因式分解的概念及公式
初中数学之因式分解知识点汇总
初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。
因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。
注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。
3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。
系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。
例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。
因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
初中常用因式分解公式
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初中常用因式分解公式2013。
6.6一．因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
二．因式分解方法：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有相同因式，那么就可以把这个相同因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式 x2-2x解：x2-2x =x（x —2）2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a2+4ab+4b 解:a2 +4ab+4b =（a+2b)（a+2b) 完全平方公式最常用的公式：（1)（a+b)(a-b） = a2-b2 -—-———-—-a2—b2=(a+b）（a-b);（2) （a±b）2 = a2±2ab+b2—-— a2±2ab+b2=（a±b)2；（3） (a+b)(a2-ab+b2） =a3+b3--——-- a3+b3=（a+b）(a2-ab+b2)；（4) （a-b）（a2+ab+b2） = a3—b3 --—--—a3—b3=（a-b)（a2+ab+b2）．(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；（6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c）（a2+b2+c2—ab-bc—ca）；3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）(m+n）例3、分解因式m +5n—mn-5m 解：m +5n—mn—5m= m -5m —mn+5n = (m -5m )+（-mn+5n) =m(m—5)—n（m-5) =（m—5）(m-n）注意该方法的核心是分组后能提取公因式!4、十字相乘法对于mx +px+q 形式的多项式，如果a×b=m ，c×d=q 且ac+bd=p ，则多项式可因式分解为(ax+d)（bx+c ）例4、分解因式7x 2 -19x —6分析： 1 -3 7 2 交差相乘再相加 2—21=-19解：7x 2 -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配凑法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法，然后就能将其因式分解.例5、分解因式解原式= = = 到这儿我们就可以提公因式了 ==6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再进行因式分解。
因式分解的重要概念
因式分解的重要概念因式分解是代数学中的一个重要概念，它是将一个多项式表达式表示为几个乘积的形式。
因式分解不仅在解方程和化简表达式时起到重要作用，而且在代数学的其他领域也有着广泛的应用。
下面我将详细介绍因式分解的重要概念。
1. 因式分解的基本定义因式分解是指将一个表达式表示为几个乘积的形式。
在因式分解中，每一个乘积的因子被称为因式。
例如，对于多项式x^2-4，它可以被因式分解为(x+2)(x-2)，其中x+2和x-2就是因式。
2. 因式分解的方法因式分解的方法有很多种，常见的方法包括：- 提取公因式：通过提取表达式中的公因式，将表达式表示为一个乘积的形式。
例如，对于多项式3x+6，可以提取公因式3，得到3(x+2)。
- 特殊因式公式：将一个特定形式的多项式表示为几个乘积的形式。
例如，平方差公式x^2-y^2可以表示为(x+y)(x-y)。
- 因式定理：利用因式定理，将一个多项式表示为(x-a)的形式，其中a是多项式的一个根。
例如，对于多项式x^2-4x+4，可以使用因式定理将其表示为(x-2)^2。
- 乘法公式：将一个多项式表示为两个多项式的乘积形式。
例如，平方差公式a^2-b^2可以表示为(a-b)(a+b)。
