齐次坐标表示法在图形变换中的作用
计算机辅助设计
CAD/CAM习题一. 填空题1、未来制造业对CAD/CAM提出的新要求包括：，，，多学科、多功能综合产品开发技术，虚拟现实技术，人-机-环境系统技术。
2、中央处理器由、、组成。
3、数据库的数据模型有：、、；4、二维图形的基本变换包括：、、、；5、设备坐标系是：；6、计算机中常采用的数据结构来记录几何、拓扑信息；7、有限元分析的精度取决于；8、线框模型采用和的有限集合来表示物体的计算机内部模型；9、优化设计的关键问题是：、；10、作为一项产品建模技术，CAD是把产品的转化为，并把存储在计算机内供后续的计算机辅助技术（CAX）所共享，驱动产品生命周期的全过程。
11、图形变换实质为。
12、特征可分为形状特征、、。
其中形状特征是，具有特定的意义。
13、不同CAD平台间的数据交换标准有（至少写出两种）。
14、经过集合运算生成的形体应具有边界良好的几何形体，并保持原始形状的____________。
15、线框建模是以构成物体的___________和____________来描述物体的，前者记录了____________，后者记录了____________。
16、二维半加工与三维加工的主要区别在于计算加工走刀中刀具运动位置点的同时，还要控制___________与被加工曲面的法矢基本保持一致，可获得较好的切削条件和加工效率。
17、几何建模是把真实世界中的三维物体的几何形状用一套合适的_____来描述，供计算机识别和处理的。
该模型包含了三维物体的______和_____信息。
18、将三维图形用二维图形表示的过程称为____________，投影方向垂直于投影面时称为____________。
19、线框模型可以方便地生成物体的工程图、轴侧图和透视图，但不能生成和做消隐处理。
20、实体模型包含了体、面、边、顶点的所有信息，能方便的确定三维空间中给定点的以及。
21、由拓扑学中的欧拉网络公式可推出，多面体的f、e、v之间存在关系。
08 图形变换
=
x1’ y1’ 1 x2’ y2’ 1 . ..
. ..
Tx Ty 1
. ..
. ..
. .. xn yn 1
. .. xn + Tx yn + Ty 1
. .. xn’ yn ’ 1
如果点P(x,y)经T1变换后平移了（Tx1，Ty1），然后再经T2
变换后又平移了（Tx2，Ty2），那么将产生什么结果呢？从
xi ’= Sx . xi
yi ’= Sy . yi
（式8-2-3）
当Sx = Sy <1时，图形缩小；
当Sx = Sy =1时，图形不变；
当Sx = Sy >1时，图形放大；
当这S种x情≠况S。y 时， 图形发生畸变；不考虑
如图8-2-2所示。注意图形放大或缩小时， 图形位置都发生了变化。
2．比例变换
在 示点变P换(x矩,y阵)沿TX中和，Y取方a向=S相x，对d原=S点y，的它比们例分变别换表系 数，比例变换矩阵T为：
T=
Sx 0 0 0 Sy 0 001
（式8-2-6）
则比例变换可表示为：
P’=P•T =[x y 1] Sx 0 0 0 Sy 0 = [x Sx y Sy 1 ] 001
y
Ty
Tx x
图8-2-1 平移变换
y
Sx = Sy >1 Sx = Sy =1 Sx = Sy <1
x
图8-2-2 比例变换
3）对于旋转变换，先讨论平面上点绕坐标原 点的旋转变换。
一个平面图形绕坐标原点逆时针旋转θ角
度，图形的形状保持不变，但图形各顶点的位
置坐标相应地发生了改变。如图8-2-3所示，可
向量的齐次坐标
向量的齐次坐标【最新版】目录1.齐次坐标的定义2.齐次坐标的应用3.齐次坐标与线性变换4.齐次坐标的性质正文一、齐次坐标的定义向量的齐次坐标是一种用于表示向量的扩展方法，它可以将向量映射到一个更大的空间，这个空间被称为齐次空间。
在齐次空间中，每个向量都可以用一个齐次坐标来表示。
齐次坐标由一组分量组成，这些分量对应于向量在各个方向上的分量。
例如，在二维空间中，一个向量的齐次坐标为 (x, y, 0)，其中 x 和 y 是该向量在 x 轴和 y 轴上的分量，0 表示该向量在 z 轴上的分量为 0。
二、齐次坐标的应用1.计算机图形学：在计算机图形学中，齐次坐标用于表示三维空间中的点、线和面。
通过将齐次坐标传递给图形处理器（GPU），可以实现对这些图形元素的快速处理和渲染。
2.线性代数：在线性代数中，齐次坐标用于研究向量空间和线性变换。
它们在矩阵运算和线性方程组求解中具有重要作用。
三、齐次坐标与线性变换齐次坐标在线性变换中起到重要作用。
假设有一个线性变换 T，它将一个向量映射到另一个向量。
我们可以用齐次坐标表示这个变换，假设齐次坐标为 (x1, y1, z1)，变换后的齐次坐标为 (x2, y2, z2)，那么线性变换可以表示为：T = [x2, y2, z2] ^ [x1, y1, z1]其中^表示齐次坐标的乘法。
四、齐次坐标的性质1.齐次坐标具有唯一性：对于一个向量，其齐次坐标是唯一的，因为齐次坐标可以唯一地表示一个向量在齐次空间中的位置。
2.齐次坐标具有可扩展性：齐次坐标可以很容易地扩展到更高维的空间，只需在原有坐标的基础上添加一个额外的分量即可。
3.齐次坐标具有计算简便性：在计算机图形学和线性代数中，齐次坐标可以简化计算过程，例如在矩阵运算和线性方程组求解中。
总结：向量的齐次坐标是一种重要的数学概念，它在计算机图形学和线性代数等领域具有广泛的应用。
3.1坐标系与坐标变换
3 计算机图形处理技术 3.1坐标系与坐标变换
