计•配方法的定义：通过移项和配方将一元二次方程转化为完全平方形式。

•配方法的步骤：o移项：将常数项移到方程右侧。

o配方：使左侧成为完全平方形式。

o开平方：求解得到方程的根。

•配方法的适用条件：一元二次方程，且易于配方。

作业布置3.1 教师行为：布置学生完成一组配方法解一元二次方程的练习题，鼓励探索不同解题策略。

3.2 学生活动：学生独立完成作业，运用配方法解题，并尝试总结解题技巧。

3.3 过程点评：通过作业，巩固学生对配方法的理解和应用。

课堂小结4.1 教师行为：总结配方法的关键步骤和在解一元二次方程中的重要性。

4.2 学生活动：学生回顾课堂内容，分享学习体会和解题经验。

一元二次方程的应用

一元二次方程的应用一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是实际问题求解中常用的工具之一。

它的应用涉及到多个领域，如物理学、经济学和工程等。

本文将通过实际案例，介绍一元二次方程的应用。

1. 抛物线运动假设一个物体从离地面h高度抛出，初速度为v，抛物线运动的路径可以用一元二次方程表示。

设物体从时间t=0开始运动，那么物体在t时刻的高度可以用以下方程表示：h = -gt^2 + vt + h0其中g为重力加速度，h0为起始高度。

这就是一元二次方程的典型应用之一。

2. 经济学中的应用在经济学中，一元二次方程可以用来描述生产成本、销售收入等与产量之间的关系。

例如，假设某企业生产某种产品的成本函数为C(x)= ax^2 + bx + c，其中x为产量，a、b和c分别为常数。

通过求解这个二次方程，可以找到产量与成本之间的最优关系，帮助企业制定最佳的生产计划。

3. 工程中的应用在工程领域，一元二次方程也有广泛的应用。

例如，考虑一个抛物线形状的拱桥，为了确定拱桥的形状和尺寸，需要利用一元二次方程求解。

通过分析桥墩高度、跨度等因素，可以建立一元二次方程模型，求解该方程可以得到最优的桥墩高度和跨度，以保证拱桥的坚固和美观。

4. 声音传播的应用在声学中，一元二次方程可以用来描述声音在空气中的传播过程。

假设一个声源位于坐标原点，声音的传播距离为d，传播时间为t，声音的速度为v。

根据声音传播的基本原理，可以得到以下一元二次方程：d = vt - at^2通过求解这个方程，可以推导出声音传播的速度、时间和距离之间的关系。

综上所述，一元二次方程在物理学、经济学和工程等领域中有着广泛的应用。

通过求解一元二次方程，可以解决实际问题，帮助人们做出正确的决策和计划。

因此，掌握一元二次方程的应用是非常重要的。

希望本文的介绍能够对读者有所帮助，进一步加深对一元二次方程的理解和应用能力。

提出问题理清关系,解决问题获得新知——以《一元二次方程应用(1)》为例

2020年第10期馥学教学10-9提出问题理清关系，解决问题获得新知以《一元二次方程应用（1）》为例汪萍（浙江省杭州市萧山区瓜沥镇第二初级中学，浙江杭州311241）教育教学活动应该是教师、学生、教材三者之间共同生长.然而在实际教学中，教师往往顾虑教学任务不能完成，担心课堂教学中学生的思维过于发散而难以把控，因此教师在上课之前都会精心设计问题，学生在课堂中就是不断的解决教师预先设计好的问题.实质上,这样的教学教师在课堂中还是占据绝对的主宰地位.“问题提出”的课堂教学是指教师给定问题情境，学生观察、分析相关数学信息，思考、联结已有知识，提出数学问题并表达,让学生解决自己或同伴所提的问题，在解决问题过程中又产生新的质疑、困惑，再提出问题，最终完成教学任务,达成教学目标•“问题提出”能让学生在提出问题过程中理清信息中蕴含的数量关系，在解决问题的过程中获得新知，因此“问题提出教学”不仅是一个生动的、主动的、富有个性的教学方法，也是顺应时代要求的新型教学手段或方法.1课题分析1-1内容分析一元二次方程的应用在初中数学教学中占有重要的地位,不仅与之前的一元一次方程及应用相关，又为今后学习二次函数奠定基础•数学知识应用的教学需要学生在生活实际中提炼出数学关系，一元二次方程的应用中的数量关系相对复杂,对于许多学生而言还是比较难的.1-2学生分析学生已经学习了一元一次方程和二元一次方程组的应用,对于方程应用题的解题方法有一定的基础.