大学生数学竞赛教程答案详解

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第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题与解答

第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答一、填空题（每小题3分，共30分）1. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+∞→1)2(lim 6123x e x x x x x = 1/6 . 2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 ,0,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3. 设243),(lim220=+-+→→yx yx y x f y x , 则 ='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 4．设函数()u ϕ可导且(0)1ϕ=，二元函数()xyz x y e ϕ=+满足0z z x y∂∂+=∂∂，则()u ϕ=24u e - . 5. 设D 是由曲线x y sin = )22(π≤≤π-x 和直线2π-=x , 1=y 所围成的区域, f 是连续函数, 则=++=⎰⎰Ddxdy y x f y x I )](1[223 －2 .6. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪++++= ⎪++++ ⎪⎝⎭L 2ln 21- .7. 数项级数∑∞=--1)!2()!2()1(n nn n n n 的和=S －1+cos1+ln2.8. 计算积分⎰⎰⎰++π=1021010)](6[cos dz z y x dy dx I = 1/2 . 9. 已知入射光线的路径为23141-=-=-z y x , 则此光线经过平面01752=+++z y x 反射后的反射线方程为41537-=+=+z y x . 10. 设曲线222:a y xy x C =++的长度为L , 则=++⎰C y x y x ds e e e b e a )sin()sin()sin()sin(L b a 2+ . 二、(10分) 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时, ,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内，方程()0f x =有且仅有一个实根．证明由于当x a >时，,0)(≤''x f 因此'()f x 单调减，从而'()'()0f x f a ≤<，于是又有()f x 严格单调减．再由()0f a >知，()f x 最多只有一个实根．下面证明()0f x =必有一实根．当x a >时，()()'()()'()()f x f a f x a f a x a ξ-=-≤-，即 ()()'()()f x f a f a x a ≤+-，上式右端当x →+∞时，趋于-∞，因此当x 充分大时，()0f x <，于是存在b a >，使得()0f b <，由介值定理存在()a b ηη<<，使得()0f η=．综上所述，知()0f x =在(,)a +∞有而且只有一个实根．三、(10分)设),(y x f 有二阶连续偏导数,),(),(22y x e f y x g xy +=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.解 ))1(()1(),(22y x o y x y x f +-+---=, 由全微分的定义知 0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-='='y x f f .x f y e f g xy x 221⋅'+⋅'=' y f x e f g xyy 221⋅'+⋅'=' 0)0,0(='x g 0)0,0(='y g 2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xyxy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211⋅''+⋅''++⋅'+⋅''+⋅''=''2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xyxy xy xy y'+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' A=2)0,1(2)0,0(22-='=''f g x ， 1)0,1()0,0(1-='=''=f g B xy ，2)0,1(2)0,0(22-='=''=f g C y 032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.四、(10分) 设f (x )在 [0,1] 上连续, f (0)= f (1) , 求证: 对于任意正整数ｎ，必存在]1,0[∈n x ，使)1()(nx f x f n n +=．证明令.,]11,0[)(),1()()(m M nx n x f x f x 及最小值所以有最大值上连续在-+-=φφ 于是有 ,1,,1,0,)(-=≤≤n k M n k m Λφ 所以 .)(11M nknm n k ≤≤∑-=φ故存在],11,0[nx n -∈ 使 .0)]1()0([1)]1()1()2()1()1()0([1)]1()1()0([1)(1)(10=-=--++-+-=-+++==∑-=f f nf n n f n f n f n f f n n n n n n k n x n k n ΛΛφφφφφ)1()(nx f x f n n +=．五、(10分)是其中求且有连续的二阶导数设)(,)()(lim,0)(,0)0()0(,)(0)(00x u dtt f dtt f x f f f x f x x u x ⎰⎰+→>''='=.))(,()(轴上的截距处切线在在点曲线x x f x x f y =).(2)()()0()()()0(21)(.)]([)()()(,)()()(),)(()(222x o xx u x o x f x f x o x f x f x f x f x f x u x f x f x x u x x X x f x f Y +=+''='+''='''=''-=-'=-，知，由于是轴上的截距为它在切线方程：解.81)]()0([))](()()0(21)[(lim )]([)())((lim )()())((lim )()(lim 22202000)(00=+''+''''='''='=++++→→→→⎰⎰x o x f x u o x u f x f x f x f x u f x f x u x u f dtt f dtt f x x x x x u x 由洛必达法则有六、(10分) 设函数)(x f 具有连续导数,在围绕原点的任意光滑简单闭曲面S 上,积分⎰⎰--Sxzdxdy edzdx x xyf dydz x xf 2)()(的值恒为同一常数.(1)证明: 对空间区域0>x 内的任意光滑简单闭曲面∑,有0)()(2=--⎰⎰∑zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf x; (2) 求函数)0)((>x x f 满足1)(lim 0=+→x f x 的表达式.(1)证明:如图,将∑分解为∑+=21S S,另做曲面3S 围绕原点且与∑相接, 则⎰⎰∑+-xdxdy z dzdx x yf dydz x f sin )()(-+-=⎰⎰+31sin )()(S S xdxdy z dzdx x yf dydz x f ⎰⎰+-+-32sin )()(S S xdxdy z dzdx x yf dydz x f =0.(2) 由(1)可知, 0)()()('2≡--+xe x xf x f x xf ,其通解为x Ce e x f x x +=2)(, 由1lim )(lim 200=+=++→→x Ce e x f x x x x , 得1-=C ,故)0()(2>-=x xe e xf xx七、(10分) 如图, 一平面均匀薄片是由抛物线)1(2x a y -= )0(>a 及x 轴所围成的, 现要求当O此薄片以)0,1(为支点向右方倾斜时, 只要θ角不超过ο45, 则该薄片便不会向右翻倒,问参数a 最大不能超过多少? 解 0=x 522)1(010)1(01022adydx ydy dx dxdyydxdyy x a x a DD===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-- 倾斜前薄片的质心在)52,0(aP , 点P 与点)0,1(的距离为 1)52(2+a, 薄片不翻倒的临界位置的质心在点 )1)52(,1(2+a M , 此时薄片底边中心在点)22,221(-N 处, 有 =MN k 145tan )221(1221)52(2==---+οa , 解得25=α, 故a 最大不能超过25. .