向量三点共线定理等于1

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向量三点共线的充要条件

向量三点共线的充要条件
零向量与任何向量共线。

非零向量共线条件是b=λa，其中
a≠0，λ是唯一实数。

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

向量三点共线的充要条件 1
零向量与任何向量共线
以下考虑非零向量，三个方法
（1）方向相同或相反
（2）向量a=k向量b
（3）a=(x1，y1)，b=(x2，y2)
a//b等价于x1y2-x2y1=0
共线向量基本定理
如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

证明：
1）充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。

2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。

那么当向量a与b 同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有b=λa。

如果b=0，那么λ=0。

3）唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。

但因a≠0，所以λ=μ。

向量求三点共线的方法

向量求三点共线的方法
如果A、B和C三个点共线，那么向量AB和向量AC必然平行。

向量平行可以通过向量的点积来判断。

如果AB和AC平行，则有：
AB · AC = |AB| |AC| cosθ
其中，|AB|和|AC|分别为向量AB和向量AC的模长，θ为两个向量之间的夹角。

由于AB和AC平行，所以θ为0度或180度，即cos θ为1或-1。

因此有：
AB · AC = ±|AB| |AC|
将上式展开，可以得到：
(x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1) + (z2 - z1)(z3 - z1) = ±|AB| |AC|
如果左边的式子等于右边的式子，则A、B和C三个点共线。

需要注意的是，如果三个点的坐标是浮点数，判断是否相等时需要考虑精度误差。

可以使用一个很小的阈值来检查两个浮点数是否相等。

综上所述，通过向量的点积可以判断三个点是否共线。

这种方法简单、直观，适用于二维和三维空间中的点。

- 1 -。

向量三点共线定理等于1的几何意义

向量三点共线定理等于1的几何意义向量三点共线定理是高中数学中的一个重要定理，它描述的是三个点在平面上共线的几何条件。

这个定理是在向量的基础上得出的，所以我们首先要了解什么是向量，向量的性质和运算规则，然后再来讨论向量三点共线定理的几何意义。

首先，向量是数学中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的一个点到另一个点的位移。

向量通常用箭头表示，箭头的方向表示位移的方向，箭头的长度表示位移的大小。

向量有一些重要的性质，比如零向量的长度为0，且方向无所谓；两个向量相等当且仅当它们的长度相等且方向相同；向量的加法满足交换律和结合律等等。

在向量的基础上，我们可以定义向量的数量积和向量的叉积，这两种积在几何上有着重要的意义。

数量积是一个标量，它可以用来计算向量的夹角和长度，而叉积是一个向量，它可以用来表示一个平行四边形的面积。

通过向量的数量积和叉积，我们可以定义出两个向量的夹角、平行和垂直等几何性质。

接下来，我们来讨论向量三点共线定理的几何意义。

向量三点共线定理的表述是：三个点A、B、C在平面上共线的充分必要条件是存在实数k，使得向量AB=k*向量AC。

这个定理意味着如果三个点在平面上共线，那么它们的位移向量之间存在一定的线性关系。

几何上，这个定理的意义可以通过向量的线性组合来描述。

假设三个点A、B、C在平面上共线，则它们的位移向量可以表示为向量AB和向量AC。

根据向量三点共线定理，存在实数k，使得向量AB=k*向量AC。

这意味着向量AB和向量AC是线性相关的，它们的方向是一致的，只是长度不同。

也就是说，从A到B的位移是从A到C的位移的k倍，这就是三点共线的几何意义。

进一步地，我们可以将向量三点共线定理应用到实际问题中。

比如，如果我们知道一个平面上的三个点共线，可以利用这个定理来求出它们的线性关系，进而解决一些几何问题。

另外，向量三点共线定理还可以用来证明一些三角形的性质和定理，比如中垂线定理、垂径定理等等。

在日常生活中，我们也会经常遇到向量三点共线的情况。

向量三点共线结论

向量三点共线结论
向量三点共线是线性代数中一个重要且基础的概念，其结论是指
在三维空间中，若存在三个点A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)、C(x3, y3, z3)，如果向量AB和向量AC共线，则这三个点共线。

