李雅普诺夫函数的构造
常微分方程中李雅普诺夫函数构造方法
武夷学院学报JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY第40卷第3期2021年3月Vol.40 No.3Mar. 2021常微分方程中李雅普诺夫函数构造方法陆求赐】，张宋传2,王学彬2(1.武夷学院人文与教师教育学院，福建武夷山354300； 2.武夷学院数计学院，福建武夷山354300)扌商 要：李雅普诺夫直接法,就是在不求方程组解的情况下，构造一个李雅普诺夫函数,通过微分方程组所计算岀来的全导数的符号性质，来判断微分方程组零解的稳定性，但至今仍没有一种统一的方法来构造李雅普诺夫函数。
通过 对一个含参数例子的分析,介绍几种常见且适用的李雅普诺夫函数的构造方法:首次积分法、能量函数法、分离变量法、待定系数法和二次型矩阵法等。
关键词：常微分方程;李雅普诺夫函数;零解的稳定性;构造方法中图分类号：O175.26 文献标识码:A 考虑如下自治的微分方程组牯(x )(1)这里X =(x 1,x 2，…x ”)表示n ("逸2)维向量,i =1,2，…,n ,假设f (0)=0(0表示向量),且f (x )在某邻域G ：||x ||臆A (A 为正常数)内有连续的偏导数，从而方程组(1)的由其初值条件x (t °)=x 。
所决定的解在邻域G 内存在且唯一°李雅普诺夫第二方法:通过方程组(1)来构造一个特殊的函数V (x ),并假设V (x )关于所有变元的偏导数存在且连续，将V (x )对变量t 求导，并将方程组(1)代入得：d V § dV dx , § 坠卩 f(2)dt =移 dx, dt=移 dx ,)这个式(2)就是函数V (x )沿方程组(1)求得的全导数，现通过式(2)的符号来判定方程组(1)零解的稳定 性,这就是李雅普诺夫第二方法的思路,这个函数收稿日期：2020-07-21基金项目：武夷学院校科研基金项目(XL201408)；福建省教育厅科技项目(JA15512、JAT160519)；福建省自然科学基金(2016J01682)；高级引进人才 科研启动基金(YJ201802)资助°作者简介:陆求赐(1975-)，男,汉族,副教授，主要从事基础数学教学和微分方程的研究°文章编号：1674-2109(2021)03-0016-05V (x )就称为李雅普诺夫函数，简称V 函数［1-2］°李雅普诺夫函数作为常微分方程的重要内容之一,学好它可以为进入常微分方程领域的研究打好基础。
李雅普诺夫能量函数
李雅普诺夫能量函数
李雅普诺夫能量函数是控制系统理论中的一种重要方法，可以用于描述非线性系统的稳定性。
该函数的名称来源于19世纪俄罗斯数学家亚历山大·米哈伊洛维奇·李雅普诺夫。
在控制系统中，我们经常需要研究一些非线性系统，例如非线性电路、非线性机械系统等。
这些系统具有复杂的特性，很难通过直接的方法来分析其稳定性。
因此，我们需要一些更为有效的方法来描述这些系统的稳定性和动态特性。
李雅普诺夫能量函数就是这样一种方法。
李雅普诺夫能量函数是指一个非负的、可微的函数，通常用V(x)表示，其中x表示系统状态。
该函数可以描述系统的能量状态，通过分析它的变化情况，我们可以判断系统的稳定性。
具体来说，李雅普诺夫函数可归纳为如下几种类型：
指数型李雅普诺夫函数的形式为：
V(x) = e^(αx)
其中α是一个正实数。
指数函数具有单调递增的性质，因此V(x)也是单调递增的。
当系统状态x趋近于无穷大时，函数值也会趋近于无穷大，表示系统不稳定。
反之，当系统状态x趋近于零时，函数值也会趋近于零，表示系统稳定。
在使用李雅普诺夫能量函数进行稳定性分析时，我们通常会采用李雅普诺夫定理，它可以判断系统的稳定性。
具体来说，李雅普诺夫定理有如下几个方面：
1. 如果李雅普诺夫函数是严格单调递减的，那么系统是渐近稳定的。
需要注意的是，使用李雅普诺夫能量函数进行稳定性分析还需要满足一些前提条件，例如系统需要是局部可观测和可控的。
此外，我们还需要选择合适的李雅普诺夫函数，以便更准确地描述系统的稳定性。
带系数的李雅普诺夫函数
带系数的李雅普诺夫函数带系数的李雅普诺夫函数在动力系统理论中扮演着重要的角色。
它是一种能够刻画动力系统稳定性与不稳定性的函数，可以用来分析非线性系统的演化行为。
本文将详细介绍带系数的李雅普诺夫函数的概念、性质和应用，以及它在实际问题中的指导意义。
首先，我们来了解一下李雅普诺夫函数的基本概念。
带系数的李雅普诺夫函数是对一般形式的李雅普诺夫函数进行了扩展，引入了系数的概念。
它的定义形式如下：$$V(x,t)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i(t)v_i(x)$$其中，$x$是系统状态，$t$是时间，$\alpha_i(t)$是随时间变化的系数，$v_i(x)$是一组与状态变量$x$有关的函数。
带系数的李雅普诺夫函数可以用来描述系统在不同状态下的稳定性。
带系数的李雅普诺夫函数具有一些重要的性质。
首先，它是非负的，即$V(x,t)\geq0$，且仅在$x$达到系统平衡点时取到零值。
其次，它的导数对时间的变化是非正的，即$\frac{dV(x,t)}{dt}\leq0$，这意味着李雅普诺夫函数的值在系统演化过程中会趋于稳定。
最后，带系数的李雅普诺夫函数还满足一个重要的性质，即对于任意非负的常数$\kappa$，存在一个常数$\tau$使得$\frac{dV(x,t)}{dt}\leq-\kappa V(x,t)$，这意味着系统在某个时间尺度上会以指数速度趋于稳定。
带系数的李雅普诺夫函数在实际问题中具有广泛的应用。
首先，它可以用来判断系统的稳定性。
通过计算带系数的李雅普诺夫函数及其导数，可以判断系统是否会收敛到某个平衡点或周期轨道。
