全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系

全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系

朱丽娜 郑州工业安全职业学院 451192

摘要 本文结合具体实例分三种情况分别讨论了二元函数的全微分、偏导数和连续之间的关系，全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系，任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系，从而得出他们四者之间的所有关系。

关键词 全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续

对于多元函数的偏导数、方向导数、偏导数和连续等基本概念及其内在联系，既是多元函数微分学中的重难点知识，也是我们教学过程中容易出现的误解和错误盲点．本文就该问题分三种情况、以二元函数为例来加以阐述，以做到加强理解和灵活掌握的目的．

一、全微分、偏导数和连续三者之间的关系

定理１：（必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，则该函数在点(,)x y 连续且一阶偏导数存在．

定理２：（充分条件）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处必可微分．

读者还可以从可微的定义看到函数在可微点处必连续，但是在函数的连续点处不一定存

在偏导数，当然更不能保证函数在该点可微．如z =在原点连续，但是在该点处偏导数不存在，也不可微．

偏导数存在，函数却不一定可微，也不一定连续．

二、全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系

定理3：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分，则在该点处任意方向上的方向导数存在，反之不成立．

例1

：函数z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x

∆→∂∆-=∂∆ 0

1,0,lim 1,0,x x x x x ∆→∆>∆⎧==⎨-∆<∆⎩

故z =

(0,0)处对x 的偏导数不存在，

同理z =在点(0,0)处对y 的偏导数不存在，

由定理1

z =

在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在．

但z =(0,0)处沿任意方向的方向导数为

0(0,0)(cos ,sin )(0,0)lim z z z l ρρθρθρ

→∂-=∂0lim 1ρρρ→==

即任意方向上的方向导数存在．

三、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系

咱们下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错误的概念，如：

例2： 2

222422,0,0,0,xy x y z x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩

它在任意方向上的方向导数为：

0(0,0)(cos ,cos )(0,0)lim z z z l ρραρβρ

→∂-=∂

222240cos ,cos 0,cos cos lim cos cos cos 0,cos 0,ρβααβααρβα→⎧≠⎪==⎨+⎪=⎩ 这一结果表明2

222422,00,0xy x y z x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩

在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在．

但是222001lim (0,0)2

y x x x z z x x ++

→→==≠+，即函数在该点不连续． 定理4：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 沿任意方向上的方向导数存在，则在该点处偏导数必存在．

证明：函数在点00(,)x y 的任意方向的方向导数为： 000

0000(,)(,)(,)lim x y z x x y y z x y z l ρρ

→+∆+∆-∂=∂ 当0y ∆=时，该方向导数即为函数在点00(,)x y 的偏导数，即偏导数存在且为：

000000000(,)(,)

(,)(,)lim x x y x y z x x y z x y z z x l ρ∆→+∆-∂∂==∂∂ 同理0000(,)

(,)x y x y z z y l ∂∂=∂∂存在． 该定理还有两个结论：

结论１：函数函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数存在，但在该点沿任意方向上的方向导数不一定存在．

例3：函数2222222,0,()0,0,xy x y x y z x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

在点(0,0)处对,x y 的偏导数存在，但在该点处沿

任意方向的方向导数不存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim 0x z z x z x x

∆→∂∆-==∂∆ 同理，

(0,0)0z

y ∂=∂存在

但该函数沿任意方向上的方向导数：

0(0,0)(cos ,sin )(0,0)lim z z z l ρρθρθρ

→∂-=∂ 240cos sin lim ρρθρθρ

→=20sin 21lim 2ρθρ→=不存在． 结论２：函数函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数不存在，但在该点沿任意方向上的方向导数可能存在．

例4

：函数z =在点(0,0)处对,x y 的偏导数不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在．

证明：函数z =(0,0)处对,x y 的偏导数为：

0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x

∆→∂∆-=∂∆ 01,0,lim 1,0,x x x

x x ∆→∆>∆⎧==⎨-∆<∆⎩ 故函数在点(0,0)处对x 的偏导数不存在，同理函数在点(0,0)处对y 的偏导数不存在， 由上面的例2知道函数在点(0,0)处沿任意方向的方向导数存在．

定理5：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处沿任意方向的方向导数必存在．

证明：由定理知函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分．又由定理知函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处沿任意方向的方向导数必存在．

综合以上分析知，上述研究问题的手段即是我们今后教学中研究多元(2)n ≥函数性