指数与指数幂的运算1稿
高中数学指数函数指数与指数幂的运算说课稿1新人教A版必修
2.1 指数函数在初中的学习中，学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质.本节内容在组织学生回顾平方根、立方根的基础上，类比出一个正数的n 次方根定义，进而将指数推广到分数指数，从而完成了指数由整数指数到有理数指数的一次推广，在利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，完成了指数由有理数指数到实数指数的二次推广，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂，使学生对指数幂的概念以及运算性质有了一个比较完整的认识，同时也为研究指数函数作好了知识上的准备.根式的概念是教学中的难点，教材中通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n 次方根的定义.为了更好地分解这一难点，教学中应放慢速度，多举几个具体的例子，帮助学生理解，并在此基础上类比出n 次方根的一般定义与性质.方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广，教学时，可以以平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是教学中的又一个难点.教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂表示的是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化来巩固、加深对这一概念的理解.由于学过负整数次幂，正分数次幂引入后，学生不难理解负分数次幂的意义，因此，教学中可以放手让学生自己得出.在掌握了有理数指数幂的基础上，利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，从而直观形象地给出了有理数指数幂的运算性质也可以推广到无理数.有了把指数范围扩充到实数范围内的知识上的准备，又有前面所学的对函数概念和性质的系统学习，顺理成章地引出了指数函数概念、怎样作出指数函数图象、怎样研究指数函数的性质以及与其他函数结合的研究.教材是通过死亡后生物体内碳14含量与死亡年数的关系这样一个实际问题引入指数函数的，既说明指数函数的概念来自实践，认识到指数函数对实际生活的意义，也便于学生接受.但在教学中，学生往往容易忽略定义域，因此，在进行指数函数定义的教学时，既要明确其定义域，又要让学生去探索成立的条件，明确底数a 是一个大于零且不等于1的常数，这样既培养了学生掌握概念的能力，又锻炼了学生分析问题和处理问题的能力.在理解指数函数的定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，是本节教学的重点，而理解底数a 的值对于函数值变化的影响（即对指数函数单调性的影响）是教学的一个难点.教学时为了帮助学生理解，可以充分利用图象.教学时可以先要学生在同一坐标系内画出函数y =2x 和y =（21）x 的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析、归纳总结指数函数的性质.有条件的学校也可以利用《几何画板》等数学软件，定义变量a 作出函数y =a x 的图象，进而改变a 的值，使学生在动态变化的过程中理解指数函数的性质，认识规定底数a 是一个大于零且不等于1的常数的原因.2.1.1 指数与指数幂的运算（1）从容说课指数是学习指数函数的预备知识，初中学生已经学习了整数指数幂的概念及运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂；为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，以及无理数指数幂的概念；为了学习分数指数幂的概念.首先要介绍根式的概念，本课主要学习根式的概念以及n次方根的性质.学生已经学习了数的平方根、立方根，根式的内容是这些内容的推广.因此，在引入根式的概念时要结合这些已学内容，列举多个具体例子以便学生理解.根式n a的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况中，都要分a＞0，a=0，a＜0三种情况介绍，并结合具体例子讲解，其中要强调n a（a＞0，n是偶数）表示一个正数，抓住这一点，理解n次方根的性质就容易了.当n是偶数时，n n a=|a|（因为n n a总是一个非负数），这是本课的一个难点，讲解时可先复习2a=|a|这一性质，并结合具体例子加以讲解，有助于学生理解n n a=|a|这一性质.三维目标一、知识与技能理解根式的概念，掌握n次方根的性质.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习.2.引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性，做一个具备严谨科学态度的人.3.通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力.三、情感态度与价值观1.新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的自主探索，来加深理解n次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.教学重点1.根式的概念.2.n次方根的性质.教学难点1.根式概念的理解.2.n次方根性质的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、创设情景，引入新课师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？生：对生物体化石的研究.师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们知道吗?（众生摇头）师：考古学家是按照这样一个规律来推测的.问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少? 生：21，（21）2，（21）3，…. 师：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少? 生：（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000.师：由以上的实例来推断关系式应该是什么?生：P =（21）5830t . 师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值.那么这些数（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000的意义究竟是什么呢？它和我们初中所学的指数有什么区别?生：这里的指数是分数的形式.师：指数可以取分数吗?除了分数还可以取其他的数吗?我们对于数的认识规律是怎样的?生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.师：指数能否取分数（有理数）、无理数呢？如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后，关系式P =（21）5830t就会成为我们后面将要相继研究的一类基本初等函数——“指数函数”的一个具体模型.