20!4年重点大学自主招生北约华约数学试题详解
“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．IHG F E 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ==-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答《自主招生》三大系列《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》从从高高一一开开始始行行动动起起来来！！⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。
“北约”“华约”自主招生数学模拟试题
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题（满分150分）5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA uu u v 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅I ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量3,1)a =-v ,13(,22b =v .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+-v v v ,tan d ma b θ=-+u v v v ,且c d ⊥v u v .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22Λ+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅I 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅I 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-U2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21Λ。
北约自主招生考数学试卷分析
10.(2013年5题)
S n1 4a n 2 设数列 a 满足 a1 1, 前 n 项和为 S n ， 求 a 2013 .
n
点评：数列综合题，是高等数学极限与级数理论 的基础。
11.(2013年6题)
模长为１的复数 x, y, z 满足 x y z 0 , 求
xy yz zx x yz .
2013 复数 数论 2014 三角函数 数论
三角函数 不等式 数列 不等式
从上面可以看出来，“北约”近两年的自主招 生的考点的大方向是不变的。基本上就是三角函 数、不等式、数列、排列组合、几何等几大模块。 而且2014年的北约考试基本上可以看做是2013年 的北约考试的“平行削弱版”，甚至可能相较于 某些省份的高考题并没有难太多。
2.(2014年第2题)
10个人分成3组，一组4人，另外两组各3人， 求共有几种分法。
点评：排列组合基础题型，分组问题，比去年难度小。
3.(2013年第2题)
在6×6的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一 行、 每一列都只有一个車，共有多少种停放方法？ 点评：排列组合近两年都考，它是数理统计的必备 知识。
i 1 n
, 求证：
n i 12 xi 源自 2 1 .
n
点评：不等式是高考也是自主招生考试的重 点，对学生逻辑推理的能力要求高。
6.(2012年第9题，最后一题)
求证：对于任意的正整数n , (1 2 ) n 必可表示 成 s s 1 的形式,其中 s N . 点评：本题运算量不大，但有较高的思维要求。
7.(2011年第7题，最后一题)
求： f ( x) | x 1 | | 2 x 1 | | 2011 x 1 | 的最小值. 点评：含绝对值的函数或不等式历来是高考、 竞赛和自主招生考式的重点内容。
北约2020年自主招生数学试题
2020年北约自主招生数学试题与答案2020-03-16（时间90分钟，满分120分）(33312(7)(232)2(63)40g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩ 即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x 2312-2312为两根的有理系数多项式的次数最小为5.1． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。
