浙江省名校协作体2021-2022学年高二下学期开学考试数学Word版含解析
2023-2024学年浙江省名校协作体高二下学期2月月考数学试题及答案
2023学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．抛物线24x y =的准线方程为（ ） A ．1x =− B ．2x =−C ．1y =−D ．2y =−2．数列1，53，52，175，…的通项公式可能是（ ） A ．211n n a n +=+ B ．211n n a n +=+C ．221n n a n =−D ．221n n a n−=3．已知直线1l ：10mx y ++=，2l ：()3230x m y m +++=，若12l l ∥，则m 的值为（ ） A ．1B ．－3C ．1或－3D ．－1或34．已知两条直线m ，n α，β，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ∥且n α⊂，则m α∥ B ．若m α∥且n α⊂，则m n ∥ C ．若m α⊥且n α⊂，则m n ⊥D ．若αβ⊥且m α⊂，则m β⊥5．已知点()4,2P −和圆Q ：()()224216x y −+−=，则以PQ 为直径的圆与圆Q 的公共弦长是（ ）A ．B ．C ．D ．6．江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽AB =水面上升5米，则水面宽为（ ）A ．米B ．C ．米D ．30米7．在正三棱台111ABC A B C −中，111132A B AA AB ===，11A B AB O = ，则异面直线OC 与1BC 所成角的余弦值是（ ） A ．13BCD ．238．如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==，记1OA ，2OA ，…，n OA 的长度构成的数列为{}n a ，则202411i ia =∑的整数部分是（ ）A ．87B ．88C ．89D ．90二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分．9．已知向量()1,2,0a =− ，()2,4,0b =−，则下列正确的是（ ）A ．a b ∥B ．a b ⊥C ．2b a =D ．a 在b方向上的投影向量为()1,2,0−10．若正项数列{}n a 为等比数列，公比为q ，其前n 项和为n S ，则下列正确的是（ ） A ．数列21n a是等比数列 B ．数列{}lg n a 是等差数列 C ．若{}n a 是递减数列，则01q <<D ．若13n n S r −=−，则1r =11．如图所示，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则（ ）A ．A ，B 两点的纵坐标之和为常数 B ．在直线l 上存在点P ，使90APB ∠>°C ．A ，O ，1B 三点共线D ．在直线l 上存在点P ，使得APB △的重心在抛物线上12．在正三棱锥S ABC −中，SA ，SB ，SC 两两垂直，2AB =，点M 是侧棱SC 的中点，AC 在平面α内，记直线BM 与平面α所成角为θ，则当该三棱锥绕AC 旋转时θ的取值可能是（ ） A ．53°B ．60°C ．75°D ．89°非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过()0,2A ，()1,0B −两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______． 14．已知数列{}n a 为等比数列，163a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，当n T 取最大值时，n =______．15．已知某圆锥底面直径与母线长之比为6:5，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于______． 16．已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，两顶点为A ，B ，双曲线C 上一点P 满足3PA PB =，则tan APB ∠=______． 四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，749S =，59a =． （Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若3S 、118S S −、k S 成等比数列，求k 的值．18．已知圆C 的圆心在直线25y x =+上，且过()2,4A −，()2,6B 两点． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知l ：()()()131510m x m y m ++−−+=，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值． 19．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C −，底面ABC △是正三角形，12AA AB ==，11A AB A AC ∠=∠，点N 是棱11B C 的中点，AN =．（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥；（Ⅱ）求平面1A AN 与平面ANB 的夹角的余弦值．20．已知点F 为抛物线C ：()2201y px p =<<的焦点，点()0,1A x 在抛物线C 上，且54AF =． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k ⋅=−，求证：直线l 过定点．21．已知数列{}n a 满足12a =，()()*111pn n na n pa a +−=∈+−N ． （Ⅰ）若0p =，求数列{}3n n a ⋅的前n 项和n S ； （Ⅱ）若1p =，设数列1n a的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<．22的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b −=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B ．（Ⅰ）求双曲线1C 的方程；（Ⅱ）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ=<<，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S ，2023学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：柯桥中学 次命题兼审校：丽水中学 审核：瑞安中学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B8．解析：由题意知，1122311n n OA A A A A A A −===⋅⋅⋅==且12OA A △，23OA A △，…，1n n OA A −△都是直角三角形，所以11a =，且2211n n a a −=+，所以数列{}2na 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()202421111111n i i a n n a ==+−×==∑∵11118911+<++−< ，∵12881++>− ，即188891<++< ， 所以所求整数部分都是88，故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．ACD 10．ABC 11．CD 12．AB12．当BM 与平面α平行时，cos 1θ=；由最小角定理，直线与平面所成的角是直线与平面内的线所成角中最小的角，所以θ小于等于BM 与AC 所成的角，分别取SC ，SA 的中点M ，N ，连接MN ，BM ，BN ． 在BMN △中，BM BN ==1MN =，得cos BMN ∠，故cos θ∈． 因为()cos 75cos 4530°=°+°=1cos 602°=，12<<，所以075θ°≤<°． 故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 14．6 15．32π9 16．4316．解析：不妨设双曲线C 的方程为()2220x y aa −=>，A ，B 为左右顶点．设(),P x y ，因为3PA PB =，所以()()222299x a y x a y ++=−+，化简得：222502x ax y a −++=， 则222222502x y a x ax y a −= −++=，解得5434x a y a= =±，所以53,44P a a ± ， 作PD x ⊥轴于D ．()13tan tan 43tan tan 11tan tan 3133APD BPD APB APD BPD APD BPD −∠−∠∠=∠−∠===+∠⋅∠+×．四、解答题（共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解析：（Ⅰ）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由749S =，59a =，所以715176749249S a d a a d ×=+==+= ， 解得121d a == ，所以21n a n =−，则()21212nn n S n +−==． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知2339S ==，11857S S −=，2k S k =， 又3S 、118S S −、k S 成等比数列，所以()21183k S S S S −=⋅， 即22579k =×，解得19k =或19k =−（舍去）．18．解析：（Ⅰ）方法一：设圆心C 的坐标为(),a b ，则25b a =+， 又CA CB =，则即250a b +−=，得0a =，5b =，所以圆C 的半径AC r==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）．方法二：AB 的中点坐标为()0,5，12AB k =，则AB 的中垂线方程为25y x =−+． 则2552y x y x =+ =−+ ，解得05x y = = ，所以圆心C 的坐标为()0,5，所以圆C的半径AC r ==，所以圆C 的方程是()2255x y +−=（或2210200x y y +−+=）． （Ⅱ）设圆心C 到直线的距离为d ， 由题意可得d，平方整理后可得251890m m −+=，解得35m =或3m =． 19．解析：（Ⅰ）取BC 的中点M ，连接AM ，1A B ，1AC ，1A M ， ∵三棱柱111ABC A B C −中，AB BC CA ==，∴AM BC ⊥，又∵11A AC A AB ∠=∠，∴11A AB A AC △≌△，∴11A B A C =，∴1A M BC ⊥， 又1A M AM M = ，∴BC ⊥面1AA M ，∴1BC AA ⊥． （Ⅱ）方法一：连接MN ，在AMN△中，AN =，AM =2MN =，即cos AMN ∠150AMN ∠=°．如图建系，)A，()0,1,0B，()N ，有)1,0BA=−，()AN =−，设面ABN 的法向量为(),,n x y z = ，则00y z −=−+=，解得面ABN 的一个法向量(n =，面1AA N 的一个法向量()0,1,0m =，∴cos ,n m n m mn ⋅==所以平面1A AN 与平面ANB（Ⅱ）方法二：连接MN ，在AMN △中，AN =，AM =2MN =，即222cos 2AM MN AN AMN AM MN +−=∠⋅150AMN ∠=°． 作MF AN ⊥于F ，连BF ．因为BC ⊥平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以AN BC ⊥，又BC MF M = ， 所以AC ⊥平面BMF ，BF ⊂平面BMF ，所以AN BF ⊥， 所以BFM ∠为二面角B AN M −−的平面角． 在AMN △中，11sin15022AN FM AM MN =°，得FM =则BF，所以cos FM BFM BF ∠=． 所以平面1A AN 与平面ANB20．解析：（Ⅰ）由题意得：0052421p x px+== ，解得0121p x = = ，或0214p x = = （舍去），所以抛物线C 的方程为2y x =． （Ⅱ）方法一：（1）当直线l 斜率存时，设直线l ：()0y kx m k =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，则2y x y kx m = =+ ，消去x ，整理得20ky y m −+=，则140km ∆=−>，121y y k +=，12m y y k⋅=， 而()()()121212121212111111111y y k k x x y y y y y y −−⋅=⋅==−−+++++112k m k =−=++，整理得310m k ++=，所以13m k =−−， 所以直线l ：()1331y kx k k x =−−=−−，所以直线l 过定点()3,1−． （2）当直线l 斜率不存时，设直线l ：()0,1x m m m =>≠，则(M m，(,N m，则121112k k m −⋅==−−，得3m =， 所以直线l ：3x =，则点()3,1−在直线l 上． 综上：直线l 过定点()3,1−．（Ⅱ）方法二：设()211,M t t ，()222,N t t ，则()()1212221212111111112t t k k t t t t −−=−=⋅=⋅−−++， 则()12123t t t t =−−+，直线l 的方程为()221112221t t y t x t t t −−−=−， 则()()12121212212121311131t t t t x yx x t t t t t t t t t t −−+−−=+==++++++， 所以直线l 过定点()3,1−． 21．解析：（1）当0p =时，则111n na a +−=，得11n n a a +−=，所以11n n a a +−=， 所以数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列． 所以()2111n a n n =+−×=+，则()313nn n a n ⋅=+⋅，所以()2323334313nn S n =×+×+×+++⋅ ，()2341323334313n n S n +=×+×+×+++⋅ ，两式相减得()234126333313nn n S n +−=+++++−+⋅()()21131361313n n n −+×−−+⋅=+−，所以1321344n n n S ++=−+⋅． （Ⅱ）当1p =时，由111n n na a a +−=−，得211n nn a a a +=−+， 所以()2212110n n n n n a a a a a +−=−+=−>，所以数列{}n a 单调递增，因为12a =，所以2n a ≥， 又由111n n na a a +−=−，可得()111n n n a a a +−=−， 所以()11111111n n n n n a a a a a +==−−−−，即111111n n n a a a +=−−−， 则1212231111111111111111111111n n n n n T a a a a a a a a a a a ++ =+++=−+−++−=− −−−−−−−− ， 所以1111n n T a +=−−，易知1111n a + − −为递增数列，且23a =，所以21111111211n a a +=−≤−<−−，即：112n T ≤<． 22．解析：（Ⅰ）由题意得：2222c a c a b a = += =，解得b =，所以双曲线1C 的方程为22143x y −=．（Ⅱ）方法一：设直线AP ：()0022y yx x ++，()11,D x y ， 则()0022223412y y x x x y =++ +=，消y 得：()()()2222000222000416163120222y y y x x x x x −=+++ +++ ，得：()()220012200161222324y x x y x −+−=++， 又因为()00,P x y 在双曲线上，满足2200143x y −=，即22004312y x =−，所以()()()()()()2222000001222200000008626246224246232432312y x x x x x x x x x y x x −+−−+−+−−====+++++−，即104x x =． 同理设直线BP ：()0022y yx x −−，()22,E x y ，可得204x x =，所以04Q x x =． 因为20Q x x λ=，所以2004x x λ=，因为00x >，所以02x λ=． 把02x λ=代入双曲线方程得2204143y λ−=，解得0y =，则点2P λ． 设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP∠+∠=°，所以sin sin BDP ADB ∠=∠．12BP r ABr ==．因为102λ<<，所以12λ>+∞． （Ⅱ）方法二：设直线DE ：x ty m =+，()11,D x y ，()22,E x y ， 则223412xty m x y =++=，消x 得：()2223463120t y tmy m +++−=， 所以122634tmy y t −+=+，212231234m y y t −=+，得()2122142m y y y y mt −=+， 因为P ，A ，D 三点共线，则011022y y x x =++，因为P ，B ，E 三点共线，则022022y y x x =−−，两式相除得()()120212222y x x y x x −−=++， 而()()()()()()()()()()()()2121211212121221122122422222222422m y y m m y y x y ty m ty y m y y x y ty m ty y m y m y y m m y−++−−+−+−===+++++−+++()()()()()()121222222222m m y m y mmm m y m y −++−− =+ +++−． 因为20Q x x λ=，所以20m x λ=．因为002222x m m x −−=++，所以2002002222x x x x λλ−−=++，得02x λ=， 把02x λ=代入双曲线方程得2204143yλ−=，解得0y =，则点2P λ． 设DBP △与ABD △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得12sin PB r BDP=∠，22sin AB r ADB=∠，因为180ADB BDP ∠+∠=°，所以sin sin BDPADB ∠=∠，12BP r ABr ==，因为102λ<<，所以12λ>+∞．。