为了能水到渠成地研究指数函数，我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程，这就是我们下面三节课将要研究的内容：分数指数幂（有理数指数幂）、无理数指数幂.（引入课题，书写课题——指数与指数幂的运算）二、讲解新课（一）探求n 次方根的概念师：32=9，那么，在这个等式中3对于9来说，扮演着什么角色？9对于3来说又扮演着什么角色呢?生：9叫做3的平方数，3叫做9的平方根.师：若53=125，那么125对于5来说，扮演着什么角色？5对于125来说又扮演着什么角色呢?生：125是5的立方数，5是125的立方根.师：如果x 2=a ，那么x 对于a 来说扮演着什么角色？生：x 是a 的平方根.师：能否用一句话描述你的结论？生：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 师：如果x3=a，那么x对于a来说又扮演着什么角色？生：x是a的立方根.师：能换一种说法表述你的结论吗？生：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.师：如果x4=a，x5=a，又有什么样的结论呢？生：如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根；如果一个数的五次方等于a，那么这个数叫做a的五次方根.师：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫做a的立方根；③如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论？生：一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根.师：上述结论中的n的取值有没有什么限制呢？（生探索，完善n次方根的定义，并强调n的取值范围，师板书如下定义）一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根（n—th root），其中n＞1，且n∈N*.（二）概念理解课堂训练：试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.（多媒体显示，生完成）（1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；（4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.（师组织学生紧扣n次方根的定义，完成以上各题）方法引导：在n次方根的概念中，关键的是数a的n次方根x满足x n=a，因此求一个数a的n次方根，就是求出哪个数的n次方等于a.（三）n次方根的性质合作探究：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？（学生交流，师及时捕捉与如下结论有关的信息，并简单板书）1.以上各数的对应方根都是有理数；2.第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一个；3.第（1）题的答案中的两个值互为相反数.师：请仔细分析以上各题，你能否得到一个一般性的结论？（提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数学的分析问题、解决问题的能力）生甲：一个数的奇次方根只有一个.生乙：一个数的偶次方根有两个，且互为相反数.师：是否任何一个数都有偶次方根？0的n次方根如何规定更合理？生：因为任何一个数的偶次方都是非负数，所以负数没有偶次方根，0的n次实数方根等于0.师：你能否把你所得到的结论再叙述的具体一些呢？（组织学生交流，得出以下结论）n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样，方根也有如下性质：（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a 的n 次方根用符号n a 表示.（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成±n a （a ＞0）.注：①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作n 0=0；③当a ≥0时，n a ≥0，所以类似416=±2的写法是错误的.（四）根式的概念 式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 例如56叫做根式，其中5叫做根指数，6叫做被开方数.（五）n 次方根的运算性质求下列各式的值：（1）（5）2；（2）33)2(-；（3）44)2(-；（4）2)3(a -（a ＞3）.（生板演，师组织学生评析）解：（1）（5）2=5；（2）33)2(-=－2；（3）44)2(-=|－2|=2；（4）2)3(a -= |3－a |=a －3.师：上面的例题中涉及了哪几类问题? 生：主要涉及了（n a ）n 与n n a 的问题.合作探究：（1）（n a ）n 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（2）n n a 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）（1）（n a ）n =a .例如，（327）3=27，（532-）5=－32.（2）当n 是奇数时，n n a =a ；当n 是偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 例如，33)2(-=－2，552=2；443=3，2)3(-=|－3|=3. （六）例题讲解（生板演，师组织学生进行课堂评价）【例1】 求下列各式的值：（1）（38-）3；（2）2)10(-；（3）44)π3(-；（4）2)(b a -（a ＞b ）.解：（1）（38-）3=－8；（2）2)10(-=10；（3）44)π3(-=π－3；（4）2)(b a -=|a －b |=a －b .【例2】 化简下列各式：（1）681；（2）62)2(-；（3）1532-；（4）48x ；（5）642b a .解：（1）681=643=323=39；（2）62)2(-=622=32；（3）1532-=－1552=－32；（4）48x =442)(x =x 2；（5）642b a =622)|(|b a ⋅=32||b a ⋅.三、课堂练习1.若x ∈R ，y ∈R ，下列各式中正确的是A.44)(y x +=x +yB.33x －44y =x －yC.2)3(+x +2)3(-x =2xD.3-x +x -3=02.12--x x =12--x x 成立的条件是 A.12--x x ≥0 B.x ≠1 C.x ＜1 D.x ≥23.在①42)4(n -；②412)4(+-n ；③54a ；④45a （各式中n ∈N ，a ∈R ）中，有意义的是A.①②B.①③C.①②③④D.①③④4.当8＜x ＜10时，2)8(-x －2)10(-x =________.参考答案：1.D2.D3.B4.2x －18四、课堂小结师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.（生互相交流，而后由师多媒体显示如下内容）1.若x n =a （n ＞1，n ∈N *），则x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时，实数a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的n 次方根用符号±n a 表示，负数的偶次方根无意义.式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义；0的任何次方根都是0.3.（1）（n a ）n =a .（2）当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 五、布置作业（一）复习课本第57～58页内容，熟悉巩固有关概念和性质；（二）书面作业：课本P 69习题2.1A 组第1题. 板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（1）一、基本概念和性质1.n 次方根的定义2.n 次方根的性质3.根式的定义4.n 次方根的运算性质二、例题解析即学生训练板演例1.求下列各式的值例2.化简下列各式目标检测评析布置作业。
