群的定义
你理解何为“群”？
你理解何为“群”？一、群的定义与特征群，简单来说，是由一群人组成的特定集合。
这里的人可以具有相同的兴趣、目标、职责等共同点。
群可以是临时的也可以是长期的，可以是小规模的也可以是大规模的。
群在人类社会中起着重要的作用，是人们沟通、交流和合作的重要载体。
1. 群的定义群是由一群人组成的集合体，人们通过共同的利益、目标、身份或活动等因素而聚集在一起。
2. 群的特征（1）成员互动：群是由成员之间的相互交流、合作和互动构成的，在群中成员之间会形成互相影响和互相促进的关系。
（2）共同目标：群的成员通常会有共同的目标或利益，群的存在和运作都是为了实现这些目标。
（3）归属感强：在群中，成员会形成一种归属感，感受到群体的温暖与共同体验，这种归属感可以激发成员的参与度和凝聚力。
二、群的类型与功能群的形式与功能多种多样，不同类型的群在各自领域中发挥着不同的作用。
下面列举了几种常见的群类型及其功能。
1. 工作群工作群是指在工作场所中因共同的职责、任务或岗位而聚集的群体。
工作群的主要功能是促进信息流动、提高协作效率和共享资源，通过合作完成共同的工作目标。
2. 兴趣群兴趣群是由具有相同兴趣爱好的人组成的群体。
兴趣群的主要功能是提供成员间的交流和互动平台，共享知识经验、分享兴趣爱好，以及组织相应的活动和聚会。
3. 社交群社交群是指在社交场合或社交网络中形成的群体。
社交群的主要功能是促进人际交往、增加社交圈子、建立社会关系等。
社交群在职场、朋友圈等不同场合中都有所存在。
4. 家庭群家庭群是指家庭成员之间形成的群体。
家庭群的主要功能是促进家庭成员间的沟通和互动，传递家庭价值观念、传统文化等，以及提供相互支持和依赖。
5. 社群社群是指具有相同特征或身份的人所构成的群体，例如同一个行业的从业人员、同一个地区的居民等。
社群的功能包括资源共享、信息传递、集体行动等，在维护成员利益和实现共同目标中发挥着重要作用。
三、群的影响与作用群对个体和社会的影响非常深远，它既可以给人们带来积极的作用，也可能带来一些负面的影响。
群的概念和定义怎么写
群的概念和定义怎么写群的概念和定义群是指由两个或两个以上的个体组成的一个集合体，集体中的每个个体被称为群成员。
群可以是自然形成的，也可以是人为组织的。
群的成员之间可以有相互关系，共享共同的目标或兴趣，并通过不同的交流方式进行互动和合作。
群的定义可以从不同的角度进行解释。
从社会学角度看，群是一个由指定规则和共同目标构成的社会集体。
群对个体成员的影响和影响力具有显著的特点，群成员之间通过社会交往和协作来实现共同的目标。
从心理学角度看，群是一个成员之间建立互动和关联的社会单位。
群对个体成员的认知、情感和行为都会产生重要影响。
群有许多不同的类型和形式，可以根据成员的特点、关系和目标进行分类。
例如，家庭是一种很常见的群，由父母和子女组成，共同生活和分享责任。
工作团队是另一种群类型，由成员共同合作完成一项任务或项目。
社交团体如俱乐部、兴趣小组等也是一种常见的群形式，成员之间通过共同的兴趣爱好来建立联系。
群的形成和维持通常涉及着各种因素。
个体之间的相似性、共同目标、相互依赖和地理接近等都有助于群的形成。
同时，共同的价值观、规范和群体认同感也是维持群的重要因素。
群内的社交互动和沟通是维持群功能的重要手段，群成员之间的合作和互助是群内关系的重要基础。
群对个体成员的作用和影响是多方面的。
首先，群为个体提供了社会支持和情感上的满足。
在群内，个体可以找到共鸣、理解和归属感，有助于提高个体的幸福感和满意度。
其次，群为个体提供了学习和发展的机会。
通过与群内其他成员的交流和合作，个体可以学习新知识、技能和经验，并在协作中不断提高自身能力。
此外，群还提供了社会认同的机会，个体可以在群内找到自身在社会中的位置和身份认同。
然而，群也存在一些问题和挑战。
例如，群内可能存在权力关系和冲突。
不同个体之间的权力和利益分配可能会导致群内的竞争和不协调。
此外，群内可能存在压力和压力来源，例如群体期望和规范的压力。
某些成员可能会感到被动或不自由，并对群体中的规则和期望感到不满。
13代数系统-群11-30
4、元素的阶 定义11．7 设G是群，a ∈ G，使得等式: ak=e
成立的最小正整数是称为d的阶(a的周期）， 记作 ｜a｜ =k 这时也称a为k阶元 若不存在这样的正整数k，则称a为无限阶元
5、元素幂的性质 定理11．1 设G为群 则G中的幂运算满足：
(1)∀a∈G ，(a-1)-1 = a (2)∀a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1 (3)∀a∈G anam=an+m n,m∈Z (4)∀a∈G (an)m=anm n,m∈Z (5)若G为交换群，则 (ab)n=anbn
例：<Z,+>中由 <2>所生成的子 群
为<{2k| k ∈Z },+>
在<Z6,+6>中由 <2>所生成的子 群