八、(10分) 讨论是否存在 [0,2] 上满足下列条件的函数, 并阐述理由: f (x ) 在 [0,2] 上有连续导数, f (0) = f (2)=1, .1|)(|,1|)(|2≤≤'⎰dx x f x f解不存在这样的函数.当)2,0(∈x 时, ).2,(),,0(),2)((1)(1)(2121x x x f x f x f ∈∈-'+='+=ξξξξ 由题设知1)(,1)(-≥-≥x x f x x f ,且21)1()(,21)1()(212111=-≥=-≥⎰⎰⎰⎰dx x dx x f dx x dx x f . 下面证明上面的不等式不能同时取等. 否则,,1)(,]1,0[x x f x -=∈时当时当]2,1[∈x ,,1)(-=x x f 此时函数不满足连续可导的条件.于是,1)()()(2112>+=⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f 故不存在满足所给条件的函数.贸大数学竞赛选拔题目（一大一小） 1.函数ln(u x =在点A ( 1 , 0 , 1) 处沿点A 指向 B ( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 .提示:(2,2,1),AB =-其单位向量为ABl AB=221,,333⎛⎫=- ⎪⎝⎭(cos ,cos ,cos )αβγ=A u x∂=∂ d 1d ln(1)x x x =+1,2= Au y ∂=∂d 0d ln(1y y =0,=12Auz∂=∂ cos cos cos u u u u l x y z αβγ∂∂∂∂∴=++∂∂∂∂12= 2. 求函数(,)sin(2)f x y x y =+在点(0,)4π的一阶泰勒公式解: (,)2cos(2),(,)cos(2)x y f x y x y f x y x y =+=+(,)4sin(2)xx f x y x y =-+ ，(,)2sin(2)xy f x y x y =-+， (,)sin(2)yy f x y x y =-+(0,)4f π=(0,)4x f π=(0,)4y f π=(,)4sin(2)xx f ξηξη=-+，(,)2sin(2)xy f ξηξη=-+，(,)sin(2)yy f ξηξη=-+所以(,)sin(2)f x y x y =+=0)x -+ )4y π-]+ 12[24sin(2)(0)x ξη-+-+2(2sin(2)(0)()4x y πξη-+--)2sin(2)()4y πξη-+-] )sin(2)4y πξη--+221[22()()]424x x y y ππ+-+- 其中,()44x y ππξθηθ==+-, (01)θ<<3. 求函数(,)ln(1)f x y x y =++在点(0,0)的三阶泰勒公式. 解: 1(,)(,)1x y f x y f x y x y ==++ 21(,)(,)(,)(1)xx xy yy f x y f x y f x y x y -===++3332!(1)p pf x y x y -∂=∂∂++(0,1,2,3)p = 4443!(1)p pf x y x y -∂-=∂∂++(0,1,2,3,4)p =因此,()(0,0)x y h k f ∂∂∂∂+(0,0)(0,0)x y h f k f =+h k =+2()(0,0)x y h k f ∂∂∂∂+22(0,0)2(0,0)(0,0)xx xy yy h f hk f k f =++2()h k =-+ 3()(0,0)x y h k f ∂∂∂∂+333330C (0,0)p p pp p p fh k x y --=∂=∂∂∑32()h k =+(0,0)0,f =又将,h x k y ==代入三阶泰勒公式得 ln(1)x y ++=x y +21()2x y -+331()3x y R +++其中43()(,)x y R h k f h k θθ∂∂∂∂=+h x k y==441()4(1)x y x y θθ+=-⋅++(01)θ<<4. 在曲面z =xy 上求一点, 使这点处的法线垂直于平面x +3y +z +9=0, 并写出这法线的方程. 解已知平面的法线向量为n 0=(1, 3, 1).设所求的点为(x 0, y 0, z 0), 则曲面在该点的法向量为n =(y 0, x 0, -1). 由题意知n //n 0, 即113100-==x y , 于是x 0=-3, y 0=-1, z 0=x 0y 0=3, 即所求点为(-3, -1, 3), 法线方程为133113-=+=+z y x .5. 设e l =(cos θ , sin θ), 求函数f (x , y )=x 2-xy -y 2在点(1, 1)沿方向l 的方向导数, 并分别确定角θ, 使这导数有(1)最大值, (2)最小值, (3)等于0.解由题意知l 方向的单位向量为(cos α, cos β)=(cos θ , sin θ), 即方向余弦为 cos α=cos θ , cos β=sin θ . 因为f x (1, 1)=(2x -y )|(1, 1)=1, f y (1, 1)=(-x +2y )|(1, 1)=1,所以在点(1, 1)沿方向l 的方向导数为 )4sin(2sin cos cos )1 ,1(cos )1 ,1()1,1(πθθθβα+=+=+=∂∂y x f f lf .因此 (1)当4πϕ=时, 方向导数最大, 其最大值为2;(2)当45πϕ=时, 方向导数最小, 其最小值为2-;(3)当43πϕ=及47π时, 方向导数为0.6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在椭球面1222222=++c z b y a x 上点M 0(x 0, y 0, z 0)处沿外法线方向的方向导数.解椭球面1222222=++c z b y a x 上点M 0(x 0, y 0, z 0)处有外法向量为),,(202020c z b y a x =n , 其单位向量为),,(1)cos ,cos ,(cos 202020424242c z b y a x c z b y a x n ++==γβαe .因为u x (x 0, y 0, z 0)=2x 0, u y (x 0, y 0, z 0)=2y 0, u z (x 0, y 0, z 0)=2z 0, 所以, 所求方向导数为γβαcos ),,(cos ),,(cos ),,(000000000),,(000z y x u z y x u z y x u n u z y x z y x ++=∂∂4242422002002004242422)222(1c z b y a x c z z b y y a x x c z b y a x ++=⋅+⋅+⋅++=.7. 求平面1543=++z y x 和柱面x 2+y 2=1的交线上与xOy 平面距离最短的点.解设M (x , y , z )为平面和柱面的交线上的一点, 则M 到xOy 平面的距离为d (x , y , z )=|z |.问题在于求函数f (x , y , z )=|z |2=z 2在约束条件1543=++z y x 和x 2+y 2=1下的最不值. 作辅助函数:)1()1543(),,(222-++-+++=y x zy x z z y x F μλ.令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂1154305202402322y x z y x z zF y y F x x F λμλμλ, 解方程组得54=x , 53=y , 1235=z . 因为可能的极值点只有)1235 ,53 ,54(这一个, 所以这个点就是所求之点.8. 在第一卦限内作椭球面1222222=++c z b y a x 的切平面, 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小, 求这切平面的切点, 并求此最小体积.解令1),,(222222-++=c z b y a x z y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =, 22c z F z =. 椭球面上点M (x , y , z )处的切平面方程为0)()()(222=-+-+-z Z c z y Y b y x X a x , 即1222=++c zZ b yY a xX . 切平面在三个坐标轴上的截距分别为x a X 20=, y b Y 20=, z c Z 20=. 切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为xyz c b a V 22261⋅=. 现将问题化为求函数xyz cb a V 22261⋅=在条件1222222=++c z b y a x 下的最小值的问题, 或求函数f (x , y , z )=xyz 在1222222=++c z b y a x 下的最大值的问题.作辅助函数)1(),,(222222-+++=c z b y a x xyz z y x F λ.令 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂1020202222222222c z b y a x c z xy z F b yxz y F a x yz x F λλλ, 解方程组得3a x =, 3b y =, 3cz =. 于是, 所求切点为)3 ,3 ,3(c ya , 此时最小体积为abcV 23=.。