图形的输入和输出都是在—定的坐标系中进 行的。为了提高图形处理的效率和便于用户理解， 在输入输出的不同阶段需要采用不同的坐标系。 图形学常用到的坐标系基本上有以下三级。 世界坐标系(World Coordinate System，WC) 设备坐标系(Device Coordinate System，DC) 规格化设备坐标系(Normalized Device Coordinate System，NDC)
世界坐标系
用户针对不同的实际问题而定义的原始坐标系称为用户坐标系。 常用的用户坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系、柱坐 标系等。直角坐标系(又称笛卡尔坐标系)成为计算机图形学中 最常用的用户坐标系、也称为世界坐标系。
世界坐标系有右手坐标系(图a)和左 手坐标系(图b)之分。
世界坐标系可以是二维的，也可以是三 维的。
从n维空间映射到n+1维空间是一对多的变 换。当取h＝1时，n+1维空间向量为：
（x1， x2， x3 ，…..xn，1）
则称为规范齐次坐标，这种表示是唯一的。
它仅仅是无穷多个位置向量的一个特例。 例如，二维空间的点(x，y)的齐次表示为 (hx，hy，1)。如果规定它的齐次坐标的第 三个分量h必须是1，即（x，y，1），则 称为规范齐次坐标。
绘图坐标系
规格化设备坐标系是介
于世界坐标系与设备坐标系 之间的一种坐标系，它是与 设备无关的坐标系，约定坐 标轴的取值范围是从0.0到 1.0。用户坐标系的取值范围 因实际问题而异，而设备坐 标系的取值范围又因设备而 异，所以，引入规格化设备 坐标系可提高图形应用程序 的可移植性。
计算机图形学期末考试卷与真题详解试卷(2套)
计算机(图形学)期末考试卷一、 填空题（每空1分，共10分）1. 图形的表示方法有两种： 点阵法 和 参数法 。
2. 目前常用的两个事实图形软件标准是OpenGL 和 DirectX 。
3. 多边形有两种表示方法： 顶点表示法 和点阵表示法。
4. 二维图形基本几何变换包括平移、 比例 、 旋转 等变换。
5. 投影可以分为 平移 投影和 透视 投影。
6. 描述一个物体需要描述其几何信息和 拓扑信息 。
7. 在Z 缓冲器消隐算法中Z 缓冲器每个单元存储的信息是每一个像素点的 深度值 。
二、 判断题（每小题1分，共10分，对的画√，错的画×）1. 由三个顶点可以决定一段二次B 样条曲线，若三顶点共线时则所得到的曲线褪化为一条直线段。
（v ）2. DDA （微分方程法）是Bresenham 算法的改进。
（ x ）3. 插值得到的函数严格经过所给定的数据点，逼近是在某种意义上的最佳近似。
（ v ）4. 齐次坐标提供了坐标系变换的有效方法，但仍然无法表示无穷远的点。
（ x ）5. 若相对于某点进行比例、旋转变换，首先需要将坐标原点平移至该点，在新的坐标系下做比例或者旋转变换，然后将原点平移回去。
（ v ） 6. Phong 算法的计算量要比Gouraud 算法小得多。
（ x ）7. 将某二维图形整体放大2倍，其变换矩阵可写为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010001。
（ x ）8. 在种子填充算法中所提到的八连通区域算法同时可填充四连通区域。
（ v ） 9. 边缘填充算法中是将扫描线与多边形交点左方的所有像素取补。
（ x ） 10. 计算机图形技术是随着图形硬件设备的发展而发展起来的。
（ v ）三、 选择题（每小题1分，共10分）1.在图形变换中引入齐次坐标的目的是 B 。
A ）便于实现缩放变换 B) 统一表示几种基本变换，便于计算 C ）便于实现错切变换 D ）无特殊目的，一直沿用而已 2. 透视投影中主灭点最多可以有几个? DA ） 0B ）1C ）2D ）33. 在简单光照模型中，由物体表面上的点反射到视点的光强是下述哪几项之和？ C①环境光的反射光强 ②理想漫反射光强 ③镜面反射光强 ④物体间的反射光强。
【免费下载】材料科学与工程中的计算机应用复习题答案
计算机图形学_ 二维图形变换_53 二维图形变换原理及齐次坐标_
为什么要采用齐次坐标？
在笛卡儿坐标系内，向量（x,y）是位于z=0的平面上的点 ；而向量（x,y,1）是位于z=1的等高平面上的点
对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面矩阵运 算提供了可行性和方便性
假如变换前的点坐标为（x,y），变换后的点坐标为（x*,y* ），这个变换过程可以写成如下矩阵形式：
x*, y*x,
x* a1x b 1 y c1
y•M
x*, y*x
a1
y
1
b 1
c1
a2 b2 c2
上两式是完全等价的。对于向量（x,y,1），可以在几何意义 上理解为是在第三维为常数的平面上的一个二维向量。
这种用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维 的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法
n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果 是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。