《一元二次方程的应用（1）》这一课中包含了销售问题和增长率这两类题型，以往教学中，通常是先后给出一种类型的例题，由学生独立思考，然后老师讲解方法•虽然学生有一定的基础，但是一元二次方程的应用无论是题目的阅读量还是数量关系都比前面所学的方程的应用更为复杂.因此，这类课堂学生的学习状态往往有三类：一部分学生看到篇幅长又读不懂的题目，就直接放弃;一小部分学生能独立完成例题,但学生思维受限制，很难有新的发现;剩下的大部分学生就是认真仔细听老师讲，反复模仿、记忆老师讲解的过程与方法.这类课的课堂中教师教的很吃力，学生两极分化的现象也很严重.基于以上原因，笔者在这类课上尝试用“问题提出”进行教学实践,根据教学目标设计符合学生认知或感兴趣的生活情境，并且语句尽可能的简短明确，鼓励学生根据自己已有的知识经验提出数学问题,这样让基础差一些的学生愿意阅读，也能读懂.让学有余力的学生不局限于这一个问题，从而提高学生的学习兴趣,提高学生在课堂中的参与度，因材施教构建学生自己的学习.2教学过程2.1课前准备本班一共36位学生，课前按座位就近原则以六人为一组进行分组，共有六个小组.因为这样学生之间相对更熟悉一些，避免组员出现过于自卑沉默寡言或过于强势一人发言的现象•选择一位组长负责记录、整理，呈现组员提出的问题•组长不评论问题的好坏，只分辨是不是相同问题，若是相同问题则只记录一次•这样能更好地鼓励所有学生积极参与问题提出.2.2二次开发教材，创设“问题提出”情境教材中例1：10-102020年第10期某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？图1在原有的背景下改为：很多人都会在家中养殖一些盆栽植物，给居室增添不少生机.今天我们以美丽的盆栽为背景学习新的数学知识.某花圃用花盆培育某种花苗，有以下一些信息：①一盆花可以植入1株，也可以植入多株;②经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系：每盆植入3株时，平均单株盈利3元;③以同样的栽培条件，若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.师：给大家10分钟时间，请阅读并根据以上信息提出一个简单的和一个难的数学问题.【设计意图】：如果按课本例题直接给出，大部分学生感到无从下手•但是该例题的实际背景是学生在日常生活中比较熟悉的，因此将原题的关键语句提炼为三小点，给岀三条信息,这样有利于学生理解题意.每个学生的认知程度不同，将不同层次的学生提出的简单和难的问题综合以后，可以分为简单、中等、难三类.提出简单的问题相当于是审题，提出中等难度的问题基本能达成教学目标，提出难的问题就是对该类型例题的拓展延伸.学生分组讨论提出问题，教师巡视后发现许多小组提出的问题雷同，因此选取了比较清楚又具有代表性的三个小组提出的问题，以投影的形式展示如下：第一小组：简单的问题：(1)这个盆有多大？最多能栽几株植物？(2)是不是栽9株,植物养不活？难的问题：(1)每盆栽10株，是不是要倒贴钱？(2)设毎盆增加了力株，用含％的代数式表示单株盈利？第三小组：简单的问题：(1)每盆栽5株，单株盈利是多少？(2)每盆增加到9株，单株的盈利情况？难的问题：(1)增加了3株后，盈利减少了多少元？(2)根据以上材料，写出增加的株数与单株的盈利的函数关系式.(3)写出增加的株数与总盈利的函数关系式.第六小组：简单的问题：(1)当每盆栽4株时，每株盈利多少元？每盆盈利多少元？栽5株又是多少呢？(2)当每盆栽多少株时，是亏本的？(3)当盈利10元时，每盆栽多少株？难的问题：(1)每盆栽多于3株时，请列出函数关系式.(2)当每盆植物多于3株时，增加的株数为多少时，盈利最大？师：同学们提出了许多问题，给大家7分钟时间想想怎样归类更有利于我们解决这些问题？为什么这样归类？生：这个盆有多大？栽3棵植物能活吗？这个盆有多大，最多能栽几棵植物？是不是我栽9棵，植物就养不活了？这类我认为是没有用的问题，因为这类问题与数学课堂没什么关系，属于与课堂教学无关的问题.生：“每盆栽4株时，单株盈利是多少元?2020年第10期10-11每盆栽5株时，单株盈利是多少？每盆栽10株,是不是要倒贴钱？”这是一类问题，这些问题有具体数据，我都能口答，是简单问题.种4株的单株盈利是3-0.5=2.5,种5株时是3-1=2.