2022年北师大版高中数学必修第一册同步培优第一章第2节第1课时全称量词命题与存在量词命题

第一章 §2 2.2 第1课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列说法正确的是( D )
A ．梯形是不是平面图形呢？是命题
B ．语句“标准大气压下，100 ℃时水沸腾”不是命题
C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题
[解析] 对于A ，是疑问句，不是命题，不正确；B 所给语句是命题，不正确；满足C 的不一定是菱形，不正确；D 说法正确．故选D ．
2．下列语句是真命题的个数是( A )
①一个正整数不是素数就是合数；
②若x ＋y 和xy 都是有理数，则x ，y 都是有理数；
③60x ＋9＞4；
④若x ∈N ，则x 2＋4x ＋7＞0．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] ①该语句是命题．由于整数1不是素数，也不是合数，所以它是假命题；②该语句是命题．3＋(－3)和3×(－3)都是有理数，但3，－3都是无理数，所以它是命题且是假命题；③这种含有未知数的语句中，不等式是否恒成立无法确定，即不能判断其真假，所以它不是命题；④因为当x ∈N 时，x 2＋4x ＋7＞0恒成立，所以该语句是命题，且是真命题．故选A ．
3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( B )
A ．直角三角形的内角有一个是90°
B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0
C ．两个无理数的和必是无理数
D ．存在一个负数，使1x
＞2 [解析] A 是全称量词命题；B 既是存在量词命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝
0，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x
＜0，所以D 是假命题．故选B ． 4．将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称量词命题是( D )
A ．∃a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2
B ．∃a ＜0，b ＞0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2
C ．∀a ＞0，b ＞0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2
D ．∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2
[解析] 全称量词命题含有量词“∀”，故排除A ，B ，又等式a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2对于全体实数都成立．故选D ．
二、填空题
5．给出下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋3＞0；②∀x ∈N ，x 4≥1；③∃x ∈Z ，x 3＜1；④∃x ∈Q ，x 2＝3．
其中是真命题的是__①③__(把所有真命题的序号都填上)．
[解析] ①由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋3≥3＞0，即x 2＋3＞0，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋3＞0”是真命题；②由于0∈N ，当x ＝0时，x 4≥1不成立，是假命题；③由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 3＜1成立，是真命题；④由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方等于3，是假命题．
6．下列命题：
①至少有一个偶数是质数；
②对于一切x ＜0，都有|x |＞x ；
③不存在实数x ，使x 2＋x ＋1＜0；
④已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，对于任意n ∈N *，都有A ∩B ＝∅．
其中，所有正确命题的序号为__①②③__．
[解析] 命题①②显然为真命题；③由于对于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34
＞0恒成立，故③为真命题；已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，如n ＝1,2,3时，6∈(A ∩B )，故为假命题．
三、解答题
7．用符号“∀”或“∃”表示下列命题，并判断真假：
(1)实数的平方大于或等于0；
(2)存在一对实数(x ，y )，使2x －y ＋1＜0成立．
[解析] (1)∀x ∈R ，x 2≥0，是真命题．
(2)∃x ∈R ，y ∈R ，使2x －y ＋1＜0，是真命题．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知不等式x ＋3≥0的解集是A ，则使命题“∀a ∈M ，a ∉A ”为真命题的集合M 是( D )
A ．{a |a ≥－3}
B ．{a |a ＞－3}
C ．{a |a ≤－3}
D ．{a |a ＜－3}
[解析] 因为x ＋3≥0，所以A ＝{x |x ≥－3}．又因为对∀a ∈M ，都有a ∉A ，所以a ＜－
3．故选D ．
2．(多选题)给出下列命题，其中真命题有( AB )
A ．存在x ＜0，使|x |＞x
B ．对于一切x ∈Z ，都有|x |∈N
C ．存在x ＜0，使|x |≤x
D ．已知a ＝2n ，b ＝3n ，则存在n ∈N *，使得a ＝b
[解析] 易知选项A 、B 为真命题；C 中命题当x ＜0时，|x |＞x ，所以C 为假命题；D 中，“存在n ∈N *，使得a ＝b ”的否定是“对于任意的n ∈N *，都有a ≠b ”，由于a －b ＝2n －3n ＝－n ，所以对于任意的n ∈N *，都有a ＜b ，即a ≠b ，故D 为假命题．
二、填空题
3．若存在实数x ∈{x |x ≤1}，使不等式4x ＋3≥m 能够成立，则实数m 的取值范围是__m ≤7__．
[解析] 要使不等式4x ＋3≥m 能够成立，只需要实数4×1＋3≥m ，即m ≤7．
4．已知命题p ：∀x ∈{x |x ≤12
}，－2x ＋a ≥0，命题q ：x 2＋x ＋2a －1＝0有实数根，若p 为真命题，q 为假命题，则实数a 的取值范围是__a ≥1__．
[解析] 若p 是真命题，则－2×12
＋a ≥0，即a ≥1． 若q 为假命题，则a ＞58
，故a ≥1． 三、解答题
5．已知命题p ：∃x ≥－12
，2x ＋2－a ＝0为真命题，求实数a 的取值范围． [解析] 因为p 为真命题，即方程2x ＋2－a ＝0，在x ＞－12
范围内有实根，所以a ＝2x
＋2≥2×⎝⎛⎭
⎫－12＋2＝1， ∴a ≥1，即实数a 的取值范围为a ≥1．。