如n维向量（p1,p2,...,pn）表示为（hp1,hp2,...,hpn,h）， 其中h称为哑坐标。 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”：
变换图形就是要变换图形的几何关系，即改变顶点的坐 标；同时，保持图形的原拓扑关系不变
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一 种二维坐标到二维坐标之间的线性变换 （1）“平直性”。即：直线经过变换之后依然是直线
（2）“平行性”。即：平行线依然是平行线，且直线上 点的位置顺序不变）
采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线形变换表示 如下式所示的规格化形式：
齐次坐标的几何意义
齐次坐标的几何意义
一、什么是齐次坐标
嘿，小伙伴们！咱们今天来聊聊齐次坐标这个神奇的东西。
齐次坐标啊，简单来说，就是一种用多个数来表示一个点或向量的方法。
比如说，在二维平面中，咱们平常表示一个点可能就是 (x, y) ，但在齐次坐标里，它就变成了 (x, y, w) 。
这里的 w 可有着大作用呢！
二、齐次坐标的神奇之处
那齐次坐标到底有啥神奇的呢？
它能处理无穷远点。
想象一下，在普通坐标里，咱要表示一条直线延伸到无穷远，可不好办。
但有了齐次坐标，就能轻松搞定！比如说，对于平行于 y 轴的直线，它在齐次坐标里可以表示为 (1, 0, 0) 。
齐次坐标能让几何变换变得超级简单。
像平移、旋转、缩放这些操作，用齐次坐标来计算，那叫一个方便！
三、齐次坐标的应用
那齐次坐标都用在哪儿呢？
在计算机图形学里，那可是常客！比如渲染三维模型，处理图像变换，都离不开它。
在学中，齐次坐标能帮助我们准确描述的位置和姿态。
齐次坐标虽然看起来有点复杂，但一旦搞懂了，那可真是个超级有用的工具，能让咱们在解决很多几何问题时事半功倍！怎么样，小伙伴们，是不是对齐次坐标有点感觉啦？。
三维齐次坐标变换
三维齐次坐标变换三维齐次坐标变换在计算机图形学和计算机视觉领域中具有重要的应用。
它是一种表示和变换三维空间中物体位置和姿态的方法。
本文将简要介绍三维齐次坐标变换的概念、原理和应用，以及其在计算机图形学和计算机视觉中的具体应用案例。
一、概述三维齐次坐标变换是一种将三维物体在三维空间中的位置和姿态进行表示和变换的方法。
它通过引入一个额外的尺度变量来将三维几何运算转换为矩阵乘法运算，从而简化了三维计算的表示和运算。
三维齐次坐标变换以齐次坐标的形式表示三维点和变换矩阵，通过矩阵乘法来进行坐标变换和几何运算。
二、三维齐次坐标表示在三维齐次坐标中，一个三维点可以表示为一个四维向量，即[x, y, z, w]，其中w为尺度变量。
三维点的齐次坐标表示可以通过除以w得到其三维坐标表示[x/w, y/w, z/w]。
同样，一个三维向量可以表示为一个四维向量，其中w为0。
三、齐次坐标变换矩阵齐次坐标变换可以表示为一个4x4的变换矩阵，其中包括平移、旋转、缩放等变换操作。
变换矩阵可以通过组合多个变换操作得到，从而实现复杂的几何变换。
常用的齐次坐标变换包括平移变换、缩放变换、旋转变换等。
四、三维齐次坐标变换的应用三维齐次坐标变换在计算机图形学和计算机视觉中有广泛的应用。
其中一个主要应用是计算机图形学中的三维物体变换和渲染。
通过齐次坐标变换，可以对三维物体进行平移、旋转、缩放等操作，从而实现物体在三维空间中的位置和姿态的变换。
另一个主要应用是计算机视觉中的三维重建和相机校准。
通过齐次坐标变换，可以将多个相机坐标系对齐，实现三维重建和相机参数校准。
五、应用案例1. 计算机图形学中的三维物体变换：在三维游戏开发中，可以通过齐次坐标变换来实现角色的平移、旋转、缩放等操作，从而实现角色在游戏场景中的自由移动和姿态变化。
2. 计算机视觉中的三维重建：在三维重建中，通过齐次坐标变换可以将多个相机拍摄的图像对齐，实现对场景中物体的三维重建和重建精度的提升。
-图形学实验报告-二维基本变换
一、 实验目的和要求利用VC6.0编写二维基本几何变换算法的实现。
实现平移，比例，旋转等变换。
二、 算法原理介绍齐次坐标表示法就是用N+1维向量来表示一个N 维向量。
在齐次坐标系统中，点(X,Y)用(X,Y ,H)来表达，其中H 为非零的一个任意数。
点(X,Y)的标准齐次坐标表达为(X/H,Y/H,1)，由于H 是一个任意非零常量，为了简便起见，我们通常取H=1。
齐次坐标系统中的点(X,Y ,1)包含有笛卡尔坐标上的点(X,Y)。
平移变换：比例变换：旋转变换：对称变换：关于x 轴对称：关于y 轴对称：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000000y x SS ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001关于原点对称：关于y=x 对称：关于y=-x 对称：错切变换：当b=0时： (x` y` 1)=(x+cy y 1)。
图形的y 坐标不变。
当c>0：图形沿+x 方向作错切位移。
ABCD →A1B1C1D1当c<0：图形沿-x 方向作错切位移。
ABCD → A2B2C2D2当c=0时, (x` y` 1)=(x bx+y 1):图形的x 坐标不变。
当b>0：图形沿+y 方向作错切位移。
ABCD → A1B1C1D1当b<0：图形沿-y 方向作错切位移。
ABCD → A2B2C2D2当b 不等于0且c 不等于0时，(x` y` 1)=(x+cy bx+y 1) ：图形沿x,y 两个方向作错切位移。