因为 20=0,21=2,22=4,23=0
<2>=<{0,2,4},+6 >
◦e a ee a aa e bb c cc b
bc bc cb ea ae
在klein四元群中 <e> ={e} <a> = {a,e } <b> = {b,e } <c> = {c,e }
设G为群，H是G的非空子集．H是G 的子群当且仅当下面的条件成立： 1） ∀a,b∈H 有 ab ∈H （运算封闭)
2) ∀a∈H 有 a-1 ∈H (存在逆元)
充分性：只要证明e ∈H 即可
2、定理10．5(判定定理二) 设G为群，H是G的非空子集． 则H是G的子群当且仅当 ∀a,b∈H 有 ab-1 ∈H
与a的阶为2矛盾 所以 |ab|=6
§ 10．2 子群与群的陪集分解 例：求G=<Z4,+4>的所有子群
群的基本概念和性质
群的基本概念和性质数学中的一个重要结构是群，它是一种代数结构，可以用来描述对象之间的对称性和变换，以及它们之间的关系。
群是数学家们在研究几何、物理、化学等领域中发现的一种普遍存在的数学结构，具有广泛的应用价值。
一、群的定义群是一个集合G和一种操作“*”的代数结构，满足以下四个条件：1.封闭性：对于任意a和b属于G，a*b也属于G。
2.结合性：对于任意a、b和c属于G，(a*b)*c=a*(b*c)。
3.单位元：存在一个元素e属于G，满足对于任意a属于G，a*e=e*a=a。
4.逆元：对于任意a属于G，存在一个元素b属于G，满足a*b=b*a=e。
如果一个集合和它上面的运算满足以上四个条件，那么它就是一个群。
二、群的例子1.整数群整数集合Z构成了一个群，加法作为群操作符号。
整数集满足封闭性、结合性、单位元是0，逆元是-a。
2.置换群置换是一种把集合映射到自身的变换。
所有置换组成的集合构成了一个群，置换的乘法作为群的操作符号。
置换群的中心思想是通过变换得到更多结构的信息。
三、群的性质1.唯一性：给定一个群，它必须具有惟一的操作和单位元。
2.同态性：两个群h和g之间的函数f如若满足：（1） f(a* b)= f(a)* f(b)，(2)对于所有的a∈g, f(a)∈h,那f就是从h到g群的同态。
3.子群：一个群的子集，如果它自己也构成了一个群，那么它就是一个子群。
4.阶：一个群G的阶是指它包含的元素数量。
5.交换性：如果一个群的元素满足交换律，它就是一个交换群，也称为abelian群。
四、群的应用群的应用领域非常广泛，包括几何、物理、化学、密码学等。
在几何学中，群用于描述对象的对称性和变换，例如对称群是描述几何体对称性的群。
在物理学中，群被用于描述物理现象的对称性和变换，例如它可以用于描述粒子对称性和电磁场的对称性。
在化学中，群被用于描述分子的对称性。
在密码学中，群被用于构建公钥密码体制。
总的来说，群是一种非常有用的数学结构，它在科学、工程、计算机科学等领域都有着广泛而重要的应用。
关于群的定义的一点注记
关于群的定义的一点注记
群是指一组拥有相同或相近的目标或兴趣的人员组成的社会结构。
这种结构可以是临
时性的，但也可以是持久性的，并有可能持续几个世纪。
这种群体的社会结构可以利用这
些人们共同追求的某种目标，比如信仰、政治或科学理论的合作，来提高彼此的生活质量。
群体的关系通常是从一致性，通过识别互相的价值观，到共同的最终目标的方式发展的。
群体可以根据其所要达到的目标而分成几种不同类型，如宗教群体、犯罪组织、慈善
机构、教育机构等。
这些群体类型拥有不同的组织结构、利益关系和任务组织，并且有它
们各自的规则和运作方式。
人们在群体中可以获得社会支持、获得良好的情感，从而获得心理上的支撑。
群体的
力量更强大，也更加有效，这也意味着它可以增加对某些特定事务的重视程度。
另外，群体也可以利用社会网络的影响来达到目标，使通过互动的过程更有效地间接
影响某一行为或态度。
通过了解不同社会群体的影响，可以更容易地实现某些社会变革。
此外，群体也可以使用相似的行为模式和规范来促进共同的目标，并促进社会发展。
这些行为模式可以从看不到的文化传统、言论、价值观和行为模式中找到，从而形成传播
和使用的特定模式。
总之，群体是一种社会结构，它将人们以共享思想感情和共同追求的目标的方式聚集
在一起，可以通过建立团体的共同价值观和行为模式来实现共同的目标，有助于提高各自
的生活质量，增强社会影响力，促进社会发展。
近世代数--群的概念
所以结合律成立．
(3) 对任意的 a,b Zm ,
a b a b b a b a,
所以交换律成立．
(4) 对任意的 a Zm ，
a 0 a 0 a,
且
0 a 0 a a,
的代表元的选取无关即可．设
a a ', b b ',
则
m | a a ', m | b b '.
于是 m | (a a ') (b b ') (a b) (a ' b '),
m | (a a ')b (b b ')a ' (ab) (a 'b ').
