第二章 优化设计的数学模型

第二章 优化设计的数学模型

一 优化设计问题的示例

优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。

优化设计包括：

（1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；

（2

箱盒的优化设计

已知：制造一体积为x2，高x3 分析：

（1 （2 （3 a ）体积要求； b ）长度要求；

数学模型：

设计参数： 设计目标： 约束条件：

最大产值生产资源分配问题

某工厂生产A 和B 两种产品，A 产品单位价格为P A 万元， B 产品单位价格为P B 万元。每生产一个单位A 产品需消耗煤a C 吨，电a E 度，人工a L 个人日；每生产一个单位B 产品需消耗煤b C 吨，电b E 度，人工b L 个人日。现有可利用生产资源煤C 吨，电E 度，劳动力L 个人日，欲找出其最优分配方案，使产值最大。 分析：

（1）产值的表达式；

（2）设计参数确定： A 产品x A ， B 产品x B ； （3）设计约束条件： a ）生产资源煤约束； b ）生产资源电约束； c ）生产资源劳动力约束； 数学模型

设计参数： 设计目标：

12,,x x min S 123123500100x x x x x x ≥≥≥=,A B x x max A A B B P P x P x =+

约束条件：

直齿圆柱齿轮副的优化设计

已知：传动比i , 转速n , 传动功率P ，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。 分析：

（1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达； （2）设计参数确定：模数（m ），齿宽（b ），齿数（z 1）； （3）设计约束条件：

a ）大齿轮满足弯曲强度要求；

b ）小齿轮满足弯曲强度要求；

c ）齿轮副满足接触疲劳强度要求；

d ） 齿宽系数要求；

e ） 最小齿数要求。 数学模型

设计参数： 设计目标： 约束条件：

二 优化设计的数学模型

优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。

优化设计的数学模型由优化设计变量、约束条件、目标函数组成。 1.优化设计变量

一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。

在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项相互独立的基本参数，称作优化设计变量，又叫做优化参数。

优化设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n 个设计变量，则称为n 维设计问题。

C A C B E A E B L A L B a x b x C a x b x E a x b x L +≤+≤+≤1,,m z b 22

11min [()()]

4

W b mz miz ρ

π=+1122111[]0[]0[]01.20

170F F F F H H b mz z σσσσσσ-≤-≤-≤-≤-≤1212[,,,]T n n x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦x

由n 个设计变量x 1,x 2,…,x n 为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。

按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。

只有两个设计变量的二维设计问题可用图1-1（a ）所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图1-1

（b ）所表示的空间直角坐标表示。

设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。 小型设计问题：一般含有2—10个设计变量； 中型设计问题：10—50个设计变量；

大型设计问题：50个以上的设计变量。

如何选定设计变量？

任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点： （1）抓主要，舍次要。

对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。

（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。

例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d ，弹簧中径D ，工作圈数n 和自由高度H 。在设计中，将材料的许用剪切应力 和剪切模量Ｇ等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D 作为设计常量。 2 约束条件

设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。

一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。

约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型： (1)等式约束 (2)不等式约束

根据约束的性质可以把它们区分成：

性能约束——针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须

图1-1 设计变量所组成的设计空间（a ）二维设计问题（b ）三维设计问题

()0h =x ()0g ≤x

()(){}|0, 0, n i j D X g X h X X E =≤=∈()min X D

F X ∈满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；

边界约束——只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。

显式约束、隐式约束

约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式 ,如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。

可

可行域 : 在设计空间中，满足所有约束条件的所构成的空间。

定义 把满足约束条件的解)(n E X ∈称为可行解（或可行点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域），记为D ，即 约束优化问题可简记为

如图2-3上画出了满足两项约束条件g 1（X ）=x 12＋x 22—16 ≤ O 和g 2（X ）＝2—X 2≤0的二维设计问题的可行域D ，它位于X 2=2的上面和圆 x 12＋x 22=16的圆弧ABC 下面并包括线段AC 和圆弧ABC 在内。

3.目标函数

图2-2 设计空间中的约束面（或约束线）

(a)二变量设计空间中的约束线(b) 三变量设计空间中的约束面

图2-3 约束条件规定的可行域D