已知密度函数求数学期望

数学期望的计算及应用

数学期望的计算及应用数学与应用数学111 第四小组引言：我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。

因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。

在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即E(X)x k p k；2.应用随机变量函数的期望公式k 1E(q(x))q( x k ) p k 3. 利用期望的有关性质。

但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将k 1介绍一些解决这些难题的简单方法。

在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。

如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。

就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。

下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。

1.变量分解法[1]如果可以把不易求得的随机变量 X 分解成若干个随机变量之和,应用E( X 1E2... E n ) E( X 1 ) E ( X 2 )...E ( X n ) 再进行求解得值，这种方法就叫做变量分解法。

这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。

例题 1 ：从甲地到乙地的旅游车上载有达一个车站没有旅客下车，就不停车，以20 位旅客，自甲地开出，沿途有10 个车站，如到X 表示停车次数，求E(X).( 设每位旅客在各个车站下车是等可能的)分析：汽车沿途10 站的停车次数X 所以可能取值为0，1，.，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X) ，则需要分别计算{X=0} ，{X=1}，，{X=10} 等事件的概率，计算相当麻烦。

注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1 对应起来，映入随机变量X i每一种结果的概率较易求得。

概率论与数理统计试题与答案()

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分）1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。

2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若95)1(=≥X p ，则=≥)1(Y p 。

3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。

4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。

5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2χ的样本，则统计量∑==n1i i X Y 服从分布。

6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。

（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、若A 与自身独立，则（）(A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<<A P ； (D) 0)(=A P 或1)(=A P 2、下列数列中，是概率分布的是（）(A) 4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==x x p ； (D) 5,4,3,2,1,251)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（）(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=- (C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D4、设随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （）。

(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误．．的是（）。

随机变量的数学期望和方差

随机变量的数学期望和方差随机变量是概率论中的重要概念，用来描述一个随机事件可能取到的不同值及其对应的概率。

对于一个随机变量而言，数学期望和方差是常用的统计量，用于描述随机变量的平均水平和离散程度。

一、数学期望数学期望是随机变量的平均值，表示了随机变量在大量重复实验中的长期平均表现。

通常用E(X)或μ来表示，其中X为随机变量。

对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量X可能取到的值，P(X=x)为其对应的概率。

以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，点数可能取到1、2、3、4、5、6，每个点数的概率相等。

则计算掷骰子的数学期望为：E(X) = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。

二、方差方差是随机变量取值与其数学期望的偏差的平方的平均值，用于衡量随机变量的离散程度。

通常用Var(X)或σ^2来表示，其中X为随机变量。

对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))^2P(X=x)以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，其数学期望为3.5。

则计算掷骰子的方差为：Var(X) = (1-3.5)^2 ×1/6 + (2-3.5)^2 ×1/6 + (3-3.5)^2 ×1/6 + (4-3.5)^2 ×1/6 + (5-3.5)^2 ×1/6 + (6-3.5)^2 ×1/6 = 2.9167对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx方差的平方根被称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。

概率论与数理统计-期末测试(新)第二章练习题

一、选择题1、离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,k P X k b k λ===L ，则λ为（）。

(A)0λ>的任意实数 (B)1b λ=+ (C)11b λ=+ (D)11b λ=-2、设随机变量X 的分布律为()!kP X k ak λ==(λ>0，k=1，2，3，…)，则a = ( )。

(A)e λ- (B) e λ (C) 1e λ-- (D) 1e λ-3、离散型随机变量X 的分布律为{},0,1,2,3!kAP X k k k ===L 则常数A 应为( )。

(A) 31e (B) 31-e (C) 3-e (D) 3e4、离散型随机变量X，则{||2|0}P X X ≤≥为（）。

(A)2129 (B)2229 (C)23 (D)135、随机变量X 服从0-1分布，又知X 取1的概率为它取0的概率的一半,则(1)P X =为( )。

(A) 13 (B) 0 (C) 12(D) 16、设随机变量X 的分布律为：0120.250.350.4XP，而{}()F x P X x =≤，则=)2( F ( )。

(A) 0.6 (B) 0.35 (C) 0.25 (D) 07、已知离散型随机变量的分布律为1010.250.50.25XP -，则以下各分布律正确的是( )。