所以共有36654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法. 2． 已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---由2225,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-①若x y =则225x x =+，解得1x =±于是知1x y ==+1x y ==当1x y ==+3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----3870108x =--=--.当1x y ==3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.（2）若x y ≠，则根据条件知：22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，进而知222()()12x y x y xy +-+==-. 于是知：32232415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-.3． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a . A. 3019⨯22020B. 3019⨯22020C. 3018⨯22020D.无法确定解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=.所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-，则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即11232n n n a a -+-=⋅.对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以12n +，有113224n n n n a a ++-=，即113224n n n n a a ++=+.令2n nn a c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331(1)244n n c n -=+-=.所以231,2(31)24nn n n a n --==-⋅.于是知：201120122013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.5．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由. A. BM+CN>MN B. MN +CN <MN C. BM+CN =MN D.无法确定解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以BM CN BM BE ME MN +=+>=.6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CAA B C++++的模长.A. -1/2B. 1C. 2D.无法确定 解析：根据公式z z z =⋅1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：AB BC CAAB BC CA AB BC CAA B CA B C A B C++++++=⋅++++++()()()()ABCC ABCC BCAA BCAA C ABB CABB AABB BBCC CCAA AB AB BC BC C A CA AA BB CC ++++++++=++++++++1==.所以AB BC CAA B C++++的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、，则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取224⨯=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知1232013a a a a R ∈L 、、、、，满足12320130a a a a ++++=L ，且122334201220132013122222a a a a a a a a a a -=-=-==-=-L ，求证：12320130a a a a =====L .解析：根据条件知:122334************(2)(2)(2)(2)()0a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++=L L ，（1）另一方面，令122334201312222a a a a a a a a m -=-=-==-=L ，则122334201312222a a a a a a a a ----L 、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，(2013)k -个m -，则：12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m-+-+-++-=⨯+-⨯-=-L （2）由（1）、（2）知：(22013)0k m -= （3）而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a =====L .从而知：2013112a a =⋅，即得10a =.同理可知：2320130a a a ====L .命题得证.9．对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------63222232cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ⎡⎤⎡⎤=--------⎣⎦⎣⎦664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)θθθθθθθ=--+---+--10=.10．