各种圆定理总结

各种圆定理总结

各种圆定理总结

圆定理，是指在圆内、圆外、圆周、圆弧、切线等圆的各个部分之间成立的一系列定理。这些定理在几何中有广泛的应用，在解决一些复杂问题的时候也是十分常用的。下面将会对一些重要的圆定理进行总结。

1. 垂直平分线定理

在一个平面内，若过一点P作圆的两条切线，两条切线相交于点A，则AP为该点P到圆心的一条垂直平分线。

证明：如图1所示，过点P作两条切线AC、BD于圆心O

处相交于点A。连线PO，则有：∠APO = 1/2∠ACO =

1/2∠BDO，但∠APO = ∠BPO（PA、PB是切线），所以∠BPO = 1/2∠BDO，由此可得PO⊥AB，即AP为AB的垂直平分线。

2. 弦长定理

在圆上，从同一点出发的两条弦所夹角的大小相等，则它们所夹的弧所对应的弦的长度相等。

证明：如图2所示，从同一点A出发，过B、C作圆的两

条弦，∠BAC = ∠BCA。过AB的中点M作交于圆上的一条垂线，过AC的中点N作交于圆上的一条垂线。由于BM = MA、CN = NA，∠AMB = ∠CNA，知∆AMB ≌ ∆CNA，从而MB = NC。因此，AB = 2MB，AC = 2NC，即AB = AC。

3. 切割定理

若有一条割线切圆于点A，圆心为O，割线与圆心的连线

交割线于点B，则AO是AB的中线。

证明：如图3所示，AX为圆抛物线，圆心是O，AP为圆

的半径，AP⊥OX。设BO = x，则AB = 2x，PB = x，OP = r。则

有AP^2=AO^2-OP^2=(2x)^2-r^2，又有BP^2=AB^2-AP^2，代入AB=2x、AP=x，可得BP=x。

根据勾股定理，得到OP^2+BP^2=r^2+x^2，代入OP=r、

BP=x，可得AO^2=4x^2。所以AO=2x=AB/2，即AO是AB的中线。

4. 余切定理

圆的半径r和圆周上一条弦所夹角的余切值相等，则弦的

长度等于半径的两倍乘以余切值的倒数。

证明：如图4所示，有一条弦AB，圆心为O，角AOB = θ，半径为r。则余切定理的表述为：cot θ = 2AB/r。

将弦AB的长度表示为2r*sin(θ/2)，可得cot θ =

cos(θ/2)/sin(θ/2) = 2r*sin(θ/2)/(2r*cos(θ/2)) = 2AB/r。

5. 正弦定理

在圆周上，三角形的一个角的正弦值等于该角所对的弦的长度除以圆的半径。

证明：如图5所示，有一圆心为O的圆，圆的半径为r，

角AOC的正弦值表示为sin θ，AO和CO的长度分别是a和b，弦AC长为c。

因为三角形OAC是等腰三角形，所以a = r*sin(θ/2)，OBC

的高为r - (a+b)/2，则有OC = 2(r-(a+b)/2)*sin(θ/2)。由于OC是弦AC中点的升降线，所以OC = sqrt(r^2-c^2/4)。

将OC的两种表示式相等，即

2(r-(a+b)/2)*sin(θ/2)=sqrt(r^2-c^2/4)，解出c/r=sin θ/2，即

2r*sin(θ/2)=c/sin θ。所以sin θ = (c/2r)/sin(θ/2) =

(c/2r)/(sqrt((1-cos(θ))/2))=c/(2r*sin(θ/2))。

6. 余弦定理

在圆周上，三角形的一个角的余弦值等于该角所对弦的长度的一半除以圆的半径。

证明：如图6所示，有一圆心为O的圆，圆的半径为r，

角AOC的余弦值表示为cos θ，AO和CO的长度分别是a和b，弦AC长为c。

将OA、OC延长与圆交于点B、D，连接BD，由于OB = OD = r，BC = a，CD = b，因此△BCD是一直角三角形。则有c = BD，其中BH ⊥ CD，∠OHB = θ/2，OH = r，BH = (a + b)/2。根据三

角形OBH和ODH的勾股定理得到：(a+b)^2/4+r^2=c^2，则

c^2=4r^2sin^2(θ/2)。所以cos θ =

(c/2r)^2-cos^2(θ/2)=(c/2r)^2-1/2(1+cos θ)=c/(2r)*sqrt(2(1-cos θ))。