浙江省名校协作体2022-2023学年高二下学期联考数学试题含解析
2022学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知()1,2,3A -，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是（）A.()1,2,3-- B.()1,2,3 C.()1,2,3- D.()1,2,3--【答案】B 【解析】【分析】根据坐标平面的对称性求解．【详解】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是(1,2,3)，故选：B ．2.与双曲线2214x y -=有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（）A.22194x y += B.22149x y +=C.22196x y += D.22169x y +=【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，结合椭圆长轴长和,,a b c 的关系可得椭圆方程.【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为：()，∴椭圆焦点在x 轴上，且c =，又长轴长为6，即26a =，3a ∴=，2224b a c ∴=-=，∴椭圆方程为：22194x y +=.故选：A.3.在数列{}n a 中，425a =2=，则6a =（）A.121B.100C.81D.64【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得数列是公差为2的等差数列，即可得到结果.2=2=，故数列是公差为2的等差数列，因为425a =22449=⨯=+=，则681a =.故选：C4.直线10x y +-=与圆()2224x y -+=的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离判断即可.【详解】由()2224x y -+=可知圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线的距离22d ==<，故直线与圆相交.故选：B5.正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“2021202320222S S S +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用数列前n 项和的意义，正项等比数列的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，2021202320222023202220222022201232022S S S S S S S a a +⇔>>->⇔-，而{}n a 是公比为q 的正项等比数列，因此20232022202220221a a a q a q >⇔>⇔>，所以“1q >”是“2021202320222S S S +>”的充要条件.故选：C6.已知抛物线22y px =，点()1,2A 在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于B 、C 两点．直线AB 、AC 的斜率分别记为1k ，2k ，则1211k k +的值为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由点坐标求得p ，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，此结论代入1211k k +后化简可得．【详解】由题意2221p =⨯，2p =，抛物线方程为24y x =，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，由24y x y x m⎧=⎨=+⎩得2440y y m -+=，16160m ∆=->，1m <，124y y +=，124y y m =，1212242x x y y m m +=+-=-，2212121212()()()x x y m y m y y m y y m m =--=-++=，所以12122112121211(1)(2)(1)(2)1122(2)(2)x x x y x y k k y y y y ----+--+=+=----211212121212()2()42()4x y x y y y x x y y y y +-+-++=-++2112()()2(42)44x m x x m m m x +++--=-12122()8444x x m x x m m ++-+=-22(42)8444m m m m m +--+=-88244m m -==-．故选：B ．7.已知长方体1111ABCD A B C D -，其中1AA =，AB AD ==P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E 且PA PE =，设1A P 与平面ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值为（）A.π4B.π2C.π6 D.π3【答案】D 【解析】【分析】确定1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，不妨设PA PE x ==，求出PC ，利用PA PC AC +≥求得x 的最小值，再由1tan AA APθ=得θ的最大值．【详解】1AA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面ABCD ，所以1AA PA ⊥，又1PE A C ⊥，PA PE =，所以1PAA 1PEA ≅!，11A E AA ==1AC ==11EC AC A E =-=所以P 点轨迹是对角线1AC 的中垂面与底面ABCD 的交线，为一条线段．由1AA ⊥平面ABCD 知1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，不妨设PA PE x ==，则1A P =，PC =，PA PC x AC +=≥=得3x ≥，2tan xθ=≤π3θ≤，即θ的最大值为π3，故选：D ．8.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的面积为1，把图①，图②，图③，图④，……的面积依次记为1234,,,,S S S S ⋅⋅⋅，则满足()*3N 2n S n ≥∈的n 最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，由图形归纳出113n n a a -=，14n n b b -=，21134n n n n S S b a --=+⨯．由累加法结合等比数列前n 项和公式得求得n S 的表达式，从而得出结论．【详解】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ．由图形作法可知113n n a a -=，14n n b b -=，21134n n n n S S b a --=+⨯．即2221112122121333,,,444n n n n n n n n S S a b S S a b S S a b -------=⋅-=⨯⋅⋅⋅⋅-=⨯⋅利用累加法可得()22211122134n n n n n S S a b a b a b ----=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅因为数列{}n a 是以13为公比的等比数列，数列{}n b 是以4为公比的等比数列，所以{}21n n a b -⋅是以49为公比的等比数列．因为11S =，即21314a =，此时2133a =，224327a =，13b =，所以112212221122144131994519n n n n n n a b a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅==-，所以1834559n n S -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．由183435592n n S -⎛⎫=-⨯≥⎪⎝⎭，得4n ≥．所以n 的最小值是4.故选：C ．【点睛】方法点睛：记第n 个图形为n P ，相应量用一个数列表示，如本题中三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，然后由前后两个图形根据归纳推理得出数列的递推关系，再结合数列知识求解．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，50a =则（）A.370a a += B.280a a <C.100S = D.当且仅当4n =时，n S 取最大值【答案】AB 【解析】【分析】由等差数列的性质可判断A ，B ，D ；由等差数列的前n 项和公式可判断C .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37520a a a +==，故A 正确；因为10a >，50a =，()()2222855533990a a a d a d a d d =-+=-=-<，故B 正确；因为10a >，50a =，所以0d <，故60a <，()()11010566105502a a S a a a +==+=<，故C 错误；由10a >，50a =可知，1234,,,0a a a a >，50a =，67,,0a a < ，故4,5n =时，n S 取最大值，故D 错误.故选：AB .10.已知直线l ：10mx y m +--=，m ∈R 和圆O ：224x y +=，下列说法正确的是（）A.直线l 与圆O 可能相切B.直线l 与圆O 一定相交C.当1m =时，圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1D.直线l 被圆O 截得的弦长存在最小值，且最小值为2【答案】BC 【解析】【分析】由直线方程得出直线l 过定点(1,1)P ，它在圆内，由此易得直线与圆的位置关系，可判断AB ，由PO =利用到直线l 的距离为1的直线与圆的位置关系判断C ，由直线l 与PO 垂直时，弦长最小判断D ．【详解】由直线l 方程知直线l 过定点(1,1)P ，又221124+=<，因此P 在圆O 内部，所以直线l 一定与圆O 相交，A 错，B 正确；1m =时，圆心(0,0)O 到直线l的距离为2d ==<12>，因此与直线l 距离为1的两条直线，一条与圆O 相交，一条与圆O 相离，所以圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1，C 正确；又PO =l 与PO垂直时，弦长为=l 被圆O 所截得的弦长的最小值为，D 错．故选：BC ．11.设M 为双曲线C ：2213x y -=上一动点，1F ，2F 为上、下焦点，O 为原点，则下列结论正确的是（）A.若点()0,8N ，则MN 最小值为7B.若过点O 的直线交C 于,A B 两点（,A B 与M 均不重合），则13MA MB k k =C.若点()8,1Q ，M 在双曲线C 的上支，则2MF MQ +最小值为2D.过1F 的直线l 交C 于G 、H 不同两点，若7GH =，则l 有4条【答案】BCD 【解析】【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.【详解】由双曲线C ：2213x y -=，得12(0,2),(0,2)F F -，设()00,M x y ，则MN =，当且仅当02y =时取等号，所以MN 最小值为，故A 错误；设,A B 两点坐标分别为11(,)x y ，11(,)x y --，所以2201010122010101MA MBy y y y y y K K x x x x x x +--=⋅=+--，又因为222201133,33x y x y =-=-，所以2222010122220101133(33)3MA MBy y y y K K x x y y --===----，故B 正确；211222MF MQ MF MQ QF +=++≥+=+，故C 正确；由双曲线C ：2213x y -=，可得通径长为2267b a=<，且实轴长227a =<，所以这样的直线l 有4条，故D 正确.故选：BCD12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为边AB ，CD ，DA 的中点，P ，Q 分别为线段1BB ，1C D 上的动点，下列结论正确的是（）A.BD 与1D F 所夹角的余弦值为10B.二面角11A BD A --的大小为3πC.四面体11A D PF 的体积的最大值为43D.直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹长度为2【答案】ABC 【解析】【分析】由11//BD B D 得出异面直线所成的角，由余弦定理计算后判断A ，设1A D ，1AD 交于K ，证明1A K ⊥平面1ABD ，根据定义作出二面角的平面角，计算后判断B ，利用平行线性进行体积转换后，111111*********333F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤!!!，从而求得体积的最大值判断C ，作出直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹线段MN （如图）由余弦定理计算出线段长判断D ．【详解】A ．因为1BB 与1DD 平行且相等，所以11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，从而11B D F ∠是异面直线BD 与1D F 所成的角或其补角，在正方体中，1D F =，11D B =，13B F =，1110cos 10B D F ∠==．A正确；B ．设1A D ，1AD 交于K ，则11A K AD ⊥，由AB ⊥平面11ADD A ，1A K ⊂平面11ADD A ，得1AB A K ⊥，而1,AB AD ⊂平面1ABD 且1AB AD A = ，所以1A K ⊥平面1ABD ，1BD ⊂平面1ABD ，则11A K BD ⊥，作11A L BD ⊥，同理1A K KL ⊥，垂足为L ，连接KL ，因为11,A K A L ⊂平面1A KL 且111A K A L A = ，所以1BD ⊥平面1A KL ，又KL ⊂平面1A KL ，所以1BD KL ⊥，所以1A LK ∠是二面角11A BD A --的平面角，正方体中，1A K =，111113A D A B A L BD ⋅===，直角1A KL !中，1113sin 23A K A LK A L ∠==，1π3A LK ∠=，B 正确；C ．由已知11//EF AD A D ∥，EF ⊄平面11A D P ，11A D ⊂平面11A D P ，则//EF 面11A D P ，11111111111112243333212232F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤==⨯⨯⨯!!!，当P 与1B 重合时达到最大值．C 正确；D ．由已知11////EG BD B D ，1B ，1D ，G ，E 四点共面，设11A C 与11D B 交于M ，1A D 与1D G 交于N ，则MN 即为直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹．1112A N A D ND DG ==，1124233A N A D ==，12A M =，又11A DC △为正三角形，所以160MA N ∠=︒，由余弦定理，22211111262cos 9MN A M A N A MA N MA N =+-∠=，263MN =．D 错．故选：ABC ．【点睛】求空间角一般有两种方法，一是,空间向量法，二是定义法，本题图形是在正方体中，我们用定义法求异面直线所成的角和二面角，主要是正方体中平行线与垂线较多，容易作出异面直线所成的角和二面角的平面角，从而再解三角形可得．三棱锥的体积问题，常常利用换顶点（换底）法进行转化，目的是使得棱锥的高与底面积易求解．非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．13.两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=．则1l 与2l 之间的距离为___________．【答案】455【解析】【分析】根据两平行线间的距离公式，即可求得本题答案.【详解】因为两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=，所以两平行线间的距离122222404551(2)C C d A B --===++-.故答案为：5514.若圆1C ：224x y +=与圆2C ：()()2216x a y a -+=∈R 相交于A 、B 两点，且两圆在A 点处的切线互相垂直，则线段AB 的长是___________．【答案】855##855【解析】【分析】画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解.【详解】如图，由两圆在A 点处的切线互相垂直可知，两条切线分别过两圆的圆心，由相交圆公共弦的性质可知1AB OO ⊥，由切线性质可知1OA AO ⊥，在1Rt OAO 中，1||2,||4OA AO ==，所以1||OO ==又1Rt OAO 斜边上的高为1||2AB ，由等面积法可知，11111||||||||222AO AO AB OO ⋅=⨯，即124||2AB ⨯=⨯，解得||5AB =.故答案为：85515.已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且212PF PF c ⋅= ，则此椭圆离心率的取值范围是________．【答案】,32⎢⎣⎦【解析】【分析】设(,)P x y ，由数量积的坐标表示得出222212PF PF x c y c ⋅=-+= ，再由点P 在椭圆上得出22222b y b x a=-，联立两个方程得出()222223c a a x c -=，再由220,x a ⎡⎤∈⎣⎦化简得出22223c a c ≤≤，结合离心率的公式即可求解.【详解】设(,)P x y ，则222212(,)(,)PF PF c x y c x y x c y c ⋅=---⋅--=-+=①将22222b y b x a=-代入①式解得()()22222222223c b a c a a x c c --==又220,x a ⎡⎤∈⎣⎦，即()2222230ca a a c -≤≤22223c a c∴≤≤32,32c e a ∴=∈⎣⎦.