其次，带系数的李雅普诺夫函数还可以用来设计稳定控制策略。
通过调整系数$\alpha_i(t)$，可以使系统的稳定性得到改善，从而实现对非线性系统的控制。
此外，带系数的李雅普诺夫函数还可以应用于信号处理、机器学习等领域，用于分析和识别复杂的动态模式。
总之，带系数的李雅普诺夫函数是一种重要的非线性分析工具，它能够深入理解系统的演化行为和稳定性特性。
李雅普诺夫第二法
12/23/2012
2 V ( x) ( x1 x2 )( x1 x2 ) 2x1x1 x2 x2 ( x12 x2 )
当 x 时， ( x) ，所以系统在其原点处大范围 V 渐近稳定。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
x1 x1 x2 例4-8 系统的状态方程为 x2 x1 x2
,
,
可见此二次型函数是正定的，即
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为
x f ( x),
如果平衡状态 xe 0, 即， f ( xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足：
1） V ( x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V ( x) 是正定的；
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
例 设 x x1
x2
x3
T
2 1) V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x a，a， T 0, x （ - 0） 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
2 2) V ( x) x12 x2因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x 0， a） 0, x （ 0， T 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
2. 二次型标量函数
设 x1，x2 ，xn为n个变量， 二次型标量函数可写为
p11 p V ( x) xT Px x1 x2 xn 21 pn1 其中，P为实对称矩阵。 p12 p22 p1n x1 x2 pnn xn
李李雅普诺夫函数
1 李雅普诺夫稳定性系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。
因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。
自治系统的静止状态就是系统的平衡状态。
无外部输入作用时的系统称为自治系统。
设系统状态方程为),(t x f x= ，若对所有t ，状态x 满足0=x ，则称该状态x 为平衡状态，记为e x 。
故有下式成立0),(=t x f e 。
由此式在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
线性定常系统的平衡点：将方程),(t x f x= 化成Ax x = ，其平衡状态e x 应满足代数方程0=Ax 。
解此方程，当A 是非奇异时，则系统存在惟一的一个平衡点0=e x 。
当A 是奇异时，则系统的平衡点可能不止一个。
如果A 的行列式值为0，则A 为奇异矩阵；行列式值不为0，则A 为非奇异矩阵。
换言之，能求逆的矩阵为非奇异矩阵。
大范围渐近稳定性的理解： 系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总能回到平衡点附近且不断的向平衡点靠拢，则系统就是大范围渐近稳定。
对于线性系统，由于其满足叠加原理，所以系统若是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
在此验证了线性系统稳定性与初始条件大小无关的特性。
对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上一定趋向于无穷远。
2. 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫第一法又称间接法。
它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。
对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。
对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。
线性定常系统Ax x≡ ，渐近稳定的充要条件是系统矩阵A 的特征值λ均具有负实部，即()n i i ,2,1,0Re =<λ李雅普诺夫第二法又称直接法。
运用此法可以在不求出状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。
李雅普诺夫第二方法简介
V (x1,x2)3 x1 22 x1 x22 x2 2
易于验证，这是一个正定函数。
求出 V 沿微分方程解的导数：
V x v 1 x 1 x v 2 x 2 ( 6 x 1 2 x 2 ) x 2 ( 2 x 1 4 x 2 ) ( x 1 x 2 ) 2 ( x 1 2 x 2 2 )
V(x, y) x y2 y2.
正定
V(x, y) 1 y2 g (1 cos x). 2l
正定
V(x, y) ax2 bxy cy2
a 0, 4ac b2 0.
a 0,
4ac b2 0.
V(x, y) 1 y2 x g(s)ds,
2
0
xg(x) 0.
