高等代数和线性代数
线性代数高等代数知识点总结
一、知识结构框图
概念
性质
行列式 展开 计算
证|A|=0
应用
精品PPT
概念 不同行不同列的元素的乘积的代数和。
性质
经转置行列式的值不变； 互换两行行列式变号； 某行有公因子可提到行列式符号外；
拆成行列式的和； 消法变换。
精品PPT
展开
n
D, 当i j,
aki Akj
k 1
D ij
精品PPT
运算
行 列 式
矩阵
初等变换 和标准形
特殊 矩阵
精品PPT
转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
转置 (AT)T=A
(AT) 1=(A1)T (AT)*=(A*)T
精品PPT
证|A|=0
AX=0有非零解； 反证法；
R(A)<n; A可逆； |A|= - |A|； A的列向量组线性相关； 0是A的特征值；
精品PPT
应用
AX=0有非零解； 伴随矩阵求逆法；
克拉姆法则; A可逆的证明； 线性相关(无关)的判定； 特征值计算。
精品PPT
二、特殊行列式的值
1.三角行列式
精品PPT
本章所需掌握的题型：
行列式计算（重点） 1、具体阶数行列式计算 2、较简单的n阶行列式计算
与行列式定义、性质有关的问题
需利用行列式进行判定的问题 如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况
2、矩阵可逆性 3、向量组相关性（向量个数＝向量维数） 4、两个矩阵相似的必要条件 5、矩阵正定、半正定的必要条件
线性代数高等代数知识点总结
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
24
3. 秩A=秩B
4. A，B的标准型相同
18
多角度看可逆阵
n阶方阵A可逆 AB BA E A 0 (非退化阵) Ax 0 只有零解 Ax b 有唯一解
A的行最简形为E. A为初等阵的乘积
r A n (满秩) A的行(列)向量组的秩都是n.
原向量组一个极大无关组
第一等价链
r( A) n（满秩） A 0 A可逆（非奇异、非退化 ） A的n个行（列）向量线性无 关
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
AX o只有零解 AX b有唯一解
第二等价链
r( A) n（不满秩） A 0 A不可逆（奇异、退化） A的n个行（列）向量线性相 关
本章所需掌握的题型：
行列式计算（重点） 1、具体阶数行列式计算 2、较简单的n阶行列式计算
与行列式定义、性质有关的问题
需利用行列式进行判定的问题 如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况
2、矩阵可逆性 3、向量组相关性（向量个数＝向量维数） 4、两个矩阵相似的必要条件 5、矩阵正定、半正定的必要条件
1. n元线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵 的秩数相等. 具体地，
① 当秩A＜秩(A b)时，方程组无解 ② 当秩A＝秩(A b)＝n时，方程组有唯一解 ③ 当秩A＝秩(A b)＜n时，方程组有无穷解
高等代数1
高等代数高等代数是现代数学中的一门重要学科，它研究的是代数结构的基础和性质。
代数结构是指由一组元素及其相关运算组成的数学系统，如群、环、域等。
高等代数是对线性代数和抽象代数等基础知识的延伸和深化，对于理解现代数学中许多分支都至关重要。
一、线性代数高等代数中最基础的部分是线性代数。
线性代数是代数学中的一个分支，主要研究向量、矩阵以及线性方程组的性质和运算。
线性代数是微积分和微分方程等数学领域必不可少的基础知识，它的应用范围也很广泛，包括了图像处理、信号处理、机器学习等领域。
1. 向量空间向量空间是线性代数中最重要的概念之一，它是由一组向量以及其对应的加法和数乘运算组成的数学结构。
向量可以是实数向量或复数向量，它们具有加法、数乘、向量求和、向量求差等运算。
2. 线性变换线性变换是一种从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它具有线性性质。
线性变换的本质是将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，它可以用矩阵表示，从而得到更方便的运算方式。
3. 矩阵及其运算矩阵是线性代数中常见的数学工具，它具有加法、数乘、矩阵乘法等运算，可以用于解决线性方程组、对称矩阵的特征值和特征向量等问题。
二、抽象代数抽象代数是研究代数结构的基本性质和理论结构的一门学科，它通过对代数结构的抽象和推广，研究了许多重要的代数性质。