这个结论也可以表示为向量AB和向量AC的向量积为零，即(AB)×(AC) = 0。

这个结论是由向量叉积的定义推得的，向量叉积定
义为向量的乘积，垂直于两个向量的平面。

利用向量三点共线结论，我们可以快速求解一些与平面相关的问题。

例如，我们可以利用三点共线结论来判断三角形是否为等腰三角
形或者等边三角形，或者计算平面几何中的面积等问题。

此外，向量三点共线结论还能应用到其他一些数学问题中。

例如，我们可以利用这个结论来解决某些最优化问题，或者优化回归模型、
分类问题等数学问题。

最后，我们需要注意的是，在现实世界中，我们通过测量三个点
的坐标并不总是完全准确的，误差往往是存在的。

因此，在应用向量
三点共线结论时，我们需要注意误差的来源，并进行充分的数据处理
和调整，以保证结论的准确性。

总之，向量三点共线结论是线性代数中一个基础而重要的结论，
具有广泛的应用。

我们可以利用这个结论来解决许多数学和几何问题，是我们学习和应用线性代数的一个重要知识点。

向量三点共线定理及其延伸应用汇总

向量三点共线定理及其延伸应用汇总1.如何判断三点共线？根据向量三点共线定理，只需判断向量AB和向量AC是否共线即可。

如果它们共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三点A、B、C 共线。

2.判断四点共面问题将四点依次相连，可以形成三个向量：向量AB，向量AC和向量AD。

如果这三个向量共面，则四点A、B、C、D共面。

这可以通过判断向量AB 和向量AC是否共线，以及向量AB和向量AD是否共线来进行。

3.判断平行四边形平行四边形是指具有两对平行的对边的四边形。

如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么向量AB和向量CD是共线的，向量AD和向量BC 也是共线的。

因此，可以通过判断向量AB和向量CD是否共线，以及向量AD和向量BC是否共线来判断一个四边形是否为平行四边形。

4.求解向量坐标问题假设已知三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)在坐标平面上，现要求证这三个点共线。

可以将它们看作向量，向量AB=(x2-x1,y2-y1)和向量AC=(x3-x1,y3-y1)。

如果这两个向量共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三个点共线。

5.解决线段相交问题如果已知线段AB和线段CD，在平面上是否相交？可以将线段AB表示为向量AB，线段CD表示为向量CD。

如果向量AB和向量CD共线，那么线段AB和线段CD必定相交；反之，如果不共线，则线段AB和线段CD不相交。

6.判断三角形共线问题已知三角形ABC，如果顶点A、B和C共线，即向量AB和向量AC共线，则三角形ABC退化为一条线段。

7.探索顺、逆时针旋转问题已知三点A、B和C按照顺时针旋转形成的向量AB和向量AC是否共线？如果向量AB和向量AC共线，则这三点按顺时针方向排列；反之，如果不共线，则这三点按逆时针方向排列。

