高中数学 复习课(一)常用逻辑用语讲义(含解析)新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教

复习课(一) 常用逻辑用语

命题及其关系

通过选择题、填空题的方式设置一些多知识点、知识跨度大的试题，考查命题及其关系，以及对命题真假的判断．

[考点精要]

四种命题的相互改写

交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题．

[注意] 互为逆否命题的两个命题，它们具有相同的真假性．

[典例] 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假．

(1)垂直于同一平面的两条直线平行；

(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．

[解] (1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．

它的逆命题、否命题和逆否命题如下：

逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假命题)

否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假命题)

逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真命题)

(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．

它的逆命题、否命题和逆否命题如下：

逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn<0.(假命题)

否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假命题)

逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真命题)

[类题通法]

简单命题真假的判断方法

[题组训练]

1．命题“若函数f (x )＝x 2

－ax ＋3在[1，＋∞)上是增函数，则a ≤2”的否命题( ) A ．与原命题同为假命题 B ．与原命题一真一假 C ．为假命题

D ．为真命题

解析：选D 原命题显然为真，原命题的否命题为“若函数f (x )＝x 2

－ax ＋3在[1，＋∞)上不是增函数，则a >2”，为真命题，故选D.

2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若a >b ，则3a >3b

”的逆命题 B ．命题“若x 2

≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2

－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1

b

”的逆否命题

解析：选A 对于A ，逆命题是“若3a >3b

，则a >b ”，是真命题；对于B ，否命题是“若

x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；对于C ，否命题是“若x ≠1，则x 2

－x ≠0”，是假命题，因为当x ＝0时，x 2－x ＝0；对于D ，逆否命题是“若1a ≥1

b

，则a ≤b ”，

是假命题，如a ＝1，b ＝－1.故选A.

3．下列说法中错误的个数是( )

①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数” ②命题“若x >1，则x －1>0”的否命题是“若x ≤1，则x －1≤0” ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”

④命题“x ＝－4是方程x 2

＋3x －4＝0的根”的否命题是“x ＝－4不是方程x 2

＋3x －4＝0的根”

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选C ①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x 2

＋3x －4＝0的根”.

充分条件与必要条件

充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断．

[考点精要]

充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．

[典例] (1)(2017·某某高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

(2)(2017·某某高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.

(2)法一：由⎪

⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，

故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．

故“⎪

⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．

法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π

12

. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． [答案] (1)C (2)A [类题通法]