已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija ，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的123i m =L 、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}mxnija 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作{}mxnij a '，即对任意的123j n =L 、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}mxnija '中每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意123i m =L 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，其中1231j n =-L 、、、、. 若存在一组(1)pq p q a a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中123k m =L 、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m =L L .则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)tti q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(123iq a i =L 、、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}mxnija '的第q 列中，至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意123i m =L 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，即数阵{}mxnij a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的.。
清北学长精心打造——北约自主招生数学模拟试题及参考答案(四)
绝密★启用前清北学长精心打造——北约自主招生数学模拟试题(四)考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息<br/>2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（5*6=30分）1.已知函数()()432,,,f x x ax bx cx d a b c d =++++为实常数的图象经过三点12,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()15f f +的值等于（） A ．0B ．1C ．265D ．252.已知函数()122,x f x -=-关于x 的方程()()220f x f x k -+=，下列四个命题中是假．命题的是（）A ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；B ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；C ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实根；D ．存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；3.函数f 定义在正整数有序对的集合上，并满足(,),(,)(,),f x x x f x y f y x ==()(,)(,)x y f x y yf x x y+=+，则(14,52)f 的值为（ ）A ．364B ．182C ．91D ．无法计算4.二次函数c bx ax y ++=2的图象的一部分如图，则a 的取 值范围是 （ ）A ．01<≤-aB ．1->aC ．01<<-aD ．1-≤a5.关于x 、y 的方程20071111=++xy y x 的正整数解（x ，y ）的个数为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．486.设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ）第II 卷（非选择题）二、填空题（6*6=36分）7.定义: 区间[](),c d c d <的长度为d c -. 已知函数3log y x =的定义域为[],a b , 值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差等于________.8.设na 是(3+x )n的展开式中x 项的系数(n=2, 3, 4,… ), 则当n ＞100时,223a +333a +…+nn a 3的整数部分的值为.9. 平面上给定ΔA 1A 2A 3及点p 0，定义A s =A s-3,s ≥4，构造点列p 0,p 1,p 2,…,使得p k+1为绕中心A k+1顺时针旋转1200时p k 所到达的位置，k=0,1,2,…,若p 1986=p 0.则ΔA 1A 2A 3为 三角形。
北约华约自主招生试题