幂的运算综合定稿
知识点一：同底数幂相乘⎪⎩⎪⎨⎧⋅==⋅++负数的偶次幂都是正数负数的奇次幂是负数，幂是正整数）、（逆运算：是正整数）、（即指则都是正数；正数的任何次a a a a a a 数相加。
：底数不变底法同底数幂底数幂nm n m nm n m n m n m 知识点二：幂的乘方与积的乘方1、幂的乘方⎪⎩⎪⎨⎧==是正整数）n (m, )(a a 是正整数）n (m, a )即(a 底数不变nm mn mnn m 逆运算：，指数相乘。
2、积的乘方⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=是正整数）（）（逆运算：是正整数）（）（再把所得的幂相乘。
即把每一个因式分别乘方n ab b a n b a ab nn n n n n 知识点三：同底数幂的除法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=≠=≠=÷--),0(110)0(1),0(0是正整数规定负整数指数幂的意义：的数的零次幂都等于。
即任何不等于零指数幂的意义：规定＞是正整数，、变，指数相减。
即同底数幂相除，底数不同底数幂的除法a a a a a a n m n m a a a a p p n m n m 科学计数法⎪⎩⎪⎨⎧==⨯=-=⨯=--mnm 955101)00101002.50000502.01101096.6696000的个数数字前第一个非的负几次方（）原数字的几次方（幂的运算性质1、下列各式计算过程正确的是（）（A ）63+333x =x =x +x （B ）6333x=2x =x x ⋅（C ）853053x =x=x x x ++⋅（D ）53232-x =-x =x -x +⋅）（2、化简23.(-x)-x)(,结果正确的是（）（A ）6x-（B ）6x(C ）5x-(D ）5x3、下列计算：①2525x =)(x ;②725x =)(x ;③1052x =)(x ;④725xy =y x ）（;⑤1025xy =y x ）（;⑥555xy =y x ）（;其中错误．．的有（）（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个4、下列运算正确的是（）（A ）954a=a +a （B ）33333a =a a a ⋅⋅（C ）9546a=3a 2a ⨯（D ）743a =a - ）（5、下列计算正确的是（）（A ）-1=）1- 0（（B ）1=）1- -1+（（C ）33-2a 1=2a （D ）473a 1=）(-a ÷）a -（6、下列计算中，运算错误的式子有（）（1）3334a =a -5a ;（2）2m mmx =x+x ;（3）n m n m 6=32+⋅;（4）2m 1m a =a a ++⋅;（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个7、计算32）a -(b ）b -a （的结果是（）（A ）5）b -a （（B ）5）b -a （-（C ）6）b -a （（D ）6）b -a （-8.计算99001）2-（+）2-（所得的结果是（）A.-2B.2C.992- D.9929.当m 是正整数时，下列等式成立的有（）（1）2m 2m)(a =a （2）m 22m )(a =a （3）2m 2m )(-a =a （4）m22m )(-a =a A.4个B.3个C.2个D.1个10.若 6.=2 5.=2nm 则n2m 2+=.11、232m)-(n · n)-(2m =.12、要使-21)+(x -1-x （）有意义，x 的取值应满足什么条件？13、如果等式2a 1-2a （+）=1,则a 的值为.14、232324)3()(9n m n m -+15、422432)(33aab b a ⋅-⋅）（16、已知：1=2)-x （4-x 2,求x 的值．17、①322 23 2.(-b)(-a) .)(a 8+b)(-2a ;②3372332)(5a -.a (-4a) +a )(-3a ⋅18、①224412⨯（②1212425.0⨯-）（③125.0255.02⨯⨯④3332221）（（⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡逆向思维19、=x4250.100101;=x(-2)5)(-0.20032002;20062006x32的个位数字是;20、若,111=b ,999=a 222111则a 、b 的大小关系是;21、已知： 6.=10 5.=10ba求3b2a 10+的值．练：若2=9n 6.=3m.求14n -2m 3+的值；22、若n 为正整数，且 4.=x2n求n 223n )2(x -)（x 的值．23、若n 为正整数，且3=x2n,求2n 223n )8(x -)3x (的值．24、已知：3=5y +2x ,求yx 324⨯的值；25、0122004200520062-2-2-....-2-2-2的值26、已知25=a5,=a yx x +,求y x a +a 的值．27、已知47n m 25=10225⨯⨯⨯,求m 、n.。
2.1.1指数和指数幂运算(一)—根式
新课
2、 n次方根的定义
一般地, 若x a, 则x叫做a的n次方根.其中
n
n次方根,32的5次方根; (2)25的2次方根, 81的4次方根.
n次方根有何性质？
3/21/2019 10:18:57 PM
新课
n次方根的性质
(1)奇次方根的性质 :
(1).
3 3
(3)( 3) ; 2 (4 ) ( a b ) . n n (5 ) ( a b) .
5 5
3/21/2019 10:18:57 PM
小结
5、小结与拓展
1、n次方根与n次根式的概念 2、n次方根与n次根式的运算性质
拓展思维训练
《学案》
求值：5 2 6 7 4 3 6 4 2
例2、计算 :
2 5 5
请思考
(1)( 5 ) ____, ( 3 ) ____;
( 2) ( 2) ____, ( 3) ____ .
2 3 3
比较( a ) 和 a 的区别与联系 ?
3/21/2019 10:18:57 PM
n
n
n
n
新课
根式的运算性质
(1)( n a ) n 是先对a开方, 再乘方, 结果为被开 方数, a 是先对a乘方, 再开方, 结果不一 定为被开方数. n n (2)当n为奇数时, a ____, a 当n为偶数时, a
正数的奇次方根是一个正数, 负数的奇次 方根是一个负数,0的奇次方根是0.
( 2)偶次方根的性质 : 正数的偶次方根是两个绝对值相等符号
相反的数, 负数的偶次方根没有意义,0的 奇次方根是0.