“每盆栽多于3株时，请列出函数关系式？根据以上材料，写出增加的株数与单株的盈利的函数关系式.写出增加的株数与总盈利的函数关系式”这些为一类，因为这些都与函数有关，属于难的问题•“当植物多于3株时，增加的株数为多少时盈利最大？”这个问题不是函数问题，想不出用什么方法算最大盈利，所以这个也是属于难题.剩下的归为一类，就算中等难度问题吧.师：其他同学有不同的归类吗？学生们纷纷表示差不多是这样归类的.师：你们的归类居然跟老师的想法是一样的，非常棒！那么我们一起从简单问题开始逐一解决，刚才这位同学已经把每盆栽4株、5株后单株的盈利口算出来了，那么单株盈利与哪个量有关？生：增加的株数.师：增加％株，单株盈利是多少？生：3—0.5%.师：有了单株盈利，那么我们就可以解决哪些问题了？请你选择一个问题解答.第二位同学先点评前面同学是否正确，再选择一个问题解答.生：增加了3株后，每株盈利减少了多少元？（0.5x3= 1.5元）生：他的解答是正确的.我选择“每盆栽310株，是不是要倒贴钱？”.（yy+3=9,需倒贴钱）生：他的回答是对的•我选择“当每盆株数是多少时，是亏本的？”.（每盆大于9株时是亏本的）生：前面的同学回答正确.然后我选择“当每盆盈利10元时，每盆几株?”.（先设每盆增加％株，（3+x）（3-0.5x）=10,解得x,=1,◎=2,也就是每盆4株或5株时盈利10元）师：你是根据怎样的等量关系列出这个方程的？生：根据“每盆盈利=株数x每株盈利”.因为增加尤株时，单株盈利是（3-0.5x）元，共有（3+x）株，方程就列出了.师：非常好！那么我们再回顾整个过程，解一元二次方程应用题的一般方法是什么？（1）审：理清数量关系.（我们在提出问题的过程中，就整理分析问题情境中的数量关系）（2）设：找到关键量.（在解决简单的问题时，获得了关键量）（3）列：根据等量关系列出方程.（利用所学的一些常用等量关系如：行程问题，销售问题，面积问题等）师：此时我们已经成功解决问题，当然我们也不能忘记对方程的根进行检验，也=1, x2=2不仅要满足方程也要符合现实实际，检验完毕后写上结论.师：“当植物多于3株时，增加的株数为多少时盈利最大？”你们认为它是属于哪一类问题呢？（很多学生表示不知该如何算最大盈利）师：那么我们先研究剩下你们认为较难的问题：（1）当植物多于3株时，列出每株盈利与株数之间函数关系式.生：设每株盈利y元，每盆增加％株（％> 3）,贝'J y=3-0.5%.师：它们的关系是我们学过的一次函数.（2）根据以上的材料，写出增加的株数与每盆总盈利的函数关系式.师：我们可不可以类比前面列一次函数的方法列出这个函数关系式？生：设每盆总盈利为y元，每盆增加％株. y=（3+x）（3-0.5x）.师：这个函数与我们所学的一次函数有区别，这就是以后要学的二次函数，大家把二次函数的问题也解决了，非常厉害.（一片笑声，学生很有成就感，而且对今后二次函数的学生更有信心）师：最后那个看似不像函数又不知道该怎么解决的问题“当植物多于3株时，增加的株数为多少时盈利最大？”，以后我们正式学习二次函数求最值后，此题很快就能解决.【设计意图】：这个环节中，让学生对这些10-122020年第10期问题进行归类，因为在归类的过程中学生需要逐个分析这些问题，这样能帮助学生进一步理解题意•在解决问题的过程中帮助他们再次理清各个量之间的关系，从而得出解决一元二次方程销售应用题的一般方法.【对比小结】：以往教学中，解实际应用问题的基本步骤：审一设一列一解一检一答.紧接着利用表格的形式，抛出问题：每盆植入株数单株盈利增加1株下降0.5元/株增加2株下降？元/株(生：1元)增加”株下降？元/株(生：0.5’元)此时共有：？株单株盈利？元/株生：3+%3—0.5x师生共同回答问题后便列出方程(3+x)(3-0.5x)=10,并求出解.传统教学中例1主要是通过教师由浅入深地设计好问题，再由学生逐个解决问题，获得解题方法.而“问题提出”的教学，是由学生自己分析信息，分析数量关系，提出问题•能提出问题，说明已有解决问题的思路，教师适当的总结，让学生的思路由模糊到清晰，最终获得解题方法.此外，学生所提问题有涉及二次函数的问题，可以让同学们初步体会一元二次方程与二次函数的联系与区别，为日后二次函数的学习打下良好的基础.2.3追加练习，巩固新知练习1：某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元.