8.求解线段长度问题定理：若O为向量OA与向量OB的中点，则向量OA和向量OB共线且长度相等。

利用这个定理，可以求解线段长度。

共线定理以及三点共线

共线定理以及三点共线一、向量共线定理平面向量共线定理：对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b aλ=例1.设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则A. 0B.C.D.【解答】解：因为向量与共线，所以存在实数x 有，则，解得故选D ．例2.已知向量，，且与共线，，则 A.B.C.或D.或【解答】解：与共线，，，，或．故选：D ．例3.若、是不共线向量，，，且，则k等于A. 8B. 3C.D.【解析】解：，是不共线向量，，，且，存在实数使得．．，解得．故选D．例4.向量，，若与共线且方向相反，则______．【解答】解：，，解得，又与方向相反，．故答案为．例5.已知点P在线段AB上，且，设，则实数______．【解析】解：如图所示，点P在线段AB上，且，；又，．故答案为：．例6.已知向量______．【解析】解：，，则有，解得，故答案为．例7.已知是平面内两个不共线向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为A. 2B.C.D. 3【解答】解：，，、B、D三点共线，与共线，存在唯一的实数，使得即解得．故选A．例8.已知、是两个不共线向量，设，，，若A，B，C三点共线，则实数的值等于A. 1B. 2C.D.【解答】解：，，，，，，B，C三点共线，不妨设，，，解得．故选C．例9.设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为A. B. 8 C. 6 D.【解答】解：，因为三点A，B，D共线，所以与共线，则存在实数，使得，即，由向量相等的条件得，所以．故选A．例10.设，是不共线向量，与共线，则实数k为______ ．【解答】解：与共线，且，是不共线向量，存在实数满足：，且，．故答案为．例11.设向量，不平行，向量与平行，则实数________．【解答】解：向量，不平行，向量与平行，，，解得实数．故答案为．二、三点共线定理在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB=+且1x y+=。

向量中三点共线常用结论

向量中三点共线常用结论向量是数学中的重要概念，在几何学、物理学、力学等学科中都有广泛的应用。

当三个点的向量共线时，有一些常用的结论可以帮助我们更好地理解和应用向量的概念。

首先，我们来谈谈共线的定义。

当三个点的向量可以通过放缩得到相等的向量时，它们就是共线的。

也就是说，三个点的向量可以表示为k倍于另一个向量的形式，其中k为一个实数。

在三维空间中，我们可以将共线的三个点的向量表示为OA = a，OB = b，OC = c。

其中，O为坐标原点，A、B、C为三个点。

常用的共线判定方法有两种，即向量共线定理和点共线定理。

首先是向量共线定理。

如果三个向量a，b和c共线，那么存在一个实数k，使得c = ka + (1-k)b。

我们可以将这个公式理解为，c可以由a和b经过一定的比例缩放得到。

其次是点共线定理。

如果三个点A、B、C共线，那么它们的向量OA、OB和OC是共线的。

反之亦成立，即如果OA、OB和OC共线，那么点A、B、C也是共线的。

这个定理可以帮助我们在实际问题中通过向量的共线性判断点的共线性。

在实际应用中，我们常常会遇到一些与共线性相关的问题。

例如，在几何学中，我们希望判断三个点是否在一条直线上，可以通过计算它们的向量是否共线来得出结论。

如果计算出的向量共线，则可以判断三个点是共线的；反之，如果向量不共线，则可以判断三个点不共线。

另一个应用是在物理学中，我们常常用向量来描述力的作用。

如果有多个力作用在同一个物体上，我们可以通过判断这些力的向量是否共线来判断它们是否可以合成为一个力。

如果力的向量共线，则可以将它们合成为一个力；反之，如果力的向量不共线，则无法合成为一个力。

在解决问题时，我们可以运用这些常用的共线结论。

首先，我们可以通过计算向量是否共线来确定点的共线性。

其次，我们可以通过判断向量的共线性来确定力的合成。

最后，我们还可以利用共线性来解决其他几何学、物理学和力学等问题。

总之，向量的共线性是数学中的一个重要概念，有着广泛的应用。

高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题

高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题例3．设OA 、OB 、OP 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==．
【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线⇒m+n=1，且OP mOA nOB ==成立；（2）上述条件成立⇒A 、B 、P 三点共线．
【证明】（1）由三点共线⇒m 、n 满足的条件．
若A 、B 、P 三点共线，则AP 与AB 共线，由向量共线的条件知存在实数λ使AP AB λ=，即()OP OA OB OA λ-=-，∴(1)OP OA OB λλ=-+．令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+且m+n=1．
（2）由m 、n 满足m+n=1⇒A 、B 、P 三点共线．
若OP mOA nOB =+且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-．
则()OP OB m OA OB -=-，即BP mBA =．
∴BP 与BA 共线，∴A 、B 、P 三点共线．
由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结升华】本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．
举一反三：
【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-，12BC e e =+，1269CD e e =-，求证：A ，C ，D 三点共线．
【解析】因为1212121(4)()233
AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=，所以AC 与CD 共线．。