大学生数学知识竞赛试题及答案【最新】

趣味数学知识竞赛复习题一、填空题1、（苏步青）是国际公认的几何学权威，我国微分几何派的创始人。

2、（华罗庚）是一个传奇式的人物，是一个自学成才的数学家。

3、编有《三角学》，被称为“李蕃三角”且自称为“三书子”的是（李锐夫）。

4、世界上攻克“哥德巴赫猜想”的第一个人是（陈景润）。

5、（姜立夫）是现代数学在中国最早而又最富成效的播种人”，这是《中国大百科全书》和《中国现代数学家传》对他的共同评价。

6. 设有n个实数,满足|xi|<1(I=1,2,3,…,n), |x1|+|x2|+…+|xn|=19+|x1+x2+…+xn| ,则n的最小值207. 三角形的一个顶点引出的角平分线,高线及中线恰将这个顶点的角四等分,则这个顶角的度数为___90° ___8. 某旅馆有2003个空房间,房间钥匙互不相同,来了2010们旅客,要分发钥匙,使得其中任何2003个人都能住进这2003个房间,而且每人一间(假定每间分出的钥匙数及每人分到的钥匙数都不限),最少得发出_16024______把钥匙.9. 在凸1900边形内取103个点,以这2003个点为顶点,可将原凸1900边形分割成小三角形的个数为______2104 _____.10. 若实数x满足x4+36<13x2,则f(x)=x3-3x的最大值为______18_____11 ."我买鸡蛋时，付给杂货店老板12美分，"一位厨师说道，"但是由于嫌它们太小，我又叫他无偿添加了2只鸡蛋给我。

这样一来，每打(12只)鸡蛋的价钱就比当初的要价降低了1美分。

" 厨师买了＿18只鸡蛋?12.已知f(x)∈[0,1],则y=f(x)+1的取值范围为 ___[7/9,7/8]____13. 已知函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的定义域均为非负实数集，对任意的ｘ≥0，规定ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝．若ｆ（ｘ）＝3－ｘ，ｇ（ｘ）＝，则ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）的最大值为____（2√3－1） _____ 14．已知a,b,cd∈N,且满足342(abcd+ab+ad+cd+1)=379(bcd+b+d),设M=a×103+b×102+c×10+d,则M的值为______ 1949 ___.15. 用E(n)表示可使5k是乘积112233…nn的约数为最大的整数k,则E(150)=__ 2975_________16. 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有_2500________种不同的取法．17. 从正整数序列1,2,3,4,…中依次划去3的倍数和4的倍数,但是其中是5的倍数均保留,划完后剩下的数依次构成一个新的序列:A1=1,A2=2,A3=5,A4=7,…,则A2003的值为____3338 _____.18. .连接凸五边形的每两个顶点总共可得到十条线段(包括边在内),现将其中的几条线段着上着颜色,为了使得该五边形中任意三个顶点所构成的三角形都至少有一条边是有颜色的则n的最小值是＿419. 已知x0=2003,xn=xn-1+ (n>1,n∈N),则x2003的整数部分为_______2003___21. 已知ak≥0,k=1,2,…,2003,且a1+a2+…+a2003=1,则S=max{a1+a2+a3,a2+a3+a4,…, a2001+a2002+a2003}的最小值为________3/2007 _.22. 对于每一对实数x,y,函数f满足f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,若f(1)=1,那么使f(n)=n(n≠1)的整数n共有＿1个.23.在棱长为a的正方体内容纳9个等球,八个角各放一个,则这些等球最大半径是____. (√3-3/2)a ___24.已知a,b,c都不为0,并且有sinx=asin(y-z),siny=bsin(z-x),sinz=csin(x-y).则有ab+bc+ca=__-1 _____.二、选择题1、被誉为中国现代数学祖师的是（1、C ）。

第1届大学生数学竞赛决赛试题决赛解答

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案（非数学类，2010）一、（20分，每小题5分）1）求极限121lim(1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. 2）计算2∑∑为下半球面z =a 为大于0的常数.3）现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器.已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？4）已知()f x 在11(,)42内满足331()sin cos f x x x'=+，求()f x .解 1）记 121(1)s i n n n k k k S n nπ-==+∑，则 122111()n n k k k S o n n n π-=⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑.11223111()n n k k k ko n n nππ--===++∑∑5236πππ→+=2）将∑（或分片后）投影到相应坐标平面上化为二重积分逐块计算。

112yzD I axdydz a ∑==-⎰⎰⎰⎰ 其中yz D 为yoz 平面上的半圆222,0y z a z +≤≤。

利用极坐标，得2310223aI d rdr a ππθπ=-=-⎰⎰22211()[xyD I z a dxdy a dxdy a a ∑=+=-⎰⎰⎰⎰，其中xy D 为xoy 平面上的圆域222x y a +≤。

利用极坐标，得()22232001226a I d a r rdr a a ππθ=-=⎰⎰。

因此，3122I I I a π=+=-。

3）设圆柱容器的高为h ,上下底的径为r ，则有22,Vr h V h rππ==或。

所需费用为222()222bV F r a r b rh a r rπππ=+=+显然，'22()4bV F r a r rπ=-。

那么，费用最少意味着 '()0F r =，也即32bV r a π=这时高与底的直径之比为322h V ar r bπ==。

大学生数学知识竞赛试题及答案知识讲解

趣味数学知识竞赛复习题一、填空题1、（苏步青）是国际公认的几何学权威，我国微分几何派的创始人。

2、（华罗庚）是一个传奇式的人物，是一个自学成才的数学家。

3、编有《三角学》，被称为“李蕃三角”且自称为“三书子”的是（李锐夫）。

4、世界上攻克“哥德巴赫猜想”的第一个人是（陈景润）。

5、（姜立夫）是现代数学在中国最早而又最富成效的播种人”，这是《中国大百科全书》和《中国现代数学家传》对他的共同评价。

6. 设有n个实数,满足|xi|<1(I=1,2,3,…,n), |x1|+|x2|+…+|xn|=19+|x1+x2+…+xn| ,则n的最小值207. 三角形的一个顶点引出的角平分线,高线及中线恰将这个顶点的角四等分,则这个顶角的度数为___90°___8. 某旅馆有2003个空房间,房间钥匙互不相同,来了2010们旅客,要分发钥匙,使得其中任何2003个人都能住进这2003个房间,而且每人一间(假定每间分出的钥匙数及每人分到的钥匙数都不限),最少得发出_16024______把钥匙.9. 在凸1900边形内取103个点,以这2003个点为顶点,可将原凸1900边形分割成小三角形的个数为______2104 _____.10. 若实数x满足x4+36<13x2,则f(x)=x3-3x的最大值为______18_____11 ."我买鸡蛋时，付给杂货店老板12美分，"一位厨师说道，"但是由于嫌它们太小，我又叫他无偿添加了2只鸡蛋给我。

