电力系统不对称故障的分析计算讲解

第八章 电力系统不对称故障的分析计算
主要内容提示：
电力系统中发生的故障分为两类：短路和断路故障。

短路故障包括：单相接地短路、两相短路、三相短路和两相接地短路；断路故障包括：一相断线和两相断线。

除三相短路外，均属于不对称故障，系统中发生不对称故障时，网络中将出现三相不对称的电压和电流，三相电路变成不对称电路。

直接解这种不对称电路相当复杂，这里引用120对称分量法，把不对称的三相电路转换成对称的电路，使解决电力系统中各种不对称故障的计算问题较为方便。

本章主要内容包括：对称分量法，电力系统中主要元件的各序参数及各种不对称故障的分析与计算。

§8—1 对称分量法及其应用
利用120对称分量法可将一组不对称的三相量分解为三组对称的三序分量（正序分量、负序分量、零序分量）之和。

设c b a F F F ∙
∙
∙
为三相系统中任意一组不对称的三相量、可分解为三组对称的三序分量如下：
()()()()()()()()()
021021021c c c c b b b b a a a a F F F F F F F F F F F F ∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙∙∙++=++=++= 三组序分量如图8-1所示。

正序分量： ()1a F ∙
、()1b F ∙
、()1c F ∙
三相的正序分量大小相等，彼此相位互差120°，与系统正常对称运行方式下的相序相同，达到最大值的顺序a →b →c ，在电机内部产生正转磁场，这就是正序分量。

此正序分量为一平衡的三相系统，因此有：()()()111c b a F F F ∙
∙
∙
++=0。

负序分量：()2a F ∙
、()2b F ∙
、()2c F ∙
三相的负序分量大小相等，彼此相位互差120°，与系
图 8-1 三序分量
F
c(0) ·
零序
F b(0) ·F a(0) ·120°
120° 120° 正序
F b(1)
·
F a(1)
·F c(1) ·ω
120°
120°
120°
负序 F a(2)
·
F c(2)
·
F b(2)
·
ω
统正常对称运行方式下的相序相反，达到最大值的顺序a →c →b ，在电机内部产生反转磁场，这就是负序分量。

此负序分量为一平衡的三相系统，因此有：()()()222c b a F F F ∙
∙
∙
++=0。

零序分量：()0a F ∙
、()0b F ∙
、()0c F ∙
三相的零序分量大小相等，相位相同，三相的零序分量同时达到最大值，在电机内部产生漏磁，其合成磁场为零。

这就是零序分量。

如果以a 相为基准相，各序分量有如下关系：
()()()()()()()()()()()()()
()()
()()
0001002212222211211211a c a b a a b c a b a a b c a b a F F F F F F a F a F F a F F F a F a F F a F F ∙
∙
∙
∙
∙∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙∙∙
∙∙
========零序分量
负序分量正序分量 其中2321120j
e a j +-
== 2
3
212402j e a j --== 012=++a a 12-=+a a 13=a 于是有：
()()()
()()()()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=++=++=∙
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙022
10212
021a a a c a a a b a a a a F F a aF F F F a F a F F F F F
()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∙∙
∙∙∙∙0212
211111a a a c b a F F F a a a a F F F 缩写：F =abc sF 120
s ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=11111
22
a a a a s ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=-11111312
21a a a a s 为对称分量法的变换矩阵，s -1为对称分量的逆变换矩阵。

于是有F =120s -1F abc
展开式为：()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙∙
∙∙∙c b a a a a F F F a a a a F F F 11111312
2021
把对称分量法用于电力系统中，abc 和120两种坐标系的互化，电压和电流的变换为：
I =abc sI 120 I =120s -1I abc U =abc sU 120 U =120s -1U abc
电力系统正常运行时，三相电路的参数相同，只有正序分量。

当电力系统发生不对称故障时，三相电路的条件受到破坏，三相对称电路变成不对称电路。

但是，除了故障点出现不对称外，电力系统的其余部分仍旧是对称的。

可见，故障点的不对称是使原来三相对称电路就为不对称的关键，因此，在计算不对称故障时必须抓住这个关键，设法在一定条件下，把故障点的不对称转化为对称，此时，可用对称分量法，将实际的故障系统变成三个互相独立的序分量系统，而每个序分量系统本身又是三相对称的，从而就可以用单相电路进行计算了。

如图8-2所示的简单系统发生单相接地短路故障。

应用对称分量法，可绘出三序网图（三序等值电路图），如
图8-3所示为最简化的三序网图，三序网的参数可分为正序、负序、零序参数。

图中∑1Z 、∑2Z 、∑0Z 分别为正序阻抗、负序阻抗和零序阻抗。

列出电压方程：⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧=-=-=-∙∙∙∙∙
∙∙0002221111a a a a a a a U Z I U Z I U Z I E
∑∑∑∑
电力系统的三序网指正序网、负序网、和零序网。

