高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题27 向量的数量积——数量积的投影定义-人教版高三全册数学试

专题27 向量的数量积——数量积的投影定义【热点聚焦与扩展】平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现． 1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值.（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合.所以说，投影往往伴随着垂直.（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在b 上的投影向量.2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ=（3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ=综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅或()cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：a b a b bλ→⋅=即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题【经典例题】例1.【2018届江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考】设向量a ， b 满足2a =， 1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +方向上的投影为（ ） A. 1 B. 1- C. 12- D. 12【答案】D设向量b 和向量2a b +的夹角为θ，则向量b 在向量2a b +方向上的投影为()()221cos 222b a b b a b b b b a ba bθ⋅+⋅+=⋅==⋅++．选D ．例2.【2018届福建省闽侯县第八中学高三上期末】已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为（ ）A. 3B. 3C. 3-D. 3- 【答案】B例3.【2018届云南省曲靖市第一中学高三上监测卷（四）】已知单位向量1e 与2e 的夹角为3π，则向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为（ ）x.kw A. 12-B. 12C. 714-D. 714【答案】A【解析】∵单位向量1e 与2e 的夹角为3π∴111cos 32e e π⋅==∴()212121e e e e -=-=，∴ 向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为： ()()()()12121212122122e e e e e e e e e e +⋅-=+⋅-=--，故选A.例4.设1,2OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP 上的投影的取值范围( )A. 25-,15⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B. 25,15⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C. 5,15⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D. 5-,15⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【答案】D【解析】由题意可知()()22221041584OP OPOB λλλλλλ⎡⎤→=→+-→=++-=-+⎣⎦当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ-+⎛⎫>==-+=-+ ⎪⎝⎭， 故当λ1=时，1x 取得最小值为1，即1101x x≥∴<≤， 当λ0<时， 222215844825215x λλλλλλ-+⎛⎫=-=--+=--+=- ⎪⎝⎭，即15x <- 505x ∴-<< 综上所述]5( ,15x ∈- 故答案选D点睛：由已知求得OA OP→⋅→及OP→，代入投影公式，对λ分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完.例5.如图，菱形ABCD 的边长为2,60,A M ∠=为DC 中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为（ ）A. 3B. 23C. 6D. 9 【答案】D2213922AD DC AD DC =++⋅=答案D.【名师点睛】（1）从本例也可以看出投影计算数量积的一个妙用，即在求数量积最值时，如果其中一个向量位置确定，那么只需看另一向量在该向量处的投影即可，这种方法往往能够迅速找到取得最值的情况（2）在找到取到最值的N 点位置后，发现利用投影计算数量积并不方便（投影，AM 不便于计算），则要灵活利用其他方法把数量积计算出来（寻求基底，建系等）.正所谓：寻找最值用投影，而计算时却有更多方法供选择.例6.【2018届衡水金卷四】已知平面向量，，且，则在方向上的投影是__________．【答案】点睛：本题的核心问题是计算数量积，求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．例7．【2018届河南省南阳市第一中学高三第十四次考】若非零向量，满足，则在方向上的投影为__________．【答案】-1【解析】分析：先求出、和与的夹角，然后根据投影的定义求解．详解：将两边平方整理得，∴．将两边平方整理得．又，故．设向量与的夹角为，则在方向上的投影为．点睛：解答本题的关键是正确掌握一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，利用定义可将问题转化为数量积的运算．另外，数量积的几何意义是计算数量积的一种重要方法．例8．已知点A在椭圆221259x y+=上，点P满足()1AP OAλ=-（Rλ∈）（O是坐标原点），且•72OA OP=，则线段OP 在x 轴上的设影长度的最大值为__________． 