∴错切变换引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生变形。
三、 程序核心源代码void CChangeView::Tmove(double Tx,double Ty) //平移变换矩阵{ ClearMatrix(TM);RedrawWindow();TM[0][0]=1;TM[1][1]=1;TM[2][0]=Tx;TM[2][1]=Ty;TM[2][2]=1;⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000101c bCalculate(P,TM);AfxGetMainWnd()->SetWindowText("二维几何变换－平移变换");Draw(P,p3);}void CChangeView::Tscale(double Sx,double Sy) //比例变换矩阵{ ClearMatrix(TS);RedrawWindow();TS[0][0]=Sx;TS[1][1]=Sy;TS[2][2]=1;Calculate(P,TS);AfxGetMainWnd()->SetWindowText("二维几何变换－比例变换");Draw(P,p3);}void CChangeView::Trotate(double thta)//旋转变换矩阵{ ClearMatrix(TR);RedrawWindow();TR[0][0]=cos(thta*PI/180);TR[0][1]=sin(thta*PI/180);TR[1][0]=-sin(thta*PI/180);TR[1][1]=cos(thta*PI/180);TR[2][2]=1;Calculate(P,TR);AfxGetMainWnd()->SetWindowText("二维几何变换－旋转变换");Draw(P,p3);}void CChangeView::Treflect(double Fx,double Fy) //反射变换矩阵{ ClearMatrix(TF);RedrawWindow();TF[0][0]=Fx;TF[1][1]=Fy;TF[2][2]=1;Calculate(P,TF);AfxGetMainWnd()->SetWindowText("二维几何变换－反射变换");Draw(P,p3);}void CChangeView::Treform(double b,double c) //错切变换矩阵{ ClearMatrix(TC);RedrawWindow();TC[0][0]=1; TC[0][1]=b; TC[1][0]=c; TC[1][1]=1; TC[2][2]=1;Calculate(P,TC);AfxGetMainWnd()->SetWindowText("二维几何变换－错切变换");Draw(P,p3);}void CChangeView::OnMENUup(){// TODO: Add your command handler code hereTmove(0,10);}void CChangeView::OnMENUdown(){// TODO: Add your command handler code hereTmove(0,-10);}void CChangeView::OnMENUleft(){// TODO: Add your command handler code hereTmove(-10,0);}void CChangeView::OnMENUright(){// TODO: Add your command handler code hereTmove(10,0);}void CChangeView::OnMENUClockwise() //顺时针旋转{// TODO: Add your command handler code hereTrotate(-30);}void CChangeView::OnMENUAnticlockwise() //逆时针旋转{// TODO: Add your command handler code hereTrotate(30);}void CChangeView::OnMENUIncrease(){// TODO: Add your command handler code hereTscale(2,2);}void CChangeView::OnMENUDecrease(){// TODO: Add your command handler code here Tscale(0.5,0.5);}void CChangeView::OnMENUY(){// TODO: Add your command handler code here Treflect(-1,1);}void CChangeView::OnMENUO(){// TODO: Add your command handler code here Treflect(-1,-1);}void CChangeView::OnMENUX(){// TODO: Add your command handler code hereTreflect(1,-1);}void CChangeView::OnMENUXdirectionplus(){// TODO: Add your command handler code here Treform(0,1);}void