“华约”7校联考部分试题：上午科目：“阅读与写作”阅读部分（50分）一、现代文阅读：杨福家的《哥本哈根精神》二、现代文阅读：老舍的《五九》三、古代诗文阅读1.辛弃疾《清平乐校检山园，书所见》2.《南齐书良政》断句3.翻译《论语泰伯》《韩非子外储说右下》写作部分（50分）你对忧患意识是怎样认识的？请写一篇文章，谈谈你的思想和认识，角度自选，立意自定，标题自拟；不要编造虚假事实论据，不要套作，不得抄袭。
二、英文和中英文综合：试卷总分100分，包括的题型有完形填空、英语(论坛)翻译与写作。
完形填空：一篇。
选词填空：6选5，在6个短句中选择5个，完成整篇文章。
英语翻译与写作：先将一篇中文材料，内容与理想的受教育者有关，先将中文翻译成英文，再一篇150字左右的短文。
下午清华7校自主招生进行了数学和“自然科学”或“人文与社会”的考试，高考(微博)网赴现场了解到了考生考试的一些情况。
下午科目：数学数学总分100分，包括选择题和解答题，其中选择题10个，每个3分，解答题5个，涉及到的知识点包括概率、函数、三角函数、数列、解析几何等。
考生普遍反映题量大，时间紧，来不及做完。
题很难，相当于竞赛难度，前五道选择题和后五道选择题难度相差很大，前五道在课本内都可以找到，后五道来自课本之外。
自然科学理综总分100分，物理题量较大，比化学占的分值要多，物理题包括10个选择题，每个3分，有不定向选择题，解答题；化学题包括选择题10个，填空题、解答题。
物理题比较有深度，与课本结合紧密，但只要参加过竞赛，这些题基本都能解答出来。
大题中，有一道机械能的题。
部分物理题：物体x在平面上做简谐运动，AB两点相距16厘米，物体x由A运动到B用时一秒，并在AB两点有相同的速率，物体x在1秒后再次通过B，求周期与振幅。
（单选）一个氢原子外电子吸收一个光子后，______化学题有部分竞赛题，特别难，很多题都没见过，题量大，没做完，考到一个关于石墨烯、分子结构、轨道理论的题。
华约自主招生数学答案
第一题：已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件①数字两两不等②任意两个数字之和不等于9 ⑴B 中有多少个两位数，多少个三位数 ⑵B 中是否有五位数？是否有六位数？将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。
先想如何确定一个元素，合理的方法应该是从高位开始依次按照要求选择各个数位上的数字，理解到这里之后就是简单地排列组合计算了。
【参考答案】 解：①对于两位数来说，当一位数m 确定以后，根据题意，另一位数只有除9-m 和m 以外8个可能选择的数字，那么B 中包含的两位数个数是9872⨯=个。
记一个三位数为abc ，其中a 有9种选择，依次b 有8种，c 有6种，所以三位数的个数为986432⨯⨯=个②依照上面的规律，四位数个数为98641728⨯⨯⨯=个，五位数个数为986423456⨯⨯⨯⨯=个，当是六位数的时候，前面的五个数字确定后，第六个数字将不存有，所以没有六位数。
证明能够用抽屉原理解决，非常简单。
③两位数和三位数共有504个，故第1081个数是四位数，设为abcd 。
我们只需找出四位数中的第1081-504=577个数字就是所要求的数字。
当1a =时，bcd 有864192⨯⨯=种组合，依次类推，2a =有192个数字，故1,2,3a =时 共有1923576⨯=个数字，故第577个数字也就是整体第1081个数字就是4012.第二题：已知sin x +sin y =13，cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos()x y +【试题分析】很简单的三角函数计算题，需要熟练掌握三角函数的合角公式和差角公式，对整体的数学思维也有一定的要求，因为三角函数的计算往往无法避免多值问题，如果能对已知的等式实行整体的运算那么就会避免非常复杂的讨论，直接得到希望的结果。
“北约”“华约”2020年自主招生数学模拟试题
“北约”“华约” 2020 年自主招生数学模拟试题（满分 150 分）5. 设 P 是抛物线 y 24y 4x 0 上的动点 , 点 A 的坐标为 (0, 1) , 点 M 在直线 PA 上 ,uuuv则点 M 的轨迹方程是.且分 PA 所成的比为 2:1, 第二部分：解答题（共 5小题每题 20分）1 设会合 Ax log 13 x2 ， Bx2a1 ．若 A I B ，务实数 a 的取值2x a范围2. 为了搞勤学校的工作，全校各班级一共提了P ( P N ) 条建议 . 已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都起码有一条建议同样，但没有两个班提出所有同样的建议 . 求证该校的班级数不多于2P 1个v v1 , 3 ) . 若存在实数 m(m 0)和角 ( (, )),3. 设平面向量 a ( 3, 1) , b (2 22 2vv(tan 2 v uv v v v uv 使向量 c a 3)b , d ma btan, 且 c d .(I) 求函数 m f ( ) 的关系式 ; (II) 令 ttan , 求函数 m g(t ) 的极值 .4. 已知双曲线的两个焦点分别为 F 1 , F 2 , 此中 F 1 又是抛物线 y 2 4x 的焦点 , 点 A ( 1,2) ,B (3, 2) 在双曲线上 .(I) 求点 F 2 的轨迹方程 ;(II)能否存在直线 y xm 与点 F 2 的轨迹有且只有两个公共点 ?若存在 , 务实数 m 的值 , 若不存在 , 请说明原因 .5. 