有限元动力学分析方程及解法

动力分析中平衡方程组的解法

1前言

描述结构动力学特征的基本力学变量和方程与静力问题类似，但所有的变量都是时间的函数。

基本变量

三大类变量(,)i u t ξ、(,)ij t εξ和(,)ij t σξ是坐标位置(,,)x y z ξ和时间t 的函数，一般将其记为()()()i ij ij u t t t εσ。

基本方程

(1) 平衡方程

利用达朗贝尔原理将惯性力和阻尼力等效到静力平衡方程中，有

,()()()()0ij j i i i t b t u t u t σρν+--= (1)

其中ρ为密度，ν为阻尼系数。

(2) 几何方程

,,1()(()())2

ij i j j i t u t u t ε=+ (2)

(3) 物理方程 ()()ij ijkl kl t D t σε= (3)

其中ijkl D 为弹性系数矩阵。

(4) 边界条件

位移边界条件()BC u 为，

()()i i u t u t = 在u S 上 (4)

力的边界条件()BC p 为，

()()ij j i t n p t σ= 在p S 上 (5)

初始条件

0(,0)()i i u t u ξξ== (6) 0(,0)()i i u t u ξξ== (7)

虚功原理

基于上述基本方程，可以写出平衡方程及力边界条件下的等效积分形式，

,()()0p

ij j i i i ij j i S u u b u d n p dA δσρνδσΩ∏=---+Ω+-=⎰⎰ (8)

对该方程右端第一项进行分部积分，并应用高斯-格林公式，整理得，

()()0p

ijkl ij kl i i i i i i i i S D u u u u d b u d p u dA εδερδνδδδΩΩ-++Ω-Ω+=⎰⎰⎰ (9) 有限元分析列式

单元的节点位移列阵为，

111222()[(),(),(),(),(),()

(),(),()]e t k k k U t u t v t w t u t v t w t u t v t w t = (10)

单元内的插值函数为， (,)()()e t u t N U t ξξ= (11)

其中()N ξ为单元的形状函数矩阵，与相应的静力问题单元的形状函数矩阵完全相同，ξ为单元中的几何位置坐标。

基于上面的几何方程和物理方程及(11)式，将相关的物理量表达为节点位移的关系，有，

(,)[](,)[]()()()()e e t t t u t N U t B U t εξξξξ=∂=∂= (12)

(,)()()()()e e t t t D DB U t S U t σξεξξ=== (13)

(,)()()e t u t N U t ξξ= (14)

(,)()()e t u t N U t ξξ= (15)

将(12)-(15)供稿到虚功方程(9)中，有，

[()()()()]()0e e e e e e e

T e t t t t t M U t C U t K U t R t U t δδ∏=++-= (16)

由于()e t U t δ具有任意性，消去该项并简写有，

e e e e e

t t t t U C U KU R ++= (17)

其中，

e e T M N Nd ρΩ=

Ω⎰ (18)

e

e T C N Nd νΩ=Ω⎰ (19)

e e T K B DBd Ω=

Ω⎰ (20)

e M 为单元质量矩阵，e C 为单元阻尼矩阵，e K 为单元刚度矩阵。同样，将单元的各个矩阵进行组装，可形成系统的整体有限元方程，即，

MU CU KU R ++= (21)

其中M ，C 和K 分别是系统的质量、阻尼和刚度矩阵，R 是外荷载向量，U ,U

和U 分别是有限元分割体的加速度、速度和位移向量。方程(21)是通过考虑在时刻t 的静力平衡而推导出来的。

对静力或动力分析的选择(即在分析中是考虑或忽略与速度及加速度有关的力)，一般取决于工程上的判断，其目的在于减少所需要的分析工作量。但是，应该认识到，一个静力分析的假定，应该有理由说明它是正确的，否则，分析的结果就是无意义的。确实，在非线性分析中，采用忽略惯性力和阻尼力的假定，可能严重到难以求得甚至无法求得解答。

在数学上，方程(21)是一个二阶线性微分方程组，原则上可用求解常系数微分方程组的标准过程来求得方程组的解。但是，如果矩阵的阶数很高，则采用求

解一般微分方程组的过程可能要付出很高的费用，除非特别利用系数矩阵K ，C 和M 的特殊性质。因此，在实用的有限元分析中，主要对几种有效的方法感兴趣，下面将集中介绍这几种方法。我们所考虑的基本过程，可分为两种求解方法：直接积分法和振型叠加法。初看起来，这两种方法似乎完全不同，但事实上它们有着密切的关系，至于选择这种或那种方法，只取决于它们的数值效果。 2直接积分法

在直接积分中对方程(21)是逐步地进行数值积分的，“直接”的意思是，进行数值积分前没有进行把方程变为另一种形式的变换。实质上，直接积分是基于下面的两个想法，第一个想法是只在相隔t ∆的一些离散的时间区间上而不是试图在任一时刻t 上满足方程(21)即包含有惯性力和阻尼力作用的(静力)平衡是在求解区间上的一些离散时刻点上获得的。因此，似乎在静力分析中使用过的所有求解方法，在直接积分法中或许也能有效地使用；第二个想法是假定位移、速度和加速度在每一时间区间t ∆内变化。

下面假设分别用0

00U ,U ,U 来表示初始时刻)t (0=的位移、速度和加速度向量为已知，要求出方程(21)从0=t 到T t =的解。在求解时，把时间全程T 划分为几个相等的时间区间t ∆(即n /T t =∆)，所用的积分格式是在时刻t ,∆0，T ,,t t ,t ,,t ∆+∆2上确定方程的近似解。由于计算下一个时刻的解的算法要考虑到前面各个时刻的解，因此假定在时刻t ,,t , ∆0的解为已知，来推导出求时刻t t ∆+的解的算法。计算时刻t t ∆+的解对于计算自此以后t ∆的时刻上的解是有代表意义的，这样就可建立用来计算在所有离散时间点上解的一般算法。

（a ） 中心差分法