故答案为：,32⎢⎣⎦【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率的取值范围，属于中档题.16.如图，在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是正三角形，2BA BP ==，90CBP ∠=︒，120ABP ∠=︒，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥P BEF -的体积取得最大值时，三棱锥P BEF -的外接球表面积为___________．【答案】19π2【解析】【分析】利用均值不等式求出体积最大时,E F 的位置，建立空间直角坐标系，建立方程组求出球心坐标，得球半径即可.【详解】要使三棱锥P ―BEF 的体积最大，则底面△BEF 的面积最大，设BF =a ，则2BE a =-，23323(2)4424BEFx x S x x +-⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭△，当且仅当2x x =-，即1x =时取得最大值，即E ，F 分别为棱的中点．此时，FA BC ⊥，三棱锥P BEF -的体积取得最大值．如图，以BC 中点O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0F，)A，()0,1,0B ，()0,1,0C -，1,,0)22E ．设(),,P x y z ，由28PC =，24PB =，212PA =，解得x =1y =，z =．设外接球球心(,,)O m n t '，由O B O E O F O P ''''===，则22222222222222222231(1)()()22(1)2326((1)()33m n t m n t m n t m n t m n t m n t ⎧+-+=-+-+⎪⎪⎪+-+=++⎨⎪⎪++=++-+-⎪⎩，解得1,,6212m n t ===即1,62O ⎛⎫'⎝，故三棱锥P BEF -的外接球半径222198R O F O O ''===．所以，三棱锥P BEF -的外接球表面积为19π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.圆M 经过点()1,2A ，()9,2B -，且圆心M 在直线5y x =-上．（1）求圆M 的方程．（2）过点A 作直线l ，直线l 与圆M 的另一个交点是D ，当4AD =时，求直线l 的方程．【答案】（1）()22520x y -+=（2）1x =或3450x y -+=【解析】【分析】（1）根据圆的性质，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）根据垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.【小问1详解】圆心M 在直线5y x =-上，不妨设圆心M 为(),5a a -，则()()()()2222152952a a a a -+--=-+-+，得5a =，故圆M 的方程为()22520x y -+=；【小问2详解】①当直线l 斜率不存在时，l 方程为1x =,()2215202y y -+=⇒=±，显然满足4AD =，②当l 斜率存在时，设l ：()21y k x -=-即20kx y k -+-=，由（1）可知：圆M的半径为4AD =，所以点M 到l距离344d k ===⇒=．综上，l 的方程为1x =或3450x y -+=．18.已知数列{}n b 是公比大于0的等比数列，1212b b +=，其前4项的和为120．（1）求数列{}n b 通项公式；（2）记21n n nc b b =+，*N n ∈，求数列{}22n n c c -前n 项和．【答案】（1）3nn b =（2）133n +-【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式，前n 项和公式进行求解即可；（2）根据等比数列前n 项和公式进行求解即可【小问1详解】设数列{}n b 的公比为q ，通项公式为11n n b b q-=⋅，若公比1q =，由1211266n b b b b +=⇒=⇒=，所以前4项的和为24，不符合题意，故1q ≠()21121121b q b b q-+==-，前4项和为()4111201b q q-=-，于是相除得2110q +=，即29q =，又因为0q >，故3q =，13b =，3nn b =；【小问2详解】221133n n n n n c b b =+=+，22244422221111333233233333n n n nn nn n n nn nc c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+⋅+-+=⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭前n 项和为()()21333233323313n n n +-⋅++⋅⋅⋅+=⋅=--．19.已知椭圆C ：2212x y +=．（1）直线l ：y x =交椭圆C 于P ，Q 两点，求线段PQ 的长；（2）A 为椭圆C 的左顶点，记直线AP ，AQ ，l 的斜率分别为1k ，2k ，k ，若121k k k+=-，试问直线PQ 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】（1）3（2）直线PQ 过定点()0,0【解析】【分析】（1）将l 与椭圆联立得到2P x 、2Q x 、2P y 和2Q y ，进而得到||PQ ；（2）设直线l ：y kx m =+，联立椭圆与直线得到韦达定理以及∆，利用1k =进而得到2k ，由121k k k+=-得到m 的值，最后舍去不符合题意的m 即可.【小问1详解】将直线l 与椭圆方程联立，即2212y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2223p Q x x ==，即2223pQ y y ==，故||3PQ ==；【小问2详解】设直线l ：y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由()22222,21422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩得，12221224212221km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，()()()2222221642122821k m k m k m ∆=-+-=+-，又1k ==，2k =故12k k +=++++==，由121k k k+=-，得20m =，故()0m m m -=⇒=或0m =，①当m =时，直线l ：(y kx k x =+=+，过定点()A ，与已知不符，舍去；②当0m =时，直线l ：y kx =，过定点()0,0，()2228211680k m k ∆=+-=+>，符合题意．20.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，243a =，()1121239n n n a a a n +-=-≥，13n n n b a -=，()*N n ∈．（1）求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）证明：对任意的2n >，1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．【答案】（1）1323n n n a --=，32n b n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得()1122n n n b b b n +-+=≥，即{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，可求出{}n b ，进而求出{}n a ；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由错位相减法求出n S ，只要证明2n >时，()1220n S a a -+<即可.【小问1详解】因为11a =，243a =，13n n n b a -=，∴11b =，24b =，又∵()1121239n n n a a a n +-=-≥，13n n n b a -=，∴()111221233393n n n n n n b b b n +---=⋅-⋅≥∴()1122n n n b b b n +-+=≥．∴{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列．∴32n b n =-，1323n n n a --=．【小问2详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，∵2147321333n n n S --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+①2311473233333n n n S -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+②②得：21233332133333n n n n S --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，所以12111121113232331313133333313n n n n nn n S --⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥--⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+⨯+++-=+⨯- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ，1231325651113233223n n n nn n S --+⎛⎫⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11565443n n n S -+=-⋅，当2n >时，()1211156541165221044331243n n n n n S a a --++⎛⎫-+=--+=--< ⎪⋅⋅⎝⎭∴1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．21.如图所示，已知四棱锥P ABCD -，满足E 为BD 中点90BAD BCD ∠=∠=︒，AD =，PA PB PD ==．（1）求证PE ⊥平面ABCD （2）若PA 与BD夹角的余弦值为4，且CE AB ∥，求PC 与平面PAD 夹角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，易证AD ⊥平面PEF ，得到PE AD ⊥，从而PE ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设面APD 的法向量为(),,n x y z =，则sin cos ,PC nPC n PC nθ⋅==⋅.【小问1详解】取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，∵PB PD =，E 为BD 中点，∴PE BD ⊥∵PA PD =，F 为AD 中点，∴PF AD ⊥，又因为EF AD ⊥，EF PF F = ，,EF PF ⊂ 平面PEF ，AD ∴⊥平面PEF ，∴PE AD ⊥．PE BD ⊥ ，AD BD D = ，,AD BD ⊂ 平面ABCD PE ∴⊥平面ABCD ．【小问2详解】解：以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设1AB =，AD ∴=，设PE h =，,//CE AB EF AB ∥Q ，所以,,C E F 三点共线，在ABD △中，AD =，90BAD ∠=︒，πtan ,(,π),DAB DAB DAB ∴∠=∠∈∴∠=303πBEC FED ABD ∴∠=∠=∠=3，在Rt BCD 中，E 为BD 中点，BE EE BD ∴==12得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，33(,,0)22C ，(0,3,0)D ，13(,,0)22E ，13,,22P h ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，有13,,22AP h ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,3,0BD =-，∴221|cos ,|421BD AP BD AP BD AP h ⋅===+得1h =．所以(,,),(,,),(,,)PC AP AD =-==13101103022设面APD 的法向量为(),,n x y z = ，∴0n AD n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，3013022y x y z ⎧=⎪∴⎨++=⎪⎩，令1z =有()2,0,1n =- ，设PC 与面PAD 的夹角为θ，则3310sin cos ,1025PC nPC n PC nθ⋅====⋅．22.已知双曲线E ：221x y -=，双曲线C 与E 共渐近线且经过点()5,1-（1）求双曲线C 的标准方程．（2）如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点（第一象限），直线PA x ⊥轴于点A ，PB y ⊥轴于点B ，直线AB 交曲线E 于点Q （第一象限），过点Q 作曲线E 的切线交PB 于点K ，交y 轴于点J ，求KQA BQJ S S +△△的最小值．【答案】（1）224x y -=（2）2【解析】【分析】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入解方程即可得出答案.（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，设AQ QB λ=，表示出Q 点坐标，代入E ：221x y -=方程，即可求得,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，进一步求出,K J 的坐标，而KQA BQJ BKJ S S S += ，而12BKJ S KB JB =⋅ ，代入化简结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】由题意设C ：22x y m -=，将()代入得到4m =，∴曲线C ：224x y -=．【小问2详解】设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，(),Q x y ，则224m n -=（*）设AQ QB λ=，则()(),,AQ x m y QB x n y λλ=-==-- ，解得：,,,1111m n m n x y Q λλλλλλ⎛⎫== ⎪++++⎝⎭，代入E ：221x y -=方程，得()()2221m n λλ-=+，结合（*）式可知()()21130n λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦由于0λ>，则()2130n λλ+++>，所以1λ=．所以Q 是A 、B 的中点，,22m n Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为四边形OAPB 是矩形，(),0A m ，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以Q 为四边形OAPB 的中心，所以AQ BQ =，在AQK 与BQK △中，AQ BQ =，分别以,AQ BQ 为底时，高相同，所以KQA KQB S S = ，则KQA BQJ KQB BQJ BKJ S S S S S +=+=△△△△△，因为过双曲线221x y -=上一点,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为122m n x y -=，所以直线KJ 的方程为：122m nx y -=即2mx ny -=，因为K B y y n ==，所以22,n K n m ⎛⎫+⎪⎝⎭，令0x =，所以20,J n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()222211221222BKJn n S KB JB n m n mn++=⋅=⋅+===，，令222t n =+>，BKJS ==△，令240s t =->，2BKJ S==≥△．当且仅当16s s=，即4s =，28t =，22n =-时，取得最小值．。
浙江省名校协作体2020-2021学年高二下学期开学联考数学试题
14．如图，在四面体 中，G是BC的中点，E，F满足 ， ，设平面 交 于点 ，则 ________.
三、双空题
15．命题 若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切.命题P是________（真，假）命题，命题P的否命题是________（真，假）命题.
5．点 到抛物线 的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（）
A． B． C． 或 D． 或
6．已知点 在直线 上运动，过点 作圆 的切线，其中一个切点为 ，则线段 的最小值为（）
A． B． C． D．3
7．如图，等边 的中线 与中位线 相交于 ，已知 是 绕 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）
（1）若“ ”是真命题，求实数 取值范围；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
19．如图， 为正三角形， 平面 ， ， .
（1）求证：平面 平面EBD；
（2）求二面角 的大小.
20．已知圆 ，点 .
（1）若点P在圆C的外部，求实数 的取值范围；
（2）当 时，过点 的直线 交圆C于 ， 两点，求 面积的最大值及此时直线 的斜率.
16．已知 ，则直线 过定点________，若直线 不过第四象限，则实数 的取值范围是________.
17．已知抛物线 ，焦点为 ，准线为 ，P为抛物线上一点， ，A为垂足，如果直线 的斜率为 ，那么 ________， ________（O是坐标原点）.
四、解答题
18．已知集合 ，集合 ， .