在正序网中，正序电动势就是发电机电动势，流过正
序电流的全部元件的阻抗均用正序阻抗表示，短路点的电压为该点的正序电压。

在负序网中，没有电源电动势，流过负序电流的全部元件其阻抗均用负序阻抗表示，短路点的电压为该点的负序电压。

在零序网中，也没有电源电动势，仅有零序电流能够流通的那些元件的零序阻抗，短路点的电压为该点的零序电压。

正序网与负序网其形式基本相同，仅差电源电动势。

而零序网与正、负序网有很大差异，由于零序电流的流通路径与正、负序截然不同，零序电流三相相位相同，它必须通过大地和接地避雷线、电缆的保护包皮等才能形成回路，所以某个元件零序阻抗的有无，要看零序电流是否流过它。

根据短路的类型、边界条件，把正、负、零序网连接成串、并联的形式，从而可求解电流、电压的各序分量，再应用对称分量法进而可求出各相电流和电压等。

§8—2电力系统中主要元件的各序参数
在应用对称分量法分析和计算电力系统的不对称故障时，应首先确定各元件的正序、
图 8-3 简化三序网图
零序 0）
a0
·正序）
Z ∑
a1
·负序
2）
a2
·
图 8-2 简单系统单相接地故障图
负序和零序阻抗。

在三相参数对称的电路中，通以某一序的对称分量电流，只产生同一序分量的电压降。

如通以正序电流，在元件上产生正序的电压降，与之对应的元件参数为正序参数。

所谓某元件的正序阻抗，是指当仅有正序电流通过该元件时，所产生的正序压降与此正序电流之比。

设正序电流()1∙
I ，通过某元件时产生的正序压降为()1∙
U ∆，则该元件的正序阻抗为：
()()
()
111∙
∙
=
I U Z ∆ 同理，负序阻抗：()()
()
222∙
∙
=
I U Z ∆ 零序阻抗：()()
()
000∙
∙
=
I U Z ∆
电力系统的元件较多，但一般不外乎旋转元件和静止元件这两类。

旋转元件如发电机、电动机等；静止元件如架空线、电缆线、变压器、电容器、电抗器等。

每一类元件的序阻抗，都有一些特点，对于静止元件，如架空线、电缆线、变压器，有()()21Z Z =；而电容器、电抗器及三个单相式变压器，则有()()()021Z Z Z ==；对于旋转元件，由于各序电流通过时将引起不同的电磁过程，正序电流产生与转子旋转方向相同的旋转磁场，负序电流产生与转子旋转方向相反的旋转磁场，而零序电流产生的磁场与转子旋转位置无关，因此，旋转元件中与之相对应的正序、负序和零序阻抗()(1Z 、()2Z 、())
0Z 三者互不相等。

电力系统各元件的正序参数均为正常运行时的参数，负序和零序参数则不然。

⒈ 同步发电机的负序和零序电抗
负序电抗： ()2
2q d
X X X ''+''= 零序电抗：()()d
X X ''=6.0~15.00 ⒉ 异步电机的负序和零序电抗
()X X X X r s ''=+=σσ2（次暂态电抗） ()∞=0X
⒊ 变压器的负序和零序电抗
一般负序电抗与正序电抗相等，即()()21X X =，零序电抗与正序及负序电抗是不同的，且随变压器接线组别的不同而不同。

⑴ 三相三柱式变压器：
1）Y 0，d (Y 0/△) 如图8-4（a ）所示。

()()()100//X X X X X X X m =+≈+=ⅡⅠⅡⅠ 2）Y 0，y 0 (Y 0/ Y 0 ) 如图8-4（b ）所示。

若负载侧接成Y 型：()()00m X X X +=Ⅰ 若负载侧接成Y 0型：如图8-4（c ）所示。

()()()0
00//X X X X X m '++=ⅡⅠ 0X '—外电路电抗。

3) Y 0，y (Y 0/Y) 如图8-4（d ）所示。

()()00m X X X +=Ⅰ 4) Y n0，d (Y n0/△) 如图8-4（e ）所示。

Y 0侧中性点经n X 接地 ()n X X X X 30++=ⅡⅠ ⑵ 三个单相式或三相五柱式变压器： 1) Y 0，d (Y 0/△) ()()10X X X X =+=ⅡⅠ
2) Y 0，y 0 (Y 0/Y 0 ) ()0
0X X X X '++=ⅡⅠ 3) Y 0，y (Y 0/ Y ) ()∞=0X
4) Y n0，d (Y n0/△) ()∞=0X ⑶ 三绕组变压器：
1) Y 0，y (Y 0/△/ Y )
()()10X X X X X ==+=-ⅡⅠⅡⅠ
2) Y 0，d ，y 0 (Y 0/△/ Y 0 )
若第Ⅲ绕组Y 0侧有另一个接地中性点时
()ⅡⅠX X X +=0//()0
X X '+Ⅲ 3)Y 0，d ，d (Y 0/△/△) ()ⅢⅡⅠX X X X //0+= ⑷自耦变压器：设()∞=0m X 1) Y 0，y 0 (Y 0/Y 0 )
()ⅡⅠⅡⅠ-=+=X X X X 0
2) Y 0，y 0 ，d (Y 0/Y 0/△)
()()0
0//X X X X X '++=ⅡⅢⅠ 以上公式中，凡涉及外电路电抗0
X '的，除0X '外，剩下的即是变压器的零序电抗。