向量中三点共线的结论

向量中三点共线的结论
设三点A（x_1，y_1），B（x_2，y_2），C（x_3，y_3），则这三点共线的充要条件如下：
（1）向量AB和向量AC的外积（即叉乘）为 0，即：
\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0
（2）向量AB的长度即AB的模等于向量AC的长度，即：
从向量的性质可以看出，向量AB和向量AC同向或反向，则三点共线；而外积为 0，则表明BC向量垂直于AB的延长线，也即三点共线。

由上述结论可以看出，当三点共线时，向量AB和向量AC之间满足以下特征：
因此，如果不满足上述两个条件，则三点不共线。

要证明三点共线，可以根据向量的性质，使用向量运算，即叉乘及模计算方法，具体用法如下：
1.计算向量AB和向量AC的叉乘，如果结果为0，则表明三点共线；
计算三点共线的充要条件，可以求出具体的数学表达式：
(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)=0
以上，讨论了三点共线的结论，并给出了满足共线条件的数学表达式。

同时也可以把它看做是一种向量运算，即叉乘或模计算。

只要通过这种向量运算验证满足充要条件，则可以正确地证明三点共线。

向量三点共线定理及其延伸应用汇总

向量三点共线定理及其延伸应用汇总首先，我们来证明向量三点共线定理。

假设向量AB和AC共线，则存在一个实数k，使得AB=kAC。

又因为向量的相等意味着它们具有相同的长度和方向，所以AB和AC具有相同的方向，这表明点A、B、C共线。

反过来，假设点A、B、C共线，则可以找到一点O，使得向量OA和向量OB在同一条直线上。

将向量OB-OA=AB记作向量u，以及向量OC-OA=AC记作向量v，则AB=u+(−v)和AC=v，我们可以发现向量u和向量v具有相同的方向，因此它们共线。

在证明了向量三点共线定理之后，我们介绍一些具体的应用。

1.已知两个点A和B的坐标，求过这两点的直线方程假设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个点，我们可以使用向量的三点共线定理来求解过这两点的直线方程。

首先求得向量AB=(x2-x1,y2-y1)，然后选取其中一点作为直线的起点，将AB的坐标代入到直线方程中，可以得到直线的方程。

2.已知三个点A、B和C的坐标，判断它们是否共线可以将向量AB和向量AC进行比较，如果它们的比值相同，则说明向量AB和AC共线，即点A、B、C共线。

这个方法可以使用来判断三个点是否共线。

3.求平面上一个点到一条直线的距离假设直线的方程是Ax+By+C=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到直线的距离。

首先求得向量n=(A,B)，然后我们可以得到直线上一点Q(x,y)的坐标为Q(x,y)=P+λn，其中λ为实数。

将直线上一点的坐标代入到直线方程中，可以得到λ的值，然后计算点P到直线的距离，即为PQ的模。

4.求平面上一个点到两条直线的距离假设直线的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，平面上的一个点是P(x0,y0)，我们可以使用向量的方法来求解点P到这两条直线的距离。

首先求得向量n1=(A1,B1)和n2=(A2,B2)，然后我们可以得到直线上一点Q1(x,y)的坐标为Q1(x,y)=P+λn1，以及直线上一点Q2(x,y)的坐标为Q2(x,y)=P+μn2，其中λ和μ为实数。