【详解】
根据三视图可知几何体是一个三棱锥，
且底面是一个等腰三角形：底边长是2，、高是1，几何体的高是2，
浙江省名校协作体2021-2022高二数学上学期9月联考试题(含解析).doc
浙江省名校协作体2021-2022高二上学期9月联考数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．【详解】∵集合，，∴．故选：A．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.设(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c【答案】D【解析】试题分析：由对数函数的性质，所以，b<a<c，故选D。
考点：本题主要考查对数函数的性质。
点评：简单题，涉及比较函数值的大小问题，首先考虑函数的单调性，必要时引入“-1,0,1”等作为“媒介”。
3.将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用图像平移规律直接写出平移后的函数解析式，整理即可。
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到的图象，故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于基础题．4.函数为自然对数的底数的图象可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】为自然对数的底数是偶函数，由此排除B和D，，由此排除A．由此能求出结果．【详解】∵（e为自然对数的底数）是偶函数，∴函数（e为自然对数的底数）的图象关于y轴对称，由此排除B和D，∴，由此排除A．故选：C．【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查函数的奇偶性、特殖点的函数值的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5.设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求解即可。
【详解】解：根据实数x，y满足约束条件画出可行域，由，．由得点由图得当过点时，Z最小为．当过点时，Z最大为1．故所求的取值范围是故选：D．【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求最值，属于基础题。
2020-2021学年浙江省名校协作体高二(下)开学数学试卷(解析版)
2020-2021学年浙江省名校协作体高二（下）开学数学试卷一、选择题（共10小题）.1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（）A．B．3C．D．3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β4．“m＝﹣1”是“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（）A．B．C．D．6．已知平面α和两条异面直线a，b满足a⊂α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b 的距离相等，则点M的轨迹是（）A．两条直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．圆x2+y2﹣mx+y+m＝0在x轴上截得的弦长是它在y轴上截得的弦长的2倍，则实数m 的值是（）A．B．C．D．8．正三棱锥A﹣BCD中，二面角A﹣BC﹣D的大小为α，二面角B﹣AC﹣D的大小为β，则cos2α+cosβ的取值范围是（）A．B．C．D．9．曲线C1：y2＝6|x|与C2：＝1交点的个数为（）A．1B．2C．3D．410．在正四面体ABCD中，P，Q分别是棱AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，且满足|PE|+|QF|＝a，M是EF的中点，则点M的轨迹围成的区域的面积是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．已知抛物线C的焦点F（1，0），则拋物线C的标准方程为，焦点到准线的距离为．12．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．13．若直线l1：y＝kx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点，l1与l2的距离的最大值是．14．已知P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上一动点，过圆心C作两条互相垂直的直线l1，l2，它们分别交x轴于A点，交y轴于B点，记AB中点为Q，则PQ的最小值是，圆C上到Q的距离等于3的点有个．15．已知平面α∥β，直线l与α所成角的正切值为，直线m⊂α，l⊥m，直线n⊂β，且l 和n所成角为，那么m与n所成的角为．16．已知椭圆C：＝1，过C上一点P（第一象限）的直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．若|PA|＝1，则|PB|的值为．17．如图，双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F是拋物线C2：y2＝2px的焦点，O为坐标原点，A为双曲线C1与拋物线C2在第一象限内的交点，若，则双曲线C1的离心率是．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知圆C经过M（1，0），N（2，1）两点，且圆心C在直线x+2y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点P（0，1）的直线l与圆C交于不同的A，B两点，且CA⊥CB，求直线l的方程．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PC＝PB＝，且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥PB；（2）求二面角P﹣BC﹣A的大小．20．如图，已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F且斜率为正的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点A、B分别作与直线l垂直的直线，交x轴于C、D两点，求|FC|•|FD|的最小值．21．在三棱台ABC﹣DEF中，AB＝BC＝2DE，∠DAB＝∠EBA＝60°，平面ABED⊥平面ABC，BC⊥BE．（1）求证：平面ABED⊥平面BCFE；（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值．22．如图，已知过拋物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于点A，B（点A在第一象限），线段AB的中点为M，拋物线C在点A处的切线与以AM为直径的圆交于另一点P．（1）若，求直线AB的方程；（2）试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°解：设直线x+y﹣1＝0的倾斜角为α．直线x+y﹣1＝0化为．∴tanα＝﹣．∵α∈[0°，180°），∴α＝150°．故选：D．2．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（）A．B．3C．D．解：双曲线的渐近线方程为，化为2x±ay＝0，又2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，∴a＝3．故选：B．3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β解：若m∥n，n⊂α，且m⊄α，则m∥α，故A错误；若m∥α，m∥β，则α∥β，或α、β相交，故B错误；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故C正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，或α、β相交，故D错误．故选：C．4．“m＝﹣1”是“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”⇔2m+m（m﹣1）＝0，解得m＝0，或m＝﹣1．∴“m＝﹣1”是“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”的充分不必要条件．故选：A．5．在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（）A．B．C．D．解：∵点P为棱BC的中点，∴＝（+），∴＝＝（+）﹣，又∵，，，∴＝（+）﹣＝﹣++．故选：B．6．已知平面α和两条异面直线a，b满足a⊂α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b 的距离相等，则点M的轨迹是（）A．两条直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线解：b⊥α，设垂足为B，则M到直线b的距离即为M到定点B的距离，即动点M在平面α内到一定直线距离与一定点的距离相等，符合抛物线性质，则M的轨迹是抛物线，故选：D．7．圆x2+y2﹣mx+y+m＝0在x轴上截得的弦长是它在y轴上截得的弦长的2倍，则实数m 的值是（）A．B．C．D．解：对于x2+y2﹣mx+y+m＝0，令x＝0得：y2+y+m＝0，设与y轴交点的纵坐标为y1，y2，且1﹣4m＞0，得m①．则y1+y2＝﹣1，y1y2＝m，故与y轴相交的弦长为：＝．同理，令y＝0可得：x2﹣mx+m＝0，设与x轴交点的横坐标为x1，x2，且m2﹣4m＞0，得m＞4，或m＜0②．则x1+x2＝m，x1x2＝m，故与x轴相交的弦长为：＝．由题意得：，解得：，结合①②得：m＝﹣6符合题意．故选：A．8．正三棱锥A﹣BCD中，二面角A﹣BC﹣D的大小为α，二面角B﹣AC﹣D的大小为β，则cos2α+cosβ的取值范围是（）A．B．C．D．解：设该正三棱锥的底面边长为2a，记点A在底面BCD上的投影为点O，连结AO，则点O为△BCD的中心，AO⊥平面BCD，因为△BCD为等边三角形，所以O为△BCD的重心，取BC的中点E，连结DE，AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，OE＝，所以∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，即∠AED＝α，记△ABC的高为h，则h＝AE＞OE＝，所以cosα＝cos∠AED＝，过点B作BF⊥AC于点F，连结DE，由正三棱锥的对称性可得，DF⊥AC，则∠BFD为二面角B﹣AC﹣D的平面角，即∠BFD＝β，在△ABC中，，又AC＝，所以，所以cosβ＝cos∠BFD＝＝＝，因此cos2α+cosβ＝，因为，则，所以cos2α+cosβ＝．故选：B．9．曲线C1：y2＝6|x|与C2：＝1交点的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为曲线C1：y2＝6|x|，所以当x≥0时，y2＝6x，当x＜0时，y2＝﹣6x，因为C2：＝1，所以当x≥0，y≥0时，﹣＝1，当x＞0，y＜0时，﹣﹣＝1，无意义，当x＜0，y＜0时，﹣+＝1，当x＜0，y＞0时，+＝1，所以曲线C1与曲线C2共四个交点，故选：D．10．在正四面体ABCD中，P，Q分别是棱AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，且满足|PE|+|QF|＝a，M是EF的中点，则点M的轨迹围成的区域的面积是（）A．B．C．D．解：在正四面体ABCD中，取BC，BD，AD，AC的中点G，H，K，L，如图所示，因为P，Q分别是棱AB，CD的中点，所以PQ的中点O也为定点，由对称性可知，PQ和EF的中点都在中截面GHKL（正方形）上，由，所以，设E，F在中截面上的投影分别为E'，F'，所以，所以点M是线段E'F'的中点，作a∥CD，b∥AB，如图所示，则∠E'OF'＝90°，因为PE+QF＝a，所以OE'+OF'＝a，取OR＝ON＝，则OR+ON＝a，两式相减可得RE'＝NF'，过点E'作E'S∥RN，所以RE'＝NS，所以RE'＝NS'＝NF'，所以E'F'的中点M在RN上，同理E'F'的中点M在NT，TW，WR上，因为，故定点M的轨迹是边长为的正方形RNTW，所以其轨迹围成的区域的面积为．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．已知抛物线C的焦点F（1，0），则拋物线C的标准方程为y2＝4x，焦点到准线的距离为2．解：由抛物线的定义可知该抛物线开口向右，，∴抛物线方程为y2＝4x，焦点到准线的距离为2．故答案为：y2＝4x，2．12．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为7cm3，表面积为19+2cm2．解：由三视图，可知该几何体为棱长为2的正方体截去一个直三棱柱，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，高为2，则该几何体的体积V＝；表面积S＝5×＝19+．故答案为：7；19+2．13．若直线l1：y＝kx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点（4，5），l1与l2的距离的最大值是4．解：因为l1：y＝kx+1经过定点（0，1），∴l2恒过定点（4，5），∴l1与l2的距离的最大值是＝4．故答案为：（4，5），4．14．已知P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上一动点，过圆心C作两条互相垂直的直线l1，l2，它们分别交x轴于A点，交y轴于B点，记AB中点为Q，则PQ的最小值是，圆C上到Q的距离等于3的点有2个．解：（1）易知，圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径r＝1．由已知得：CA⊥CB，且OA⊥OB，所以O，A，C，B四点共圆，故Q点为该圆的圆心，要使|PQ|最小，只需|CQ|最小，显然当O，C，Q三点共线时|CQ|最小，此时|CQ|＝．所以|PQ|min＝．（2）由上一个问题可知，Q（）．所以，以Q为圆心，半径为3的圆Q的方程为：．因为：|CQ|＝＝，∴|PQ|min＝2.5﹣1＝1.5，|PQ|max＝2.5+1＝3.5，∵1.5＜3＜3.5，所以圆C上到Q的距离等于3的点有2个．故答案为：，2．15．已知平面α∥β，直线l与α所成角的正切值为，直线m⊂α，l⊥m，直线n⊂β，且l 和n所成角为，那么m与n所成的角为．解：如图，分别平移直线m与n，使得m与l交于A，n与l交于B，设A在平面β内的射影为A′，则AA′⊥β，在β内过A′作A′C⊥n，垂足为C，连接AC，可得AC⊥n，∵直线l与α所成角的正切值为，且α∥β，∴直线l与β所成角的正切值为，即tan∠ABA′＝，设A′B＝1，则AA′＝，可得AB＝，又l和n所成角为，∴，又AC⊥BC，可得AC＝BC＝，在Rt△A′CB中，可得cos，则∠A′BC＝．即A′B与n所成角为，∵AB⊥m，AA′⊥m，AB∩AA′＝A，∴m⊥平面AA′B，而A′B⊂平面AA′B，∴m⊥A′B，则m与n所成角为．故答案为：．16．已知椭圆C：＝1，过C上一点P（第一象限）的直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．若|PA|＝1，则|PB|的值为．解：如图，设P（，sinθ），A（a，0），∵|PA|＝1，∴，得a＝，∵△PQB∽△AOB，∴，则，设|PB|＝m，则|AB|＝m+1，∴，解得m＝，故答案为：．17．如图，双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F是拋物线C2：y2＝2px的焦点，O为坐标原点，A为双曲线C1与拋物线C2在第一象限内的交点，若，则双曲线C1的离心率是．解：双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），拋物线C2：y2＝2px的焦点F（，0），则c＝，即p＝2c，设A（x1，y1），则（x1＞0，y1＞0），联立，得b2x2﹣4a2cx＝a2b2．解得x1＝＝＝＝．由抛物线的性质，可得，，，＝，∴，则，得，∴．则，可得＝，即，可得．可得e＝，∵e＞1，∴e＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知圆C经过M（1，0），N（2，1）两点，且圆心C在直线x+2y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点P（0，1）的直线l与圆C交于不同的A，B两点，且CA⊥CB，求直线l的方程．解：（1）由题意设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，根据圆C经过M（1，0），N（2，1）两点，且圆心C在直线x+2y﹣2＝0上可得：，解得D＝﹣4，E＝0，F＝3．即圆的方程为：x2+y2﹣4x+3＝0．（2）由（1）知，圆心C（2，0），半径r＝1．由CA⊥CB，可知三角形ABC为等腰直角三角形，故圆心C到直线AB的距离为．由题意设直线l的方程为：y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0．故，整理得7k2+8k+1＝0，解得k＝﹣1，或k＝﹣．故直线l的方程为：y＝﹣x+1，或，即x+y﹣1＝0，或x+7y﹣7＝0．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PC＝PB＝，且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥PB；（2）求二面角P﹣BC﹣A的大小．【解答】证明：（1）取AC的中点O，连接BO，PO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，又PA＝PC，∴PO⊥AC，而PO∩BO＝O，∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB；解：（2）在△ABC中，∵AB＝BC＝2，且AB⊥BC，∴AC＝，则BO＝，在△PAC中，由PA＝PC＝，AC＝，可得PO＝，又PB＝，∴PO2+BO2＝PB2，得PO⊥BO，又PO⊥AC，AC∩BO＝O，AC、BO⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，在平面ABC中，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接PD，由三垂线定理可得，PD⊥BC，则∠PDO为二面角P﹣BC﹣A的平面角，由AB⊥BC，OD⊥BC，O为AC的中点，可得OD＝AB＝1．在Rt△POD中，由PO＝1，OD＝1，得△POD为等腰直角三角形，则∠PDO＝．故二面角P﹣BC﹣A的大小为．20．如图，已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F且斜率为正的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点A、B分别作与直线l垂直的直线，交x轴于C、D两点，求|FC|•|FD|的最小值．解：（1）根据题意可得，解得a＝2，b＝1，c＝，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）设直线l的方程为x＝my﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（4+m2）y2﹣2my﹣1＝0，所以y1+y2＝，y1y2＝﹣，所以|AF|＝＝＝|y1|，同理可得|BF|＝|y2|，因为△AFC∽△BFD，所以＝＝，因为直线AB斜率为，所以tan∠BFD＝＝，所以|BD|＝＝|y2|，所以|DF|＝＝|y2|，所以＝，所以|CF|＝•|DF|＝•|y1|，所以|FC|•|FD|＝＝＝，当t＝3时，取最小值＝，所以|FC|•|FD|最小值为．21．在三棱台ABC﹣DEF中，AB＝BC＝2DE，∠DAB＝∠EBA＝60°，平面ABED⊥平面ABC，BC⊥BE．（1）求证：平面ABED⊥平面BCFE；（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：过点E作EH⊥AB于H，∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EH⊂平面ABED，∴EH⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴EH⊥BC，又BC⊥BE，BE、EH⊂平面ABED，∴BC⊥平面ABED，∵BC⊂平面BCFE，∴平面ABED⊥平面BCFE．（2）解：将三棱台ABC﹣DEF补成三棱锥P﹣ABC，∵AB＝2DE，∠DAB＝∠EBA＝60°，∴D，E，F分别为PA，PB，PC的中点，且△PAB为正三角形，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，作Bz⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A（0，2，0），P（0，1，），C（2，0，0），D（0，，），F （1，，），∴＝（1，﹣1，0），＝（0，2，0），＝（1，，），设平面ABF的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝2，则x＝﹣，y＝0，∴＝（﹣，0，2），设直线DF与平面ABF所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线DF与平面ABF所成角的正弦值为．22．如图，已知过拋物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于点A，B（点A在第一象限），线段AB的中点为M，拋物线C在点A处的切线与以AM为直径的圆交于另一点P．（1）若，求直线AB的方程；（2）试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值．解：（1）拋物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），＝（1﹣x A，﹣y A），＝（x B﹣1，y B），因为，则1﹣x A＝4（x B﹣1），①，﹣y A＝4y B，②，又y A2＝4x A，③，y B2＝4x B，④，由①②③④解得A（4，4），B（，﹣1），所以k AB＝＝，则AB的方程为y﹣4＝（x﹣4），化为4x﹣3y﹣4＝0；（2）设AB的方程为x＝my+1，A（，y1），B（，y2），由可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，由y2＝4x，两边对x求得可得2yy′＝4，即y′＝，可得抛物线在A处的切线的斜率为，设A点处的切线的方程为x﹣＝（y﹣y1），化为x＝﹣，AP与y轴的交点为Q（0，），＝（﹣，﹣），＝＝（，（y2﹣y1）），因为AM为直径，P在圆上，所以AP⊥PM，即有|AP|＝＝，所以|AB|•|AF|＝•＝（（y22﹣y12），y2﹣y1）•（1﹣，﹣y1）＝＝，又|AP|2＝，所以为定值．。