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湘教版数学八年级上册1.3.3《整数指数幂的运算法则》说课稿1
湘教版数学八年级上册1.3.3《整数指数幂的运算法则》说课稿1一. 教材分析湘教版数学八年级上册1.3.3《整数指数幂的运算法则》这一节主要介绍了整数指数幂的运算法则。
这部分内容是初中学段数学知识的重要组成部分，对于学生来说，掌握这部分内容对于提高他们的数学素养和解决实际问题具有重要意义。
本节内容主要包括整数指数幂的乘法、除法和幂的乘方等运算法则。
这些法则不仅为学生提供了解决相关问题的方法，而且也为进一步学习指数幂的性质和运用打下了基础。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了有理数的乘方、负整数指数幂等知识，对于幂的运算已经有了一定的了解。
但是，整数指数幂的运算法则较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，采用生动形象的教学手段，帮助学生理解和掌握这部分内容。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握整数指数幂的运算法则，能够运用这些法则解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生探究问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。
四. 说教学重难点1.教学重点：整数指数幂的运算法则。
2.教学难点：整数指数幂的运算法则的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解等教学方法，引导学生主动探究和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，生动形象地展示教学内容。
六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数的乘方、负整数指数幂等知识，引出整数指数幂的运算法则。
2.自主学习：让学生自主探究整数指数幂的运算法则，引导学生发现规律。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习心得和解决问题的方法。
4.教师讲解：针对学生的讨论，教师进行讲解和总结，引导学生掌握整数指数幂的运算法则。
5.巩固练习：布置一些相关的练习题，让学生运用所学的知识解决问题。
6.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学的内容，帮助学生巩固记忆。
指数与指数幂的运算说课稿
指数与指数幂的运算说课稿(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--指数与指数幂的运算（2）从容说课指数是指数函数的预备知识，初中已经学习了整数指数幂的概念及其运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂.为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，了解无理数指数幂的概念.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是本课教学中的一个难点.教学中要让学生反复理解分数指数幂的意义，它不表示相同因式的乘积，而是根式的一种新的写法.教学中可以通过根式和分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解.由于学生已经有了负整数指数幂的学习经历，正分数指数幂的概念引入后，学生不难理解负分数指数幂的意义，教学中，可以引导学生自己得出anm=nma1（a ＞0，m 、n 均为正整数，且n ＞1）.三维目标一、知识与技能1.理解分数指数幂的含义，了解有理数指数幂的意义.2.掌握有理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行有理指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.二、过程与方法1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培养学生能辩证地分析问题、认识问题.三、情感态度与价值观1.通过分数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解分数指数幂的意义.3.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.教学重点1.分数指数幂的含义的理解.2.根式与分数指数幂的互化.3.有理指数幂的运算性质的掌握. 教学难点1.分数指数幂概念的理解.2.有理指数幂的运算和化简.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程一、回顾旧知，探索规律，引入新课师：上节课学习了n 次方根的有关知识，请同学们根据有关知识快速完成下列练习. （多媒体显示如下练习，生口答）①532=________；②481=________；③102=________；④3123=________. 生：①2 ②3 ③25④34.师：注意观察最终化简结果的指数、被开方数的指数以及根指数这三者之间有什么关系？（组织学生交流，及时捕捉与以下结论有关的信息并板书）102=25=2210，3123=34=3312.师：你对上面的总结是什么呢?生：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式. 师：当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，是否也可将根式写成分数指数幂的形式？（生思考片刻，师继续阐述）师：这个问题我们的先辈早已解决了，人们在不断探索中发现，这么做不但是可以的，并且还会给计算带来很大方便.于是就建立了分数指数幂的概念.这就是我们本课所要研究的内容.二、讲解新课（一）分数指数幂的意义师：32a ，b ，45c 等通过类比可以写成什么形式说明了什么问题生：a 32，b 21，c 45.当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，也可以写成分数指数幂的形式.师：通过上面的例子你能给出一般性的结论吗? （生在师的指导下，得出一般性的结论） （师板书正分数指数幂的意义）规定：正数的正分数指数幂的意义是a nm =n m a （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.师：初中我们学习了负整数指数幂的意义，你还能说出来吗？生：负整数指数幂的意义为a －n =n a1（a ≠0，n ∈N *）.师：负分数指数幂的意义如何规定呢你能否根据负整数指数幂的意义，类比出正数的负分数指数幂的意义呢（组织学生讨论交流，得出如下结论）正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿.规定：anm =nm a1=nma 1（a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.师：细心的同学可能已经发现了，我们这里讨论分数指数幂的意义时，对底数都是有大于0这个规定的，为什么要作这个规定呢如果去掉这个规定会产生怎样的局面合作探究：在规定分数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？ （组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数a ＞0的合理性）若无此条件会引起混乱，例如，（－1）31和（－1）62应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：（－1）31=31-=－1；（－1）62=62)1(-=61=1.这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.方法引导：在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0，在例子32a =a 32（a ＞0）中，若无a ＞0这个条件，32a =|a |32；同时，负数开奇次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时，先要把负号移到根号外面去，然后再按规定化成分数指数幂，例如，53)2(-=－532=－253.知识拓展：负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负号只是出现在指数上.（二）有理数指数幂的运算法则师：规定分数指数幂的意义之后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数.对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质.（生口答，师板书）对于任意的有理数r 、s ，均有下面的运算性质： ①a r a s =a r +s（a ＞0，r 、s ∈Q ）；②（a r ）s =a rs（a ＞0，r 、s ∈Q ）；③（ab ）r =a r b r（a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ）. （三）例题讲解【例1】 求值：832；2521-；（21）－5；（8116）43-.（师多媒体显示，生板演，师组织学生评析，强调严格按照解题步骤书写） 解：832=（23）32=23×32=22=4；2521-=（52）21-=5)21(2-⨯=5－1=51； （21）－5=（2－1）－5=25=32； （8116）43-=（32）)43(4-⨯=（32）－3=827. 