1 简单几何体 学案(含答案)
2024-2025学年高中数学第1章立体几何初步1简单几何体(教师用书)教案北师大版必修2
布置作业：
根据本节课学习的简单几何体的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
拓展与延伸
1. 提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：
- 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的代表作，其中包含了关于立体几何的详细论述，对于理解立体几何的概念和定理非常有帮助。
举例：可以用坐标系表示几何体的顶点或中心点的位置，用向量表示几何体的尺寸和方向。
（3）几何体的表面积和体积计算：如何计算简单几何体的表面积和体积。
举例：正方体的表面积公式为6a²，其中a为边长；正方体的体积公式为a³。
2.教学难点
（1）理解并应用几何体的特征：学生可能对几何体的特征和性质理解不深，难以运用到实际问题中。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕简单几何体的问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验几何体的应用，提高实践能力。
在新课呈现结束后，对简单几何体的知识点进行梳理和总结。
强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
- 学习如何表示和描述简单几何体的尺寸和位置；
- 掌握如何计算简单几何体的表面积和体积。
2.教学目标：
- 学生能准确识别和描述常见简单几何体的特征；
- 学生能运用数学语言和符号表示简单几何体的尺寸和位置；
- 学生能计算简单几何体的表面积和体积，并能解决相关实际问题。
三、教学步骤
1.导入（5分钟）：通过展示一些实际生活中的几何体模型，引导学生思考和讨论这些模型的特征和数学关系。
《1.1 简单几何体》教学案
《1.1 简单几何体》同步练习●三维目标1．知识与技能(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(2)掌握简单几何体的分类．2．过程与方法通过对简单几何体结构的描述和判断，培养学生的观察能力和空间想象能力．3．情感、态度与价值观通过对简单几何体的学习，体会数学的应用价值，增加学生学习数学的兴趣．●重点难点重点：简单几何体的结构特征．难点：简单几何体的分类．教学时要从生活空间里各式各样的几何体的特点入手，引导学生观察、归纳出几何体的结构特征，进而认识旋转体与多面体，找准彼此的分类特征．●教学建议本节内容是学习立体几何的第一节，是对简单几何体的初步认识，为以后学习立体几何内容作好图形基础．本节课宜采用观察总结式教学模式，即在教学过程中，让学生观察现实生活的几何体，在老师的引导下，去认识简单的旋转体和简单的多面体，让学生观察、讨论、总结出各几何体的特征，让学生学会把具体生活空间几何体抽象到数学中的立体几何体．●教学流程创设问题情景，引出问题，旋转体与多面体的特征是什么？⇒引导学生结合现实空间几何体来认识圆柱、圆锥、圆台、球与棱柱、棱锥、棱台⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握平面图形的旋转问题⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握简单多面体的特征⇒通过例3及变式训练，使学生认识简单组合体的构成⇒归纳整理，进行课堂小结整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正【问题导思】观察下列图形思考它们有什么共同特点？是怎样形成的？【提示】共同特点：组成它们的面不全是平面图形．可以由平面图形旋转而成．1．旋转体的定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．2．圆柱、圆锥、圆台的概念及比较观察下列图形思考它们有什么共同特征？【提示】 组成几何体的每个面都是平面多边形．1．多面体的定义把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征有两个面互的平面去截棱锥，底面例1以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？【思路探究】解答本题可先分析各种可能的旋转轴，然后根据旋转体的有关概念及空间想象能力进行判断．【自主解答】图(1)、(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内．规律方法1．平面图形的旋转问题一方面要观察平面图形的形状，另一方面要注意旋转轴的位置．2．线段绕轴旋转一周后形成图形的意义(1)垂直于旋转轴且与旋转轴有交点的线段旋转所得的图形是圆面；(2)垂直于旋转轴但与旋转轴没有交点的线段旋转所得的图形是圆环面；(3)不垂直于旋转轴且与旋转轴有交点的线段旋转所得的图形是圆锥侧面；(4)不垂直于旋转轴且与旋转轴没有交点的线段旋转所得的图形是圆台侧面；(5)与旋转轴平行的线段旋转所得的图形是圆柱侧面．互动探究若将本例中的三角板绕直线l旋转360°(如图1－1－1，其中三角形斜边上的高与直线l垂直)，得到什么图形？图1－1－1【解】旋转360°，得一个圆柱挖去以圆柱上下两个底面为底面的两个圆锥而成的几何体．例2如图1－1－2所示是长方体AB CD—A′B′C′D′，当用平面BCEF把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体是棱柱吗？若不是，请说明理由；若是，请指出其底面和侧棱．图1－1－2【思路探究】(1)所得的两部分中哪两个面是互相平行的？(2)若用平行平面作为棱柱的底面，各部分是否是棱柱？【自主解答】截面BCEF右方部分是棱柱BB′F—CC′E，其中平面BB′F和平面CC′E 是其底面，BC，B′C′，FE是其侧棱，截面BCEF左方部分是棱柱ABF A′—DCED′，其中四边形ABF A′和DCED′是其底面，AD，BC，FE，A′D′是其侧棱．规律方法1．对于棱柱，不要只认为底面就是上、下位置，如本题，底面可放在前后位置．2．认识、判断一个多面体的结构特征，主要从侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其特征．变式训练下列几何体中棱柱的个数为()图1－1－3A．5B．4C．3D．2【解析】①③是棱柱，②④⑤⑥不是棱柱．【答案】 D例3图1－1－4【思路探究】认真分析所给几何体的结构，根据简单几何体的特征来说明其组成．【自主解答】图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱形成的组合体．图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组合而成的组合体．图(3)是由一个三棱柱和一个下底与三棱柱上底面重合的三棱台组成的组合体．规律方法1．熟练掌握各简单几何体的特征是解决本题的关键．2．组合体的构成，基本上有三类：(1)多面体与多面体的组合体；(2)多面体与旋转体的组合体；(3)旋转体与旋转体的组合体．变式训练试判断下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的．【解】图①是由一个圆锥，一个圆柱和一个圆台组合而成的；图②是由一个四棱柱和一个四棱锥组合而成的；图③是由一个三棱台和一个三棱柱组合而成的；图④是由一个球和一个圆柱组合而成的.忽视棱柱的定义致误典例有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？【错解】因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．【错因分析】题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．【防范措施】正确理解简单几何体的特征、定义可以避免错误．【正解】满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．1．棱柱、棱锥、棱台的共性棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，因此可以看作是由平面多边形所围成的几何体，即多面体．多面体还含有除棱柱、棱锥、棱台之外的几何体．2．圆柱、圆锥、圆台、球的共性圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看，它们分别是由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆绕着某一条直线旋转而成的几何体，因此它们统称为旋转体．3．组合体的构成(1)组合体包括简单几何体的拼接和截去(或挖除)两种类型．1．有下列命题，其中正确的是()①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的．A．①②B．②③C．①③D．②④【解析】圆柱(或圆台)中上、下底面圆周上任意两点的连线，不一定是矩形(或直角梯形)中“不垂直于旋转轴的边”，故①③错误，②④正确．【答案】 D2．如图1－1－5是由图中的哪个平面图形旋转后得到的()【解析】因为简单组合体由一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C.所以选A.【答案】 A3．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【解析】若是六棱锥，则顶点在底面上，不能构成几何体．【答案】 D4．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，矩形ABCD绕AB旋转得圆柱，求其底面半径r及母线长l.【解】因为AB为旋转轴，所以r＝BC＝3，l＝AB＝2.一、选择题1．下列命题中正确的是()A．圆锥的底面和侧面都是圆面B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线【解析】A错误，圆锥的侧面应为曲面；B错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时，正确，其他情况则结论就是错误的；D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.【答案】 C2．下列说法中正确的是()A．所有的棱柱都有一个底面B．棱柱的顶点至少有6个C．棱柱的侧棱至少有4条D．棱柱的棱至少有4条【解析】棱柱都有两个底面，A错误；三棱柱的顶点最少，6个；侧棱最少，3条；棱最少，9条．故选B.【答案】 B3．(2013·宿州高一检测)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，取四棱锥A1－ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．【答案】 D4．下列命题中，正确的是()①底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥；②所有侧棱相等的棱锥一定是正棱锥；③圆台的所有母线的延长线交于同一点；④侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．A．①④B．②③C．③④D．③【解析】①中棱锥的顶点位置不定，未必能保证侧面为全等的等腰三角形，故①错；②中棱锥，当底面多边形为圆内接多边形，且圆心的正上方为棱锥的顶点时，即可使棱锥的侧棱都相等，但并不一定为正棱锥(以后可证)；③正确，④不正确，反例如图：三棱锥S—ABC 中，SB＝SC＝AB＝AC＝2，SA＝BC＝1，显然满足条件，但并非正三棱锥．故选D.【答案】 D图1－1－65．如图1－1－6，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱台的组合体D．不确定【解析】水槽倾斜后，水有变动，但是根据棱柱的结构特征，其仍然是个棱柱，上、下两个底面发生变化．【答案】 A二、填空题6．(1)伐木工人将树伐倒后，再将枝杈砍掉，根据需要将其截成不同长度的圆木，圆木可以近似地看成________体；(2)用铁丝做一个三角形，在三个顶点上分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也用铁丝连接成一个三角形，从而获得一个几何体模型，如果筷子的长度相同且所在直线平行，那么这个几何体是________．【解析】 (1)由圆柱的结构特征可知此圆木近似地看作是一个圆柱体；(2)在该模型中已知一面为三角形，含有筷子的三个面为平行四边形，可知另一个铁丝三角形所在面与最先的铁丝三角形所在平面平行，故此几何体是三棱柱．【答案】 (1)圆柱 (2)三棱柱图1－1－77．图中阴影部分绕图示的直线旋转一周，形成的几何体是________．【解析】 三角形旋转后围成一个圆锥，圆面旋转后形成一个球，阴影部分形成的几何体为圆锥中挖去一个球后剩余的几何体．【答案】 圆锥挖去一个球的组合体8．(2013·日照高一检测)圆台两底面半径分别是2 cm 和5 cm ，母线长是310 cm ，则它的轴截面的面积是________．【解析】 画出轴截面，如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9(cm)，∴S四边形ABCD ＝＋2＝63(cm 2)．【答案】 63 cm 2三、解答题9．如图1－1－8所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．图1－1－8【解】先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：10．用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台上、下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥母线长是3 cm，求圆台的母线长．【解】设圆台的母线长为y cm，圆台上、下底面半径分别是x cm、4x cm，作圆锥的轴截面如图．在Rt△SOA中，O′A′∥OA，所以SA′∶SA＝O′A′∶OA.即3∶(y＋3)＝x∶4x，解得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.图1－1－911．如图1－1－9所示，是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．【解】过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC －A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.备选例题已知下列说法：①以直角三角形的一边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴，旋转一周所得的旋转体是圆台；③用一个平面截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台；④以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面叫作球．其中正确说法的个数是()A．0B．1C．2D．3【思路探究】利用旋转体的定义判断．【自主解答】甲圆锥是以直角三角形的直角边为轴旋转形成的，如果不是直角边，将得到图甲所示的几何体，故①错误．圆台是以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成的，故②错误．如图乙(1)所示，如果用来截圆锥的平面平行于圆锥的底面，则可得一圆锥和一圆台，否则将得不到圆锥与圆台(如图乙(2)所示)，故③错．乙④是球面的定义，球面所围成的几何体叫作球．如常见的篮球、足球可看作球面而不是球．【答案】 A规律方法1．本题主要考查对圆锥、圆柱、圆台、球的定义的理解．特别注意旋转面与旋转体的差别：旋转体包含旋转面所围成的空间中的部分．2．概念辨析题的判断方法：①利用定义、性质直接判断；②利用常见几何体举反例．备选变式有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．其中正确的序号是________．【解析】球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．【答案】①。
小学美术《学习简单的几何体》教案
-通过展示各种几何体模型，让学生观察并描述其特征，如正方体的六个面都是正方形，长方体有两个不同的面等。
-引导学生通过实际操作，如折叠、组合几何体，加深对几何体空间形态的理解。
2.教学难点
-空间想象力的培养：学生对几何体的组合和变换需要具备一定的空间想象力，这是难点之一。
-几何特征的准确描述：如何用准确的几何语言描述几何体的面、线、角等特征，对部分学生来说是一个挑战。
-实践操作中的问题解决：在组合创作过程中，学生可能会遇到比例、布局等方面的问题，需要指导他们如何解决。
举例解释：
-通过提供具体的情境和任务，如设计一个小房子，引导学生运用几何体进行创作，逐步培养空间想象力。
-教师提供描述几何特征的词汇表，帮助学生准确表达所观察到的几何体的特点。
-在学生进行组合创作时，教师巡回指导，针对遇到的问题提供及时的反馈和解决方案，如如何调整几何体的大小比例，如何布局才能使作品更平衡等。
在讲授新课的过程中，我尽量用简单的语言解释几何体的概念和特点，并通过案例分析让学生们看到几何体在实际中的应用。我觉得这一点对于帮助他们理解几何体的意义很有帮助。
然而，我也注意到在教学难点方面，尤其是空间想象力方面，部分学生仍然感到困惑。在实践活动和小组讨论中，我意识到需要更多地引导学生去观察、思考和动手操作。在未来的教学中，我打算增加一些更具操作性的环节，如让学生动手制作简单的几何体模型，以提高他们的空间想象力。
小学美术《学习简单的几何体》教案
一、教学内容
本节课选自小学美术教材《快乐美术》三年级上册第七章《奇妙的几何世界》，主要教学内容包括：
1.认识简单的几何体：正方体、长方体、圆柱体、球体等；
2.学会观察几何体的特征，如面、线、角等；
高中高三数学《简单几何体》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握简单几何体的定义、性质和特征，包括立方体、长方体、圆柱、圆锥、球等。
2.学会运用几何体的表面积和体积的计算公式，解决实际问题。
3.能够运用几何体的投影、视图等概念，分析解决空间几何问题。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高解决几何问题的能力。
针对以上情况，本章节教学应注重以下方面：
1.激发学生兴趣：通过引入生活实例和实际问题，让学生感受到简单几何体在生活中的广泛应用，从而提高他们的学习积极性。
2.强化基础：巩固学生对几何体基本概念、性质和公式的掌握，为解决复杂问题奠定基础。
3.培养空间想象能力：设计丰富的教学活动，引导学生观察、思考和动手操作，提高他们的空间想象能力。
-强化练习与反馈：通过针对性的练习，巩固所学知识，并及时给予学生反馈，指导他们改进学习方法。
3.教学评价：
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，全面评估学生的学习过程和结果。
-关注学生在解决问题时的思路和方法，鼓励创新思维，提高解决问题的能力。
-定期进行课堂小结，检验学生对知识点的掌握情况，及时发现并解决学习中的问题。
2.提出问题：这些几何体在我们的生活中无处不在，那么它们有什么特征和性质呢？如何计算它们的表面积和体积呢？
3.引入新课：今天我们将学习简单几何体的性质、表面积和体积的计算方法，以及它们在实际问题中的应用。
（二）讲授新知
1.教学内容：
-简单几何体的定义、性质和分类；
-立方体、长方体、圆柱、圆锥、球的表面积和体积的计算公式；
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发他们学习数学的积极性。
学案：简单几何体的外接球与内切球2016.5
高三专题——简单几何体的外接球与内切球【基础知识】1. 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系： ．2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ．3. 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ．4.两点间的球面距离：通过球面上A 、B 两点的大圆劣弧的长度。
