中考数学锐角三角函数(大题培优)含答案

中考数学锐角三角函数(大题培优)含答案

一、锐角三角函数

1．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E e 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是E e 的切线；

（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E e 于点G ，连接BG ： ①当1

an 7

t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求

BG

CF

的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫

⎪⎝⎭

，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12.

【解析】 【分析】

（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；

（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得1

2

BG CF ≤，从而得解. 【详解】

（1）证明：连接DE ，则：

∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=︒ ∴90BDA ∠=︒ ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠

∵

EB ED =

∴EBD EDB ∠=∠

∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即：EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=︒ ∴90EDO ∠=︒ ∴直线OD 为E e 的切线.

（2）①如图1，当F 位于AB 上时： ∵1~ANF ABC ∆∆

∴

11

NF AF AN AB BC AC

== ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x ==

∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：10

31

x = ∴150531AF x ==

15043

33131

OF =-=

即143,031F ⎛⎫

⎪⎝⎭

如图2，当F 位于BA 的延长线上时： ∵2~AMF ABC ∆∆

∴设3AM x =，则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241

tan 1037

F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25

x =

∴252AF x ==

2325OF =+=

即2(5,0)F

②如图，作GM BC ⊥于点M ， ∵BC 是直径

∴90CGB CBF ∠=∠=︒ ∴~CBF CGB ∆∆

∴

8BG MG MG

CF BC == ∵MG ≤半径4=

∴

41

882BG MG CF =≤= ∴BG CF

的最大值为12.

【点睛】

本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

2．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．

(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；

(2) 求证：∠ACF=90°；

(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.

图1 图2

【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析

（2）证明见解析

（3）=2π

【解析】

试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH

（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明

（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长

试题解析：（1）BE=FH．理由如下：

∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，

∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°

又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°

∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF

∴△ABE≌△EHF（SAS）

∴BE=FH

(2)∵△ABE≌△EHF

∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"

∴CH=FH

∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°

∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°

∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°

（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形

△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°

过E作EN⊥AC于点N

Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=

Rt△ENA中，EN =

又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）

∴∠EAC=30°

∴AE=

Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8

AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°

=2π·4·（90°÷360°）=2π

考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数

3．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．

(1)求证：PA是☉O的切线；

(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.

【解析】

试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；

（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．

试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，