3. 因式分解的重要性因式分解在代数学中起到了重要的作用，它具有以下几个重要的方面：- 解方程：通过因式分解，可以将一个复杂的方程转化为几个简单的方程，并求解其中的根。
例如，对于方程x^2-4=0，可以通过因式分解得到(x-2)(x+2)=0，进而得到方程的两个解x=2和x=-2。
- 化简表达式：通过因式分解，可以将一个复杂的表达式化简为几个简单的因式的乘积。
这样不仅可以减少计算的复杂度，还可以更好地理解表达式的结构和性质。
例如，通过因式分解表达式x^2-4，可以得到(x+2)(x-2)，从而将其化简为乘积的形式。
- 分解多项式：对于一个多项式，通过因式分解可以将其分解为几个简单的因式的乘积，从而更好地理解多项式的结构和性质。
分解因式公式
分解因式公式分解因式公式是中学数学中常见的一种运算方式，是指把一个多项式分解成一系列多个单项式的乘积，并可以用来计算多项式的值。
分解因式运算是数学计算中特别重要的一部分，它被用来解决平面几何、概率论以及各种形式的方程问题。
本文将从四个方面来详细讲解分解因子公式，包括：1）定义和形式；2）应用；3）解法；4）常见错误。
一、分解因子公式的定义和形式分解因子公式是指将一个多项式分解成一系列多个单项式的乘积，而分解因子即所谓的因子。
比如，想要把多项式x^2 + 4x - 12解，可以找出它的两个因子，即(x + 3)(x - 4)，分解因子公式可以写成x^2 + 4x - 12 = (x + 3)(x - 4)。
二、分解因子公式的应用分解因子公式的应用非常广泛，它可以用来解决一些具体的数学问题，比如：1）面几何：多项式f(x,y)的最小值和最大值时，可以使用分解因子的方法；2）率论：求概率分布的方差时，可以使用分解因子的方法；3）论数学：求不定方程的根时，可以使用分解因子的方法。
三、分解因子公式的解法分解因子公式的解法有许多，比如：1）子分解法：这是一种最简单和最常用的方法，它把一个多项式分解为一系列单项式的乘积，从而计算多项式的值；2）征根分解法：这是一种更复杂的方法，它用到了多项式的特征根，可以把多项式分解为一系列单根的乘积；3）构因式分解法：这是一种复杂的分解方法，用到了多项式的同构因式，可以计算多项式的值，并得到它的特征根。
四、常见的错误在使用分解因式公式时，学生常常会犯一些错误，比如：1）误地算出系数：系数是指多项式中每个单项式的系数，它是求多项式值的重要参数，如果算出错误的系数，则多项式的值也就算错了；2）误地算出因子：因子是指多项式的两个因子，如果算出错误的因子，则多项式的值也就算错了；3）误地理解多项式：有时，学生会误解多项式，甚至不明白它的基本含义，这样就很难知道如何使用分解因式公式来计算多项式的值。
因式分解和提公因式法
因式分解和提公因式法因式分解是代数中的一种重要的运算方法，在解题过程中往往可以起到简化问题、求解方程、找出公因数等作用。
而提公因式法是因式分解的一种特殊形式，通过提取公因式来简化多项式的表达式。
本文将详细介绍因式分解和提公因式法的概念、原理以及应用。
一、因式分解的概念和原理1.1 因式分解的概念因式分解是将一个多项式拆解成若干个因式的乘积，其中每个因式都是多项式的一个因子。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式化简为简单的因子形式，便于进一步求解方程、计算和进行其他代数运算。
1.2 因式分解的原理因式分解的原理是根据多项式的特点和运算规律，将其拆解为不可再分解的因子相乘的形式。
常用的分解方法有提取公因式法、配方法、根据特殊公式和因式定理等。
二、提公因式法的概念和步骤2.1 提公因式法的概念提公因式法是一种较为常见且简便的因式分解方法，通过提取多项式中的公因式，将多项式拆解为公因式和剩余部分的乘积。
这样可以达到简化表达式的效果，从而便于求解方程或进行其他计算。
2.2 提公因式法的步骤步骤一：观察多项式中是否存在公因式；步骤二：提取出公因式，并在多项式外面加上括号，表示公因式；步骤三：将多项式中去掉公因式后的部分作为括号内的剩余部分；步骤四：将公因式和剩余部分用乘号连接起来，得到最终的因式分解式。
三、因式分解和提公因式法的应用3.1 解方程因式分解和提公因式法在解方程中经常被使用。
通过因式分解，可以将原方程化简为简单的因子形式，从而更容易求解。
例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以进行因式分解成(a'x + b')(c'x + d') = 0，那么可以根据方程因式乘积为零的性质，得到x的取值。
3.2 简化计算在进行复杂的数学计算时，因式分解和提公因式法可以起到简化计算的作用。
通过将多项式化简为因子形式，可以减少计算的复杂性。
特别是在涉及多次相同运算的情况下，将公因式提取出来可以减少重复计算。
分解因式知识点总结
分解因式知识点总结一、基本概念1. 什么是因式代数表达式中，如果一个多项式能够被另一个多项式整除，那么这个被整除的多项式就是被称为因式。
比如，多项式x^2-4就可以被(x-2)(x+2)整除，所以(x-2)(x+2)就是x^2-4的因式。
2. 什么是分解因式分解因式就是将一个多项式拆解为更简单的因式的乘积的过程。