为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，每箱每降价1元，平均可多售出20箱.若要尽可能多售出并且使每天销售的饮料获利1400元.则每箱应降价多少元？生1：毎箱每降价1元，平均可多售出20箱.得出降％元多售20%箱，则有(100+20%)箱.每箱的利润为(12-x)元.销售量x每箱利润=总利润，得出(100+20x)(12-1；)=1400,解得：%!=2,龙2=5.生2：是不是还需检验解？生3：与例题对比此题多了“尽可能多售出”这个条件，是不是应选择售出多的那个解？同学们点头表示肯定.师：在解一元二次方程应用题后，要注意检验应用题有无增根，又要检验是否符合题意.师：解一元二次方程应用时，还有一个重要的步骤：“检”是指解应用题既要检验有无增根，又要检验是否符合题意.【设计意图】：改变问题背景，一是巩固所学新知，二是一元二次方程应用题中根的检验既要符合生活实际情况又要符合题意.【对比小结】：以往的教学中，学生看到此题第一反应就是模仿教师讲解开始列表，列表对于学生而言并不简单,超过一半的学生还不能独立的将上述表格列出，还需反复训练才能完全掌握方法•问题提出教学中，呈现出截然不同的情况，学生能自主分析,个别同学遇到疑问时，也能提出问题与同伴交流.2.4给定方程式，提出问题师：例1与练习中的两个方程只是问题的背景改变，方程式的结构不变.接下来，老师给出一个如下形式的一元二次方程(a±bx)(c±dx)=A:(其中a,b,c,d, k为常数)，这里a,b,c,d,/c都是常数，也就是你们可以通过计算自己选择数据.根据这个方程，给大家10分钟时间，编一个与此方程式相关的数学问题.(将每个小组编的数学问题拍照并投影展示)【设计意图】：通过一、二环节，学生经历“问题提出”并解决问题这一过程.整个过程由易到难层层递进，在这个过程中学生理清了各个量之间的数量关系，最终对利润问题有了较为深刻的体验.这个环节是为了触发学生对前面知识的逆向思考.由于给定的方程是积的形式，学生容易类比迁移到环节一中的利润问题，设计这一环节的目的是让学生再次认识利润问题中每一个量的意义的同时，还希望学生可以跳出利润问题的框架，构建新的背景，从多角度来给这个方程赋予实际意义.学生把生活背景改一下，有买书、买矿泉水等等•选了三个比较完整的问题设计展示：2020年第10期欽学获学10-13(1)某超市销售台灯,每个台灯售价为60元，成本价为40元，每星期卖出300个，为了促销决定降价，市场调查反映：每降价1元,每星期可多卖30个.在顾客得实惠的前提下，该超市想获利6480元，应将每个定价为多少元？(2)班级组织学生去杭州乐园游玩，票价标准：如果不超过10人，每张票价200元，每增加1人，票价降低5元，共支付2625元，有多少同学参加了活动？(3)某小店销售一种饮料，每瓶进价9元，每瓶售价每增加0.5元，每天销售量减少40瓶，已知售价为每瓶12元，每天销售量是400瓶，售价定为多少元时，每天获利1280元？师：大家都提出了很好的问题，事实上我还看到了有同学提出了这样的问题：将一个长为40,宽为25的长方形截去角上4个小正方形，折成无盖纸盒.纸盒底面积是450,纸盒高是多少？师：这个还是销售问题吗？生：这个是和面积有关的问题.销售问题是“单价X数量=总数”这个数量关系.长方形面积是“长x宽”，与这个(a±6x)(c±dx)代数的形式相同.五分钟后又有一些学生提出了新的问题：(1)如图3,在一块长方形绿地长40m,宽25m,在绿地开辟两条宽度相等的道路.绿地面积缩小到原来的80%,求小路宽？图3(2)某农场要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠长为18m的墙，另三边用木栏围成，木栏长为32m.鸡场的面积能围成120m2吗？能围成130m2吗？师：由于课堂时间有限，这个我们可以在课后继续研究.老师这里再给出一种动点问题：^/\ABC中，AB=90°,4B=40cm,BC= 25cm,D点以1cm/s的速度从4点向B点移动，E点从C点以2cm/s的速度向B点运动，经过几秒HBDE的面积为450cm2?师：同学们分类非常棒！事实上这类方程的形式可以大致分为以下三类：(1)销售问题：单价X数量=总数.