CChangeView::OnOnMENUXdirectionneg() {// TODO: Add your command handler code here Treform(0,-1);}void CChangeView::OnMENUITYdirectionplus(){// TODO: Add your command handler code here Treform(1,0);}void CChangeView::OnMENUYdirectionneg(){// TODO: Add your command handler code here Treform(-1,0);}void CChangeView::OnMENUReset(){// TODO: Add your command handler code here if(p3==4){ KeepMatrix(OSquare,P); }if(p3==3){ KeepMatrix(OTriangle,P); }if(p3==2){ KeepMatrix(OLine,P); }Draw(P,p3);}void CChangeView::Onre(){// TODO: Add your command handler code here Treflect(-1,-1);}四、实验结果抓图原图：平移变换后：对称变换后：（关于X轴对称）旋转变换后：（顺时针旋转）比例变换后：缩小放大错切变换后：Y正向五、参考文献[1]赵建忠，段康廉.三维建模在虚拟矿山系统中的应用[J].中国科技论文.[2]许惠平，陈越，陈华根，廖晓留，王智博.青藏高原亚东－格尔木地学断面域岩石圈结构演化虚拟现实表达[J].中国科技论文.[3]罗斌，魏世民，黄昔光，张艳.基于OpenGL的3P-6SS并联机构的仿真与轨迹规划研究[J].；国家自然科学基金资助项目.。
坐标变换与旋转
坐标变换与旋转坐标变换和旋转是计算机图形学中非常重要的概念。
它们在图像处理、计算机视觉和游戏开发等领域都有广泛的应用。
本文将介绍坐标变换和旋转的基本原理以及在计算机图形学中的应用。
一、坐标变换坐标变换是指将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中的过程。
在计算机图形学中，通常使用齐次坐标来表示点的坐标。
齐次坐标是一种用于简化坐标变换计算的方式。
坐标变换的基本操作包括平移、缩放和旋转。
其中平移是将点沿着某个方向移动一定的距离，缩放是改变点的大小，而旋转是将点绕某个中心旋转一定的角度。
二、旋转旋转是指将点绕某个中心按照一定的角度进行旋转的操作。
在计算机图形学中，常用的旋转方式有二维旋转和三维旋转。
1. 二维旋转二维旋转是将点绕着一个固定的中心点进行旋转的操作。
假设中心点的坐标为(xc, yc)，旋转角度为θ，点的坐标为(x, y)，那么经过旋转后的坐标可以通过以下公式计算得到：x' = (x - xc) * cos(θ) - (y - yc) * sin(θ) + xcy' = (x - xc) * sin(θ) + (y - yc) * cos(θ) + yc2. 三维旋转三维旋转是将点绕着一个固定的轴进行旋转的操作。
在三维空间中，通常使用欧拉角或四元数来表示旋转。
欧拉角是一种用于描述三维空间中旋转的坐标系统。
它包括绕x轴旋转的角度α、绕y轴旋转的角度β和绕z轴旋转的角度γ。
通过欧拉角可以得到旋转矩阵，然后将点坐标与旋转矩阵相乘即可得到旋转后的坐标。
三、应用坐标变换和旋转在计算机图形学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 三维建模与渲染在三维建模和渲染中，坐标变换和旋转被用来实现对模型的自由变换和旋转操作。
通过控制坐标变换和旋转参数，可以实现模型在三维空间中的移动、旋转和缩放，从而实现真实感的渲染效果。
2. 计算机动画在计算机动画中，坐标变换和旋转被广泛用于实现物体在动画中的移动和旋转效果。
计算机图形学-第三章-变换及裁剪
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh hx
yh
hy
zh h
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
25
3 规格化设备坐标系 用于用户的图形是定义在用户坐标系里，
而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于 基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同 的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽 相同， 例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的 范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨 率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x
Tx1
Ty1
1
y 1Tt1
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx
2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
44