2020-2021学年浙江省名校协作体高二年级下学期2月联考 数学 Word版
浙江省名校协作体2020-2021学年高二年级下学期2月联考数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x ＋3y －1＝0的倾斜角为A.30°B.60°C.120°D.150°2.直线2x ＋3y ＝0是双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线，则实数a 的值为 A.13 B.3 C.43 D.343.已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是A.若m//n ，n ⊂α，则m//αB.若m//α，m//β，则α//βc.若m ⊥α，n ⊥α，则m//n D.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β4.“m ＝－1”是“直线mx ＋(m －1)y ＋1＝0和直线2x ＋my ＋3＝0垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在四面体O －ABC 中，点P 为棱BC 的中点若OA a =，OB b =，OC c =，则向量AP 等于A.－12a ＋12b ＋12c B.a ＋12b ＋12c C.－a ＋12b ＋12c D.12a ＋12b ＋12c 6.已知平面α和两条异面直线a ，b 满足a ⊂α，b ⊥a ，平面α内的动点M 到两条直线a ，b 的距离相等，则点M的轨迹是A.两条直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线7.圆x2＋y2－mx＋y＋m＝0在x轴上截得的弦长是它在y轴上截得的弦长的2倍，则实数m 的值是A.－6－210B.－6＋210C.－3－10D.－3＋108.正三棱锥A－BCD中，二面角A－BC－D的大小为α，二面角B－AC－D的大小为β，则cos2α＋cosβ的取值范围是A.(－12，23) B.(0，12) C.(0，23) D.(12，23)9.曲线C1：y2＝6|x|与C2：y y x x143-=交点的个数为A.1B.2C.3D.410.在正四面体ABCD中，P，Q分别是棱AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，且满足|PE|＋|QF|＝a，M是EF的中点，则点M的轨迹围成的区域的面积是A.2a4B.2a2C.2a4πD.2a2π非选择题部分(共110分)二填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2021-2022学年浙江省杭州市高二下学期开学测试数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州市高二下学期开学测试数学试题一、单选题1．直线210x y -+=的一个方向向量是（ ） A ．()2,1 B ．()1,2 C ．()2,1- D ．()1,2-【答案】A【分析】在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量. 【详解】在直线210x y -+=上取点()1,0A -、()1,1B ， 故直线210x y -+=的一个方向向量为()2,1AB =. 故选：A.2．双曲线2212x y -=的离心率是（ ）ABC ．32D【答案】B【分析】根据方程求出基本量后可求离心率. 【详解】由题设可得a c ===e ==故选：B3．在等比数列{an }(an ∈R )中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则2911a a 的值为（ ）A ．9B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据等比数列的性质，先求得7a ，再转化目标式，即可求得结果.【详解】因为{}n a 是等比数列，a 3a 5a 7a 9a 1157243a ==，故可得73a =；又29711a a a =⨯，故297113a a a ==. 故选：D .4．设平面α与平面β相交于直线l ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥l ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用线面位置关系的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，若,,b b l αββ⊥⊂⊥且l αβ=，根据面面垂直的性质定理，可得b α⊥，又由a α⊂，所以a b ⊥，即充分性成立；反之：若a α⊂且//a l ，因为b l ⊥，所以此时a b ⊥，但平面α与平面β不一定垂直， 所以必要性不成立，所以αβ⊥是a b ⊥的充分不必要条件. 故选：A.5．已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A -在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A B C ．D 【答案】B【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为(1,2,1)A -，(1,2,2)P 所以(2,0,1)PA =--，因为平面α的法向量(2,0,1)n =，所以点P 到平面α的距离|||4||PA n d n ⋅-===故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题6．已知AB 是椭圆22194x y +=一条弦，且弦AB 与直线l ：230x y +-=垂直，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心，则直线OP 的斜率是（ ） A ．49B ．49-C ．29D ．29-【答案】D【分析】根据给定条件设出直线AB 方程，再与椭圆方程联立求出点P 的坐标即可计算作答.【详解】依题意，弦AB 不过点O ，而弦AB 与直线l ：230x y +-=垂直，则设直线AB ：2y x m =+ (0)m ≠，由2224936y x m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得：2240369360x mx m ++-=， 2222Δ363640(4)144(40)0m m m =-⨯-=-->，即210210m -<<，且0m ≠，设点1122(,),(,)A x y B x y ，则12910m x x +=-，于是得弦AB 中点9(,)2010m mP -， 所以直线OP 的斜率是2109920mk m ==--.故选：D7．通项公式为an ＝an 2＋n 的数列{an }，若满足a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，且an ＞an ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,917⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,916⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．11,1016⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,1017⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据题设条件判断出0a <，再结合对称轴可得实数a 的取值范围. 【详解】因为12345a a a a a <<<<，则14293164255a a a a a +<+<+<+<+， 故19a >-，而1n n a a +>对任意的8n ≥恒成立，故0a <且18922a +-<， 即117a <-， 故选：A.8．如图，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面ADD 1A 1上的一个动点（含边界），M 是棱CC 1的中点．若2PM =，则点P 在侧面ADD 1A 1上运动路径的长度是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C【分析】N 为1DD 中点，连接MN ，NP ，得到P 的轨迹为以N 为圆心，半径为1的一段圆弧，计算得到答案.【详解】如图1所示：N 为1DD 中点，连接MN ，NP ，易知MN NP ⊥，1MN =，2PM =，故1NP =，故P 的轨迹为以N 为圆心，半径为1的一段圆弧，如图2所示：121EN D N ==，故1π3D NE ∠=，同理π3DNF ∠=，故π3ENF ∠=，运动路径长度为ππ133⨯=.故选：C.二、多选题9．已知直线()2:110l a a x y ++-+=，其中a R ∈，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直B ．若直线l 与直线0x y -=平行，则0a =C ．直线l 的倾斜角一定大于30D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【分析】根据两直线平行、垂直的性质，结合倾斜角的定义、截距的定义逐一判断即可. 【详解】A ：当1a =-时，直线l 的方程为10x y -+=，可化为：1y x =+，所以该直线的斜率为1，直线0x y +=的斜率为1-，因为111-⨯=-，所以这两条直线互相垂直，因此本选项说法正确；B ：由直线l 与直线0x y -=平行，可得2(1)(1)110a a a ++⋅-=-⨯⇒=或1a =-，因此本选项说法不正确；C ：直线l 方程可化为：()211y a a x =++-，设直线l 的倾斜角为θ，所以22133tan 1()244a a a θ=++=++≥，所以本选项说法正确； D ：当0a =时，直线l 的方程为10x y -+=，当0x =时，1y =；当0y =时，1x =-， 因为11≠-，所以直线l 在两坐标轴上的截距不相等，因此本选项说法不正确， 故选：AC10．已知圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则有（ ） A ．公共弦AB 所在的直线方程为x －y ＝0B ．公共弦ABC ．圆O 2上到直线AB 距离等于1的点有且只有2个D ．P 为圆1O 上的一个动点，则P 到直线AB 1 【答案】ACD【分析】根据两圆相交时公共弦所在直线方程的求解方法，弦长的计算公式，以及圆上一点到直线距离的最值，结合圆的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为()111,0,1O r =；圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为()221,2,O r -=对A ：两圆相交且交于,A B 两点，故AB 所在直线方程为：x 2＋y 2－2x ()22240x y x y -++-=，整理得：0x y -=，故A 正确；对B ：圆心()11,0O 到直线0x y -=的距离1d =，故AB =故B 错误；对C ：因为2O 到直线0x y -=的距离2d =，而221r d -=<， 则圆O 2上到直线AB 距离等于1的点有且只有2个，故C 正确；对D ：因为圆心()11,0O 到直线0x y -=的距离1d ==，故圆1O 上的动点P 到直线0x y -=的最大值为11d r +=，故D 正确. 故选：ACD .11．设数列{an }的前n 项和为Sn ，且满足a 1＝1，12,1,n n n a n a n a +⎧⎪=⎨⎪⎩是奇数是偶数，则下列说法中正确的有（ ） A ．a 4＝2 B ．{an }是周期数列 C ．a 2022＝2 D ．S 18＝21【答案】BCD【分析】根据题意，分别求得12345,,,,,a a a a a ，得到数列{}n a 构成以11,2,,12为周期的周期数列，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 满足112,1,1,n n n a n a a n a +⎧⎪==⎨⎪⎩为奇数为偶数，当1n =时，2122a a ==；当2n =时，32112a a ==；当3n =时，4321a a ==； 当4n =时，5411a a ==；当5n =时，6522a a ==；当6n =时，76112a a ==；，归纳可得数列{}n a 构成以11,2,,12为周期的周期数列，所以A 不正确，B 正确；又由20225054222a a a ⨯+===，所以C 正确；因为12341921122a a a a +++=+++=，所以189412212S =⨯++=，所以D 正确.故选：BCD.12．知圆O 的半径为1，点A 是圆O 所在平面上的任意一点，点P 是圆O 上的任意一点，线段AP 的垂直平分线交半径OP 所在的直线于点M ．当点P 在圆上运动时，则下列说法中正确的是（ ）A ．当点A 与点O 重合时，动点M 的轨迹是一个圆B ．当点A 在圆内且不同于点O 时，动点M 的轨迹是椭圆，且该椭圆的离心率e 随着OA 的增大而增大C ．当点A 在圆上且不同于点P 时，动点M 的轨迹不存在D ．当点A 在圆外时，动点M 的轨迹是双曲线，且该双曲线的离心率e 随着OA 的增大而增大 【答案】ABD【分析】根据题意，分点O 与A 重合、点A 为O 内一定点时且O 与A 不重合，点A 在O 上和点A 为O 外一定点，四种情况讨论，结合圆、椭圆、双曲线的定义和离心率的定义，逐项判定，即可求解.【详解】①当O 与A 重合时，可得12MO =，根据圆的定义可得点M 的轨迹是以O 为圆心，半径为12的圆，所以A 正确；②当点A 为O 内一定点时，点P 为O 上一动点， 线段AP 的垂直平分线交半径OP 于点M ，可得MA MP =，则1MA MO MP MO OP +=+==， 即动点M 到两定点,O A 的距离之和为定值，当O 与A 不重合时，根据椭圆的定义，可得点M 的轨迹是以,O A 为焦点的椭圆， 其中21,2a c OA ==，即1,22OA a c ==，则离心率c e OA a ==，所以该椭圆的离心率e 随着OA 的增大而增大，所以B 正确； ③当点A 为圆上一点时，此时点M 的轨迹为圆心O ，所以C 不正确； ④当点A 为O 外一定点时，点P 为O 上一动点， 线段AP 的垂直平分线交半径OP 于点M ，可得MA MP =，则1MA MO MP MO OP -=-==， 即即动点M 到两定点,O A 的距离之差为定值，根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以,O A 为焦点，OA 为实轴长的双曲线， 其中21,2a c OA ==，即1,22OA a c ==，则离心率c e OA a ==，所以该双曲线的离心率e 随着OA 的增大而增大，所以D 正确. 故选:ABD. 三、填空题13．已知双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】y =【分析】根据离心率求得ba，即可求得渐近线方程.【详解】因为双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则2=，解得b a =故双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.14．斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 【答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示. 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.15．在数列{an }中，Sn 为它前n 项和，已知a 2＝1，a 3＝6，且数列{an+n }是等比数列，则Sn ＝__________．【答案】23122n n n ++-【分析】根据题意，利用等比数列的基本量求得n a ，利用分组求和法即可求得结果. 【详解】令n n b a n =+，由题可知：223323,39b a b a =+==+=，又{}n b 为等比数列，设其公比为q ， 故323b q b ==，211bb q==，故13n n n b a n -==+，解得13n n a n -=-+； 则()()()()211123333n n S n -=-++-++-+++-+()()211231333n n -=-+++++++++()113213n n n +-=-+=-23122n n n ++-. 故答案为：23122n n n ++-. 16．如图，在四棱台ABCD A B C D ''''-中，3AA '=，60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠=︒，则()(),AC xAB y ADx y R '-+∈的最小值是__________．【答案】6【分析】先判断出()(),AC xAB y ADx y R '-+∈的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值.【详解】如图，设xAB y AD AE +=，则E ∈平面ABCD ，故()AC xAB y AD AC AE EC '''-+=-=， EC '的最小值即为四棱台的高.