(A)6581 (B) 5681 (C) 8081(D) 19、随机变量X 的方差()3D X =，则(25)D X -等于( )。

(A) 6 (B) 7 (C) 12 (D) 1710、随机变量X 的分布律为：1()(),1,2,2(1)P X n P X n n n n ===-==+L ，则()E X =（）。

第六单元数学期望

经济数学基础第10章随机变量与数字特征第六单元数学期望一、学习目标通过本节课的学习，认识数学期望是最好的代表性数字，并能利用定义和性质，熟练地进行数学期望的计算．二、内容讲解1.定义3.4数学期望如果随机变量X的概率分布为则称和数x1p1+x2p2+…+x k p k+…=kkkpx为X的数学期望或期望，记作E(X)．E（X）=∑kkkpx如果随机变量X的密度函数为f(x),则称xf x x()d-∞+∞⎰为X的数学期望或期望，记作E(X)．2.常见分布的期望（1）二点分布随机变量X的概率分布为则E(X)=1×p+0×(1－p)=p（2）二项分布X～B（n,p）经济数学基础第10章随机变量与数字特征E(X)=kpkkn=∑=⎛⎝⎫⎭⎪--=∑k nkp pk n kkn()10=np（3）泊松分布X～π(λ)P(X=k)=λkk-e!λ(k=0,1,2,…)E(X)=λ（4）均匀分布X～f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-],[],[1baxbaxabE(X)=⎰⎰-=+∞∞-ba abxxxxxfdd)(=2+212baxabba=-（5）正态分布X～f(x)=222)(e21σμπσ--xE(X)=⎰∞+∞---xx xde2222)(σμπσ=⎰∞+∞----xx xde21222)(σμσμπ+⎰∞+∞---xxde21222)(σμπσμ=μ3.随机变量函数的期望我们提这样一个问题，若X为随机变量，问X2是随机变量吗？若X的概率分布为你会计算E(X2)吗？下面我们讨论这个问题．经济数学基础第10章随机变量与数字特征离散型E (X )=kkkp x连续型X ～f (x )，E (X )=xf x x()d -∞+∞⎰若X 为随机变量，则X 2也是随机变量，且有一般地，设X 是随机变量，Y =g (x )是连续函数，Y =g (X )亦是随机变量．且有E (Y )=E (g (X ))=⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞+∞-)((d )()())((p )(x f X X xx f x g p x X P X X xg k k kk k～是连续型～是离散型问题思考1: 数学期望E (X )是随机变量吗？能将数学期望写成E (x )吗？答案不是．不成．E (X )是一个确定的数，不是随机变量．不能把数学期望写成E (x ),因为x 是普通变量，有E (x )=x ．问题思考2: 数学期望E (X )=∑kkkp x视为加权平均，那么它的权是什么？答案它的权是随机变量X 取值x k 的概率值p k ．三、例题讲解例1：假设A ，B 两个工人生产同一种产品，日产量相同．在一天中出现的不合格品件数分别为X （件）和Y （件），它们的概率分布为经济数学基础第10章随机变量与数字特征试比较两工人技术情况．解：E (X )=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0=1E (Y )＝0×0.5+1×0.1+2×0.2 +3×0.1+4×0.1=1.2 平均而言，工人A 比工人B 的技术好些.例2：设连续型随机变量X 的密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤--其它0112x x Ax 求E (X ).解：先确定常数A ．因为A x x Ax x x f 32)d (d )(1112===⎰⎰-+∞∞--所以23=A E (X )=⎰+∞∞-xx xf d )(=32)d 23(112⎰--=⋅x x x x - 例3：一管理员拿10把钥匙去试开一房门，只有1把钥匙能打开此房门．他随机拿出1把钥匙试开，如若打不开，就把这钥匙放在一旁，再随机取出1把试开，直至把房门打开为止．问平均试开几次能把房门打开．解：设X 为试开第x 次打开了房门，有X ＝1，2，…，10 P (X ＝1)=0.1P (X ＝2)＝9101901⨯=.P (X ＝10)＝91089121⋅⋅ =0.1 于是，能打开房门的平均次数为经济数学基础第10章随机变量与数字特征E (X )＝1×0.1+2×0.1+…＋10×0.1＝01101102112.()⨯+⨯=例4 设X ～f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-],[0],[1b a x b a x a b ,求E (X 2－X +1).解:由随机变量函数的期望公式E (X 2－X ＋1)＝x a b x x d 1ba2⎰-+-=b ax x x a b ]23[123+--=1)+(21)(3122+-++a b a ab b四、课堂练习练习1假设袋中装有12个球其中9个新球，3个旧球．从中任取1球，如果取出的是旧球就不再放回，再任取1个球．直至取得新球为止．求在取得新球以前取出的旧球的平均数．解：设X ＝(取得新球以前取得的旧球个数)，显然旧球只有3个，故X ＝0,1,2,3．旧球只有3个，X 表示取得的旧球个数．因为只有3个旧球，若连续三次都取得旧球，第四次必定终止．是否第四次终止呢？所求是终止前取得的旧球个数的平均，设终止前取得的旧球个数为随机变量X 为好．这是离散型随机变量的数学期望问题．首先确定这个随机变量的可能取值，其次求这个随机变量的概率分布，最后代入数学期望的计算公式．练习2 设连续型随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧≥-<=-0e 100)(x x x F x 求：E (X )．解：已知随机变量的分布函数F(x)，连续型随机变量的分布函数与其密度函数的关系为f(x)=F(x)，当x<0时，F(x)=0,故f(x)=0；当x 〉0时，f(x)=F(x)=(1经济数学基础第10章随机变量与数字特征－e －x) =1－(e －x)=e －x 。