抽象代数包括了群论、环论、域论等领域。
1. 群论群是一种有限或无限的、具有代数结构的量，它由一组元素以及合成运算组成。
群具有封闭、结合、单位元和逆元等运算性质，在数学研究中被广泛应用。
群论的应用领域包括了几何学、物理学、密码学等领域。
2. 环论环是一种数学结构，它由一个集合以及两个二元运算（加法和乘法）组成。
环论是研究环以及环上的运算和性质的数学分支，它的应用包括了计算机科学、代数几何学等领域。
3. 域论域是一种具有加法、乘法、加法逆元和乘法逆元等运算的数学结构，它是一个基本的代数结构。
域论是研究域以及域上的运算和性质的数学分支，它在现代数学和理论物理学中都有广泛的应用。
高等数学 高等代数
高等数学高等代数
高等数学高等代数是大学数学中的重要课程，包括了线性代数、矩阵论、向量空间、线性变换等内容。
它是现代数学、物理、工程学等领域的基础课程，具有重要的理论和应用价值。
在学习高等数学高等代数的过程中，学生需要掌握如何解线性方程组、求矩阵的秩、特征值和特征向量、理解向量空间的概念和性质等知识点。
此外，应该注重学习数学的抽象思维和逻辑推理能力，这对于日后在各个领域中解决实际问题具有很大的帮助。
- 1 -。
大学 高等代数 线性代数
复根（重根按重数计算）．
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x ) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根．
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 0 , 证：设 ai R
若 为根，则
f ( ) a n n a n 1 n 1 a 0 0
k 1 , , k s , l1 , , l s Z ,
p 2 4q 0, i 1, 2 r ，即 x 2 pi x qi 为 且
R上的不可约多项式.
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
若 不为实数，则 也是 f ( x ) 的复根，于是
f ( x ) ( x )( x ) f 2 ( x ) ( x 2 ( ) x ) f 2 ( x )
设 a bi ，则
a bi ,
2a R , a 2 b 2 R
此时， f ( x ) 有重根， x 1 为 f ( x )的三重根．
ii) 若 r1 ( x ) 0, t
15 4
0,
即 t 15 , 4
1 2
则
f ( x ), f ( x )
x
此时， f ( x ) 有重根， x 1 为 f ( x )的二重根． 2
例3
举例说明下面命题是不对的．
" 是 f ' ( x )的 n重根 是 f ( x )的 n 1重根 "
1 3 解：令 f ( x ) x x 2 x 5, 则 3
大学 高等代数 线性代数
第二步：对每个指数组 ( k1 , k2 ,L , kn )，写出它对应 第二步： 的初等对称多项式的方幂的乘积： 的初等对称多项式的方幂的乘积：
σ1
k1 − k2
σ2
k 2 − k3
Lσ n
kn
第三步： 第三步：设出 f 由所有初等对称多项式的方幂乘积 的线性表达式， 的首项系数， 的线性表达式，其首项系数即为 f 的首项系数， 其余各项系数分别用A、 、 、 代替． 其余各项系数分别用 、B、C、… 代替．
§1.11 对称多项式
1 0 ϕ 2 = −3σ 12−1σ 2 −0σ 3 = −3σ 1σ 2 令
= −3( x1 + x2 + x3 )( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )
2 2 2 2 2 2 = −3( x1 x2 + x2 x1 + x1 x3 + x3 x1 + x2 x3 + x3 x2 ) − 9 x1 x2 x3
§1.11 对称多项式
证明： 证明：设对称多项式 f ( x1 ,L , xn ) 按字典排列法的
首项为 ax1l1 x2 l2 L xn ln , 则必有
l1 ≥ l2 ≥ L ≥ ln ≥ 0
作对称多项式 则ϕ1 的首项为
ϕ1 = aσ 1
l1 − l2
σ2
l2 − l 3
Lσ n
ln
ax1l1 − l2 ( x1 x2 )l2 − l3 L( x1 x2 L xn )ln = ax1l1 x2 l2 L xn ln
§1.11 对称多项式
例2
3 3 3 f = x1 + x2 + x3 表成初等 用待定系数法把
高等代数II
高等代数II高等代数II是一门高等数学课程，主要研究线性代数、群论和域论等高级代数学的理论和应用。
本文主要介绍高等代数II 中的一些重要概念、定理和应用。