比如，将x^2-4分解为(x-2)(x+2)的过程就是分解因式。
二、分解因式的方法分解因式的方法有几种常见的基本方法，包括提公因式法、配方法、分组法和特殊因式公式等。
下面分别介绍这几种方法。
1. 提公因式法提公因式法是指通过提取多项式中的公因式，然后进行拆分。
比如，对于多项式x^2+4x+4，首先找出公因式x，然后进行拆分得到x(x+4)，再将x+4进一步分解为(x+2)(x+2)，最终得到完整的分解因式为x(x+2)(x+2)。
2. 配方法配方法是通过将多项式中的部分进行配对，然后进行拆分。
比如，对于多项式x^2+6x+9，可以通过配对得到(x+3)(x+3)，从而得到完整的分解因式为(x+3)(x+3)。
3. 分组法分组法是将多项式中的项进行分组，然后进行进一步拆分因式的方法。
通常用于四项以上的多项式分解。
比如，对于多项式x^3+3x^2+2x+6，可以先进行分组(x^3+3x^2)+(2x+6)，然后针对每组进行提公因式法或配方法进行进一步拆分，最终得到完整的分解因式。
4. 特殊因式公式在代数中还存在一些特殊的因式公式，比如(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2等，这些公式是一些特殊情况下的因式拆分公式，可以用来快速分解某些特定的多项式。
三、分解因式的应用分解因式是代数中一个非常重要的概念，它在多项式求值、方程求解、多项式因式分解和多项式简化等方面都有着广泛的应用。
1. 多项式求值在代数中，对于给定的多项式，求出其在某一特定值下的取值是一个非常重要的问题。
因式分解知识点
因式分解知识点因式分解是数学中重要的基础知识之一。
它是指将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式。
因式分解在数学中有广泛的应用，例如解方程、计算极限、构建数据模型等等。
本文旨在深入探讨因式分解的相关知识点。
一、基本概念1.1 多项式与因式：多项式是由常数、变量和幂次依次相乘所得的代数式，如$x^2+2x+1$。
因式是一种可以被一个数或一个代数式整除的代数式，如$x+1$是$x^2+2x+1$的因式。
1.2 因数与因式分解：在数学中，一个数$a$能够被另一个数$b$整除，即$a=bn$，则称$b$是$a$的因数。
因式分解是指将一个代数式写成各个因数的乘积的形式。
二、因式分解方法2.1 提公因式法：提公因式法是指先提取出多项式中的公因式，然后将公因式与剩余项相乘得到原多项式。
例如，$3x^3+6x^2=3x^2(x+2)$。
2.2 分组分解法：分组分解法是指将多项式中的项分成两组，使得每组之间可以找到一个公因式，然后将两组分别提取出公因式后合并得到原多项式。
例如，$x^2+2xy+y^2= (x+y)^2$。
2.3 短除法：短除法是将多项式中的项按某个因式进行除法运算后得到商式，将商式再按另一因式进行除法运算，直到多项式无法再做除法为止。
例如，$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$。
2.4 公式法：公式法是指利用一些基本公式对多项式进行因式分解。
例如，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
三、应用3.1 解高次方程：因式分解可以方便地解决高次方程，如 $x^2-5x+6=0$可以因式分解为$(x-2)(x-3)=0$，从而得到解$x=2$和$x=3$。
3.2 计算极限：因式分解可以化简复杂的代数式，从而方便计算极限，如$\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^3-27}{x^2-9}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x+3)(x-3)}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^2+3x+9}{x+3}=12$。
因式分解最常用的公式
因式分解最常用的公式因式分解是代数中常用的一种运算方法，它能够将多项式表达式分解为简化形式，从而更方便地进行计算和理解。
在因式分解中，有一些常用的公式被广泛应用，本文将介绍因式分解中最常用的公式及其应用。
一、一次因式分解公式一次因式分解是最简单的一种分解方式，其公式为\[ a x + b = 0 \]，其中a和b为常数。
通过这个公式，我们可以解出方程的根，即\[ x = -\frac{b}{a} \]。
这个公式在代数中应用广泛，是解一元一次方程的基础。
二、二次因式分解公式二次因式分解是因式分解中比较常见的一种形式，其公式为\[ a x^2 + b x + c = 0 \]，其中a、b、c为常数且\(a\neq0\)。
根据二次因式分解公式，我们可以利用求根公式\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]求出方程的根。
三、完全平方式分解公式完全平方式分解是指将二次三项式\( ax^2 + 2bx + c \)分解成两个因式的乘积形式，即\[ ax^2 + 2bx + c = (mx + n)(px + q) \]。