《经济数学》第三篇概率论第8章随机变量与数字特征作业详解

《经济数学》第三篇概率论第8章随机变量与数字特征作业详解练习8．11．定点投篮1次，投中的概率是0.4，试用随机变量描述这一试验解，引入随机变量X，8发投篮命中的，令X＝1；当不中时X＝0，即P(X＝1)＝0.4，P(X＝0)＝1－0.4＝0.6。

2．一次试验中，若某事件A必然产生、试用随机变量描述该现象，并指出此随机变量可能取多少个值？A出现，令X＝1，有P(X＝1)＝1，A不出现，令X＝0，有P(X＝0)＝0，X 可能取1，0两个值。

练习8．21．判断以下两表的对应值能否作为离散型随机变量的概率分布（1）（2）解：P k的概率之和为1，即∑P k＝1。

现在第（1）情况，虽P k≥0，但。

所以不可以作为随机变量概率分布。

第（2）情况不仅P k≥0，且，所以能作为离散型随机变量的概率分布。

2．设随机变量Y的概率分布为，k＝1，2，3，求P(Y＝1)，P(Y>2)，P(≤3)，P(1.5≤y≤5)，P(y>)解：P(Y＝1)＝，P(Y>2)＝P(Y＝3)＝P(1.5≤Y≤5)＝P(Y＝2)+P(Y＝3)＝；P(Y>)＝P(Y＝2)+P(Y＝3)＝3．气象记录表明，某地在11月份的30天中平均有3天下雪，试问明年11月份至多有3个下雪天的概率11月份下雪天的概率是，不下雪天的概率是，每次只有两种可能，要么下雪，要么不下雪，所以服从二项分布，X~B(30,0.1)X表示11月份下雪天数，解：P(X≤3)＝P(X＝0)+P(X＝1)+P(X＝2)+P(X＝3)其中不下雪的概率P(X＝0)＝＝0.04239有一天下雪的概率P(X＝1)＝＝0.1413有二天下雪的概率P(X＝2)＝＝0.22766有三天下雪的概率P(X＝3)＝＝0.2361∴P(X≤3)＝0.04239+0.1413+0.22766+0.2361≈0.6474．某车间有12台车床，每台车床由于装卸加工的零件等原因时常停车，设各台车床停车或开车是相互独立的每台车床在任一时刻处于停车状态的概率是0.3，求（1）任一时刻车间内停车台数X的分布；（2）车间内有3台车床停车的概率；（3）任一时刻车间内车床全部工作的概率。