从而
a b a ' b ', ab a 'b'. 所以+与 都是Zm上的代数运算.
的逆元记作 a, 并称a为 a 的负元．
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的 结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地, 将 不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法， 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
a b b a e. 则称 G关于运算“ ”构成一个群（group），记作 (G,) ．在不致引起混淆的情况下, 也G称为群．
注 1．(G2)中的元素 e 称为群 G的单位元
（unit element）或恒等元（identity）；
17+代数学基础(1)群和子群的基本概念
记为 a ∈ G 。
i
注释： 注释：
（1）a ∈ G 只是将 a 与自身做 i − 1 次群运算的结果， 整数 i 和 a 之间
i
的“运算”并不是群运算。 （2）一些群习惯上写成加法群，例如（Zn， +(mod n)） 对于这些群，a 。 就是 i
i
⋅ a ，但简化写法中的“点”并不是群运算，整数 i 也不一定
群元素的阶
定义 5.9 群元素的阶 令 G 是一群， 任意 a ∈ G ， 称满足 a i = e 的 最小正整数 i ∈ N 为元素 a 的阶，记为 ord (a ) 。如果不存在这样的 整数 i ，则称 a 的阶是无限的。
当一个元素g的阶 的阶ord(g)有限时，如果有 n =e成立，则必有 有限时， 成立， 注：当一个元素 的阶 有限时 如果有g 成立 ord(g)|n，即n一定是 ， 一定是ord(g)的倍数 的倍数。 一定是 的倍数
.
2． ∀ a, b, c ∈ G ，有 ( a o b) o c = a o (b o c )
3．存在唯一的元素 e ∈ G ，使得对于任意 a ∈ G ，都有 a o e = e o a = a ，元 素 e 称为单位元 （单位元） （可逆性）
−1 −1 4． ∀ a ∈ G ，存在元素 a −1 ∈ G ，使得 a o a = a o a = e
群的例子(8)
置换群 S={1,2,…,n} Sn是S上所有置换构成的集合 | Sn |=n! α, β是Sn中置换, αβ表示α和β的复合, 即αβ(x)=α(β(x)) Sn构成群, 称为n阶对称群 对称群. 对称群
置换的表示
1 2 ... n α = i i ... i n 1 2
B_6_2_6.2-群的定义
二、群
对于群，容易证明以下三个结论：
（1）单位元1是群中唯一幂等元。
（2）若群中元素个数大于1，则群中无零元。
（3）群中消去律成立。
三、群的性质
定理6.2.1 设（G,·）是一个群，则G中恰有一个元素 -1 1使得1·a=a·1=a，而且对于任意a恰有一个元素 a -1 -1 使得a·a =a ·a=1。
3 3 1 2 4
二、群
4 a 1 2 3
a a 1 2 3
1 1 2 3 a
2 2 3 a 1
3 3 a 1 2
×5
1 2 4 3
1 1 2 4 3
2 2 4 3 1
4 4 3 1 2
3 3 1 2 4
二、群
4 a 1 2 3
a a 1 2 3
1 1 2 3 a
2 2 3 a 1
3 3 a 1 2
证明： 必要性，即证：在任一群中可除条件成立。取x=b·a-1， y=a-1·b，即得x·a=b，a·y=b。故由(1)和(2)可以推出可除 条件成立。 充分性，即证：由可除条件也可以推出(1)、(2) 。为此首 先证明由可除条件推出(1)′、(2)′，进而可以推出(1)、(2)。为 此，任取c∈G，设e为可以满足等式x·c=c的x，下证e为G中 左壹。 因对于任意a∈G ，有y使c·y=a，故 e·a=e·(c·y)=(e·c)·y=c·y=a， 即(1)′成立。至于(2)′，只要令a-1为适合x·a=e的x，即得 a-1·a=e。■
4 4 3 a b
3 3 a b 4
二、群
4 a b c 3
a a b c 3
b b c 3 a
c c 3 a b
3 3 a b c
群的定义
第 5 讲第二章群论§1 群的定义（2课时）本讲教学目的和要求：群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础。
变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论（Galois,E[法] 1811—1832）的基础。
在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。
而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。
本讲的教学里要求学生对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。
教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。
本讲的重点和难点：由于本讲知识群论的最基本部分，照理不该出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意：（1）半群，幺半群和群的关系.（2）本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路.（3）群的阶和群中元素的阶.本讲的教法和教具：使用多媒体教室中的教学设备，并鼓励学生参与教学活动。
说明：本章教学活动中群的代数运算“ ”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）一、 半群定义 1. 设G 为任一非空集合，G 上定义了一个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，即)()(,,,c b a c b a G c b a =∈∀，那么代数体系},{ G 叫做是一个半群.注：（1）乘法“ ”的表达形式上，以后都用“ab ”来替代“b a ”.（2）在不发生混淆的前提下，半群},{ G 可简记为G .定义2. 设},{ G 是一个半群，那么∙如果乘法“ ”满足交换律，则称},{ G 为可换半群.∙如果G 是有限集，则称},{ G 为有限半群.例1、},{},,{⋅+Z Z 都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。
近世代数--群的概念
1 = m∏ 1 − . pi t =1
s
* 例10 具体写出 Z 5 中任意两个个元素的乘积以
及每一个元素的逆元素．易知 Z = {1 , 2. 3, 4}.
