高等数学下册知识点

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高等数学下册知识点

第七章 空间解析几何与向量代数

一、填空与选择

1、已知点A (,,)321-和点B (,,)723-,取点M 使MB AM 2=,则向量OM

=。

2 已知点A (,,)012和点B =-(,,)110,则AB

=

3、设向量与三个坐标面的夹角分别为ξηζ,,,则cos cos cos 2

2

2

ξηζ++

= 。 4、设向量a 的方向角απ

β=

3

,为锐角,γπβ=-

4

=

,则a = 。

5、向量)5,2,7(-=a 在向量)1,2,2(=b 上的投影等于。

6、过点()121

-,,P 且与直线1432-=-=+-=t z t y t x ,,, 垂直的平面方程为_____________________________. 7、已知两直线方程是13021

1:

1--=-=-z y x L ,11122:2

z

y x L =-=+,则过1L 且平行2L 的平面方程为____________________ 8、设直线182511:1+=--=-z y x L ,⎩⎨⎧=-+=--0320

6:2z y y x L ,则1L 与2L 的夹角为( ) (A ). 6π (B ).4π (C ).3π (D )2

π

9、平面Ax By Cz D +++=0过x 轴,则( )

(A )A D ==0 (B )B C =≠00, (C )B C ≠=00, (D )B C ==0 10、平面3510x z -+=( )

(A )平行于zox 平面 (B )平行于y 轴(C )垂直于y 轴 (D )垂直于x 轴 11、点M (,,)121到平面x y z +

+-=22100的距离为( )

(A )1 (B )±1 (C )-1 (D )1

3

12、与xoy

坐标平面垂直的平面的一般方程为 。

13、过点(,,)121与向量k j S k j i S

--=--=21,32平行的平面方程为 。 14、平面0218419=++-z y x

和0

42

8419=++-z y x 之间的距离等于⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。 15、过点(,,)024且与平面x z +=21及y z -=32都平行的直线方程为。

16、过点(,,)203-并与x y z x y z -+-=+-+=⎧⎨⎩

2470

35210垂直的平面的方程为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。

二、完成下列各题

1、设)(,82,13-=-=

-=λ与b 是不平行的非零向量,求λ的值,使C B A 、、三点在

同一直线上。

2、已知不平行的两向量a 和b ,求它们的夹角平分线上的单位向量。

3、设点)1,0,1(-A 为矢量,10=与x 轴、y 轴的夹角分别为

45,60==βα,试求: (1)AB 与z 轴的夹角v ;(2)点B 的坐标。

4、求与向量k j i a 22+-=共线且满足18-=⋅x a 的向量x 。

5、若平面过x 轴,且与xoy 平面成

30的角,求它的方程。

第八章 空间解析几何与向量代数 (一) 向量及其线性运算

1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;

2、 线性运算:加减法、数乘;

3、 空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;

4、 利用坐标做向量的运算:设),,(z y x a a a a =

,),,(z y x b b b b = ,

则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±

, ),,(z y x a a a a λλλλ= ;

5、 向量的模、方向角、投影:

1) 向量的模:

2

22z y x r ++=

2) 两点间的距离公式:2

12212212)

()()(z z y y x x B A -+-+-=

3) 方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γ

βα,,

4) 方向余弦:

r

z

r y r x ===γβαcos ,cos ,cos

1cos cos cos 222=++γβα

5) 投影:ϕcos Pr a a j u

=,其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

(二) 数量积,向量积

1、

数量积:

θcos b a b a

=⋅

1)2

a a a =⋅

2)⇔⊥b a 0=⋅b a

z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅

2、 向量积:b a c

⨯=

大小:

θsin b a ,方向:c b a

,,符合右手规则

1)0 =⨯a a

2)b a //⇔0 =⨯b a

高等数学(下)知识点

z

y

x

z y x

b b b a a a k j i b a

=⨯

运算律:反交换律 b a a b

⨯-=⨯

(三) 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念:0),,(:=z y x f S

2、

旋转曲面:

yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,

绕y 轴旋转一周:

0),(2

2=+±z x y f 绕z 轴旋转一周:

0),(2

2=+±z y x f 3、

柱面:

0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0

),(z y x F 的柱面

4、

二次曲面

1)

椭圆锥面:2

2

2

22z b y a x =+

2)

椭球面:122

2222=++c

z b y a x 旋转椭球面:122

2222=++c

z a y a x 3)

单叶双曲面:122

2222=-+c

z b y a x

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