这样一来，每打(12只)鸡蛋的价钱就比当初的要价降低了1美分。

" 厨师买了＿18只鸡蛋?12.已知f(x)∈[0,1],则y=f(x)+1的取值范围为___[7/9,7/8]____13. 已知函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的定义域均为非负实数集，对任意的ｘ≥0，规定ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝．若ｆ（ｘ）＝3－ｘ，ｇ（ｘ）＝，则ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）的最大值为____（2√3－1）_____14．已知a,b,cd∈N,且满足342(abcd+ab+ad+cd+1)=379(bcd+b+d),设M=a×103+b×102+c×10+d,则M的值为______ 1949 ___.15. 用E(n)表示可使5k是乘积112233…nn的约数为最大的整数k,则E(150)=__2975_________16. 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有_2500________种不同的取法．17. 从正整数序列1,2,3,4,…中依次划去3的倍数和4的倍数,但是其中是5的倍数均保留,划完后剩下的数依次构成一个新的序列:A1=1,A2=2,A3=5,A4=7,…,则A2003的值为____3338_____.18. .连接凸五边形的每两个顶点总共可得到十条线段(包括边在内),现将其中的几条线段着上着颜色,为了使得该五边形中任意三个顶点所构成的三角形都至少有一条边是有颜色的则n的最小值是＿ 419. 已知x0=2003,xn=xn-1+ (n>1,n∈N),则x2003的整数部分为_______2003___21. 已知ak≥0,k=1,2,…,2003,且a1+a2+…+a2003=1,则S=max{a1+a2+a3,a2+a3+a4,…, a2001+a2002+a2003}的最小值为________3/2007 _.22. 对于每一对实数x,y,函数f满足f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,若f(1)=1,那么使f(n)=n(n≠1)的整数n共有＿1个.23.在棱长为a的正方体内容纳9个等球,八个角各放一个,则这些等球最大半径是____. (√3-3/2)a ___24.已知a,b,c都不为0,并且有sinx=asin(y-z),siny=bsin(z-x),sinz=csin(x-y).则有ab+bc+ca=__-1 _____.二、选择题1、被誉为中国现代数学祖师的是（1、C ）。

大学生数学竞赛试卷及答案(数学类)

Fe1 = e2 , F 2 e1 = Fe2 = e3 ," , F n −1e1 = F ( F n − 2 e1 ) = Fen −1 = en
由
（*）
Me1 = (an1 F n −1 + an −11 F n − 2 + " + a21 F + a11 E )e1 = an1 F n −1e1 + an −11 F n − 2 e1 + " + a21 Fe1 + a11 Ee1 = an1en + an −11en −1 + " + a21e2 + a11e1 = α1 = Ae1
圆柱面的半径即为平行直线 x = y = z 和 x − 1 = y + 1 = z 之间的距离. P0 (1, −1, 0) 为 L0 上的点.
G JJJG G JJJG | n ×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP0 S | | n × P0O | G G = 对圆柱面上任意一点 S ( x, y, z ) ，有，即 |n| |n| (− y + z − 1) 2 + ( x − z − 1) 2 + (− x + y + 2) 2 = 6 ，
地， Wm 在 g 下是不变的. 下面证明， Wm 在 f 下也是不变的.事实上，由 f (η ) = λ0η ，知
fg (η ) = gf (η ) + f (η ) = λ0 g (η ) + λ0η
fg 2 (η ) = gfg (η ) + fg (η ) = g (λ0 g (η ) + λ0η ) + (λ0 g (η ) + λ0η ) = λ0 g 2 (η ) + 2λ0 g (η ) + λ0η