一、线性代数线性代数是高等数学的重要分支，主要研究向量空间、线性变换、特征值与特征向量、正交变换等概念与理论。
这些概念和理论在数学、物理、工程等领域中应用广泛。
下面重点介绍线性代数中的一些重要概念和定理。
1. 向量空间向量空间是一个包含向量加法和标量乘法的集合，满足一些基本的性质，例如加法结合律、交换律、存在零向量，标量乘法分配律、结合律等。
常见的向量空间有欧几里得空间、函数空间、矩阵空间等。
向量空间的基本性质使其能被用来描述几何对象和物理现象。
2. 线性变换线性变换是一种保持向量空间中加法和标量乘法的映射，即对任意向量 $v_1,v_2$ 和标量 $a$，满足$T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$ 和 $T(av)=aT(v)$。
线性变换可以用矩阵来表示，并且矩阵的乘法也是一种线性变换。
线性变换的研究在于寻找其特征值和特征向量，从而可以得到一些重要的性质和应用。
3. 特征值和特征向量在线性代数中，线性变换 $T$ 的特征向量 $v$ 是指在 $T$ 作用下仍保持方向不变的非零向量，即 $T(v)=\lambda v$，其中$\lambda$ 是系数，称为特征值。
一些基本性质表明，每个线性变换都有至少一个特征值和对应的特征向量。
4. 正交变换正交变换是一种保持向量点乘和长度不变的线性变换，即$T(v_1)\cdot T(v_2)=v_1\cdot v_2$ 和 $||T(v)||=||v||$。
常见的正交变换有旋转和镜像变换。
正交变换的特殊性质使其在几何学中应用广泛，例如可以用来计算内积、夹角、曲率等。
二、群论群论是一种研究代数系统的分支学科，主要研究群的结构、子群、同态、同构和群作用等概念和理论。
群是一个集合和映射的组合，满足一些基本的性质，例如结合律、单位元、逆元等。
线性代数高等代数知识点总结
线性代数高等代数知识点总结线性代数和高等代数是数学中重要的两个分支，它们是数学中的基础课程，也是其他学科例如物理学、计算机科学等的基础。
本文将对线性代数和高等代数的主要知识点进行总结。
一、线性代数（Linear Algebra）：线性代数研究向量空间以及向量空间中的线性变换。
它包含以下重要的知识点：1. 向量空间（Vector Space）：向量空间是由向量组成的集合，满足一定的运算规则和性质。
向量空间的定义、性质和例子是线性代数的基础。
2. 线性变换（Linear Transformation）：线性变换是一种保持向量空间线性运算性质的映射。
线性变换的定义、矩阵表示和性质是线性代数的重要内容。
3. 矩阵（Matrix）：矩阵是线性代数中的基本工具，用于表示线性变换和解线性方程组。
矩阵的定义、运算和性质十分重要。
4. 线性方程组（Linear Equation System）：线性方程组是由一组线性方程构成的方程系统。
线性方程组的求解方法、解空间和矩阵表示是线性代数的关键概念。
5. 特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）：特征值和特征向量是线性变换中十分重要的概念，用于描述变换的性质。
特征值和特征向量的定义、计算和应用是线性代数的重点。
6. 内积空间（Inner Product Space）：内积空间是定义了内积操作的向量空间。
内积空间的性质、正交性和投影定理是线性代数的重要内容。
7. 正交性和正交矩阵（Orthogonality and Orthogonal Matrix）：正交性是内积空间中的重要概念，用于描述向量之间的垂直关系。
正交矩阵的性质和应用是线性代数的核心内容。
8. 行列式（Determinant）：行列式是矩阵的一种特殊标量，用于衡量矩阵对线性变换的影响。
行列式的计算、性质和应用是线性代数的重点内容。
9. 线性相关性和线性无关性（Linear Dependence and Linear Independence）：线性相关性和线性无关性用于描述向量或向量组之间的关系。
大学 高等代数 线性代数
其中 ( r2 ( x )) ( r1 ( x )) 或 r2 ( x ) 0 ． 若 r2 ( x ) 0 ，用 r2 ( x ) 除 r1 ( x ) ，得
r1 ( x ) q3 ( x )r2 ( x ) r3 ( x ),
……
如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 即
于是有
u( x ) f ( x )h( x ) v( x ) g( x )h( x ) h( x ) f ( x ) | f ( x )h( x )
又 f ( x ) | g( x )h( x ),
f ( x ) | h( x ).
