初一数学：图形平移及点的坐标变化汇总

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一、点的平移与点的坐标的变化
在平面直角坐标系内，将点()y x ,向右（或向左）平移a 个单位长度，可以得到对应点
()y a x ,+（或()y a x ,-）
；将点()y x ,向上（或向下）平移a 个单位长度，可以得到对应点()a y x +,（或()a y x -,）。

反之，亦成立。

二、图形的平移与点的坐标的变化
在平面直角坐标系内，如果一个图形的各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它的各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度。

反之，亦成立。

平移中点的坐标的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减。

反之，亦成立。

根据此规律，可以求出平移后的点的坐标。

图形的平移只改变图形的位置（图形上所有点的坐标都要发生相应的变化），不改变图形的形状和大小。

例题1 在平面直角坐标系中，将点P （－2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P′的坐标是（ ）
A. （2，4）
B. （1，5）
C. （1，－3）
D. （－5，5）
解析：根据向右平移，横坐标加，向上平移，纵坐标加，求出点P′的坐标即可得解。

∵点P （－2，0）向右平移3个单位长度， ∴点P′的横坐标为－2＋3＝1， ∵向上平移4个单位长度， ∴点P′的纵坐标为1＋4＝5， ∴点P′的坐标为（1，5）。

故选B 。

答案：B
点拨：本题考查了坐标与图形变化－平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键。

例题2 在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是A （－3，－2），B （1，2），将线段AB 平移后得到线段A′B′，若点A′坐标为（－2，2），则点B′的坐标为（ ）
A. （2，6）
B. （3，5）
C. （6，2）
D. （5，3）
解析：A＇点相对于A点的变化关系是横坐标加1，纵坐标加4，那么让点B的横坐标加1，纵坐标加4即为点B′的坐标。

解：由A（－3，－2）的对应点A′的坐标为（－2，2 ），
可知坐标的变化规律：各对应点之间的关系是横坐标加1，纵坐标加4，
∴点B′的横坐标为1＋1＝2；纵坐标为2＋4＝6；
即所求点B′的坐标为（2，6）。

故选：A。

答案：A
点拨：此题主要考查了坐标与图形的变化—平移，解决本题的关键是比较已知对应点A 和A′的坐标，找到各对应点之间坐标的变化规律，再利用这个规律确定B′的坐标。

例题3如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…，那么点A4n＋1（n为自然数）的坐标为（用n表示）
解析：根据图形分别求出n＝1、2、3时对应的点A4n＋1的坐标，然后根据变化规律写出即可。

由图可知，n＝1时，4×1＋1＝5，点A5（2，1），
n＝2时，4×2＋1＝9，点A9（4，1），
n＝3时，4×3＋1＝13，点A13（6，1），
所以，点A4n＋1（2n，1）。

故答案为：（2n，1）。

答案：（2n，1）
点拨：本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n＝1、2、3时对应的点A4n＋1的对应的坐标是解题的关键。

在平面直角坐标系中，点除了可以沿水平方向左右移动或沿竖直方向上下移动外，也可以沿任意一个方向直线移动，在移动过程中甚至还可以改变移动的方向，即可以沿折线移动。

这时，点的坐标的变化规律又是什么呢？这就需要同学们通过画图，描出各点，从中探究坐标是如何变化的。

满分训练如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）
A. （1，4）
B. （5，0）
C. （6，4）
D. （8，3）
解析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可。

如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2013÷6＝335…3，
∴当点P第2013次碰到矩形的边时为第336个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（8，3）。

故选D。

答案：D。

点拨：本题是对点的坐标的规律变化的考查，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点。

（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 如图，在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（）
A. （－2，－3）
B. （－2，6）
C. （1，3）
D. （－2，1）
2. 将点A（－2，－3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形ABCD，点A的坐标是（0，2）。

现将这张胶片平移，使点A落在点A′（5，－1）处，则此平移可以是（）
A. 先向右平移5个单位，再向下平移1个单位
B. 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位
C. 先向右平移4个单位，再向下平移1个单位
D. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
*4. 如图，把图中的⊙A经过平移得到⊙O（如左图），如果左图中⊙A上一点P的坐标为（m，n），那么平移后在右图中的对应点P’的坐标为（）
A. （m＋2，n＋1）
B. （m－2，n－1）
C. （m－2，n＋1）
D. （m＋2，n－1）
二、填空题
5. 将点A（－1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′的坐标为。

6. 如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（－2，3），嘴唇C点的坐标为（－1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是。

7. 如图，A、B的坐标分别为（2，0）、（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a＋b的值为。