大学生数学竞赛习题及详细解答

一、填空题（每小题4分，共40分）1. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∞→x t x x t t f 2)11(lim )(，则=')(t f ．解：)(t f tx x x t 2)11(lim ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∞→tte 2=，t t t e t te e t f 222)21(2)(+=+='∴．2. 设曲线L 的方程为te x 2=，te t y --=，则L 的拐点个数为．解：)(21213-22t ttt t t e e e e x y dx dy +=+=''=--， )32(412/)32(215-423-222tt t t t t t e e e e e x dx dy dxy d +-=--=''⎪⎭⎫ ⎝⎛=--． 022<dxyd ，∴无拐点，即L 的拐点个数为0．3. 设2)1()(x e x x f +=，则=)0()2009(f．解：n n xx n e ∑∞==0!1 ，n n x x n e 20!12∑∞==∴，12020!1!1)1()(2+∞=∞=∑∑+=+=∴n n n n x x n x n e x x f ．令200912=+n ，则20082=n ，1004=n ，∴2009次幂项的系数!100412009=a ．又!2009)0()2009(2009f a =，!1004!2009)0()2009(=∴f ．另解：利用2009阶Peano 型余项（或者拉格朗日型余项）的麦克劳林公式，或者高阶导数的乘法法则．4. 设x e f xsin 1)(+='，则=)(x f ．解：x e f xsin 1)(+=' ，⎰⎰-+=+=∴x d e e x de x e f x x x x sin )sin 1()sin 1()(⎰-+=xdx e e x x x cos )sin 1(．而⎰xdx e xcos ⎰=x d e x sin ⎰-=xdx e x e x xsin sin ⎰+=x d e x e xxcos sin)cos cos (sin ⎰-+=xdx e x e x e x x x ⎰-+=xdx e x x e x x cos )cos (sin ，⎰∴xdx e x cos C x x e x ++=)cos (sin 21．)(x e f ∴x e x )sin 1(+=C x x e x ++-)cos (sin 21C x x e x +-+=)cos sin 2(21．C x x x x f +-+=∴)]cos(ln )sin(ln 2[21)(．另解：x e f xsin 1)(+=' ，令xe t =，则t x ln =，)sin(ln 1)(t tf +='∴，dxxx x x x dx x x f ⎰⎰⋅⋅-+=+=∴1)cos(ln )]sin(ln 1[])sin(ln 1[)(dx x x x ⎰-+=)cos(ln )]sin(ln 1[．而dx x ⎰)cos(ln dx xx x x x ⎰⋅⋅+=1)sin(ln )cos(ln dx x x x ⎰+=)sin(ln )cos(lndxxx x x x x x 1)cos(ln )sin(ln )cos(ln ⋅⋅-+=⎰dx x x x x ⎰-+=)cos(ln )]sin(ln )[cos(ln ．而dx x ⎰∴)cos(ln C x x x ++=)]sin(ln )[cos(ln 21． -+=∴x x x f )]sin(ln 1[)(Cx x x ++)]sin(ln )[cos(ln 21C x x x ++-=)]sin(ln )cos(ln 2[21．5. 设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且⎰-+=-02)1()(xx x e x dt t x f ，则=)1(f ．解：⎰--02)(xx dt t x f⎰-=-=x xtx u du u f 2))((⎰=2)(x xdu u f ，⎰+=∴2)1()(x xx e x du u f ．对方程两边求导，有xxxe e x f x x f ++=-⋅1)(2)(2．令1=x ，有e e f f ++=-1)1()1(2，e f 21)1(+=∴． 6. =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n ．解：原式n nk kn nk n nk n 1)(41lim 41lim 12122⋅-=-=∑∑=∞→=∞→621arcsin 2arcsin 4110102π===-=⎰x dx x ．7. 设曲线)(x f y =在原点处有拐点及切线x y 2=，且满足微分方程0='-'''y y ，则曲线的方程为．解：)(x f 为0='-'''y y 满足00==x y ，20='=x y ，00=''=x y 的特解．由特征方程03=-r r ，得特征根01=r ，12-=r ，13=r ，得微分方程的通解为xx e C e C C y 321++=-．由初始条件，有0)0(321=++=C C C y ， 2)0(32=+-='C C y ，0)0(32=+=''C C y ，解得01=C ，12-=C ，13=C ．∴曲线方程为x x e e y --=．8. 设yxxy z )(=（0>x ，0>y ），则=∂∂==12y x xz ．解：由)ln (ln ln y x yxz +=，有)1ln (ln 11)ln (ln 11++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅++='y x y x x y x y z z x， )1ln (ln 1)(++⋅='∴y x yxy z yx x．)12(ln 4)12(ln 2212+=+⋅='∴==y x x z ．.9. 已知{}n a 为等差数列，01≠=-+d a a n n ，0≠n a （ ,2,1=n ），且∞=∞→n n a lim ，则级数∑∞=+111n n n a a 的和是．解：)111(lim 11322111+∞→∞=++++=∑n n n n n n a a a a a a a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++-+-=++∞→)(1lim 1132232112n n n n n a a a a a a a a a a a a d )111111(lim 113221+∞→-++-+-=n n n a a a a a a d 1111)11(lim 1da a a d n n =-=+∞→． 10. 设L 为圆周122=+y x ，则{}=++⎰ds y x y x yL2222sin )cos(π ．解：原式L ds y x ds x ds y ds y L Lyx L L 21)(21cos 22222L -=+-=-=-==⎰⎰⎰⎰↔方程对称性的方程πππ-=⋅-=221．二、计算题（10分）设0)1(=f ， 2)1(='f ，求xe x xf x x cos )cos (sin lim220-+→．解：原式[]xe x x x xf x x f x x x cos 1cos sin lim 1cos sin )1(1)1cos (sin lim 2202200--+⋅-+-+-+=→→∴；变形；连续乘法))(21())(1(1))(21())((lim )1(22222220)1(x o xx o x x o x x o x f x f +--++-+-++⋅'=→'存在；泰勒公式 )(23)(2)(lim222222202)1(x o x x o x x o x x f ++-+=→=' 32)1(23)1(21lim 20=++=→o o x ．三、计算题（10分）设可导函数)(x f y =由方程3223323=+-y xy x 所确定，求)(x f 的极值点与极值．解：视)(x f y =，对方程两边求导，得06)2(33222=⋅+⋅+-dxdyy dx dy xy y x ，即 0)(222=---dxdy y x y y x ．由原方程知，有 x y ≠， 02=-+∴dxdyy y x ．……………………………………①令0=dxdy，得x y -=，代入原方程，有3223333=--x x x ，解得唯一驻点2-=x ，此时2)2(=-=f y ．再对①式两边求导，得0)(21222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+dx y d y dxdy dx dy ．………………………………………②在驻点2-=x 处，有0202012222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-=x dx yd ，041222>=∴-=x dx yd ， 2-=∴x 为)(x f 的极小值点，)(x f 有极小值2)2(=-f ．四、证明题（10分）试证：当0≠x 时，有不等式21)4(arctan 10<-<πx e x 成立．证明：令te tf arctan )(=，t tg =)(，则对0≠x ，在0与x 构成的闭区间上)(t f 与)(t g 满足柯西中值TH 条件，所以存在介于0与x 之间的ξ，使得)()()0()()0()(ξξg f g x g f x f ''=--，即22)(11104arctan ξξξξπe e e e x e x +=⋅+=--．由212)(102=<+<ξξξξe e e e ，即得21)4(arctan 10<-<πxe x ，证毕．另证：利用拉格朗日中值定理，或者泰勒中值定理．五、计算题（10分）计算二次积分dy e x dx dy e x dx I y xy x2210130113}1){sin(}1){sin(⎰⎰⎰⎰+-+=--．解：⎰dy e y 2积不出来，∴考虑交换积分次序．dye x dx dy e x dx I y xy x2210130113}1){sin(}1){sin(⎰⎰⎰⎰+++=∴<--交换上下限下限，上限第二个积分的内积分有．相应二重积分区域D 如图所示．⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==+=1yx )sin(32232)1)(sin(yyy Dy D x Dy dx dy edxdy edxdye x I 后先左右对称为奇函数121011222-====⎰⎰e ededy ye y y y ．六、计算题（10分）求幂级数∑∞=-+11213n n n x n 的收敛半径、收敛域及和函数．解：21211221333)1(lim )()(lim x x n x n x u x u n n n n n nn n =+=-+++∞→+∞→ ，∴收敛区间为31<x ，收敛半径为31．当31±=x 时，级数为∑∑∞=∞=+±=±11133)3(313n n nn n n ，发散．∴收敛域为)31,31(-． ∑∑∑∞=∞=++∞=-++=+=0201221121)3)(1(93)1(3n n n n n n n n x n x xn xn)(9)(9)1(9010132'='=+=∑∑∑∞=+∞=+∞==n n n n n nx y y x yx y n x 令2222)31(9)1(19)1()1()1(9)1(9x x y x y y y x y y x -=-⋅=--⋅--⋅='-=．七、计算题（10分）求曲面积分⎰⎰∑++++=23222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz I ，其中∑是球面4)1()1()1(222=-+-+-z y x的内侧．解：（直接计算困难，∴考虑借助高斯公式）．记222z y x r ++=，则3r x P =，3r yQ =，3rz R =． 522623333)(r x r r r xr x r r xx x P -=⋅⋅-=∂∂=∂∂，有对称性可知，5223r y r y Q -=∂∂，5223rz r z R -=∂∂，有033522=-=∂∂+∂∂+∂∂r r r z R y Q x P ，)0,0,0(),,(≠∀z y x ．∴可以改变积分闭曲面．记22221:ε=++∑z y x （320-<<ε），取内侧，则⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=++++=1113232221)(zdxdy ydzdx xdydz z y x zdxdy ydzdx xdydz Iε方程改变积分闭曲面ππεεεεε4343131)3(13313:322221-=⋅⋅-=Ω⋅-=-=⎰⎰⎰≤++Ωz y x Gauss dV 方程。

福州大学第十八届大学生数学竞赛答案

0
0
2
2.解： z f x ,
x
x2 y2
2z x2

f
x2 x2 y2

f (x2
y2 y2 )3/2
,
z f y ,
y
x2 y2
2z y 2

f

x2
y2
y2

f

(
x2
x2 y2
)3/2
,
因为
2z x2

2z y 2
0,即f +
f =0，令t x2 y2
x2 y2 , 得f (t) f (t) 0, t
f (t)dt f (t)
tdt,
f
(t)

C1 t
, 所以f
(t)