正定 负定
eA Tt(P 1P 2)eA tC t
t 0P1P2C
又
lim t eA Tt(P 1P 2)eA t0
P 1 P 2 。
证 完 。
几点说明： 1. 矩阵方程（7—44）给出了构造这个二次型v函数的
具体途径，在指定正定对称的Q阵后可求解（7-44） 所定义的(1/2)n(n+1)个未知量的代数方程组。定 理的结论表明A若是渐近稳定时，这个代数方程组 有唯一解存在;
及 d et(M )(a 1 1 4 ( a 1 a 1 2 2 )a 22 2)(2 a 1 d 2 et (A a 2 )1)20（ 2 ） 由（ 2）：必须
d e tA a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1 0（ 3 ） 由 （ 1 ） ， 并 考 虑 到 （ 3 ） ， 应 有
x2
u2
u1
v0
ε x1
u3
例:考虑如下系统关于零解的稳定性： x 5x
常微分方程的李雅普诺夫函数
常微分方程的李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是研究常微分方程稳定性的重要工具。
它能够通过引入一个函数来刻画系统稳定性的特点，对于分析系统的稳定性和发展趋势具有重要意义。
本文将介绍李雅普诺夫函数的定义、性质及应用，以及在常微分方程中的具体应用案例。
一、李雅普诺夫函数的定义李雅普诺夫函数是一个实数函数V(x)，其中x表示系统的状态变量。
若对于任意一个系统状态x(t)，满足以下条件，那么函数V(x)称为李雅普诺夫函数：1. V(x)是正定函数：对于所有的x≠0，V(x)>0；对于x=0，V(x)=0。
2. V(x)是可微函数：V(x)在定义域内可导。
3. V(x)是递减函数：对于系统状态的演化轨迹x(t)，有dV(x(t))/dt ≤ 0。
二、李雅普诺夫函数的性质1. 李雅普诺夫函数的存在性：对于一类稳定系统，通常可以找到一个李雅普诺夫函数来描述其稳定性。
2. 李雅普诺夫函数的唯一性：对于稳定系统，可能存在多个满足条件的李雅普诺夫函数，但它们在系统稳定性的刻画上是等价的。
3. 李雅普诺夫函数的偏导数性质：对于李雅普诺夫函数V(x)，其偏导数∂V/∂x的性质与系统的稳定性密切相关。
- 若∂V/∂x < 0，则系统是渐进稳定的。
- 若∂V/∂x > 0，则系统是不稳定的。
- 若∂V/∂x = 0，则系统的稳定性无法确定。
三、李雅普诺夫函数的应用李雅普诺夫函数在常微分方程的研究中具有广泛应用，下面介绍几个常见的应用案例。
1. 稳定性分析：李雅普诺夫函数可以用于判断系统状态的稳定性。
通过构造合适的李雅普诺夫函数，可以确定系统的稳定性以及稳定点的性质（渐进稳定、有界稳定等）。
2. 极限周期分析：对于周期系统，李雅普诺夫函数可以用于分析系统周期解的性质。
通过求解李雅普诺夫方程，可以判断周期解的稳定性以及极限周期的存在性。
3. 可解性判定：对于非线性系统，通过构造适当的李雅普诺夫函数，可以从数学上证明系统的可解性，为求解提供理论基础。
李雅普诺夫函数的构造及应用
榆 林 学 院 学 报
Ｊ０ＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＹＵＬＩＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
ＮＯＶ．２Ｏｌ１ Ｖ０Ｌ２１ Ｎｏ．６
李雅 普诺夫 函数的构造及应用
张永华 ，苑文法
（西安建 筑科技 大 学 理 学 院，陕西 西安 ７１００５５）
摘 要 ：运用李雅普诺夫稳定性理论对系统零解稳定性判断分析，介绍 了函数的构造方法和形式，并举
（Ｘ） （Ｘ）＞０），则 方程 的定点 是不稳 定 的。
定 理 ４ 函数 Ｖ（ｘ，Ｙ）＝Ｏｔ．Ｘ ＋ｂｘｙ＋ｃｙ 是 正 定
的 当且仅 当 ａ＞０和 ４ａｃ—ｂ ＞０同时 成 立 ，是 负 定
的 当且 仅 当 ａ＜０和 ４ａｃ—ｂ ＞０同时成立 。
定理 ５ 设在 原点 的邻 ｕ域 内有 函数 Ｖ（Ｘ），它
１定义 和定理 为了讨论的方便我们只讨论 函数不含的，即，自 治的动力学方程。首先介绍李雅 普诺夫 函数 的概 念 ，以及 李雅 普诺 夫 判 断非 线 性 自治 系 统零 解 的稳 定性 态 的几个 定 理 。 定 义 １ 设 函数 Ｖ（Ｘ）为 在 相 空 间坐 标 原 点 的 邻 域 Ｄ（Ｄ：ｌＩ ｘｉ ｌ１）＜Ｈ，Ｈ 为 大 于零 的小 数 中 的连 续 函数 ，而 Ｖ（ｘ）且 是 正定 的 ，即除 了 Ｖ（Ｏ）＝０外 ， 对 于 Ｄ 中所 有 别 的 点 均 Ｖ（Ｘ）＞０。这 样 的 函数 称 为李 雅普诺 夫 函数 。 下 面给 出几 个 函数 ： 函数 Ｖ＝ｘ ＋Ｘ 在 Ｘ１Ｘ：平 面 上 为 正 定 的 ；函数 Ｖ＝一（Ｘ ＋Ｘ ）在 ｘ，ｘ 平 面上 为 负定 的 ；函数 Ｖ＝ｘ
得 到零 解稳 定 ，而一得不． 例 Ｕ到 渐 近稳 定 性 。所 以构 造 出 ｖ， ｃ、＇ｌ
障碍李雅普诺夫函数
障碍李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数是经典的机器学习问题。
它最初由俄国数学家Andrei Nikolaevich Lyapunov在1892年提出，是一种求解优化问题的常用工具。
它的思想是通过将目标函数展开为包含二次项的函数来解决优化问题，即“可以把一个困难的问题优化成很简单的回归问题”。
李雅普诺夫函数是应用于优化和机器学习问题的一种基本函数，非常适合用于求解机器学习问题，因为它将一个优化问题转化为较小问题中解决，且通过梯度下降算法，可以有效地求解。
它也可以被认为是一种优化算法，能够帮助搜索一个优化变量的最优值。
f(x) = 0.5* x^T A x – b^T x其中，x是待优化的变量，A是对称矩阵，b是向量。
