高中数学必修二 专题6 1 平面向量的概念-同步培优专练

专题6.1 平面向量的概念知识储备一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.二 向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．2．下列命题正确的是（ ）A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，所以B ，C 均错；a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D 错.故选A.3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）A ．//a bB ．a b ≠C ．a b ≠D ．a b =-【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.6．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =【答案】D【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D7．a ，b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ ）A ．a ，b 同向B ．a ，b 反向C ．a b =-D ．a ，b 无论什么关系均可【答案】A 【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时,a b +的方向与a ,b 的方向都不相同,且a b a b +<+；当向量a 与b 同向时,a b +的方向与a ,b 的方向都相同,且a b a b +=+； 当向量a 与b 反向且a b <时,a b +的方向与b 的方向相同（与a 的方向相反）,且a b b a +=-, 故选:A8．如图是34⨯的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个【答案】C⨯的格点图中【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与AB34包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知a、b是任意两个向量，下列条件能判定向量a与b平行的是（）=A．a b=B．a bC．a与b的方向相反D．a与b都是单位向量【答案】AC【解析】对于A选项，若a b=，则a与b平行，A选项合乎题意；=，但a与b的方向不确定，则a与b不一定平行，B选项不合乎题意；对于B选项，若a b对于C选项，若a与b的方向相反，则a与b平行，C选项合乎题意；对于D选项，a与b都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a与b不一定平行，D选项不合乎题意.故选：AC.10．在下列结论中，正确的有（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．平行向量又称为共线向量C．两个相等向量的模相等D．两个相反向量的模相等【答案】BCD【解析】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；故选：BCD11．下列能使//a b 成立的是（ ）A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 方向相反D ．0a =或0b = 【答案】ACD【解析】对于A ，若a b =，则a 与b 大小相等且方向相同，所以//a b ；对于B ，若a b =，则a 与b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有//a b ；对于C ，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b 方向相反，则有//a b ；对于D ，零向量与任意向量平行，所以若0a =或0b =，则//a b .故选：ACD12．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A ．AB DC =B ．AB DC = C ．AB DC >D ．BC AD ∥【答案】BD 【解析】AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误； AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以//BC AD，故D正确；故选：BD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；①两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；①两个有公共终点的向量，一定是共线向量；A B C D必在同一条直线上．①向量AB与向量CD是共线向量，则点,,,其中不正确命题的序号是________．【答案】②②②【解析】向量AB与BA是相反向量,它们的模长相等,即②正确;零向量与任何向量平行,若向量a与b中恰有一个为零向量,则它们的方向不满足题意,即②错误;对于相等向量,若它们有共同的起点,则它们终点也相同,即②正确;两个有公共终点的向量,若它们的起点和终点不在一条直线上,则它们不共线,即②错误;A B C D不一定在同一条直线上,即②错误.因为向量可以平移,所以共线向量AB与CD中,,,,故答案为:②②②.14．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形（1）与向量ED 相等的向量有__________；（2）若3AB =，则EC =__________.【答案】AB DC ， 6【解析】②根据相等向量的定义及平行四边形性质：与向量ED 相等的向量有AB DC ， ②2CE CD DE BA =+=，2CE BA ==615.在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且∠OCB ＝30°＝2，则＝________.【答案】1【解析】连接AC =∠ABC ＝∠OCB ＝30°，又∠ACB ＝90°，＝12×2＝1. 16．如图所示，ABC ∆和A B C '''∆是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设ABC ∆的边长为a ，图中列出了长度均为3a 的若干个向量则：（1）与向量GH相等的向量有_______；（2）与向量GH共线，且模相等的向量有________；（3）与向量EA共线，且模相等的向量有________.【答案】DB'，HC EC'，DE，DB'，GB，HC EF，FB，HA'，HK，KB'【解析】（1）与向量GH相等的向量是DB'，HC；（2）与向量GH共线且模相等的向量是EC'，DE，DB'，GB，HC，（3）与向量EA共线且模相等的向量EF，FB，HA'，HK，KB'三、解答题（本大题共4小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC ＝c.（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与a共线的向量有哪些？（3）请一一列出与a，b，c.相等的向量．【解析】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD，BC，AO，FE.（2）由共线向量定理得：EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与a共线.（3）由相等向量的定义得：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c相等的向量有FO，ED，AB.18．（本小题满分12分）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．（1）作出向量AB，BC，CD；（2）求AD的模．【解析】（1）作出向量AB，BC，CD；如图所示：（2）由题意得，②BCD是直角三角形，其中②BDC＝90°，BC＝米，CD＝10米，所以BD＝10米．②ABD是直角三角形，其中②ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝米)，AD .所以|519．（本小题满分12分）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA，使|OA|＝，点A在点O北偏东45°；（2）AB，使AB＝4，点B在点A正东；（3）BC，使BC＝6，点C在点B北偏东30°.【解析】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如下图所示．（2）由于点B在点A正东方向处，且AB＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如下图所示．（3）由于点C在点B北偏东30°处，且BC＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为，于是点C位置可以确定，画出向量BC如下图所示．20.（本小题满分12分）一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 km，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 km 处有一艘渔船抛锚需救助.试求：(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移.【解析】(1)如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB ＋BC ＝70(km).(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为=＝50(km)，由于sin ∠BAC ＝54，故方向为北偏东∠BAC ，其中sin ∠BAC ＝54. 21．（本小题满分12分）已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC 相等的向量；（2）与OB 长度相等的向量；（3）与DA 共线的向量.【解析】画出图形，如图所示．（1）易知BC //AD ，BC ＝AD ，所以与BC 相等的向量为AD .（2）由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB 长度相等的向量为BO ，OC ，CO ，OA ，AO ，OD ，DO .（3）与DA 共线的向量为AD ，BC ，CB .22.（本小题满分12分）如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A ，B .点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值.【解析】(1)画出所有的向量AC ，如图所示.(2)由(1)所画的图知，①当点C 位于点C 1或C 2时， |BC |取得最小值52122=+；②当点C 位于点C 5或C 6时，|BC |取得最大值415422=+.所以|BC |的最大值为41，最小值为5.。