已知， b 均为正整数，且2ab22 n求aa b, sin 2b 2 (此中0), A n (ab )sin n ,a2证：对全部 nN * ， A n 均为整数参照答案一、选择题1. 由 tan2 , 得 sin2cos , 有sin 2 4cos 2 , 即 1 cos 24cos 2.则 cos 21 , 原式 =16cos 26cos 25cos 25cos 21.52. 设x a bi,a,b R, 代 入 原 方 程 整 理 得(2 a 2 2b 2 5a6 b) (4 ab a5b)i22a 1a 3有 2a 2b 5a 6 b2, 所以 x1 i 或 x3 3i ., 解得1 或4ab a5b 0bb32 223. 直接求 x 的个位数字很困难，需将与 x 有关数联系，转变成研究其有关数 .【解】令 y(15220 )19(15220 ) 82 ,则 x y[(15220 ) 19 (15220)82 ][(15220 ) 19 (15 220 ) 82 ] ，由二项式定理知，对随意正整数n.(15 220) n(15220)n 2(15nC n 2 15n2 220)为整数，且个位数字为零 .所以， x y 是个位数字为零的整数 . 再对 y 估值，由于 0 1522055 0.2， 且(15220) 88(15220 )19，220 2515所以 0 y 2(15 220 ) 19 2 0.219 0.4. 故 x 的个位数字为 9.【评论】转变的思想很重要，当研究的问题碰到困难时，将其转变为可研究的问题.4. 解：被 7 除余 2 的数可写为 7k2 . 由 100 ≤7k 2≤600 .知14 ≤ k ≤ 85 .又若某个 k 使 7k 2能被 57 整除，则可设 7k 2 =57n . 即 k 57n 2 n27 8n .n 2 n 7m 2 k 57m 1657m 16 7即 应为 7的倍数. 设代入，得. ∴ 1485∴. m =0,1. 于是所求的个数为 70 ．x 0 2 0y 0 2 ( 1), 得 x 03x , y 03y 25. 设点 P ( x 0 , y 0 ) ,M (x, y) , 有 x3, y3而 y 024 y 0 4x 0 0, 于是得点 M 的轨迹方程是 9 y 2 12x4 0 .二、解答题1.解：Ax 1 x 3 ， B x x a x 3a 0 ．当 a 0时， B x 0 a x 3a，由AI B 得 0 a 3 ； 当 a 0 时， B x 3a x a 0 ，由 A I B得 a1 ； 当 a0时， Bx x 2 0，与 AIB不符．综上所述， a 1,0 U 0,32. 证明：假定该校共有 m 个班级，他们的建议分别构成会合 A 1, A 2 , , A m 。
一道“华约”自主招生试题的探索历程
若 ｋ 偶 数， ＋（） ＝ 为 １ （） ＞ ０ ， ｆ＋（） （ 。＋。） 单调 递 增， Ｘ 一 ｋｌｘ 在 一。， Ｏ 上 当 － ＋ ＋ ｏ时， ｋ ｌ ）＿＋。； ＿ 一 ｏ ｆ＋（） ｏ ｆ＋ （ － ｘ ＋ 。 ＿ ｏ 时， ｋ ｌ ÷ ｘ
。 ． ．
＋ （考 ． 吾１ ） 吾１ ）． （南 ＿ ＋ ＋－ ＋ ＋
２１ 年第 ８ ０２ 期
数 学款 学
８ ３ —３
一
道 “ 约’ 华 ’ 自主招 生试 题 的探 索历 程
３ ５ １ 浙江省 宁波市第四 中学 魏定波 １０ ５
１ ．试 题 呈 现
‘ ． ．
， （） 有且仅有一个实数根． ３ ＝０
请证明： 方程 １ 计 － Ｘ ＋… ＋ ＝０ ＋ Ｘ ＋可 － ＝， ：
学 知 识 和 方 法 来 解 答 本题 ， 正 的 目的 是 考 查 真
。 ，
江 省大 学生 高等数 学 竞赛试 题 （ 学类１ 五 数 第
题：
２ 巾３ 礼
（） 无实根 ． ＝０ 于是得 到此题 的解答， 几分奇数与偶数 将
‘ ． ．
的 两 个 问题 结 合 在 一 起 ， 题 老 师 这 种 设 计 真 命
当 ｎ为奇数 时有且仅 有一个实数根． 题（ 工科类） 第五题：
‘
．
’ ．
’５ ） ＋ ，（ ＝１ ＋＂ ：，（） ， － ６ － ２ ＞０ ，（） （ ∞ ， 。 上单调递增． ３ 在 一 ＋ｏ）
．
若ｋ 为奇数， ＋ （） ｋｘ． １ ＝ｆ（） 记 ＾（）＝ ０的根 为 ＝ Ｘ ， 然 Ｘ ０显 ０≠ ｏ ，由 于 ｋ一 １ 偶 数， （） ＝ ＾一 （） 为 ｌ 恒 ｚ 大于０ ，因此 （） （ （， ∞） 在 一３ ＋ 上单调递增， ０ ∈ （ ∞，０ 时， ＋（）＝ （）＜ ０ 一 Ｘ） １ ｚ ； ∈（０＋∞） ＋ （） （） ． Ｘ， 时， １ ＝ ＞０ 因此 ＋ （）ｉ ＝ ＋ （ｏ １ ｍ ｌ ）： ｆ（ｏ ＋ ｘ ｋｘ ）
2012年“华约”、“北约”自主招生数学试题分析及应试策略
• （5）对简单数论与组合数学的考查
二、2012年自主招生数学试题的 考试热 点以及其备考方向
• 通过对近几年“北约”、“华约”及“卓越”三 联盟自主招生考试数学试题的分析，今年各联盟 自主招生的有以下几个方面成为热点： • （1）三角与向量。主要考查三角函数的恒等变形、 三角形中的三角函数、三角不等式、三角 函数的 性质 • （2）函数与导数。主要考查函数的三大性质、二 次函、三次函数、极值与最值问题
• (3) 数列与不等式。主要考查等差数列与等比数列、
简单的递推数列、数列的求和、数列求通项、数 列的性质等
• (4)解析几何。主要二次曲线的几何性质、点的轨迹方 程、解析法等 • (5)概率与统计。主要考查离散变量的概率 • (6)简单的初等数论。主要考查数的整除性、奇偶性 • (7)简单的组合数学。主要考查排列、组合、计数、对 应、趣味数学题。