C1
ln
t

C2.
1
3.解： f (u) C[1,1],lim f (u) 5,则lim f (u) 0 f (0)，
dt

2 0
1 R2(1 sin t cos t)2
dt

1 R2
2 0
(1
1 sin t
cos
t)2
dt
六、
1 1 sin t cos t 1 1 sin 2t 3 ,
2
2
2
2 4 dt
09
2 0
(1

1 sin t
cos t)2
dt

2 4dt
x
dx

0
/2
2
sin x sin2

全国大学生数学竞赛第五届答案

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷评分细则一、(共4小题,每小题6分,共24分) 解答下列各题 .1. 求极限(lim 1sin nn π→∞+.解(()sin 1sin 2sinnπππ== (2分)原式lim1sin nn →∞⎛⎫=+ ⎝exp lim ln 1n n →∞⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎣⎦(2分) explim n n →∞⎛⎫= ⎝ 14exp n e ⎛⎫== ⎝(2分)2 证明广义积分sin 0xdx x+∞⎰不是绝对收敛的. 证. 记()|sin |1n n n x a dx x ππ+=⎰, 只要证明0∞=∑n n a 发散. (2分) 因为 ()|sin |sin ()()()10112111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰. (3分) 而02(1)π∞=+∑n n 发散, 故0∞=∑n n a 发散. (1分)3. 设函数()y y x =由323322x x y y +-=所确定. 求()y x 的极值.解方程两边对x 求导，得222363'6'0x xy x y y y ++-= (1分) 故 22(2)'2x x y y y x +=-，令'0y =，得(2)0x x y +=0x ⇒=或2x y =-.将0x =和2x y =-代入所给方程，得211x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩和. (2分) 又22222201'0(2)(22'2)(2)(4'2)10(2)x y y y x x xy y x xy yy x y y x ==-=-++++-''==-<-，21'010x y y y =-==''=>. 故(0)1y =-为极大值，(2)1y -=为极小值. (3分)4．过曲线0)=≥y x 上的点A 作切线,使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34, 求点A 的坐标. 解A t A 设切点的坐标为(曲线过点的切线方程为)y x t - (2分)00,2y x x t ==-令由上式可得切线与轴交点的横坐标 0S Ax t otA ∴=∆-平面图形的面积的面积曲边梯形的面积333144S t x t -=⇒=⎰，(1,1).A ∴的坐标为 (4分)二、 (12分) 计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.解 0220sin arctan sin arctan d d 1cos 1cos xxx x e x x e I x x x xππ-⋅⋅=+++⎰⎰2200sin arctan sin arctan d d 1cos 1cos xx x x e x x e x x x x ππ-⋅⋅=+++⎰⎰ (4分) 20sin (arctan arctan )d 1cos x x x x e e x xπ-=++⎰ 2sin d 21cos x xx xππ=+⎰ (2分) 220sin 21cos xdx xππ⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰(4分)23arctan(cos )28x πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(2分)三、(12分)设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且0()lim0.x f x x→=证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛. 证由于()f x 在0x =处连续，且0()lim0x f x x→=，则 00()(0)lim ()lim0x x f x f f x x x→→==⋅=， (２分)0()(0)(0)lim 00x f x f f x →-'==-. (２分)应用罗比达法则，20()limx f x x →=0()lim 2x f x x →'=0()(0)1lim (0).2(0)2x f x f f x →''-''=- (３分) 所以0211lim(0)2n f n f n→⎛⎫⎪⎝⎭''=. (２分) 由于级数211n n∞=∑收敛，从而11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛. (3分)四、(10分) 设|()|,()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 证因为()0()f x m a x b '≥>≤≤，所以 ()f x 在[,]a b 上严格单增，从而有反函数. (2分)设 ()A f a =，()B f b =，ϕ是f 的反函数，则110()()y f x mϕ'<=≤'， (3分) 又|()|f x π≤，则A B ππ-≤<≤，所以()sin ()d ()sin d x y bB aAf x x y y y ϕϕ='===⎰⎰(3分)12sin d y y m mπ≤=⎰(2分)五、(１４分)设∑是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型的曲面积分 ()()()33323I xx dydz y y dzdx z z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑, 使得积分I 的值最小, 并求该最小值. 解. 记∑围成的立体为V , 由高斯公式, ()()22222236933231VVI xy z dv x y z dxdydz =++-=++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (３分)为了使得I 达到最小, 就要求V 是使得2222310x y z ++-≤的最大空间区域, 即 {}222(,,)|231V x y z x y z =++≤. (３分) 所以V 是一个椭球, ∑是椭球V 的表面时, 积分I 最小.为求该最小值, 作变换//x u y v z w =⎧⎪=⎨⎪=⎩.则(,,)(,,)x y z u v w ∂=∂, 有()22222211v w I u v w dudvdw ++≤=++-⎰⎰⎰. (4分) 使用球坐标变换, 我们有()21221sin 15I d d r r dr ππϕθθπ=-=-⎰⎰⎰. (４分)六、(14分) 设22()()a a Cydx xdy I r x y -=+⎰, 其中a 为常数, 曲线C 为椭圆222x xy y r ++=, 取正向. 求极限lim ()a r I r →+∞.解.作变换()/()/x u v y u v ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩曲线C 变为uov 平面上的 22231:22u v r Γ+=, 也是取正向 (2分) 且有 2222x y u v +=+, ydx xdy vdu udv -=-, 22()()a a vdu udvI r u v Γ-=+⎰. (2分)作变换cos sin u v θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩,则有2vdu udv d θ-=22(1)2(1)220()(2cos /32sin )aa a a a d I r rJ πθθθ--==+⎰,其中2220(2cos /32sin )πθθθ=+⎰a ad J , 0a J <<+∞. (3分) 因此当1a >和1a <, 所求极限分别为0和-∞. (2分)而当1a =,2/212222t a n 442c o s /32s i n 2/32t a n 22d d d tJ t ππθθθθθ+∞====+++⎰⎰⎰. (3分) 故所求极限为0,1lim (),12,1a r a I r a a π→+∞>⎧⎪=-∞<⎨⎪-=⎩. (2分)七、(14分) 判断级数 ∑∞=+++++1)2)(1(1211n n n n 的敛散性, 若收敛，求其和. 解: (1) 记 1112n a n =+++，,,,,()()12312==++n n a u n n n .因为n 充分大时ln 111101112n n a dx n nx <=+++<+=+<⎰(3分)所以 3/21≤<n u n而 /3211∞=∑n n收敛，所以∑∞=1n nu 收敛. (2分)（2）(,,....)111122k a k k=+++= 1111112(1)(2)(1)(2)12n n nk k k n k k k a a a k S k k k k k k ===+++⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭∑∑∑1111222334112--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n aa a a a a a a nn n n (2分)()()()1213211111123412-=+-+-++--++n n n a a a a a a a a n n (2分) .()11111111122334122n n a a n n n n n ⎛⎫=++++-=-- ⎪⋅⋅⋅⋅-++⎝⎭ (2分) 因为ln 01n a n <<+ 所以2ln 120++<+<n n n a n 且 02ln 1lim=++∞→n nn . 所以02lim =+∞→n a n n . 于是 lim 1001n n S S →∞==--=. 证毕。

全国大学生数学竞赛第二届答案

0
).
解因为 s > 0 时， lim e−sx xn = 0 ，所以， x→+∞
∫ ∫ In
=
−
1 s
+∞ 0
x n de − sx
=
−1 s
⎡ ⎢⎣
x
n
e
−
sx
+∞ 0
−
+∞ e−sxdxn
0
⎤ ⎥⎦
=
n s
I n −1
由此得到，
In
=
n s
I n −1
=
n s
⋅
n −1 s In−2
=
=
n! sn I0
(1+ a2n ) 1 = (1− a2 ) ⋅ (1+ a2 ) 1− a
(1+ a2n ) 1 1− a
= (1− a4 ) ⋅ (1+ a4 ) (1+ a2n ) 1 = 1− a2n+1 ， 1−a 1−a
由于| a |< 1 ，可知 lim a2n = 0 ，从而 n→∞
lim
n→∞
x
n
由积分区域的对称性可知
∫∫∫Ω
(2αβxy + 2βγ yz + 2αγxz)dxdydz
=
0 ，其中 Ω = ⎨⎪⎪⎩⎧⎪⎪(x,
y,
z)
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
≤1⎬⎪⎪⎭⎫⎪⎪
………………（2 分）
∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ a
个根.
……………………（15 分）
证 2. 先证方程 f (x) = 0 至少有两个实根.

