专题四 曲线运动和万有引力定律(教辅图书《新思路》第四章,附第一章到第四章的答案)

专题四曲线运动和万有引力定律一、知识梳理

说明：

1．对于平抛运动，除了熟练掌握其运动规律外，还要重视平抛实验中根据轨迹求平抛初速度的方法.（Ⅱ）

2．对于圆周运动，熟练分析向心力的来源并熟练掌握其运动规律.（Ⅱ）

3．万有引力定律，侧重于卫星问题，紧紧把握住万有引力是卫星做圆周运动的向心力，同时注意区分环绕问题和变轨问题. （Ⅱ）

二、技能探究

1．例题讲解

**精例1：小船在d =200m 宽的河中横渡，水流速度是2m/s ，船在静水中的航行速度为4m/s ，求：

（1）小船渡河的最短时间？

（2）要使小船航程最短，又应该如何航行？

问题1：当水流速度为零，即该船在静水中航行时，它的运动情况如何？

答：由于在静水中，水对船的航行不会产生影响.因此船的航行情况由它相对于静水的航行速度船v ＝4m/s 决定，船v 的方向（即船头的方向）就是船实际运动的方向，其速度大小就是4m/s.如图4－1所示.

问题2：当水流速度不为零，而船在静水中的航行速度＝0时，它的运动情况又如何？

答：由于水在流动，即使船“自身不动”，即船在静水中的航行速度船v ＝0，该船也不会保持静止，它仍然会被流水向下游方向冲走，在岸边的观察者看来，船将以水流速度往下游方向移动. 如图4－2所示.

问题3：当水流速度不为零，船在静水中的航行速度也不为零时，它的运动情况又如何？ 答：此时船同时参与两个运动：一个是船本身航行的运动，其速度为船在静水中的航行速度船v ；另一个是被水冲往下游的运动，其速度为水v .岸边的观察者看到的船的实际运动是这两个运动的合运动，而不是其中的任一个分运动.其实际速度（即合速度）是船v 和水v 的矢量和. 如图4－3所示.

问题4：问题3中船的实际运动方向与船头的方向一致吗？ 答：多数情况下都不一致.如图4-3所示.

问题5：问题3中根据运动的合成与分解，可不可以再把船速船v 分解呢？

答：可以.如可以把船速船v 分解到平行于河岸方向（//v ）和垂直于河岸方向（⊥v ）.

图4－

1 0

=船v 图4－2

图4－3

此时船的实际运动可看成三个分运动的合成. 如图4－4所示.

问题6：怎样调整船头方向，才能使渡河的时间最短？

答：由于河岸宽度一定，因此只要垂直于河岸方向的分运动速度取最大即可.显然，当船头垂直于河岸时，垂直河岸方向的分速度最大，渡河时间最短，其最短时间为s v d t 50==

船

.如图4－5所示.

问题7：船过河时航程最短指的是什么？理想情况下的最短航程是多少？ 答：指实际运动（即合运动）的路程最短.理想情况下的最短航程就是河岸宽度. 问题8：怎样才能使航程最短呢？

答：应该使实际运动（合运动）的方向垂直于河岸的方向.这就要求船头方向（即船速船

v 的方向）朝上游方向倾斜.如图4－6所示.或者让船速的平行于河岸方向的速度分量（//v ）等于水速水v ，即水船v v v ==αcos //.本题中，5.04

2cos ＝＝船

水v v =α，即030=α.如图4

－7所示.

问题9：船要能垂直于河岸渡河需要满足一定的前提条件吗？ 答：显然需满足水船v v v ==αcos //，即船速船v 大于水速水v . 问题10：若船速船v 小于水速水v ，怎样才能使航程最短呢？

答：应该使实际运动（合运动）的方向尽量靠近垂直于河岸的方向，如图4-8所示，即θ越小越好.怎样讨论这个问题呢？其实用矢量合成的三角形法则最好，平移矢量船v ，使船

v 和水v 首尾相接于点P ，如图4-9所示.为了讨论何种情况下θ取最小，我们可以以P 点为圆

水船v //

v 图4

－4 水

v 船v 合

v 图4－5

水

船v 图4－6

//

v =水船

v //v 图4－7

心，船v 大小为半径画圆，船v 矢量以P 点为圆心转动，即表示船v 可取的若干种可能方向，而合运动速度合v 方向的可能性自然一目了然. 如图4－10所示.显然当合运动速度合v 方向与圆弧相切时θ取最小，即航程最短.此时，船速与上游河岸的夹角水

船v v =αcos .如图4－

11所示.

*精例2：如图4－12所示，站在岸上的人通过跨过定滑轮的不可伸长的绳子拉动停在平静湖面上的小船，若人拉着自由端Q 以水平速度0v 匀速向左前进，试分析图示位置时船水平向左的运动速度v .

问题1：在相同时间内，滑轮左侧绳子水平部分伸长量与滑轮右侧倾斜部分缩短量是否相等？

答：由于绳子不可伸长，因此相等. 问题2：绳子拴在船头的端点P 沿绳子方向“缩短”的速度等于自由端Q 前进的速度吗？ 答：由问题1，它们显然相等，即端点P 沿绳子方向“缩短”的速度为0v .

问题3：在一段时间t ∆内，自由端Q 前进的位移与船前进的位移相等吗？ 答：如图所示，小船前进到图中虚线位置，绳子拴在船头的端点P 到达P '位置，以O P '为半径画圆交OP 于P ''，显然P P ''等于自由端Q 前进的距离，而船前进的距离P P '与P P '

'并不相等. 如图4－13所示.在t ∆很小且趋于零的情况下，0

90≈'''∠P P P ，则

θc o s P P P P '=''.所以，在一段时间t ∆内，自由端Q 前进的位移小于船前进的位移，即自

水

船

v 图4－8

水

v 图4－9

图4－10

v 图4－11

图4－12

由端Q 前进的速度小于船前进靠岸的速度.

问题4：如图4－15所示.把端点P 沿绳子方向“缩短”的速度0v 分解到水平方向和竖直方向，水平分量就是船靠岸的速度吗？

答：不是.因为，通过问题3的分析可知，船靠岸的速度应该大于0v .而如果如图所示分解的话，θcos 0v v = 反而是船靠岸的速度应该小于0v .

问题5：由于船不断靠岸，端点P 不断左移，使得绳子的倾斜部分发生了哪些变化呢？ 答：倾斜部分一方面沿绳子方向不断缩短；另一方面与竖直方向的夹角越来越小，即以O 点为轴顺时针摆动.因此绳子端点从P 到达P '的过程，可以这样来看：先沿绳子缩短到P ''，在垂直于绳子从P ''摆动到P '.

问题6：绳子端点P 的运动可看成哪几个运动的合成？哪个是合运动？哪些是分运动？ 答：岸边的观察者实际看到的端点P 的运动应该是水平向左靠近岸边的运动，这就是合运动.由问题5的分析可知，这个运动可以看出沿绳子方向的收缩的分运动和垂直与绳子摆动的分运动的合成.

问题7：怎样分解端点P 的合运动（实际运动）呢？ 答：分解如图4－15所示.即：θ

cos 0v v =

问题8：问题3中分析的结果与问题7中分析的结果一致吗？

答：问题3中分析到，在t ∆很小且趋于零的情况下，θcos P P P P '=''

而t

P P v ∆'=

t

P P v ∆''=

θcos 0v v =∴ 即θ

cos 0v v =

因此问题3与问题7中分析的结果是一致的.

图4－13

图4－14