高中数学必修二 专题6 1 平面向量的概念-同步培优专练

专题6.1 平面向量的概念

知识储备

一 向量的概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.

二 向量的几何表示

1.有向线段

具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.

以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.

2.向量的表示

(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.

(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).

3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.

思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？

答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.

三 相等向量与共线向量

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.

(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .

(2)规定：零向量与任意向量平行.

2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.

思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.

能力检测

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）

（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；

（3）若a b ≠，则a b →→

≠；

（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】B

【解析】由相等向量的定义知（1）正确；

平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；

方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；

相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．

2．下列命题正确的是（ ）

A ．若||0a =，则0a =

B ．若||||a b =，则a b =

C ．若||||a b =，则//a b

D ．若//a b ，则a b =

【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；

||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，

所以B ，C 均错；

a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，

不能确定相等，所以D 错.故选A.

3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）

A ．//a b

B ．a b ≠

C ．a b ≠

D ．a b =-

【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；

因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；

由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；

由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.

4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）

A ．BA

B ．CD

C ．A

D D ．OD

【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）

A ．不共线

B ．长度不相等

C ．不都是单位向量

D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.

6．下列说法错误的是（ ）

A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a c

B ．零向量与任意向量平行

C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =

D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =

【答案】D

【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，