历届全国大学生数学竞赛数学类试卷及解析

评阅人
⎛0
⎜ ⎜
1
0 0
# #
0 0
−an −an−1
⎞ ⎟ ⎟
的复数域 C 上的线性空间， F = ⎜ 0
⎜ ⎜
#
1 #
# #
0 #
−
an−2 #
⎟ ⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 0 # 1 −a1 ⎟⎠
（1）假设
A
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
a11
a21 "
a12
a22 "
" " "
a1n
a2n "
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
，若
AF
G
G
n = (1,1,1) ，且圆柱面经过点 O(0, 0, 0) ，过点 O(0, 0, 0) 且垂直于 n = (1,1,1) 的平
面π 的方程为： x + y + z = 0 .
……………………………（3 分)
π 与三已知直线的交点分别为 O(0, 0, 0), P(1, 0, −1),Q(0, −1,1) ………… （5 分)
年级：线
封
所在院校：
密
身份证号：
得分
一、（ 15 分）求经过三平行直线 L1 : x = y = z ，
评阅人
L2 : x −1 = y = z +1 ， L3 : x = y +1 = z −1的圆柱面的方程.
解：先求圆柱面的轴 L0 的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是
=
FA ，证明：
⎜⎜⎝ an1 an2 " ann ⎟⎟⎠
A = an1F n−1 + an−11F n−2 +" + a21F + a11E ；

第二届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

第二届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。

）（1）解：方法一（用两个重要极限）：()()20003221sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12limlimlim sin 11331cos 3222sin sin lim lim 1lim x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ee eee→→→-∙---→→------→-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=====方法二（取对数）：11cos 0002sin sin ln 1sin lim exp lim exp lim 11cos 2xx x x x x x x x x x x -→→→⎡⎤⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥==⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦20003221sin cos 12limlimlim 11333222x x x x x x x x x x eee e→→→----====（2）.解：方法一（用欧拉公式）令111...12n x n n n n=++++++ 111ln =C+o 12n n +++-由欧拉公式得（），11111ln 2=C+o 1212n n n n++++++-+则（），其中，()1o表示n →∞时的无穷小量，-ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞∴= 方法二（用定积分的定义）111lim lim lim()12n n n n x n n n→∞→∞→∞=++++111lim ()111n n n nn→∞=++++101ln 21dx x==+⎰（3）解：222222221211,121121tt t t t t t t t tte dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ ()()222222412121224ttt tt tte e d y d dy e e dx dx dt dx e e edt+--+⎛⎫∴=∙==⎪⎝⎭二．（本题10分）解：设24,1P x y Q x y =+-=+-，则0P d x Q d y +=1,P Qy x∂∂==∴∂∂0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设dz Pdx Qdy =+方法一：由24zP x y x∂==+-∂得 ()()2244z x y dx x xy x C y =+-=+-+⎰由()'1zx C y Q x y y∂=+==+-∂得()()'211,2C y y C y y y c =-∴=-+22142z x xy x y y c ∴=+-+-+方法二：()()()(),0,024x y z dz Pdx Qdy x y dx x y dy==+=+-++-⎰⎰⎰,P Qy x∂∂=∴∂∂该曲线积分与路径无关 ()()2200124142xyz x dx x y dy x x xy y y ∴=-++-=-++-⎰⎰三．（本题15分）证明：由极限的存在性：()()()()1230lim 2300h k fh k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦即[]()123100k k k f ++-=，又()00f ≠，1231k k k ∴++=①由洛比达法则得()()()()()()()1232'''1230230lim2233lim 02h h k f h k f h k f h f h k f h k f h k f h h →→++-++==由极限的存在性得()()()'''1230lim 22330h k f h k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦即()()'1232300k k k f ++=，又()'00f ≠，123230k k k ∴++=② 再次使用洛比达法则得()()()()()()()()()'''1230"""1230""1232233lim24293lim02490000h h k f h k f h k f h hk f h k f h k f h k k k f f →→++++==∴++=≠123490k k k ∴++=③由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则Ax b =，增广矩阵*11111031230010314900011A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()(),3R A b R A ==所以，方程Axb =有唯一解，即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意，且1233,3,1k k k ==-=。

第二十二届北京市大学生数学竞赛(经管类)答案

( ) ∫∫ y = 4 − x 2 与y = −3x 、x = 1所围成, 求I = 1+ f (x ) ln(y + 1+ y2 ) dx dy . D
解令
F (x ,y) = f (x ) ln(y + 1+ y 2 ) ，
如图所示，因为 D = D1 + D2 ．显然，在 D1 上 F (−x ,y) = −F (x ,y) ；在 D2 上
(1
+
a
)(1
a +
a
2
2 )"(1
+
an
)
的敛散性.
解（1）设级数一般项bn ，考察
4
(n +1)(n +2)
a2
⎧ 0, a < 1
lim bn+1 b n →∞
n
= lim n →∞
(1 + a)(1+ a 2 )"(1+ an )(1 + an+1)
n (n +1)
a2 (1+ a)(1+ a 2 )"(1+ an )
数的介值定理可知: 至少存在一点ξ ∈[0,1], 使得F (ξ ) = 0, 即 f (ξ ) = 2ξ.
-----------------------------5 分
倘若还有一点η ∈[0,1], η ≠ ξ , 使得 F (η) = 0 , 由罗尔定理可知: 在ξ 与η
之间存在一点ζ , 使得F ′(ζ ) = 0 , 即 f ′(ζ ) = 2 , 这与已知矛盾. 故原命题成立.
1 (1 + a1)(1+ a12 )"(1 + a1n )

大学生数学竞赛教程答案详解

大学生数学竞赛教程答案详解1、17．若a与﹣2互为相反数，则a的值是（）[单选题] *A．﹣2B．C．D．2(正确答案)2、5.下列结论不正确的是[单选题] *A.若a > 0，b > 0，则a + b > 0B.若a < 0，b < 0，则a + b < 0C.若a > 0，b < 0，且|a| > |b|，则a + b > 0D.若a < 0，b > 0，且|a| > |b|，则a + b > 0(正确答案)3、39．若（x﹣3）（2x+1）＝2x2+ax﹣3，则a的值为（）[单选题] * A．﹣7B．﹣5(正确答案)C．5D．74、23．若A、B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制（）种车票．[单选题] *A．49B．42(正确答案)C．21D．205、25.{菱形}∩{矩形}应（）[单选题] *A.{正方形}(正确答案)B.{矩形}C.{平行四边形}D.{菱形}6、23、在直角坐标平面内有点A，B，C，D，那么四边形ABCD的面积等于（）[单选题]A. 1B. 2C. 4(正确答案)D. 2.57、若3x＋4y－5＝0，则8?·16?的值是( ) [单选题] *A. 64B. 8C. 16D. 32(正确答案)8、1.计算-20+19等于（）[单选题] *A.39B.-1(正确答案)C.1D.399、若2?＝a2＝4 ?，则a?等于( ) [单选题] *A. 43B. 82C. 83(正确答案)D. 4?10、k·360°-30°（k是整数）所表示的角是第（）象限角。