学生通过类比迁移，将种植植物、销售矿泉水问题情境改成购票、房间分配等问题情境.(2)几何图形面积问题.长x宽=长(a±bx)矩形面积宽(c土如二＞底X*X T=三角形面积(3)动态几何问题【设计意图】：给出一元二次方程的一般形式，让学生根据方程的特点提出实际问题,这对于学生而言要求比较高,需要通过计算找到一些数量，这些数量既要符合生活实际又要符合方程.因此在短暂的时间内，学生通常只能模仿例题提出问题.教师提前应有一些预设，如面积问题、动点问题都是教师事先预设,目的就是让学生不局限于销售问题，感悟提出这类问题的关键是分析出方程的结构特征.这样能让学生体会初中阶段所学的方程的应用题的类型相似，只是问题情境不同而已，增强10-142020年第10期学生解题信心.【对比小结】：这个环节中，教材中例2是增长率问题.以往的教学是利用前面解题经验，自主分析解决另一类题型的问题.在问题提出教学中，没有选用课本中的例2,而是选择了一个具有典型特征的一般方程式，让学生根据方程式的特征及新知，给方程式赋予数学背景或生活情境的方式提出问题.同学们用同一个方程式创设了许多不同数学问题，解释了一元二次方程应用题的共同特点，发展了学生的核心素养.2-5回顾反思，分层作业，完善结构课堂小结：1.解一元二次应用题的一般思路？2.销售问题、面积问题及几何动点问题中，所列方程的结构基本相同.一个方程式创设了许多不同数学问题，因此一元二次方程的应用题只是换了背景，方法是共通的.分层作业：请编一道用x2-8%+7=0解决的实际问题.【设计意图】在环节一、二之下，学生对于给定的一元二次方程，已经能赋予方程实际意义•在课堂中只是对单一类型的方程（a±/）（c土弘）=权其中a,b,c,d,k为常数）进行编题,那么将特定类型改成一般形式的方程让学生编题，学生的思维进一步打开，也为下一课增长率问题做好铺垫，也能让学生经历从特殊到一般的过程.3教学实践后反思3-1整合优化教学内容，揭示数学的内在联系初中阶段一元一次方程、一次函数、一元二次方程与二次函数之间都存在着关联性和互化性.教材中一元二次方程的应用有两节课，涉及的知识是：销售问题，增长率问题和面积问题•销售问题、面积问题及分配问题中，所列方程的结构是相同的.因此教师将销售、分配与面积问题放在同一节课中，将例1改为问题提出的信息背景，通过学生提出问题、解决问题提炼出新课的知识•再利用一个典型的方程式做为问题情境，让学生在提出问题过程中发现一元二次方程的应用题其结构是相同的，只是基于不同的问题背景而已•也有同学提出了有关二次函数的问题,事实上二次函数的应用（九年级上学期）中也会出现这些问题，因此存在本质联系.3.2“顺”“逆”并存，拓宽学生思维学生在平时练习或考试中，都是从习题中探寻数量关系•本堂课既让学生从给定的信息中理清数量关系从而提出数学问题，又让他们从给定的方程中寻找方程的特征，再赋予实际背景提出数学问题.一个是顺向思维一个是逆向思维，使学生不单纯的局限于解决课本上的销售问题•这不仅可以让学生获得解决一元二次方程的方法，而且对整个初中阶段的应用型的解题方法及其题型的一致性有更深感悟.既拓宽了学生的思维,也增加了解题信心.3.3本课例教学的不足本堂课最大遗憾就是内容比较多导致时间比较紧张，每一个环节都比较匆忙,虽然学生有一定的思考，但依然不够充分，存在提出的问题基本停留在与课后练习类似的情况.正是时间的原因，教师在各个环节并没有完全放开让学生充分表达他们的想法•教师在今后课堂需不断尝试，设计的教学任务更精简，给学生充分的时间发挥展示.问题提出的教学设计必须基于本堂课学生的学习目标,即学生需要掌握的基本知识、基本技能和解决问题能力，据此设计提出问题的背景信息•设计的信息背景需贴近学生的认知，给定的信息需要有一定层次•在问题提岀的课堂教学过程中,学生对自己或同伴提出的问题特别在意，这样就使得他们在课堂中的参与度、关注度都比以往的教学有很大的提高,学生也很喜欢这样的教学方式，表示这样的课堂特别有成就感.参考文献[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社,2011.[2]王卫标，鲍建立.初中数学提出问题教学研究[M].北京：北京师范大学出版社, 2012.[3]陈晶,潘红玉.核心素养指向的“重难点突破”创新教学微课点评（二）[J].中学数学教学参考,2019（17）：8.。