**8. 已知对应关系⎩⎨
⎧+='-='2
1
y y x x ，其中，（x ，y ）、（x′，y′）分别表示△ABC 、△A′B′C′
的顶点坐标。

若△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，则△A′B′C′的面积为 。

三、解答题
9. 如图，已知直角三角形ACB 在坐标平面内，A （0，3）、B （5，0），∠C ＝90°，将△ACB 平移到另一处后C 点坐标为（－1，－1），求此时A 、B 的坐标。

10. 如图，在直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A （－1，5），B （－3，0），C （－4，3）。

（1）画出把△ABC 先向右平移6个单位，再向上平移1个单位的图形△A′B′C′； （2）写出平移后△A′B′C′的各顶点的坐标。

**11. 在如图所示的直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （－4，－1），B （1，1），C （－1，4）；点P （x 1，y 1）是△ABC 内一点，当点P （x 1，y 1）平移到点P′（x 1＋4，y 1＋1）时。

①请写出平移后新△A 1B 1C 1三个顶点的坐标； ②求△A 1B 1C 1的面积。

**12. 如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（－1，0）、（3，0），现同时将点A 、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD 。

（1）求点C 、D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ； （2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA 、PB ，使S △PAB ＝S 四边形ABDC
？若存在这样一
点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：①
CPO BOP DCP ∠∠+∠的值不变，②BOP
CPO
DCP ∠∠+∠的值不变，其
中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值。

一、选择题
1. C 解析：根据题意，从点A 平移到点A′，点A′的纵坐标不变，横坐标是－2＋3＝1，故点A′的坐标是（1，3）。

故选C 。

2. D 解析：点A （－2，－3）向右平移3个单位长度，得到点B 的坐标为为（1，－3），故点在第四象限。

故选D 。

3. B 解析：根据A 的坐标是（0，2），点A′（5，－1），横坐标加5，纵坐标减3得出，故先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，故选：B 。

4. D 解析：由点A 的平移规律可知，此题点的移动规律是（x ＋2，y －1），照此规律计算可知P’的坐标为（m ＋2，n －1）。

故选D 。

二、填空题
5. （2，－2） 解析：∵点A （－1，2）沿x 轴向右平移3个单位长度，再沿y 轴向下平移4个长度单位后得到点A′，
∴A′的坐标是（－1＋3，2－4）， 即：（2，－2）。

故答案为：（2，－2）。

6.（3，3） 解析：依题，可建立平面直角坐标系，如下图：
平移后可得右眼B （3，3）。

故答案为：（3，3）。

7. 2 解析：由B 点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B 点向上平移了1个单位，由A 点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A 点向右平移了1个单位，由此得线段AB 的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，所以点A 、B 均按此规律平移，由此可得a ＝0＋1＝1，b ＝0＋1＝1，故a ＋b ＝2。

故填2。

8. 6 解析：由对应关系可知：△ABC 向左平移一个单位长度，向上平移2个单位长度可得到△A′B′C′，因为△ABC 的面积与△A′B′C′面积相等，所以△A′B′C′的面积＝2
1
×6×2＝6，故答案为：6。

三、解答题
9. 解：∵A （0，3）、B （5，0），∠C ＝90°， ∴C （5，3），
∵点C 平移后的坐标为（－1，－1）， ∴平移规律为横坐标减6，纵坐标减4， ∴平移后点A （－6，－1），B （－1，－4）。

10. 解：（1）如图：
（2）A′（5，6）；B′（3，1）；C′（2，4）。

11. 解：①∵P （x 1，y 1）平移后为点P′（x 1＋4，y 1＋1）， ∴平移的规律为：向右平移4个单位，向上平移1个单位， ∴A 1（0，0），B 1（5，2），C 1（3，5）； ②S △A1B1C1＝S △ABC ＝5×5－
21×3×5－21×2×3－21×2×5＝2
19。

12. 解：（1）依题意，得C （0，2），D （4，2）， ∴S 四边形ABDC ＝AB×OC ＝4×2＝8； （2）存在。

设点P 到AB 的距离为h ， S △PAB ＝
2
1
×AB×h ＝2h ， 由S △PAB ＝S 四边形ABDC ，得2h ＝8，解得h ＝4， ∴P （0，4）或（0，－4）；
（3）结论①正确，如图，过P 点作PE ∥AB 交OC 与E 点， ∵AB ∥PE ∥CD ，
∴∠DCP ＋∠BOP ＝∠CPE ＋∠OPE ＝∠CPO ， ∴
CPO
BOP
DCP ∠∠+∠＝1。