该函数的核心是，将原来的目标函数展开为一个含有二项的函数，即 x^T Ax – b^T x，其中x为一个向量，A是一个对称矩阵，b是一个向量。
因此，该函数可以通过求解梯度或Hessian矩阵来使用梯度下降算法求极值点，最终得出最优变量。
李雅普诺夫函数是应用于机器学习和深度学习模型的基本功能之一(如Logistic回归模型)，他的优点很多：1.它不会梦算次数很多，比普通的优化算法几乎没有问题；2.它可以把复杂的优化问题转换成更简单的优化问题；3.它可以有效地利用梯度下降算法来寻找最优解；4.对于非线性模型，也可以用李雅普诺夫函数来优化模型；5.它适用于拟合非线性模型，也可以用于模型的特征选择；6.它可以用来处理混合数据，既包括数据也包括离散变量。
总的来说，李雅普诺夫函数是一种强大的优化工具，在机器学习和深度学习中，应用它可以有效地帮助我们使用梯度下降算法来求得最优解，解决复杂的机器学习和深度学习问题。
李雅普诺夫v函数的构建
李雅普诺夫v函数的构建一、引言李雅普诺夫v函数是一种特殊的函数，它在数学、物理和工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍如何构建李雅普诺夫v函数，并提供详细的代码实现。
二、李雅普诺夫v函数的定义李雅普诺夫v函数是指满足以下条件的函数：1. v(x)是连续可导的；2. v(x)在x=0处为0，且在x>0时单调递增；3. v(x)在x趋近于无穷大时趋近于正无穷大。
三、构建李雅普诺夫v函数的步骤1. 定义初始值：v(0)=0；2. 选择一个合适的参数a（通常取1），并计算b=a^(-1/2)；3. 对于每个n=1,2,3,...，计算v(n)=b*int_0^x exp(-t^2/2)*v(n-1)(t)dt，其中int_0^x表示从0到x的定积分；4. 重复步骤3直到满足收敛条件。
四、代码实现下面是Python语言实现李雅普诺夫v函数的代码：```pythonimport mathdef v_function(x):# 初始化参数a = 1b = 1 / math.sqrt(a)# 初始化v(0)v_0 = 0v_n = v_0# 计算v(n)for n in range(1, 100):integral = lambda t: math.exp(-t**2/2) * v_n(t) v_n_plus_1, _ = quad(integral, 0, x)v_n_plus_1 *= b# 检查收敛条件if abs(v_n_plus_1 - v_n) < 1e-6:return v_n_plus_1else:v_n = v_n_plus_1# 测试代码print(v_function(2))```五、总结本文介绍了如何构建李雅普诺夫v函数，并提供了Python语言实现的代码。
通过本文的学习，读者可以更深入地理解李雅普诺夫v函数的定义和应用，以及如何使用Python语言来实现它。
障碍李雅普诺夫函数
障碍李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数是一种在经济优化问题中用于求解的有效方法，它由俄罗斯经济学家及技术经济学家维克多格雷斯科夫李雅普诺夫（Viktor Greisky Levitinovich Lebedev）提出。
它具有十分出色的优化能力，可以有效地解决复杂的经济优化问题，被众多经济学家和研究者所推崇。
李雅普诺夫函数是一种非线性函数，其函数形式如下：U(x_1, x_2,....x_n)=f(x_1, x_2,....x_n)-σ[h(x_1,x_2,....x_n)+d(x_1, x_2,....x_n)]其中f(x_1, x_2,....x_n)是目标函数，σ为系数，h(x_1,x_2,....x_n)是约束函数，d(x_1, x_2,....x_n)是障碍函数，它们是经济优化问题的三个主要因素。
李雅普诺夫函数可以将这三个因素有机结合，在求解经济优化问题时可以发挥出很好的效果。
障碍李雅普诺夫函数是在李雅普诺夫函数的基础上添加障碍因素的一种函数形式。
它的函数形式为：U(x_1, x_2,....x_n)=f(x_1, x_2,....x_n)-σ[h(x_1,x_2,....x_n)+d(x_1, x_2,....x_n)-g(x_1, x_2,....x_n)] 其中g(x_1, x_2,....x_n)为障碍函数，它是一个复杂的函数，它可以通过讨论来表达：g(x_1, x_2,....x_n)= min{h_1(x_1, x_2,....x_n),h_2(x_1, x_2,....x_n),...,h_m(x_1, x_2,....x_n)} 在求解经济优化问题时，如果引入障碍李雅普诺夫函数，可以有效地考虑到经济管理中存在的复杂的障碍因素。
例如，障碍李雅普诺夫函数可以考虑各种政策和法律的约束，从而更好地求解复杂的经济优化问题。
此外，障碍李雅普诺夫函数还具有十分出色的优化能力，能够避免非理性和无序的投资，从而使经济系统得以有序推进，从而获得最大的社会效益和经济效益。
第二讲 §5.2 李雅普诺夫(Liapunov)第二方法(5课时)
第二讲 §5.2 李雅普诺夫（Liapunov ）第二方法(5课时)一、教学目的：了解Liapunov 在处理稳定性中的两种方法；了解Liapunov 函数的特征与构造；理解Liapunov 第二方法并学会运用它来判定自治系统的稳定性。
二、教学要求：了解Liapunov 函数的特征与构造；理解Liapunov第二方法并学会运用它来判定自治系统解的稳定性。
三、教学重点：运用Liapunov 第二方法判定自治系统解的稳定性。
四、教学难点：如何构造Liapunov 函数。
五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