如下图，过A '作A G AD '⊥，垂足为G ，过A '作A H AB '⊥，垂足为H ，过A '作AO '⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接,OG OH ，则332A G A H ''==，32AG AH ==，因为90GOA HOA ''∠=∠=︒，A O A O ''=，故A GO A HO ''≅，故OG OH =，而AO AO =，故AOG AOH ≅，所以30GAO HAO ∠=∠=︒， 因为AH ⊂平面ABCD ，故A O AH '⊥，而A OA H A '''=，故AB ⊥平面A HO '，因OH ⊂平面A HO '，故AB OH ⊥，故32332AO ==，故6A O '=即EC '的最小值为6，故答案为：6.【点睛】思路点睛：在空间向量中，对于含参数的向量的模的最值问题，应该根据几何体的特征合理转化向量，从而把最值问题归结为距离问题. 四、解答题17．如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a =，OB b =，OC c =．(1)用a ，b ，c 表示向量OP ；(2)若1a b c ===，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π===a b b c c a ；②,,,,32ππ===a b c a b c ；③2,,,,23a b c a b c ππ===，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．【答案】(1)111344OP a b c =++(2)①67||12OP ⇒=②58||12OP ⇒=③5||12OP ⇒=【分析】（1）连接ON 由 ()121232⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦O OA OB P OC 可得答案；（2）选①，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；选②，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；③对111344=++a b P c O 两边平代入已知再开方可得答案.【详解】(1)连接ON ，因为N 是棱BC 的中点，所以()12=+OM ON OP ，因为 M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，所以 ()()121121111232232344⎡⎤⎡⎤=++=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OA OC OB a c b O a P b c . (2)选①,,,3π===a b b c c a ，因为1a b c ===，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c P c b111111116798626282144=++⨯+⨯+⨯=，所以6712=OP ； 选②,,,,32ππ===a b c a b c ，因为1a b c ===，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c P c b1111112998626272=++⨯+⨯=，所以5812=OP ； ③2,,,,23ππ===a b c a b c ，因为1a b c ===，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c P c b1111259882144=+-⨯=，所以512=OP . 18．设O 为坐标原点，曲线222610x y x y ++-+=上有两点P Q 、，满足关于直线40x my ++=对称，又满足0OP OQ ⋅= .（1）求m 的值； （2）求直线PQ 的方程. 【答案】（1）-1；（2）1y x =-+.【分析】（1）曲线222610x y x y ++-+=上有两点P Q ，，满足关于直线1340m -++=对称,因为曲线是圆,可得直线过圆心，可求m 的值；(2) 设()()1122,,P x y Q x y 、，PQ 方程为y x b =-+,直线方程与圆的方程联立，结合韦达定理,以及0OP OQ ⋅=,可得2210b b -+=，解方程,可求直线PQ 的方程.【详解】（1）()()22222610139x y x y x y ++-+=⇔++-=， 所以曲线为以()1,3-为圆心，3为半径的圆， 由已知，直线过圆心，所以1340m -++=， 解之得1m =-.（2）设:PQ y x b =-+,联立方程组222610x y x y y x b ⎧++-+=⎨=-+⎩, 得()22224610x b x b b +-+-+=,设()()1122,,P x y Q x y 、，则有21212614,2b b x x b x x -++=-=, 又0OP OQ ⋅=，所以12120x x y y +=，即()2121220x x b x x b -++=，将21212614,2b b x x b x x -++=-=代入上式得2210b b -+=，所以1b =,所以直线PQ 的方程为：1y x =-+.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 19．已知正项数列{an }的前n 项和为Sn ，且2a 1Sn ＝an 2＋an ． (1)求数列{an }的通项公式；(2)若13nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求数列{bn }的前n 项和Tn ．【答案】(1)an ＝n (2)323443n nn T +=-⋅ 【分析】（1）由n S 与n a 的关系结合等差数列的定义得出数列{an }的通项公式； （2）利用错位相减法得出数列{bn }的前n 项和Tn ．【详解】(1)由题意得，当n ＝1时，2a 12＝a 12＋a 1，又an ＞0，∴a 1＝1， 当n ≥2时，由2Sn ＝an 2＋an 得2Sn －1＝an －12＋an －1两式相减得2an ＝an 2－an －12＋an －an －1，即(an ＋an －1)(an －an －1－1)＝0， 又an ＞0，∴an －an －1＝1，∴数列{an }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an ＝n ；(2)由（1）得13nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭1211112333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则2311111112(1)33333nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减可得121111133211111133333313nn n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++-⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-= 323443n nn T +∴=-⋅ 20．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．【答案】（1）抛物线C 的焦点坐标为104⎛⎫⎪⎝⎭， ，准线方程为x ＝－14；（2）见解析.【详解】试题分析：（Ⅰ）代入点P 求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为12y kx =+（0k ≠），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON 的方程为22y y x x =，联立求得点B 的坐标为2112(,)y x x x ，再证明1211220x y y x x +-=. 试题解析：（Ⅰ）由抛物线C ：22y px =过点P （1，1），得12p =. 所以抛物线C 的方程为2y x =.抛物线C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x =-.（Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为12y kx =+（0k ≠），l 与抛物线C 的交点为()11,M x y ，()22,N x y .由212y kx y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得()2244410k x k x +-+=. 则1221k x x k -+=，12214x x k=.因为点P 的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为()11,x y .直线ON 的方程为22y y x x =，点B 的坐标为2112,y y x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为 21122112112222y y y y y y x x y x x x +-+-= 122112211222kx x kx x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ()()122121222k x x x x x -++=()222112242k k k k x --⨯+=0=，所以211122y y y x x +=. 故A 为线段BM 的中点.【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.21．如图，在梯形ABCD 中//AB CD ，2AD CD CB ===，60ABC ∠=︒，矩形ACFE 中，2AE =，又有22BF =.（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）求直线BD 与平面BEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（26【分析】（1）在梯形ABCD 中，通过计算得出AC BC ⊥，由勾股定理逆定理得CB CF ⊥，从而 证线面平行；（2）以C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，以CB 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．【详解】证明：（1）在梯形ABCD 中//AB CD ，2AD CD CB ===，60ABC ∠=︒， ∴四边形ABCD 是等腰梯形，120ADC =∠︒ ∴30DCA DAC ∠=∠=︒，120DCB ∠=︒， ∴90ACB DCB DCA ∠=∠-∠=︒，∴AC BC ⊥又∵矩形ACFE 中，2CF AE ==，又有22BF =，2CB =，∴CB CF ⊥， 又∵AC CF C ⋂=∴BC ⊥平面ACFE ，（2）以C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，以CB 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系：()0,0,0C ，()0,2,0B ，()0,0,2F ，)3,1,0D-，()23,0,2E .所以()23,0,0EF =-，()0,2,2BF =-，…设平面BEF 的法向量为(),,n x y z =，所以00n EF n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩∴230220n EF x n BF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1y =，则0x =，1z =，∴()0,1,1n =，()3,3,0BD =-，6cos ,||4BD n BD n BD n⋅<>==⋅ ∴直线BD 与平面BEF 6 【点睛】本题考查证明线面垂直，考查用空间向量法求直线与平面所成的角．掌握线面垂直的判定定理是解题基础，建立空间直角坐标系，把几何问题转化为计算问题． 22．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点(2F 2． (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线P A ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值； (3)在（2）的条件下，求△P AB 面积的最大值．【答案】(1)22142y x +=(2)证明见解析【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆方程.（2）设PB 的斜率为k ，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理用k 表示,A B 的坐标，从而可证斜率为定值.（3）结合（2）可设直线AB的直线方程为y m =+，联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式可求AB ，利用距离公式和面积公式可得面积的表达式，利用基本不等式可求面积的最大值.【详解】(1)设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>由题意222:a b c a b c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 解得a 2＝4，b 2＝2．所以椭圆C 的方程为22142y x +=．(2)由（1）可得点(P由题意知，两直线P A ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k ， 则PB的直线方程为()1y k x =-．由()22124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩得，()))2222240k x k k x k+++-=．设A (xA ，yA )，B (xB ，yB )，则1B x ⨯=B x =同理可得A x =．则A B x x -=，()()28112A B A Bk y y k x k x k -=----=+， 所以直线AB的斜率A BABA By y k x x -==- (3)设AB的直线方程为y m =+ ，根据点到直线的距离公式可得P 到直线AB的距离为d =，由2224y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩可得22440x m ++-=， 由26480m ∆=->可得m -<<又AB =故221412224PAB m mS+-===当且仅当24m =即2m =±时等号成立， 所以△P AB。
2020-2021学年浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题 word版
浙江省名校协作体2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 已知集合{}2,0,20A =，{}2020B =，则A B =（ ▲ ）A ．{}2,0B ．{}20C ．{}2020D ．∅2. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转2π后， 过点34(,)55P ，则αcos 等于（ ▲ ） A ．45-B ．45C ．35-D ．353. 下列函数中，既是偶函数，又在),0(+∞上单调递增的是（ ▲ ）A ．||x x y =B ．22xxy -=- C ．xx y -+=22 D ．|1||1|-++=x x y4. 已知1a b >>，则下列不等式正确．．的是（ ▲ ） A ．22ab< B ．22a b --<C ．a bb a< D ．ln ln a b < 5. 将函数x y 2sin =的图象经过以下变换后可得函数x y 2cos -=的图象，其中不正确．．．的是（ ▲ ） A ．向左平移43π B ．向右平移4πC ．向左平移4π，再作关于x 轴对称D ．向左平移4π，再作关于y 轴对称6. 若函数y ax =的图象上存在点(),x y ，满足不等式组302201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则实数a 的取值范围为（ ▲ ）A ．(],2-∞- B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．(]1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7. 下列函数图象中，不可能．．．是函数()()cos ,2f x x Z x ααα=∈≤⋅的图象的是（ ▲ ）ABCD8. 已知数列{}n a 是无穷等差数列，n S 是其前n 项和，若n S 存在最大值，则（ ▲ ）A ．在3202021,,,,232020S S S S 中最大的数是1S B ．在3202021,,,,232020SS S S 中最大的数是20202020S C ．在1232020,,,,S S S S 中最大的数是1S D ．在1232020,,,,S S S S 中最大的数是2020S9. 在ABC ∆中，)sin(sin sin B A C B -=+,2==AC AB ，PQ 是ABC ∆的外接圆的直径，则⋅的取值范围是（ ▲ ） A ．[]2,0 B ．[]2,2- C ．[]6,2- D ．[]2,6- 10. 已知对任意x R ∈，不等式24ax b x ax b ++--≥恒成立，则（ ▲ ） A ．24b a +≤B ．24b a -≥C ．存在,a b R ∈，有2416a b +<D ．对于任意,a b R ∈， 有2416a b -≥二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．)11. 已知向量)1,2(),1,(-==t t ，若//a b ，则=t ▲ ；若a b ⊥，则t = ▲ . 12. 已知函数⎩⎨⎧>≤+=1),(log 1,1)(2x x f x x x f ，则=)4(f ▲ ；)(x f 的零点为 ▲ .13. 已知数列{}n a 中，11=a ，nn n a a 21=+，则=45a a ▲ ；设数列{}n a 的前n 项的和为n S ， 则11S = ▲ .14. 已知,x y 为正实数，且114x y m x y+=+=，则m 的最小值为 ▲ .15. 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知2,5,60a c B ===，D 是边AC 上一点，且33sin =∠ABD ，则b = ▲ ；DCAD = ▲ . 16. 设0<b ，当22)4()(ba b a -++取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为 ▲ .17. 已知数列{}n a 满足：12020a =，()2*11n n n a a a n N +=+-∈，若正整数k 使得2221212 (2) (2021)k k a a a a a a ++++=成立，则k = ▲ . 三、解答题：(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 18. （本题满分14分）已知函数()22cos f x x x =+ . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及f (6π)的值； （Ⅱ）若ππ[,]44x ∈-，求f (x )的取值范围.19. （本题满分15分）已知数列{}n a 是公差为正的等差数列，2a 是1a 和31a +的等比中项，44a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n an b =，n S 是数列{}n n a b ⋅的前n 项和，求使得2020n S <成立的最大整数n.20. （本题满分15分）已知ABC ∆中，角A B C ,,所对的边分别是a b c ,,，满足22a b bc =+.（Ⅰ）求证：2A B =；（Ⅱ）若2b =，且sin tan cos 1C B C +=，求ABC ∆的内切圆半径.21. （本题满分15分）已知函数()1f x ax =+.（Ⅰ）若2a =，写出()f x 的单调区间（不要求证明）；（Ⅱ）若对任意的]2,1[],1,1[∈-∈a x ，不等式()2f x x b ≤-恒成立，求实数b 的取值范围.22. （本题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*22n n S a n N =-∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记22212...n n T a a a =+++，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n T a 的前n 项和为n R .