通过这个公式，我们可以快速地分解二次三项式，进而简化计算。
四、差几平方式分解公式差几平方式分解是将\( a^2 - b^2 \)形式的多项式分解成两个因式相乘的形式，即\[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]。
这个公式在代数中也经常被使用，用于分解差平方式，简化计算过程。
五、分组因式分解公式分组因式分解是一种将多项式按照一定规则进行分组，然后进行因式分解的方法。
通过这种方式，我们可以快速简化多项式的形式，方便计算。
分组因式分解在代数中也是一种常用的技巧。
六、特殊公式因式分解除了以上常用的公式外，还有一些特殊公式在因式分解中也有广泛的应用。
例如\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)、\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)等。
分解因式的概念及方法
分解因式的概念及方法一、因式分解的概念：多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。
二、分解因式的常用方法有：1.提公因式法;2..公式法;3.十字相乘法;4.分组分解法;5.求根公式法。
三、因式分解的步骤及注意事项：1.一般步骤：“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式，一般的根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式或十字相乘法，更多项的多项式，应分组分解.2.分解因式需要注意事项：分解因式必须彻底，应进行到每个因式都不能在分解为止；分解因式要注意，是在有理数范围内，还是在实数范围内。
四、分解因式的应用：1.使一些较复杂的计算简便；2.求一些无法直接求解的代数式的值；3.判断多项式的整除性质；4.与几何中三角形的三边关系结合解决一些综合性问题。
常见考法实际生活中，人们为了解决问题常常遇到某些复杂的计算问题，如果根据题目的特点，运用分解因式将式子变形，会简化运算量，提高准确率，所以灵活应用各种方法分解因式是历届中考的重点。
题型一般是小型综合题，难度一般，解题规律明显。
误区提醒（2009年舟山）给出三个整式a2，b2和2ab．(1)当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；(2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．【解析】(1) 当a=3，b=4时， a2+b2+2ab==49．(2) 答案不唯一，例如，若选a2，b2，则a2-b2=(a+b)(a-b)．若选a2，2ab，则a2±2ab=a(a±2b)．。
因式分解知识点归纳
因式分解知识点回顾1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法：ma + mb + mc = m(a + b + c)(2)运用公式法：平方差公式：a2—b2 = (a + b)(a—b)；完全平方公式：a2土2ab + b2= (a土b)2(3)十字相乘法：x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)因式分解的一般步骤：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； (3)对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
(4)最后考虑用分组分解法5、同底数幂的乘法法则：a m・a n = a m+n( m, n都是正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：(a + b)2•(a + b)3 = (a + b)56、幂的乘方法则：(a m)n = a mn( m, n都是正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘。
如：(-35)2= 310幕的乘方法则可以逆用：即a mn = (a m ) n = (a n ) m如：46 = (42)3 = (43)27、积的乘方法则：(ab)n = a n b n( n是正整数)积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：(一 2 x 3 y 2 z )5 = (-2)5 • (x 3)5 • ( y 2)5 • z 5 = -32 x 15 y 10 z 58、同底数幂的除法法则：a m + a n = a m - n ( a牛0, m, n都是正整数，且m n)同底数幕相除，底数不变，指数相减。
如：(ab)4 + (ab) = (ab)3 = a3b39、零指数和负指数；a 0 = 1，即任何不等于零的数的零次方等于1。
1a - p =——(a中0, p是正整数)，即一个不等于零的数的-p次方等于这个数的P次方的倒数。