概率论与数理统计试习题与答案

七、（本题满分12分）
设为来自总体的一个样本，服从指数分布，其密度函数为，其中为未知参数，试求的矩估计量和极大似然估计量。
八、（本题满分12分）
设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)
概率统计模拟题一
一、填空题（本题满分18分，每题3分）
1、设则 =。
2、设随机变量，若，则。
3、设与相互独立，，则。
4、设随机变量的方差为2，则根据契比雪夫不等式有。
5、设为来自总体的样本，则统计量服从
分布。
6、设正态总体，未知，则的置信度为的置信区间的长度。（按下侧分位数）
对求导，得
五、（本题满分10分）解：；
六、（本题满分13分）矩估计： ,
极大似然估计：似然函数 ,
，
七、（本题满分12分）解：欲检验假设
因未知，故采用检验，取检验统计量，今，，，，，拒绝域为，因的观察值，未落入拒绝域内，故在下接受原假设。
八、（本题满分8分）因，故
概率统计模拟题二
试求：（1）常数；（2）落在内的概率；（3）的分布函数。
五、（本题满分12分）
设随机变量与相互独立，下表给出了二维随机变量的联合分布律及关于和边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出。
六、（本题满分10分）设一工厂生产某种设备，其寿命 (以年计)的概率密度函数为：
工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。

数学期望的计算方法及其应用

数学期望的计算方法及其应用摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。

本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。

本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。

关键词：离散型随机变量连续型随机变量数学期望计算方法 ABSTRACT ：第一节离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1]则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)(1ini ix p x ∑=学期望不存在[]2例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。

推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。

试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？按数学期望定义，该推销人每箱期望可得=)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2 公式法对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。

《概率论与数理统计》第4-7 章自测题讲评

《概率论与数理统计》第4－7章自测题讲评第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤10 其他 , 求数学期望EX 。

【讲评】考点：连续型随机变量数学期望的定义为EX= ∫-∞+∞xf(x)dx 。

[解]：EX= ∫-∞+∞xf(x)dx = 5∫01x 5dx = 5[x 56]01= 562.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。

【讲评】考点：正态分布N(μ, σ2)的数字特征，EX=μ，DX=σ2。

和的方差公式：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y)。

[解]：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y)= 3+5+2×0.4 = 8.83. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30，其它，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0 ，若X ，Y 相互独立，求： E(XY)【讲评】考点：均匀分布与指数分布的数学期望，X~U[a,b] ⇒ EX=a+b 2 。

X~exp(λ) ⇒ EX=1λ 。

若X 与Y 相互独立，则 E(XY)=EXEY 。

本题：注意：X~U[1,3], Y~Exp(3) ⇒ EX=1+32 =1, EY=1/3，因为X, Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)=1×(1/3) =1/34. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。

DX=1λ , E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ【讲评】考点：普阿松分布X~P(λ)的数字特征：EX=λ, DX=λ 。

及DX = E(X-EX)2 = EX 2 – (EX)2 , EX 2 =DX+(EX)2本题：X~P(λ) ⇒ EX=λ, DX=λ, EX 2=λ+λ2 .所以E(X)D(X) =1，E(X 2)=λ2＋λ＝E(X)[E(X)+1]，E(X) = λ，但是 DX=1λ , E (X - λ)2 = 0, 这两个是错误等式。

(2021年整理)概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题集及答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（概率论与数理统计习题集及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§1 。

1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形。

样本空间是：S= ；(2）一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数。

样本空间是：S= ; 2.（1）丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= 。

(2）一枚硬币连丢2次, A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：（1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为：。

(3）A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .（4）A 、B 、C 中最多二个发生表示为: 。

（5）A 、B 、C 中至少二个发生表示为：。

(6）A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ,（2）=AB ，(3）=B A ，（4)B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 。

3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则（1） =)(AB P ，（2)()(B A P ）= , （3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = 。

概率论与数理统计

《概率论与数理统计》试题（1）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。

三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤.x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________.2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________.4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eX P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.5．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则AC 与B 也独立.（C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （） 2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （） 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （） 4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为若,X Y 独立，则,αβ的值为（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==. （C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==. （）5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （）三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. .四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于X 的边缘概率密度；（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =的数学期望..七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H σ≤（显著性水平为0.05）.（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1）设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.（3）设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它, 现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___________. （4）设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________. （5）设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥ （）（2）设随机变量X 的概率密度为且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（A ）1/2, 1.a b == （B ）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D ）2,a b == （）（3）设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为则有（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == （）（4）对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX （）（5）设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+ （C ）(x u x uαα-+ （D ）/2/2(x u x u αα-+ （）三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。

《概率论与数理统计》期末试题一答案

1、设A 与B 为互不相容的两个事件，0)B (P >，则=)|(B A P 0 。

2、事件A 与B 相互独立，,7.0)(,4.0)(=+=B A P A P 则 =)(B P 0.5 。

3、设离散型随机变量X 的分布函数为 0 1-<x=)(x F a 11<≤-xa 32- 21<≤x b a + 2≥x且21)2(==X P ，则=a61 =b , 65。