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
45
内容
二维变换 三维变换 裁剪
二维线裁剪 二维多边形裁剪 文本裁剪 三维裁剪 关于三维变换与裁剪
46
三维变换流程图
计算机图形学-第五章-图形变换
第五章图形变换重点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换，二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
齐次坐标系齐次坐标系：n维空间中的物体可用n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线ax+by+c=0，在齐次空间成为aX+bY+cW=0，以X、Y和W为三维变量，构成没有常数项的三维平面(因此得名齐次空间)。
点P(x、y)在齐次坐标系中用P(wx,wy,w)表示，其中W是不为零的比例系数。
所以从n维的通常空间到n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换是多到一的变换。
例如齐次空间点P(X、Y、W) 对应的笛卡尔坐标是x=X/W和y=Y/W。
将通常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时，W的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示，并统一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用，它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表示形式。
5.1 二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
二维几何变换主要包括：平移、比例、旋转、对称、错切、仿射和复合变换。
5.1.1 二维平移变换如图所示，它使图形移动位置。
新图p'的每一图元点是原图形p中每个图元点在x和y方向分别移动Tx和Ty产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Txy'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：［x' y'］=［x y］+［Tx Ty］简记为：P'=P+T，T=［Tx Ty］是平移变换矩阵(行向量)。
从矩阵形式来看，平移变换是矩阵加法，而比例和旋转变换则是矩阵乘法。
齐次坐标的理解
齐次坐标的理解一直对齐次坐标这个概念的理解不够彻底，只见大部分的书中说道“齐次坐标在仿射变换中非常的方便”，然后就没有了后文，今天在一个叫做“三百年重生”的博客上看到一篇关于透视投影变换的探讨的文章，其中有对齐次坐标有非常精辟的说明，特别是针对这样一句话进行了有力的证明：“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。
”——F.S. Hill, JR。
由于作者对齐次坐标真的解释的不错，我就原封不动的摘抄过来：对于一个向量v以及基oabc，可以找到一组坐标(v1,v2,v3)，使得v= v1 a+ v2 b + v3c （1）而对于一个点p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得p–o= p1 a + p2 b+ p3 c （2），从上面对向量和点的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个点（如p），我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量——p –o（有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p：p = o+ p1 a + p2 b + p3 c (3)(1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式。
这里可以看出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外的信息。
如果我写出一个代数分量表达(1, 4, 7)，谁知道它是个向量还是个点！我们现在把（1）（3）写成矩阵的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。
这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：3D向量的第4个代数分量是0，而3D点的第4个代数分量是1。
像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。
点的齐次坐标
点的齐次坐标在计算机图形学和计算机视觉领域中，点的齐次坐标是一种用来描述点在坐标系中的表示方法。
它可以表示二维或三维空间中的点，并具有许多方便的数学性质，使得点的运算和变换更加简化。
本文将介绍齐次坐标的概念、表示方法及其在计算机图形学和计算机视觉中的应用。
1. 齐次坐标的概念齐次坐标是由三个或四个值组成的向量，分别代表了点在二维或三维空间中的坐标。
对于二维空间中的点，齐次坐标通常表示为(x, y, w)，其中x和y分别为点在x轴和y轴上的坐标，w为齐次坐标的第三个分量。