⒋ 输电线路的零序阻抗
输电线为静止元件，设自阻抗为S Z ，互阻抗为m Z ，则三序阻抗为：
（e ）
ⅠⅡ（d ）
图 8-4 变压器零序等值电路
（a ）
ⅠⅡˊ
0 （c ）
ˊ
0 （b ）
()()21Z Z Z Z m S =-= ()m S Z Z Z 20+=
⑴ 单线对大地的自阻抗S Z
r D j R R Z g g a S '
++=lg
1445.0 （Ω/km ） (8-1)
式中a R 为导线的电阻，g R 为大地的电阻，r '为线路的等值半径，g D 为等值深度，一般m D g 1000=。

⑵ 两回路间的互阻抗m Z
ab
g g ab m D D j R Z Z lg
1445.0+== （Ω/km ） (8-2)
⑶ 单回路架空线的零序阻抗
()()3
20lg
4335.032m
g
g a m S D
r D j R R Z Z Z '++=+= （Ω/km ） (8-3)
⑷ 双回路架空输电线零序阻抗()()20Z
()()()()0020ⅡⅠ-+=Z Z Z
()Ⅱ
ⅠⅡⅠ--+=D D j Z g lg
4335.015.00 （Ω/km ） (8-4)
式中()0ⅡⅠ-Z 为双回路的互阻抗，ⅡⅠ-D 为两个回路之间的几何均距。

()()()()()()()()()0000020//ⅡⅠⅡⅡⅠⅠⅡⅠ-----+=Z Z Z Z Z Z （Ω/km ） (8-5)
等值电路如图8-5所示：
⑸ 有架空地线的单回输电线的零序阻抗()ω0Z
（a ） 图 8-5 双回线路互阻抗等值电路
Z ⅠⅡZ Ⅰ-
架空地线的自阻抗()0ωZ ()ω
ωωr D j R Z g '++=lg 4335.015.030 （Ω/km ） (8-6)
导线与架空地线间的互阻抗()0ωC Z
()ω
ω-+=C g C D D j Z lg
4335.015.00 （Ω/km ） (8-7)
()()()
()
()()()()()()()0000002
000//ωωωωωωω
C C C C Z Z Z Z Z Z Z Z Z -+-=-
= （Ω/km ） (8-8)
⑹ 有架空地线的双回输电线的零序阻抗()()ω,20Z
()()()()()()()()()()()()()
()ωωωωωω00000,20//ⅡⅠⅡⅡⅠⅠⅡⅠ-----+=Z Z Z Z Z Z （Ω/km ）
若两回路完全相同，则有：
()()
()
()
()()
()()()()
02
00000,202ωωωωωZ Z Z Z Z Z Z C
-+=+=
--ⅡⅠⅡⅠ （Ω/km ） (8-9)
§8-3 不对称故障的分析计算
本节着重讨论电力系统的两类不对称故障的分析和计算，一类是不对称短路故障（又称为横向不对称故障），它包括：单相接地短路、两相短路、两相接地短路；另一类是断路故障（又称为纵向不对称故障），它包括：一相断开、两相断开。

在电力系统的设计和运行中，需要对不对称故障进行分析和计算，求出故障处的电流电压，以及网络中其它支路的电流和节点电压，这是选择电气设备，确定运行方式，整定继电保护，选用自动化装置以及进行事故分析的重要依据。

一、各种不对称短路时故障处的电流和电压
首先制订正、负、零序网如图8-6所示，与之对应三个基本电压方程：
可见，故障处的六个未知数为：1a I ∙、2a I ∙、0a I ∙、1a U ∙、2a U ∙、0a U ∙
，求解这些未知数
有两种方法，即解析法和复合网法。

解析法——即是联立三个基本电压方程和三个边界条件方程（以序分量表示的边界条件方程）求解六个未知数。

a0
零序
负序
图 8-6 三序网图
a2
a1·∑
∑∑∑0002221111Z I U Z I U Z I E U a a a a a a a ∙
∙∙
∙∙∙∙-=-=-=
复合网法——根据故障类型所确定的边界条件，用对称分量法求出新的边界条件（以序分量表示的边界条件），按新的边界条件将三个序网联成复合网，由复合网求出故障处的各序电流和电压。

由于复合网法比较简便、直观，又容易记忆，因此应用较广。

⒈ 单相接地短路k (1)（假定a 相接地短路）
⑴ 边界条件：0=∙a U 0==∙
∙c b I I
⑵ 新边界条件：⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=∙∙∙
021a a a U U U a a a a I I I I ∙∙∙∙===31021
⑶ 据新边界条件联成复合网：如图8-7所示。

⑷ 由复合网求序分量： ∑
∑∑∑∑
∑∑
∑∑
∑
010002122211110211021Z I Z I U Z I Z I U Z I E U Z Z Z E I I I a a a a a a a a a a a a a ∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
-=-=-=-=-=++=
==
⒉ 两相短路k (2)（假定bc 相短路）
⑴ 边界条件：c b U U ∙
∙
= 0=∙
a I c
b I I ∙
∙
-= ⑵ 新边界条件：21a a U U ∙
∙
= 00=∙
a I 21a a I I ∙
∙
-= ⑶ 复合网：如图8-8所示。