因式分解 公式
因式分解公式因式分解是中学数学中的一个重要概念，它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开数学难题的大门。
咱先来说说啥是因式分解。
简单来讲，就是把一个多项式变成几个整式乘积的形式。
比如说，x² - 1 这个多项式，通过因式分解就可以变成 (x + 1)(x - 1) 。
那因式分解都有哪些公式呢？这可不少！首先就是平方差公式，(a+ b)(a - b) = a² - b²。
这就好比是数学世界里的“拆墙工具”，能把像 a² -b²这样的式子轻松拆开。
还有完全平方公式，(a ± b)² = a² ± 2ab + b²。
这个公式就像是给式子盖房子，能把 a² ± 2ab + b²这样的式子盖成一个完美的“平方房子”。
记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子呀，一开始对因式分解那是一头雾水。
特别是遇到要用公式的时候，总是搞混。
有一次做作业，一道很简单的用平方差公式分解的题目，他愣是做错了。
我就问他：“小李呀，这 (x² - 9) 你怎么就分解不出来呢？”他挠挠头，一脸无辜地看着我，说：“老师，我一看到这些式子，脑子就乱了。
”我就耐心地给他讲，“你看啊，x² - 9 ，这不就是 x² - 3²嘛，那按照平方差公式，不就是 (x + 3)(x - 3) 嘛。
”我一边说，一边在纸上比划着。
然后让他自己再做几道类似的题目，慢慢找感觉。
经过一段时间的练习，小李终于掌握了这些公式。
后来有一次考试，考到了一道用完全平方公式分解的题目，他不仅做对了，还举一反三，用多种方法进行了验证。
其实呀，学习因式分解的公式，关键在于多练习，多琢磨。
不能死记硬背，得理解每个公式背后的道理。
比如说平方差公式，就是利用了两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积。
而且在实际应用中，这些公式可太有用了。
因式分解知识要点
因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。
1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。
本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。
2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。
如:()++=++。
ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。
公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。
2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。
运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。
因式分解公式大全
因式分解公式大全因式分解在代数中是一个重要的概念。
它是将一个多项式表达式分解为更简单的乘积形式的过程。
在数学中，我们经常使用因式分解公式来解决各种问题，如求解方程、简化表达式等。
本文将介绍一些常用的因式分解公式，帮助读者更好地理解和应用这个概念。
一、一次因式分解公式1. 单项式的因式分解对于形如ax的一次单项式，它的因式分解形式为a(x)。
2. 二次因式分解对于一次二次多项式ax^2+bx+c，如果可以因式分解为(a_1x+m)(a_2x+n)的形式，则有以下两个规律：- a_1*a_2=a；即二次项系数等于两个括号中的一次项系数的乘积。
- mn=c；即常数项等于两个括号中的常数项的乘积。
二、二次因式分解公式1. 平方差公式a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)是二次多项式的一个重要的因式分解公式。
例如，x^2-4 = (x+2)(x-2)。
2. 完全平方公式a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2是二次多项式的另一个常用的因式分解公式。
例如，x^2+4x+4 = (x+2)^2。
三、高次因式分解公式1. 三次因式分解公式对于三次多项式ax^3+bx^2+cx+d，如果可以因式分解为(a_1x+b_1)(a_2x^2+b_2x+c_2)的形式，则有以下两个规律： - a_1*a_2=a；即三次项系数等于两个括号中的一次项系数的乘积。
- b_1*a_2 + a_1*b_2 = b；即二次项系数等于两个括号中的一次项系数的乘积之和。
2. 四次因式分解公式对于四次多项式ax^4+bx^3+cx^2+dx+e，如果可以因式分解为(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)(a_3x^2+b_3x+c_3)的形式，则有以下两个规律： - a_1*a_2*a_3=a；即四次项系数等于三个括号中的一次项系数的乘积。
