指数与指数幂的运算1稿

指数与指数幂的运算讲义

四、教学过程：

（一）、引入：

在前面我们已经学习了函数的概念，从现在起我们将学习几类特殊的函数，今天开始我们一起研究指数函数。

函数即对于一个非空集合A，存在某种特定的对应关系f将其映射到非空集合B上，并且对任意x属于A都有唯一的f(x)属于B。而且我们一般都考虑定义在实数上的函数。

首先我们明确指数的一些基本的概念与运算性质。大家预习了，我想问个问题，大家抢答啊。如果我往银行存一笔钱，比如说十万，银行利率为r，我们随便设r=0.1。我打算5年后去取这笔钱，那么，我可以取回多钱？

我们看这里指数是5，如果我还没确定要存几年，可能存k年。此时我可以连本带息取回多钱呢？

（二）、进行本堂课：

数学有个特点，就是我们喜欢研究和考虑一般的问题，就像这里，我们想知道k年后我能得到多钱，而不是简单的3年、5年。因为具体几年的情况用计算机算一下就行了，而不需要我们高级和聪明的大脑！

言归正传，今天我们就看看什么是指数，它有哪些运算性质。我们看前面y=5*(1+0.1)^k中的K，无论它怎么变，它都是整数，更具体点说就是自然数。

用行话说就是k属于N。我们既然是打算研究函数，那我们能不能把它推广到实数R上去研究更一般的情况？即我们研究y=a^x，x属于R？

首先我们回忆一下x*x=a（a>=0）的解又叫根是。如3和-3都是9的平方根。以及x*x*x=-8的根为-2。-2又叫方程的三次方根。同样我们可以有4次，5次，k次方根。

数学总喜欢定义概念什么的，现在我就做这件事，大家照书念一下n次方根的定义。（板书）

一般的，我们把x叫做a的n次方根，其中n>1，而且n属于N星，如果有x^n=a。式子叫做根式（根的表达式），在这里n叫做根指数，a叫做被开放数。

我们轻而易举的就有了以上定义，而我们知道在二次方程中，实根有两个，而且那个a还必须大于0；在三次方程中，实根只有一个，同时a好像没什么限制；我们应该能从这些现象中发现一些真理，根应该和什么有关呢？和根号有关？（提问学生）

小王？

非常棒，这里的根只和a与n发生关系，并且它们的关系一点都不含蓄，我们就看看有什么可以做结论的东东。

我会提问大家问题，然后我希望你们抢答。有奖励啊

1：

非常精彩，那我们现在总结一下。

当n是奇数时：｛1，a>0:根>0;2，a<0:根<0;此时a的n次方根就可以直接用根式表达｝

当n是偶数时：只有a>0才有意义，且此时a的n次方根有两个，他们互为相反数。

a<0时，说a的n次方根没有意义。实际这与我们乘法的一般规律也是一致的。乘法要求两数相乘，同号得正，异号得负。

有老师常常以为是学生就会搞错一个问题，我先信你们的与众不同：对于任意的实数a，等式一定成立吗？同意成立的请举手。好，同意不成立的请举手，请大家说一下自己的理由。

（当然回答错了没关系，那是因为你们之前没遇见像我一样的老师）大家一定记住。数学考试得满分很容易，只要你看清题目，注意细节，你就肯定140以上，如果再多练习一下。那你不拿满分都说不过去！我没想让大家都当数学家，但大家一定要养成注意细节的习惯，所谓细节是魔鬼。

下来我们在偷窥一下根式还有什么秘密？

我们看把三4次方再给它开平方，我傻傻的一眼就看出来它就是9，就是对三平方嘛。同样，对4平方再开四次方，它是2。好像都可以有如下的表达形式：

大家有没有感觉呢？？？

至少，我一直很好奇可不可以把3平方再开四次方写成？

如果可以，我们得知道被叫做分数指数幂的怪物有什么含义？为什么这样定义？

小李，书上说我们规定正数的正分数指数幂的意义是（板书）：

我们看看为什么以及凭什么可以这样规定，

首先定义它有什么用呢？我们计算一下：

我前面说过要把k变成x，现在我们看该怎么把指数从正整数推广到有理数上去。

首先我们看2的n/m次方。它就相当于先对2 n次方，然后再开m次方。如2的2/3次方就是先把2进行平方再给它开三次方。我们怎么立即呢？

我们先看方程x^2=4，它的本质实际是x*x=4，按照前面的定义，我们可以这样写4=4^1=4^(1/2+1/2)=4^1/2*4^1/2。所以我们可以得到x=4^1/2=2。当然在这里我们只写出了正根。我们知道只要在两个4^1/2前面分别加两个负号也成立。所以它也有根-2。

现在我们看x^3=4=2^2。我们看一下它相当于是求方程x*x*x=4=2*2。在这里4=4^(1/3+1/3+1/3)=4我们似乎可以得出方程的根为：

当然我们在这里用到了以下的三条性质：

它们是否成立呢？大家思考一下。我们知道在r和s为正整数时它一定成立，那它们为正得有理数是呢？可否证明？

通过以上讨论，我们就可以大胆向我们的目标开进。

我们看到在正的有理数时，书上的规定是很有意义的。

但我们还可以更进一步规定负的分数指数幂就是：

它存在的合理性也可以用上述的分析方式进行研究，大家自己思考一下。但我还是要强调一下，我们规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。有人能告诉我为什么吗？

（三）、随堂练习：

现在讲了这么多，我想进行一些随堂的练习作为总结。（以提问的方式）

具体题目：

不知道大家对今天所学的这些概念有什么感觉，或许有人认为今天学的概念很傻很天真，其实我也是这样认为的。不过，数学就是这样，总是从最简单的最基本的概念开始。另外我严重希望大家能够熟练的掌握这些概念，多看课本并多练习。因为，接下来我们将在这个基础上继续学习指数函数。大家将看到，这些概念是很傻但是很有用的。

最后一点：我们看题目

在这里，小x童鞋做得很棒，我们知道π=3.1415926……，是无理数。在这里如果我们以它做指数，实际上也是有意义的，并且有理数指数幂的运算性质也同样适用于无理数指数幂。

我们可以用它的一些近似值去逼近它。如书上那样。大家在课下自己看书。我很欢迎有兴趣的同学来和我一起研究。

至此，我们确定可以把指数k换成x，即我们可以在实数范围内给出指数函数的具体定义，并且研究它。至于指数函数有何性质，且听下回分解！