⑷ 由复合网求序分量：
0222111121121=-=-=+=
-=∙∑∙
∙
∑∙
∑∙
∙
∑
∑∑∙
∙
∙a a a a a a a a a U Z I U Z I E U Z Z E I I
⒊ 两相短路接地k (1.1) (假定bc 两相短路接地) ⑴ 边界条件：c b U U ∙∙= 0=∙
a I ⑵ 新边界条件：a a a a U U U U ∙∙
∙
∙
===310
21 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=∙∙∙021a a a I I I
图 8-7 单相接地复合网
图8-8 两相短路复合网
∑
·
⑶ 复合网：如图8-9所示。

⑷ 由复合网求序分量：
∑
∑∑
∑∑∑
∑∑∑∑
∑
∑
0221
0020120202111Z Z Z I I Z Z Z I I Z Z Z Z Z E I a a a a a a +-=+-=+⋅+=
∙
∙∙
∙
∙
∙
∑
∑∑
∑02021
021Z Z Z Z I U U U a a a a +⋅===∙
∙
∙
∙
在求解各种不对称短路的正序分量电流时，可用通式表示：
()
()n n k Z Z E I ∆
∑∑
+=
∙
∙
111
对不同的短路类型，()
n Z ∆的值不同，如下表：
图8-9 两相接地短路复合网
E ∑
·
均是以a 相为基准相进行分析和计算，如果同一类型的故障不发生在上述的那些假定相别上，那就不一定选a 相为基准相。

一般在简单不对称故障计算中，大都选择故障时三相当中的特殊相作为基准相。

所谓特殊相，是指故障处与另两相情况不同的那一相。

如果故障只涉及一相，则故障相就是特殊相；如果故障涉及到两相，非故障相才是特殊相。

如果所选择的基准相不是a 相，当采用对称分量法进行相、序分量变换时，需注意，若序分量的次序仍为120，则可照样使用矩阵s 和s -1，但相分量的次序应是基准相排在第一位。

如b 相为基准相时，相分量的次序是b →c →a(如I bca =sI 120)；如c 相为基准相时，相分量的次序是c →a →b(如I cab =sI 120)。

【例8—2】 已知某系统接线如图例8-2a 图所示，各元件电抗均已知，当k 点发生bc 两相接地短路时，求短路点各序电流、电压及各相电流、电压，并绘出短路点的电流、电压相量图。

解 1) 计算各元件电抗（取100=B S MV A av B U U =） 发电机G1：
32.050
100
16.0100%25
.050
100125.0100%221=⨯=⋅=
=⨯=⋅''=N B N B d S S X X S S X X 发电机G2：
64.025
100
16.0100%5.025
100
125.0100%221=⨯=⋅=
=⨯=⋅''=
N B N B d S S X X S S X X 变压器T1：175.060
100
1005.10100%021=⨯=⋅=
==N B k S S U X X X 变压器T2：333.05
.31100
1005.10100%021=⨯=⋅===N B k S S U X X X 线路l ：
30.015.02215.0115
100504.0102
2121=⨯===⨯⨯===X X U S l
x X X B B
2) 以a 相为基准相作出各序网络图，求出等值电抗∑1X 、∑2X 、∑0X
〞 X d =0.125 ·〞 E 1 =j1 X 2=0.16
cos ϕ=0.85 10.5/121kV 60MV A U k %=10.5 10.5/121kV 31.5MV A U k %=10.5 x 0=2x 1 12l =50km 例8-2a 图
〞 X d =0.125 ·〞 E 2 =j1 X 2=0.16 cos ϕ=0.85
()()()()()289.050.0333.0//15.0175.025.0150.0333.015.0175.025.015.0175.025.015.0333.011j j j X j j j j j j E a =+++==++++++⨯++⨯=∑
∑∙
()()388.064.033.0//15.0175.032.02j j j X =+++=∑ ()196.0333.0//3.0175.00j j j X =+=∑
3) 边界条件
原始边界条件：0=∙
a I 0==∙
∙
c b U U 由对称分量法得出新的边界条件：
0021=++=∙
∙∙∙a a a a I I I I
a a a a U U U U ∙∙
∙
∙
===3
10
21 4) 据边界条件绘出复合网如图例8-2e 所示： 5 )由复合网求各序的电流和电压
385.2196.0338.0196
.0388.0289.01120211=+⨯+=+⋅+
=
∙
∙
j j j j j j jX jX jX jX jX E I a a ∑∑∑∑∑
∑
80.0196
.0388.0196
.0385.20201
2-=+⨯-=+-=∙
∙
∑∑∑X X X I I a a
例8-2c 图
例8-2d 图
E G2=j1
·例8-2b 图
∑=1
例8-2e 图
585.1196
.0388.0388
.0385.20221
0-=+⨯-=+-=∙
∙∑∑∑X X X I I a a
311.0196
.0388.0196
.0388.0385.202021
021j j j j j jX jX jX jX I U U U a a a a =+⨯⨯=+⋅===∑∑∑∑∙
∙
∙
∙
6) 求各相电流和电压
()()
()︒
∠=+-=-+︒∠-+︒∠=++=︒
-∠=--=-+︒∠-+︒∠=++==--=++=∙
∙∙∙∙
∙
∙
∙
∙
∙∙∙77.130642.3758.2378.2)
585.1(24080.0120385.277.130642.3758.2378.2585.112080.0240385.20
585.1800.0385.2022
10212
021j I I a I a I j I I a I a I I I I I a a a c a a a b a a a a 0
90311.024090311.012090311.0090311.012090311.024090311.0933
.0311.033022102121021=︒∠+︒+︒∠+︒+︒∠=++==︒∠+︒+︒∠+︒+︒∠=++==⨯==++=∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙∙∙∙a a a c a a a b a a a a a U U a U a U U U a U a U j j U U U U U 7) 电流电压相量图如图8-2f 所示：
【例8—3】 如例8-3图所示的某三相系统中k 点发生单相接地故障，已知11j E a =∑∙
，
4.01j Z =∑，
5.02j Z =∑，25.00j Z =∑，35.0=k Z 。