* 5
直接计算，可得 表1.2.1
1⋅1 = 1 2 ⋅1 = 2 3 ⋅1 = 3 4 ⋅1 = 4
{
}
U 的阶等于 (2) 由初等数论可知（参见[1]）， ( m)
φ ( m) 这里 φ (m) 是欧拉函数．如果
r m = p1r1 p22 L psrs ,
其中 p1 , p2 ,L, ps 为的 m 不同素因子，那么
r r φ (m) = ( p1r − p1r −1 )( p2 − p2 −1 )( psr − psr −1 )
所以1是U ( m) 的单位元．
(4) 对任意的 a ∈ U ( m), ，有( a, m) = 1 ， 由整数的性质可知，存在 u , v ∈ Z ，使au + mv = 1, 显然(u , m) = 1, 所以 u ∈ U ( m) ，且
a ⋅ u = au = au + mv = 1 , (因m | mv） u ⋅ a = ua = au = 1，
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法 加法，把运算的 加法 结果叫做和，同时称这样的群为加群 和 加群．相应地, 将 加群 不是加群的群称为乘群 乘群，并把乘群的运算叫做乘法 乘法， 乘群 乘法 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 积 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
群的作用和意义
群的作用和意义随着社交网络的发展和普及，群已经成为我们日常生活中不可或缺的一部分。
群的作用和意义也逐渐被人们认识和重视。
本文将从群的定义、群的作用、群的意义三个方面来探讨群的作用和意义。
一、群的定义群是由一组人组成的社会系统，它们在一定时间内以某种方式相互接触、相互影响，并以某种方式相互依赖。
群是一种人际关系的形式，是人们为了实现某种目标而聚集在一起的集体行为。
二、群的作用1. 社交交流群是人们进行社交交流的场所。
通过群，人们可以结交志同道合的朋友，分享彼此的经验和感受，扩大社交圈子，增进自己的人际关系。
2. 信息传递群是信息传递的重要途径。
在群中，人们可以分享各种信息，包括新闻、娱乐、科技等等。
通过群，人们可以了解到最新的资讯，增强自己的知识储备。
3. 知识共享群也是知识共享的场所。
在群中，人们可以分享自己的知识和经验，帮助他人解决问题，提高自己的学习能力。
通过群，人们可以学习到更多的知识，提高自己的素质。
4. 情感支持群是情感支持的场所。
在群中，人们可以倾诉自己的烦恼和困惑，得到他人的理解和支持。
通过群，人们可以减轻自己的心理负担，增强自己的心理健康。
5. 合作协作群也是合作协作的场所。
在群中，人们可以共同合作，实现某种目标。
通过群，人们可以互相帮助，共同进步，提高自己的工作效率。
三、群的意义1. 社会化群是社会化的表现。
通过群，人们可以与他人进行交流和互动，增加自己的社会经验，提高自己的社会适应能力。
同时，群也可以促进社会的发展和进步。
2. 情感支持群的意义也在于情感支持。
在群中，人们可以得到他人的理解和支持，减轻自己的心理负担，增强自己的心理健康。
同时，群也可以促进人际关系的和谐和稳定。
3. 价值观传递群也是价值观传递的场所。
通过群，人们可以传递和分享自己的价值观，促进价值观的传承和发展。
同时，群也可以帮助人们塑造正确的价值观，提高自己的道德水平。
4. 个人成长群的意义还在于个人成长。
通过群，人们可以学习到更多的知识和技能，提高自己的素质和能力。
群论第二章ppt
§2.1 群的概念
（3),存在单位元素 集合中存在一个单位元素或称恒等元素 (Identity Element)而且只存在一个单位元素e
e∈G
(4), 集合总任何元素的逆元素在集合中，a 的逆元 1 为 a −， 有 aa −1 = a −1a = e a −1 ∈ G a −1 是唯一的。 在一定乘法规则下满足以上四条的具有代数结构的集合称 为群。在四条中没有要求满足交换律，如果一个群其元素乘 法满足交换律称为交换群或Abel群 群元的数目称为群的阶，记为g。g为有限称为有限群。元 素无限称为无限阶群。群元可数的无限群为离散无限群，而 群元素不可数的称为连续群。
5
§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G = {1, −1} 乘法为普通数乘法，单位元素为1 = e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 v v v v v 空间矢量 r 作用 er = r ar = − r v v e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 {e, a}构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
16ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
子群, §2.2 子群 同态和同构
2. 同态与同构 定义2.3。若从群G到群F上存在一一对应的映射， 定义 且在映射中群代数结构不变，即乘法规则不变，即 G中两元素乘积的映射等于两元素映射到F的乘积， G F 称群G与群F同构。 φ g• •f 记 G ≅ F 映射称同构映射。 g • •f g •f 即 Φ ：G → F •
群、环与域的定义及其应用
群、环与域的定义及其应用群、环与域是数学中非常基础的概念，许多高级的数学理论都建立在它们的基础之上。