七、教学过程： 1．相关概念上一节我们介绍了稳定性概念，但是据此来判明系统解的稳定性，其可解范围是极其有限的.Liapunov 创立了处理稳定性问题的两种方法：第一方法要利用微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展；第二方法是在不求方程解的情况下，借助一个所谓的Liapunov 函数V(x)和通过微分方程所计算出来的导数()dV X dt的符号性质，就能直接推断出解的稳定性，因此又称为直接法。
本节主要介绍Liapunov 第二方法。
为了便于理解，我们只考虑自治系统(),dxF x dt= n x R ∈ (5.11) 假设1()((),,())T n F x F x F x =在{}n G x R x K =∈≤上连续，满足局部李普希兹条件，且F(0)＝0．为介绍Liapunov 基本定理，先引入Liapunov 函数概念. 定义5.3 若函数 ():V x G R →满足V(0)＝0, ()V x 和(1,2,,)iVi n x ∂=∂都连续，且若存在0H K <≤,使在{}D x x H =≤上()0(0)V x ≥≤，则称()V x 是常正(负)的；若在D 上除x=0外总有()0(0)V x ><，则称()V x 是正(负)定的；既不是常正又不是常负的函数称为变号的. 通常我们称函数()V x 为Liapunov 函数.易知：函数2212V x x =+在12(,)x x 平面上为正定的；函数 2212()V x x =-+在12(,)x x 平面上为负定的；函数 2212()V x x =-在12(,)x x 平面上为变号函数； 函数 21V x =在12(,)x x 平面上是常正函数. 李雅普诺夫函数有明显的几何意义.首先看正定函数12(,)V V x x =.在三维空间12(,,)x x V 中, 12(,)V V x x =是一个位于坐标面12x ox ，即Ｖ＝0上方的曲面.它与坐标面12x ox 只在一个点，即原点Ｏ(0,0,0)接触(图5-1(a)). 如果用水平平面V=C(正常数)与12(,)V V x x =相交，并将截口垂直投影到12x ox 平面上，就得到一组一个套一个的闭曲线族12(,)V x x C = (图5-1(b)),由于12(,)V V x x =连续可微，且V(0,0)=0,故在120x x ==的充分小的邻域中，12(,)V x x 可以任意小.即在这些邻域中存在C 值可任意小的闭曲线V=C.(b)对于负定函数12(,)V V x x =可作类似的几何解释，只是曲面12(,)V V x x =将在坐标面12x ox 的下方.对于变号函数12(,)V V x x =，自然应对应于这样的曲面，在原点O 的任意邻域，它既有在12x ox 平面上方的点，又有在其下方的点.定理5.1 对系统(5.11)，若在区域D 上存在李雅普诺夫函数V(x)满足(1) 正定；(2)(5.11)1()ni i idV VF x dtx =∂=∂∑常负. 则(5.11)的零解是稳定的.图 5-2证明 对任意ε>0(ε<H)，记 {}x x εΓ==则由V(x)正定、连续和Γ是有界闭集知 min ()0x b V x ∈Γ=> 由V(0)=0和V(x)连续知存在δ>0(δ<ε)，使当x δ≤，V(x)<b,于是有x δ≤ 时00(,,),x t t x ε< 0t t ≥ （5.12）若上述不等式不成立，由x δε≤<和00(,,)x t t x 的连续性知存在10t t >，当[)01,t t t ∈时，00(,,),x t t x ε<而100(,,)x t t x ε=. 那么由b 的定义,有100((,,))V x t t x b ≥ （5.13） 另一方面，由条件(2)知00((,,))0dV x t t x dt ≤在[]01,t t 上成立，即[]01,t t t ∈时000((,,))()V x t t x V x b ≤<自然有100((,,))V x t t x b <. 与(5.13)予盾.即(5.12)成立. 考虑无阻尼线性振动方程20x x ω+= (5.14) 的平衡位置的稳定性.解 把(5.14)化为等价系统 2x y y xω⎧=⎪⎨=-⎪⎩ (5.15)(5.14)的平衡位置即(5.15)的零解.作V 函数22211(,)2V x y x y ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有(5.15)(5.15)21dV xx yy dtω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即V(x,y)正定，(5.15)0dVdt≤.于是由定理5.1知(5.15)的零解是稳定的，即(5.14)的平衡位置是稳定的.引理 若V(x)是正定(或负定)的李雅诺夫函数，且对连续有界函数 x(t)有lim (())0t V x t →∞=则lim ()0t x t →∞=证明由读者自己完成.定理5.2 对系统(5.11)，若在区域D 上存在李雅普诺夫函数V(x)满足 (1) 正定,(2)(5.11)1()ni i idV VF x dtx =∂=∂∑负定， 则(5.11)的零解渐近稳定.证明 由定理5.1知(5.11)的零解是稳定的. 取δ为定理5.1的证明过程中的δ，于是当0x δ≤时，00((,,))V x t t x 单调下降. 若00x =，则由唯一性知00(,,)0x t t x ≡,自然有 00lim (,,)0t x t t x →∞=不妨设00x ≠. 由初值问题解的唯一性，对任意t, 00(,,)0x t t x ≠. 从而由V(x)的正定性知00((,,))0V x t t x >总成立，那么存在a ≥0使00lim ((,,))t V x t t x a →+∞=假设0a >,联系到00((,,))V x t t x 的单调性有 000((,,))()a V x t t x V x <<对0t t >成立. 