4、某人投篮命中率为54，直到投中为止，所用投球数为4的概率为___6254________。

5、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从“0-1”分布，4.0=p ；Y 服从2=λ的泊松分布)2(π，则._______24.2____)(_______,4.2____)(=+=+Y X D Y X E6、已知,31,9)Y (D ,16)X (D X Y =ρ== 则.___36___)Y 2X (D =-7、设总体X 服从正态分布),,0(2σN 从总体中抽取样本,,,,4321X X X X 则统计量24232221X X X X ++服从_______)2,2(F ______________分布。

8、设总体X 服从正态分布),1,(μN 其中μ为未知参数，从总体X 中抽取容量为16的样本，样本均值,5=X 则总体均值μ的%95的置信区间为____（4.51，5.49）____。

（96.1975.0=u ）9、若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，则Y X Z +=服从______),(222121σσμμ++N ______分布。

一、计算题（每小题10分，共60分）1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。

求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。

数学期望值的概念和意义

数学期望值的概念和意义数学期望值是概率论中的一个重要概念，它是每个可能结果的概率与其对应的值的乘积的总和。

数学期望值可以用来描述一个随机变量所具有的平均水平，它反映了随机变量的中心位置。

在统计学和概率论中，数学期望值有着重要的意义和应用。

首先，数学期望值可以用来描述一个随机事件的平均结果。

在离散型随机变量的情况下，数学期望值是每个可能取值乘以其概率的总和。

例如，掷骰子的随机变量X的取值为1、2、3、4、5、6，每个取值的概率均为1/6，那么X的数学期望值为(1×1/6)+(2×1/6)+(3×1/6)+(4×1/6)+(5×1/6)+(6×1/6)=3.5。

这表示在长期实验中，掷骰子的平均结果将接近于3.5，即我们可以预期掷出的点数在平均意义下接近于3.5。

其次，数学期望值还是一个随机变量的重要性质之一。

在随机变量的分布中，数学期望值属于一个固定的值，它是随机变量所在分布的特征之一。

通过计算随机变量的数学期望值，我们可以获得关于随机变量的重要信息，比如该随机变量的平均值、期望值等。

例如，对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，那么X的数学期望值可以通过积分计算得到，即E(X)=∫xf(x)dx。

数学期望值能够提供关于随机变量的重要特征，帮助我们更好地理解和分析随机变量。

此外，数学期望值还可以用来评估不同概率分布下的随机变量性质。

对于给定的随机变量X，其数学期望值与方差密切相关。

方差是随机变量与其期望之间的离散程度的度量，方差越大表示随机变量的值离期望值越远。

因此，数学期望值可以通过方差来衡量随机变量的离散程度。

如果随机变量的方差较大，那么数学期望值可能不能很好地反映其平均水平。

通过比较不同概率分布下随机变量的数学期望值和方差，我们可以评估其分布特征的不同，选择适合的概率分布模型来描述随机变量的性质。

此外，数学期望值还在实际问题中具有广泛的应用。

随机变量的期望值计算

随机变量的期望值计算随机变量的期望值是概率论中一个非常重要的概念，它代表了随机变量在一次试验中平均取得的值。

在实际问题中，计算随机变量的期望值可以帮助我们更好地理解随机现象的规律性，为决策提供依据。

本文将介绍随机变量的期望值的计算方法，包括离散型随机变量和连续型随机变量的情况。

一、离散型随机变量的期望值计算对于离散型随机变量X，其取值为有限个或可数个，记为{X1,X2, ..., Xn}，对应的概率分布为{P(X=X1), P(X=X2), ...,P(X=Xn)}。

则X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = X1*P(X=X1) + X2*P(X=X2) + ... + Xn*P(X=Xn)举个例子来说明，假设随机变量X的取值为{1, 2, 3, 4}，对应的概率分布为{0.1, 0.2, 0.3, 0.4}，则X的期望值计算公式为：E(X) = 1*0.1 + 2*0.2 + 3*0.3 + 4*0.4 = 2.8因此，随机变量X的期望值为2.8。

二、连续型随机变量的期望值计算对于连续型随机变量Y，其取值为一个区间[a, b]，概率密度函数为f(y)，则Y的期望值E(Y)的计算公式为：E(Y) = ∫(a到b) y*f(y) dy举个例子来说明，假设随机变量Y的取值在区间[0, 1]上，概率密度函数为f(y) = 2y，求Y的期望值。