求a 相经过渡阻抗Z k 接地短路时短路
点的各相电流、电压。

解 单相接地时复合网为串联型，于是可知
例8-2 f 图
I
c2
·I a1
·
I a2
·
I a0
·
I b
·
I b1
·
I c1
·
I C
I
·
I b2
·
b1
·
U ) a 0
︒
∠=⨯+++=
+++===∙
∙
∙∙5.4264.035.0325.05.04.01
30211021j j j j Z Z Z Z E I I I k
a a a a ∑∑∑
∑
︒-∠=︒∠⨯︒∠-=-=︒
-∠=︒∠⨯︒∠-=-=︒
∠=︒∠⨯︒∠=⨯++︒∠=++=∙
∙∙
∙
∙
∙5.4716.09025.05.4264.05.4732.0905.05.4264.07883.05.3529.15.4264.0)35.0325.05.0(5.4264.0)
3(0002220211∑∑∑∑jX I U Z I U j j Z Z Z I U a a a a k a a
求各相电流和电压
5.4292.15.4264.0331021==︒∠=︒∠⨯==++=∙
∙∙
∙
∙
∙
∙
c b a a a a a I I I I I I I
︒
-∠=--=︒-∠+︒+︒-∠+︒+︒∠=++=︒-∠=-=︒-∠+︒+︒-∠+︒+︒∠=++=︒
∠=⨯︒∠==∙
∙
∙
∙
∙
∙∙∙
∙
∙
1561.144.0993.05.4716.02405.4732.01207883.05.249.037.082.05.4716.01205.4732.02407883.05.4267.035.05.4292.102210212
j U U a U a U j U U a U a U Z I U a a a c a a a b k a a 二、非故障处电流电压的计算 ⒈ 求网络中非故障处的支路电流
先求出短路点的各序分量电流，再将短路点的各序分量电流按照各序网络的结构和参数分配到各支路中去，最后再将同一支路中的各序电流按对称分量法合成，得该支路的各相电流。

⒉ 求网络中非故障点的电压
先求出短路点各序电压，再以短路点各序电压为基础，逐段加上相应支路各序电压降，得到各节点各序电压，然后再将同一节点各序电压按对称分量法合成，得到各节点的各相电压。

⒊ 对称分量经变压器后的相位变化
⑴ 对于接线组别为Y ，y12 (Y/Y —12)，中性点接地或不接地)的变压器，两侧的正序和负序电流、电压分量只有数值上大小不同，而相位相同。

⑵ 对于接线组别为Y 0，d11(Y /0△—11)或Y ，d11(Y/△—11)
的变压器，两侧的电
流、电压不仅大小有变化，而且相位上也有变化，变压器的变比为复变比。

例如：对于Y 0，d11(Y /0△—11)的变压器，当Y 0侧故障时，需要由Y 0侧的1A U ∙
、2A U ∙
、
0A U ∙、1A I ∙、2A I ∙、0A I ∙，求出△侧的1a U ∙、2a U ∙、0a U ∙、1a I ∙、2a I ∙、0a I ∙
，则有：
1301
111A j A a U e k K U U ∙
︒∙
∙
∙
==
2302
221A j A a U e k K U U ∙
︒-∙∙
∙
== 1301A j a I ke I ∙︒∙
= 2302A j a I ke I ∙
︒-∙=
其中 正序复变比：︒-=︒∙
∙
∙
===3011
30111/j N N
j a A ke ke U U K 负序复变比：︒=︒-∙
∙
∙
===3011
30222/j N N
j a A ke ke U U K
于是可得结论：
① Y →0△：正序分量逆时针移︒30；负序分量顺时针移︒30；△侧无零序。