求证：1)1211(431<≤--+n n R ； （Ⅲ）数列{}n b 满足n n n a b b b 211log ,1==+，试比较nb b b b 1111321++++ 与12-n 的大小，并说明理由.2020学年第一学期浙江省名校协作体参考答案高二年级数学学科一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）二、填空题: （本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填写在答题卷的相应位置上．）11. 2或-1，3112. 2，-113. 1，12514. 315. 16+16. 1017．2019三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．解：（Ⅰ）1cos2()22xf x x+=+1()sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭----------------------------4分ππ==22T----------------------------6分3()62fπ=----------------------------8分（Ⅰ）44xππ-≤≤22363xπππ∴-≤+≤---------------------------10分sin(2)126xπ∴-≤+≤---------------------------12分3()2f x≤≤------------------------------14分19.解：（Ⅰ）设{}n a的公差为d，则有()21321a a a⋅+=，即()()()2444312a d a d a d-+-=-又由44a=，得()()()243542d d d--=-----------------------------4分解得1d=或4d=-（舍去），故na n=----------------------------7分（Ⅰ）由（Ⅰ）可得：2nnb=2...12222nn S n ∴=⋅+⋅++⋅231...212222n n S n +∴=⋅+⋅++⋅ -----------------------10分两式相减得：()121 (2)222122n n n n S n n ++=⋅----=-⋅+ -------13分又n S 单调递增，781538,3586S S ==，所以使得2020n S <成立的最大整数7n = ---------------15分20.解：（Ⅰ）证明：由 A bc c b bc b a cos 22222-+=+=得22cos c bc bc A =+ ，即A b b c cos 2+= -------------------------2分A B B C cos sin 2sin sin +=∴， 即)sin(B A +A B B cos sin 2sin += 0sin )sin(>=-∴B B A -----------------------------------------4分 又π<<B 0，ππ<-<-B AB B A =-∴ 或 B B A -=-π(舍去)B A 2=∴ ----------------------7分（Ⅱ）由sin tan cos 1C B C +=，得sin()cos B C B +=， ------------ 9分sin cos 0A B ∴=>，1sin 2B ∴=， 6B π∴=，3A π=，2C =π. --------------------------11分因为2b =，可知4a c == -------------------------13分有ABC ∆内切圆半径12a b cr +-== -------------------------15分 21.解：（Ⅰ）()f x 的单调递减区间为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭---------------------------5分（Ⅰ）解法一：记=)(a g b ax x +++-|1|2，则由题意得对任意]2,1[∈a ，0)(≤a g ，即0)(max ≤a g⎪⎩⎪⎨⎧----≤+++-=----≤+++-=)2(0|12|)2()1(0|1|)1(22b x x g b x x g 对任意]1,1[-∈x 恒成立 -------10分由(1)得1|1|22--=+-≤x x x x b 对任意]1,1[-∈x 恒成立 45)1(min 2-=--≤∴x x b 由(2)得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤-++≤≤---=+-≤211,12121,12|12|222x x x x x x x x b 对任意]1,1[-∈x 恒成立2-≤∴b - ----------------------14分 综上所述2-≤b ，即b 的取值范围为]2,(--∞ ----------------------15分解法二：由21ax x b +≤-，可知1111a b a b ⎧+≤-⎪⎨-+≤-⎪⎩，即1111b a b a ⎧≤-+⎪⎨≤--⎪⎩对[]1,2a ∈恒成立，可得2b ≤- ----------------------12分下证：2b ≤-时命题成立，只要证212ax x +≤+，即当[]1,2a ∈时，22212x ax x --≤+≤+对[]1,1x ∀∈-恒成立，即221030x ax x ax ⎧-+≥⎪⎨++≥⎪⎩，显然成立 ----------------------15分22.解：（Ⅰ） 22111-==a S a ， 21=∴a由 22-=n n a S 及 2211-=++n n a S 得 n n n a a a 2211-=++，即n n a a 21=+{}n a ∴是以2为首项，2为公比的等比数列 nn a 2=∴ -------- -4 分（Ⅰ）证明：nn n a 4)2(22==∴)14(3441)41(4-=--⨯=n n n T ，从而14243-⨯=n nn n T a -----------5分 nn nn n n n T a 2143243142431=⨯⨯≤-⨯=- 12112121212<-=+++≤∴n n n R ----------------------------7分 又)12)(12(243)12)(12(243142431--⨯≥+-⨯=-⨯=+n n nn n n n n n n T a =)121121(431---+n n )211(43)121121121121121121(4311322++-=---++---+---≥∴n n n n R ----10分 综上所述：1)1211(431<≤--+n n R .（Ⅲ）n a b b n n n ==+21log ，11=b )2(11≥-=∴-n n b b n n ，且12=b )2(1)(11≥=-∴-+n b b b n n n ， 111-+-=n n nb b b ----------12分 ∴nb b b b 1111321++++ =1+)()()()(11352413-+-++-+-+-n n b b b b b b b b )2(1211111≥-≥-+=++--=+n n b nb b b nn n n ------------------14分当1=n 时，112111-==b∴nb b b b 1111321++++ ≥12-n ------------------15分。
浙江省A9协作体2022-2023学年高二下学期期中联考试题+数学+Word版含解析
浙江省A9协作体2022学年第二学期期中联考高二数学试题命题：诸暨牌头中学 赵春风 审题：马寅初中学 章立丰 桐乡凤鸣高级中学 沈佳磊考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.第Ⅰ卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.）1.已知集合{}23A x a x a =-<<+，()(){}140B x x x =-->.若A B R = ，则a 值范围是（ ）A.(),1-∞ B.[]1,3 C.()1,3 D.[)3,+∞2.命题“x R ∃∈，210x x -+<”的否定是（ ）A.x R ∃∈，210x x -+>B.x R ∀∈，210x x -+>C.x R ∃∈，210x x -+≥D.x R ∀∈，210x x -+≥3.下列结论中正确的是（）A.若2ln 2y x =+，则122y x '=+ B.若ln x y x =，则21ln xy x -'=C.若2xy x e =，则2xy xe '= D.若()221y x =+，则()2321y x '=+4.下列说法中正确的是（）A.已知随机变量X 服从二项分布14,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()89E X =B.“A 与B 是互斥事件”是“A 与B 互为对立事件”的充分不必要条件C.已知随机变量X 的方差为()D X ，则()()2323D X D X -=-D.已知随机变量X 服从正态分布()24,N σ且()60.85P X ≤=，则()240.35P X <≤=5.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()122f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()()2f x x x =-，若对任意[),x m ∈+∞，都有()316f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）A.11,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.11,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6.将四书《中庸》、《论语》、《大学》、《孟子》全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，A 事件：“《中庸》分给同学甲”；B 表示事件：“《论语》分给同学甲”；C 表示事件：“《论语》分给同学乙”，则下列结论正确的是（ ）A.事件A 与B 相互独立B.事件A 与C 相互独立C.()512P C A =D.()512P B A =7.在二项式n的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为（ ）A.27B.135 C.512D.8258.已知函数()22ln f x x x =--，(a f =，ln 33b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1c f e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）A.a c b<< B.c b a<< C.c a b<< D.b c a<<二、多选题（本大题共4小题，共20分。
2021-2022学年浙江省名校协作体高二下学期开学考试物理试题 Word版
2021-2022学年浙江省名校协作体高二下学期开学考试物理试题命题：湖州中学春晖中学（审校）审核：温岭中学考生注意:1.本卷共8页满分100分,考试时间90分钟;2.答题前,在答题卡指定区域填写学校、班级、姓名、考场号、座位号及准考证号;3.所有答案必须写在答题卡上,写在试卷上无效;4.考试结束后,只需上交答题卡5.无特殊说明取g=10 m/s2第Ⅰ卷(选择题共51分)一、单项选择题(本题共13小题，每小题3分，共39分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。
)1．用国际单位制的基本单位表示电场强度的单位，下列正确的是A．kg•m/（C•s2）B．kg•m/（A•s3）C．N/C D．V/m2．2022年杭州亚运会即将召开，全省人民健身热情高涨，小陶和小周同学一起参加杭州马拉松比赛，起点位于延安路，终点为钱塘江对岸的杭州奥体中心，全程41.2km，早上8:00鸣枪开跑，小陶同学跑到终点为中午12:00，小周同学跑到终点为12:30。
下面说法正确的是A．小陶同学此次马拉松比赛全程的位移是41.2kmB．8:00和12:30是时间间隔C．小周同学此次马拉松比赛的平均速度约为9.16km/hD．小陶同学此次马拉松比赛的平均速率约为10.3km/h3．黄河是中华民族的母亲河，孕育了灿烂的五千年文明。
一首《天下黄河九十九道湾》唱尽了黄河的历史沧桑，黄河九十九道弯虽然只是艺术表达，但也恰当地形容了黄河弯多的特点。
如图黄河沿河A、B、C、D四个河宽相同的弯, 在河流平稳期，可以认为河道中各点流速相等，则下列说法正确的是A．四个弯处河水的速度是相同的B．B弯处的河床受到水的冲击力最大C．A弯处的河水向心加速度最大D．C弯处的河水角速度最大4．下列现象中，属于静电屏蔽的是A．高压输电线线塔上除了下面的三根粗的输电线外，上方还有两根细的导线B．油罐车车尾下方拖着一根落地的软铁条C．高压设备中导体表面应该尽量光滑第3题图第2题图D ．涂料雾化器喷出的油漆微粒在电场力作用下飞向工件表面，形成漆膜5．吊坠是日常生活中极为常见的饰品，深受人们喜爱。
浙江省名校协作体2020-2021学年高二下学期开学联考数学试题
浙江省名校协作体2020・2021学年高二下学期开学联考数学试题学校:姓名：班级：考号：1.已知直线小以 + 2），+ 3 = 0,4 ： x+（3—。
3 = 0 ,则“。
=2”是“/1〃/?”的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体枳是（）3.如图，在正方体44aA中，E,尸依次是AA和4G的中点，则异面直线AE与b所成角的余弦值为（）4.设加，〃是两条不同的直线，。
，夕是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）若加//a 〃//2,则〃?〃/? B.若。
/〃?，"7U。
，"U",则〃7〃〃C.若。
「|4=〃7，〃ua, n ± tn,则〃_L/7 D,若，〃_La, m / In, n u。
，则A. y = 12x2B.), = 一36/C. y = 12x2或y =一36/5.点M（5,3）到抛物线y = 的准线的距离为6,则该抛物线的方程是（）1- 1 .D. y =—厂或y = ------ 厂「12 366.已知点夕在直线/：x—y+l = O上运动，过点夕作圆。
：（X+3『+（），-2『=1的切线，其中一个切点为A,则线段卓的最小值为（）A.娓B・" C. 2虚 D. 37.如图，等边AA5C的中线4尸与中位线OE相交于G ,已知初却是△/4££）绕。
石旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A.动点4在平面A6C 上的射影在线段A 尸上 8 .恒有平面A'GF_L 平面BCED C.三棱锥A'-£77）的体积有最大值 D.异面直线AE 与5。
不可能垂直8 .已知双曲线二—二=1（。
>02>0）的左焦点为元（一c,0）（c>0）,过点K 作直线 cr b 一与圆/ +）理=亍相切于点A,与双曲线的右支交于点8,若砺=2砺—西，则双曲线的离心率为（）A. 2B.叵C.立D.正2229 .等腰直角AOAB 内接于抛物线，其中。
2021第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科附答案
第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1． 本卷满分150分，考试时间120分钟；2． 答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3． 所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷无效； 4． 考试结束后，只需上交答题卷.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填写在答题卷的相应位置上．1．已知直线1l ：07=++my x 和2l ：()2320m x y m -++=互相平行，则实数m = （ ▲ ） A.1m =-或3 B.1m =- C.3m =- D.1m =或3m =-2．若βα，表示两个不同的平面，直线m α⊂，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 ( ▲ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为1,2,3，则该三棱锥的外接球的表面积（ ▲）A.π24B.π18C.π10D. π64．正方体1111D C B A ABCD -棱长为4，N M ,,P 分别是棱A A D A 111,,11C D 的中点，则过P N M ,,三点的平面截正方体所得截面的面积为（ ▲） A ．23．43．63． 1235． 定义点),(00y x P 到直线)0(0:22≠+=++b a c by ax l 的有向距离．．．．为：2200ba c by ax d +++=.已知点1P 、2P 到直线l 的有向距离分别是1d 、2d .以下命题正确的是（ ▲ ）A.若121d d ==，则直线1P 2P 与直线l 平行B.若121,1d d ==-，则直线1P 2P 与直线l 垂直C.若120d d +=，则直线1P 2P 与直线l 垂直D.若120d d ⋅≤，则直线1P 2P 与直线l 相交D 1A 1B 11MNP第4题6．实数,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ▲ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．27．在所有棱长都相等的三棱锥BCD A -中，Q P 、分别是BC AD 、的中点,点R 在平面ABC 内运动，若直线PQ 与直线DR 成030角，则R 在平面ABC 内的轨迹是（ ▲ ） A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．直线8．设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，若在曲线C 的右支上存在点P ,使得21F PF ∆的内切圆半径为，圆心记为M , 又21F PF ∆的重心为G ,满足21//F F MG ，则双曲线C 的离心率为（ ▲ ）A ．2B ．3C ．2D ． 5二、 填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填写在答题卷的相应位置上．9．双曲线191622=-y x 的离心率为 ▲ ,焦点到渐近线的距离为 ▲ ．10．已知点()1,0A ,直线1l ：,01=--y x 直线2l ：022=+-y x ，则点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标为 ▲ ,直线2l 关于直线1l 的对称直线方程是 ▲ ．11．已知一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如右图所示，则这个四棱锥的体积是 ▲ ，表面积是 ▲ .12．如图，三棱锥S -32=AC ,4=====BC AB SC SB SA ,E 为棱SC 的中点，则直线AC 与BE 所成角的余弦值为 ▲ ,直线AC 与平面SAB 所成的角为▲． 13．在正方体1111ABCD A B C D -中（如图），已知点P 在直线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥PC D A 1-的体积不变；②直线AP 与平面1ACD 所成的角的大小不变；ABC第12题SE俯视图第9题图③二面角C AD P --1的大小不变；④M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是直线11D A . 其中真命题的编号是 ▲ （写出所有真命题的编号）14． 两定点)0,2(),0,2(B A -及定直线310:=x l ，点P 是l 上一个动点，过B 作BP 的垂线与AP 交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为▲．15．在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥,6AB =,BC =,O 为AC 的中点，过C 作BO 的垂线，交AB BO 、分别于D R 、.若DPR CPR ∠=∠,则三棱锥ABC P -体积的最大值为▲． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知直线1:10l x y --=,直线2:30l x y +-= （I ）求直线1l 与直线2l 的交点P 的坐标；（II ）过点P 的直线与x 轴的非负半轴．．．．交于点A ，与y 轴交于点B ，且4AOB S ∆=（O 为坐标原点），求直线AB 的斜率k ．17．如右图, 在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥A A 1平面ABC ，BC AC ⊥，1AC =，ABCD 1A 1B 1C 1D 第13题ABCPDOR第15题BC1A 1B 1C2BC =，11A A =，点D 是AB 的中点.（I ）证明：1AC ∥平面1CDB ；(Ⅱ)在线段AB 上找一点P ，使得直线1AC 与CP 所成角 的为60，求AP AB的值．18．已知圆4:22=+y x O 及一点)0,1(-P ，Q 在圆O 上运动一周，PQ 的中点M 形成轨迹C ．（I ）求轨迹C 的方程；（II ）若直线PQ 的斜率为1，该直线与轨迹C 交于异于M 的一点N ，求CMN ∆的面积．19．如图，四棱锥A OBCD -中 ，已知平面AOC ⊥面OBCD，2,4,AO OB BC CD ====0120OBC BCD ∠=∠=．（I ）求证：平面ACD ⊥平面AOC ； （II ）直线AO 与平面OBCD 所成角为60， 求二面角A BC D --的平面角的正切值．20．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为12,F F ，M 在椭圆上，△12MF F 的周长为452+,面积的最大值为2. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线)0(>=k kx y 与椭圆C 交于B A ,，连接22,AF BF 并延长交椭圆C 于E D ,，连接DE ．探索AB 与DE 的斜率之比是 否为定值并说明理由．第18题第20题图第19题AB CDO第二学期浙江省名校协作体高二年级数学参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ABDDACBC二、 填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9.45, 3 10. ()12-，， 052=--y x 11.2 , 22232++ 12.41， 060 13.①③④ （多选或错选或不选不给分，少选均给一半，）14.2214x y += 15.33 三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16、解：（1）联立两条直线方程：1030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩， 所以直线1l 与直线2l 的交点P 的坐标为(2,1)． 5 （2）设直线方程为：1(2)y k x -=-令0x = 得12y k =-，因此(0,12)B k -； 令0y =得12x k =-，因此1(2,0)A k -．211002k k ork k -≥⇒≥< 811(12)(2)42AOB S k k∆∴=--=， 10 解得12k =-或322k =+．1417 （Ⅰ）证明：设1CB 与B C 1相交于E ，连结DE , ………….2分D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点, ∴DE ∥1AC , ………….6分⊂DE 平面1CDB ，⊄1AC 平面1CDB ,∴1AC ∥平面1CDB .………….7分（Ⅱ）建立空间直角坐标系，1CC 为z 轴，CA 为x 轴，CB 为y 轴，……….9分 设(01)AP AB λλ=<<()1,2,0CP CA AB λλλ=+=-，()11,0,1AC =-所以11cos ,2AC CP =13λ⇒=15 （向量写出，夹角公式写出，计算答案错误至少给2分） 非向量做法：指出角给2分，其他视情况相应给分 18、（1）设),(),,(11y x Q y x M ，则y y x x 2,1211=+=，2 把),(11y x 代入422=+y x 得1)21(:22=++y x C 。
浙江名校协作体2024年高二上学期开学考试数学试题
2024学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合2{|4}A x x =<，{}|41B x x =−<≤，则A B = （ ▲ ）A.{|2}x x <B.{|21}x x −<≤C.{|41}x x −<≤D.{|42}x x −<< 2．记复数z 的共轭复数为z ，若()2i 24i z +=−，则z =（ ▲ ）A ．1BC ．2D．3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7， 且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ▲ ）A ．两人都中靶的概率为0.12B ．两人都不中靶的概率为0.42C ．恰有一人中靶的概率为0.46D ．至少一人中靶的概率为0.74 4．已知向量12a =，b = ，若()()//a b a b λµ++，则（ ▲ ） A. 1λµ= B. 1λµ=− C.1λµ+=− D. 1λµ+= 5．已知,αβ是两个互相垂直的平面，,m n 是两条直线，m αβ= 则“//n m ”是“//n α”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 设函数()f x x x = ，则不等式()()332log 3log 0f x f x +−<的解集是（ ▲ ）A ．1,2727B ．1027，C ．()270，D ．()27+∞，7．已知函数()4f x x π=+ 的定义域为[],a b ，值域为，则b a −的取值范围是（ ▲ ） A ．π4π,23B ．π5π,23C ．5π5π,63D ．2π4π,33 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点， 且1A F //平面1AD E ，则下列说法正确的个数有（ ▲ ） ①二面角1F AD E −−的大小为常数 ②二面角1F D E A −−的大小为常数 ③二面角1F AE D −−的大小为常数A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为1210,,,x x x ，计算得平均数7x =，方差 22S =，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（ ▲ ） A ．极差变大 B ．中位数不变11．四面体ABCD 中,3AC BC AB ===，5BD =，4CD =，记四面体ABCD 外接球的表面积为S ， 当AD 变化时，则（ ▲ ） A. 当3AD =时，32411S=π B. 当四面体ABCD 体积最大时，28S =π C. S 可以是16π D. S 可以是100π非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知幂函数()2()57m f x mm x =−+的图象关于y 轴对称，则实数m 的值是 ▲ .13．已知1,1x y >>且3log 4log 3y x =，则xxxx 的最小值为 ▲ .14．在正四面体ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，23AG AD =，截面EFG 将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是 ▲ .四、解答题：(共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）．15．已知a R ∈,()(){}|20A x a x a x =++>,102x B xx −=≤ −． (Ⅰ)当0a <时求集合A ；(Ⅱ)若B A ⊆，求a 的取值范围.16．为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． (Ⅰ) 估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；(Ⅱ) 估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (Ⅲ) 估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．17．已知函数()sin()cos()sin +632f x x x x πππ=+−++. (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间；(Ⅱ)将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位， 得到函数()g x 的图象，若6()5g α=−，且5,612αππ∈−，求cos 2α的值.18．如图，已知四棱锥P ABCD −中，4PB PD ==，6PA =，60APB APD ∠=∠=°，且PB PD ⊥， (Ⅰ)求证：BD PA ⊥；(Ⅱ)求直线PA 与平面ABCD 所成角的正弦值；(Ⅲ)若平面PAC 与平面ABCD 垂直，3PC =，求四棱锥P ABCD −的体积．19．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数()0k k >，使得对D 内的任意x ，都有()k f x f x =，则称()f x 是“反比例对称函数”.设()2816log log f x x x =⋅，()16g x ax m ax =+−.(Ⅰ)判断函数()2816log log f x x x=⋅是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (Ⅱ)当1a =时，若函数()f x 与()g x 的图象恰有一个交点，求m 的值；(Ⅲ)当1a >时,设()()()hx f x g x =−，已知()h x 在(0,)+∞上有两个零点12,x x ，证明：1216x x <.命题： 学军中学 温岭中学（审校） 审核：春晖中学。
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又由点 为 内（包括边界）的一个动点，
可得三棱锥为 外接球的球心必在直线 ，
其中 的外接圆为球的一个小圆，且为定圆，
当过点 球与 所在的平面相切于 的中心 时，此时球的半径最小，
根据运动的思想，可得当点 与 或 或 重合时，此时外接球的半径最大，
设此时外接球的半径为 ，
故答案为：0
【点睛】平面向量的数量积问题，可以通过转化为极化恒等式进行求解，本题中，要先把N点的轨迹求出来，通过极化恒等式进行求解.
16.已知正方体 的棱长为2， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，点 为 内（包括边界）的一个动点，则三棱锥为 外接球的表面积最大值为_____________.
【答案】
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ， ，则 D.若 ， ， ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】对于A选项，两个平面 和平面 垂直，则这两个平面可能平行，A选项错误.
对于B选项，两条平行直线有一条和一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直，B选项正确.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的概念和运算法则即可求解.
【详解】由题意得， ，
所以复数 的虚部为 .
故选：A.
3.已知A，B是相互独立事件，且 ， ，则 （）
A. 0.9B. 0.12C. 0.18D. 0.7
【答案】C
【解析】
【分析】由对立事件概率公式求出 ，再根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.
2021学年高二年级第二学期浙江省名校协作体试题
数学试卷
一、选择题
1 设集合 ， ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合交集与并集的定义即可求解.
【详解】解：因为集合 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
2.已知复数 满足 ，则复数 的虚部是（）
A. B. C. 1D. 2
故答案为：2
15.已知正方形 ， ， ， ， ，点O关于直线FM对称的点为N，则 的最小值为_____________.
【答案】0
【解析】
【分析】利用点O关于直线FM对称求出N点坐标，结合对勾函数求出横坐标的取值范围，结合N的轨迹，利用极化恒等式进行求解
【详解】由题意得： ， ， ， ，则直线MF： ，设 ，则 ，解得： ，所以 ，其中 ，由对勾函数可知 在 上单调递减，在 上单调递增，其中 ， ，从而 ，且当 时， ，又点N的轨迹为以M为圆心，2为半径的圆弧，如图所示，取BC的中点H，连接NH，因为 ①， ②，两式平方后相加得： ，要想 的值最小，则需要 最小，连接MH，与圆弧交点N即为最小的 ，此时由勾股定理得： ，此时 ，过点N作NG⊥y轴于点G，则 ，所以 ， ，故 ，符合要求，故 .
【答案】
【解析】
【分析】结合离心率求得 ，由此求得虚轴长.
【详解】依题意 ，
所以虚轴长 .
故答案为：
14.已知等差数列 的公差为1，若以数据 ， ， ， ， 为样本，则此样本的方差为_____________.
【答案】2
【解析】
【分析】先根据等差中项的性质求出平均数，再利用方差公式进行求解.
【详解】由题意得： ，所以 ， ， ， ， 的平均数为 ，由于公差为1，所以 ， ， ， ，故此样本的方差为 .
【答案】（1）最多150人
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得 的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值.
（2）根据条件①②列不等式，化简得 ，结合基本不等式求得 的范围.
【小问1详解】
依题意可得调整后研发人员的年人均投入为 万元，
【分析】根据定义域排除C选项，根据特殊点坐标排除A选项，根据单调性排除B选项，通过验证，D选项正确.
【详解】由图象可以得到函数 定义域为R且 ，而A选项中的函数解析式满足 ，不合要求，A错误；C选项 的定义域为 ，不合要求，C错误；
B选项，当 时， ， 恒成立，故 在 单调递增，显然与图象不符，B错误；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得 的单调递减区间.
（2）利用余弦定理求得 ，结合三角函数值域的求法求得 的取值范围.
【小问1详解】
令 ，则
所以，单调减区间是 .
【小问2详解】
由 得：
，即 ，
由于 ，所以 .
在 中， ，
，
于是 ，则 ， ，
D选项，当 时， ， ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，符合要求.
故选：D
6.已知 ， ， ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得出 ，将所求代数式化为 ，与代数式 相乘，展开后利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】因为 ， 且 ，则 ，
所以，
取得最小值 ，
， ， .
结合二次函数的性质可知当 或 时，
取得最大值 .
综上所述， ，
所以BCD选项符合. ，A选项不符合.
故选：BCD
12.已知不共线的平面向量 ， ， 满足 ， ， ，且 .则下列结论正确的是（）
A. 与 的夹角的取值范围为
B. 与 的夹角不可能为
C. 的最小值为
D.对给定的 ，记 的最小值为 ，则
A. 14米B. 16米C. 18米D. 20米
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用余弦定理求得所求距离的表达式，结合二次函数、三角函数的知识求得距离的取值范围，从而确定正确选项.
【详解】设改变方向的地点为 ，终点为 ，
由于 ，所以 ， ，
， ，
由余弦定理得
.
当 时， 米.
当 时， ，
结合二次函数的性质可知当 时，
【详解】延长 交抛物线 的准线 于点 ，过点 、 分别作直线 的垂线，垂足分别为 、 ，
设 ，则 ， ，由抛物线的定义可得 ， ，
因为 ，则 ，所以， ，即 ，
解得 ，所以， ，
因为 ，则 ，所以，直线 的倾斜角为 或 ，
因此，直线 的斜率为 .
故选：B.
8.在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格 与其实际价值之间，存在着相当大的差距.对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格 与其实际价值的差距.设顾客第 次的还价为 ，商家第 次的讨价为 .有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价 的一半，即第一次还价 ，商家第一次的讨价为 与标价 的平均值，即 ；…；顾客第 次的还价为上一次商家的讨价 与顾客的还价 的平均值，即 ，商家第 次的讨价为上一次商家的讨价 与顾客这一次的还价 的平均值，即 .现有一件衣服标价1200元，若经过 次的“对半讨价还价”， 与 相差不到 元，则 最小值为（）
若 在区间 上有零点，不妨取 ，则 ，
即“ 在区间 上有零点” “ ”；
另一方面，若 ，不妨取 ，
则 在 上无零点，
即“ 在区间 上有零点” “ ”.
故“ 在区间 上有零点”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5.已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
，所以 .
18.为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入 万元（ ），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 名（ 且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元.
对于D中，当 时，可得 ，所以 ；
当 时，可得 ，
因为 且 ，可得 ，可得 ，所以 ，即 ，
所以D正确.
故选：ACD.
11.根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 沿东偏南 （ 在 上变化）方向行走一段时间后，再向正南方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的落点与原点的距离可能为（）
，
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故选：B.
7.已知 为抛物线 上的焦点， 、 为抛物线 上两点，且满足 ，则直线 的斜率为（）
A. B. C. ±1D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长 交抛物线 的准线 于点 ，过点 、 分别作直线 的垂线，垂足分别为 、 ，设 ，则 ， ，利用抛物线的定义结合相似三角形可求得 ，求出 ，可得出直线 的倾斜角，进而可求得直线 的斜率.
（1）要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（2）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数 ，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由.
【解析】
【分析】连接 ，得到 平面 ，且 平面 ，且 为 和 中心，得到当点 与 或 或 重合时，此时外接球的半径最大，结合球的截面圆的性质，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，连接 ，因为 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，
根据正方体 结构特征，可得 平面 ，且 要考虑平行四边形的对角线之差=2，用这个条件来约束 与 ，推出的等式比较复杂，需要仔细计算，同时考虑到当 时，平行四边形为矩形，对角线相等，不可能相差2，说明 角必然是有范围的，后面的计算主要是如何表达向量 .