一、与球的截面有关的问题例1(1)一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是（ ） A.3π100 cm 3 B.3π208 cm 3C.3π500 cm 3 D.3π34161 cm 3(2)两个平行平面去截半径为5的球，若截面面积分别为9,16ππ，则这两个平行平面间的距离是（ ） A. 1 B .7 C . 3或4 D. 1或7(3)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 。
(4)在北纬60°的纬线上有甲、乙两地，它们在纬线上的弧长为2Rπ，R 是地球半径，则这两个平行平面间的距离是二、组合体的外接球和内切球问题解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.(一)球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2aOM =；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外接圆，则2OF =；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形C C AA 11和其外接圆，则OA =.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.图1-1 图1-2 图1-3例2. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ．2B ．1C ．12+ D【练习】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）A ． 2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径2l R ==例3. 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )A.10π3B.4πC.8π3D.7π3【练习】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．1.3球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，,,,2h OD AO R AD ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求R =例4.已知底面边长为a 正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。
简单几何体的表面积和体积(含答案)
简单几何体的表面积和体积[基础知识]1．旋转体的侧面积名称 图形侧面积公式 圆柱侧面积：S 侧＝______圆锥侧面积：S 侧＝______圆台侧面积：S 侧＝________ 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S 直棱柱侧＝______(c 为底面周长，h 为高) S 正棱锥侧＝______(c 为底面周长，h ′为斜高)S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上、下底面周长，h ′为斜高)3．体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝____．(2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝_____(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S)h ．[基础练习]1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( )A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm )，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B ．112＋ 2C ．7＋ 3D ．32[典型例题]例1. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积．练1.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．例2.已知五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm，求它的侧面积．练2.圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？例3.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．练3.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm．例4.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．练4.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？简单几何体的表面积和体积活页作业一、选择题1．圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为( )A ．6π(4π＋3)B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)2．正棱锥的高缩小为原来的12，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的( )A.32B.92C.34D.943．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π34．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )A ．18πB ．30πC ．33πD ．40π 5．(2011·福州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A.283πB.163πC.43π＋8 D ．12π 6．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )A.a 36B. a 312C.312a 3D.212a 3 7.圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A.233πB ．23π C.736πD.733π8．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3二、填空题9．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心， 则三棱锥B 1－BCO 的体积为________．10．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是________．11．已知球O 的表面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ， DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于________．12. 如图所示是一个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得该几何体的表面积为________cm 2. 三、解答题13．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比．14如图，如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体15．有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为6π5的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x 的圆柱．(1)求圆锥的体积．(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？16．如图所示，从三棱锥P －ABC 的顶点P 沿着三条侧棱P A 、PB 、PC 剪开成平面图形得到△P 1P 2P 3，且P 2P 1＝P 2P 3.(1)在三棱锥P －ABC 中，求证：P A ⊥BC .(2)若P 1P 2＝26，P 1P 3＝20，求三棱锥P －ABC 的体积．简单几何体的表面积和体积答案[基础知识]1．旋转体的侧面积名称 图形侧面积公式 圆柱侧面积：S 侧＝______圆锥侧面积：S 侧＝______圆台侧面积：S 侧＝________ 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S 直棱柱侧＝______(c 为底面周长，h 为高) S 正棱锥侧＝______(c 为底面周长，h ′为斜高)S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上、下底面周长，h ′为斜高)3．体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝____．(2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝_____(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S)h ．答案：1．名称 图形 侧面积公式圆柱侧面积：S 侧＝2πrl圆锥侧面积：S 侧＝πrl 圆台侧面积：S 侧＝π(r 1＋r 2)l 2．ch 12ch ′ 3．(1)Sh (2)13Sh[基础练习]1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( ) A ．11∶8 B ．3∶8 C ．8∶3 D ．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm )，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B ．112＋ 2C ．7＋ 3D ．32答案：1．B [易知2πr ＝4，则2r ＝4π，所以轴截面面积＝4π×2＝8π．]2．A [设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π2π．] 3．A [设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ，则l ＝83r ，所以A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，B ＝83πr 2，得A ∶B ＝11∶8．]4．B [以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πb 2a ，以长为b 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πa 2b ．]5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm 2，12π cm 3．]6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S 表面＝2S 底＋S 侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．][典型例题]例1. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，求此三棱锥的体积．解析：折叠起来后，B 、D 、C 三点重合为S 点，则围成的三棱锥为S －AEF ，这时SA ⊥SE ，SA ⊥SF ，SE ⊥SF ，且SA ＝2，SE ＝SF ＝1，所以此三棱锥的体积V ＝13·12·1·1·2＝13.练1. (2011·昆山模拟)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．解析：由题意，设AB ＝a ，AA 1＝b ，再由12BD ·DC 1＝6可得a 2＋b 24＝12.又由BC 2＋CC 21＝BC 21， 得a 2＋b 2＝24， 可得a ＝22，b ＝4， ∴V ＝34×(22)2×4＝8 3. 答案：8 3例2. 已知五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm 和18 cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm ，求它的侧面积．解析：如图所示的是五棱台的一个侧面，它是一个上、下底的边长分别为8 cm 和18 cm ，且腰长为13 cm 的等腰梯形，由点A 向BC 作垂线，垂足为点E ；由点D 向BC 作垂线，垂足为点F .∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴BE ＝CF ＝12(BC －AD )＝12(18－8)＝5 cm.在Rt △ABE 中，AB ＝13 cm ，BE ＝5 cm ，∴AE ＝12 cm ，∴S 四边形ABCD ＝12(AD ＋BC )·AE ＝12×(8＋18)×12＝156(cm 2)．∴S 五棱台侧＝5×156＝780(cm 2)．即此五棱台的侧面积为780 cm 2.练2. 圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？解析：首先，圆台的上底的半径为4 cm ，于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)． 其次，如图，圆台的高h ＝BC＝BD 2－OD －AB 2＝102－6－42＝46(cm)，所以V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π) ＝3046π3(cm 3)． 例3. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)． (1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)； (2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解析：由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r8＝1．2－2r ，∴塑料片面积S ＝πr 2＋2πr (1．2－2r ) ＝πr 2＋2．4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2．4πr ＝－3π(r 2－0．8r )＝－3π(r －0．4)2＋0．48π．∴当r ＝0．4时，S 有最大值0．48π，约为1．51平方米．(2)若灯笼底面半径为0．3米，则高为1．2－2×0．3＝0．6(米)．制作灯笼的三视图如图．练3. 圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm ．解析：设球的半径为r cm ，则πr 2×8＋43πr 3×3＝πr 2×6r ．解得r ＝4 (cm 3)．例4.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解析：由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r ．即容器中水的深度为315r ．练4. 如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？解析： 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V 圆锥≥V 半球，V 半球＝12×43πr 3＝12×43π×43，V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×h ．依题意：13π×42×h ≥12×43π×43，解得h ≥8．即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm ，高大于或等于8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S 圆锥侧＝πrl ＝πrh 2＋r 2，当圆锥高取最小值8时，S 圆锥侧最小，所以高为8 cm 时，制造的杯子最省材料．简单几何体的表面积和体积活页作业答案一、选择题1．圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为( )A ．6π(4π＋3)B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解析： 设圆柱的底面半径为r ，母线为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2πr ＝4πl ＝6π或⎩⎪⎨⎪⎧2πr ＝6πl ＝4π， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2l ＝6π或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3l ＝4π， ∴圆柱的全面积为24π2＋8π或24π2＋18π，即8π(3π＋1)或6π(4π＋3)．答案： C2．正棱锥的高缩小为原来的12，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的( )A.32B.92C.34D.94解析： 设原棱锥高为h ，底面面积为S ，则V ＝13Sh ，新棱锥的高为h2，底面面积为9S ，∴V ′＝13·9S ·h2，∴V ′V ＝92.答案： B3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π3 答案： B解析： S 圆＝πr 2＝1⇒r ＝1，而截面圆圆心与球心的距离d ＝1，∴球的半径为R ＝r 2＋d 2＝2，∴V＝43πR 3＝82π3，故选B.4．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )A ．18πB ．30πC ．33πD ．40π解析： 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S ＝2π×32＋π×3×5＝33π.答案： C 5．(2011·福州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A.283πB.163πC.43π＋8 D ．12π解析： 由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋43π＝283π.答案： A6．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )A.a 36B. a 312C.312a 3D.212a 3 解析： 设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，沿AC 折起后，依题意得：当BD ＝a 时，BE ⊥DE ，∴DE ⊥面ABC ，∴三棱锥D －ABC 的高为DE ＝22a ， ∴V D －ABC ＝13·12a 2·22a ＝212a 3.答案： D7.圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )A.233πB ．23πC.736πD.733π解析：上底半径r ＝1，下底半径R ＝2.∵S 侧＝6π，设母线长为l ，则π(1＋2)·l ＝6π，∴l ＝2，∴高h ＝l 2－(R －r )2＝3，∴V ＝13π·3(1＋1×2＋2×2)＝733π.答案：D8．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3解析：由43πR 3＝323π，∴R ＝2，∴正三棱柱的高h ＝4，设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，∴a ＝43，∴V ＝34(43)2·4＝48 3. 