② △→Y 0：正序分量顺时针移︒30；负序分量逆时针移︒30；△侧无零序，Y 0侧也无零序。

三、非全相运行的分析计算
非全相运行是指一相或两相断开的运行状态。

系统在发生断相故障时，故障处会出现三相不对称，为分析方便，如图8-10所示，以两相断开为例，认为在故障处两点q 、k 间
加上一组不对称的串联电势，数值大小与两点间的电压降a U ∙
∆、b U ∙
∆、c U ∙
∆相等。

因而有不对称电流a I ∙
、b I ∙
、c I ∙。

分析计算这种纵向不对称故障，根据计算要求和已知条件的不同（有时已知发电机电
动势，有时已知断开处的正常负荷电流），一般有两种方法，一种是按给定的发电机电动势应用复合网法计算；另一种是按给定负荷电流，应用叠加原理的算法，把断相后的状态看成是全相负荷状态和断相处有附加纵向电压作用下的故障状态叠加。

图8-10 断线故障分析图
⒈ 按给定发电机电动势分析断相故障
用对称分量法分析断线故障如图8-11所示。

⑴ 基本序网和基本方程
在正序网中：∑∙
∑∙
∙
-=∆1111Z I E U a a a
N a M a a E E E 111∙
∙∑∙-= 111N M Z Z Z +=∑
在负序网中： ∑∙
∙-=∆222Z I U a a
222N M Z Z Z +=∑
在零序网中：∑∙
∙
-=∆000Z I U a a
000N M Z Z Z +=∑
⑵ 边界条件
a 相断线时：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=∆=∆=∙∙∙
00c b a U U I ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆=∆=∆=∆=++=⇒∙∙∙∙∙
∙∙∙a a a a a a a a U U U U I I I I 310021021
bc 两相断线时：⎪⎩⎪⎨⎧=∆==∙∙∙00
a c
b U I I
⎪⎩⎪⎨⎧=∆+∆+∆=∆===⇒∙
∙∙∙∙∙∙∙
31021021a a a a a a a a U U U U I I I I
⑶ 复合网（由边界条件联成复合网），如图8-12、8-13所示。

⑷ 求解序分量
·
图8-11 断线故障三序图
正序
负序
零序
·
图8-12 一相断开复合网 一相断开时 图8-13 两相断开复合网 两相断开时 ···f ·
相似于短路故障分析计算，由复合网求各序电流和电压。

由上可见：一相断线与两相短路接地具有相似的边界条件，复合网为并联型；两相断线与单相接地短路具有相似的边界条件，复合网为串联型。

⒉ 按给定负荷电流分析断相故障
⑴ 全相负荷状态（有电动势N M E E ∙
∙
） 如图8-14所示，电流为：
∑
∑
∙
∙∙∙
=
+-=11Z E Z Z E E I a N M N M aL
⑵ 故障状态（没有电动势N M E E ∙
∙
如图8-15所示，三序网图如 图8-16所示。

由图可知
∑
∙
∙
∑∙
∙
∑∙
∙'-=∆'-=∆'-=∆000222111Z I U Z I U Z I U a a a a a a
∑
∙
∙
∑∙
∙
∆-
='∆
-
='22
211
1Z
U I Z U I a a a a ∑
∙
∙
∆-
='00
0Z U I a a ⑶ 应用叠加原理求得故障处的各序电流 0
210210
02
211a a a aL a a a a a a a a aL
a a I I I I I I I I I I I I I I I ∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙∙
∙∙∙
∙'+'+'+=++='='=+'=
提示：利用这种方法求解时，需要把以上关系式与边界条件联立起来。

本章基本要求
⒈熟练掌握对称分量法及其应用，理解三相不对称相量与其各序对称分量之间的分解
和合成关系，熟记对称分量法的变换矩阵s 和逆变换矩阵s -1。

⒉了解不对称短路时发电机内部的电磁关系。

掌握同步发电机负序电抗和零序电抗的定义，了解异步电动机的负序电抗和零序电抗。

⒊掌握各类变压器的零序电抗和等值电路的分析方法。

影响变压器的零序电抗参数的因素有：变压器的结构，变压器三相绕组的连接方式及
图8-14 全相负荷状态图
·
图8-15 故障状态分析图
图8-16 三序网络图
中性点的接地方式。

变压器的结构影响励磁电抗X m(0)的大小，从而影响零序参数，变压器三相绕组的连接方式及中性点接地方式影响零序电流流通的路径，从而也影响零序参数。

分析变压器的零序电抗，首先要看零序电压施压在变压器的哪一侧。

如果零序电压施加在变压器绕组的△侧或Y 侧，无论另一侧绕组的接线方式如何，都有()∞=0X ；如果零序电压施加在变压器绕组的Y 0侧，其零序电抗的大小将取决于变压器绕组另一侧的接线方式。

