2020年中考数学压轴题专项训练——特殊的平行四边形(含详细解析)

2020年中考数学压轴题专项训练——特殊的平行四边形1．已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）如图1，求证：AE＝EF；

（2）如图2，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长．

2．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）判断四边形ACDF的形状；

（2）当BC＝2CD时，求证：CF平分∠BCD．

3．在菱形A BCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE＝AF，连结

CF，EA，AC，延长EA交CF于点G．

（1）求证：△ACE≌△CBF；

（2）求∠CGE的度数．

4．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试判断四边形AEDF的形状．

（2）当△ABC满足条件时，EF∥BC；当△ABC满足条件时，EF＝AD．

5．如图正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．

（1）若∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF；

（2）若该正方形ABCD的边长为1，如果△CEF的周长为2．求∠EAF的度数．

6．一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中四边形PRBA，RQDC，QPFE为正方形．记

正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为S1，S2，S3，RH⊥PQ，垂足为H．（友情提示：正方形的四个内角都等于90度，四边都相等）

（1）若PR⊥QR，S1＝16，S2＝9，则S3＝，RH＝；

（2）若四边形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为25m2、13m2、36m2

①求△PRQ的面积；

②请判断△PRQ和△DEQ的面积的数量关系，并证明你的结论；

③六边形花坛ABCDEF的面积是m2．

7．已知，如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D 不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．

（1）求证：①△BCG≌△DCE．②BH⊥DE．

（2）当BH平分DE时，求GC的长．

8．如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于

点F，分别连接AE、CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求EF的长．

9．已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．

（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；

（2）当平行四边形ABCD满足条件时，四边形GEHF是菱形；

（3）若BD＝2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．

10．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与

BC的延长线交于点F，连结C E，DF．

（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；

（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，

①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；

②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．

11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，AD＝16，BC＝22，∠ABC＝90°，点P 从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当v＝3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值；

（2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出t的值．

12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC到点

E，使得CE＝DC，连接BE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形．

（2）填空：

①当∠ADC＝°时，四边形ACEB为菱形；

②当∠ADC＝90°，BE＝4时，则DE＝．

13．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，EF垂直平分AM，分别交BC，AM，AD于点E，O，F，连接AE，MF．

（1）求证：四边形AEMF是菱形；

（2）若AB＝6，H为AB的中点，连接OH交AE于点P，OH+OA＝9，求△OPE的周长．

14．在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ．（1）如图（1），求证：AP＝AQ；

（2）如图（2），连接PQ、AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．

15．如图，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，E为对角线AC上一点，且AE＝AB，F

为CE的中点，接DF、BF，BG⊥BF与AC交于点G；（1）若AB＝2，求EF的长；

（2）求证：CG﹣EF＝BG．

参考答案1．（1）证明：如图1，在AB上截取BM＝BE，连接ME，∵∠B＝90°，

∴∠BME＝∠BEM＝45°，

∴∠AME＝135°＝∠ECF，

∵AB＝BC，BM＝BE，

∴AM＝EC，

在△AME和△ECF中，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF；

（2）解：取AB中点M，连接EM，

∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，

∴AM＝CE＝BE，

∴∠BME＝∠BME＝45°，

∴∠AME＝135°＝∠ECF，

∵∠B＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵∠AEF＝90°，

∴∠AEB+∠FEC＝90°，

∴∠BAE＝∠FEC，

在△AME和△ECF中，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴EM＝CF，

∵AB＝2，点E是边BC的中点，

∴BM＝BE＝1，

∴CF＝ME＝．