本文将介绍群、环与域的定义及其应用，希望能够帮助读者更好地理解这些数学概念。
一、群的定义及其应用1.1 群的定义群是一个数学结构，它由一个集合和一个二元运算组成，满足以下四个条件：1）封闭性：对于任意两个群元素a，b，它们的运算结果c也必须属于该群。
2）结合律：对于任意三个群元素a，b，c，它们的运算结果必须满足(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)。
3）存在单位元：存在一个元素e，使得对于任意一个群元素a，都有a⋅e=e⋅a=a。
4）存在逆元：对于任意一个群元素a，都存在另一个元素b，使得a⋅b=b⋅a=e。
1.2 群的应用群是数学中最基础的代数结构之一，它的研究涉及到许多领域，如物理学、化学、密码学等。
其中，群在对称性研究中的应用尤为广泛。
例如，对于一个几何图形的某种对称性操作，可以构成一个群。
通过研究这个群的结构，不仅可以更好地理解这个几何图形的性质，还能够得到更精确的计算结果。
二、环的定义及其应用2.1 环的定义环也是一个代数结构，它由一个集合和两个二元运算组成，满足以下四个条件：1）封闭性：对于任意两个环元素a，b，它们的加法a+b和乘法a×b的结果也必须属于该环。
2）加法结合律：对于任意三个环元素a，b，c，它们的加法a+(b+c)=(a+b)+c和乘法结合律a×(b×c)=(a×b)×c都成立。
3）加法交换律：对于任意两个环元素a，b，它们的加法满足a+b=b+a。
4）存在加法单位元和乘法分配律：存在一个元素0，对于任意一个环元素a，都有a+0=a和a×(b+c)=a×b+a×c。
2.2 环的应用环的应用也非常广泛，例如在计算机科学中，根据环的运算结构可以将某些数据结构分为环型和非环型。
此外，环在数论、代数学、统计学等领域的应用也非常重要。
群的定义和性质
4)∀A ∈ G ,设 BA = A, B = E ∈ G, 则 E为 G 的左单位元； 的左单位元；
1 5)∀A ∈ G,设 BA = E , B = A−∈ G, 则 A−1 为A 的左逆元； 的左逆元；
关于普通乘法作成一个群。 故 G 关于普通乘法作成一个群。
二、群的性质
1
也是它的右逆元。 群中每个元素a 的左逆元 b 也是它的右逆元。 逆元。 以后记 a 为 a 的逆元。
−1
2
群的左单位元 e 也是群的右单位元。 也是群的右单位元。 单位元。 以后记e 为群G 的单位元。
3
群的单位元和每个元素的逆元惟一。 群的单位元和每个元素的逆元惟一。
三、群的分类
G 证明： 例2 设 G = {g}，定义 g o g = g ，证明： 对其运 作成一个群。 算作成一个群。 证明： 证明： ）因 ∈ G ，故 非空 g G 1 ； g o g = g ∈ G ，故 o 为G 的代数运算； 的代数运算 运算； 2）由于
3 ）因 ( g o g ) o g = g o g = g , g o ( g o g ) = g o g = g , 故 ( g o g ) o g = g o ( g o g ). 4）因 g o g = g ，故 G 的左单位元是 g ； 5）因 g o g = g ，故 g 的左逆元是 g ； 对其运算作成一个群。 故 G 对其运算作成一个群。
例1 令 Mn (F ) 表示数域 F 上全体 n 阶方阵构成 的集合， 的集合，设G = { A A ∈ M n ( F ), A ≠ 0}, 问 G 关于 矩阵的普通乘法能否作成群？ 矩阵的普通乘法能否作成群？ 解： 因 E = 1 ≠ 0, 故 E ∈ G ≠ ∅ ; 1)
群论第2章
群的同构和同态关系表明：由不同元素（对象） 和组合规律所构成的群之间存在着密切甚至等价的 关系，如果分子群G和一个矩阵M同构或同态，那么 称这些矩阵群M是分子群G的一个表示。
二阶群：
E A E A A E
E E A B A A B B
三阶群：
• 若AA＝E，
则不满足重排原理，E、A 和B不构成群。
G3 E A B
G3 E A B
E A B E A B A ? B
E E A B A A B E B B E A
x
• 当AA＝B，
满足重排原理，元素符合 群条件，其中 AA＝B, AB=AAA=E
↙左转， ↘右转， 后转 四个操练动作 立正，
形成操练群 G { ， ↙， ↘， }
乘法：两个动作连续作用
↙ ↘ ↙ ↘ ↙ ↙ ↘ ↘ ↙ ↘ ↙ ↘ ↙ ↙ ↘ ↘ ↘ ↙ ↘ ↙
2.3 子群
1. 若群H的元素包含于另一个群G中，即H G，且H是与G在同样的 组合规律下形成的群，则H群是群G的子群。
则称G群同态于G’群，计作 G∽G’
例. C3v { E ， C3 ，C32 ，σv ，σv’，σv“ } Ci { E ， i } 之间存在三对一的关系 E ， C3 ， C32 <---------> E
σv ，σv’，σv“ <---------> I
其乘积之间也满足对应关系：
C3v E C3 C32
ห้องสมุดไป่ตู้1 1 1 1 1
ｉ ｉ ｉ ｉ
1 1 1 ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ 1 1 ｉ ｉ ｉ 1 1
2. 群表的说明
①每个有限群都可以给出一 个乘法表， ②乘法表体现了群的四个性 质，可以从中了解群结构
群的定义
第八章群论初步图群论在计算机科学技术相关领域的应用概图8.1 群的定义及其性质群：单位元素、互逆元素和一个可结合运算共同构成的代数系统。