推论
若 f1 ( x ) | g( x ), f 2 ( x ) | g( x ) ，且
证： " " 显然．
" " 设 ( x )为 f ( x ), g( x ) 的任一公因式，则
( x ) f ( x ), ( x ) g( x ), 从而 ( x ) 1, 又 1 ( x ),
( x ) c, c 0.
故 ( f ( x ), g( x )) 1.
………………
ri 2 ( x ) qi ( x )ri-1 ( x ) ri ( x )
……………… rs 3 ( x ) qs1 ( x )rs 2 ( x ) rs1 ( x )
rs 2 ( x ) qs ( x )rs1 ( x ) rs ( x ) rs1 ( x ) qs1 ( x )rs ( x ) 0
( f ( x )、g( x )) u( x ) f ( x ) v( x ) g( x ).
注:
若仅求 ( f ( x )、g( x )) ，为了避免辗转相除时出现
高等代数与线性代数的区别
高等代数与线性代数的区别
高等代数，又称抽象代数，指研究现实世界各种对象的数量关系和空间形式的学科。
而线性代数则是更为具体地研究矩阵以及线性变换的学科，比如线性方程组，线性不等式组，线性规划，特征值、特征向量等概念都源于矩阵及其线性运算。
高等代数课程内容主要包括三部分：向量空间、线性方程组与矩阵、行列式。
以往教材的基本内容主要是集中在行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、线性空间等方面，由于近几十年计算机技术的飞速发展，为高等代数学习带来了全新的面貌，使得许多过去用的较少的内容重新回到高等代数课程中，并作为一个单独的课程编入数学类专业的教学计划，在大学数学教学中起着非常重要的作用。
4.矩阵：(1)
近年来，由于矩阵论的迅猛发展，与矩阵密切相关的许多问题，如矩阵的微分，矩阵的逆及其应用，矩阵函数，广义逆矩阵，以及二次型等已成为当前研究的热点，而这些问题恰恰也是代数、分析及其他各种数学分支的基础，因此，有关矩阵的内容将日益成为高等代数课程中的一个重要部分。
(2)矩阵的运算及其基本性质：矩阵的加法及乘法;矩阵的初等变换;矩阵的秩与逆矩阵;矩阵的等价;矩阵的条
件数;矩阵的转置。
5.线性空间与向量空间的一些关系;(1)线性空间的线性相关与
线性无关;(2)线性空间的同构;(3)向量空间的线性相关与线性无
关;(4)向量空间的直和;(5)向量空间的线性表示;(6)向量空间的内
积;(7)两个向量空间的同构;(8)子空间与商空间;(9)向量空间的维数;(10)两个向量空间的正交;(11)基，基变换;(12)两个向量空间之间的一一对应。
6.多元方程组解的性质：(1)线性相关;(2)线性无关;(3)向量和多元线性无关组;多元线性相关。
高等代数与线性代数的区别
高等代数与线性代数的区别高等代数是为数学专业课开放的一种专业课程，其中包含了一些特定领域上的线性空间线性变换，以及矩阵和线性代换之间的转换，其中还包含了多项列式等一些代数运算的法则。
而我们通常说的线性代数，更注重的是行列数、矩阵以及相对应的变换，对于线性方程组、二次变换的具体概念进行详细的介绍。
对于工科类的大学生来说，线性代数和高等代数是他们在大学生涯中必须要学会的一门必修课，并且线性代数和高等代数是不允许挂科的。
对于文科类的专业以及大学来说，是不需要学习线性代数和高等代数的，所以对于文科类的专业和学校来说，她们是不存在线性代数和高等数学的。
那么现在问题就来了，线性代数和高等代数之间到底有什么样的区别呢？其实在各大高校的理工科类专业面世的高等数学和高等代数，其实都就是一两件事，高等代数和线性代数这种用法主要就是依据苏联的特色去命名的，在欧美国家就是没“高等”教育这种观点的，由于我国中国数学受了苏联的影响，所以在命名以及开学方面，我们都大部分承继了他们的课程命名方式，所以也就是为什么我们可以存有“高等代数”和“线性代数”的原因。