答案：D二、填空题9．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心，则三棱锥B 1－BCO 的体积为________．解析： V ＝13S △BOC ·B 1B ＝13×12BO ·BC ·sin 45°·B 1B ＝16×2×2×22×2＝23.答案： 2310．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是________．解析： 由三视图可知，该几何体为底面半径为1，母线长为2的圆锥的一半，所以圆锥的高为3，因此所求体积V ＝12×13×π×12×3＝36π.答案： 36π11．已知球O 的表面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于________． 解析： 如图， 易知球心O 为DC 中点，由题意可求出CD ＝3，所以球O 的半径为32，故球O 的体积为43π×⎝⎛⎭⎫323＝9π2. 答案： 9π212.如图所示是一个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得该几何体的表面积为________cm 2.答案 36解析 由三视图可知，此几何体是一个以AA ′＝2，AD ＝4，AB ＝2为棱的长方体被平面A ′C ′B 截去一个角后得到的，在△A ′C ′B 中，因为A ′C ′＝BC ′＝25，BA ′＝22，所以S △A ′C ′B ＝12×22×(25)2－(2)2＝6，故几何体表面积为2×4×2＋2×2＋12×4×2×2＋12×2×2＋6＝36.三、解答题13．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比．解析： 设圆锥底面半径为r ，则母线为2r ，高为3r ，∴圆柱的底面半径为r ，高为3r ，∴S 圆柱侧S 圆锥侧＝2πr ·3r πr ·2r ＝ 3. 14如图，如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体解析：(1)如图所示．(2)所求多面体体积V =V 长方体-V 正三棱锥=446-131222⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭2=2843(cm 3)．15．有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为6π5的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x 的圆柱． (1)求圆锥的体积．(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解析： (1)因为圆锥侧面展开图的半径为5，所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝5×6π5，解得r ＝3. 所以圆锥的高为4.从而圆锥的体积V ＝13πr 2×4＝12π.(2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形．设圆柱的底面半径为a ，则3－a 3＝x 4，从而a ＝3－34x . 圆柱的侧面积S (x )＝2π(3－34x )x ＝32π(4x －x 2) ＝32π[4－(x －2)2](0<x <4)． 当x ＝2时，S (x )有最大值6π.所以当圆柱的高为2时，圆柱有最大侧面积为6π.16．如图所示，从三棱锥P －ABC 的顶点P 沿着三条侧棱P A 、PB 、PC 剪开成平面图形得到△P 1P 2P 3，且P 2P 1＝P 2P 3. (1)在三棱锥P －ABC 中，求证：P A ⊥BC .(2)若P 1P 2＝26，P 1P 3＝20，求三棱锥P －ABC 的体积．解析： (1)证明：由题设知A 、B 、C 分别是P 1P 3，P 1P 2，P 2P 3的中点，且P 2P 1＝P 2P 3，从而PB ＝PC ，AB ＝AC ，取BC 的中点D ，连AD 、PD ，则AD ⊥BC ，PD ⊥BC ，∴BC ⊥面P AD .故P A ⊥BC .(2)由题设有AB ＝AC ＝12P 1P 2＝13，P A ＝P 1A ＝BC ＝10， PB ＝PC ＝P 1B ＝13，∴AD ＝PD ＝AB 2－BD 2＝12，在等腰三角形DP A 中， 底边P A 上的高h ＝AD 2－⎝⎛⎭⎫12P A 2＝119， ∴S △DP A ＝12P A ·h ＝5119，又BC ⊥面P AD ， ∴V P －ABC ＝V B －PDA ＋V C －PDA＝13BD ·S △DP A ＋13DC ·S △PDA ＝13BC ·S △PDA ＝13×10×5119 ＝503119.。
单招考试复习简单几何体学案
济南市体校学案单招考试复习《简单几何体》第1课时柱体和锥体的有关性质和计算【学习目标】1、了解几个常见柱体椎体的性质；2、利用柱体椎体的体积公式解决有关的计算问题.【基础过关】1．棱柱：由两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都是互相，有这些面围成的多面体叫做棱柱。
分类：直棱柱：侧棱于底面的棱柱叫做直棱柱正棱柱：底面是正多面型的叫做正棱柱圆柱：以矩形的为旋转轴，其余三边旋转360°形成的面所围成的旋转体叫作圆柱2．柱体的体积公式： .3.棱锥：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的，那么这个多面体叫做棱锥正棱锥：若一个棱锥的底面是正多边形且顶点在底面的射影是底面的，这样的棱锥叫做正棱锥。
圆锥：以直角三角形的为旋转轴，其余两边旋转360°形成的面所围成的旋转体叫作圆锥4.锥体的体积公式：5．棱柱的侧面积，圆柱的侧面积。
6. 圆锥的侧面展开图是，圆锥的侧面积。
7．表面积等于与之和。
8.正四面体：由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形，或四面体的各个面都是边长相同的。
9.正四面体需要记忆的知识：正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积 S全2 a；(2)体积3；（3）各面上的高线是：。
（4）各定点到底面的距离（即四面体的高线）：。
（5）各对棱互相。
【真题演练】考点一、基本计算问题1、（2006年15）在三棱锥S-ABC中，已知侧棱SA,SB,SC两两互相垂直，且SA=3，SB=4，SC=5，则三棱锥S-ABC的体积V= 。
2、（2007年6）一个两头密封的圆柱形水桶装了一些水，当水桶水平横放时，桶内的水浸湿了水桶横截面周长的14，当水桶直立时，水的高度与水桶的高度比值是（）A.14B.4πC.114-πD.114-2π3、（2006年18）若圆锥的高H与底面半径R都是1，则该圆锥的内切球的表面积S= .4、（2010年16）已知一个圆锥的母线长为13，高为12，则此圆锥的内切球的表面积= 。
部编版2020学年高中数学第一章1.1简单几何体学案北师大版必修
§1 简单几何体1.1 简单旋转体 1.2 简单多面体1.了解柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.掌握简单几何体的分类.3.理解圆柱、圆锥、圆台及球的概念.(重点、难点)4.理解棱柱、棱锥、棱台等简单几何体的概念.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 两个平面平行及直线与平面垂直的概念 阅读教材P 3“1.1 简单旋转体”以上部分，完成下列问题. 1.两个平面平行：称无公共点的两个平面是平行的.2.直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直，称为直线与平面垂直.长方体相对的两个侧面的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交D.无法确定【解析】 根据两个平面平行的定义可知长方体相对的两个侧面平行，故选A. 【答案】 A教材整理2 简单的旋转体阅读教材P 3“1.1 简单旋转体”以下至P 4“1.2 简单多面体”以上部分，完成下列问题.1.定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.2.球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较：下列说法正确的是( ) A.直线绕定直线旋转形成柱面 B.半圆绕定直线旋转形成球体C.矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱D.圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的【解析】 直线与定直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A 错误；半圆面以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B 错误；矩形绕对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故C 错误，所以应选D.【答案】 D教材整理3 简单的多面体阅读教材P 4“1.2 简单多面体”以下至P 5部分，完成下列问题. 1.简单多面体的定义把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体. 2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征下列几何体中，是棱锥的是( )【解析】 由棱锥的定义可知，选B. 【答案】 B[小组合作型]下列叙述中，正确的个数是( )(1)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥； (2)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台； (3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台； (4)圆面绕它的任一直径所在直线旋转形成的几何体是球. A.0个 B.1个 C.2个D.3个【精彩点拨】 解答时可根据旋转体的概念和性质进行具体分析.【自主解答】 (1)应以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故(1)错；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故(2)错；(3)用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故(3)错；(4)正确.【答案】 B1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.[再练一题]1.下列说法正确的是________.①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；③在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球.【解析】①错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.②正确.③错.应为球面.【答案】②(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱柱的侧面一定是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.【导学号：39292000】【精彩点拨】根据棱锥、棱台的结构特征判断.【自主解答】 (1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱柱的侧面是对边平行的四边形； (3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； (4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 【答案】(2)(3)(4)判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法： (1)举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法：[再练一题]2.给出下列几个结论：①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； ②多面体至少有四个面；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点. 其中，错误的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个D.3个【解析】 ①正确；对于②，一个图形要成为空间几何体，它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，故这样的面必是三角形，所以②是正确的；对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，所以③是正确的.【答案】 A[探究共研型]探究1图111【提示】 (1)可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，(4)可看作由两个四棱柱组合而成.探究2 试描述下列几何体的结构特征.图112【提示】 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.如图113所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长.图113【精彩点拨】 过圆锥的轴作截面，利用三角形的相似来解决.【自主解答】 设圆台的母线长为l ，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面，如图所示.则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm ， ∴SA ′SA ＝O ′A ′OA ，∴33＋l ＝r 4r ＝14， 解得l ＝9(cm)， 即圆台的母线长为9 cm.1.识别简单组合体的构成方法：组合体是由简单几何体通过拼接、截去或挖去一部分而形成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球体的几何结构特征，对原组合体进行分割.2.与圆锥有关的截面问题的解决策略：求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解.通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解.巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决.[再练一题]3.一个正方体内接于高为40 cm ，底面圆的半径为30 cm 的圆锥中，求正方体的棱长. 【解】 如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面， 设正方体的棱长为x ， 则OC ＝22x ，∴22x 30＝40－x40，解得x ＝120(3－22)，∴正方体的棱长为120(3－22)cm.1.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.②④【解析】 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误. 【答案】 D2.下列说法中正确的是( )【导学号：39292001】A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱的侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.【答案】 A3.下面几何体的截面一定是圆面的是( )A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台【解析】无论用怎样的平面去截球，截面一定是圆面，其他三个旋转体截面则不一定是圆面.【答案】 C4.已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________.【解析】设正三角形的边长为a，则34a2＝3，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为32a＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.【答案】3，25.如图114所示为长方体ABCDA′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′，C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由.图114【解】截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面.截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面.。
《简单几何体》学案1(北师大版必修2)
第一课时：1.1简单几何体高一数学班级_____ 姓名__________学习目标：通过实物模型认识柱、锥、台、球的结构特征。
理解简单几何体的结构特征及有关概念重点难点：让学生感知几何体的结构特征及了解空间几何体的分类知识链接学习过程：一、问题1①.球的定义;②旋转面、旋转体的定义; __________________问题2圆柱、圆锥、圆台的定义; _________________①.球面球体有何差别？________________②圆与球有何差别________________③绕直角三角形某一边的几何体一定是圆锥吗？④圆台是一个旋转体，试探究，除了通过旋转而得到圆台外，还可以怎样得到圆台？问题3多面体的概念：，其中、、是多面体。
①棱柱:两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都，这些面围成的几何体叫作棱柱②棱锥：有一个面是，其余各面都是的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥③棱台：用一个棱锥底面的平面去截棱锥，，叫作棱台。
探究：⑴试分析多面体与旋转体有何差别⑵有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？二、典型例题例1：判断下列语句是否正确。
⑴有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥。
⑵有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱柱。
变式练习：1．给出下列几种说法：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱任意两条母线互相平行。
其中正确的个数是（）A 1B 2C 3D 42．下列说法①以直角三角形的一边为旋转轴，旋转而得的旋转体是圆锥；②以直角梯形一边为旋转轴，旋转而得的旋转体是圆台；③圆锥、圆台底面都是圆；④分别以矩形长和宽所在直线为旋转轴旋转而得的两个圆柱是两个不同的圆柱。
其中正确的个数是（）A 1B 2C 3D 4练习：课本5页1、2、3题课堂检测：1．下列说法正确的是①有两个互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱；④棱柱的有的都，有的不相等2．下列说法正确的是①有的棱锥的侧面是四边形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点；④圆台的母线长等于上下底面圆直径和的一半3．下列平面图形旋转后能得到下边几何体的是4指出下图分别包含的几何体3、课堂小结：回顾教材，自我整理4布置作业：课本A组6页1、2、3题5教学反思：。
七年级数学上册人教版《几何图形初步复习》课堂学案及配套作业(解析版)