对于三维空间中的点，齐次坐标表示为(x, y, z, w)。
2. 齐次坐标的表示方法齐次坐标与笛卡尔坐标之间存在一种一一对应的关系。
给定一个点的笛卡尔坐标(x, y)或(x, y, z)，可以通过除以其中一个坐标的值，得到对应的齐次坐标。
2.1 二维齐次坐标的表示方法对于一个点的笛卡尔坐标(x, y)，其对应的齐次坐标为(x/w, y/w, 1)，其中w为非零的常数。
齐次坐标的第三个分量始终为1，这样可以确保当w为0时，齐次坐标不可表示为一个真实的点。
2.2 三维齐次坐标的表示方法对于一个点的笛卡尔坐标(x, y, z)，其对应的齐次坐标为(x/w, y/w,z/w, 1)，其中w为非零的常数。
3. 齐次坐标的优势齐次坐标的表示方法具有多个优势，使得它在计算机图形学和计算机视觉中得到广泛应用。
3.1 点的平移通过齐次坐标表示，点的平移操作可以通过简单的矩阵相乘实现，而无需对每个坐标进行单独的加法操作。
这样可以减少计算的复杂度，并提高图形处理的效率。
3.2 点的旋转和缩放对于点的旋转和缩放操作，可以通过齐次坐标的乘法运算来实现。
旋转和缩放的矩阵可以与原始的齐次坐标矩阵相乘，得到变换后的齐次坐标，从而实现点的旋转和缩放。
3.3 透视投影在三维图形渲染中，透视投影是一种将三维场景投影到二维平面时经常使用的技术。
通过齐次坐标的比例关系，可以轻松地实现透视投影操作，并将三维场景投影到二维平面上。
机械CAD基础-中国石油大学(华东)2024
第一章测试1.CAD/CAE/CAM 中 CAE 的含义是计算机辅助教育。
A:错B:对答案:A2.CAD的含义是“计算机辅助设计”。
A:错B:对答案:B3.工程分析技术不是CAD体系中包含的内容。
A:对B:错答案:B4.屏幕分辨率就是在屏幕上能够分辨图像的清晰度。
A:对B:错答案:B5.点的几何变换矩阵相乘时顺序不能互换。
A:对B:错答案:A6.三维形体间的正则并、交、差是实体造型技术中构成物体的基本手段之一。
A:对B:错答案:A7.使用齐次坐标可以将n维空间的一个点向量唯一的映射到n+1维空间中。
A:对B:错答案:B8.将某二维图形整体放大2倍，其变换矩阵可写为：A:错B:对答案:A9.在CAD中多文档的设计环境允许（）？A:只能打开一个文档，但可以在多个文档上同时工作B:同时打开多个文档，在多个文档上同时工作C:同时打开多个文档，但只能在一个文档上工作D:不能在多文档之间复制、粘贴答案:C10.一个简单的CAD系统的硬件组成主要包括（）。
A:内存储器（简称内存）B:外存储器C:输入/输出(I/O)接口D:中央处理器（CPU）答案:ABCD11.AutoCAD软件是（）公司的产品。
A:美国的PTCB:法国的达索C:美国的AutodeskD:德国的西门子答案:C12.CAD技术发展的趋势是：网络化、集成化、标准化及（）等。
A:实用化B:信息化C:智能化D:一体化答案:C13.下列设备哪些属于CAD硬件设备？A:三坐标测量仪B:立体眼镜C:数码相机D:耳机E:3D打印机答案:ABCE14.A点的图形1变换到B点的图形2，以下关于图形变换矩阵的叙述正确的是。
矩阵1：矩阵2：A:图形变换矩阵是平移矩阵乘以旋转矩阵B:如果A、B点关于O点对称，则图形变换过程可以是：图形1先关于O点镜像，然后再缩放图形。
C:第一步平移矩阵是矩阵1D:其中的旋转矩阵是矩阵215.下面编码裁剪算法对线段的裁剪过程，正确的说法是（）。
齐次坐标表示法在图形变换中的作用
齐次坐标表示法在图形变换中的作用自古以来，人们就非常关注视觉上的外观以及视觉特性的表示。
随着科学技术的发展，研究者可以以更强大的数学方法和工具来表示一个图形。
一种常见的技术就是齐次坐标系统。
齐次坐标表示法可以用来定义一个图形，或者描述一个图形的位置和形状。
这种表示法是由坐标系统和坐标方程组组成。
坐标系统包括空间中的坐标轴，他们与图形中的每一点相对应，表示这些点的位置。
坐标方程组包括一组用来定义该图形的方程，这些方程把这些点连接起来，从而描述出图形的形状。
齐次坐标表示法在图形变换中具有重要的作用，它可以实现从一个坐标系到另一个坐标系之间的转换，而不必重新定义图形的表示形式。
例如，当在两个不同的空间坐标系中表示一个图形时，可以使用齐次坐标系来实现从一个坐标系到另一个坐标系的转换，从而保持图形的完整性和一致性。
此外，在三维空间中，齐次坐标表示法还可以用来描述一个三维图形的位置以及在三维空间中的运动。
如果需要进行三维图形变换，比如旋转、缩放或平移，齐次坐标表示法也可以用来实现这些操作。
因为齐次坐标表示法不仅可以定义一个图形的空间位置，而且可以用来描述它在这个空间中运动的方式。
因此，它在图形变换中发挥着重要作用。
除此之外，齐次坐标表示法还可以用来描述材质的反射和变换特性，从而可以更真实的表示出一个图形的外观。
这种表示方法通过将图形的颜色、亮度或其他反射特征的变换，来描述它的材质的外观，从而更加逼真的表示出一个图形。
总之，齐次坐标表示法在图形变换方面具有重要的作用，它可以用来描述一个图形的位置和形状，也可以用来实现从一个坐标系到另一个坐标系之间的转换，而不必重新定义图形的表示形式。
此外，它还可以用来描述材质的反射和变换特性，从而实现更真实的图形表示。
因此，齐次坐标表示法是图形变换中极其重要的技术。
齐次坐标变换 逆推旋转矩阵
齐次坐标变换逆推旋转矩阵齐次坐标变换逆推旋转矩阵一、介绍在计算机图形学和计算机视觉领域，齐次坐标变换和逆推旋转矩阵是非常重要的概念。