高等代数就是为数学专业课对外开放的一种专业课程，其中涵盖了一些特定领域上的线性空间线性变换，以及矩阵和线性赋值之间的切换，其中还涵盖了多项列式等一些代数运算的法则。
而我们通常说的线性代数，更注重的是行列数、矩阵以及相对应的变换，对于线性方程组、二次变换的具体概念进行详细的介绍。
相对于线性代数来说，线性代数更注重的是学生进行动笔操作的计算，但是高等代数一般注重的是在所谓的学术研讨领域进行的空间以及线性领域的辩论，所以从本质上来说，高等代数和线性代数是不一样的。
并且，如果自学过高等代数和线性代数的人都会晓得，高等代数这门课程远远必须比线性代数这门课程难得多，高等数学这门课程我们都晓得，这就是专门为工科类的专业搞的一门学科，但是工科类的人并不一定会研习过高等代数，原因就是高等代数的难度系数比较低，并且高等代数的难度系数远远低于线性代数的难度系数。
什么是线性代数
④ 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。
线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡 矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点．1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。
高等代数 教材
高等代数教材
高等代数是一门重要的数学学科，涵盖了线性代数、群论、环论和域论等内容。
这门学科对于数学、物理、工程、经济学等学科都具有重要的应用价值。
一本好的高等代数教材应该包含以下内容：
1. 线性代数：矩阵、向量、行列式、特征值和特征向量等基础知识，矩阵的运算、矩阵的秩、线性方程组的解法等。
2. 群论：群的定义、群的性质、同态映射、群的分类、群的子群、置换群等内容。
3. 环论：环的定义、环的性质、整环、域、多项式环等。
4. 域论：域的定义、域的性质、扩域、代数扩张、Galois理论等。
此外，教材还应该包含丰富的例题和习题，以帮助学生巩固和加深对知识点的理解和掌握。
同时，教材还应该注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，以及对数学美感的感受和理解。
综上所述，一本优秀的高等代数教材应该涵盖广泛的内容，注重理论和实践的结合，同时能够激发学生的兴趣和学习热情。
- 1 -。
《高等代数》数分高代定理大全
《高等代数》数分高代定理大全高等代数是数学中一个非常重要的分支，它涉及到了许多数学原理和定理。
在学习高等代数的过程中，我们需要掌握许多重要的定理。
下面就为大家总结了一些常见的高等代数定理，希望对大家的学习有所帮助。
一、数学分析定理1. 极值定理对于一个连续的函数，如果它在闭区间上取得了最大值或最小值，那么这个值一定在该区间的端点或者在各个极值点上取得。
2. 一致连续定理如果一个函数在一个闭区间上是连续的，并且在区间内有一个点使得它的导数存在（可以是右导数或左导数），那么在这个点的右侧或左侧，函数的变化率等于斜率。
4. 洛必达定理5. 泰勒公式如果一个函数在一个点处具有若干阶导数，那么在这个点对它进行泰勒展开，可以得到该函数的一个逐项可积的幂级数展开式。
6. 泊松公式如果一个函数在一个区域内具有若干阶连续可导性，那么它的积分可以用线积分来表示，其中线积分的路径是一个围绕这个区域的简单闭合曲线。
7. 空间曲面的高斯-斯托克斯定理在三维空间中，一个曲面的面积可以用它围绕的曲线的线积分来表示，还可以用它内部的某个向量场的散度来表示。
如果一个函数列在一个闭区间内均一致连续，并且它在这个区间的每个点处都有界，那么这个函数列就一定在这个区间内一致收敛。