这里的关键问题是正确分析零序电流的通路。

如果变压器Y 0侧中性点经阻抗Z n 接地时，应注意：因变压器的零序等值电路是单相的，所以，一般在等值电路中以3Z n 反映中性点阻抗。

⒋掌握架空线路的零序阻抗和等值电路的分析方法，了解导线—大地回路自阻抗和互阻抗的计算方法、物理意义及影响因素。

⒌熟练掌握制订电力系统的三序等值网络的方法，熟记三个基本电压方程。

⒍熟练掌握各种不对称短路时故障处边界条件的处理方法和制订复合序网的方法。

熟练掌握各种不对称短路时故障处电流、电压的计算和分析，并能绘制相量图。

⒎掌握电力系统非全相运行的分析计算方法，并与不对称短路的分析方法相比较。

⒏了解计算机计算简单故障（短路和断线）的一般方法和计算程序原理框图。

习题八
8－1 已知I 1=5，I 2= -j5，I 0= -1。

试求a 、b 、c 三相的电流。

8－2 在图8-2中，已知各相电流表的读数为I A =100A ，I B =100A ，I C =0，中性线中 的电流I N =100A 。

试分别求： ⑴A 相电流超前B 相电流。

⑵A 相电流滞后B 相电流。

两种情况下的电流正序、负序及零序分量。

并求出该系统的不对称度(I A2/I A1)及不平衡度
8－3 如图8-3所示之网络，当线路上发生单相接地短路时，试用对称分量法证明三个电流互感器中线中电流表的电流为3I 0，电压互感器开口三角形上电压表的电压为3U 0。

习题8-2图
8－4 在图8-4（a ）中电流互感器的变比约为400/5A ，电流互感器副边电流是不对称的，其大小与相位如图8-4（b ）中向量图所示。

试求电流a I ∙
、b I ∙
、c I ∙
、n I ∙
、4∙
I ，并,说明4∙
I 、n I ∙
、0a I ∙
的关系。

8－5 由三台10MV A 、110/6kV 的单相变压器组成的三相变压器，高压侧接成△形，低压侧接成Y 形，每台单相变压器的短路电压为10%，试求下列情况的零序等值电路。

⑴中性点不接地；⑵中性点直接接地；⑶中性点经过5欧姆电阻接地。

8－6 自耦变压器的参数为S N =90MV A ，220/121/38.5kV ，U k Ⅰ-Ⅱ%=9.46，U k Ⅱ-Ⅲ%=21.45，U k Ⅰ-Ⅲ%=33.56，（Y 0/Y 0/△—12—11），在变压器220kV 侧加一组零序电压U 0=10kV ，110kV 端直接短路接地，试求下列两种情况下流过自耦变各绕组的电流及中性点电流，并画出电流分布图。

（用有名值计算）
⑴第Ⅲ绕组断开，中性点直接接地； ⑵第Ⅲ绕组接成△，中性点直接接地。

8－7 自耦变压器的参数为S N =120MV A ，242/121/10.5kV ，U k Ⅰ-Ⅱ%=12.75，U k Ⅱ-Ⅲ%=1.63，U k Ⅰ-Ⅲ%=10.6，
（Y 0/Y 0/△—12—11），在变压器121kV 侧施加三相零序电压U 0=10kV ，110kV ，242kV 端点直接接地，当中性点经电抗X n =15Ω接地时，试求：
⑴流过自耦变压器各绕组及中性点的电流，画出电流分布图； ⑵求中性点电压U n 。

8－8 有两回相同的架空线路，导线型号为LGJQ —300，平行架设，导线的排列如图8-8所示，线间距离如下：1.6==ac ab D D m ，7=bc D m ，8.521=ωωD m ，17.421==ωωa a D D m ，
02.821==ωωb b D D m ，24.1021==ωωc c D D m ，避雷线选用钢芯铝绞LGJ —95，试求两回线
路相距50m 时的线路零序阻抗Z 0（ω）
（Ω/km ）。

8－9 试绘制如图8-9所示系统的正序和零序等值网络。

(b) ·I 2=3∠-120°
A ·I 1=4∠90°
A ·I 3=4∠0°A 习题8-4图
(a) I n ·
8－10 如图8-10所示之网络，k 点发生了短路接地，试组成它的各序网络。

各元件参数可用电抗X 加下角标分别表示。

8－11 图8-11中k 点发生接地短路，试组成它的零序网络。

各元件电抗用X 加上注脚符号分别表示。

8－12 试绘制如图8-12所示系统的零序网络图，电抗可选相应符号表示。

a b 1 2
习题8-8图
习题8-12图
习题8-10图
T2
习题8-11图
8－13 试作出如图8-13所示系统发生不对称故障时的零序等值电路。

8－14 如图8-14所示，设A 、B 发电机暂态电动势E *ˊ=1.0，在k 点发生两相短路接地故障，试计算故障处的A 、B 、C 三相电流。

8－15 已知某系统接线如图8-15所示，各元件电抗均已知，当k 点发生AB 两相短路时，求短路点各序电流、电压及各相电流、电压，并绘出短路点的电流、电压相量图。