数学三点共线定理

数学中的三点共线定理是平面几何中的重要结论之一，它描述了三个点在同一平面上，且任意两点之间的直线段与第三点所在的直线重合或平行。

具体来说，如果三点A、B、C共线，那么向量AB与AC共线，也就是说任意两点所在直线上的射影与第三点所在的直线重合。

为了证明这个定理，我们可以使用以下步骤：
首先，假设三个点A、B、C不在同一条直线上，那么存在一条直线AB和AC。

根据向量共线定理，存在一个实数λ，使得向量AB和λAC共线。

这意味着向量AB和AC的终点连线与AC平行。

因此，第三点C所在的直线与AB平行或重合。

其次，如果三个点A、B、C在同一条直线上，那么显然它们是共线的。

因为此时任意两点A 和B之间的直线段与第三点C所在的直线重合。

最后，我们需要注意到三点共线的逆命题也是成立的。

如果存在一个实数λ，使得向量AB=λAC，那么A、B、C三点共线。

这是因为此时向量AB和AC的终点连线与AC平行，从而证明了三点共线。

在证明过程中，我们需要使用向量的相关性质和几何中的基本原理。

此外，我们可以使用向量坐标等方法进行更简便的证明。

总的来说，三点共线定理是平面几何中一个重要的基本结论，它为解决许多几何问题提供了有力工具。

希望以上解答能对您有所帮助，如果您还有其他问题，欢迎告诉我。

平面向量中三点共线

平面向量中三点共线定理的应用知识梳理（一）、对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b aλ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二)、三点共线定理:在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x ，y 使得：OP xOA yOB =+且OP xOA yOB =+.特别地有:当点P 在线段AB 上时，0,0x y >>当点P 在线段AB 之外时，0xy <典例剖析例1、已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是分析：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y x x y=224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功。

例2、在△ABC 中,13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ) A ．911 B. 511 C 。

311 D. 211分析:,,B P N三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+8111m ∴+= 311m ∴=,故选C例3、在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同m AM ,AC ＝n AN ,则m ＋n 的值的两点M 、N ，若AB ＝为．：因为O 是BC 的中点,故连接AO ，如图4,由向量加法的平行四边形法则可知:1()2AO AB AC ∴=+ m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+ 22m nAO AM AN ∴=+ 又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得:122m n+= 2m n ∴+=变式、直线l 过ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点O ，与AD 边交于点N,与AB 的延长线交于点M.又知AB ＝ m AM ，AD ＝n AN ,则m ＋n=图4分析:因为点O 两条对角线AC 与BD 的交点，所以点O 为AC 的中点1()2AO AB AD ∴=+ AB ＝ m AM ，AD ＝n AN1()222m nAO mAM nAN AM AN ∴=+=+ 又,,M O N 三点共线， ∴由平面内三点共线的向量式定理可得:122m n+= 2m n ∴+=例4、点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =,OB y OQ =,证明:yx 11+是定值；证明:因为G 是OAB 的重心，分析：211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴=1OQ yOB OB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x yx y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例5、如图所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点,记AB a =，AD b =，则AG =_______分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G ，C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

-向量三点共线定理推导过程

向量三点共线定理推导过程嘿，咱今天来唠唠向量三点共线定理的推导过程哈。

就说有一天我去逛街，看到前面有三个人，咱就姑且叫他们 A、B、C 吧。

我就一直盯着他们看，突然发现一个有意思的事儿。

A 这人呢一直沿着一条路往前走，B 就跟着 A，走的路线几乎是重合的。

然后 C 呢，一会儿离A 近点，一会儿离 B 近点，但总体感觉 C 也是在和 A、B 走在一条线上似的。

咱回到向量三点共线定理这儿哈。

假如我们有向量 OA、OB 和 OC，要是能找到一个实数λ，使得OC = λOA + (1 - λ)OB，那这就说明这三个向量对应的点就是共线的呀。

就像那三个人，C 总是能通过 A 和 B 的某种组合来表示。

你看，这不就和我看到的那三个人的情况差不多嘛。

A 就像是 OA 向量，B 像是 OB 向量，C 就是 OC 向量。

他们在那条路上的关系，就跟这向量之间的关系一样神奇。

哎呀，经过我这么一观察，这向量三点共线定理就好理解多啦！嘿嘿，以后再看到类似的情况，我肯定一下子就想起来这个定理啦！。

三点共线向量表示形式的应用举例

三点共线向量表示形式的应用举例三点共线的充要条件：已知o、a、b是不共线的三点，且存在实数x，v使得op=xoa+yob，则a、b、p三点共线的充要条件是x+y=1。