2、“华约” 自主招生数学试题特点
• “华约”自主招生数学试题总的来说比“北约ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的试题多变，即随意性较大。主要特点如下： • （1）突出能力立意 • （2）三角恒等变换与三角形中的三角函数 • （3）概率统计 • （4）方程与不等式
• （5）函数与导数
3、“卓越同盟” 自主招生数学试题特点
• （1）注重函数与方程的考查 • （2）注重代数恒等变形的考查 • （3）突出数学思想方法的考查 • （4）注重不等式与数列
自主招生试题特点分析
及2012年自主招生备考策略
一、2012年自主招生数学试题特点
1、北约自主招生数学试题的特点
• (1)注重对数学思想方法的考查
• (2)注重数学综合应用能力的考查
• (3)注重逻辑推理能力的考查
• (4) 注重运算能力及数学能力的考查 • (5) 注重对主杆知识的考查 • (6)注重数学应用性问题的考查
自主招生华约数学试题解析
自主招生华约试题分析一、选择题(1) 设复数 z 知足 |z|<1且 | z4 3C2D AB3 54 解：由 | z 1 |5 得 | z |21 去），1z 2。
21 | 5 则 |z| = ( )z 2125 | z | ，已经转变成一个实数的方程。
解得 |z| =2（舍2 (2) 在正四棱锥 P-ABCD 中， M 、N 分别为 PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2 。
则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为 ( ) A1B1C1D136812[ 剖析 ] 本题有很多条件，能够用“求解法” ，即假定题中的一部分因素为已知，利用 这些条件来确立其余的因素。
本题中可假定底面边长为已知（不如设为 2），利用侧面与底面所成二面角可确立其余因素，如正四棱锥的高等。
而后我们用两种方法，一种是成立坐标系，另一种是平移此中一条线段与另一条在一同。
z PMDNCOyABx解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2 得高为2 。
如图成立坐标系，则 A (1 ，-1 ，0) ，B (1 ，1，0) ，C (-1 ， 1， 0) ， D (-1 ，-1 ，0) ，P (0 ，0， 2 )，则 M(1, 1 ,2),N(1,1, 2) ， DM ( 3 , 1 , 2),AN ( 1,3, 2)。
2 222 2 22 222 2 2DM AN 1设所成的角为 θ，则 cosAN。
DM6解法二：如图，设底面边长为 2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2 得高为2 。
平移 DM 与 AN 在一同。
即 M 移到 N ， D 移到 CD 的中点 Q 。
于是 QN = DM = AN 。
而 PA=PB=AB =2，因此 QN=AN=3，而 AQ= 5 ，简单算出等腰AQN 的顶角PMDNQCAB1 cos ANQ。
6解法三：也能够平移AN 与 DM 在一同。
即A 移到 M ， N 移到 PN 的中点 Q 。
北约自主招生能力测试数学试题(含参考答案
综合性大学自主选拔录取联合考试自然科学基础——理科试卷数学部分（北约）一、选择题（每小题8分，合计48分）1．圆心角为3π的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．A ．B ．7πC ．D ．解：由2166S R ππ==扇形得6R =，由263r ππ=⨯得1r =，故它围成的圆锥的表面积为267r πππ+=．2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．A ．1070B ．2014C ．2100D ．4200解：433106321002C C C N ==． 3．已知2()2()()33a b f a f b f ++=，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===，124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===，猜想*()21()f n n n N =-∈，假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-，(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-，所以*()21()f n n n N =-∈．4．若2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）．A ．01a ≤≤B ．C ．D ．0a ≤或1a ≥解：由题知，{}2(0,)2y y x ax a +∞⊆=-+，故2(2)40a a ∆=--≥，解得：0a ≤或1a ≥．5．已知1x y +=-，且x 、y 均为负实数，则1xy xy+有（ B ）． A ．最大值174 B ．最小值174 C ．最大值174- D ．