几何图形初步复习（解析版）第一部分教学案【知识点一】立体图形与平面图形区别：立体图形各部分不都在同一平面内；平面图形各部分都在同一平面内.联系：立体图形可以展开成平面图形，平面图形可以旋转成立体图形.考点：(1)从不同方向看立体图形.(2)立体图形的平面展开图.典例1（2022秋•即墨区校级月考）如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．从左面看到的几何体的形状图为（）A．B．C．D．思路引领：根据解答组合体三视图的画法画出该组合体从左面看到的图形即可．解：从左面看这个几何体，所得到的图形为：故选：D．总结升华：本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的前提．针对训练1．（2021秋•太康县期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所在面相对的面上的字是（）A．跟B．百C．走D．年思路引领：根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“建”与“百”是对面，故选：B．总结升华：本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．2．（2018•东明县二模）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（）A．B．C．D．3．（2020秋•秦淮区期末）如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（）A．B．C．D．思路引领：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．解：因圆柱的侧面展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C．故选：A．总结升华：此题主要考查圆柱的侧面展开图，以及学生的立体思维能力．4．（2018秋•天台县期末）如图1，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？请完成下列问题：（1）图2是将立方体表面展开的一部分，请将图形补充完整；（画一种即可）（2）在图2中画出点A到点B的最短爬行路线；（3）在图2中标出点C，并画出A、C两点的最短爬行路线（画一种即可）．思路引领：（1）根据题意画出正方体的展开图即可；（2）根据线段的性质画出图形即可；（3）根据线段的性质画出图形即可．解：（1）如图所示，（2）如图所示，连接AB，线段AB的即为点A到点B的最短爬行路线；（3）如图所示，线段AC即为C两点的最短爬行路线．总结升华：此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，几何体的展开图，线段的性质：两点之间线段最短，正确的画出图形是解题的关键．【知识点二】直线、射线、线段1．直线、射线、线段的区别和联系：区别：（1）端点个数不同：直线没有端点，射线一个端点，线段两个端点.（2）延伸方向不同，直线向两方延伸，射线向一个方向延伸，线段无延伸.联系：（1）都可以用两个点的大写字母表示，直线是用任意两点字母，没有先后顺序；射线是用一个端点字母和任一点字母，端点字母在前；线段只能用两端点字母，没有先后顺序.（2）线段可以度量，直线和射线不可度量.2．两个性质、一个中点：（1）直线的性质：两点确定一条直线.（2）线段的性质：两点之间，线段最短.（3）线段的中点：把一条线段平均分成两条相等线段的点.例2（2020秋•永嘉县校级期末）如图，直线l上有A、B两点，AB＝24cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）OA＝cm，OB＝cm．（2）若点C是线段AO上一点，且满足AC＝CO+CB，求CO的长．（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．①当t为何值时，2OP﹣OQ＝8．①当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm/s的速度也向右运动．当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动．在此过程中，点M行驶的总路程为48cm．思路引领：（1）由OA＝2OB，OA+OB＝24即可求出OA、OB．（2）设OC＝x，则AC＝16﹣x，BC＝8+x，根据AC＝CO+CB列出方程即可解决．（3）①分两种情形①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）＝8，当点P在点O 右边时，2（2t﹣16）﹣（8+x）＝8，解方程即可．①点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为ts由题意得：t（2﹣1）＝16由此即可解决．解：（1）①AB＝24，OA＝2OB，①20B+OB＝24，①OB＝8，0A＝16，故答案分别为16，8．（2）设CO＝x，则AC＝16﹣x，BC＝8+x，①AC＝CO+CB，①16﹣x＝x+8+x，①x=8，3①CO=8．3，（3）①当点P在点O左边时，2（16﹣2t）﹣（8+t）＝8，t=165当点P在点O右边时，2（2t﹣16）﹣（8+t）＝8，t＝16，①t=16或16s时，2OP﹣OQ＝8．5①设点M运动的时间为ts，由题意：t（2﹣1）＝16，t＝16，①点M运动的路程为16×3＝48cm．故答案为48cm．总结升华：本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．针对训练1．（2021•南充模拟）已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3cm，则线段AC＝11cm或5cm．思路引领：由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑AC的长，注意不要漏解．解：由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：当C点在B点右侧时，如图所示：AC＝AB+BC＝8+3＝11cm；当C点在B点左侧时，如图所示：AC＝AB﹣BC＝8﹣3＝5cm；所以线段AC等于11cm或5cm，故答案为：11cm或5cm．总结升华：本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．2．（2019秋•鄞州区期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，下列条件不能确定点D是线段BC的中点的是（）AD C．2AD＝3BC D．3AD＝4BC A．CD＝DB B．BD=13思路引领：根据线段中点的定义，结合图形判断即可．解：如图，①CD＝DB，①点D是线段BC的中点，A不合题意；①点C是线段AB的中点，①AC＝BC，AD，又①BD=13①点D是线段BC的中点，B不合题意；①点C是线段AB的中点，①AC＝BC，2AD＝3BC，①2（BC+CD）＝3BC，①BC＝2CD，①点D是线段BC的中点，C不合题意；3AD＝4BC，不能确定点D是线段BC的中点，D符合题意．故选：D．总结升华：本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．3．（2021秋•德江县期末）如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8cm，BC＝2cm，则MC的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm思路引领：由图形可知AC＝AB﹣BC，依此求出AC的长，再根据中点的定义可得MC 的长．解：由图形可知AC＝AB﹣BC＝8﹣2＝6cm，①M是线段AC的中点，AC＝3cm．①MC=12故MC的长为3cm．故选：B．总结升华：考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段AC的长是解决本题的突破点．4．（2018秋•长乐区期末）如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两点之间直线最短D．垂线段最短思路引领：根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答．解：把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是两点之间线段最短，故选：B．总结升华：此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短，是需要记忆内容．5．如图，在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离和OA+OB+OC+OD 最小，并说出你的理由，由本题你得到什么数学结论？举例说明它在实际中的应用．思路引领：连接AC、BD相交于点O，则点O就是所要找的点；取不同于点O的任意一点P，连接P A、PB、PC、PD，根据两点之间，线段最短，即可得到P A+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，从而可得点O就是所要找的四边形ABCD内符合要求的点．解：要使OA+OB+OC+OD最小，则点O是线段AC、BD的交点．理由如下：如果存在不同于点O的交点P，连接P A、PB、PC、PD，因为点P有可能在AC上，所以P A+PC也有可能等于AC，即P A+PC≥AC，同理，PB+PD≥BD，但因为点P不同于点O，所以点P不可能同时在AC、BD上，所以“P A+PC＝AC“与“PB+PD＝BD“不可能同时出现，所以P A+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，由本题得到：两点之间，线段最短．实际应用：把弯曲的公路改直，就能缩短路程．总结升华：本题考查了两点之间，线段最短，作出图形更助于问题的解决，把问题转化为求两条线段的和是解决问题的关键．6．点O是线段AB＝28cm的中点，而点P将线段AB分为两部分，AP：PB=23：415，求线段OP的长．思路引领：根据线段的比例的性质，可得AP：PB＝10：4，根据按比例分配，可得AP 的长，根据线段中点的性质，可得AO的长，根据线段的和差，可得答案．解：由比例的性质，得AP：PB＝10：4．按比例分配，得AP：28×1010+4=20（cm）．由线段中点的性质，得 AO =12AB ＝14（cm ）．OP ＝AP ﹣AO ＝20﹣14＝6（cm ）．总结升华：本题考查了两点间的距离，利用了比例的性质，线段中点的性质，线段的和差．7．（2017春•太谷县校级期末）如图，已知C ，D 两点在线段AB 上，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，M ，N 分别是线段AC ，BD 的中点，则MN ＝ cm ．思路引领：结合图形，得MN ＝MC +CD +ND ，根据线段的中点，得MC =12AC ，ND =12DB ，然后代入，结合已知的数据进行求解． 解：①M 、N 分别是AC 、BD 的中点，①MN ＝MC +CD +ND =12AC +CD +12DB =12（AC +DB ）+CD =12（AB ﹣CD ）+CD =12×（10﹣6）+6＝8． 故答案为：8．总结升华：此题考查的知识点是两点间的距离，关键是利用线段的中点结合图形，把要求的线段用已知的线段表示．8．（2019秋•北仑区期末）如图，C 为射线AB 上一点，AB ＝30，AC 比BC 的14多5，P 、Q两点分别从A 、B 两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，当点P 运动到点B 时，两点同时停止运动，运动时间为t （s ），M 为BP 的中点，N 为MQ ①BC ＝2AC ；①AB ＝4NQ ；①当BP =12BQ 时，t ＝12；①M ，N 两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号）思路引领：根据线段中点的定义和线段的和差关系即可得到结论．解：①AB ＝30，AC 比BC 的14多5，①BC ＝20，AC ＝10， ①BC ＝2AC ；故①正确；①P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度， ①BP ＝30﹣2t ，BQ ＝t ，①M 为BP 的中点，N 为MQ 的中点，①PM =12BP ＝15﹣t ，MQ ＝MB +BQ ＝15，NQ =12MQ ＝7.5，①AB ＝4NQ ；故①正确；①BP =30−2t ，BQ =t ，BP =12BQ ，①30−2t =t2，解得：t ＝12，故①正确，①BP＝30﹣2t，BQ＝t，①BM=12PB＝15﹣t，①MQ＝BM+BQ＝15﹣t+t＝15，①MN=12MQ=152，①MN的值与t无关是定值，故答案为：①①①①．总结升华：本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P 与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想．9．（2019秋•延庆区期末）如图，在数轴上有A，B两点，且AB＝8，点A表示的数为6；动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．（1）写出数轴上点B表示的数是；（2）当t＝2时，线段PQ的长是；（3）当0＜t＜3时，则线段AP＝；（用含t的式子表示）（4）当PQ=14AB时，求t的值．思路引领：（1）根据两点间的距离公式即可求出数轴上点B表示的数；（2）先求出当t＝2时，P点对应的有理数为2×2＝4，Q点对应的有理数为6+1×2＝8，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；（3）先求出当0＜t＜3时，P点对应的有理数为2t＜6，再根据两点间的距离公式即可求出AP的长；（4）由于t秒时，P点对应的有理数为2t，Q点对应的有理数为6+t，根据两点间的距离公式得出PQ＝|2t﹣（6+t）|＝|t﹣6|，根据PQ=14AB列出方程，解方程即可求解．解：（1）6+8＝14．故数轴上点B表示的数是14；（2）当t＝2时，P点对应的有理数为2×2＝4，Q点对应的有理数为6+1×2＝8，8﹣4＝4．故线段PQ的长是4；（3）当0＜t＜3时，P点对应的有理数为2t＜6，故AP＝6﹣2t；（4）根据题意可得：|t﹣6|=14×8，解得：t＝4或t＝8．故t的值是4或8．故答案为：14；4；6﹣2t．总结升华：此题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，（4）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．【知识点三】角的比较与运算1．比较角大小的方法：度量法、叠合法.2．互余、互补反映两角的特殊数量关系.3．方位角中经常涉及两角的互余.4．计算两角的和、差时要分清两角的位置关系.典例3（2020秋•和平区期末）如图：①AOB：①BOC：①COD＝2：3：4，射线OM、ON，分别平分①AOB与①COD，又①MON＝84°，则①AOB为（）A．28°B．30°C．32°D．38°思路引领：首先设出未知数，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可求出①AOB的度数．解：设①AOB＝2x°，则①BOC＝3x°，①COD＝4x°，①射线OM、ON分别平分①AOB①COD，①①BOM=1①AOB＝x°，2①COD＝2x°，①CON=12又①①MON＝84°，①x+3x+2x＝84，x＝14，①①AOB＝14°×2＝28°．故选：A．总结升华：本题主要考查了角平分线的定义和角的计算，解题时要能根据图形找出等量关系列出方程，求出角的度数．针对训练1．（2021秋•原阳县月考）如图所示，①AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若①1＝26°，则①2的度数为（）A ．110°B ．116°C ．126°D ．134°思路引领：由图示可得，①1与①BOC 互余，结合已知可求①BOC ，又因为①2与①COB 互补，即可求出①2的度数．解：①①1＝26°，①AOC ＝90°，①①BOC ＝64°，①①2+①BOC ＝180°，①①2＝116°．故选：B ．总结升华：此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．2．（2019•隆化县二模）如图，直线AB 、CD 交于点O ，射线OM 平分①AOC ，若①BOD ＝76°，则①BOM 等于（ ）A ．38°B ．104°C ．142°D ．144°思路引领：根据对顶角相等求出①AOC 的度数，再根据角平分线的定义求出①AOM 的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．解：①①BOD ＝76°，①①AOC ＝①BOD ＝76°，①射线OM 平分①AOC ，①①AOM =12①AOC =12×76°＝38°， ①①BOM ＝180°﹣①AOM ＝180°﹣38°＝142°．故选：C ．总结升华：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．3．（通辽）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）A．55°B．65°C．70°D．以上结论都不对思路引领：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，找出4点10分时针和分针分别转动角度即可求出．解：①4点10分时，分针在指在2时位置处，时针指在4时过10分钟处，由于一大格是×30°=5°，因此4点10分时，分针与时针的夹角是2×30°+5°30°，10分钟转过的角度为1060＝65°．故选：B．总结升华：本题考查钟表时针与分针的夹角．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．4．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，则①1+①2＝（）A．60°B．90°C．110°D．180°思路引领：由三角板的直角顶点在直线l上，根据平角的定义可知①1与①2互余，从而求解．解：如图，三角板的直角顶点在直线l上，则①1+①2＝180°﹣90°＝90°．故选：B．总结升华：本题考查了余角及平角的定义，正确观察图形，得出①1与①2互余是解题的关键．5．（2021春•未央区月考）如图，要测量两堵围墙形成的①AOB的度数，但人不能进入围墙，可先延长BO得到①AOC，然后测量①AOC的度数，再计算出①AOB的度数．其中依据的原理是（）A．对顶角相等B．同角的余角相等C．等角的余角相等D．同角的补角相等思路引领：根据邻补角的定义以及同角的补角相等得出答案．解：如图，由题意得，①AOC+①AOB＝180°，即①AOC与①AOB互补，因此量出①AOC的度数，即可求出①AOC的补角，根据同角的补角相等得出①AOB的度数，故选：D．总结升华：本题考查邻补角的定义、同角的补角相等，理解同角的补角相等是正确判断的前提．6．计算：①33°52′+21°54′＝；①36°27′×3＝．思路引领：①利用度加度，分加分，再进位即可；①利用度和分分别乘以3，再进位．解：①33°52′+21°54′＝54°106′＝55°46′；①36°27′×3＝108°81′＝109°21′；故答案为：55°46′；109°21′．总结升华：此题主要考查了度分秒的计算，关键是掌握在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．6①α与①β互余？在哪种摆放方式中①α与①β互补？在哪种摆放方式中①α与①β相等？思路引领：根据每个图中的三角尺的摆放位置，容易得出①α与①β的关系．解：（1）根据平角的定义得：①α+90°+①β＝180°，①①α+①β＝90°，即①α与①β互余；（2）根据两个直角的位置得：①α＝①β；（3）根据三角尺的特点和摆放位置得：①α+45°＝180°，①β+45°＝180°，①①α＝①β；（4）根据图形可知①α与①β是邻补角，①①α+①β＝180°；综上所述：（1）中①α与①β互余；（4）中①α与①β互补；（2）（3）中，①α＝①β．总结升华：本题考查了余角和补角的定义；仔细观察图形，弄清两个角的关系是解题的关键．7．（2012秋•襄城区期末）如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°的方向上，试在图中确定这艘船的位置．