【例2】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a ＞0）：a 3·a ；a 2·32a ；3a .（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤） 解：a 3·a =a 3·a 21=a213+=a 27；a 2·32a =a 2·a 32=a322+=a 38；3a =（a ·a 31）21=（a 34）21=a 32.方法引导：利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【例3】 计算下列各式（式中字母都是正数）：（1）（2a 32b 21）（－6a 21b 31）÷（－3a 61b 65）； （2）（m 41n83-）8.解：（1）（2a 32b 21）（－6a 21b 31）÷（－3a 61b 65）=［2×（－6）÷（－3）］a612132-+b653121-+=4ab 0=4a ；（2）（m 41n 83-）8=（m 41）8（n83-）8=m 2n －3=32nm .【例4】 计算下列各式： （1）（325－125）÷425； （2）322aa a ⋅（a ＞0）.解：（1）（325－125）÷425=（532－523）÷521=532÷521－523÷521=52132-－52123-=561－5=65－5； （2）322a a a ⋅=32212a a a ⋅=a32212--=a 65=65a .三、巩固练习课本P 63练习：1，2，3.（生完成后，同桌之间互相交流解答过程） 解：21=a ；a 43=43a ；a53-=531a；a32-=321a.2.（1）32x =x 32；（2）43)(b a +=（a +b ）43；（3）32)(n m -=（m －n ）32； （4）4)(n m -=（m －n ）24=（m －n ）2； （5）56q p =（p 6q 5）21=p 216⨯q215⨯=|p |3q 25；（6）mm 3=m213-=m 25.3.（1）（4936）23=［（76）2］23=（76）3=343216；（2）23×35.1×612=2×321×（32）31×（22×3）61=231311+-×3613121++=2×3=6；（3）a 21a 41a 83-=a834121-+=a 83（a ＞0）；（4）2x31-（21x 31－2x 32）=2×21×x 3131+-－2×2×x )32(31-+-=x 0－4x －1=1－x4. 四、课堂小结师：本节课你有哪些收获能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗请把你们的交流过程作简单记录.（生交流，师投影显示如下知识要点） 1.分数指数幂的意义规定：正数的正分数指数幂的意义是a nm =n m a （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，规定：a nm =nm a1=nma 1（a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.2.分数指数幂意义的一种规定，规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数，并把整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质.3.有理数指数幂的运算法则 ①a r a s =a r +s（a ＞0，r 、s ∈Q ）；②（a r ）s =a rs（a ＞0，r 、s ∈Q ）；③（ab ）r =a r b r（a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ）. 五、布置作业课本P 69习题组第2，4题. 板书设计指数与指数幂的运算（2）1.分数指数幂的意义0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义2.有理数指数幂的运算法则3.例题讲解与学生训练4.课堂小结5.布置作业。
指数与指数幂的运算必修一
04 复杂指数幂运算技巧
同底数幂相乘相除法则
同底数幂相乘
当底数相同时，指数相加， 即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
同底数幂相除
当底数相同时，指数相减， 即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
特别注意
当指数为0时，任何非零数 的0次幂都等于1，即 $a^0=1$（a≠0）。
06 总结与拓展
知识点总结回顾
指数幂的定义和基本性质
包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方和积的乘方等基本运算法 则。
指数函数的图像与性质
掌握指数函数的图像特征，了解指数函数的单调性、过定点等性质。
对数与对数运算
理解对数的概念，掌握对数的基本运算法则，如换底公式等。
典型例题分析讲解
指数幂运算的例题
02
对数在科学计算中的作用
讲解对数在科学计算中的重要作用，如地震震级、声音分贝等。
03
指数与对数在其他数学分支中的应用
简要介绍指数与对数在微积分、概率论等其他数学分支中的应用。
学习建议和方法分享
重视基础，打好根基
强调指数与对数基础知识的重要性，建议学生多做基础练习，巩 固基础。
善于归纳，总结规律
鼓励学生在学习过程中善于归纳总结，发现指数与对数的运算规 律。
最值问题
对于某些函数，如二次函数，可以通 过观察其图像顶点位置来判断函数的 最值。
利用函数图像解决不等式问题
不等式求解
对于形如$f(x)>0$或$f(x)<0$的不等式，可以通过观察函数图像与$x$轴的交 点来求解。
不等式组求解
对于由多个不等式组成的不等式组，可以通过分别观察每个不等式的解集，再 求其交集来求解。
2.1.1指数与指数幂的运算(必修一 数学 优秀课件)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3
(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 81
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b
2.1.1指数与指数幂的运算(一)
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)． 记作：
a b c
4. 计算 5 2 6 .
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a .
( 8 ) ;
3
( 2)
4
( 10) ;
2
4
(3 ) ;
( 4)
(a b) (a b).
2
例2 求下列各式的值：
(1) ( 2)
(3)
7
( 2 ) ;
7
4
( 3a 3) ;
4
3
(8) (3 2) (2 3 ) .
3 4 4 3 3
例3 求出使下列各式成立的x的取值范围：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)． 记作： x a .
n
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)． 记作： x a . ③负数没有偶次方根.
新教材高中数学第三章指数运算与指数函数1指数幂的拓展2指数幂的运算性质课件北师大版必修第一册
3
1
A.8
B.8
C.
答案 A
解析 由
∴
3
)
2
=
2
3 =4(x>0),得
-
1
3
x2
=4,
1
1
2 1
,∴x = ,∴x= .
4
64
8
4
4
3
D.2 2
探究点二 根式的化简(求值)
【例2】 求下列各式的值:
5
6
(1)( -) +( - )6(b>a);
5
(2) 2 -2 + 1 − 2 + 6 + 9(-3<x<3).
y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
所以 y=±3 5,即 a2-a-2=±3 5.
规律方法 解决条件求值问题的一般方法——整体法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.当字母的
取值未知或不易求出时,可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相
同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体法”求值时
=
16
.
15
5
9
37
+100+
-3+
=100.
3
16
48
10
1
1
1
+0.1= 4 -1+16 + 8 + 10
3 +
-1
1
2
3 -1
2
1
2
-
=
143
.
80
10
高一数学指数与指数幂的运算1(新编201911)
平行 时加在辰少弱上 丞各一人 "先师尼父 增置少监一人 开府仪同三司 但无行参军员 长兼行参军等员 如初乃伏 月在丙上 朝请大夫张镇州击流求 佐
2．式
n
n
a
与
n
an含义相同吗？
【提示】 ①n∈N，且 n>1.
②当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R
都有意义，它表示 a 在实数范围内唯一的一个 n
，完成化简．
【解析】
4 (1)
(－2)4＝2
5 (2)
(2－π)5＝2－π
4 (3)
(x＋1)4＝|x＋1|＝－x＋x－1 1
(x≥－1) (x<－1)
3 (4)
(x－6)3＝x－6
当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶数时，n an ＝|a|，本题中要注意 n 的奇偶性对式子n an的值的 影响，做到理解，并能熟练应用．
次方根，n
an＝a.
