【高中物理】物理人教版选修3-4学案：第十一章第4节 单摆

4．单摆

1．知道什么是单摆。

2．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。

3．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。

冬天走时准确的老式挂钟，到了夏天就不准确了，为什么呢？应该怎样调整？

提示：由于热胀冷缩，到了夏天，挂钟的钟摆变长了，摆动的周期发生了变化，所以走时不准确了，应该调整钟摆的长度，调整摆锤下面的螺母，让摆锤的重心升高即可。

1．单摆

由细线和小球组成，细线的______与小球相比可以忽略，球的______与线的______相比也可以忽略。忽略摆动过程中所受阻力的作用，单摆是实际摆的理想化模型。

为了满足上述条件，我们尽量选择质量大、半径小的球和尽量细的无弹性的线。

思考：结合单摆模型的特点想一想，下列装置能否视为单摆，为什么？

2．单摆的回复力

(1)回复力的提供：摆球的重力沿______方向的分力。

(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力和它偏离平衡位置的位移大小成______，方向总是指向__________，即________________。

(3)运动规律：单摆在偏角很小时做__________，其振动图象遵循__________规律。

思考：如图所示，细线下悬挂一个除去了栓塞的注射器，注射器向下喷出一细束墨水。沿着与摆动方向垂直的方向匀速拖动一张白纸，喷到白纸上的墨迹便画出振动图象。你知道为什么要匀速拖动长木板吗？

3．单摆的周期

(1)实验研究：单摆的振幅、质量、摆长对周期各有什么影响？

控制条件：实验主要是为研究属于简谐运动的单摆振动的周期，所以摆角不要超过5°。

步骤1：把摆长相同的两个摆球从不同高度释放，观察现象：摆球同步振动，说明单摆振动的周期与______无关。

步骤2：将摆长相同、质量不同的摆球拉到同一高度释放，观察现象：两摆球同步振动，即说明单摆的周期与____________无关，不受其影响。

步骤3：取摆长不同，两个相同的摆球从某一高度同时释放，观察现象：两摆球振动不同步，而且摆长越长，振动就越慢。这说明单摆振动跟______有关。

实验表明：单摆的振动周期与摆球的质量无关；在振幅较小时，与振幅无关；但是与摆长有关，摆长越长，周期越长。

步骤4：定量研究周期跟摆长的关系：测量不同摆长下的单摆的振动周期，实验需要精确地测量两个物理量，它们是____________。

①摆长的测量：用带毫米刻度的米尺测量摆线的长度，用游标卡尺测量摆球的直径。摆长等于__________与__________之和。

②周期的测量：用停表测出单摆30～50次全振动的时间t，周期为：__________。

(2)周期公式：荷兰物理学家惠更斯研究了单摆的振动，在大量可靠的实验基础上，经过一系列的理论推导和证明得到：单摆的周期和摆长l的平方根成____比，和重力加速度g 的平方根成____比，而与振幅、摆球的质量无关。

惠更斯确定了单摆振动的周期公式：______________。

4．用单摆测定重力加速度

由周期公式T＝2πl

g可得：g＝________________，只要测出单摆的______和______，

就可以求出当地的重力加速度。

答案：1．质量直径长度

思考

提示：都不能，(1)中橡皮筋的伸缩不能忽略；(2)(3)中乒乓球和大木球摆动时，空气阻力不能忽略；(3)中大木球的直径与线的长度相比也不能忽略不计。

2．(1)圆弧

(2)正比平衡位置F＝－mg l x

(3)简谐运动正弦函数

思考

提示：匀速拖动木板，可以保证得到的单摆振动图象的时间轴的间隔是均匀分布的。

3．(1)振幅摆球质量摆长摆长和周期摆线长度摆球半径T＝t

n

(2)正反T＝2πl g

4.4π2l

T2摆长周期

一、证明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动

如图所示，摆球受重力G＝m g和绳子的拉力F′两个力作用，将重力m g按切线方向和径向正交分解，则绳子的拉力F′与重力的径向分力的合力充当了以悬点为圆心的圆周运动的向心力，而重力的切向分力F提供了使摆球振动的回复力。当单摆运动到摆线与竖直方向夹角为θ的位置时，摆球受到的回复力为F＝m g sin θ。

设单摆的摆长为l，在摆角θ＜5°的条件下，若将θ用弧度值来表示，就存在如下近似关系：sin θ≈θ。

上式中弧OP 所对的弦OP 就是摆角为θ时摆球对平衡位置的位移x ，所以sin θ≈x l

。 摆球在摆角θ很小的条件下受到的回复力近似表示为：

F ＝－mg l ·x ，令k ＝mg l

，则F ＝－kx 。 对一个确定的单摆来说，k 是一个不随振动变化的定值，这表明摆球所受的回复力的大小跟摆球振动的位移成正比，负号则正好反映了摆球所受回复力的方向与摆球位移的方向相反(即回复力方向始终指向平衡位置)。由此可见，单摆在摆角θ＜5°的条件下的振动是简谐运动。

由于中学物理实验对精度要求不是很高，θ＜10°时就可以满足中学物理实验对误差的要

求。做实验时，为了增加可见度，单摆的摆角不必拘泥于小于5°这个角度。

二、在探究实验中的几个问题

1．测量单摆的振动周期时为什么要从平衡位置开始计时

单摆摆到平衡位置时的速度最大，从这里作为计时起点误差最小。因为计时的瞬间球快速地通过平衡位置，即使球没有摆到平衡位置或刚超过了平衡位置，摆球的运动用时也很短。相反，若在最大位移处开始计时，正因为是速度很小，计时的瞬间若摆球没有到达或超过最大位移，运动时间较长，引起的误差就会大一些。

2．如何探究单摆振动的周期跟摆球质量的关系

使用摆长相同而质量不同摆球的单摆，测量其摆动的周期即可。

3．如何探究单摆振动的周期跟振幅的关系

同样摆长的单摆，让它们的振动幅度不同，测量其摆动的周期即可。

4．在周期的测量中，采取什么方法可使误差更小些

测量30次或40次、50次的总时间，然后求出平均周期即可。

三、如何理解单摆的周期公式

1．等效摆长：摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长。如图，摆球可视为质点，各段绳长均为l ，甲、乙摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙摆球在纸

面内做小角度摆动，O ′为垂直纸面的钉子，而且OO ′＝l 3

，则各摆的周期为 甲：等效摆长l 甲＝l sin α，T 甲＝2πl sin αg

。 乙：等效摆长l 乙＝l sin α＋l ，T 乙＝2πl (sin α＋1)g

。 丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由O 变为O ′，摆球振动时，半个周期摆长为l ，另

半个周期摆长为(l －l

3)，即为23l ，则单摆丙的周期为T 丙＝πl g ＋π2l 3g

。

2．等效重力加速度g ，g 不一定等于9.8 m/s 2

g 由单摆所在的空间位置决定。由g ＝G M R

2知，g 随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，高度越高，g 的值就越小。另外，在不同星球上g 也不同。

同一单摆，在不同的地理位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同。

同一单摆，在不同的星球上，其周期也不相同。例如单摆放在月球上时，由于g 月＜g 地，