- b_1*a_2*a_3 + a_1*b_2*a_3 + a_1*a_2*b_3 = b；即三次项系数等于三个括号中的一次项系数的乘积之和。
多项式的因式分解
多项式的因式分解多项式是数学中常见的一种表达式形式，它由各种代数符号组成，可以包含常数、变量和各种运算符号。
在代数学中，因式分解是将多项式表示为更简洁形式的一种方法。
在本文中，我们将探讨多项式的因式分解原理和方法。
一、多项式的基本概念首先，我们需要了解多项式的基本概念。
一个多项式由若干项组成，每一项包括一个系数和一个幂指数的乘积。
例如，下面就是一个多项式的示例：P(x) = 3x^2 + 2x - 1在这个多项式中，3、2和-1是系数，x^2、x和1是幂指数的乘积。
二、因式分解的原理因式分解是将多项式表示为若干个乘积的形式，每个乘积是一个因式。
通过因式分解，我们可以揭示多项式的结构和性质，使得求解多项式的根变得更加容易。
基本的因式分解原理可以总结为以下几点：1. 公因式提取：如果多项式的每一项都有一个公共的因子，那么可以将这个公因式提取出来，得到一个乘积形式。
例如，对于多项式P(x) = 3x^2 + 6x，我们可以发现每一项都可以被3和x整除，因此可以进行公因式提取，得到P(x) = 3x(x + 2)。
2. 平方差公式：平方差公式是一种特殊的因式分解形式，它可以将一个平方差表示为两个因式的乘积。
平方差公式的表达式为a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
例如，对于多项式P(x) = x^2 - 4，我们可以使用平方差公式进行因式分解，得到P(x) = (x + 2)(x - 2)。
3. 二次因式分解：对于二次多项式，可以使用配方法或求根公式将其进行因式分解。
例如，对于多项式P(x)=x^2+5x+6，我们可以使用配方法或求根公式得到因式分解形式P(x) = (x + 2)(x + 3)。
三、因式分解的方法基于上述的因式分解原理，我们可以总结出多种因式分解的方法。
下面我们介绍几种常见的方法：1. 公因式提取法：通过找出多项式的公共因子，将其提取出来得到一个乘积形式。
例如，对于多项式P(x) = 4x^3 + 8x^2，可以发现每一项都能被4x 整除，因此可以进行公因式提取，得到P(x) = 4x(x^2 + 2)。
八年级上册数学因式分解公式
八年级上册数学因式分解公式
一、因式分解的概念。
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
二、因式分解的基本方法及公式（人教版八年级上册）
1. 提公因式法。
- 公因式：多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
- 提公因式法分解因式的公式：ma + mb+mc=m(a + b + c)
- 例如：6x^2+9x = 3x(2x + 3)，这里公因式是3x。
2. 平方差公式。
- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)
- 例如：9x^2-25y^2=(3x + 5y)(3x-5y)，其中a = 3x，b = 5y。
3. 完全平方公式。
- 完全平方和公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2
- 例如：x^2+6x + 9=(x + 3)^2，这里a=x，b = 3。
- 完全平方差公式：a^2-2ab + b^2=(a - b)^2
- 例如：x^2-8x+16=(x - 4)^2，其中a=x，b = 4。
因式分解法的概念
因式分解法的概念因式分解法的概念及相关内容因式分解法是一种在代数学中经常使用的重要方法，主要用于将一个多项式表达式分解为更简单的因式的乘积形式。
这种分解可以帮助我们更好地理解和处理多项式的性质和运算。
1. 因式分解的基本概念因式分解是指将一个表达式表示成若干个因子的乘积形式。
这些因子可以是常数、变量、或者它们的乘积。
2. 因式分解的步骤和方法因式分解的具体步骤和方法如下：•Step 1: 提取公因子：将多项式中公共的因子提取出来，使得每个因子的系数最简化。
•Step 2: 使用平方差公式：如果多项式可以写成两个平方项之间的差的形式，可以使用平方差公式进行因式分解。
•Step 3: 使用特殊公式：对于一些常见的特殊公式，如二次差的立方等，可以直接使用已知公式进行因式分解。
•Step 4: 使用配方法：当无法直接套用已知公式时，可以尝试使用配方法（例如乘法公式或分组配方等）对多项式进行因式分解。
•Step 5: 再次提取公因子：如果已经进行了上述的因式分解方法后，仍然存在公共的因子，可以再次提取出来。
3. 因式分解的应用因式分解在数学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用：•在解方程时，我们常使用因式分解来将多项式方程化简为简单的线性方程。
•在求解多项式的根（即方程的解）时，因式分解可以帮助我们更方便地找到根的值。
•在分数的化简和比较大小过程中，因式分解可以帮助我们更好地理解和比较分数的大小。