思路引领：根据方向角的概念分别画出过点A与点B的射线，两条射线的交点即为这艘船的位置．解：如图所示：作①1＝60°，①2＝30°，两射线相交于P点，则点P即为所求．总结升华：本题考查的是方位角的画法，解答此题的关键是熟知方向角的描述方法，即用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西，偏多少度．8．（2019秋•东莞市期末）直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分①BCD．（1）在图1中，若①BCE＝40°，①ACF＝；（2）在图1中，若①BCE＝α，①ACF＝（用含α的式子表示）；（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若①BCE＝150°，试求①ACF 与①ACE的度数．思路引领：（1）、（2）结合平角的定义和角平分线的定义解答；（3）根据角平分线的定义、平角的定义以及角的和差关系解答即可．解：（1）如图1，①①ACB ＝90°，①BCE ＝40°，①①ACD ＝180°﹣90°﹣40°＝50°，①BCD ＝180°﹣40°＝140°，又CF 平分①BCD ，①①DCF ＝①BCF =12①BCD ＝70°， ①①ACF ＝①DCF ﹣①ACD ＝70°﹣50°＝20°；故答案为：20°；（2）如图1，①①ACB ＝90°，①BCE ＝α°，①①ACD ＝180°﹣90°﹣α°＝90°﹣α，①BCD ＝180°﹣α，又CF 平分①BCD ，①①DCF ＝①BCF =12①BCD ＝90°−12α，①①ACF ＝90°−12α﹣90°+α=12α；故答案为：12α；（3）如图2，①①BCE ＝150°，①①BCD ＝30°，①CF 平分①BCD ，①①BCF =12∠BCD =15°， ①①ACF ＝90°﹣①BCF ＝75°，①ACD ＝90°﹣①BCD ＝60°，①①ACE ＝180°﹣①ACD ＝120°．总结升华：考查了角的计算和角平分线的定义，主要考查学生的计算能力，求解过程类似．9．（2019秋•梁园区期末）如图，已知①AOB＝60°，①AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO、射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s；P、Q同时出发，同时射线OC绕着点O从OA上以每秒5°的速度顺时针旋转，设运动时间是t（s）．（1）当点P在MO上运动时，PO＝cm（用含t的代数式表示）；（2）当点P在线段MO上运动时，t为何值时，OP＝OQ？此时射线OC是①AOB的角平分线吗？如果是请说明理由．（3）在射线OB上是否存在P、Q相距2cm？若存在，请求出t的值并求出此时①BOC 的度数；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）先确定出PM＝2t，即可得出结论；（2）先根据OP＝OQ建立方程求出t＝6，进而求出①AOC＝30°，即可得出结论；（3）分P、Q相遇前相距2cm和相遇后2cm两种情况，建立方程求解，接口得出结论．解：（1）当点P在MO上运动时，由运动知，PM＝2t，①OM＝18cm，①PO＝OM﹣PM＝（18﹣2t）cm，故答案为：（18﹣2t）；（2）由（1）知，OP＝18﹣2t，当OP＝OQ时，则有18﹣2t＝t，①t＝6即t＝6时，能使OP＝OQ，①射线OC绕着点O从OA上以每秒5°的速度顺时针旋转，①①AOC＝5°×6＝30°，①①AOB＝60°，①①BOC＝①AOB﹣①AOC＝30°＝①AOC，①射线OC是①AOB的角平分线，（3）分为两种情形．当P、Q相遇前相距2cm时，OQ﹣OP＝2①t﹣（2t﹣18）＝2解这个方程，得t＝16，①①AOC＝5°×16＝80°①①BOC＝80°﹣60°＝20°，当P、Q相遇后相距2cm时，OP﹣OQ＝2①（2t﹣18）﹣t＝2解这个方程，得t＝20，①①AOC＝5°×20＝100°①①BOC＝100°﹣60°＝40°，综合上述t＝16，①BOC＝20°或t＝20，①BOC＝40°．总结升华：此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义，旋转的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．第二部分配套作业一、选择题1．从左边看图1中的物体，得到的是图2中的( )．2．如图所示是正方体的一种平面展开图，各面都标有数，则标有数“-4”的面与其对面上的数之积是( )．A．4 B．12 C．-4 D．03．在下图中，是三棱锥的是( )．4．如图所示，点O在直线AB上，①COB＝①DOE＝90°，那么图中相等的角的对数是( )．A．3 B．4 C．5 D．75．如图所示的图中有射线( )．A．3条B．4条C．2条D．8条6．（2020•宝应县校级模拟）在地理课堂上，老师组织学生进行寻找北极星的探究活动时，李佳同学使用了如图所示的半圆仪，则下列四个角中，最可能和①AOB互补的角为（）A．B．C．D．7．十点一刻时，时针与分针所成的角是( )．A．112°30′ B．127°30′ C．127°50′ D．142°30′8．在海面上有A和B两个小岛，若从A岛看B岛是北偏西42°，则从B岛看A岛应是( )．A．南偏东42° B．南偏东48° C．北偏西48° D．北偏西42°二、填空题9．把一条弯曲的公路改为直道，可以缩短路程，其理由是________．10．已知①α＝30°18′，①β＝30.18°，①γ＝30.3°，则相等的两角是________．11．用平面去截一个几何体，如果得出的横截面是圆形，那么被截的几何体是________(填一个答案即可)．12．（2020秋•泾阳县期中）如图是一个正方体的展开图，和C面的对面是面．13．若①1+①2＝90°，①1+①3＝90°，则①2＝①3，其根据是________．14．若①α是它的余角的2倍，①β是①α的2倍，那么把①α和①β拼在一起(有一条边重合)组成的角是________度．15.一副三角板如图摆放，若①BAE =135 °17′，则①CAD 的度数是 .16.如下图，点A 、B 、C 、D 代表四所村庄，要在AC 与BD 的交点M 处建一所“希望小学”，请你说明选择校址依据的数学道理 .17. （2020春•淄博校级期中）如图，已知点C 为AB 上一点，AC=12cm ，CB=AC ，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，求DE 的长．18．如图所示，已知①COB ＝2①AOC ，OD 平分①AOB ，且①COD ＝19°，求①AOB 的度数．19．在一张城市地图上，如图所示，有学校、医院、图书馆三地，图书馆被墨水染黑，具体位置看不清，但知道图书馆在学校的北偏东45°方向，在医院的南偏东60°方向，你能确定图书馆的位置吗?D20.如图所示，线段AB＝4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，小明据此很轻松地求得CD＝2．在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上，原来的结论“CD＝2”是否仍然成立?请帮小明画出图形并说明理由．配套作业【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】从左边看，圆台被遮住一部分，故选B ．2．【答案】B【解析】由正方体的平面展开图可知，标有数-4的面的对面是标有数-3的面，故两个数之积为12．3．【答案】B【解析】A 选项是四棱锥，B 选项是三棱锥，C 、D 两项都是三棱柱，故选B ．4．【答案】C【解析】因为①COB ＝90°，所以①BOD+①COD ＝90°，即①BOD ＝90°-①COD ．因为①DOE ＝90°，所以①EOC+①COD ＝90°，即①EOC ＝90°-①COD ，所以①BOD ＝①EOC ．同理①AOE ＝①COD ．又因为①AOC ＝①COB ＝①DOE ＝90°(①AOC ＝①COB ，①AOC ＝①DOE ，①COB ＝①DOE)，所以图中相等的角有5对，故选C ．5．【答案】D6.【答案】D ．【解析】根据图形可得①AOB 大约为135°，①与①AOB 互补的角大约为45°，综合各选项D 符合．7．【答案】D【解析】一刻是15分钟，十点一刻，即10点15分时，时针与分针所成的角为：34304⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭°＝142.5°＝142°30′，故选D ． 8．【答案】A【解析】方位角存在这样的规律：甲、乙两地之间的方位角，方向相反，角度相等．由此可知从B 岛看A 岛的方向为南偏东42°，故选A ．二、填空题9. 【答案】两点之间，线段最短【解析】本题是应用线段的性质解释生活中的现象，由于这是两点之间连线长度的比较，符合“两点之间，线段最短”．10.【答案】①α和①γ 【解析】30.3601810︒''=⨯=，于是①α＝①γ． 11.【答案】圆柱(圆锥、圆台、球体等)【解析】答案不唯一，例如用平面横截圆锥即可得到圆形．12.【答案】F．【解析】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“B”与面“D”相对，面“A”与面“E”相对，“C”与面“F”相对.13.【答案】同角的余角相等【解析】根据余角的性质解答问题．14.【答案】60度或180【解析】先求出①α=60°，①β=120°；再分①α在①β内部和外部两种情况来讨论．15.【答案】44°43′；【解析】∠BAD＋∠CAE＝180°，即∠BAE＋∠CAD＝180°，所以∠CAD＝180°－135°17′＝44°43′．16.【答案】两点之间，线段最短．三、解答题17.【解析】解：①AC=12cm，CB=AC，①CB=6cm，①AB=AC+BC=12+6=18cm，①E为AB的中点，①AE=BE=9cm，①D为AC的中点，①DC=AD=6cm，所以DE=AE﹣AD=3cm．18．【解析】解：设①AOC＝x°，则①COB＝2x°．因为OD平分①AOB，所以①AOD＝12①AOB＝12(①AOC+①BOC)＝32x°．又因为①DOC＝①AOD-①AOC，所以3192x x=-．解得x＝38，所以①AOB＝3x°＝114°．19．【解析】解：如图所示．在医院A处，以正南方向为始边，逆时针转60°角，得角的终边射线AC．在学校B处，以正北方向为始边，顺时针旋转45°角，得角的终边射线BD．AC与BD 的交点为点O，则点O就是图书馆的位置．20.【解析】解：原有的结论仍然成立，理由如下：当点O在AB的延长线上时，如图所示，CD＝OC－OD＝12(OA－OB)＝12AB＝142 2⨯=．。
简单几何体导学案
§1.1简单几何体1.感受空间实物及模型，增强学生的直观感知； 2. 理解多面体与旋转体的有关概念；3. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征；4. 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.5. 能描述一些简单组合体的结构.一：多面体的相关概念问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗?定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD ；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB ；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A .具体如下图所示：二：旋转体的相关概念问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？定义：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体:三、几种旋转体的概念及结构特征1：圆柱的结构特征问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？定义；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱（circular cylinder），旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，如图所示：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为O O .圆柱和棱柱统称为柱体.圆柱的性质：①两底面是平行且半径相等的圆②侧面展开图是矩形③母线平行且相等④平行与底面的截面与两底面是平行且半径相等的圆⑤轴截面是矩形2：圆锥的结构特征问题：下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义，你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗？试在旁边的图中标出来.定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.圆锥的性质：①底面为圆面②侧面展开图是扇形③母线交于顶点④平行于底面的截面是平行底面且与底面半径还不相等的圆3：圆台的结构特征问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?定义；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台. 圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们，并把圆台用字母表示出来. 棱台与圆台统称为台体.反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系？ 圆台的性质： ① 两底面是平行但半径不相等的圆 ② 侧面展开图是扇环 ③ 母线延长线交于一点 ④ 平行于底面的截面是与两底面平行且半径不相等的圆 ⑤ 轴截面是等腰梯形圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形. 4：球的结构特征问题：球也是旋转体，怎么得到的?定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere ），简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母O 表示，如球O .球的性质： ① 用一平面去截球截面为圆面 ② 球心与截面圆心的连线垂直于不过球心的截面③ 设球的半径威R ，截面圆面半径为r ，球心到截面距离为d ，则d=22r R四：几种多面体的概念及结构特征 1、 棱柱问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗?定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）分类：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）.特殊的四棱柱：平行六面体，直平行六面体，长方体，正四棱柱，正方体1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱；2.直平行六面体3.长方体4.正棱柱：5.正方体棱柱的性质：①各侧面是平行四边形，侧棱平行且相等②直棱柱各侧面是矩形，正棱柱各侧面是全等矩形③棱柱的两底面与平行底面的截面是对应边互相平行的全等多边形④过棱柱不相邻两侧棱的截面是平行四边形2：棱锥定义：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥S A B C D E.棱锥的性质：①底面为多边形，侧面为三角形②各侧棱相交于顶点③平行与底面的截面是与底面相似的多边形④过不相邻两侧棱的截面是三角形5：棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.棱台的性质：①两底面是相似多边形②各侧面是梯形③各侧棱延长线交于一点④平行于底面的截面是与两底面相似的多边形⑤过不相邻的两侧棱的截面是梯形6.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；7. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥；8. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.典型例题例1：下列叙述正确的有（1）以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥.（2）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的的几何体是圆台.（3）圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆.（4）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.（5）在圆柱的上，下两底面的圆周上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线.（6）圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线是圆锥的母线练习：由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢？例2．右图绕虚线旋转一周后形成的立体图形，是由那些简单几何体构成的？【规律方法总结】______________________________________变式训练：下图是由哪些简单几何体组合而成？例，右边模型，回答下列问题：(1)观察长方体模型，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？(2) 如右图，长方体''''ABCD A B C D中被截去一部分，其中''//EH A D。
人教版数学七年级上册第四章几何图形初步《几何图形(一)》公开课导学案(学习任务单)及课后练习
人教版数学七年级上册第四章几何图形初步《几何图形（一）》导学案及课后练习【学习目标】1.可以从简单实物的外形中抽象出几何图形，并了解立体图形与平面图形的区别；2.会判断一个几何图形是立体图形还是平面图形，能准确识别棱柱与棱锥.【课前学习任务】1.写出小学学习过的几何图形名称并画出对应的图形.2.预习课本 P113-P116.【课上学习任务】学习任务一：在下面给出的图片中，你能找到一些熟悉的图形吗？学习任务二：习题巩固：1.如图，说出下图中的一些物体的形状所对应的立体图形.2.说出图中立体图形的名称，找出其表面包含哪些平面图形?试指出这些平面图形在立体图形中的位置.3.如图,你能看到哪些立体图形?4.如图,你能看到哪些平面图形？【课后练习】1.将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是( )2.下列说法不正确的是（）A.圆锥和圆柱的底面都是圆B.棱柱的上、下底面是形状、大小相同的多边形C.棱锥底面的边数与侧棱数相等D.长方体是四棱柱，四棱柱是长方体3.1750 年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用 V，E，F 分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有 V－E＋F=2。
这个发现，就是著名的欧拉定理。
根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是 30，则其顶点数为_________.4.你能把一个正方形纸片折叠成一个三棱锥吗？动手试一试.5.通过图书或互联网等途径，收集能够反映几何知识实际应用的图片等材料，做成手抄报和同学们交流.参考答案：1.A2.D3. 204.如图所示，沿 CE、EF、FC 折叠，即成一个三棱锥。
E、F 分别是 AD 和 AB 的中点。
5．略。
高二数学必修二简单几何体导学案及课后作业加答案