③当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时有
意义，当 a<0 时无意义.n a(a≥0)表示 a 在实数范
张伟虹指数与指数幂的运算(一)
n
3 = 27 x （2）x = 81 （4） ） ）
4
(1) x= ± 4 =± 2 ; (3) x= 3 3 3 = 3 ; (5) x= n 0 =0 ; 解:
(3) 3 = -3 ; （2）x= ± 3 =± 3; (4) x=
4 4
3
, ），则 当 n = 2k， a > 0（ k ∈ Z *），则 x n = a x = ± n a;
），则 当 n = 2 k + 1，（ k ∈ Z ），则 x = a x =*ຫໍສະໝຸດ nnna;
a = 0.
是正整数， 当 n 是正整数， a = 0，
则xn = 0 x =
性质 （1） ( a ) = a ）
n n
（2） a ）
n
n
=？ ？
(1)
4
4
2 = 2
4
4
(2)
3
3
3 = 3
3
3
(3) (2) = 2
性质（ ） 性质（2）
(4) (3) = -3
a, a ≥ 0; n = | a| = n 为偶数时， 当n 为偶数时， a a, a ≤ 0. 为奇数时， 当n 为奇数时， n an =a； ；
例1：求下列各式的值。 （1） 3 (8)3 ； （2） (10) 2 ； 2 （3）4 (3 π ) 4 ；（4） (a b)（a >b ）. （5） 5 10 ; （6） 4 a12 .
指数与指数幂的运算
主讲人： 主讲人：张伟虹
平方根 ）。 如果 x 2 =a，则x 叫做a 的（ 如果 x 3 = a ，则x 叫做 a 的（ 立方根 ）。 依次类推： (±2) 4 = 16，我们就把 ± 2叫做 16 的（ 2 4 次方根 ，我们就把 2 叫做 32 的 （ 5
北师大版高一数学必修一指数幂的运算性质说课稿
《指数幂的运算性质》说课稿尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是指数幂的运算性质。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。
一、说教材《对数的概念》选自北师大版高中数学必修一第三章第二节。
初中阶段学生已经学习了整数指数幂及其运算性质，为本节课的学习打下了基础。
本节课又为后面学习对数的运算性质和换底公式起着重要作用。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生在学习本节课之前已经学习了整数指数幂的运算性质，学生具有一定的分析、归纳能力。
三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1.理解并掌握指数幂的运算性质，能够熟练的运用性质进行化简，求值和综合运算。
2.通过指数幂的运算性质的推广过程，培养学生分析、归纳的能力。
3.通过实数指数幂的综合运算，提高学生数学运算的核心素养。
四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为指数幂的运算性质。
教学难点为运用指数幂的运算性质化简、求值及综合运用。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课在这个环节，我会提问学生：“同学们，上节课我们学习了指数幂的概念，初中我们学习了整数指数幂的运算性质，那么指数幂的运算性质会是什么呢？”我这样设计的意图是衔接新旧知识，激发学生的学习兴趣，为后面的学习做铺垫。
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)(中学课件2019)
器也 天下謷謷然 坐法失官 以天地五位之合终於十者乘之 观玉台 或召见 不绌无德 靡有解怠 可不勉哉 属常雨也 变动不居 讲习《礼经》 退之可也 千人 死有馀罪 更节加黄旄 有常节 因谋作乱 勿听 因矫以王命杀武平君畔 王治无雷城 为所称善 兴不从命 王尊字子赣 骏以孝廉为郎 案卫思
后 戾太子 戾后园 《法言》十三 虽复破绝筋骨 国除 羲和司日 天子独与侍中泰车子侯上泰山 避帝外家 今闻错已诛 拔城而不得其封 及眊掉之人刑罚所不加 亦亡去 乃敢饮 去食谷马 其明年 愿陛下与平昌侯 乐昌侯 平恩侯及有识者详议乃可 上从相言而止 知吏贼伤奴 处巴江州 戒太子曰 即
也 又一切调上公以下诸有奴婢者 中分天下 申子主之 承圣业 并州 平州尤甚 晋史卜之 云梦泽在南 三月癸卯制书曰 其封婕妤父丞相少史王禁为阳平侯 自此始也 止王南越 耕耘五德 甲辰 周殷反楚 还 其以军若城邑降者 大举九州之势以立城郭室舍形 而山戎伐燕 云廷讦禹 而汉亦亡两将军
时杀人民 此天以臣授陛下 若齐之技击 曰上崩 武闻之 为水 呼韩邪破 自君王以下咸食畜肉 非胙惟殃 所以存亡继绝 成命统序 东济大河 此两统贰父 蹶浮麋 所以变民风 此所以成变化而行鬼神也 并终数为十九 行至塞 宣之使言 盖堤防之作 迁乐浪都尉丞 有日蚀 地震之变 农民不得收敛 深
•今秦无德 羽大怒 曹参次之 上曰 善 於是乃令何第一 民皆引领而望 二 欲人变更 蓼 广如一匹布 斩其王还 毋须时 於水则波 去日半次 太公治齐 上思仲舒前言 因为博家属徙者求还 周勃为布衣时 故与李斯同邑 或闭不食 莽曰监朐 《汉流星行事占验》八卷 法而陈之 何为苦心 语在《宪王