一元二次次方程实际应用

一元二次次方程实际应用
一元二次方程是数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面我们将通过一个具体的例子来说明如何使用一元二次方程来解决实际问题。

问题：一个农场主想要种植某种作物，他计划在一块长为100米，宽为80米的土地上种植这种作物。

为了最大化产量，他想知道应该种植多少棵这种作物。

假设农场主在这块土地上种植了 x 棵这种作物。

每棵作物需要一定的空间来生长，假设每棵作物需要一个长为 a 米，宽为 b 米的空间。

根据题目，我们可以建立以下方程：
1. 土地的总面积是100 × 80 = 8000 平方米。

2. 每棵作物的占地面积是a × b 平方米。

3. 所有作物的占地面积是x × a × b 平方米。

用数学方程，我们可以表示为：
x × a × b = 8000
现在我们要来解这个方程，找出 x 的值。

计算结果为：x 的可能值为 [8000/a2]
所以，为了最大化产量，农场主应该在土地上种植 8000/a2 棵这种作物。

北师版九年级数学 2.4用因式分解法求解一元二次方程(学习、上课课件)

方程的方法来求得一元二次方程的解. 这种解一元二次
方程的方法称为因式分解法.
体现了转化思想.
感悟新知
知1－讲
2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，
即若ab= 0，则a=0 或b=0.
达到降次的目的.
感悟新知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知1－讲
3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化
易错：千万不能将方程两边同时
除以(x－5) ，否
则方程会漏掉
x=5 这一根.
感悟新知
2-1. 解下列方程：
知2－练
①(x－2)2=5，② x2－2x＋1=0，③ x2＋ 2 x－3=0. 适当的方法为( A ) A. ①直接开平方法，② 因式分解法， ③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，② 公式法， ③ 因式分解法
方程的解
x1=0，x2=－b x1=a，x2=－a
x1=x2= a x1=－p，x2=－q
感悟新知
特别解读 ★用因式分解法解一元二次方程的关键：
知1－讲
1.将方程的右边化为0;
2.熟练掌握多项式因式分解的方法;
3.方程两边不能同时除以含有未知数的相同整式.
★常用的因式分解的方法：
1.提公因式法：ma＋mb＋mc=m(a＋b＋c)；
∴ x =－182±×2 332=－9±2 83.
∴ x1=－9＋2 83，x2=－9－2 83.
感悟新知
知2－练
(4)(x－5)2=2(x－5).
解：(因式分解法)移项，得(x－5)2－2(x－5)=0，