从而由(0)0V =知存在0h >使0t t ≥时00(,,)h x t t x ε<< (5.16) 成立. 由条件(2)有max0h x dVM dtε≤≤=<故从(5.16)知00((,,))dV x t t x M dt≤对上述不等式两端从t0到t>t0积分得 0000((,,))()()V x t t x V x M t t -≤-. 该不等式意味着00lim ((,,))t V x t t x →+∞=-∞矛盾.故0a =，即00lim ((,,))0t V x t t x →+∞=由于零解是稳定的，所以00(,,)x t t x 在0[,]t +∞上有界，再由引理知00lim (,,)0t x t t x →+∞=.定理证毕.例2 证明方程组 2222(1)(1)x y x x y y x y x y ⎧=-++-⎨=++-⎩ (5.17)的零解渐近稳定.证明 作李雅普诺夫函数 221(,)()2V x y x y =+ 有2222(5.17)(5.17)()()(1)dV xx yy x y x y dt=+=++-在区域{}22(,)1D x y x y =+<上(,)V x y 正定，(5.17)dV dt负定，故由定理5.2知其零解渐近稳定. 最后，我们给出不稳定性定理而略去证明.定理5.3 对系统(5.11)若在区域D 上存在李雅普诺夫函数V(x)满足（1）(5.11)1()ni i idVVF x dtx =∂=∂∑正定，（2）V(x)不是常负函数，则系统(5.11)的零解是不稳定的. 本讲要点： 1．李雅普诺夫意义下方程零解稳定性和渐近稳定性定义。
李雅普诺夫第二法
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.3 对李雅谱诺夫函数的讨论 （1） V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数； （2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定 或者不稳定； （3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但关于稳定性的 结论是一致的；
（4）V(x)最简单的形式是二次型 V (x) xT Px；
x2
x3 1
1
0
x2
0 0 1 x3
11/20/2023
4.3 李雅普诺夫第二法
二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，
通过变换 x Tx ，使之化为：
V (x) xT Px xTT T PTx xT (T T PT )x x T Px
1
xT
2
0
0
n
x
i 1
i xi2
例 设 x x1 x2 x3 T
1) V (x) (x1 x2 )2 x32 因为V（0） 0，而且对非零向量x，有x （a，- a，0）T 0, 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
2) V (x) x12 x22
因为V（0） 0，而且对非零向量x，有x （0，0，a）T 0, 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
x2
x0
x2
x0
V ( x )C
V ( x )C
xe
x1
xe
x1
（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！
11/20/2023
4.3 李雅普诺夫第二法
例4-4 已知系统 x1 x2 x1(x12 x22 )
x2 x1 x2 (x12 x22 )
试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。
李雅普诺夫克拉索夫斯基函数求解
点就是构造李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数不需要像文献 [13] 中那样运用偏微分方程的反演
1
法且仅仅基于用现有软件包求解一些线性矩阵不等式就可有效的解出来。
文章的余下部分组织如下。问题的陈述及一些基本的结果，包括指数函数稳定性的定义，
预测反馈控制系统的李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数及一些有用的引理，在第
而不是 得清晰，我们给出下面的定义和引理。 定义 1 [13]. 闭环系统（ 3）是指数方式稳定的如果存在正常数
[13] 。为了让其变 G 和 g 使得
在这里
（ 5）
引理
1. 如 果 存 在 常 数
（ 6）
这样的函 数
满足如下的两个条件：
然后状态
满足（ 5）对于某些常数 G 和 g。在这种条件下， V 就叫做闭环
分别表
示它的最小特征值和最大特征值。 对于两个正整数 p 和 q，我们用 I[p，q]表示集
合 {p， p+1， ...q}。标记 代表欧几里得范数。让
是给定的一个实数。
代表巴拿赫空间关于连续函数从区间
敛性拓扑结构。 2.问题的陈述与准备
在这篇文章中，我们考虑如下的带有多输入延迟的线性系统
,0 到 Rn 的一致收
构造李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数。一系列线性矩阵不等式的可解性等价于从预测反馈控
制系统导出的无时滞线性系统的渐进稳定性。提出的李雅普诺夫
-克拉索夫斯基函数也被证
实为预测反馈控制系统的输入状态稳定（ ISS）的李雅普诺夫 -克拉索夫斯基函数。通过计算
一个实例来证实所提方法的有效性。
1.简介