二、线性代数定理1. 矩阵的转置一个矩阵的转置就是将该矩阵的每一行变为该矩阵的每一列，或者将该矩阵的每一列变为该矩阵的每一行。
2. 逆矩阵一个n阶方阵A的逆矩阵是一个n阶方阵B，它满足AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵。
3. 矩阵行列式一个n阶方阵A的行列式是一个实数或复数，它等于所有由A中n个元素排成的n!个积的代数和。
一个矩阵的秩是指该矩阵的非零子式的最大阶数。
5. 奇异矩阵和非奇异矩阵如果一个方阵的行列式为0，那么该矩阵称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
6. 矩阵的特征值和特征向量一个矩阵的特征值是指该矩阵减去一个常数倍的单位矩阵后所得到的行列式等于0的那些常数。
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《高等代数》
课程教学大纲
（课程代码：）
本课程教学大纲由数学与统计学院高等数学教学部讨论制订，数学与统计学院教学工作委员会审定，教务处审核批准。
一、课程基本信息
课程名称：高等代数课程代码：
课程类别：专业核心课程
适用专业：小学教育（数学）
课程修读性质：必修先修课程：中数学
学分：6学分学时：90学时
2
线性方程组和向量
1.消元法
课程目标2
重点：
1.线性相关性
2.矩阵的秩
3.线性方程组的解的判定
4.线性方程组解的结构
难点：
5.线性相关性
讲授法
24
2.向量空间
课程目标2
3.线性相关性
课程目标2
4.矩阵的秩
课程目标2
5.线性方程组的解的判定
课程目标2
6.线性方程组解的结构
课程目标2
3
矩阵
1.矩阵的运算
学时
1
行列式
1.排列
课程目标1
重点：
1.行列式的基本概念和性质
2.行列式的计算
3.行列式按一行（列）展开
难点：
5.行列式的计算
6.行列式按一行（列）展开
讲授法
18
2.低阶行列式
课程目标1
3.行列式的基本概念和性质
课程目标1
4.行列式的计算
课程目标1
5.行列式按一行（列）展开
课程目标1
6.克拉默法则
课程目标1
课程目标5
教学方法
本课程主要采用讲授法，结合多媒体课件提高讲课效率。
四、课程考核
（一）考核内容与考核方式
课程目标
考核内容
所属
学习模块/项目
考核占比
考核方式
课程
目标1
1.排列
2.低阶行列式
3.行列式的基本概念和性质
4.行列式的计算
5.行列式按一行（列）展开
6.克拉默法则
1
25
课程目标2
1.消元法
2.向量空间
（3）阶段性测验（10分）：学生在平时测试、测验中掌握课程的情况；
2.期末成绩评定
期末闭卷考试，主要考查学生对微积分的基本概念、思想方法和技巧的掌握程度。
3.总成绩评定
总成绩（100%）=平时成绩（40%）+期末成绩（60%）
五
（一）教材选用
高等代数（第五版），高等教育出版社，北京大学数学力学系，2019
3.2具有良好的人文和自然科学理论修养、健康的审美观、体育与健康知识
课程目标3
核心素养
3.1具备小学生发展知识、教育教学知识，了解中国教育的基本情况。
3.2具有良好的人文和自然科学理论修养、健康的审美观、体育与健康知识
课程目标4
核心素养
3.1具备小学生发展知识、教育教学知识，了解中国教育的基本情况。
课程目标3
重点：
1.矩阵的运算
2.矩阵的可逆性
难点：
3.矩阵的分块
讲授法
24
2.矩阵的运算与行列式和秩的关系
课程目标3
3.矩阵的可逆性
课程目标3
4.矩阵的分块
课程目标3
5.初等矩阵
课程目标3
4
二次型
1.二次型的基本概念和矩阵
课程目标4
重点：
1.标准型
2.二次型的正定性
难点：
3.二次型的正定性
讲授法
12
2.矩阵的特征值和特征向量
3.矩阵的对角化
4.实对称矩阵的对角化
5
15%
（二）
1.平时成绩评定
（1）课堂表现（10分）：通过学生在课堂上的表现情况、发言与提问情况，来评价学生相关的能力。