•在代数表达式的化简和简化过程中，因式分解可以帮助我们写出更简洁的表达式。
总结因式分解法是一种重要的代数学方法，通过将多项式表达式分解为乘积形式，可以帮助我们更好地理解和处理多项式的性质和运算。
掌握因式分解法的基本概念和方法，并能灵活运用于不同的数学问题中，将有助于我们提高解题的效率和准确性。
4. 举例说明让我们通过一个具体的例子来说明因式分解法的应用。
假设我们有一个多项式表达式：4x^2 - 25。
首先，我们观察到这是两个平方项之差的形式，即(2x)^2 - 5^2。
初中数学之因式分解知识点汇总
初中数学之因式分解知识点汇总因式分解1. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
2. 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法都是整式变形，两者互为逆变形。
因式分解是将“和差”的形式化为“积”的形式，而整式乘法是将“积”化为“和差”的形式。
注：分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底。
3. 公因式多项式的各项都含有的公共因式叫做这个多项式各项的公因式。
系数——取各项系数的最大公约数；字母——取各项都含有的字母；指数——取相同字母的最低次幂。
例如：多项式pa+pb+pc 中因式p 即为多项式各项的公因式。
因式分解九大方法：(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项。
因式分解(提公因式法、公式法)
因式分解讲义一、概念因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式,叫做把这个多项式因式分解。
二、因式分解方法1、提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)公因式：一个多项式每项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定方法：（1）系数是整数时取各项最大公约数。
（2）相同字母（或多项式因式）取最低次幂。
（3）系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
2、公式法（1）平方差公式：即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
（2）完全平方公式：即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方。
口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。
同号加、异号减，符号添在异号前。
公式法小结：（1）公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
（2）选择公式的方法：主要看项数，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
（3）完全平方公式要注意正负号。
【典型例题】1、下列从左到右是因式分解的是（ ）A. x(a-b)=ax-bxB. x 2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y 2C. x 2-1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若2249a kab b ++可以因式分解为2(23)a b -，则k 的值为______3、已知a 为正整数，试判断2a a +是奇数还是偶数？4、已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式(5)x +，且m+n=17，试求m ，n 的值5、将多项式3222012a b a bc -分解因式，应提取的公因式是（ ）A 、abB 、24a bC 、4abD 、24a bc6、已知(1931)(1317)(1317)(1123)x x x x -----可因式分解为()(8)ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（ ） A 、-12 B 、-32 C 、38 D 、727、分解因式（1）6()4()a a b b a b +-+ （2）3()6()a x y b y x --- （3）12n n n x x x ---+（4）20112010(3)(3)-+- （5）ad bd d -+； （6）4325286x y z x y -（10）（a －3）2－（2a －6） （11）－20a －15ax; （12）（m ＋n ）（p －q ）－（m ＋n ）（q ＋p ）8、先分解因式，再计算求值（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)x x x x x x x -+--+--+ 其中x=1.5（2）22(2)(1)(1)(2)a