则Y的期望值计算公式为：E(Y) = ∫(0到1) y*2y dy = 2∫(0到1) y^2 dy = 2*[y^3/3] (0到1) = 2/3因此，随机变量Y的期望值为2/3。

三、期望值的性质1. 常数性质：对于常数a和b，E(aX + b) = aE(X) + b2. 线性性质：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)3. 非负性质：若X为非负随机变量，则E(X) >= 04. 单调性质：若X <= Y，则E(X) <= E(Y)综上所述，随机变量的期望值是对随机变量取值的一种平均值的度量，通过期望值的计算可以更好地理解随机变量的特征。

概率论中的期望与方差

概率论中的期望与方差概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律和性质。

在概率论中，期望和方差是两个重要的概念，它们用来描述随机变量的特征和分布。

本文将详细介绍概率论中的期望和方差，并探讨其应用。

一、期望期望是概率论中最基本的概念之一，用来描述随机变量的平均值。

对于离散型随机变量，期望的计算公式如下：E(X) = Σ(x * P(X=x))其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X可能取到的值，P(X=x)表示随机变量X取到值x的概率。

对于连续型随机变量，期望的计算公式如下：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X的取值范围，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。

期望可以理解为随机变量在一次试验中的平均值，它可以用来描述随机变量的集中趋势。

例如，假设有一个骰子，它的六个面分别标有1到6的数字。

每个数字出现的概率相同，为1/6。

那么这个骰子的期望就是(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。

这意味着在大量的投掷中，骰子的平均值趋近于3.5。

二、方差方差是概率论中用来描述随机变量离散程度的指标。

方差的计算公式如下：Var(X) = E((X-E(X))^2)其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)表示随机变量X的期望。

方差可以理解为随机变量与其期望之间的差异程度，它可以用来度量随机变量的波动性。

方差越大，表示随机变量的取值在期望附近波动的程度越大；方差越小，表示随机变量的取值相对稳定。

方差的平方根称为标准差，它是方差的一种常用度量方式。

标准差可以帮助我们判断数据的分散程度，通常来说，数据的标准差越大，表示数据的波动性越大。

三、应用期望和方差在概率论中有广泛的应用。

它们不仅可以用来描述随机变量的特征，还可以用来解决实际问题。

1. 随机变量的期望可以用来计算投资的预期回报。

假设某个投资项目有两个可能的结果，分别为正收益和负收益，每个结果发生的概率已知。

概率论与数理统计第一阶段作业答案◆

沈阳铁路局学习中心第一部分：必须掌握的重点理论知识习题。

一、填空：1、设{1,2,3,4,5,6}Ω=，{2,3,4}A =，{3,5}B =，{4,6}C =，那么A B ⋃= {1,2,3,4,6} ，AB = {1,6} ，()A BC = Φ空集。

2、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从二项分布(5,0.6)B ，Y 服从二项分布2(,)N μσ，且()6,() 1.36E X Y D X Y +=-=，则μ=6-5=1 ；σ=根号0.76。

3则α= （1-0.2-0.1-0.25-0.15） 0.3 ，X 的期望()E x = （XP ）0.1 4、离散型随机变量ξ的分布律为P(ξ=k)=2,1,2,3ck k=，则c= 36/49 c(1+1/4+1/9)=1,解得c; 5、从总体X 中抽取样本，得到5个样本值为5、2、3、4、1。

则该总体平均数的矩估计值是___5____，总体方差的矩估计是___15/2____。

6、设两个事件A 、B 相互独立，()0.6P A =，()0.7P B =，则()P A B -= 0.18 ，()P A B -= 0.12 。

7、设随机变量X 服从正态分布(2,16)N -，则{02}P X ≤<= Φ（1）-Φ（0.5），{6}P X ≥-= Φ（1），{22}P x -≥= 1-Φ（1.5）+Φ（0.5）。

8则()E x = 0.05 ，2()E x = 1.75 。

9、离散型随机变量ξ的分布律为P(ξ=k)=.3,2,1,2=k kc，则c= 12/11 10、甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6，0.5。