（2）作业完成情况（20分）：围绕课程的学习目标进行作业的设计。如让学生简述对知识的认识，考核学生对于概念的理解情况，帮助学生将定义转化为自己的理解。
二、课程目标
本课程支撑专业毕业要求3，具体目标如下：
目标1：理解数域、排列、逆序数等基本概念。熟练掌握二阶、三阶行列式的计算；理解行列式的概念和性质；掌握行列式的基本计算方法和技巧；理解行列式按一行（列）展开的理论。理解克拉默法则。【毕业要求3，核心素养】
目标2：掌握消元法研究方程组解以及解方程组的方法；掌握向量的线性运算和线性结构；理解线性组合、线性表示和向量组等价的概念和性质；掌握向量的线性相关性的概念和性质；掌握向量的极大线性无关组和秩，理解矩阵的秩的概念和判别法，理解矩阵等价的概念和性质；掌握线性方程组的解的判定方法；掌握线性方程组解的结构。【毕业要求3，核心素养】
目标5：掌握向量的内积、正交、长度、夹角等基本概念；理解矩阵的特征值和特征向量的基本概念和基本性质；掌握求解矩阵的特征值和特征向量的方法；理解矩阵相似的概念和相关性质；理解矩阵相似对角化的原理和方法；掌握通过特征向量将矩阵相似对角化的方法；理解实对称矩阵的特征向量的特点以及通过正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法。【毕业要求3，核心素养】
2.标准型
课程目标4
3.唯一性
课程目标4
4.二次型的正定性
课程目标5
5
矩阵的特征值与特征向量
1.向量的内积、正交等
课程目标5
重点：
1.矩阵的特征值和特征向量
2.矩阵的对角化
3.实对称矩阵的对角化
难点：
4.实对称矩阵的对角化
讲授法
12
2.矩阵的特征值和特征向量
课程目标5
3.矩阵的对角化
课程目标5
4.实对称矩阵的对角化
线性代数（第六版）；高等教育出版社；同济大学应用数学系；2014年。.
（二）主要参考书
[1]高等代数学,姚慕生，吴泉水，谢启鸿,复旦大学出版社,上海，2014.
[2]线性代数及其应用,Lay,机械工业出版社，北京，2005.
课程目标与专业毕业要求的关系
课程目标
支撑的毕业要求
支撑的毕业要求指标点
课程目标1
核心素养
3.1具备小学生发展知识、教育教学知识，了解中国教育的基本情况。
3.2具有良好的人文和自然科学理论修养、健康的审美观、体育与健康知识
课程目标2
核心素养
3.1具备小学生发展知识、教育教学知识，了解中国教育的基本情况。
目标3：掌握矩阵的运算和运算律；理解矩阵的运算与行列式和秩的关系；掌握矩阵的可逆性的判断和性质；掌握矩阵的逆的计算和伴随矩阵；掌握初等矩阵的基本概念以及初等矩阵与矩阵的初等变换的关系；了解分块矩阵的概念和运算。【毕业要求3，核心素养】
目标4：理解二次型的概念和二次型的矩阵以及秩的概念；掌握二次型的非退化线性替换的概念以及通过它化简二次型的方法；理解二次型的标准型和规范型的概念；掌握把二次型化为标准型和规范型的方法；掌握矩阵合同的概念和判别方法；掌握二次型和矩阵的正定的概念和判别法；了解二次型半正定、负定和半负定的概念和判别。【毕业要求3，核心素养】
3.2具有良好的人文和自然科学理论修养、健康的审美观、体育与健康知识
课程目标5
核心素养
3.1具备小学生发展知识、教育教学知识，了解中国教育的基本情况。
3.2具有良好的人文和自然科学理论修养、健康的审美观、体育与健康知识
三、课程学习内容
（一）理论学习内容及要求
序号
课程模块
学习内容
课程目标
学习重点难点
教学方法
3.线性相关性
4.矩阵的秩
5.线性方程组的解的判定
6.线性方程组解的结构
2
25%
课程目标3
1.矩阵的运算
2.矩阵的运算与行列式和秩的关系
3.矩阵的可逆性
4.矩阵的分块
5.初等矩阵
3
20%
课程
目标4
1.二次型的基本概念和矩阵
2.标准型
3.唯一性
4.二次型的正定性
4
15%
课程目标5
1.向量的内积、正交等