高二数学必修二简单几何体导学案蒋红伟第一章空间几何体第1课时多面体的结构特征【学习要求】1 •认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；3•了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别. 【学法指导】通过直观感受空间物体，从实物中概括出多面体的几何结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，培养空间想象能力【知识要点】1 .空间几何体(1)___________________________ 概念：如果只考虑物体的和，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.(2)特殊的几何体①多面体：一般地，由若干个_______________ 围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的 ;相邻两个面的_____________ 叫做多面体的棱；棱与棱的__________ 叫做多面体的顶点.②旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的________________ 叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的_.2.多面体的结构特征(1)___________________________________________ 棱柱的结构特征：一般地，有两个面，其余各面都是_________________________________________________ ，并且每相邻两个四边形的公共边都____________ ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(2)_________________________________________ 棱锥的结构特征：一般地，有一个面是 ____ ，其余各面都是___________________________________________ ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(3)______________________________ 棱台的结构特征：用一个_______________ 棱锥底面的平面去截棱锥，_________________________________ 之间的部分叫做棱台.【问题探究】探究点一空间几何体的类型问题1观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？高二数学必修二简单几何体导学案蒋红伟问题4 一个棱柱至少有几个侧面？一个N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？问题5有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？小结在棱柱中，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；图1中的六棱柱用各顶点字母可表示为棱柱ABCDEF —A B'CD EF'.探究点三棱锥的结构特征问题1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗?问题2如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成哪几种类型？问题3观察图(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16)中组成几何体的每个面的特点，以及面与面之间的关系，你能归纳出它们有何共同特点吗？小结我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体•围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.问题4 观察图(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中组成几何体的每个面有何共同特点？小结由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体•这条定直线叫做旋转体的轴.探究点二棱柱的结构特征问题1我们把下面的多面体取名为棱柱，据此你能给棱柱下一个定义吗？图1 图2问题2为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点•你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？问题3棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？探究点四棱台的结构特征问题1用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台.那么棱台有哪些结构特征？问题2仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义，如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶点呢？问题3根据三棱锥、四棱锥、五棱锥……的定义，如何定义三棱台、四棱台、五棱台……？如何用字母表示棱台？问题4既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？例1试判断下列说法是否正确：(1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；(2)棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形.小结概念辨析题常用方法：(1)利用常见几何体举反例； (2)从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断.跟踪训练1根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体.(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面是有一个公问题2参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？问题3类比棱柱的分类，棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类？如何用棱锥各顶点的字母表示问题1中的三个棱锥？问题4 一个棱锥至少有几个面？一个N棱锥分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？问题5用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？问题6棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？高二数学必修二简单几何体导学案蒋红伟共顶点的三角形.例2如图，几何体中，四边形AA I B I B为边长为3的正方形，CC i = 2, CC i// AA i, CC i// BB i，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱•若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征•在立体图中画出截面. 小结认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开.跟踪训练2若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2,底面周长为9,求棱锥的高（过顶点向底面作垂线，顶点与垂足的距离）•4. 若棱台上、下底面的对应边之比为 1 : 2,则上、下底面的面积之比是（）A . 1 : 2B . 1 : 4 C. 2 : 1 D. 4 : 15. —个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为__________ cm.6. 在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________ （填序号）.【当堂检测】1 .下列说法中正确的是（）A .棱柱的面中，至少有两个面互相平行B .棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C .棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D .棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2. 下列说法中，正确的是（）A .有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥B .用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C .棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D .棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形3. 下列说法错误的是（）A .多面体至少有四个面B .九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C .长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形【课堂小结】1 .在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.2.对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力.【课后作业】7.如图所示为长方体ABCD —A' B ' C ' D',当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱.8如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1,如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥.、基础过关1 .下列说法中正确的是A .棱柱的侧面可以是三角形C.正方体的各条棱长都相等2.棱台不具备的特点是（）B .由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图D .棱柱的各条棱长都相等A .两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点3.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是A .棱柱B .棱台C.棱柱与棱锥的组合体 D .不能确定:■、能力提升9.下图中不可能围成正方体的是（）高二数学必修二简单几何体导学案蒋红伟3 •用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做 __________ •与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线.4.以半圆的直径所在直线为____________ ，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做 _______ ，简称球•半圆的圆心叫做球的_____ ，半圆的半径叫做球的 ______ ，半圆的直径叫做球的 ______ .球常用表示球心的字母O表示.5 •简单组合体(1)__________________ 概念：由组合而成的几何体叫做简单组合体•常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.(2)________________________________ 基本形式：一种是由简单几何体____ 而成，另一种是由简单几何体_________________________________________ 或________________________________ 一部分而成•【问题探究】［问题情境］举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点. 它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体•本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征. 探究点一圆柱的结构特征问题1如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆柱是怎样形成的呢？与圆柱有关的几个概念是如何定义的？问题2如图，平行于圆柱底面的截面，经过圆柱任意两条母线的截面分别是什么图形？、探究与拓展.正方体的截面可能是什么形状的图形?2课时旋转体与简单组合体的结构特征【学习要求】认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体；•认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征.【学法指导】通过直观感受空间物体，从实物中概括出旋转体与简单组合体的结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活中，增强学习的积极性，培养空间想象力.【知识要点】以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做叫做圆柱轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的；无旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的__________ .以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做10 •在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是有正确结论的编号)•①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.11 •根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形._______ (写出所探究点二圆锥的结构特征问题1类比圆柱的定义，结合下图你能给圆锥下个定义吗?高二数学必修二简单几何体导学案蒋红伟③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.A. 0B. 1C. 2D. 3探究点五简单组合体的结构特征问题1现实生活中的物体多数是由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体•那么这些组合体是怎样构成的？问题2观察教材图1.1- 11中(1)、(3)两物体所示的几何体，你能说出它们各由哪些简单几何体组合而成吗?例3描述下列几何体的结构特征.问题2类比圆柱的轴、底面、侧面、母线的定义，如何定义圆锥的轴、底面、侧面、母线? 问题3 经过圆锥的任意两条母线的截面是什么图形？圆锥如何用字母表示？探究点四球的结构特征问题类比圆柱、圆锥、圆台的定义，球是如何定义的？球心及球半径是指什么？如何用字母表示球？例2判断下列各命题是否正确：(1 )三棱柱有6个顶点，三棱锥有4个顶点；(2)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(3)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(5)到定点的距离等于定长的点的集合是球.小结对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析，多观察实物，提高空间想象能力.跟踪训练2下列叙述中正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；探究点三圆台的结构特征问题1用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台•圆台可以由什么平面图形旋转而形成？问题2与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线，它们的含义分别如何？圆台如何用字母表示？问题3圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？例1用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为 1 : 16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长.小结用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程组而解得. 跟踪训练1将例1中截去的圆锥的母线长是 3 cm”改为圆锥SO的母线长为16 cm”其余条件不变，则结果如何？小结组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割.跟踪训练3数学奥林匹克竞赛中，若你获得第一名，被授予如图所示的奖杯，那么，请你介绍一下你所得的奖杯是由哪些简单几何体组成的？【当堂检测】1.下图是由哪个平面图形旋转得到的()②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；2. 下列说法正确的是（） A .圆锥的母线长等于底面圆直径C .圆台的母线与轴平行 3.下面几何体的截面一定是圆面的是 （ ）A .圆台B .球C .圆柱D .棱柱C .有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D .圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的【课堂小结】1. 本节所学几何体的类型:柱体圆柱体棱柱体 三棱柱四棱柱圆锥体锥体几何体三棱锥棱锥体 四棱锥圆台体台体三棱台棱台体 四棱台 A . (1)(2) B . (1)(3) C . (1)(4) 4.观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是D . (1)(5)球体简单组合体 2.注意两点（1） 圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分；圆台的母 线、棱台的侧棱延长后必交于同一点，若不满足该条件，则一定不是圆台或棱台. （2） 球面与球是两个不同的概念， 球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面， 也可以看作与 定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合.而球体不仅包括球的表面， 同时还包括球面所包围的空间. 【课后作业】 一、基础过关 1 .下列说法正确的是 （ ）A .直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B. 夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 C. 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线 2.下列说法正确的是（ ）A . a 是棱台B . b 是圆台C . c 是棱锥D . d 不是棱柱5. 将等边三角形绕它的一条中线旋转180 °形成的几何体是 __________ .6. 请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.（1） 由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等 的矩形；（2） 如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线 I 旋转180°A .直线绕定直线旋转形成柱面B .半圆绕定直线旋转形成球体B .圆柱的母线与轴垂直D .球的直径必过球心3.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是 （ ）7.