现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为0.75。

11、设随机事件,A B 及其和事件A B ⋃的概率分别为0.4，0.3和0.6。

若B 表示B 的对立事件，那说明： ①阶段测试作业必须由学生书写完成，打印复印不计成绩。

数学期望

§2.2 随机变量的数学期望每个随机变量都有一个概率分布（分布函数，或分布列、概率密度），这种分布完整地刻画了随机变量取值的统计规律性。

由概率分布可以计算出有关随机变量的各个事件的概率。

此外，概率分布还可以确定随机变量的各种特征数，比如，数学期望、方差、中位数等，这些特征数都是用以刻画随机变量（或其概率分布）的某一方面的特征。

例如，考虑某种元件的寿命，如果知道了寿命X 的概率分布，就可以计算出寿命在任一指定范围内的概率，对这种元件的寿命状况提供了一幅完整图景。

根据这一分布，还可以确定用以反映寿命平均水平的特征数-数学期望，用以刻画寿命值的散布程度（或稳定程度）的特征数-方差.这些特征数虽不能对寿命状况提供完整刻画,但却往往是人们最为关注的一个方面.无论在理论上还是在实用中，这些特征数都有着极重要的意义.尤其是实用中,概率分布虽很“完美”,但难以把握;而特征数则容易把握,并且特征数是以一个“醒目”的数值刻画随机变量的某种特征,是概率分布某个方面的概括，这使得应用方便.一. 数学期望的定义定义设离散型随机变量X 的分布列为i i p x X P ==)(， ,2,1=i如果∞<∑∞=1||i i i p x则称∑∞=1i i ip x 为X 的数学期望，记为)(X E ，即∑∞==1)(i i i p x X E 若级数∑∞=1i i i px 不绝对收敛，则称X 的数学期望不存在。

由以上定义可看出，若X 只取有限个值，则它的数学期望总是存在的。

而若X 取可列个值，则它的数学期望不一定存在，是否存在就看级数∑∞=1i i ip x 是否绝对收敛，这个要求的目的在于使期望值唯一。

因为若无穷级数∑∞=1i i ip x 只是条件收敛，则可通过改变这个级数各项的次序，使得改变后的级数不收敛或收敛到任意指定的值，这意味着这个级数的和存在与否，以及等于多少，与X 的取值的排列次序有关，而)(X E 作为刻画X 取值的平均水平的特征数，具有客观意义，不应与X 的取值的排列次序有关。

标准正态分布的期望

标准正态分布的期望标准正态分布是统计学中非常重要的一种概率分布，它具有许多重要的性质和应用。

在研究标准正态分布时，我们经常会遇到期望这一概念。

期望是一个随机变量的平均值，它是对这个随机变量的一个总体特征的度量，也可以理解为随机变量的加权平均值。

在本文中，我们将深入探讨标准正态分布的期望，包括其定义、性质以及计算方法。

首先，让我们来了解一下标准正态分布。

标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。

它的概率密度函数可以用数学公式表示为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(x\) 表示随机变量的取值，\(e\) 是自然对数的底，\(\pi\) 是圆周率。

标准正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，关于\(x=0\)对称，且曲线下的面积为1。

这意味着标准正态分布覆盖了整个实数轴，且随机变量取值落在某一区间内的概率可以通过计算该区间下的曲线面积来得到。

接下来，我们来谈谈标准正态分布的期望。

对于标准正态分布来说，它的期望值为0。

这是因为标准正态分布是关于\(x=0\)对称的，即曲线的中心在\(x=0\)处。

因此，随机变量在标准正态分布下取正值和负值的概率是相等的，这就导致了期望值为0。

此外，标准正态分布的期望还具有线性性质。

对于任意常数\(a\)和\(b\)以及两个随机变量\(X\)和\(Y\)，我们有：\[E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)\]这意味着对于标准正态分布来说，其期望值在进行线性变换后保持不变。

这一性质在实际应用中具有重要意义，可以帮助我们简化复杂问题的计算过程。

最后，我们来讨论一下如何计算标准正态分布的期望。

由于标准正态分布的期望值已知为0，因此在实际问题中我们通常不需要进行额外的计算。

但是，如果我们需要计算其他正态分布的期望，可以通过线性变换的方法来求解。

具体来说，如果\(X\)服从均值为\(\mu\)，标准差为\(\sigma\)的正态分布，那么可以通过如下公式来计算：\[E(X) = \mu\]这意味着对于正态分布来说，其期望值就是其均值。