具有时滞的动态系统得到越来越多的关注，因为时滞系统在实践工程中有许多的应用， 例如网络控制系统， 化学过程控制， 人口模型举例 （可见，参考，[3,24,31,34] 及其内部参考） 。
一类三阶非线性系统的李雅普诺夫函数的构造
［关键词】李雅普诺 夫函数 ；能量度量算法 ；非线性 系统 ；全局渐近稳定性
［中图分 类号】Ｏ１７５．１
［文献标识码 ］Ａ
［文章 编号 ］１６７１—５３３０（２０１１）０５—００５３—０３
１ 引言
的全局稳 定性 ．
Ｓ．Ｋａｓｐｒｚｙｋ…在 １９７２年 曾 致 力 于 下 列 三 个 非 线性 的三 阶系统
立 ＝Ｆ （ ），１≤ ｉ≤ ，ｌ （１．９） 其 中 ＝ （ ｌ， ２，… ， ）．
第 二步 ，将微 分方 程组 （１．９）写 成 如下形 式
一 文 之定 理 来 解 决 他 的 问题．王 联 、王 慕秋 通 过 分 析方 程 ＋口 ＋ ＋ ＝０各种 形式 的李雅 普 诺 夫 函数 ，采 用类 比 的方 法来 统 一 解 决上 述 三 个 非 线性 系 统 的全 局 稳 定 性 问题．在 此基 础 上 ，用 类 比的方 法构 造 了下述 方 程 的李 雅 普 诺 夫 函 数 ， 从 而研究 了这 些方 程 的全局稳 定性 ［３】．
系 统 （３．１）的零解 为全局 渐近稳定 的．
４ ＋口 ＋，（ ） ＋ｇ【 ）＝０，ｇ（Ｏ）＝０
若将 原方程 化 为等价系 统
ｄ
ｄ１，
），，
一 口Ｙ ＋ ，
＋ 上 ，，） ＋
一ｌ Ｉ （２．：＝ … ． ＋ ． ４－ … ． １） Ｏｘ ｄｔ Ｏｙ ｄｔ Ｏｚ ｄｔ
： 一 ［ 。 口 一ｇ 一 ’） …］， ，２ （一） ，≠０）．
从 而 得 出下 列结论 ： 定理 １ 假定 （ｉ）当 ≠ ０时 ，ｘｇ（ｘ） ＞０； 当 Ｙ≠ ０时 ，） Ｙ） ＞０；
Ｉ ２（ ｌ， ２，０，…，０）ｄｘ２＋… ＋Ｊ （ ｌ， ２，…，
TAC7-3-1构造李雅普诺夫函数的方法
[例 3-1] 用 Krasovskii 方法判定下述系统原点的稳定性。
x 1 x2
= =
− x1 0.5
+ x12
x1x2 − x2
解：原点是平衡点但不唯一，由第一方法可判定它是渐近稳定的。
copyright @ 清华大学自动化系
3、构造李雅普诺夫函数的方法
3.1 克拉索夫斯基方法（Krasovskii）
F
(
x
)
=
x2 − x1
1
x1 −1
是对称矩阵，其顺序主子式为：
∆1 = x2 −1， ∆ 2 = 1− x2 − x12 在 x2 < 1− x12 的域上（原点是该域的内点），
∆1 < 0， ∆2 > 0 故 F T ( x) + F ( x) 在该域上负定，所以原点是渐近稳定的。
copyright @ 清华大学自动化系
∂
f
n
∂
xn
∂
f
n
∂x1 ∂xn
copyright @ 清华大学自动化系
3、构造李雅普诺夫函数的方法
3.1 克拉索夫斯基方法（Krasovskii）
[定理 3-1] 设 f (0) = 0 ， f ( x) 存在连续偏导数，且在原点的
一个邻域上，F T ( x) + F ( x) 负定（正定），则在此邻域内除原 点外， f ( x) ≠ 0 。
copyright @ 清华大学自动化系
3、构造李雅普诺夫函数的方法
3.1 克拉索夫斯基方法（Krasovskii）
[定理 3-2] 设原点是 x = f ( x) 的平衡状态，且 f ( x) 存在连续偏
导数。若 F T (x) + F (x) 负定，则原点是渐近稳定的。进一步， 当 x → ∞ 时，有 f ( x) → ∞ ，则原点是全局渐近稳定的。
Lyapunov函数的构造及应用
０ 引 言
李 雅谱诺 夫第 一 法是 通 过解 系统 的微分 方程 （ ） 然 后根 据 解 的性质 来 判 断系 统 的稳 定性 ， 组 ， 适用 于 线 性定 常 、 线性 时变 及非 线性 函数可 线性 化 的情 况 ， 只能 判 断在平 衡 点状 态 附 近很 小 范 围 内的稳 定 性 ， 但 而李 雅谱诺 夫第 二法不 必求 解 系统 的微 分 方程 ， 过构 造标量 函数 及其 导数 的符号 特征 判断 系统 的稳定 性 ， 函 通 此 数 即为李雅谱 诺夫 函数 提供 了判 别所有 系统稳 定性 的通 用方法 ．
Ｌａｕｏ ｙ ｐ ｎ ｖ函 数 的 构 造 及 应 用
李静 ， 王颖
（ 临沂师范学 院 数学系 ， 山东 临沂 ２６ ０ ） ７ ００ 摘 要： 微分方程解的稳定性研 究中最为常用的是 李雅 普诺夫 第二 法（ 直接 法） 利 用这种 方法研 究 系统的解 ，
的稳定性 ， 关键 就是 构造 李雅普诺 夫函数 ， 其 即 函数． 文 目的在 于分析 、 结 系统稳 定性的 李雅 普诺 夫第二法 本 总 的相 关理论 ， 以及如何借助 李雅普诺 夫函数来判断 系统的稳定性． 在 Ｌ ｔ Ｖ 】 ｒ 模型和流行病模型 （Ｉ 型和 ｓ 模 型 ） 通过构 造 李雅 普诺 夫函数 （ 个与 ｌ 关的 函 ｏｋ ａ— ｏ ｅａ ｔ ｓＲ模 Ｉ 中， 一 ｎ有 数 ） 并借 助李雅普诺 夫函数及 导数 的符号特征 ， 。 直接判 断 系统模 型在 平衡状 态下的稳 定性． 关键词 ： ｖ函数 ； 稳定性 ； 李雅普诺 夫第二 法； 捕食模型 ； 流行病模型
Ｌ ｉｇ Ｗ ＡＮＧ Ｙｉｇ ＩＪ ， ｎ ｎ （ ｅ ａ ｍ ｎ ｏ Ｍａ ｅ ａｃ ，ｉｙ Ｔ ａｈｒ Ｃ ｌ ｇ ，ｉｙ ２ ６ ０ ，ｈｎ ） Ｄ ｐｒ ｅｔ ｆ ｔ ｍ ｔｓＬｎｉ ｅｃｅｓ ｏ ｅｅ Ｌｎｉ ７０ ０ Ｃ ｉａ ｔ ｈ ｉ ｌ
势垒李雅普诺夫函数
势垒李雅普诺夫函数
势垒李雅普诺夫函数（Potential Barrier Liapunov Function，PBLF）是一种用于设计非线性控制器的方法，它在非线性系统的稳定性分析和控制设计中具有重要的应用价值。