如图所示，梯形 ABCD 中，AD // BC ,且AD<BC ,当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时, 其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征.:■、能力提升&下列说法正确的个数是()① 长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱；②过圆锥侧面上一点有无数条母线；③圆锥的母 线互相平行. A . 0B . 1C . 2D . 39.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )1.2.1中心投影与平行投影 1.2.2空间几何体的三视图【学习要求】1. 了解投影、中心投影和平行投影的概念；2•能画出简单几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型.【学法指导】通过对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点；通过自 己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用，提高空间想象能力.【知识要点】1•投影(1) 投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的 __________ ，这种现象叫做投影，其中，我们 把光线叫做 _______ ，把留下物体影子的屏幕叫做 _________ . (2) 投影的分类① 中心投影：光由 _____ 向外散射形成的投影，叫做中心投影•中心投影的投影线交于 ____________ . ② 平行投影：在一束 _____ 光线照射下形成的投影，叫做平行投影•平行投影的 ______________ 是平行的•在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做 ______ ，否则叫做 _____ . 2. 三视图 (1)三视图的分类① 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的 _______ . ② 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的 _______ . ③ 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的_______ .10.已知球 O 是棱长为1的正方体 ABCD — A i B i C i D i 的内切球，则平面 ACD i 截球0所得的截面面积为11•以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？三、探究与拓展12.如图所示，圆台母线 AB 长为20 cm ,上、下底面半径分别为 5 cm 和10 cm ，从母线AB 的中点M 拉一 条绳子绕圆台侧面转到 B 点，求这条绳长的最小值.（2）三视图的画法要求①三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的__________ 、 ________ 、________ 看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形.②一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的_________ ，长度与_______ 的长度一样，侧视图放在正视图的右边，高度与_____ 的高度一样，宽度与 ______ 的宽度一样•③在绘制三视图的时候，分界线和可见轮廓线都用_线画出，被遮挡部分用 _线画出•【问题探究】小结画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成.跟踪训练1如图（1）所示，E、F分别为正方体面ADD A'、面BCC B的中心，则四边形BFD E在该正方体的各个面上的投影可能是图（2）中的___________ .［问题情境］从不同角度看庐山，有古诗：横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只缘身在此山中. 对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图和直观图来把几何体画在纸上.探究点一中心投影与平行投影导引在建筑、机械等工程中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，要想知道这方面的基础知识，请先阅读教材第11页，然后思考下列问题. 问题1什么是投影、投影线、投影面吗？问题2不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？小结我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影. 问题3用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？问题4用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？问题5用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？小结在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影. 问题6 一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？例1如图所示，在正方体ABCD —A I B I C I D I中，E、F分别是AA i、C1D1的中点, G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的____________________ （填序号）. 探究点二柱、锥、台、球的三视图导引把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形•从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面.问题1如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,那么其三视图分别是什么？问题2三视图，分别反映物体的哪些关系（上下、左右、前后）?哪些数量（长、宽、高）? 小结一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度的关系为：正侧等高，正俯等长，侧俯等宽.问题3圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？问题4球的三视图是什么？下列三视图表示一个什么几何体？高二数学必修二简单几何体导学案蒋红伟(1)高二数学必修二简单几何体导学案 蒋红伟问题 下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图.【当堂检测】1.下列说法① 从投影角度看，三视图是在平行投影下画出的；② 平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点；③ 空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交了；④ 如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中 位线. 其中正确的有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个探究点三 简单组合体的三视图 导引 柱、锥、台、球是最基本、最简单的几何体，由这些几何体可以组成各种各样的组合体，怎样画简单 组合体的三视图？ 问题1在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能 看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎样处理？ 问题2如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图是什么？ 例2如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图. （单位：cm ） 小结 （1）在画三视图时，务必做到正 （视图）侧（视图）高平齐，正（视图）俯（视图）长 对正，俯（视图）侧（视图）宽相等.⑵习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置 上，俯视图在正视图的正下方. 跟踪训练2某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是 例3说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.iE 上方正左方 （ ）小结 通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体， 征，最终确定是简单几何体还是简单组合体.跟踪训练3下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状.再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特正前方探究点四 将三视图还原成几何体导引 一个空间几何体都对应一组三视图，若已知一个几何体的三视图，我们如何去 想象这个几何体的原形结构，并画出其示意图呢？正视图 1W 视图。
(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案 立体几何导学案含含配套练习答案
8．1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征考点学习目标核心素养棱柱的结构特征理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别直观想象棱锥、棱台的结构特征理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别直观想象应用几何体的平面展开图能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形直观想象问题导学预习教材P97－P100的内容，思考以下问题：1．空间几何体的定义是什么？2．空间几何体分为哪几类？3．常见的多面体有哪些？4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？1．空间几何体的定义及分类(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．2．空间几何体类别定义图示多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征结构特征及分类图形及记法棱柱结构特征(1)有两个面(底面)互相平行(2)其余各面都是四边形(3)相邻两个四边形的公共边都互相平行记作棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′分类按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱…续表结构特征及分类图形及记法棱锥结构特征(1)有一个面(底面)是多边形(2)其余各面(侧面)都是有一个公共顶点的三角形记作棱锥S-ABCD 分类按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……棱台结构特征(1)上下底面互相平行，且是相似图形(2)各侧棱延长线相交于一点(或用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台)记作棱台ABCD-A′B′C′D′分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……(1)棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．(2)各种棱柱之间的关系 ①棱柱的分类棱柱⎩⎪⎨⎪⎧直棱柱⎩⎪⎨⎪⎧正棱柱（底面为正多边形）一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的侧面都是平行四边形．( )(2)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台． ( ) (3)将棱台的各侧棱延长可交于一点．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√下面多面体中，是棱柱的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选D.根据棱柱的定义进行判定知，这4个都满足. 下面四个几何体中，是棱台的是( )解析：选C.A 项中的几何体是棱柱．B 项中的几何体是棱锥；D 项中的几何体的棱AA ′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；很明显C项中的几何体是棱台．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D.每个面都可作为底面，有4个．下列说法正确的有________．(填序号)①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．因而正确的有①③.答案：①③棱柱的结构特征下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.【答案】③④棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．1．下列命题中正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形解析：选D.由棱柱的定义可知，选D.2．如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解：截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.棱锥、棱台的结构特征下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②③④.【答案】②③④判断棱锥、棱台形状的两种方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点1．棱台不具有的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等D．侧棱延长后相交于一点解析：选C.由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等．2．下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．A．①②B．①③C．②③D．②④解析：选B.由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．空间几何体的平面展开图(1)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．9C．快D．乐(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【解】(1)选 B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．(2)题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为()解析：选A.其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻．相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻．2．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．解：如图是以四边形ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．其图形如图所示．1．下面的几何体中是棱柱的有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选C.棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行．(2)其余各面是四边形．(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下面图形中，为棱锥的是()A．①③B．③④C．①②④D．①②解析：选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为()A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥解析：选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为__________cm.解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为60 5＝12(cm)．答案：125．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体．(2)三个三棱锥，并用字母表示．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′AB″C″，另一个多面体是B′C′C″B″BC.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′ABC，B′A′BC，C′A′B′C.[A基础达标]1．下列说法正确的是()A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱解析：选D.棱柱和棱锥的底面可以是任意多边形，故选项A、B均不正确；可沿棱锥的侧棱将其分割成两个棱锥，故C错误；用平行于棱柱底面的平面可将棱柱分割成两个棱柱．2．具备下列条件的多面体是棱台的是()A ．两底面是相似多边形的多面体B ．侧面是梯形的多面体C ．两底面平行的多面体D ．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体解析：选D.由棱台的定义可知，棱台的两底面平行，侧棱延长后交于一点． 3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1解析：选C.根据棱台是由棱锥截成的进行判断．选项A 中A 1B 1AB ≠B 1C 1BC ，故A 不正确；选项B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC ，故B 不正确；选项C 中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC，故C 正确；选项D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( ) A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥D ．六棱锥解析：选D.由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )解析：选C.C 中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱． 6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)． 答案：4 87．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱． 解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱． 答案：5 6 98．在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为__________．