最小值174-解：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1()f t t t=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，故1()()4f xy f ≥，即1174xy xy +≥，当且仅当12x y ==-时取等号． 6．已知22()arctan14x f x C x +=+-在(,)44ππ-上为奇函数，则C =（ B ）． A ．0 B ．arctan 2- C ．arctan 2 D ．不存有解：由()0f x =得arctan(2)arctan 2C =-=-，此时()()f x f x +-22arctan14x x +=-22arctan 214x C x -+++4arctan()2arctan 203=--=，故arctan 2C =-符合题意．二、解答题（每题18分，共72分）7．证明：0tan3R ∉．证明：设0tan 3Q ∈，则0tan 6tan12tan 24tan 30tan(624)Q Q Q Q ∈⇔∈⇔∈⇔=+∈，这与0tan 303Q =矛盾． 8．已知实系数二次函数()f x 和()g x ，若方程()()f x g x =和3()()0f x g x +=都只有一个偶重根，方程()0f x =有两个不等的实根，求证：方程()0g x =没有实根． 解：设2()f x ax bx c =++，2()g x dx ex f =++，0ad ≠，所以2()4()()b e a d c f -=--，2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，所以223124b e ac df +=+，又240b ac ->，所以22()44(4)0g x e df b ac ∆=-=--<，所以方程()0g x =没有实根．9．已知1a ，2a ，…，13a 成等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：0，72，163是否能够同时在M 中？并证明你的结论．解：设该数列的公差为d ，∴p ∃，q ，*r N ∈，130a pd +=，173()2a p q d ++=，1163()3a p q r d +++=，∴2111q r =，∴21q ≥，11p ≥，又0123p ≥++=，∴35p q r ++≥， 又12111033p q r ++≤++=，与上式矛盾，故0，72，163不能够同时在M 中．10．i x （1i =，2，…，n ）为正实数，且11nii x==∏，求证：1)1)nn i i x =≥∏．解：由AM GM -不等式得：11(n i n =≥，11(ni n =≥两式相加得：1≥，故1)1)nn i i x =≥∏．。
“华约”数学考试概率试题分析及2013年备考对策
作者： 李含进 钱昭晖
作者机构： 江苏省锡山高级中学,214174
出版物刊名： 中学数学教学
页码： 43-46页
年卷期： 2012年 第6期
主题词： 概率问题 备考对策 试题分析 数学考试 华约 学生综合能力 自主招生 学科知识
摘要：由于概率问题对知识考查比较全面,更容易考查学生综合能力和探索精神,因此以＂华约＂为代表的高校自主招生考试中,总少不了概率问题.笔者对近三年的＂华约＂自主招生概率题目做详细分析,可以看到＂华约＂概率试题的考试题型基本趋于稳定,逐渐成熟,而且具备以下特点：1.注重数学知识和其他学科知识的整合;2.注重概率问题和其他数学知识的综合;3.注重对概率问题发生过程以及处理概率问题的基本方法考查等特点.进而给出几道模拟题目供广大师生参考.在2013年的概率问题备考中,建议平时下功夫,做到厚积薄发,在概率问题上注重方法的总结,才能更好地做到举一反三,触类旁通,考试中面对较复杂的概率问题时,要沉着应战,大胆尝试,抽丝剥茧,定能寻找到攻克问题的方案.。
小学生简解北约自主招生题
生试 题 ） ， 试题 的 难 度 一般 略 高 于 高 考题 ， 但 所 以 ｌ “ Ｉ ，ｌ ｂ Ｉ ，ｌ ｃ ｌ ，ｌ ｄ ｌ 也两两 互异， 得
也 有少 量试题 只 用 很 少 的知 识 就 可 求解 ， 兹 ｌ ｎ ｌ ＜ｌ ｂ Ｉ ＜ｌ ｃ ｌ ＜ｌ ｄ Ｉ ， 所以 举 一例 ． 北约 ２ ０ １ １年 第 ５题 是 否 存 在 四 个 正
又 ２ ＜３ ＜５ ＜６ ＜１ Ｏ ＜１ ６ ， 所 以
实数 ， 它们两 两乘 积分 别是 ２ ， ３ ， ５ ， ６ ， １ ０ ， １ ６ ７
我 们尝 试 用 小 学 知 识 给 出该 题 的 两 种 ｌ “１ ．１ ｄ ｌ ＜ｌ ｂ ｌ ・Ｉ ｄ ｌ ＜Ｉ Ｃ ｌ ・ｌ ｄ １ ．
登高 ・ 赛 场 纵横
小 学 生简 解 北 约 自ｉ招 生题
甘志 国
高校 自主招 生考 试 数 学 试 题材 料 鲜 活 ， １ ０ ， １ ６（ 这 六个数是互 异的） ” ， 得 六 个 数 不易 押 中 ， 试 题 的结 构 常 以 ５ ～ ７道 解 答 题 ｌ “ １ ．１ ｂ ｌ ，Ｉ “１ ．
ｌ １ ｃ Ｉ ．Ｉ ｄ ｌ 一１ ６ ． ④
ｃ ， 而这六 个数 就是 ２ ， ３ ， ５ ， ６ ， １ ０ ， １ ６ ， 但并 不 是分 别对 应相 等．
我们 注 意 到 Ⅱ ６・ｃ ｄ— ａ ｃ・ｂ ｄ— ａ ｄ ・ｂ ｃ
及 ２ ＜３ ＜５ ＜６ ＜１ ０ ＜１ ６ ， 所 以 应 有 ２・１ ６ —
设 这 四个实 数分 别是 ａ ， ｂ ， Ｃ ， ｄ， 且ｌ “Ｉ ≤
Ｉ ｂ ｌ ≤ｌ ｃ Ｉ ≤ｌ ｄ １ ．
由题 设“ 它们两 两乘 积分 别 是 ２ ， ３ ， ５ ， ６ ，