[单选题] *A. 一B. 二C. 三D. 四(正确答案)11、11．点P的坐标是(2-a,3a+6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P坐标是（）[单选题] *A．(3, 3)B．(3，-3)C．(6，-6)D．(3,3)或（6，-6）(正确答案)12、已知a+b=3,则代数式(a+b)(a-b)+6b的值是(? ????) [单选题] *A. -3B. 3C. -9D. 9(正确答案)13、7．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，则∠AOD等于（）[单选题] *A．110°(正确答案)B．145°C．35°D．70°14、若10?＝3,10?＝2，则10的值为( ) [单选题] *A. 5B. 6(正确答案)C. 8D. 915、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ16、下列各角终边在第三象限的是（）[单选题] *A. 60°B. 390°C. 210°(正确答案)D. -45°17、36．如果x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，那么k的值是（）[单选题] * A．3B．±6(正确答案)C．6D．±318、-330°是第（）象限角？[单选题] *第一象限(正确答案)第二象限第三象限第四象限19、2．如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作（）．[单选题] *A．5元B. -5元(正确答案)C .-3元D. 7元20、4．在﹣，，0，﹣1，4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n 个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（）[单选题] *A．3(正确答案)B．2C．1D．421、6.对于单项式-2mr2的系数，次数分别是（）[单选题] *A.2,-2B.-2,3C.-2,2(正确答案)D.-2,322、11．小文买了一支温度计，回家后发现里面有一个小气泡（即不准确了），先拿它在冰箱里试一下，在标准温度是零下7℃时，显示为℃，在36℃的温水中，显示为32℃，那么用这个温度计量得的室外气温是23℃，则室外的实际气温应是（）[单选题] *A．27℃(正确答案)B．19℃C．23℃D．不能确定23、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ24、3．(2020·新高考Ⅰ，1,5分)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=( ) [单选题] * A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}(正确答案)D．{x|1<x<4}25、若（m-3）+（4-2m）i为实数,那么实数m的值为（）[单选题] *A、3B、4(正确答案)C、-2D、-326、40、如图，在4×4方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（）[单选题] *A．3个B．4个(正确答案)C．5个D．6个27、下列说法中，不正确的是[单选题] *A.0是自然数B.0是正数(正确答案)C.0是整数D.0是有理数28、? 是第（）象限的角[单选题] *A. 一(正确答案)B. 二C. 三D. 四29、390°角是（）[单选题] *A、第一象限角(正确答案)B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角30、3．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（）[单选题] *A．10℃B．0℃C.-10 ℃(正确答案) D．-20℃。

大一数学竞赛真题答案解析

大一数学竞赛真题答案解析数学竞赛是一种旨在培养学生数学思维能力和解决问题能力的竞赛活动。

通过参与数学竞赛，学生不仅可以提高自己的数学水平，还能锻炼自己的思维能力和解决问题的能力。

在参加大一数学竞赛过程中，解题是一个重要的环节。

因此，本文将针对大一数学竞赛中的一道题目进行解答和分析。

【题目】设函数 f(x) = sin(2x)，给定 f(a) = -2/√5，求实数 a 及其取值范围。

解答和分析：首先，我们将等式 f(a) = -2/√5 代入函数 f(x) = sin(2x) 中，得到 sin(2a) = -2/√5。

根据正弦函数的性质，-1 ≤ sinθ ≤ 1，可以知道-1 ≤ -2/√5 ≤ 1。

我们通过改变θ，使得sinθ 等于-2/√5。

由于正弦函数是周期函数，sinθ 在一个周期内有无限个解。

因此，我们需要找出满足上述条件的一个解。

将 -2/√5 化简为 -2√5/5，可以得到 -2√5/5 = sinθ。

而sinθ 可以写成2sinθ·cosθ 的形式，根据等式可以得到2sinθ·cosθ = -2√5/5。

由于 -1 ≤ sinθ ≤ 1，则必然存在一个角度θ，使得cosθ = -√5/5。

根据三角函数的定义，当cosθ = -√5/5 时，θ 位于第二象限或第三象限。

在第二象限，sinθ = √(1-cos^2θ) = √(1-(√5/5)^2) = √(1-5/5) = √0 = 0。

因此，sinθ 的解为 0。

根据 sin(2a) = -2/√5，我们可以得到2a = πk，k 是整数。

所以，a = πk/2。

综上所述，实数 a 的取值范围为a ∈ {π/2, π, 3π/2,2π, …}，其中 k 为整数。

通过这道题目的解答和分析，我们可以看出数学竞赛中的解题过程是一项需要动脑筋的任务。

在解题过程中，我们需要灵活运用数学知识，合理推理，找到问题的关键点，并通过数学方法解决问题。

天津市大学数学竞赛试题参考解答及评分标准经管类

1t→0+t2012年天津市大学数学竞赛试题参考解答及评分标准（经管类）一.填空题（本题15分，每小题3分）:1.设limx→01+f(x)sin2x-1e3x-1=2，则lim f(x)=6.x→02.设函数f(x)连续且不等于0，又⎰xf(x)dx=arcsin x+C，则⎰dx f(x)=3-(1-x2)2+C. 33.半径为R的无盖半球形容器中装满水，然后慢慢地使容器倾斜π，则流出的水量V= 3338πR3.4.设函数可微f(x)，且f(0)=0,f'(0)=1.又设平面区域D:x2+y2≤t2，则lim13⎰⎰Df(x2+y2)dσ=23π.f(x)5.设函数f(x)在点x=0处二阶可导，且limx→∞1-cos x二.选择题（本题15分，每小题3分）:=2，则f''(0)=21.设函数f(x)有连续的导数，且f(0)=1，f'(0)=3，则lim f(x)x→012x=（D）(A)1,(B)e,(C)e23(D)e322.设函数f(x)在点x=0的一个邻域内有定义，且满足f(x)≤x2，则有（B）(A)f(x)在点x=0处不一定可导(B)f(x)在点x=0处可导，且f'(0)=0(C)f(x)在点x=0处可导，且f'(0)≠0(D)f(x)在点x=0处取得极小值4. 设函数 f ( x ) 在区间 [0,1 ]上连续，且 f ( x ) > 0 .记 I = ⎰ f ( x )dx ，I =⎰2 f (sin x)dx ，1I = ⎰ 4f (tan x)dx ，则（ B ）5. 设 f ( x ) 在 [0,1 ]有连续的二阶导数，f (0) = -1 ，f '(1) = 3 ，并且满足 ⎰ xf''(x)dx = 1 ，三. 设 a = ⎛ 1 + a ⎪ ，n=1,2,…， a 0 = cos θ (0 < θ < π ) .求极限 lim 4n (1- a n ) 。