(填序号)解析：由于③④中的图组不成四面体，只有①②可以．答案：①②9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．10．画出如图所示的几何体的表面展开图．解：表面展开图如图所示：(答案不唯一)[B能力提升]11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线()A．20条B．15条C．12条D．10条解析：选D.如图，在五棱柱ABCDE A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共有2×5＝10(条)．12．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()A．至多有一个是直角三角形B．至多有两个是直角三角形C．可能都是直角三角形D．必然都是非直角三角形解析：选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所示的长方体中，三棱锥AA1C1D1的三个侧面都是直角三角形．13．长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．解析：结合长方体的三种展开图不难求得AC1的长分别是：32，25，26，显然最小值是3 2.答案：3 214．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1FCC1E和棱柱ABF A1DCED1.[C拓展探究]15．如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，试着讨论水面和水的形状．解：(1)不对，水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征考点学习目标核心素养圆柱、圆锥、圆台、球的概念理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体直观想象简单组合体的结构特征了解简单组合体的概念和基本形式直观想象旋转体中的计算问题会根据旋转体的几何体特征进行相关运算直观想象、数学运算问题导学预习教材P101－P104的内容，思考以下问题：1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征(1)圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边柱体：圆柱和棱柱统称为柱体■名师点拨(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示．(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．(2)圆锥的结构特征定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边锥体：圆锥和棱锥统称为锥体(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示．(3)圆台的结构特征定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分图示及相关概念轴：圆锥的轴底面：圆锥的底面和截面侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体：圆台和棱台统称为台体■名师点拨(1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示．(4)球的结构特征定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图示及相关概念球心：半圆的圆心半径：半圆的半径直径：半圆的直径■名师点拨(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝R2－d2.2．简单组合体(1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)两种构成形式①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．()(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．()(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．()(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√下列几何体中不是旋转体的是()解析：选D.由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体．过圆锥的轴作截面，则截面形状一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案：B可以旋转得到如图的图形的是()解析：选A.题图所示几何体上面是圆锥，下面是圆台，故平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成．指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．解：①是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的；②是由一个圆柱和两个圆台组合而成的；③是由一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的．圆柱、圆锥、圆台、球的概念(1)给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．(2)给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确说法的序号是________．【解析】(1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．【答案】(1)①②(2)①④(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．判断下列各命题是否正确．(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解：(1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(2)正确．(3)错误．应为球面．简单组合体的结构特征如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】 A[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．解：(1)以AB 边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．(2)以BC 边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．(3)以CD 边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示．(4)以AD 边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．旋转体中的计算问题如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长．【解】 设圆台的母线长为l cm ，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm ，4r cm.过轴SO 作截面，如图所示，则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. 所以SA ′SA ＝O ′A ′OA ，所以33＋l ＝r 4r ＝14.解得l ＝9，即圆台O ′O 的母线长为9 cm.解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．。
【北师大版】初三数学上册《【学案】简单几何体的三视图》
简单几何体的三视图
学习要求;
学会画简单几何体的三视图
学会通过三视图判断并画出几何体
课堂学习检测
1．一几何体的三视图如图，那么这个几何体是______．
2.如图所示的正四棱锥的俯视图是( )
3．如图，四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体其中有三个几何体的某一种视图都是同一种几何图形，则别外一个几何体是( )
4．如图，粗线表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝，请画出该正方体的三视图．
5．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如右上图所示，这个几何体最多可以由______个这样的正方体组成．
6.．某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图的尺寸计算其表面积和体积．。
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1 简单几何体学案（含答案）
1简单几何体学习目标
1.理解旋转体与多面体的概念.
2.掌握球.圆柱.圆锥.圆台的结构特征.
3.掌握棱柱.棱锥.棱台的基本性质知识点一旋转体与多面体旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体多面体把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体思考构成空间几何体的基本元素是什么常见的几何体可以分成哪几类答案构成空间几何体的基本元素是点.线.面常见几何体可以分为多面体和旋转体知识点二常见的旋转体及概念名称图形及表示定义相关概念球记作球O球面以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面球体球面所围成的几何体叫作球体，简称球球心半圆的圆心球的半径连接球心和球面上任意一点的线段.球的直径连接球面上两点并且过球心的线段圆柱记作圆柱OO以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱高在旋转轴上这条边的长度.底面垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面.侧面不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面.母线不垂直于旋转轴的边，无论转到什么位置都叫作侧面的母线圆锥记作圆锥OO以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥圆台记作圆台OO以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，
其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台特别提醒1经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面2圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点思考以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180所得的旋转体是圆锥吗答案不是以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥知识点三常见的多面体及相关概念1棱柱1定义要点两个面互相平行；其余各面都是四边形；每相邻两个四边形的公共边都互相平行2相关概念底面两个互相平行的面侧面除底面外的其余各面侧棱相邻两个侧面的公共边顶点底面多边形与侧面的公共顶点3记法如三棱柱ABCA1B1C
1.4分类及特殊棱柱按底面多边形的边数分，有三棱柱.四棱柱.五棱柱..直棱柱侧棱垂直于底面的棱柱正棱柱底面是正多边形的直棱柱2棱锥1定义要点有一个面是多边形；其余各面是三角形；这些三角形有一个公共顶点2相关概念底面除去棱锥的侧面余下的那个多边形侧面除底面外的其余三角形面侧棱相邻两个侧面的公共边顶点侧面的公共顶点3记法如三棱锥SAB
C.4分类及特殊棱锥按底面多边形的边数分，有三棱锥.四棱锥.五棱锥.，正棱锥底面是正多边形，且各侧面全等的棱锥3棱台1定义要点用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分2相关概念上底面原棱锥的截面下底面原棱锥的底
面侧棱相邻的侧面的公共边顶点侧面与底面的公共顶点3记法如三棱台ABCA1B1C
1.4分类及特殊棱台按底面多边形的边数分，有三棱台.四棱台.五棱台.，正棱台由正棱锥截得的棱台思考观察下列多面体，试指明其类别答案1五棱柱；2四棱锥；3三棱台1棱柱的侧面都是平行四边形2有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥3直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥4半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球题型一旋转体的概念例1下列说法正确的是________填序号以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱.圆锥.圆台的底面都是圆；以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面考点简单几何体的结构特征题点简单旋转体的结构特征答案解析以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；它们的底面为圆面；正确反思感悟1
判断简单旋转体结构特征的方法明确由哪个平面图形旋转而成明确旋转轴是哪条直线2简单旋转体的轴截面及其应用简单旋转体的轴截面中有底面半径.母线.高等体现简单旋转体结构特征的关键量在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想跟踪训练1下列说法圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个；用任意一个平面去截圆锥得到的截面一
定是一个圆面；圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；球的半径是球心与球面上任意一点的连线段其中正确的个数为A0B1C2D3考点简单几何体的结构特征题点简单旋转体的结构特征答案C解析错误，截面可能是一个三角形；错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；正确故选
C.题型二多面体及其简单应用例21下列关于多面体的说法正确的个数为________所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；棱台的侧面一定不会是平行四边形；底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；棱柱的每一个面都不会是三角形考点简单几何体的结构特征题点多面体的结构特征答案3解析中两个四棱柱放在一起，如图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱故错；中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，正确；根据棱锥的概念知，正确；根据棱台的概念知，正确；棱柱的底面可以是三角形，故错正确的个数为
3.2如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点这个长方体是棱柱吗如果是，是几棱柱为什么用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由考点简单几何体题点简单几何体结构判断解长方体是棱柱，是四棱柱因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义用平
面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1MCC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1DCND
1.引申探究若用一个平面去截本例2中的四棱柱，能截出三棱锥吗解如图，几何体BA1B1C1就是三棱锥反思感悟1 棱柱的识别方法两个面互相平行其余各面都是四边形每相邻两个四边形的公共边都互相平行2棱锥的识别方法有一个面是多边形其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点对几类特殊棱锥的认识三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体它的每一个面都可以作为底面各棱都相等的三棱锥称为正四面体正棱锥有以下性质侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直3棱台的识别方法上.下底面互相平行各侧棱延长交于一点跟踪训练2下列说法正确的是A有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台B两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱C 棱锥的侧面可以是四边形D棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面考点简单几何体题点简单几何体结构应用答案B解析A 中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确；B正确；C中棱锥的侧
面一定是三角形，故C不正确；D中棱柱的侧面也可能平行，故D 不正确圆柱侧面展开图的应用典例如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形矩形，如图所示，连接AB，则AB即为蚂蚁爬行的最短距离AA为底面圆的周长，AA2
12.又ABAB2，AB2，即蚂蚁爬行的最短距离为
2.素养评析1求几何体表面上两点间的最小距离的步骤将几何体沿着某棱母线剪开后展开，画出其侧面展开图；将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；结合已知条件求得结果2解决此类问题需要将空间图形转化为平面图形，也就是借助空间形式认识事物的位置关系.形态.变化等，同时，要理解运算对象，探究运算思路，所以本题体现了直观想象与数学运算的数学核心素养.1下列几何体中棱柱有A5个B4个C3个D2个考点简单几何体题点简单几何体结构判断答案D解析由棱柱的定义知，为棱柱2关于下列几何体，说法正确的是A图是圆柱B图和图是圆锥C图和图是圆台D图是圆台考点简单几何体题点简单几何体结构判断答案D解析由旋转体的结构特征知，D正确3下面有关棱台说法中，正确的是A上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B棱台的所有侧面都是梯形C棱台的侧棱长必相等D棱台的上下底面可能不是相似图形考点棱台的结构特征题点棱台的结构特征的应用答案B解析由棱台的结构特征知，B正确4等腰三角形
ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是A圆台B圆锥C圆柱D球考点简单旋转体的结构特征题点旋转体的结构特征答案B解析中线ADBC，左右两侧对称，旋转体为圆锥5用长和宽分别为3和的矩形纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径为________答案或解析当以矩形的长或宽分别做底面时，半径分别为或.1圆柱.圆锥.圆台的关系如图所示2棱柱.棱锥.棱台定义的关注点1棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可有两个平面底面互相平行；其余各面侧面每相邻两个面的公共边侧棱都互相平行2棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可有一个面底面是多边形；其余各面侧面是有一个公共顶点的三角形3用一水平平面截棱锥可得到棱台。