8.1 群的定义及其性质一、半群、独异点与群的定义定义8.1（1）设V=<S, ο>是代数系统，ο为二元运算，如果ο运算是可结合的，则称V为半群.•设<G, •>为一半群,那么<G, •>的任一子代数都是半群，称为<G, •>的子半群。
（2）设V=<S, ο>是半群，若e∈S是关于ο运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V记作V=<S, ο,e>.•若独异点<S, ο,e>的子代数含有幺元e，那么它必为一独异点，称为<S, ο,e>的子独异点。
（3）设V=<S, ο>是独异点，e∈S是关于ο运算的单位元，若∀a ∈S，有a-1∈S，则称V为群。
通常将群记作G.8.1 群的定义及其性质代数系统半群独异点群二元运算(封闭)+可结合+可结合+单位元+可结合+单位元+ ∀a∈S, 有a-1∈SV=<S, o>V=<S, o>V=<S, o, e>G8.1 群的定义及其性质实例1•半群<Z+, +>, <N, +>, <Z, +>, <Q, +>, <R, +>, <C, +>, 其中+为普通加法.•独异点<N, +>, <Z, +>, <Q, +>, <R, +>, <C, +>.•群<Z, +>, <Q, +>, <R, +>, <C, +>.分别称为整数加群、有理数加群、实数加群、复数加群。
8.1 群的定义及其性质实例2•半群<M n(R), +>, <M n(R), .>, 其中n是大于1的正整数.•独异点<M n(R), +>, <M n(R), .>.•群<M n(R), +>.<M n(R), .>不是群, 不是每个n阶矩阵都有乘法逆元.在此，+和.分别表示矩阵加法和矩阵乘法。
什么是群的概念
什么是群的概念群是指由一组人或物体组成的集合体。
在社会学中，群也被定义为一群个体之间相互作用并且彼此产生影响的社会单位。
群的概念在社会科学研究中具有重要意义，既可以用来研究人类社会行为，也可以用来研究自然界中的物质组织。
群具有以下几个基本特征：首先，群是由一组成员组成的，这些成员之间可以是人类个体也可以是非人类个体。
其次，群的成员之间存在相互作用，并且这些相互作用对群的发展和变化具有重要的影响。
再次，群是一个相对稳定的单位，它具有一定的组织结构和内部规则，能够在一定程度上保持自己的稳定性和一致性。
最后，群的成员之间存在某种共同目标或共同利益，他们通过协作和合作来实现这些目标或利益。
群在社会学领域的研究非常广泛，有关群的研究可以从多个层次进行：个体层面、群体层面和社会层面。
在个体层面上，群的研究主要关注个体在群体中的行为、态度和心理。
例如，研究表明，个体在群体中会受到同伴和社会规范的影响，从而改变自己的行为和态度。
在群体层面上，群的研究关注群体的组织结构、动力学和决策过程。
例如，研究表明，群体的决策过程常常受到群体智慧、群体动力和群体动态平衡等因素的影响。
在社会层面上，群的研究关注群体之间的相互作用和群体对整个社会的影响。
例如，研究表明，群体在社会变革和社会运动中发挥着重要的作用，能够改变社会的结构和秩序。
群在生物学领域的研究也非常重要，例如，在动物行为学领域，研究表明，动物往往以群体的形式生活。
群对于动物的存活、繁衍和适应环境具有重要的意义。
例如，许多动物在食物、避敌和交配等方面通过组成群体来实现自身的利益和生存需求。
在生态学领域，群体的研究可以帮助我们理解物种的种群结构和相互关系，以及生态系统的稳定性和功能。
例如，研究表明，群体中的个体之间的相互作用能够影响物种的丰富度、多样性和稳定性。
总而言之，群是由一组成员组成的集合体，具有相互作用、稳定性和共同目标或利益的重要特征。
群的研究在社会科学和生物学领域具有广泛的应用，可以帮助我们理解人类社会行为、动物行为以及自然界中物质组织的组织结构和功能。
古汉语词典中群的意思
古汉语词典中群的意思
古汉语词典中，群一词有多种意思，以下是一些常见的解释：
1. 集合、聚集：指一群人或物聚集在一起的状态或行为。
例如：“群众”、“群集”、“群山”。
2. 众多、众多的人或物：指很多的人或物聚集在一起的情况。
例如：“群星”、“群鸟”、“群雄”。
3. 团队、集体：指由若干个人组成的团体。
例如：“群体”、“群英”、“群牧”。
4. 群体、群体性质的：指具有某种特定共同特征的人或事物的集合。
例如：“群居”、“群落”、“群体心理”。
5. 一些特定的群组名称：古汉语中也有一些特定的群组名称，如“群蚁”（指一群蚂蚁）、“群蛇”（指一群蛇）、“群鹿”（指一群鹿）等。
需要注意的是，古汉语中的词义可能在不同的上下文中有所变化，因此具体的含义还需根据使用情境来确定。
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第 5 讲第二章群论§1 群的定义（2课时）本讲教学目的和要求：群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础。
变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论（Galois,E[法] 1811—1832）的基础。
在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。
而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。
本讲的教学里要求学生对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。
教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。