它们不仅在三维模型的变换和仿射变换中起着关键作用，也在机器视觉领域的姿态估计和相机标定中扮演着重要角色。
本文将以从简到繁、由浅入深的方式来探讨齐次坐标变换和逆推旋转矩阵，并且分享一些个人观点和理解。
二、齐次坐标变换的基本概念1. 齐次坐标在计算机图形学中，我们经常使用齐次坐标来描述三维空间的点和变换。
齐次坐标是一个四维向量，通常表示为(x, y, z, w)，其中w不为0。
这种表示方法可以将平移和投影等操作统一起来，简化了计算过程。
2. 齐次坐标变换矩阵齐次坐标变换矩阵是一个4x4的矩阵，用来表示三维空间中的平移、旋转、缩放等变换。
通过矩阵乘法，我们可以将一个点或向量从一个坐标系变换到另一个坐标系，实现了在三维空间中的各种变换操作。
三、逆推旋转矩阵的原理和应用1. 逆推旋转矩阵的概念逆推旋转矩阵是指在已知旋转矩阵的情况下，通过矩阵求逆的方式来得到原始的旋转矩阵。
在实际应用中，逆推旋转矩阵常常用于姿态估计和相机标定等问题中。
2. 逆推旋转矩阵的计算方法通过对已知的旋转矩阵进行转置操作，可以得到逆推旋转矩阵。
在实际计算中，我们可以利用线性代数的知识和算法来高效地求解逆推旋转矩阵，从而实现对旋转操作的逆向推导。
四、深入探讨齐次坐标变换和逆推旋转矩阵1. 齐次坐标变换的数学原理和几何意义齐次坐标变换利用矩阵乘法和齐次坐标的表示方法，能够简洁清晰地描述三维空间中的各种变换操作。
通过对齐次坐标变换的数学原理和几何意义进行深入分析，我们可以更好地理解其在计算机图形学和计算机视觉中的应用。
2. 逆推旋转矩阵的数学推导和实际应用逆推旋转矩阵的数学推导非常有趣，它涉及到矩阵的逆运算和对称性质的应用。
在实际应用中，逆推旋转矩阵常常用于相机姿态的估计和三维重构等问题中，具有非常重要的实用价值。
齐次坐标系统在平移变换中的应用优势
齐次坐标系统在平移变换中的应用优势齐次坐标系统通过引入一个额外的维度（通常称为“w ”或“h ”维度，并通常设为1）来巧妙地处理平移变换，使得平移操作也能像旋转、缩放等线性变换一样，通过矩阵乘法来表示。
这种方式不仅简化了计算，还使得图形变换的算法更加统一和易于理解。
齐次坐标系统下的平移变换处理过程1. 齐次坐标的表示：2. 在二维空间中，一个点的齐次坐标表示为(x, y, 1)（注意，虽然“w ”维度通常用于表示，但在这里为简化说明，我们直接使用“1”作为第三维的值）。
3. 在三维空间中，则扩展为(x, y, z, 1)。
4. 平移矩阵的构造：5. 对于二维空间中的平移，平移矩阵通常构造为：6. [ 10tx 01ty 00 1] 7. 其中，tx 和 ty 分别是沿X 轴和Y 轴平移的距离。
8. 对于三维空间中的平移，平移矩阵则构造为：9. [ 100tx 010ty 001tz 000 1] 10. 其中，tx 、ty 和 tz 分别是沿X 轴、Y 轴和Z 轴平移的距离。
11. 坐标变换：12.将平移矩阵与表示图形顶点的齐次坐标矩阵相乘，即可得到平移后的新坐标。
例如，在二维空间中，一个点P(x,y)的齐次坐标为(x,y,1)，经过平移矩阵变换后，得到的新齐次坐标为(x+tx,y+ty,1)（注意，在实际应用中，我们通常只关心前两个坐标值，因为它们表示了平移后的新位置）。
齐次坐标系统处理平移变换的优势1.简化计算：通过引入齐次坐标，平移变换可以像其他线性变换一样，通过矩阵乘法来实现，从而简化了计算过程。
2.提升性能：由于所有的变换都可以表示为矩阵乘法，因此可以利用现代计算机强大的矩阵运算能力来提升图形处理的性能。
3.便于理解和实现：齐次坐标系统提供了一种直观且统一的方式来理解和实现图形变换，使得图形变换的算法更加简洁、易于理解和实现。
综上所述，齐次坐标系统通过引入额外的维度和构造平移矩阵，巧妙地处理了平移变换，使得平移操作能够与其他线性变换保持一致性，并通过矩阵乘法来表示。
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齐次坐标表示法在图形变换中的作用
齐次坐标表示法（HomogeneousCoordinatesRepresentation，简称HCR）是将三维坐标投影到平面的一种方法，它使用数学方法将三维坐标表示成（x，y，z）变换成（x/z，y/z，1）的形式，也可以称为齐次坐标。
齐次坐标表示法被广泛应用于计算机图形学中，用于实现图形变换，如旋转、平移、缩放等。
齐次坐标表示法通过将三维坐标映射到一个四元素向量，使得变换变得容易。
例如，使用位置矢量（x，y，z）表示空间中的点时，
可以使用齐次坐标表示法将它表示为（x，y，z，1）的形式。
使用这种形式可以用一个4×4的矩阵将这个点移动到空间中的另一个位置，而不需要重新计算其坐标（也就是说，只需要替换矩阵的某些元素即可）。
在图形变换中，旋转和平移是最基本的变换，而使用齐次坐标表示法可以简单、有效的实现它们。
首先，在没有使用齐次坐标表示法前，要实现旋转，就需要按照旋转轴和角度来计算出旋转后点的新坐标，而使用齐次坐标表示法则只需要通过一个4x4的旋转矩阵来计算出旋转后点的新坐标，这种方式实现旋转更加简单、方便。
同样，在实现平移时，也可以使用齐次坐标表示法来简化计算，即只需要改变矩阵的某些元素来实现平移，而无需重新计算出点的新坐标。
此外，使用齐次坐标表示法还可以实现缩放，即通过改变矩阵中某些元素来实现缩放，从而实现图形大小的变换。
总之，齐次坐标表示法是计算机图形学中的一种非常有用的方法，
它使得图形变换变得简单、快捷，使得计算机图形学取得了很大的进步，受到了广泛的应用。