群的定义

第 5 讲

第二章群论

§1 群的定义（2课时）

本讲教学目的和要求：群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础。变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论（Galois,E[法] 1811—1832）的基础。

在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。本讲的教学里要求学生对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。

本讲的重点和难点：由于本讲知识群论的最基本部分，照理不该出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意：

（1）半群，幺半群和群的关系.

（2）本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路.

（3）群的阶和群中元素的阶.

本讲的教法和教具：使用多媒体教室中的教学设备，并鼓励学生参与

教学活动。

说明：本章教学活动中群的代数运算“ ”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）

一、 半群

定义 1. 设G 为任一非空集合，G 上定义了一个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，即)()(,,,c b a c b a G c b a =∈∀，那么代数体系},{ G 叫做是一个半群.

注：（1）乘法“ ”的表达形式上，以后都用“ab ”来替代“b a ”.

（2）在不发生混淆的前提下，半群},{ G 可简记为G .

定义2. 设},{ G 是一个半群，那么

∙如果乘法“ ”满足交换律，则称},{ G 为可换半群.

∙如果G 是有限集，则称},{ G 为有限半群.

例1、},{},,{⋅+Z Z 都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。（但不是有限半群）

同理：},{},,{⋅+Q Q ，},,{},,{},,{},,{},,{},,}{,{⋅⋅+⋅⋅+⋅∙

∙∙C C C R R R Q

},{},,{},,{},,{+⋅⋅+∙∙N N N N 都是可换半群。 例2． 取F 为任一数域，)(F M n 为F 上一切n 阶方阵组成的集合。若“+”和“·”均为通常矩阵的加法和乘法，那么}),({+F M n 和}),({⋅F M n 均为半群，但}),({+F M n 为可换半群，而当1>n 时，}),({⋅F M n 不是可换半群。

若)(F M ∙表示一切非零矩阵（n 阶）组成的集合，那么},)({+∙

F M n 和 },)({⋅∙F M n 都不是半群了（为什么？） 例3、设}4,3,2,1{=A ，而A A P S —)(=的全部子集构成的集合，通常叫做A 的幂集。那么},{ S 及},{ S 都是有限可换半群。

二、monoid （幺半群）

定义3、设},{ A 是一个代数体系，如果A 中存在一个特殊的元素，具有性质：A a ∈∀都有a ae ea ==，那么称e 为A 的关于“ ”的单位元（恒等元）。

结论1：若},{ A 中有单位元e ，那么单位元一定是唯一的.

证明：设21,e e 都是A 的单位元，2211e e e e ==⇒.

定义4：设},{ G 是一个半群，如果G 中含有单位元e ，那么称},{ G 为monoid ，通常写为},,{e G .

例4 在例1中，*N C Q Z ,,,关于“+”都是monoid ，因为有单位元0；而关于“·”也是monoid ，因为1是单位元。

在例2中，},)({+F M n 的单位元是0（零矩阵），而}),({⋅F M n 的单位元为I （单位矩阵）.

在例3中，},{ S 的单位元是S ，},{ S 的单位元是∅.

思考题：能否举出一个是半群但不是monoid 的例子？

三、群

定义5：设},,{e G 是一个monoid ，如果对G a ∈，满足：

e a a a a G a ='='∈'∃使,，那么称a '是a 的逆元（正则元）。

结论2：若a 在monoid },,{e G 中有逆元，那这个逆元是唯一的，所以，

可以将a 的逆元同意记为1-a .

证明：设a a ''',都是a 的逆元，那么e a a a a e a a a a =''=''='='且,，于是

a e a a a a a a a a e a ''=''='''='''='=')()(.

定义6：（群的定义）设},,{e G 是一个monoid ，如果},,{e G 中每个元素都有逆元，则称},,{e G 是一个群。

说的更具体一点：G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：

（1） “ ”在G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算）

（2） “ ”满足结合律 (即},{ G 是半群)

（3） },{ G 中有单位元e ，（即},{ G 是monoid ）

（4） },{ G 中每个元都有逆元（即},{ G 是群）

课堂训练：由群的定义，判断下列代数体系中哪些是群？为什么？ 1、},{+Z 2、},{⋅Z 3、},{+Q 4、},{⋅Q 5、},{⋅∙Q 6、},{+R 7、},{⋅R 8、},{⋅∙R 9、},{+C 10、},{⋅C 11、},{⋅∙C 12、},{+N 13、},{⋅N 14、},{+*N 15、},{⋅*N 16、}),({+F M n 17、}),({⋅F M n 18、},)({⋅∙

F M n 19、},{ S 20、},{ S

解：1是群. 因为},{+Z 有单位元0（即=e 0），而n Z n ,∈∀的逆元为n -， 因为0)()(=+-=-+n n n n . （譬如3的逆元为-3，…）同理3,6,9,14,16都是群. 2不是群. 因为},{⋅Z 有单位元1，而Z ∈0，0不可能有逆元（100≠=a ）