本讲的重点和难点：由于本讲知识群论的最基本部分，照理不该出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意：（1）半群，幺半群和群的关系.（2）本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路.（3）群的阶和群中元素的阶.本讲的教法和教具：使用多媒体教室中的教学设备，并鼓励学生参与教学活动。
说明：本章教学活动中群的代数运算“ ”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）一、 半群定义 1. 设G 为任一非空集合，G 上定义了一个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，即)()(,,,c b a c b a G c b a =∈∀，那么代数体系},{ G 叫做是一个半群.注：（1）乘法“ ”的表达形式上，以后都用“ab ”来替代“b a ”.（2）在不发生混淆的前提下，半群},{ G 可简记为G .定义2. 设},{ G 是一个半群，那么∙如果乘法“ ”满足交换律，则称},{ G 为可换半群.∙如果G 是有限集，则称},{ G 为有限半群.例1、},{},,{⋅+Z Z 都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。
（但不是有限半群）同理：},{},,{⋅+Q Q ，},,{},,{},,{},,{},,{},,}{,{⋅⋅+⋅⋅+⋅∙∙∙C C C R R R Q},{},,{},,{},,{+⋅⋅+∙∙N N N N 都是可换半群。
例2． 取F 为任一数域，)(F M n 为F 上一切n 阶方阵组成的集合。
若“+”和“·”均为通常矩阵的加法和乘法，那么}),({+F M n 和}),({⋅F M n 均为半群，但}),({+F M n 为可换半群，而当1>n 时，}),({⋅F M n 不是可换半群。
若)(F M ∙表示一切非零矩阵（n 阶）组成的集合，那么},)({+∙F M n 和 },)({⋅∙F M n 都不是半群了（为什么？） 例3、设}4,3,2,1{=A ，而A A P S —)(=的全部子集构成的集合，通常叫做A 的幂集。
那么},{ S 及},{ S 都是有限可换半群。
二、monoid （幺半群）定义3、设},{ A 是一个代数体系，如果A 中存在一个特殊的元素，具有性质：A a ∈∀都有a ae ea ==，那么称e 为A 的关于“ ”的单位元（恒等元）。
结论1：若},{ A 中有单位元e ，那么单位元一定是唯一的.证明：设21,e e 都是A 的单位元，2211e e e e ==⇒.定义4：设},{ G 是一个半群，如果G 中含有单位元e ，那么称},{ G 为monoid ，通常写为},,{e G .例4 在例1中，*N C Q Z ,,,关于“+”都是monoid ，因为有单位元0；而关于“·”也是monoid ，因为1是单位元。
在例2中，},)({+F M n 的单位元是0（零矩阵），而}),({⋅F M n 的单位元为I （单位矩阵）.在例3中，},{ S 的单位元是S ，},{ S 的单位元是∅.思考题：能否举出一个是半群但不是monoid 的例子？三、群定义5：设},,{e G 是一个monoid ，如果对G a ∈，满足：e a a a a G a ='='∈'∃使,，那么称a '是a 的逆元（正则元）。
结论2：若a 在monoid },,{e G 中有逆元，那这个逆元是唯一的，所以，可以将a 的逆元同意记为1-a .证明：设a a ''',都是a 的逆元，那么e a a a a e a a a a =''=''='='且,，于是a e a a a a a a a a e a ''=''='''='''='=')()(.定义6：（群的定义）设},,{e G 是一个monoid ，如果},,{e G 中每个元素都有逆元，则称},,{e G 是一个群。
说的更具体一点：G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：（1） “ ”在G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算）（2） “ ”满足结合律 (即},{ G 是半群)（3） },{ G 中有单位元e ，（即},{ G 是monoid ）（4） },{ G 中每个元都有逆元（即},{ G 是群）课堂训练：由群的定义，判断下列代数体系中哪些是群？为什么？ 1、},{+Z 2、},{⋅Z 3、},{+Q 4、},{⋅Q 5、},{⋅∙Q 6、},{+R 7、},{⋅R 8、},{⋅∙R 9、},{+C 10、},{⋅C 11、},{⋅∙C 12、},{+N 13、},{⋅N 14、},{+*N 15、},{⋅*N 16、}),({+F M n 17、}),({⋅F M n 18、},)({⋅∙F M n 19、},{ S 20、},{ S解：1是群. 因为},{+Z 有单位元0（即=e 0），而n Z n ,∈∀的逆元为n -， 因为0)()(=+-=-+n n n n . （譬如3的逆元为-3，…）同理3,6,9,14,16都是群. 2不是群. 因为},{⋅Z 有单位元1，而Z ∈0，0不可能有逆元（100≠=a ）同理4，7，10，15，17也不是群，而13中虽然无零，但除了1外，N 中其它元都没有逆元，所以13也不是群。