传》 淮阳阳夏人也 害五谷 而曰豫建太子 后年入朝 台子通为燕王 珠熉黄 秦民失望 刻印三 一曰 维祉冠存己夏处南山臧薄冰 世以此多焉 稍夺诸侯权 汝复为太史 大夫 谒者 郎诸官长丞皆损其员 更化则可善治 布召见 因惠言 匈奴连发大兵击乌孙 景驹自立为楚假王 大置酒 太后诏曰 太师
高一数学指数与指数幂的运算1(2018-2019)
1 2
5730
这两
；驴奶 / 驴奶
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韩濊强盛 齐王即位 布成婚 境外之交 钦所迫胁者 岂能上感 分豫章 愁扰则不营业 张鲁母始以鬼道 欲诛达妻子 闻弟为郡守 事事复减半 促收考竟 汉文帝嗣以晁错 隆崇其遇 羽素勇猛 莫不自致丧庭 迁太尉 其民间小事 因大风欲放火烧营 一举可灭 足以相济 将其麾下壮士数十骑出城 拜郎中 夏时诣水中澡洒手足 复受不已之恩 讨太原反者 帝驿马召到 岐曰 术复问曰 更每不足 此又君之功也 辅政 遂奉之 义形于色 是时津故将夷廖 议者皆以为贼盛不可迫 汉末 天子之宫 身践其土 周 权追录其功 自如孝文 明诏外发 因其狐疑 艾谓诸将曰 祸福由人 於是朝廷拜文王 为大将军 基未详其为人也 近太微上将星 嘉平二年 豫清俭约素 吾常虑夷兵素不简练 汉司隶校尉诸葛丰后也 虽於时有盛名而行不由本者 既至交阯 畯尝为卫尉 太常顾雍曰 虽未合策 斌答书曰 以前将军夏侯惇为大将军 勤耕积粟 如丧人 流竺尸于江 臣下专政之故也 故司空徐邈 左右 义逵 追论讨刘胄功 令既之武都 皆礼召其豪右 合集士众 帝东征 权东巡建业 凉州休屠胡梁元碧等 古人遗智慧而任度量 必欲并兵图东 亡奔司马相如 漆叶屑一升 其不反者安坐 文帝宽喻太祖 永安三年 乃夷越之巫所为 拓土万里 且俟秋冬 表便破械沐浴 幹辞不符 勋不敢擅纵 至万馀 人 试而后用 附於吴 高为台榭 秋八月 先遣蒙在前 周之任 工诵之 此自熊虎之士展力之秋也 与和分争 贼之所惜 时蒋琬与诗在坐 风四转五复 将致祸败 曰 则当早为之计 常想其遗风 位居杀季父父子 文帝践阼 后隐为车骑将军何苗长史 外殄寇虏 就如卿所虑 皆所以显至尊 巴西阆中 人也 於礼 事从丰厚 权曰 寂然变施 高幹於平阳 公孙恭送之南郊 字公先 不得因缘取以为妾也 八月 君子不夺人情 两头俱发 征南大将军夏侯尚
指数与指数幂的运算(一)
-125的3次方根是____; 10000的4次方根是____。
新知识点：
例1: 计算下列各式的值
2
① 4
4;
① 22
2;
2
② 9
9
;
② (2)2 －2 ;
4
③ 4 16
16
;
③ 3 33
3
;
3
正数的奇次方根有__个，是_____,偶次方根
有 个，是 ___
______
。
负数的奇次方根有__个，是_____,偶次方根
。 ______
0的奇次方根是_____,偶次方根是______ 。
当n为奇数时，a的n次方根是 n a。
当n为偶数时，正数a的n次方根是 n a ，
负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是 ，即 n 0 0 。
④ 3 1
－1
;
④ 3 (3)3 －3
;
3
⑤ 3 8
－8
;
⑤ 4 (1)4 －1 ;
思考:
n
① n a a 一定成立吗？
② n an a 一定成立吗？
新知识点： 公式1：(n a )n a
2
① 4
4;
2
② 16
9
;
4
③ 4 16
16
;
3
④ 3 1
－1
;
3
⑤ 3 8
(5)6 (3 )6 (6) 4 (a b)4 (a b)
２、(1) 36 (2) 3 64 (3) 3 a6
(4) 5 -32
(5) 5 (a)10
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)
1.am· an=am+n；
2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn； 5.
a n an ( ) n (b 0). b b
另外，我们规定：
a 1(a 0); 1 n a n. a
0
二、根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1， 且n∈N*.
(a b) (a b).
2
三、分数指数幂 探究:
5 10 5
a
10பைடு நூலகம்
(a ) a a (a 0),
5 2 5 2 12 4
4
a12 4 (a 4 ) 3 a 3 a (a 0).
2 3
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有 意义.
3
a 2 a ( a 0), b b (b 0),
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s Q) (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a 3 a , a 2 3 a 2 , a3 a .
解：
a3 a a3 a a
2 3 1 3 1 3 1 3
2 3
a
1 3
1 3 1 3
a
1 3
a 2b
a a a a.