PBLF方法是建立在Liapunov稳定性理论的基础之上的。
它采用了一个势垒函数来描述系统状态的稳定性，这个势垒函数被称为势垒李雅普诺夫函数。
势垒李雅普诺夫函数是一个类似于物理概念的数学描述，用于描述系统状态如何“下落”到系统的稳定状态。
它的基本思想是将非线性系统的状态空间分为两个区域：稳定区域和不稳定区域。
稳定区域是指系统的状态会趋向于系统的稳定点，而不稳定区域是指系统的状态可能趋向于系统的不稳定点或出现周期性的震荡。
在PBLF方法中，我们需要设计一个势垒李雅普诺夫函数，使得这个函数在稳定区域内是严格减少的，并且在不稳定区域内是严格增加的。
这个函数可以描述系统状态下“下落”势能的变化，并且当系统状态达到稳定状态时，这个函数的值会稳定在一个极小值上。
通过设计一个合适的势垒李雅普诺夫函数，我们可以证明一个非线性系统的全局稳定性，并且利用这个函数来设计一个反馈控制器，使得系统状态可以从起始状态到达稳定状态，并保持在稳定状态附近。
PBLF方法具有一定的优势：1）能够处理非线性系统的全局稳定性问题；2）能够在系统的不稳定状态时提供有效的控制策略；3）能够适应多种非线性系统。
因此，PBLF方法在控制系统设计领域中得到了广泛的应用。
李雅普诺夫函数
李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是⽤来证明⼀动⼒系统或⾃治微分⽅程稳定性的函李雅普诺夫函数数。
其名称来⾃俄罗斯数学家亚历⼭⼤·李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov）。
李雅普诺夫函数在稳定性理论及控制理论中相当重要。
李雅普诺夫候选函若⼀函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性，此函数称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov-candidate-function）。
不过⽬前还找不到⼀般性的⽅式可建构（或找到）⼀个系统的李雅普诺夫候选函数，⽽找不到李雅普诺夫函数也不代表此系统不稳定。
在动态系统中，有时会利⽤守恒律来建构李雅普诺夫候选函数。
针对⾃治系统的李雅普诺夫定理，直接使⽤李雅普诺夫候选函数的特性。
在寻找⼀个系统平衡点附近的稳定性时，此定理是很有效的⼯具。
不过此定理只是⼀个证明平衡点稳定性的充分条件，不是必要条件。
⽽寻找李雅普诺夫函数也需要碰运⽓，通常会⽤试误法（trial and error）来寻找李雅普诺夫函数。
⽬录[隐藏]1 李雅普诺夫候选函数的定义2 系统平衡点的转换3 ⾃治系统的基本李雅普诺夫定理3.1 稳定平衡点3.2 局部渐近稳定平衡点3.3 全域渐近稳定平衡点4 参见5 参考资料6 外部链接李雅普诺夫候选函数的定义[编辑]令为标量函数。
若要为李雅普诺夫候选函数，函数需为局部正定函数，亦即其中是的邻域。
系统平衡点的转换[编辑]令为⼀个⾃治（autonomous）的动态系统，其平衡点为:可利⽤的坐标转换，使得在新的系统中，其平衡点为原点。
若系统的平衡点不是原点，可⽤上述的⽅式，转换为另⼀个平衡点为原点的系统，因此以下的说明中，均假设原点是系统的平衡点。
⾃治系统的基本李雅普诺夫定理[编辑]主条⽬：李雅普诺夫稳定性令为以下⾃治系统的平衡点且令为李雅普诺夫候选函数的时间导数。
稳定平衡点[编辑]若在平衡点的邻域，李雅普诺夫候选函数为正定，且其时间导数半负定：则此平衡点为⼀稳定的平衡点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
李雅普诺夫函数的构造
李雅普诺夫函数是一类重要的科学函数，在许多科学领域中得到了广泛的应用。
李雅普诺夫函数的构造是一个复杂的过程，很难有一个统一的标准。
本文将从几个方面来讨论李雅普诺夫函数的构造，以期更好地了解它的构造原理。
一、李雅普诺夫函数的基本定义
李雅普诺夫函数是一类重要的科学函数，它具有单调性和可导性。
一般来说，李雅普诺夫函数可以用一个多项式的形式来表示，它可以用来描述一类特定的物理系统的性质。
二、李雅普诺夫函数的构造
李雅普诺夫函数的构造包括三个步骤：确定函数的参数，构造函数，以及函数的求解。
首先，要确定李雅普诺夫函数的参数，这些参数包括函数的维数、函数的拟合精度和函数的最大值。
其次，通过这些参数，可以使用数学工具，如微积分和多项式来构造李雅普诺夫函数。
最后，可以使用数值计算方法来求解李雅普诺夫函数。
三、李雅普诺夫函数的应用
李雅普诺夫函数在许多科学领域中得到了广泛的应用，如物理学、数学以及工程领域。
在物理学中，李雅普诺夫函数可以用来模拟复杂的物理现象，如重力场、磁场和电场等。
在数学中，李雅普诺夫函数可以用来求解复杂的微分方程，以及计算多元函数的极值。
在工程领域，李雅普诺夫函数可以用来求解复杂的工程问题，如机械制造、汽车制造和建筑设计等。
四、李雅普诺夫函数的研究
由于李雅普诺夫函数在许多科学领域中得到了广泛的应用，因此研究李雅普诺夫函数也受到了越来越多的关注。
目前，研究的重点主要集中在函数的构造、函数的求解和函数的应用等方面。
在函数的构造方面，研究者们正在努力探索更加简单、高效的构造方法。
在函数的求解方面，研究者们正在开发更加高效的求解方法，以满足不同应用场景的需求。
在函数的应用方面，研究者们正在研究如何应用李雅普诺夫函数来解决更加复杂的问题。
五、结论
李雅普诺夫函数是一类重要的科学函数，它具有单调性和可导性。
李雅普诺夫函数的构造是一个复杂的过程，它包括确定函数的参数、构造函数和函数的求解三个步骤。
李雅普诺夫函数在许多科学领域中得到了广泛的应用，因此研究李雅普诺夫函数也受到了越来越多的关注。
未来，研究者们将会继续努力，探索更加简单、高效的构造方法，开发更加高效的求解方法，以及应用李雅普诺夫函数来解决更加复杂
的问题。