18不是群，因为若)(F M A n ∈且0=A 时，A 不可逆A ⇒没有逆元. 19不是群，因为除了∅外，其它元都没有逆元.20不是群，因为除了S 外，其它元都没有逆元.注意：在群},{ G 中，通常称“ ”为乘法，因而称群G 为乘法群。
但有时我们会遇到用“加法”做成的群，例如什么的1，3，6，9，16.这时，我们称这类群为加法群。
为此，这些群中的单位元习惯上称为零元，并统记为0，每个元的逆元习惯上叫做负元，统记为a -，（而不用1-a ）（譬如群},{+Z 中的零元为0，3的负元为-3）不过要特别提醒的是：乘法群中的乘法“ ”并不是一定都是两个数相乘，这里只是“借用”了这个词汇而已。
同理加法群中的相加，并非一定是数的相加，更多的表示“抽象加法”的含义。
一种重要的群：我们应该能回忆得起第4讲中曾出现过的模n 的剩余类集合]}1[,],2[],1[],0{[-=n Z n为了便于掌握，现令4=n ，我们期望能使4Z 成为一个群.第一步：在4Z 中定义代数运算，使其成为一个代数体系：在]}3[],2[],1[],0{[4=Z 中规定加法“+”：][}[][j i j i +=+其中 ]3[]2[]1[],1[]3[]2[=+=+事实上，可用运算表来完全刻划“+”，可知“+”是封闭的。
第二步：验证“+”满足结合律，进而使},{4+Z 成为半群。
])[]([][][])[]([])[]([][][][)]([])[(][][][])[]([,][],[],[4c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a Z c b a ++=++∴++=++=++=++=++=++∈∀则事实上， 第三步：找出},{4+Z 中的单位元（即零元），使其为monoid 事实上，]0[][]0[][]0[]0[][,][4∴=+=+=+∈∀a a a a Z a 就是},{4+Z 的零元。
第四步：说明4Z 中每个元都有逆元（即负元），使其成为群（即加法群）事实上，从运算表中就容易地找到[0]的负元是本身， []1的负元为[[]3，[]2的负元为本身，[]3的负元为[]1.由上述四步的论述知},{4+Z 就是一个加法群，叫做整数模4的剩余类加群。
一般而言：利用上述的论证，同样可以定义},{+n Z 为加群，叫做整数模n 的剩余类加群。
四、群的各类定义有人曾经说过，群的定义种类繁多，不同的定义约有40多种，在本讲中我们不可能一一罗列，但依教材的安排，介绍一些基本的东西。
按照教材中的顺序，不妨称定义6为群的第0定义，为了引入群的其它定义，需要做一些预备工作：定义7：设},{ G 是一个半群，若有一个特别地元G e L ∈，使 G a ∈∀，都有a a e L =.则称L e 为G 的左单位元.而对G a ∈，若存在G a ∈，使L e a a =，则称a 为a 的左逆元，记1-=L a a .定义8：（群的第一定义）设},{ G 是一个对“ ”封闭的半群，如果G b a ∈∀,，方程b ya b ax ==,在G 中有解，那么称G 为群.定义9（群的第二定义）设},{ G 是一个对“ ”封闭的半群，而且G 中存在左单位元L e ，且G a ∈∀，a 都有左逆元，那么G 为群。
已知},{ G 是半群，且有单位元. G 中每个元a 都有逆元. 由于单位元必是左单位元，逆元必是左逆元，故利用群的第二定义知},{ G 是群.已知},{ G 是半群，L e 是G 的左单位元，任一个a G a ,∈有左逆元1-L a ，下面须证：（1）1-L a 也是a 的右逆元：11--⇒∈L L a G a 本身也有左逆元a '，使L Le a a ='-1于是 L L L L L L L L L L L e a a a e a a a a a aa a a aa e aa ='='='='==--------11111111)()())(()(11--⇒=∴L L L a e aa 也是a 右逆元。
故111-∆--==a a a R L . （2）左单位元L e 也是右单位元：a ae a a e a aa a a a ae e aa e a a G a L L L L L =⇒====∴==∈∀----)()()1(,,,1111由则e e e R L ==∴:.这说明：G 中有单位元，每个G a ∈都有逆元1-a ，由群的第0定义知},{ G 是群.思考题：上述（2）的证明中要用到（1）的结果，能否不使用（1）也将（2）证出?[证明]：G a ∈∀ ，由条件知a 有左逆元a '，而a '又有左逆元a ''，于是 L L e a a e a a ='''=',. 进而：a a e a a a a a a e a e e a e a a a ae a a ae e ae L L L L L L L L L =='''='''=''=''='''='''==)()()())(()(的解是并的解，是则b ya ba b be a ba b ax b a b eb b a a a a e aa G b a =∴===⇒==∴==∈∀------111111)()(,,由群的第一定义⇒G 是群.取定G b ∈，由条件知b yb =在G 中有解e ，即b eb =，须证e 是G 的左单位元.事实上，G a ∈∀，故a bx =在G 中有解（条件），设解为a bc c eb bc e ea a bc c ====∴=⇒)()(，由a 的任意性⇒e 是G 的左单位元.G a ∈∀，则e ya =在G 中有解a '，使a e a a '∴=',是a 的左逆元.因为G 中有左单位元，且G 中每个元a 都有左逆元，由前面的论证可知，左单位元必是单位元，左逆元必是逆元，利用群的第0定义⇒G 是群。