a a a a -++--- 其中a=189、已知多项式42201220112012x x x +++有一个因式为21x ax ++，另一个因式为22012x bx ++，求a+b 的值10、若210ab +=，用因式分解法求253()ab a b ab b ---的值11、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、22x 4y +B 、22x 2y 1-+C 、224x y -+D 、224x y --12、分解下列因式（1）2312x - （2）2(2)(4)4x x x +++- （3）22()()x y x y +--（4）32x xy - （5）2()1a b -- （6）22229()30()25()a b a b a b ---++（7）2522-b a ； （8）229161b a +-； （9）22)()(4b a b a +--（10）22009201120101⨯- （11）22222100999897...21-+-++-13、若n 为正整数，则22(21)(21)n n +--一定能被8整除14、)10011)(9911()411)(311)(211(22222--⋅⋅⋅---15、在多项式①22x 2xy y +- ②22x 2xy y -+- ③22x xy+y + ④24x 1+4x +，（5）2161a +中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）16、A 、①② B 、②③ C 、①④ D 、②④16、222)2(4)________(y x y x -=++ 222)(88)_______(8y x y x +=++。
初中数学精品课件： 因式分解
2．(2019·临沂)将 a3b－ab 进行因式分解，正确的是 ( )
A．a(a2b－b)
B．ab(a－1)2
C．ab(a＋1)(a－1)
D．ab(a2－1)
【答案】 C
3．(2案】 x(y＋2)(y－2)
4．(2019·衢州)已知实数 m，n 满足mm－ ＋nn＝ ＝13， ，则代数式
利用因式分解将多项式分解之后整体代入求值，也可 逆向思维，根据因式分解后的几个多项式(因式)结合恒等 变形的性质求值．
【典例 2】 在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分 解法”生成密码的方法：如将多项式 x3＋2x2－x－2 进行因 式分解，结果为(x－1)(x＋1)(x＋2)．当 x＝19 时，x－1＝ 18，x＋1＝20，x＋2＝21，此时可得到数字密码 182021. (1)根据上述方法，当 x＝37，y＝12 时，对于多项式 x3－xy2 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)? (2)将多项式 x3＋(m－3n)x2－nx－21 因式分解后，利用题 目中所示的方法，当 x＝87 时可以得到密码 808890，求 m，n 的值．
联
立
m＋n＝0， m－n＝2，
解得mn＝＝－1，1，
∴m2
＋
n2－
mn ＝1
＋
1
＋
1
＝3.
【答案】 3
4．分解因式：(x2＋4)2－16x2.
【解析】 原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x) ＝(x＋2)2(x－2)2.
5．运用简便方法计算：
(1)992＋110908＋1．
(2)1982－396×98＋982．
【解析】 (1)∵x3－xy2＝x(x－y)(x＋y)， ∴当 x＝37，y＝12 时，x－y＝25，x＋y＝49， ∴可得到数字密码 372549 或 374925(答案不唯一)． (2)∵当 x＝87 时，密码为 808890，且 x3 的系数是 1， ∴由(1)可知：x－7＝80，x＋1＝88，x＋3＝90， ∴x3＋(m－3n)x2－nx－21＝(x－7)(x＋1)(x＋3)＝x3－3x2 －25x－21， ∴m－3n＝－3，n＝25，∴m＝72，n＝25.
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因式分解的概念及公式
因式分解是指将一个多项式化为几个最简整式的积的形式，通常用于求解方程、求根作图等方面。
它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解的方法有很多，其中最常用的方法是提公因式法和公式法。
提公因式法是指如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
而公式法是指根据乘法公式反过来，将某些多项式分解因式。
因式分解的公式主要包括平方差公式和完全平方公式。
平方差公式是指 a2-b2=(a+b)(a-b),完全平方公式是指
a22-b22=(a+b)(a2-b2)。
这些公式可以帮助我们将一些复杂的多项式分解因式，从而提高解题效率。
因式分解是中学数学中最为重要的恒等变形之一，掌握它可以帮助我们更好地理解数学知识，培养自己的解题技能和思维能力。