高等数学下册知识点
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高等数学下册知识点
第七章 空间解析几何与向量代数
一、填空与选择
1、已知点A (,,)321-和点B (,,)723-,取点M 使MB AM 2=,则向量OM
=。
2 已知点A (,,)012和点B =-(,,)110,则AB
=
。
3、设向量与三个坐标面的夹角分别为ξηζ,,,则cos cos cos 2
2
2
ξηζ++
= 。 4、设向量a 的方向角απ
β=
3
,为锐角,γπβ=-
4
=
,则a = 。
5、向量)5,2,7(-=a 在向量)1,2,2(=b 上的投影等于。
6、过点()121
-,,P 且与直线1432-=-=+-=t z t y t x ,,, 垂直的平面方程为_____________________________. 7、已知两直线方程是13021
1:
1--=-=-z y x L ,11122:2
z
y x L =-=+,则过1L 且平行2L 的平面方程为____________________ 8、设直线182511:1+=--=-z y x L ,⎩⎨⎧=-+=--0320
6:2z y y x L ,则1L 与2L 的夹角为( ) (A ). 6π (B ).4π (C ).3π (D )2
π
.
9、平面Ax By Cz D +++=0过x 轴,则( )
(A )A D ==0 (B )B C =≠00, (C )B C ≠=00, (D )B C ==0 10、平面3510x z -+=( )
(A )平行于zox 平面 (B )平行于y 轴(C )垂直于y 轴 (D )垂直于x 轴 11、点M (,,)121到平面x y z +
+-=22100的距离为( )
(A )1 (B )±1 (C )-1 (D )1
3
12、与xoy
坐标平面垂直的平面的一般方程为 。
13、过点(,,)121与向量k j S k j i S
--=--=21,32平行的平面方程为 。 14、平面0218419=++-z y x
和0
42
8419=++-z y x 之间的距离等于⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。 15、过点(,,)024且与平面x z +=21及y z -=32都平行的直线方程为。
16、过点(,,)203-并与x y z x y z -+-=+-+=⎧⎨⎩
2470
35210垂直的平面的方程为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
二、完成下列各题
1、设)(,82,13-=-=
-=λ与b 是不平行的非零向量,求λ的值,使C B A 、、三点在
同一直线上。
2、已知不平行的两向量a 和b ,求它们的夹角平分线上的单位向量。
3、设点)1,0,1(-A 为矢量,10=与x 轴、y 轴的夹角分别为
45,60==βα,试求: (1)AB 与z 轴的夹角v ;(2)点B 的坐标。
4、求与向量k j i a 22+-=共线且满足18-=⋅x a 的向量x 。
5、若平面过x 轴,且与xoy 平面成
30的角,求它的方程。
第八章 空间解析几何与向量代数 (一) 向量及其线性运算
1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;
2、 线性运算:加减法、数乘;
3、 空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;
4、 利用坐标做向量的运算:设),,(z y x a a a a =
,),,(z y x b b b b = ,
则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±
, ),,(z y x a a a a λλλλ= ;
5、 向量的模、方向角、投影:
1) 向量的模:
2
22z y x r ++=
;
2) 两点间的距离公式:2
12212212)
()()(z z y y x x B A -+-+-=
3) 方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γ
βα,,
4) 方向余弦:
r
z
r y r x ===γβαcos ,cos ,cos
1cos cos cos 222=++γβα
5) 投影:ϕcos Pr a a j u
=,其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
(二) 数量积,向量积
1、
数量积:
θcos b a b a
=⋅
1)2
a a a =⋅
2)⇔⊥b a 0=⋅b a
z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅
2、 向量积:b a c
⨯=
大小:
θsin b a ,方向:c b a
,,符合右手规则
1)0 =⨯a a
2)b a //⇔0 =⨯b a
高等数学(下)知识点
z
y
x
z y x
b b b a a a k j i b a
=⨯
运算律:反交换律 b a a b
⨯-=⨯
(三) 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念:0),,(:=z y x f S
2、
旋转曲面:
yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,
绕y 轴旋转一周:
0),(2
2=+±z x y f 绕z 轴旋转一周:
0),(2
2=+±z y x f 3、
柱面:
0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0
),(z y x F 的柱面
4、
二次曲面
1)
椭圆锥面:2
2
2
22z b y a x =+
2)
椭球面:122
2222=++c
z b y a x 旋转椭球面:122
2222=++c
z a y a x 3)
单叶双曲面:122
2222=-+c
z b y a x