2019年春七年级数学下册第2章二元一次方程 2.4 第1课时应用二元一次方程组解决简单的实际问题练习 (新

2.4 二元一次方程组的应用第1课时应用二元一次方程组解决简单的实际问题知识点应用二元一次方程组解决实际问题当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程．要注意的是必须寻找两个等量关系，列出两个不同的方程，组成二元一次方程组．[归纳] 应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： (1)理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系． (2)制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组． (3)执行计划：列出方程组并求解，得到答案．(4)回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意． [注意] (1)题目中给出的量的单位不统一时，解题时应将单位统一． (2)解二元一次方程组的过程可以省略．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少．设到井冈山的人数为x ，到瑞金的人数为y ，下面所列的方程组正确的是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝34，x ＋1＝2y B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝34，x ＝2y ＋1C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝34，2x ＝y ＋1D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝34，x ＝2y ＋1用二元一次方程组解决较简单的实际问题教材补充题甲、乙二人在一环形场地上从点A 同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟后两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．[归纳总结] 对环形跑道中相遇问题的理解是解决本题的关键．在环形跑道中同时、同向而行首次相遇时两者的路程差正好是环形跑道的周长．[反思] 一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，已知1立方米木料可做50个桌面或300条桌腿，现在有5立方米木料，恰好能做几张桌子？解：设在这5立方米木料中，用x 立方米做桌面，用y 立方米做桌腿．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，50x ＝300y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝307，y ＝57.因为307×50≈214，所以能做214张桌子．上述解法是否正确？如果不正确，请改正．一、选择题 1．小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支中性笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支中性笔和3盒笔芯，仅用了28元．设每支中性笔x 元，每盒笔芯y 元，根据题意，下面所列方程组正确的是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋20y ＝56，2x ＋3y ＝28B .⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋2y ＝56，2x ＋3y ＝28C .⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋2y ＝28，2x ＋3y ＝56D .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝28，20x ＋3y ＝562．2015·内江植树节这天有20名同学共种了52棵树，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵，设男生有x 人，女生有y 人，则下列方程组正确的是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝52，3x ＋2y ＝20B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝52，2x ＋3y ＝20C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，2x ＋3y ＝52D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，3x ＋2y ＝52 3．已知长江比黄河长836米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284米，设长江的长度为x 米，黄河的长度为y 米，则下列方程组正确的是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝836，5x －6y ＝1284 B .⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝836，6y －5x ＝1284C .⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝836，6y －5x ＝1284D .⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝836，5x －6y ＝1284 4．甲、乙两个仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%，结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨．若设甲仓库原来存粮x 吨，乙仓库原来存粮y 吨，则有( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝450，（1－60%）x －（1－40%）y ＝30B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝450，60%x －40%y ＝30 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝450，（1－40%）y －（1－60%）x ＝30 D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝450，40%y －60%x ＝305．某学校举行运动会，七年级(1)班、(5)班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：“(1)班与(5)班的得分之比为6∶5.”乙同学说：“(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分．”若设(1)班得x 分，(5)班得y 分，根据题意所列的方程组应为( )A .⎩⎪⎨⎪⎧6x ＝5y ，x ＝2y －40B .⎩⎪⎨⎪⎧6x ＝5y ，x ＝2y ＋40C .⎩⎪⎨⎪⎧5x ＝6y ，x ＝2y ＋40D .⎩⎪⎨⎪⎧5x ＝6y ，x ＝2y －40 6．成渝路内江至成都全长170千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶20千米．设小汽车和客车的平均速度分别为x 千米/时和y 千米/时，则下列方程组正确的是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，76x ＋76y ＝170 B .⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝20，76x ＋76y ＝170 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，76x －76y ＝170 D .