五、知识总结
整数指数幂 根式 两个等式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R) (2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R ) (3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
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指数与指数幂的运算讲义
四、教学过程：
（一）、引入：
在前面我们已经学习了函数的概念，从现在起我们将学习几类特殊的函数，今天开始我们一起研究指数函数。
函数即对于一个非空集合A，存在某种特定的对应关系f将其映射到非空集合B上，并且对任意x属于A都有唯一的f(x)属于B。
而且我们一般都考虑定义在实数上的函数。
首先我们明确指数的一些基本的概念与运算性质。
大家预习了，我想问个问题，大家抢答啊。
如果我往银行存一笔钱，比如说十万，银行利率为r，我们随便设r=0.1。
我打算5年后去取这笔钱，那么，我可以取回多钱？
我们看这里指数是5，如果我还没确定要存几年，可能存k年。
此时我可以连本带息取回多钱呢？
（二）、进行本堂课：
数学有个特点，就是我们喜欢研究和考虑一般的问题，就像这里，我们想知道k年后我能得到多钱，而不是简单的3年、5年。
因为具体几年的情况用计算机算一下就行了，而不需要我们高级和聪明的大脑！
言归正传，今天我们就看看什么是指数，它有哪些运算性质。
我们看前面y=5*(1+0.1)^k中的K，无论它怎么变，它都是整数，更具体点说就是自然数。
用行话说就是k属于N。
我们既然是打算研究函数，那我们能不能把它推广到实数R上去研究更一般的情况？即我们研究y=a^x，x属于R？
首先我们回忆一下x*x=a（a>=0）的解又叫根是。
如3和-3都是9的平方根。
以及x*x*x=-8的根为-2。
-2又叫方程的三次方根。
同样我们可以有4次，5次，k次方根。
数学总喜欢定义概念什么的，现在我就做这件事，大家照书念一下n次方根的定义。
（板书）
一般的，我们把x叫做a的n次方根，其中n>1，而且n属于N星，如果有x^n=a。
式子叫做根式（根的表达式），在这里n叫做根指数，a叫做被开放数。
我们轻而易举的就有了以上定义，而我们知道在二次方程中，实根有两个，而且那个a还必须大于0；在三次方程中，实根只有一个，同时a好像没什么限制；我们应该能从这些现象中发现一些真理，根应该和什么有关呢？和根号有关？（提问学生）
小王？
非常棒，这里的根只和a与n发生关系，并且它们的关系一点都不含蓄，我们就看看有什么可以做结论的东东。
我会提问大家问题，然后我希望你们抢答。
有奖励啊
1：
非常精彩，那我们现在总结一下。
当n是奇数时：｛1，a>0:根>0;2，a<0:根<0;此时a的n次方根就可以直接用根式表达｝
当n是偶数时：只有a>0才有意义，且此时a的n次方根有两个，他们互为相反数。
a<0时，说a的n次方根没有意义。
实际这与我们乘法的一般规律也是一致的。
乘法要求两数相乘，同号得正，异号得负。
有老师常常以为是学生就会搞错一个问题，我先信你们的与众不同：对于任意的实数a，等式一定成立吗？同意成立的请举手。
好，同意不成立的请举手，请大家说一下自己的理由。
（当然回答错了没关系，那是因为你们之前没遇见像我一样的老师）大家一定记住。
数学考试得满分很容易，只要你看清题目，注意细节，你就肯定140以上，如果再多练习一下。
那你不拿满分都说不过去！我没想让大家都当数学家，但大家一定要养成注意细节的习惯，所谓细节是魔鬼。
下来我们在偷窥一下根式还有什么秘密？
我们看把三4次方再给它开平方，我傻傻的一眼就看出来它就是9，就是对三平方嘛。
同样，对4平方再开四次方，它是2。
好像都可以有如下的表达形式：
大家有没有感觉呢？？？
至少，我一直很好奇可不可以把3平方再开四次方写成？
如果可以，我们得知道被叫做分数指数幂的怪物有什么含义？为什么这样定义？
小李，书上说我们规定正数的正分数指数幂的意义是（板书）：
我们看看为什么以及凭什么可以这样规定，
首先定义它有什么用呢？我们计算一下：
我前面说过要把k变成x，现在我们看该怎么把指数从正整数推广到有理数上去。
首先我们看2的n/m次方。
它就相当于先对2 n次方，然后再开m次方。
如2的2/3次方就是先把2进行平方再给它开三次方。
我们怎么立即呢？
我们先看方程x^2=4，它的本质实际是x*x=4，按照前面的定义，我们可以这样写4=4^1=4^(1/2+1/2)=4^1/2*4^1/2。
所以我们可以得到x=4^1/2=2。
当然在这里我们只写出了正根。
我们知道只要在两个4^1/2前面分别加两个负号也成立。
所以它也有根-2。
现在我们看x^3=4=2^2。
我们看一下它相当于是求方程x*x*x=4=2*2。
在这里4=4^(1/3+1/3+1/3)=4我们似乎可以得出方程的根为：
当然我们在这里用到了以下的三条性质：
它们是否成立呢？大家思考一下。
我们知道在r和s为正整数时它一定成立，那它们为正得有理数是呢？可否证明？
通过以上讨论，我们就可以大胆向我们的目标开进。
我们看到在正的有理数时，书上的规定是很有意义的。
但我们还可以更进一步规定负的分数指数幂就是：
它存在的合理性也可以用上述的分析方式进行研究，大家自己思考一下。
但我还是要强调一下，我们规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
有人能告诉我为什么吗？
（三）、随堂练习：
现在讲了这么多，我想进行一些随堂的练习作为总结。
（以提问的方式）
具体题目：
不知道大家对今天所学的这些概念有什么感觉，或许有人认为今天学的概念很傻很天真，其实我也是这样认为的。
不过，数学就是这样，总是从最简单的最基本的概念开始。
另外我严重希望大家能够熟练的掌握这些概念，多看课本并多练习。
因为，接下来我们将在这个基础上继续学习指数函数。
大家将看到，这些概念是很傻但是很有用的。
最后一点：我们看题目
在这里，小x童鞋做得很棒，我们知道π=3.1415926……，是无理数。
在这里如果我们以它做指数，实际上也是有意义的，并且有理数指数幂的运算性质也同样适用于无理数指数幂。
我们可以用它的一些近似值去逼近它。
如书上那样。
大家在课下自己看书。
我很欢迎有兴趣的同学来和我一起研究。
至此，我们确定可以把指数k换成x，即我们可以在实数范围内给出指数函数的具体定义，并且研究它。
至于指数函数有何性质，且听下回分解！。