这是三点共线的一个充要条件，主要以向量形式表述，用其来解决一些与三点共线有关的问题，显得非常简便和巧妙。

举例如下：一、解决与三点共线有关的求值问题如图中△abc，an=13ac，p是bn上的一点，若ap=mab+211ac，则m的值为.解：∵an=13ac，∴ap=mab+211ac=mab+611an又b、p、n三点共线，∵m+611=1∴m=511本题直接利用三点共线的向量式中x+y=1来解决.2.△abc中，o点是bc的中点，过点o的直线分别交直线ab、ac 于不同的两点m、n。

若ab=mam，ac=nan，则m+n=.解：∵ao=12ab+12ac又ab=mam，ac=nan∴ao=m2am+n2an又o、m、n三点共线，∴m2+n2=1即m+n=23.变式：△abc中，点o是bc的中点，k为ao上一点，且ao=2ak.过点k的直线分别交直线ab、ac于不同的两点m、n。

若ab=mam，ac=nan，则m+n=.解：∵ao=12ab+12acab=mam，ac=nan∴ao=m2am+n2an，又ao=2ak∴2ak=m2am+n2an∴ak=m4am+n4an又k、m、n三点共线，∴m4+n4=1即m+n=4以上两题实质都是以ao为桥梁，利用三点共线的充要条件整体求值，体现了三点共线的向量式x+y=1中在求值问题（尤其是整体求值）中的重要作用.二、在向量的表示中的应用4.△abc中，点e在ab边上，f在边ac上，且ae=2eb，af=13fc，bf与ce交于点m，设am=xae+yaf，则x+y=.解法一：∵e、m、c三点共线，∴设am=mae+（1-m）ac又ac=4af∴am=mae+4（1-m）af①∵b、m、f三点共线∴设am=nab+（1-n）af又ab=32ae∴am=32nae=（1-n）af②又ae，af又不共线，∴32n=m1-n=4（1-m）解得m=910n=35，∴am=910ae+410af∴x+y=1310此种解法主要通过两组三点共线的向量式设定系数，用同一组基底来表示向量am，再结合平面向量基本定理求解系数。

向量定理七个公式

向量定理七个公式平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。

平面向量用a,b,c 上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

输入分数，查看能上的大学测一测能上的大学1向量的加法1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3向量的的数量积1、定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.2、向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'.3、向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);4、向量的数量积的性质a•a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a•b=0.|a•b|≤|a|•|b|.5、向量的数量积与实数运算的主要不同点（1）向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.（2）向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c (a≠0),推不出b=c.（3）|a•b|≠|a|•|b|（4）由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b.4数乘向量1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.2、数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.5向量的向量积1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.2、向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.3、向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.6向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.7定比分点定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式8其他公式1、三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线2、三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心3、向量共线的重要条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的重要条件是xy'-x'y=0.4、零向量0平行于任何向量.5、向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0.a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0.6、零向量0垂直于任何向量.。

平面向量基本定理三点共线

平面向量基本定理三点共线
平面向量基本定理是指：对于平面上任意两个不重合的向量，它们的和向量与它们的差向量所组成的两条直线互相平分，且这两条直线的交点即为这两个向量的起点和终点的中点。

由此可得，如果三个点共线，则它们所代表的向量必须满足平面向量基本定理中的条件，即它们的和向量与它们的差向量所组成的两条直线必须互相平分，且这两条直线的交点即为这三个点的中点。

因此可以得到结论：如果三个点共线，则它们所代表的向量必须满足平面向量基本定理中的条件。

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