【答案】15【解析】∵()1AP OA λ=-，则线段OP 在x 轴上的投影长度为27272cos ||x xx OP OP OA OAOA OAθ=⋅=⋅=2272721516916922525x x y x x xx==≤=++⋅，当且仅当16925x x =，即154x =时等号成立． ∴线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 答案：15例9.【2018届河北省衡水中学高三第十次模拟】若平面向量1e ， 2e 满足11232e e e =+=，则1e 在2e 方向上投影的最大值是________． 【答案】423-【解析】由11232e e e =+=可得： 12211222{ 964e e e e e =++=∴21224366cos θe e e =++1e 在2e 方向上投影为22122232132142cos θ2326636e e e e e ⎛⎫-- ⎪==-+≤-⨯=- ⎪⎝⎭故最大值为： 423-例10.【2018届河南省中原名校高三上第一次考评】已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则· （＋）＝_________．【答案】6【解析】设BC 的中点为D ，则AD ⊥BC ，【精选精练】1．【2018届山东省淄博市部分学校高三12月摸底】已知向量()()2110a b =-=，，，，则向量a 在向量b 上的投影是A. 2B. 1C. -1D. -2 【答案】D【解析】向量a 在向量b 上的投影是21a b b⋅-==-选D. 2.【2018届河南省商丘市高三第二次模拟】已知平面向量()()1,2,,1a b k =-=，且a b ⊥，则a b+在a 上的投影为（ ）D. 1 【答案】A【解析】因为a b ⊥，所以()1210, 2.k k -⨯+⨯=∴=所以()1,3,a b += 所以221310,5,a b a +=+==所以a b ⊥在a 上的投影为()16cos 5a b a a b a b aα+⋅-++===+故选A.3．【2018届河北省武邑中学高三上学期期末】已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）【答案】A【解析】()2,1AB =， ()5,5CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为25AB CD CD⋅⨯=A ．4．【2018届贵州省遵义市高三上学期第二次联考】已知向量,a b 的夹角为60°，且2a b ==，则向量a b -在向量a 方向上的投影为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B5．【2018届江西省南昌市高三第一轮复习训练】已知向量a ， b 满足()a b a 2⋅+=，且()a 1,2=，则向量 b 在a 方向上的投影为( )A. 55B. 55-C. 255-D. 355- 【答案】D【解析】由a =（1，2），可得|a |=5， a •（b +a ）=2，可得a •b +2a =2，∴·a b =﹣3，∴向量b 在a 方向上的投影为·355a b a =-. 故答案为：D.6.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为( )A. 3B. 3C. -3D. 3-【答案】B【解析】△ABC 的外接圆的圆心为O,半径为2,且0,OA OB OC OB CA ++=∴=，本题选择B 选项.7．【2018届河南省郑州市第一中学高三上学期入学】ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1， 2AO AB AC =+，且OA AB =，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为（ ） A. 12 B. 32- C. 12- D. 32【答案】D【解析】由题意可得： ()()0AB AO AC AO -+-=，即： 0,OB OC OB OC +==-,即外接圆的圆心O 为边BC 的中点，则ABC 是以BC 为斜边的直角三角形， 结合1OA AB ==有： ,36ACB CA π∠== 则向量CA 在向量CB 方向上的投影为33cos 362CA π==. 本题选择D 选项. 8.【2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】已知向量a ， b 满足5a =， 6a b -=， 4a b +=，则向量b 在向量a 上的投影为__________．【答案】1-9．【2018届广西桂林、贺州、崇左三市高三第二次联合调研】已知向量a ， b 的夹角为120︒，且2a =， 3b =，则向量23a b +在向量2a b +方向上的投影为__________． 【答案】191313【解析】投影为()()22222324831919131313244a b a b a a b b a b a a b b +++⋅+===++⋅+. 10．【2018届衡水金卷一】已知向量()()1,,3,1a b λ==，若向量2a b -与()1,2c =共线，则向量a 在向量c 放向上的投影为__________．【答案】0【解析】向量()1,a λ=， 31b =（，），向量2121a b λ-=--（，），∵向量2a b -与12c =（，）共线，∴212λ-=-，即12λ=-，∴向量112a =-（，），∴向量a 在向量c 方向上的投影为2211122cos ,012a c a a c c ⨯-⨯⋅⋅===+，故答案为0.11．已知向量，，若向量在方向上的投影为1，则__________．【答案】【解析】∵向量，,向量在方向上的投影长为1∴解得.故答案为：.12．已知M 为直角三角形ABC 的外接圆，OB 是斜边AC 上的高，且6,22AC OB ==，AO OC <，点P 为线段OA 的中点，若DE 是M 中绕圆心M 运动的一条直径，则PD PE ⋅=_________ M C A OB P D E Q【答案】-56AO CO AC +==，所以解得2,4AO OC ==，再由P 为OA 的中点可得1,5AP PC ==，所以5PE PQ AP PC ⋅=⋅=，进而5PD PE PE PQ ⋅=-⋅=-答案：5- .。