8－16 系统接线及参数和上题一样，当k 点发生B 相短路接地时，求短路点的各序电流、电压及各相电流、电压，并绘制短路点的电流、电压向量图。

求出两非故障相电压之间的夹角，并分析此夹角的大小与系统电抗的关系。

8－17 系统接线及参数和上题一样，当k 点发生AC 两相短路接地时，求短路点的各序电流、电压及各相电流、电压，并绘制短路点的电流、电压相量图。

8－18 求题8-17中流过地中的电流及两故障相电流之间的夹角，并分析此夹角的大小与系统参数之间的关系。

8－19 系统接线如图8-19所示，有关参数均标示图中，当k 点发生两相短路时，试求短路点处电流稳态值。

习题8-14图
X T10=0.12 X T20=0.1 d
X 2=0.2
X 0=0.05 X 0=0.03 X 0=0.7 〞 X d =0.125 ·〞 E 1 =j1 X 2=0.16 cos ϕ=0.85 10.5/121kV 60MV A U k %=10.5 10.5/121kV 31.5MV A U k %=10.5
x 0=2x 1 12l =50km 习题8-15图
〞 X d =0.125 ·〞
E 2 =j1 X 2=0.16 cos ϕ=0.85
习题8-19图
E *1=1.67 X *1=0.9 X *2=0.45
X *1=1.2 60MV A X *2=0.35 10.5/115kV
U k %=10.5 100km 115/6.6kV U k %=10.5 X *1=1.2 A X *2=0.35 L 2
8－20 如图8-20所示的网络，当BC 相经过渡电阻R k 短路时，求短路处的各相电流和电压，并绘制电流、电压相量图。

已知各参数如下：
35
.05.04.01211====∑∑∑∙
k a R j X j X j E
8－21 系统接线如图8-21所示，当BC 两相经R g 短路接地时，求短路点的各相电流、电压，并绘制短路点相量图。

已知各参数如下：
11j E a =∑∙
4.01j X =∑
5.02j X =∑ 25.00j X =∑ R g =0.35。

8－22 系统接线如图8-22所示，当BC 两相经R k 短路接地时，求短路点的各相电流、电压，并绘制短路点的电流、电压相量图。

已知：11j E a =∑∙
4.01j X =∑
5.02j X =∑ 25.00j X =∑ R k =0.35。

8－23 试计算图8-23中k 点单相接地短路时发电机母线A 的线电压，并绘出相量图。

变压器T ：S N =120MV A 242/121/10.5kV U k (1-2)%=24 U k (2-3)%=9 U k (1-3)%=15。

8－24 如图8-24所示系统，在k 点发生两相接地，求在变压器T1的115kV 侧故障相中起始次暂态电流（绝对值），且已知与系统联接的变压
器中心点不接地。

取S B =90MV A ，U B =115kV 。

8－25 试绘出下列几种情况下变压器两侧电流相
量图。

⑴ Y 0，d11 (Y 0/△—11)结线变压器，Y 0侧A 相接地短路；
⑵ Y 0，d11(Y 0/△—11)结线变压器，△侧BC 相短路；
⑶ Y 0，d12 (Y 0/Y —12)结线变压器，Y 0侧A 相接地短路；
8－26 系统接线如图8-26所示，变压器采用Y 0，d11 (Y 0/△—11)
结线方式，各元件标么参数标于图中，
(1·
1)
习题8-21图
(2)
k
习题8-20图
(1·
1) 习题8-22图
习题8-23图 X 2=0.223
X 0
=0.092 A
k %=10
Ω/km X 1
=∞
=0
10.5kV 习题8-24图
当高压母线上k 点发生两相接地短路时，试求：
⑴短路点k 处A 相的电流、电压相序分量；
⑵变压器低压侧各相短路电流和电压值，并作其相量图。

8－27 已知系统接线如图8-27所示。

图中高压线路一侧断开（N 侧），另一侧（M 侧）空载投入，由于三相触头
合闸不同时，造成A 相先合，求这时流过线路的负序及零序电流。

已知线路的正序、负序和零序电纳
分别为B 1、B 2、B 0，且B 1=B 2，B 1＞B 0，系统其它的元件的阻抗和线路容抗相比小得多，可忽略不计，电动势∙
∙=N M E E 均已知。

8－28 上题中，若M 侧BC 两相
先合，求这时流过线路的负序及零序电流各为多少？
8－29 假定27、28题中，输电线为220kV ，长度为100km , b 1=b 2=2.7×10-6S/km ，b 0=1.9×10-6S/km 。

试求M 侧一相先合和两相先合两种情况下流过线路的I 2及3I 0，若要对零序保护及负序保护进行整定计算，试问应选取哪种情况作为计算的条件。

（注：选择I 2及3I 0为最大的运行方式）
8－30 某系统如图8-30所示，图中标出了标么值参数，如在F 处发生BC 两相断线，试求非故障相A 相的电流（标么值）。

8－31 如图8-31所示的系统中，当在FF ˊ点发生b 相断线时，试求：
⑴ 列出断线时的边界条件，并组成复合序网。

⑵ 写出复合序网中E Σ、Z 1Σ、Z 2Σ及Z 0Σ
表达式。

已知两侧电源电动势及M 、N 端的各序阻抗。

(1·
1)
X 2=0.12 1X 0=0.12 X 2=0.3
X 1=0.2
X 0=0.1 习题8-26图
习题8-27图
E
N
·
=j1 X N1=X N2=0.1
X N0
=0.3 习题8-30图 E M ·=j1 M1M2X M0=0.3 习题8-31图 Z N
M。