⎩⎪⎨⎪⎧76x ＋76y ＝170，76x －76y ＝20二、填空题7．某年级学生共有246人，男生人数比女生人数的2倍少3人，问男、女生各多少人？若设女生人数为x ，男生人数为y ，则可列方程组为______________．8．某次足球比赛的记分规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队踢了14场，其中负5场，共得19分，若设胜了x 场，平了y 场，则可列方程组为______________．9．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是鸡有23只，兔有12只．小敏将此题改编如下：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是鸡有________只，兔有________只．10．如图2－4－1，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15.两根铁棒长度之和为55 cm ，此时木桶中水的深度是________cm .图2－4－1三、解答题11．2015·福州有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？12．2015·常德某物流公司承接A，B两种货物的运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨．该物流公司6月份承接的A种货物和B种货物数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．该物流公司5月份运输两种货物各多少吨？为鼓励居民节约用电，某省实行阶梯电价收费制，具体执行方案如下：)．某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各用电多少度？详解详析【预习效果检测】[解析] B 这里有两个等量关系：到井冈山的人数＋到瑞金的人数＝34，到井冈山的人数＝到瑞金的人数×2＋1，所以所列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝34，x ＝2y ＋1.【重难互动探究】例 [解析] 设乙的速度为x 米/分，则甲的速度为2.5x 米/分，环形场地的周长为y 米，根据题中的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝环形场地的周长，建立方程组求出其解即可．解：设乙的速度为x 米/分，环形场地的周长为y 米，则甲的速度为2.5x 米/分．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2.5x×4－4x ＝y ，4x ＋300＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧6x －y ＝0，4x －y ＝－300，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝150，y ＝900.∴甲的速度为2.5×150＝375(米/分)．答：甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米．【课堂总结反思】[反思] 上述解法不正确．改正如下：设在这5立方米木料中，用x 立方米做桌面，用y 立方米做桌腿．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，4×50x ＝300y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. 因为3×50＝150，所以恰好能做150张桌子．【作业高效训练】 [课堂达标]1．[解析] B 这里有两个等量关系：20支中性笔的价格＋2盒笔芯的价格＝56元；2支中性笔的价格＋3盒笔芯的价格＝28元，所以所列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋2y ＝56，2x ＋3y ＝28.2．D 3.B4．[解析] C 要求甲、乙仓库原来分别存粮多少，就要先设出未知数，找出题中的等量关系列方程组求解．题中的等量关系：从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%，结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨；甲、乙仓库共存粮450吨．设甲仓库原来存粮x 吨，乙仓库原来存粮y 吨．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝450，（1－40%）y －（1－60%）x ＝30.故选C .5．[解析] D 根据(1)班与(5)班的得分之比为6∶5，有x∶y＝6∶5，得5x ＝6y ；根据(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分，得x ＝2y －40.可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＝6y ，x ＝2y －40.故选D .6．D7．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝246，y ＝2x －38．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝14－5，3x ＋y ＝19[解析] 本题的等量关系：①共踢了14场；②共得19分．9．[答案] 22 11[解析] 设鸡有x 只，兔有y 只，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝33，2x ＋4y ＝88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝11.∴鸡有22只，兔有11只． 10．[答案] 20[解析] 解法一：设一根铁棒长为x cm ，另一根长为y cm .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，23x ＝45y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝25，30×23＝20(cm )．解法二：设一根铁棒长为x cm ，另一根长为(55－x)cm . 根据题意，得23x ＝45(55－x)，解得x ＝30，30×23＝20(cm )．11．解：设有x 支篮球队和y 支排球队参赛．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝48，10x ＋12y ＝520，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝28，y ＝20.答：篮球、排球队各有28支与20支参赛．12．解：设该物流公司5月份运输A ，B 两种货物各x 吨，y 吨．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋30y ＝9500，70x ＋40y ＝13000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝150.答：该物流公司5月份运输A 种货物100吨，运输B 种货物150吨． [数学活动]解：因为两个月的用电量为500度，所以每个月用电量不可能都在第一档，假设该用户五、六月份每月用电量均超过200度，此时的电费共计：500×0.6＝300(元)，而300>290.5，不符合题意．又因为六月份用电量大于五月份，所以五月份用电量在第一档，六月份用电量在第二档．设五月份用电x 度，六月份用电y 度．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0.55x ＋0.6y ＝290.5，x ＋y ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝190，y ＝310.答：该户居民五、六月份各用电190度、310度．。